WISKUNDE B HAVO BOEK I

HAVO

B BOEK

I

WI S KU N D E B

Een impressie van de digitale methode. Naast de mogelijkheid tot gepersonaliseerd leren, biedt de digitale methode een schat aan informatie voor docent en leerling.

ISBN 978 94 020 0173 0

WISKUNDE B 561176

HAVO | BOEK

I

1

1

HAVO WISKUNDE B – BOEK I

MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. In het colofon staan de namen van de betrokken auteurs.

Eerste druk MALMBERG ’s-Hertogenbosch

www.mathplus.nl

1

1

2

2

2

Voorwoord MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. Dit boek is afgeleid van de digitale methode. Niet alle onderdelen van de methode zijn in het boek overgenomen. Digitaal zijn er namelijk meer mogelijkheden dan op papier. Zo biedt de digitale methode leerroutes op basis van jouw individuele resultaten. Als onderdelen uitsluitend digitaal zijn aangeboden, kun je dat zien aan het icoontje:

Elk hoofdstuk is als volgt opgebouwd: Instaptoets De Instaptoets kun je uitsluitend digitaal maken. In de instaptoets komt vereiste voorkennis aan bod, die in voorgaande hoofdstukken of leerjaren is behandeld. De Instaptoets bestaat uit gesloten vragen. Nadat je de toets hebt afgerond, geeft het systeem aan wat je al weet en waar je nog eens aandacht aan kunt besteden. Vervolgens kun je Uitleg of Voorbeeldopgaven raadplegen waarin die stof nog eens wordt herhaald.

Context In het boek zijn altijd twee contexten opgenomen. Dit zijn voorbeelden uit de praktijk waarbij wiskunde een belangrijke rol speelt. Als je de stof van een hoofdstuk goed beheerst, zou je de opgave bij de contexten moeten kunnen maken.

Paragraaf Iedere paragraaf begint met leerdoelen waarin is aangegeven wat je gaat doen. Na de leerdoelen volgen UITLEG waarin de stof wordt uitgelegd en VOORBEELDEN waarin voorbeeldopgaven zijn uitgewerkt. De opgaven die bij ‘uitleg’ en ‘voorbeeld’ horen, herken je aan het blauwe balkje. OPGAVE 0.12

In THEORIE wordt de stof nog eens samengevat. Het is een veralgemenisering van de informatie bij ‘uitleg’. Je kunt tonen dat je de stof beheerst via de opgaven bij VERWERKEN. Die opgaven hebben een niveauaanduiding: ★ is makkelijk, ★ ★ is het niveau wat je moet behalen en ★ ★ ★ is een moeilijke opgave. ★ ★

OPGAVE 0.11

Als je de opgaven digitaal maakt, houdt de methode jouw scores bij. Zo zie je precies wat je allemaal goed en fout hebt gedaan. Soms moet je zelf aangeven of je een opgave goed had of niet. De vragen met een sterretje ( ★ ) en die met twee sterren ( ★ ★ ) hebben bovendien een herkansingsopgave: een soortgelijke opgave om het nog eens te proberen als je de eerste opgave fout maakte.

2

2

3

3

3

Bij sommige opgaven kun je gebruikmaken van werkbladen. Dat staat in de tekst zo vermeld: WERKBLAD. Je krijgt die werkbladen van je docent of print ze zelf (thuis). Ook heb je bij bepaalde hoofdstukken externe bestanden nodig. Dat zie je aan BESTAND. In de digitale methode kun je direct doorklikken naar zo’n bestand. Werk je met het boek, dan ontvang je die bestanden van je docent. Bij sommige opgaven zie je dit symbool: zijn meestal moeilijke opgaven.

. Dat zijn opgaven ontleend aan de wiskundeolympiade. Dit

Testen Ieder hoofdstuk wordt afgesloten met toetsopgaven in de Voorbeeld eindtoets. Via een aantal opgaven kun je nagaan of je de stof van het hoofdstuk voldoende beheerst. Ook hier gaat MathPlus digitaal net een stapje verder: op basis van jouw resultaten in ‘verwerken’ krijg je een set toetsopgaven die voor jou persoonlijk is samengesteld.

Automatisch nakijken met AlgebraKIT In het digitale product kijkt de computer jouw uitwerkingen automatisch na. Je kunt hints opvragen en per tussenstap geeft het systeem aan of je het goed of fout hebt gedaan. Veel succes met MathPlus! De auteurs

3

3

4

4

4

Inhoud Functies en grafieken

Functies en grafieken

met formules 1 Werken 1 Formules gebruiken . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 2 Formules herschrijven . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Formules en de grafische rekenmachine 23 4 Vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Voorbeeld eindtoets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


en grafieken 2 Functies 1 Het begrip functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Domein en bereik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Karakteristieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Samengestelde functies . . . . . . . . . . . . . . 5 Transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld eindtoets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

verbanden 3 Lineaire 1 Lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 2 Lineaire verbanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3 Stelsels vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . 100 4 Lineaire modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Voorbeeld eindtoets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Differentiaalrekening

42 50 57 64 71 82

4 Veranderingen 1 Veranderingen in grafieken . . . . . . . . . . 2 Veranderingen per stap . . . . . . . . . . . . . 3 Differentiequotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Differentiaalquotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hellingsgrafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld eindtoets . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Register

4

118 123 132 138 145 154

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4

5

5


5

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +3+ Formules + + + + + + + + + rekenmachine +++++++++++++ Instaptoets ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +en+de+grafische ++++++++++++++++ Formules + + + + 1+ + + + +gebruiken + + + + + + + + + + + + + + + +4+ Vergelijkingen ++++++++++++++++++++++ 2 Formules herschrijven + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +Voorbeeld + + + +eindtoets +++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1

5

Werken met formules

5

6

6

DOMEIN Functies en grafieken

6

Windmolens CONTEXT

1

Formules worden in tal van vakken veelvuldig gebruikt om problemen op te lossen. Als je bijvoorbeeld een bepaalde afstand binnen een bepaalde tijd af wilt leggen, zou je door een aantal snelheden te proberen een schatting kunnen maken van hoe hard je werkelijk zou moeten gaan. Dit is echter nogal omslachtig en kost veel tijd. Door het gebruik van formules kun je een uitdrukking bedenken waarin de tijd, afstand en snelheid als variabelen zijn weergegeven. Zo’n formule is dan bijvoorbeeld 𝑠 = 𝑣 ⋅ 𝑡, waar 𝑠 de afstand is, 𝑡 de tijd en 𝑣 de snelheid. Door twee van de drie variabelen in te vullen kun je dan de onbekende berekenen.

OPGAVE

Voor een zekere windmolen wordt het vermogen dat hij levert gegeven door de formule: 𝑃 = 0, 008 ⋅ 𝑣 3 ⋅ 𝐷 2 . Hier is 𝑃 het gemiddelde vermogen in kilowatt, 𝑣 de gemiddelde windsnelheid in m/s en 𝐷 de rotordiameter in meter. In een bepaald gebied ligt de windsnelheid tussen de 7, 2 en de 28, 8 km/h. a Bereken de minimale en de maximale rotordiameter als je een gemiddeld vermogen van 40 kW (kilowatt) wilt opwekken. b Als het twee keer zo hard gaat waaien, wordt het vermogen dan ook twee keer zo groot?

Windmolens kunnen elektriciteit opwekken. Ook daarbij zijn formules handig. Zo bestaat er een formule om het (gemiddelde) vermogen 𝑃 in kW (kiloWatt) te berekenen dat een windmolen levert afhankelijk van de windsnelheid 𝑣 in m/s en de diameter 𝐷 in meter van de cirkel die de tip van een wiek beschrijft tijdens het ronddraaien (dat wordt wel de rotordiameter genoemd). Deze formule heeft de vorm 𝑃 = 𝑐 ⋅ 𝑣 3 ⋅ 𝐷 2 waarin 𝑐 een constante is die afhangt van het type windmolen.

6

6

7

7

HOOFDSTUK 1

CONTEXT

Werken met formules

7

2

Elektrische weerstand In huis gebruik je elektrische apparaten. Ondanks het feit dat ieder huis maar een enkele aansluiting heeft op het stroomnet kun je veel verschillende apparaten tegelijk aansluiten. Dit is mogelijk omdat deze apparaten parallel zijn geschakeld. Bij een parallelschakeling lopen er vanuit de stroombron aftakkingen naar alle losse apparaten en weer terug.

OPGAVE

Manon moet de weerstand van 𝑅1 bepalen. Ze weet de weerstand 𝑅tot van de gehele schakeling en die van 𝑅2 . Herleid de formule zodat er één breuk overblijft die de weerstand van 𝑅1 geeft afhankelijk van 𝑅tot en 𝑅2 .

Het stroomnet ‘voelt’ een bepaalde weerstand van alle apparaten samen. Deze is afhankelijk van de weerstanden van de losse apparaten en wordt aangeduid met de totale weerstand (𝑅tot ). Bij twee weerstanden (𝑅1 en 𝑅2 ) wordt 1 1 1 deze bepaald door de formule u�tot = u�1 + u�2 .

7

7

8

8


8

1.1

Formules gebruiken In deze paragraaf leer je: • verschillende soorten formules herkennen: formules die een verband weergeven tussen variabelen, formules in de vorm van een vergelijking die je kunt oplossen en formules als rekenregel; • bij een formule die het verband tussen twee variabelen beschrijft een grafiek tekenen; • onderscheid maken tussen grootheden en eenheden.

UITLEG ‘De oppervlakte van een rechthoek kun je uitrekenen door de lengte en de breedte met elkaar te vermenigvuldigen.’ Dat is een zin die je kunt inkorten tot 𝐴 = 𝑙 ⋅ 𝑏 als je de oppervlakte van de rechthoek voorstelt door de letter 𝐴, de lengte door de letter 𝑙 en de breedte door de letter 𝑏. Zo’n ingekorte zin heet een ‘formule’. Formules zijn overzichtelijker dan lange zinnen, maar je moet wel goed onthouden (of opschrijven) wat al die letters voorstellen. Bij toepassingen moet je ook aan de eenheden denken: als lengte en breedte in meter zijn uitgedrukt, dan moet oppervlakte in vierkante meter worden uitgedrukt. Lengte en breedte zijn grootheden, net zoals bijvoorbeeld ‘tijd’, ‘oppervlakte’ en ‘kapitaal’. Een grootheid die variabel is, bestaat uit een variabele en een bijpassende eenheid. In formules schrijf je alleen die variabelen, geen eenheden. Formules hebben meestal de vorm van een vergelijking, dus een zin met een ‘isgelijkteken’. In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. De formule 𝐴 = 𝑧 2 is een vergelijking die een verband tussen de variabelen 𝐴 en 𝑧 vastlegt. Je kunt er een tabel bij maken en een grafiek bij tekenen. 𝑧

0

1

2

3

4

𝐴

0

1

4

9

16

Als 𝑧 de lengte van een vierkant is in centimeter en 𝐴 de oppervlakte in cm2, dan zijn lengte en oppervlakte de grootheden van de formule en cm en cm2 de eenheden. De vergelijking 2𝑡 + 40 = 300 geeft informatie over de onbekende 𝑡. Deze vergelijking heeft als oplossing 𝑡 = 130, want 2 ⋅ 130 + 40 = 300. De formule 2(𝑥 + 3) = 2𝑥 + 6 is een rekenregel en geldt voor elke waarde van 𝑥.

8

8

9

9

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

OPGAVE 1.1

Bekijk de uitleg en beantwoord de vragen. a Noem drie verschillende eenheden bij de grootheid ‘tijd’. b Noem een mogelijke grootheid bij de eenheid cm3. c Leg uit wanneer je bij een formule een grafiek kunt maken. d Leg uit wat het verschil is tussen de formules 2(𝑥 + 3) = 2𝑥 + 6 en 2(𝑥 + 3) = 4.

OPGAVE 1.2

Geef van de formules aan of het een verband tussen variabelen is of niet. a 𝐴 = 50 ⋅ 𝑔 2 A verband B geen verband b 𝑦 + 20 = 60 A verband B geen verband c

6 u�

9

=5

A verband B geen verband d ℎ = 3(𝑡 − 5) A verband B geen verband

THEORIE Een formule is een zin waarin variabelen voorkomen. Vaak beschrijven formules een verband tussen die variabelen, maar niet altijd. Formules hebben meestal de vorm van een vergelijking, dus een zin met een isgelijkteken. Als een formule een verband beschrijft tussen twee variabelen, kun je er een grafiek bij tekenen. Je maakt dan eerst een tabel. Vervolgens zet je de gevonden punten in een assenstelsel. In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. Die grootheden worden voorgesteld door een variabele waarin de letter past bij de gebruikte grootheid. Bij zo’n grootheid hoort weer een afgesproken eenheid waarin hij kan worden gemeten. • De formule 𝐴 = 𝑧 2 is een vergelijking die een verband tussen de variabelen 𝐴 en 𝑧 vastlegt. Je kunt er een tabel bij maken en een grafiek bij tekenen. • De formule 2𝑡 + 40 = 300 geeft informatie over de onbekende 𝑡. Deze vergelijking heeft als oplossing 𝑡 = 130, want 2 ⋅ 130 + 40 = 300. 2 • De formule (𝑥 + 3) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 is een rekenregel en geldt dus voor elke waarde van 𝑥.

9

9

10

10


10

Voorbeeld 1 Een tuinman heeft voor 30 m2 graszoden gekocht. Daarmee kan hij verschillende rechthoekige grasveldjes leggen. Tussen de lengte en breedte (in meter) van deze veldjes bestaat dan het verband: lengte · breedte = 30 Bij deze formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. Je begint met een tabel en een ‘leeg’ assenstelsel. Het kan verstandig zijn om eerst de tabel helemaal in te vullen en daarna pas het assenstelsel te tekenen, omdat je dan een geschikte stapgrootte kunt bepalen voor de assen. Als lengte = 1, dan is 1⋅ breedte = 30. Dan geldt: breedte =

30 1

= 30.

Dit noteer je in de tabel. In het assenstelsel komt het punt (1, 30). Als lengte = 2, dan is 2⋅ breedte = 30. Dan geldt: breedte =

30 2

= 15.

Dit noteer je in de tabel. In het assenstelsel komt het punt (2, 15). Zo vul je de tabel verder in. De bijbehorende punten komen in het assenstelsel. Ten slotte teken je een (kromme) lijn door de getekende punten.

grafiek I

lengte

1

2

3

4

5

6

10

15

30

breedte

30

15

10

7,5

6

5

3

2

1

OPGAVE 1.3

Stel dat de tuinman uit het voorbeeld 50 m2 graszoden gekocht zou hebben. a Welke formule zou dan gelden tussen het verband van de lengte en breedte (in meter) van de rechthoekige veldjes? b Teken de grafiek bij de formule.

OPGAVE 1.4

Gebruik de formule: oppervlakte (rechthoek)= lengte · breedte.

grafiek II

grafiek III

a Gegeven is dat lengte = 6 m. Vul dit in de formule in. Geef de formule die hierdoor ontstaat.

10

10

11

11

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

11

b Nu is gegeven dat oppervlakte = 12 m2. Schrijf op wat de formule dan wordt. c Van een rechthoek is bekend dat deze een vierkant is. Schrijf de formule op die voor deze rechthoek het verband tussen oppervlakte en lengte beschrijft. De grafieken horen bij de formules uit a, b en c. d Neem de grafieken over. Schrijf bij elke grafiek de juiste formule, zet de juiste variabelen bij de assen en maak er een goede schaalverdeling bij. OPGAVE 1.5

Voor een abonnement voor mobiele telefonie betaal je € 24,00 per maand en nog eens € 0,08 per belminuut. De totale kosten per maand hangen dus af van het aantal belminuten per maand. Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per belminuut. a Leg uit dat er voor de kosten 𝐾 per belminuut geldt: 𝐾 = 0, 08 +

24 u�

waarin

𝑎 het aantal belminuten in een maand voorstelt. b Teken een grafiek bij deze formule. Neem aan dat 0 < 𝑎 ≤ 240. c Bij hoeveel belminuten betaal je € 0,12 per minuut?

Voorbeeld 2 Gooi je een steen recht omhoog met een beginsnelheid van 24, 1 meter per seconde, dan wordt de snelheid van de steen (zolang hij niet op de grond is gekomen) weergegeven door: 𝑣 = 24, 1 − 9, 8𝑡 𝑡 stelt de tijd in seconden voor en 𝑣 de snelheid in meter per seconde. Bekijk de bijbehorende grafiek. Je wilt weten op welk tijdstip de steen op zijn hoogste punt is. Hoe lees je dat uit deze grafiek af?

Antwoord Zolang de steen omhoog gaat, is 𝑣 positief; zodra de steen daalt, is 𝑣 negatief. Je kunt uit de grafiek aflezen op welk tijdstip de snelheid van de steen 0 is. Op dat moment is de steen op zijn hoogste punt. Dat is ongeveer na 2, 5 seconden.

OPGAVE 1.6

11

Bereken op welk tijdstip de steen uit het voorbeeld op zijn hoogste punt is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

11

12

12


12

OPGAVE 1.7

Sophie staat op haar balkon, steekt haar arm uit over het hek en gooit een tennisbal recht omhoog met een beginsnelheid van 5 m/s. In het voorbeeld staat beschreven hoe bij een omhoog geworpen steen de snelheid van de tijd afhangt. De bal komt na 2 seconden op de begane grond. a Pas de formule voor de snelheid van de steen 𝑣 = 24, 1 − 9, 8𝑡 aan voor de gegevens van de tennisbal. Welke formule krijg je nu? b Teken de grafiek bij deze formule. c In de grafiek is de snelheid soms positief, soms negatief. Hoe komt dat? d Na hoeveel seconden is de bal op zijn hoogste punt? Geef je antwoord in duizendsten van een seconde nauwkeurig. e Met welke snelheid komt de bal op de grond? Geef je antwoord in kilometer per uur.

Voorbeeld 3 Wat is het verschil tussen de volgende formules? • 𝐾 = 2𝑎 − 3𝑏 • 2𝑥 + 3 = - 4𝑥 + 5 2 • (𝑥 + 1) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

Antwoord • •

𝐾 = 2𝑎 − 3𝑏 is een verband tussen drie variabelen. 2𝑥 + 3 = - 4𝑥 + 5 is een vergelijking die je kunt oplossen. De oplossing is: 1

𝑥 = 3. •

12

(𝑥 + 1)2 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 is een rekenregel. Dit wordt duidelijk als je de haakjes wegwerkt: (𝑥 + 1)2 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1.

OPGAVE 1.8

In het voorbeeld zie je de formule 𝐾 = 2𝑎 − 3𝑏. a Neem 𝑎 = 4 en teken een grafiek bij de formule. b Neem 𝑏 = - 1 en teken een grafiek bij de formule.

OPGAVE 1.9

Welke van de formules stelt een verband tussen twee variabelen voor? Teken bij deze formules een grafiek. a inhoud = 3𝑟 2 b inhoud = 𝑙 ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ c 4(𝑎 − 𝑏) = 4𝑎 − 4𝑏 d lengte = 200 – lengte e 2𝑝 + 25 = 14 − 0, 5𝑝 f 𝑥 ⋅ 𝑦 = 12

12

13

13

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

13

VERWERKEN ★

OPGAVE 1.10

Een ton is helemaal gevuld met water. Met een kraantje wordt de ton geleegd. Het verband tussen de hoogte ℎ van het water in centimeter en de tijd 𝑡 in minuten dat de kraan openstaat, wordt weergegeven door de formule: ℎ = 82 − 5𝑡. a Om welke grootheden en eenheden gaat het hier? b Met welke variabelen heb je hier te maken? c Hoe hoog stond het water in de ton voordat de kraan openging? d Hoe hoog staat het water als de kraan vier minuten open heeft gestaan? e Teken de grafiek bij de formule. f Na hoeveel minuten is de ton leeg?

★

OPGAVE 1.11

Welke van de formules beschrijft een verband tussen twee variabelen? Teken bij deze formules een grafiek. a (2 + 𝑥) ⋅ 𝑦 = 2𝑦 + 𝑥𝑦 b inhoud (kubus) = 𝑟 3 c 𝑆 = 400 − 5𝑡 2 d 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2

★ ★

OPGAVE 1.12

Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: 𝑉 = 𝜋⋅𝑟 2 ⋅ℎ. Hierin is 𝑉 de inhoud (het volume), 𝑟 de straal in centimeter en ℎ de hoogte in centimeter. a In welke eenheid moet 𝑉 worden uitgedrukt? b Hoeveel bedraagt de inhoud van een blikje met een diameter van 80 mm en een hoogte van 16 cm? Rond af op twee decimalen. c Welke formule geeft het verband tussen 𝑉 en 𝑟 voor blikjes met een hoogte van 16 cm? d Teken de grafiek bij de formule die je in c hebt gevonden. e Van andere blikjes is de inhoud 1 liter. Welk verband is er nu tussen 𝑟 en ℎ? Schrijf het in de vorm ℎ = ...

★ ★

OPGAVE 1.13

Voor het gebruik van elektriciteit betaal je een vast bedrag per jaar en een bedrag per kWh (kilowattuur) verbruik. De totale jaarlijkse kosten hangen daarom af van het aantal kWh dat er wordt verbruikt. Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per kWh. Er geldt de formule: 𝐾 = 0, 12 +

32 u� .

Hierin is 𝑎 het aantal verbruikte kWh en 𝐾 de kosten per kWh (in euro). a Hoeveel bedraagt het vaste bedrag per jaar? b Teken de grafiek van 𝐾 afhankelijk van 𝑎. c Voor welke waarde van 𝑎 bedragen de kosten per kWh 16 eurocent?

13

13

14

14


14

★ ★

OPGAVE 1.14

200 V

I = 10 A

Een elektrische weerstand wordt aangesloten op een spanning van 200 volt. Met behulp van een ampèremeter kun je de stroomsterkte meten. Voor deze situatie geldt de wet van Ohm: 𝑈 = 𝐼 ⋅ 𝑅 waarin 𝑈 de spanning in V (volt) is, 𝐼 de stroomsterkte in A (ampère) en 𝑅 de weerstand in Ω (ohm). a Bij een spanning van 200 volt beschrijft de wet van Ohm het verband tussen 𝐼 en 𝑅. Welke formule hoort daar bij en welke eenheden horen bij deze formule? b Teken de grafiek bij deze formule. Zet 𝑅 op de horizontale as. c Welke stroomsterkte wordt er gemeten als 𝑅 = 15?

20 Ω

★ ★

OPGAVE 1.15

Een bal wordt recht omhoog geschoten en is na 2, 7 seconde op het hoogste punt. De snelheid neemt per seconde met 9, 8 meter af. a Wat is de beginsnelheid in meter per seconde van de bal? b Stel een formule op voor de snelheid van de bal. c Wat is de snelheid in kilometer per uur van de bal na 1, 5 seconde?

★ ★

OPGAVE 1.16

Van een balk is de breedte 3 cm korter dan de lengte. De hoogte is 5 cm. Wat is de lengte van de balk als de inhoud 140 cm3 is?

★★★

OPGAVE 1.17

De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor 𝐹 van belang. Er geldt: 𝐹 =

u� u� , waarbij 𝐴

de totale oppervlakte van de verpak-

king is in cm2 en 𝑉 het volume in cm3. Bekijk de balkvormige en de cilindervormige frisdrankverpakking. In deze afbeeldingen zijn ook de afmetingen in cm aangegeven. Voor de oppervlakte 𝐴 van de cilinder geldt 𝐴 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ, waarbij ℎ de hoogte is en 𝑟 de straal van het grondvlak.

14

14

15

15

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

15

In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor 𝐹 is verschillend. a Onderzoek welke verpakking de kleinste 𝐹-waarde heeft. Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met een inhoud van 8 liter (1 liter = 1000 cm3). Noem de straal van het grondvlak van deze tank 𝑟 en de hoogte van deze tank ℎ (𝑟 en ℎ in cm). De hoogte ℎ van de tank kun je uitdrukken in de straal 𝑟. Er geldt ℎ =

8000 . u�⋅u� 2

Een

eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte ℎ tussen 20 cm en 40 cm ligt. b Teken de grafiek bij de formule en bepaal welke waarden er zijn toegestaan voor de straal 𝑟. naar: examen 2006 - II

15

15

16

16


16

1.2

Formules herschrijven In deze paragraaf leer je: • formules herleiden; • haakjes wegwerken; • ontbinden in factoren; • werken met breuken.

UITLEG Als een rechthoek met lengte 𝑙 en breedte 𝑏 een omtrek heeft van 12, dan geldt de formule 2⋅𝑙+2⋅𝑏 = 12. Die formule kun je schrijven als 2𝑙+2𝑏 = 12 en dus als 𝑙 + 𝑏 = 6. De formule wordt er overzichtelijker van. Je kunt op deze manier vaak formules vereenvoudigen. 𝑙 + 𝑏 = 6 kun je ook schrijven als 𝑙 = 6 − 𝑏. Nu heb je 𝑙 uitgedrukt in 𝑏. Als je 𝑏 wilt uitdrukken in 𝑙, krijg je 𝑏 = 6 − 𝑙. Stel, je wilt de formule 4𝑦 2 − 2𝑥 = 0 herleiden zo, dat 𝑦 is uitgedrukt in 𝑥. Dit gaat zo: 4𝑦 2 − 2𝑥 = 0 beide zijden +2𝑥

4𝑦

2

= 2𝑥

𝑦

2

1 2𝑥

beide zijden /4

=

beide zijden worteltrekken

𝑦 = √ 12 𝑥 ∨ 𝑦 = - √ 12 𝑥

1

1

Je vindt dus 𝑦 = √ 2 𝑥 ∨ 𝑦 = - √ 2 𝑥. Je hebt nu de variabele 𝑦 uitgedrukt in 𝑥. Je ziet dat er twee mogelijkheden zijn: het teken ∨ tussen beide mogelijke formules betekent ‘en/of’. Het gaat om een verband tussen 𝑥 en 𝑦 waarbij de éne formule en/of de andere formule hoort. Als je de formule 4𝑦 3 − 2𝑥 = 0 wilt herleiden zo, dat 𝑦 is uitgedrukt in 𝑥, dan 3

1

krijg je maar één mogelijkheid, namelijk 𝑦 = √ 2 𝑥.

16

16

17

17

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

OPGAVE 2.1

Herleid de formules zodat 𝑦 is uitgedrukt in 𝑥. a 2𝑥 − 4𝑦 = 10 b 𝑥 ⋅ (𝑦 + 2) = 6 c 𝑥 = 4𝑦 2 d 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25

OPGAVE 2.2

In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras. In formulevorm: 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 . a Geef twee gelijkwaardige formules. b Neem 𝑎 = 3𝑥 en 𝑏 = 4𝑥 en druk 𝑐 uit in 𝑥.

17

THEORIE Formules zoals 2𝑙 + 2𝑏 = 60 en 𝑏 = 30 − 𝑙 beschrijven hetzelfde verband. Ze zijn gelijkwaardig. Je kunt de formule 2𝑙 + 2𝑏 = 60 herleiden (of herschrijven): 2𝑙 + 2𝑏 = 60 beide zijden /2

𝑙 + 𝑏 = 30 beide zijden −𝑙

𝑏 = 30 − 𝑙

Nu is 𝑏 uitgedrukt in 𝑙. De nieuwe formule bevat minder tekens en is overzichtelijker. Bij het herleiden van formules maak je gebruik van: • aan beide zijden van een isgelijkteken mag je hetzelfde optellen of aftrekken; aan beide zijden van een isgelijkteken mag je met hetzelfde vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen of delen met 0); • haakjes wegwerken (ook wel ‘haakjes uitwerken’): − 𝑎 ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑦 − (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑐 + 𝑑) = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑎 ⋅ 𝑑 + 𝑏 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑑 • ontbinden in factoren: − 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 + 𝑦) − 𝑥 2 + 𝑝 ⋅ 𝑥 + 𝑞 = (𝑥 + 𝑎) ⋅ (𝑥 + 𝑏) met 𝑎 + 𝑏 = 𝑝 en 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑞 (de productsommethode)

17

17

18

18


18

•

breuken optellen/aftrekken en breuken vermenigvuldigen/delen: −

u� u�

+

u� u�

u�⋅u� u�⋅u�

−

u� u�

⋅

u� u�

=

u�⋅u� u�⋅u�

−

u� u� / u� u�

=

u�⋅u� u�⋅u� / u�⋅u� u�⋅u�

=

+

u�⋅u� u�⋅u�

=

u�⋅u�+u�⋅u� u�⋅u�

u�⋅u� u�⋅u�

=

of

u� u� u� u�

=

u� u� u� u�

⋅

u� u� u� u�

=

u� u�

⋅

u� u�

=

u�⋅u� u�⋅u�

Bij de bewerkingen hierboven mogen de noemers nooit 0 zijn.

Voorbeeld 1 Voorbeelden van haakjes wegwerken zijn: • - 2 ⋅ (𝑥 − 𝑦) = - 2 ⋅ 𝑥 − - 2 ⋅ 𝑦 = - 2𝑥 + 2𝑦 • 𝑥 ⋅ (3 − 𝑥) = 𝑥 ⋅ 3 − 𝑥 ⋅ 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥 2 • 2 − (𝑥 − 5) = 2 − 𝑥 − - 5 = 2 − 𝑥 + 5 = 7 − 𝑥 • (𝑥 + 3)(𝑥 − 5) = (𝑥 + 3)(𝑥 + - 5) = 𝑥⋅𝑥+𝑥⋅- 5+3⋅𝑥+3⋅- 5 = 𝑥 2 −2𝑥−15 2 • (𝑝 − 5) = (𝑝 − 5)(𝑝 − 5) = 𝑝 2 − 5𝑝 − 5𝑝 + 25 = 𝑝 2 − 10𝑝 + 25 Let er wel op dat het wegwerken van haakjes geen automatisme wordt. Soms kun je met een formule juist veel eenvoudiger werken als je de haakjes gewoon 2 laat staan. Als je bijvoorbeeld wilt weten voor welke 𝑝 de uitdrukking (𝑝 − 5) gelijk is aan 0, dan zie je nu meteen dat dat geldt voor 𝑝 = 5. Bij de uitdrukking 𝑝 2 − 10𝑝 + 25 zie je dat een stuk minder snel. Denk ook steeds na of het uitwerken wel is toegestaan. •

Goed:

•

Fout:

u�+6 2 6 u�+2

= =

u� 2 6 u�

+ +

6 2 6 2

1

= 2𝑥 + 3 =

6 u�

+3

Bij de eerste breuk moet je zowel 𝑥 als 6 door 2 delen. Met een getalvoorbeeld kun je zien dat de tweede breuk niet goed is uitgewerkt. Kies je bijvoorbeeld 𝑥 = 1, dan zou de uitkomst en niet OPGAVE 2.3

6 1

6 1+2

= 2 moeten zijn

+ 3 = 9.

Werk in de uitdrukkingen de haakjes weg. a (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 + 4) b 2(𝑏 + 4)(𝑏 − 2) c

1

(𝑙 + 3)( u� + 6)

2 d (5𝑐 − 4)

OPGAVE 2.4

18

a Herleid de formule 2(𝑦 + 3) + 𝑥 = 4 tot 𝑦 is uitgedrukt in 𝑥. b Herleid de formule 2𝑦 − 3(2𝑥 − 5) = 11 tot 𝑥 is uitgedrukt in 𝑦. 2 c Herleid de formule (𝑥 − 3) + 4𝑦 + 2𝑥 2 = 𝑥 + 𝑦 + 10 tot 𝑦 is uitgedrukt in 𝑥.

18

19

19

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

19

Voorbeeld 2 Voorbeelden van ontbinden in factoren zijn: • 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 = 2𝑥 ⋅ 𝑥 + 2𝑥 ⋅ 3𝑦 = 2𝑥(𝑥 + 3𝑦) • - 𝑥 2 + 4𝑥 = - 𝑥 ⋅ 𝑥 − - 𝑥 ⋅ 4 = - 𝑥(𝑥 − 4) • 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3𝑥 + 2 ⋅ 3 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) • 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 6) • 𝑥 3 − 4𝑥 = 𝑥(𝑥 2 − 4) = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) OPGAVE 2.5

Ontbind in factoren. a 2𝑥 2 + 10𝑥 b 3𝑥 2 − 9𝑥 c 𝑥 2 + 5𝑥 + 4 d 𝑏 2 − 9𝑏 + 8 e 𝑘 2 − 17𝑘 + 16

OPGAVE 2.6

Ontbind in factoren. a 𝑐 3 + 2𝑐 2 + 𝑐 b 𝑝3 − 𝑝5

c 2𝑥 4 + 8𝑥 10 d 3𝑦 4 − 6𝑦 5

Voorbeeld 3 Als breuken gelijknamig zijn, mag je ze bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. 2 9

+

5 9

=

7 9

5 u�

−

2 u�

=

3 u�

Als je breuken met verschillende noemers wilt optellen of aftrekken, moet je ze eerst gelijknamig maken. 2 3

+

3 5

=

10 15

+

9 15

4 u�

+

3 u�

=

4u� u�u�

+

3u� u�u�

=

19 15

=

4

= 1 15

3u�+4u� u�u�

Breuken vereenvoudig je door teller en noemer door hetzelfde te delen. Hier zie je nog een paar voorbeelden (ga ervan uit dat je nooit door 0 deelt):

19

•

2 u�

+

5 u�

=

•

2 u�

−

5 u�

= - u�

•

2 u�

−

5 u�

=

•

2 3u�

•

2 u�

3

2u� u�u�

−

5u� u�u�

=

+

15 3u� 2

5 u� 2

=

2u� 3u� 2

1 u�+3

=

2(u�+3) u�(u�+3)

+

−

7 u�

−

2u�−5u� u�u�

=

2u�+15 3u� 2

u� u�(u�+3)

=

u�+6 u�(u�+3)

19

20

20


20

OPGAVE 2.7

Schrijf als één breuk. a

2 u�

5 u�

b

-3 u�

c

1 u�

+

1 u�+1

d

2 u�

−

3 2u�+1

+

−

8 u� 2

Voorbeeld 4 Bij breuken vermenigvuldigen en delen geldt een aantal regels. u� u�

u� u�

=

u�⋅u� u�⋅u�

u� u� / u� u�

=

u�⋅u� u�⋅u� / u�⋅u� u�⋅u�

⋅

u�⋅u� u�⋅u�

=

u� u� u� u�

of

=

u� u� u� u�

⋅

u� u� u� u�

=

u� u�

⋅

u� u�

=

u�⋅u� u�⋅u�

Bij delen door een breuk kun je de tussenstappen overslaan. Je mag dus in één keer zeggen: u� u� / u� u�

u� u�

=

u�

⋅ u� .

Hier zie je een paar voorbeelden (ga ervan uit dat je nooit door 0 deelt):

OPGAVE 2.8

OPGAVE 2.9

20

•

2 u�

5 u�

=

10 u� 2

•

2 5 / u� u�

=

2 5

•

2 5 / u� u�

=

2u� 5u� / u�u� u�u�

•

2u� 3

5 u� 2

=

10u� 3u� 2

•

2u� 5 / 3 u� 2

=

2u� 3 15 / 3u� 2 3u� 2

⋅

⋅

=

=

2u� 5u�

of

2 5 / u� u�

=

2 u�

⋅

u� 5

=

2u� 5u�

10 3u�

=

2u� 3 15

=

2 3 15 𝑎

of

2u� 5 / 3 u� 2

=

2u� 3

⋅

u� 2 5

=

2u� 3 15

=

2 3 15 𝑎


2 7

b

2 1 / 7 3

c

2 u�

d

2 3 / u� u�

⋅

⋅

2 3

6 u�


1 u�

+

2 u�

b

2 u�

−

1 2u�

c

3 2u� / 5u� 5

d

2 u�

⋅

8 u�+1

20

21

21

HOOFDSTUK 1

OPGAVE 2.10

Werken met formules

21


1 u�+2

+

b

2 u�

−

1 u� 2 +u�

c

5 u�

⋅

4 u�

2 u�

+

3 u�

VERWERKEN ★

OPGAVE 2.11

Herleid. a 4 ⋅ 𝑥 + 10 = 3 ⋅ 𝑥 − 2 ⋅ 𝑦 b 2 ⋅ 𝑦 + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑥 + 4 ⋅ 𝑥 = 6 ⋅ 𝑥2 c 4 ⋅ 𝑥 ⋅ ℎ + 2 ⋅ 𝑥 2 = 100 d 𝑊 = 𝑝 ⋅ (650 − 2 ⋅ 𝑝) − 20 ⋅ (650 − 2 ⋅ 𝑝)

★

OPGAVE 2.12


3 u�

+

5 u�

b

3 u�−2

−

c

2 3 / u� u�

2 u�

d 2𝑥 −

1 2u�

2 u�

+

e

⋅

3 u�

5 u�

★

OPGAVE 2.13

Druk in de formules 𝑦 uit in 𝑥. Schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk. a 𝑥 − 2𝑦 = 10 b (𝑥 + 2) ⋅ 𝑦 = 6 c 𝑥 = 4 − 𝑦2 d 𝑥 ⋅ 𝑦2 = 4

★ ★

OPGAVE 2.14

Druk in de formules 𝑦 uit in 𝑥. Schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk. a 0, 5𝑥 + 1, 5𝑦 = 12 3 b (𝑥 + 𝑦) = 8 c 𝑥 2 − 𝑦 2 = 25 d 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 = 100

★ ★

OPGAVE 2.15

Werk de haakjes weg en herleid. a (𝑎 − 3)(𝑎 + 3) 2 b (6𝑥 − 3) c

1 2

(𝑎 − u� )

3 d (𝑥 − 2)

21

21

22

22


22

22

★ ★

OPGAVE 2.16

Ontbind in factoren. a 4𝑘 2 − 16 b 2𝑝 3 − 2𝑝 2 − 24𝑝 c 16 − 𝑝 2 d 𝑥 2 − 10𝑥 + 9

★ ★

OPGAVE 2.17

Een boer heeft een rechthoekig stuk land dat twee keer zo lang is als breed. Uit het oogpunt van landschapsbeheer haalt hij er aan beide lange zijden een strook van 3 meter breed af. Daar maakt hij een smalle boswal van. Verder maakt hij aan een van de korte zijden een bredere boswal van 10 meter. Zijn land wordt daarmee in totaal 2690 m2 kleiner. a Maak eerst een tekening van de situatie. Noem de oorspronkelijke breedte van het land 𝑥 (in meter). Hoe groot is de oppervlakte 𝐴 (in m2) voor de aanleg van de boswal, uitgedrukt in 𝑥? b Hoe groot is de oppervlakte van het land na de aanleg van de boswal? Geef deze oppervlakte als formule met haakjes. c Bereken door wegwerken van de haakjes hoe groot de breedte van het rechthoekige stuk land is.

★★★

OPGAVE 2.18

Bepaal alle oplossingen (𝑥, 𝑦) van de vergelijking 𝑥𝑦 = 11𝑥 + 4𝑦 + 97 waarbij 𝑥 en 𝑦 positieve gehele getallen zijn.

22

23

23

HOOFDSTUK 1

1.3

Werken met formules

23

Formules en de grafische rekenmachine In deze paragraaf leer je: • formules herleiden tot ze de juiste vorm hebben voor de grafische rekenmachine; • grafieken maken met de grafische rekenmachine; • het begrip functie; • formules combineren.

UITLEG De formule 𝑥 + 2𝑦 = 12 beschrijft een verband tussen 𝑥 en 𝑦. Je wilt bij deze formule met de grafische rekenmachine de bijpassende grafiek tekenen. Dan moet 𝑦 worden uitgedrukt in 𝑥. 𝑥 + 2𝑦 = 12 beide zijden −𝑥

2𝑦 = 12 − 𝑥 beide zijden /2

𝑦 = 6 − 0, 5𝑥

Je hebt de variabele 𝑦 geschreven als functie van 𝑥. Nu kun je de formule in de grafische rekenmachine invoeren. In het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR leer je de eerste beginselen van het werken met de grafische rekenmachine.

OPGAVE 3.1

23

Gegeven is de formule 4𝑥 + 2𝑦 = 10. a Herleid de formule tot 𝑦 een functie is van 𝑥. b Teken de grafiek bij de formule met de grafische rekenmachine.

23

24

24


24

OPGAVE 3.2

Druk in de formules 𝑦 uit in 𝑥. a 𝑥 − 𝑦 = 12 b 2𝑥 + 5𝑦 = 4 c 2(𝑥 + 𝑦) = 6 d 32𝑥 = 2𝑦 2

THEORIE Bij een formule die het verband tussen de variabelen 𝑥 en 𝑦 beschrijft, noem je 𝑦 een functie van 𝑥, wanneer deze formule de vorm 𝑦 = ... heeft. In de bijbehorende grafiek komt 𝑦 dan altijd op de verticale as. • In de formule 𝑦 = 𝑥 2 + 4 is 𝑦 een functie van 𝑥. • In de formule 𝑃 = 0, 052𝑣 3 is 𝑃 een functie van 𝑣. • De formule 𝑎 + 2𝑏 = 6 kun je op twee manieren schrijven: − 𝑎 = 6 − 2𝑏, met 𝑎 als functie van 𝑏; − 𝑏 = 3 − 0, 5𝑎, met 𝑏 als functie van 𝑎. Formules met twee variabelen van de vorm 𝑦 = ... kun je in de grafische rekenmachine invoeren. Hoe je dat doet, vind je in het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR. Hier zie je bijvoorbeeld de grafiek van de functie 𝑦 = 0, 052𝑥 3 . Het maken van de grafiek van een functie op de grafische rekenmachine wordt plotten genoemd.

Voorbeeld 1 Een kogel wordt omhoog geschoten. Voor de hoogte ℎ in meter na 𝑡 in seconden geldt de formule ℎ = - 6𝑡 2 + 48𝑡 + 0, 5. Plot de grafiek van ℎ en bepaal hoe hoog de kogel maximaal komt.

Antwoord Je voert in de grafische rekenmachine de formule in als Y1=-6X^2+48X+0.5. Welke vensterinstellingen zijn nu geschikt? Uit de gegevens volgt dat 𝑡 begint bij 𝑡 = 0, dus 𝑥 is minimaal 0. Verder weet je dat ℎ ≥ 0, dus 𝑦 is ook minimaal 0.

24

24

25

25

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

25

Vervolgens kijk je naar de tabel die de grafische rekenmachine van deze functie heeft gemaakt. Je bekijkt hoe lang de waarden van 𝑦 positief zijn. Dan zie je dat je voor 𝑥 maximaal 9 moet kiezen. De grootste waarde voor 𝑦 die je tegenkomt, ligt nog onder de 100, dus dat kies je als maximale waarde voor 𝑦. In de tabel zie je dat er bij 𝑡 = 4 een maximum is van ℎ = 96, 5. Dus de maximale hoogte van de kogel is 96, 5 m.

OPGAVE 3.3

Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur € 250,00, waarbij nog een bedrag van € 0,06 per kopie komt. Op school staat zo’n apparaat speciaal voor gebruik door leerlingen. Zij betalen € 0,10 per kopie. a Geef een formule voor de prijs per kopie (𝑃) als functie van het aantal kopieën (𝑎). b Maak de grafiek van 𝑃 op de grafische rekenmachine. Welke vensterinstellingen zijn geschikt? c Bij welke waarde van 𝑎 maakt de school winst?

Voorbeeld 2 Als je 360 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig veld met een oppervlakte van 0, 5 ha, dan geldt: 𝑙 ⋅ 𝑏 = 5000 en 2𝑙 + 2𝑏 = 360 Hierin is 𝑙 de lengte in meter en 𝑏 de breedte in meter van de rechthoek. Zoek nu waarden voor 𝑙 en 𝑏 die aan beide formules voldoen.

Antwoord Schrijf de formules als: 𝑙 =

5000 u�

en 𝑙 = 180 − 𝑏.

Voer ze in de grafische rekenmachine in als Y1=5000/X en Y2=180-X. Om een goede grafiek te krijgen, kies je verstandige grenzen van de waarden van 𝑥 (de breedte) en 𝑦 (de lengte).

Je ziet dat de grafieken twee snijpunten hebben. Om die snijpunten gaat het. Je kunt ze bepalen door een tabel te maken met de grafische rekenmachine.

25

25

26

26


26

OPGAVE 3.4

Bekijk het voorbeeld. Bepaal met de grafische rekenmachine de twee snijpunten uit het voorbeeld op gehele getallen nauwkeurig. Welke waarden voor 𝑙 en 𝑏 voldoen aan beide formules?

OPGAVE 3.5

Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de grafieken 𝑥 +𝑦 = 9 en 𝑦 = 𝑥 3 op één decimaal nauwkeurig.

Voorbeeld 3 Gegeven is de formule 𝐾 = 4𝑎 + 8𝑏 − 12 en de formule 𝑏 = 2𝑎 − 3. Combineer de twee formules en druk 𝐾 uit in 𝑎. Plot daarna de grafiek bij de formule.

Antwoord Als je de tweede formule in de eerste formule voegt, dan krijg je 𝐾 = 4𝑎 + 8(2𝑎 − 3) − 12 = 4𝑎 + 16𝑎 − 24 − 12 = 20𝑎 − 36. Nu heb je 𝐾 uitgedrukt in 𝑎 en bij deze formule kun je een grafiek tekenen.

OPGAVE 3.6

a Gegeven zijn de formules 𝑅 = 2𝑝 + 3𝑞 + 20 en 𝑞 = 2𝑝 − 3. Druk 𝑅 uit in 𝑝. b Gegeven zijn de formules 𝐾 = - 2𝑡 − 5𝑣 + 22 en 𝑡 = - 𝑣 − 3. Druk 𝐾 uit in 𝑣. c Gegeven zijn de formules 2𝑧 = 3𝑥 − 4𝑦 en 𝑧 = 2𝑥 + 1. Deze twee formules kun je combineren tot de vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Welke getallen zijn 𝑎 en 𝑏? d Gegeven is de formule 𝑍 =

12u�+18 3u� .

Neem 𝑍 = 2 en druk 𝑦 uit in 𝑥.

Voorbeeld 4 Een boer wil een rechthoekig stuk land van 200 m2 omheinen. De kosten voor de omheining moeten zo laag mogelijk worden. Hij moet de lengte en de breedte dus zo kiezen dat de omtrek zo klein mogelijk wordt. Hoeveel meter omheining is in dit geval nodig?

Antwoord Er gelden voor zo’n rechthoek twee formules: 𝐴 = 𝑙 ⋅ 𝑏 en 𝑃 = 2𝑙 + 2𝑏 als 𝑙 de lengte (in meter), 𝑏 de breedte (in meter), 𝐴 de oppervlakte en 𝑃 de omtrek is. Omdat 𝐴 = 200, geldt: 𝑙 ⋅ 𝑏 = 200 en dus 𝑙 =

200 u� .

Die uitdrukking kun je invullen in de formule voor de omtrek: 𝑃 =

400 u�

+ 2𝑏.

Deze formule geeft een verband tussen 𝑃 en 𝑏 waarmee je een grafiek kunt maken. Je voert dan de formule in de grafische rekenmachine in en je kiest verstandige waarden voor de instelling van het grafiekenvenster. Aan de grafiek kun je zien dat er een waarde van 𝑙 is, waarbij de omtrek zo klein mogelijk

26

26

27

27

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

27

is. Die waarde is ongeveer 14, 1 meter en de bijbehorende breedte is hetzelfde. Kennelijk is een vierkant landje het gunstigst.

OPGAVE 3.7

Bekijk het voorbeeld. Boer Voortman zet voor zijn paard een weilandje af. Hij heeft daarvoor nog 200 meter gaas. Het weiland wordt zuiver rechthoekig. Omdat het weiland tegen een brede rivier aan komt te liggen, hoeft hij alleen bij de twee breedtes en de lengte een hek te plaatsen. a Druk de lengte 𝑙 van het weiland uit in de breedte 𝑏. b Druk de oppervlakte 𝐴 van het weiland uit in 𝑏. c Breng met de grafische rekenmachine de grafiek bij de formule die je in b hebt gevonden in beeld. Bedenk van tevoren de beste vensterinstellingen. d Voor welke waarden van 𝑏 is de oppervlakte van het weiland zo groot mogelijk?

OPGAVE 3.8

Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: 𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ ℎ. Hierin is 𝑉 de inhoud (het volume) in cm3, 𝑟 de straal in centimeters en ℎ de hoogte in centimeters. a Neem een blikje waarvoor ℎ = 10 cm. Nu is 𝑉 een functie van 𝑟. Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat je bij 𝑉 = 1000 nog kunt aflezen hoe groot 𝑟 is. Bepaal de waarde van 𝑟 op twee decimalen nauwkeurig. b Voor een blikje waarvan de diameter en de hoogte gelijk zijn, geldt: ℎ = 2𝑟. Schrijf een formule op voor 𝑉 als functie van 𝑟. Bepaal nu de waarde van 𝑟 van zo’n blikje als de inhoud 0, 5 liter is. c Voor een blikje waarvan de inhoud 1 liter is, kun je een formule opstellen voor ℎ afhankelijk van 𝑟. Breng de bijbehorende grafiek in beeld en bepaal de waarde van ℎ waarvoor 𝑟 = 5.

VERWERKEN ★

OPGAVE 3.9

Breng van de formules de grafieken in beeld op de grafische rekenmachine. Denk om het gebruik van haakjes en de instellingen van het venster. a 𝑠 = 250𝑡 − 4, 9𝑡 2 b 𝑘 = 0, 04 + c

met 𝑎 > 0

𝑦 = 3 + √𝑥 − 2

d 𝑁=

27

200 u� ,

60 30+0,5u� 2

27

28

28


28

★

OPGAVE 3.10

Gegeven zijn de formules 𝑟 = 𝑠 − 3 en 𝑡 = - 𝑠 2 + 3𝑟. a Druk 𝑡 uit in 𝑠. b Bepaal met behulp van de grafische rekenmachine voor welke waarde van 𝑠, 𝑡 zo groot mogelijk is.

★ ★

OPGAVE 3.11

Gegeven is de formule 4𝑥𝑦 + 2𝑥 2 = 100. Herleid de formule eerst naar de vorm 𝑦 = ... en plot daarna de grafiek.

★ ★

OPGAVE 3.12

Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur € 200,00 waarbij nog een bedrag van 4 eurocent per kopie komt. 𝐾 stelt de totale kosten voor en 𝑎 is het aantal kopieën dat er maandelijks (gemiddeld) wordt gemaakt. a Schrijf de formule op voor 𝐾 als functie van 𝑎. b Iemand die een kopie maakt, betaalt 10 eurocent per kopie. Schrijf de formule op voor de inkomsten 𝐼 als functie van 𝑎. c Hoeveel kopieën moeten er per maand worden gemaakt als 10 eurocent per kopie kostendekkend is?

★ ★

OPGAVE 3.13

Voor de inhoud van een rechte kegel geldt: 𝑉 = 3 𝐺ℎ, waarin 𝐺 de oppervlakte

1

van het grondvlak en ℎ de hoogte is. Dit grondvlak is een cirkel met straal 𝑟. a Welke formule beschrijft het verband tussen 𝑉, 𝑟 en ℎ? Voor een kegel met een inhoud van 1 liter kun je uit de formules een verband afleiden tussen 𝑟 en ℎ. b Geef dat verband in een formule weer zo, dat 𝑟 een functie is van ℎ en dat 𝑟 en ℎ in cm zijn. c Bepaal nu de waarde van ℎ waarvoor geldt: 𝑟 = 10 cm. Benader het antwoord op twee decimalen nauwkeurig. d Bepaal de waarde van 𝑟 waarvoor geldt: ℎ = 10 cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

★ ★

OPGAVE 3.14 totale oppervlakte 1 vierkante meter

10 cm

10 cm

10 cm

Stel je voor dat een bedrijf affiches wil maken. Om op te vallen moet de oppervlakte van zo’n affiche 1 m2 worden. Het affiche wordt zo bedrukt, dat er aan de beide zijkanten en de bovenkant een witte strook van 10 cm overblijft. Aan de onderkant is die strook 15 cm. De bedrijfsleiding vraagt zich af welke afmetingen het affiche nu nog kan hebben. Men komt daarbij op de formule: (𝑙 + 25)(𝑏 + 20) = 10 000. a Laat zien hoe men aan deze formule komt en wat 𝑙 en 𝑏 betekenen. b Breng de grafiek bij deze formule in beeld. c Bij nader inzien wil de bedrijfsleiding dat het bedrukte deel een vierkant wordt. Welke maat voor de affiches adviseer je nu?

15 cm

28

28

29

29

HOOFDSTUK 1

★★★

OPGAVE 3.15

Werken met formules

29

In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier ingepakt. De hoogte van de doos is ℎ, de breedte 𝑏 en de lengte 𝑙. Alle maten zijn in centimeters. Er geldt ℎ ≤ 𝑏 ≤ 𝑙. Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen. Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan komen aan de bovenkant van de doos. De lengte van het papier in centimeters is dus 2𝑙 + 2ℎ. Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier precies tegen elkaar aan komen. De breedte van het papier in centimeters is dus 𝑏 + ℎ. De oppervlakte van het papier in cm2 is 𝑂. a Maak een schets van de strook papier met de vouwlijnen. Arceer het grondvlak en noteer de maten 𝑏, 𝑙 en ℎ in de tekening. b Druk 𝑂 uit in 𝑏, 𝑙 en ℎ. Werk de haakjes weg. Iemand vraagt zich af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige doos is als je deze op de beschreven manier in een stuk cadeaupapier van 120 cm bij 50 cm zou verpakken. Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt: 2𝑙 + 2ℎ = 120 en 𝑏 + ℎ = 50. Met behulp van de gegevens is de inhoud 𝐼 in cm3 uit te drukken in de breedte 𝑏. Er geldt: 𝐼 = 𝑏(𝑏 + 10)(50 − 𝑏). c Toon dit aan. Er is een waarde van 𝑏 waarvoor 𝐼 maximaal is. d Bepaal de maximale inhoud van een balkvormige doos die met dit stuk papier ingepakt kan worden. Geef je antwoord in cm3 nauwkeurig. naar: examen 2013 - II

29

29

30

30


30

1.4

Vergelijkingen In deze paragraaf leer je: • systematisch vergelijkingen met één variabele oplossen met al bekende oplossingsmethoden; • vergelijkingen oplossen met behulp van de grafische rekenmachine.

UITLEG 1

De formule 2 (𝑥 + 8) = - 7 + 𝑥 is een voorbeeld van een vergelijking. Bij deze vergelijking kun je een getal voor 𝑥 zoeken dat de vergelijking waar maakt: aan beide zijden van het isgelijkteken komt er hetzelfde uit. Dat kun je doen met de balansmethode. Je kunt bijvoorbeeld zo te werk gaan: 1 (𝑥 2

+ 8) = - 7 + 𝑥 haakjes wegwerken

1 2𝑥

+ 4 = -7 + 𝑥 beide zijden −4 1 2𝑥

= - 11 + 𝑥 beide zijden −𝑥

-

1 2𝑥

= - 11 beide zijden × - 2

𝑥 = 22

Je kunt dit antwoord nog controleren door aan beide zijden van de gegeven vergelijking voor 𝑥 het getal 22 in te vullen. OPGAVE 4.1

In de uitleg worden eerst de haakjes weggewerkt. Je kunt ook eerst links en rechts met 2 vermenigvuldigen. Los de vergelijking op deze manier op en controleer of je hetzelfde antwoord krijgt.

OPGAVE 4.2

Los de vergelijkingen op met de balansmethode. Rond indien nodig af op twee decimalen. a 3𝑡 − 400 = 700 b 3𝑡 − 400 = 700 − 2𝑡 c 2300 − 0, 15 ⋅ 𝑝 = 1559 + 0, 42 ⋅ 𝑝 d

30

u�−3 4

1

= 5 (10 − 2𝑥)

30

31

31

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

31

THEORIE Formules zoals 𝑦 = 2𝑥 + 3 en 𝑎 + 4𝑏 − 𝑐 = 15 en 6𝑥 + 10 = 2𝑥 − 8 noem je vergelijkingen. Je kunt dan waarden (of combinaties van waarden) zoeken die de vergelijking kloppend maken. Dat heet het oplossen van een vergelijking. Vergelijkingen kun je systematisch oplossen door herschrijven. Vooral bij vergelijkingen met één variabele doe je dat vaak. Je gebruikt dan algebraïsche methoden, zoals: • de balansmethode, waarbij je aan beide zijden van het ‘isgelijkteken’: − hetzelfde optelt of aftrekt; − met hetzelfde vermenigvuldigt of door hetzelfde deelt (maar niet 0). • de terugrekenmethode, waarbij je bewerkingen ongedaan maakt door het tegenovergestelde te doen: − optellen maak je ongedaan door aftrekken (en omgekeerd); − vermenigvuldigen maak je ongedaan door delen (en omgekeerd); − machten maak je ongedaan door worteltrekken (en omgekeerd). • ontbinden in factoren, waarbij je gebruikmaakt van het feit dat een vergelijking van de vorm 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0 gelijkwaardig is met 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0. Je kunt niet altijd een vergelijking via algebraïsche methoden oplossen. Dan kun je nog denken aan inklemmen: je zoekt de oplossing door verschillende waarden te proberen op een steeds kleiner zoekgebied. De grafische rekenmachine heeft daar diverse routines voor ingebouwd, zie het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR. Als er staat: bereken algebraïsch of los algebraïsch op, dan moet je de opdracht stap voor stap met behulp van algebra oplossen. Inklemmen is dan bijvoorbeeld niet toegestaan. Als er staat: bereken exact of los exact op, dan moet je de opdracht ook stap voor stap oplossen en mag je niet afronden.

Voorbeeld 1 2

In de vergelijking 2(𝑥 − 4) = 32 komt de onbekende 𝑥 maar op één plek voor. Je kunt hem oplossen met terugrekenen.

Antwoord Je zoekt eerst uit hoe je heen rekent vanuit 𝑥:

31

31

32

32


32

Vervolgens ga je terugrekenen:

Je vindt: 𝑥 = ±√

32 2

+ 4 en dus 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 8. Controleer door in te vullen.

OPGAVE 4.3

a Los de vergelijking 2 ⋅ √𝑥 + 3 = 4 op door terugrekenen. b Probeer de vergelijking 3 ⋅ √𝑥 + 2 + 5 = 2 op te lossen met terugrekenen. c Waarom is het bij wortelvergelijkingen extra belangrijk om je antwoord te controleren?

OPGAVE 4.4

Los de vergelijkingen op door terugrekenen. a 5𝑡 − 20 = 100 2 b (3 ⋅ 𝑡 − 20) = 1600 3 c 3 ⋅ 𝑝 = 81 d 3 ⋅ √2𝑥 − 4 = 9 e √𝑥 − 8 − 2 = - 3

Voorbeeld 2 Los de vergelijkingen algebraïsch op: • 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 • 𝑥 3 = 4𝑥

Antwoord De eerste vergelijking kun je met de productsommethode oplossen. Je zoekt twee getallen waarvan het product +6 is en de som - 5. In de tabel zie je dat de getallen - 2 en - 3 voldoen.

De eerste vergelijking gaat zo: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 𝑥 − 2 = 0∨𝑥−3 𝑥 = 2∨𝑥 =3

32

32

33

33

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

33

De tweede vergelijking gaat zo: 𝑥 3 = 4𝑥 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 𝑥 = 0 ∨ 𝑥2 − 4 = 0 𝑥 = 0 ∨ 𝑥2 = 4 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = -2 ∨ 𝑥 = 2

OPGAVE 4.5

Los de vergelijkingen op door te ontbinden in factoren. a 0, 5𝑥 2 = 4𝑥 b 𝑘 2 + 5𝑘 − 6 = 0 c 8𝑝 − 𝑝 2 = 0 d 𝑥(𝑥 − 2) = 3𝑥 − 6 e 𝑥 2 = 𝑥 + 12 f 𝑥 3 = 9𝑥

Voorbeeld 3 Niet alle vergelijkingen kun je met de balansmethode, door terugrekenen of ontbinden in factoren systematisch oplossen. De oplossing vinden door inklemmen werkt daarentegen altijd wel. Je moet dan van tevoren een idee hebben van het gebied waarin de oplossing is te vinden. De vergelijking 𝑥 + 𝑥 2 = 10 kun je bijvoorbeeld oplossen met inklemmen.

Antwoord Eerst maak je de grafieken van Y1=X+X^2 en Y2=10 op de grafische rekenmachine. Breng ze zo in beeld dat alle snijpunten zichtbaar zijn. De grafieken snijden elkaar tweemaal. De vergelijking heeft twee oplossingen.

Voor de positieve oplossing moet je zoeken tussen 2 en 3. Stel de tabel in op stappen (voor 𝑥) van 0, 1. Je ziet dat je verder moet zoeken tussen 2, 7 en 2, 8. Het zoekgebied wordt kleiner, je klemt de oplossing in. Stel een stapgrootte van 0, 01 in en zoek tussen 2, 70 en 2, 80. Nu zie je dat de oplossing tussen 2, 70 en 2, 71 ligt, het dichtst bij 2, 70. Zo vind je op twee

33

33

34

34


34

decimalen nauwkeurig: 𝑥 ≈ 2, 70. Als een nauwkeuriger oplossing wordt verlangd, moet je nog doorzoeken tussen 2, 700 en 2, 710. Op dezelfde manier bepaal je de andere oplossing. Op twee decimalen nauwkeurig is de volledige oplossing: 𝑥 ≈ 2, 70 ∨ 𝑥 ≈ - 3, 70. OPGAVE 4.6

Los de vergelijkingen op met de inklemmethode. Geef je oplossingen in drie decimalen nauwkeurig. a 𝑥3 = 4 − 𝑥 b

OPGAVE 4.7

600 u�

= 18 + 0, 04𝑎

Los de vergelijkingen op met de grafische rekenmachine. Geef waar nodig benaderingen op twee decimalen nauwkeurig. a 𝑥 3 + 2𝑥 = 16 b 𝑥 + √𝑥 = 10 10 u�

c

𝑙+

d

300 u�+4

= 10

= 20

Voorbeeld 4 Los de vergelijking

1 u�

2

+ u�+3 = 1 zowel algebraïsch als met de grafische reken-

machine op.

Antwoord De oplossing met de grafische rekenmachine is betrekkelijk eenvoudig: • Voer in: Y1=1/X+2/(X+3) en Y2=1. • Bekijk de grafieken. • Je kunt de twee x-waarden waar Y1 en Y2 gelijk zijn met de grafische rekenmachine vinden, maar exacte waarden krijg je niet. Voor een algebraïsche oplossing tel je bijvoorbeeld eerst de breuken bij elkaar op: 1 u�

+

2 u�+3

=

u�+3 u�(u�+3)

+

2u� u�(u�+3)

=

3u�+3 u�(u�+3)

Let op dat zowel 𝑥 ≠ 0 als 𝑥 + 3 ≠ 0 moet zijn omdat je niet door 0 mag delen! De vergelijking wordt

3u�+3 u�(u�+3)

=1

3u�+3 u�(u�+3)

=

3u�+3 u�(u�+3)

= 1. Maak de noemers gelijknamig:

u�(u�+3) u�(u�+3)

Je krijgt dan 3𝑥 + 3 = 𝑥(𝑥 + 3).

34

34

35

35

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

35

Haakjes wegwerken en herleiden geeft 𝑥 2 = 3 en dus 𝑥 = √3 ∨ 𝑥 = - √3. Je ziet hoe nuttig algebraïsche methoden zijn: je vindt meteen de exacte oplossingen, terwijl je je anders moet behelpen met benaderingen, die niet altijd makkelijk te vinden zijn. OPGAVE 4.8

Los de vergelijkingen zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine op. a

1 u�+3

b

20 u� 2 +5

c

10 u�

+

1 u�

=

1 2

=2

+1=

5 u�

VERWERKEN ★

OPGAVE 4.9

Los de vergelijkingen algebraïsch op. Rond waar nodig af op twee decimalen. a 2𝑥 − 3(𝑥 + 4) = 5𝑥 − 18 b √𝑥 + 4 = 20 3 c (2𝑥 − 5) = 125 d √𝑎 2 + 4 − 20 = 0 e 2𝑥 2 − 2 = 12𝑥 + 30 f (1 − 2𝑥)(𝑥 + 3) = (4𝑥 + 13)(𝑥 + 3)

★

35

OPGAVE 4.10

Los de vergelijkingen algebraïsch op. a

12 u�

b

2 u�+1

c

3u�−9 u� 3 +2u�+1

= 400 −

3 u�

=

1 10

=0

★

OPGAVE 4.11

Los de vergelijkingen op door inklemmen met behulp van de grafische rekenmachine. Zoek alle oplossingen. a √𝑥 = 6 − 𝑥 b 𝑥4 = 2 + 𝑥

★ ★

OPGAVE 4.12

Stel je voor dat iemand van een hoog gebouw een steentje laat vallen. Hij staat 381 m boven de grond. Onder invloed van de zwaartekracht valt een steen eenparig versneld (de luchtweerstand laat je buiten beschouwing). Natuurkundigen hebben daarvoor een rekenmodel bedacht. Daarin hangen de afgelegde weg 𝑠 (in meter) en de snelheid 𝑣 (in meter per seconde) af van de tijd 𝑡 (in seconden) volgens de formules 𝑠 = 4, 9𝑡 2 en 𝑣 = 9, 8𝑡. a Geef een formule voor de hoogte ℎ van het steentje boven de grond als functie van 𝑡. b Bereken het tijdstip waarop het steentje op de grond komt op één decimaal nauwkeurig. c Bereken de snelheid waarmee het steentje op de grond komt. Geef je antwoord in km/h.

35

36

36


36

★ ★

OPGAVE 4.13

Bereken bij de formules de waarde van de ene variabele als de andere 0 is. a 2𝑝 − 3𝑞 = 650 b 𝑊 = - 0, 25𝑞(0, 5𝑞 − 100) 2 c 𝑘 2 + (𝑙 + 2) = 100 d 𝑎=

1200 600+0,2u� 2

−1

e (𝑥 2 − 4)(𝑦 2 − 9) = - 36 f

4 1+u� 2

2 u�+1

1 u�

★ ★

OPGAVE 4.14

Los de vergelijking algebraïsch op:

★ ★

OPGAVE 4.15

Een boer wordt door de gemeente gevraagd om een stuk land te voorzien van een boswal van 4 meter breed. Het stuk land is zuiver vierkant. Het grenst aan één kant al aan het bos, zodat er maar aan drie kanten een strook af hoeft voor de boswal. ‘Ik houd zo maar de helft van mijn land over,’ verzucht de boer. Als dat waar is, hoe groot is dan de oppervlakte van het land dat de boer overhoudt? Los dit probleem op met behulp van een vergelijking.

★ ★

OPGAVE 4.16

Sommige kaarsen zijn bijna zuiver cilindervormig. Stel je voor dat je zo’n kaars wilt maken met een lengte van 20 cm. Je neemt een lont met een diameter van 3 mm en dompelt die een aantal keer in een bad met vloeibaar kaarsvet. Bij elke onderdompeling wordt de diameter van de kaars 1 mm groter. De hoeveelheid kaarsvet 𝑉 (in mm3) in de kaars hangt af van het aantal onderdompelingen 𝑎. a Geef een formule voor 𝑉 als functie van 𝑎. b Breng de grafiek van deze functie met de grafische rekenmachine in beeld. c Na hoeveel onderdompelingen is de hoeveelheid kaarsvet in de kaars ongeveer 106 cm3? Lees je antwoord eerst uit de grafiek af en bereken het daarna door de bijbehorende vergelijking algebraïsch op te lossen.

★★★

OPGAVE 4.17

Bepaal alle paren van positieve gehele getallen 𝑥 en 𝑦 die een oplossing zijn van de vergelijking: 2 u�

36

𝑦4 + 1 =

+

3 u�

+

= 0.

= 1.

36

37

37

HOOFDSTUK 1

Werken met formules

37

Voorbeeld eindtoets OPGAVE V1

Los de vergelijking 𝑥 2 + √2𝑥 = 20 op met behulp van de grafische rekenmachine. Rond af op drie decimalen nauwkeurig.

OPGAVE V2

Los de vergelijkingen algebraïsch op. Rond indien nodig af op twee decimalen nauwkeurig. a 610 + 0, 2𝑞 = 55 − 0, 3𝑞 b 2 − 8(𝑥 − 2) = 4 + 3(4 − 𝑥) c 4 ⋅ 𝑡 3 = 16 2 d - 0, 15 ⋅ (𝑥 + 25) + 15 = 0

OPGAVE V3

Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte ℎ van de vuurpijl hangt af van de tijd 𝑡 dat deze onderweg is. Er geldt: ℎ = 100 + 40𝑡 − 5𝑡 2 . Hierin is ℎ in meter en 𝑡 in seconden gemeten. a Breng de grafiek van ℎ in beeld op de grafische rekenmachine. b Op welke hoogte boven de begane grond werd de vuurpijl afgeschoten? c Na hoeveel seconden was de vuurpijl weer op diezelfde hoogte? d Na hoeveel seconden was de vuurpijl op het hoogste punt in zijn baan? Hoeveel meter boven de begane grond was hij op dat moment? e Na hoeveel seconden kwam de vuurpijl op de grond terecht? f Kun je met deze gegevens de baan van de vuurpijl in beeld brengen? Licht je antwoord toe.

OPGAVE V4

Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem. Voor een doosje gebruikt hij 800 cm2 karton. Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft. a De hoogte van zo’n doosje wordt aangegeven met ℎ en de zijde van het grondvlak met 𝑥, beide in cm. Laat zien dat het verband tussen ℎ en 𝑥 beschreven wordt door de formule: 4𝑥ℎ + 2𝑥 2 = 800. b De verpakkingsmachine laat een maximale hoogte van 12 cm toe. Bepaal de waarde van 𝑥 bij ℎ = 12. Geef de benadering in mm nauwkeurig. c Herleid de formule 4𝑥ℎ + 2𝑥 2 = 800 tot ℎ een functie is van 𝑥 en bereken welke ℎ bij 𝑥 = 8 hoort.

OPGAVE V5

Men gaat er vaak vanuit dat de geluidssnelheid in lucht 340 meter per seconde is. Dat is niet helemaal waar. In werkelijkheid hangt de snelheid van het geluid af van de temperatuur. Bij windstil weer wordt het verband bij benadering weergegeven door de volgende formule:

𝑉 = 331√1 +

u� 273

Hierbij is 𝑉 de snelheid van het geluid in meter per seconde bij een temperatuur van 𝑇 graden Celsius.

37

37

38

38

38


In de twintigste eeuw varieerde de temperatuur in Nederland van - 27, 4 °C tot 38, 6 °C. De laagste temperatuur van - 27, 4 °C werd op 27 januari 1942 in Winterswijk gemeten. De hoogste temperatuur van 38, 6 °C werd op 23 augustus 1944 in Warnsveld bereikt. Neem aan dat de temperaturen gemeten zijn bij windstil weer. a Bereken het verschil van de geluidssnelheden bij deze twee temperaturen. Ga bij de volgende vragen steeds van een temperatuur van 15 °C op 0 km hoogte uit. In de atmosfeer neemt de temperatuur tot op 10 km hoogte lineair af tot - 50 °C volgens de formule 𝑇 = 15 − 6, 5ℎ. Hierbij is ℎ de hoogte in kilometer. Als deze gecombineerd wordt met de formule 𝑉 = 331√1 +

u� 273

kan worden

afgeleid dat voor het verband tussen 𝑉 en ℎ bij benadering de volgende formule geldt: 𝑉 = 331√1, 0549 − 0, 0238ℎ b Leid deze formule af. Een grote afstand, zoals bijvoorbeeld Amsterdam - Toronto, moet met een passagiersvliegtuig snel afgelegd kunnen worden. Dat kan alleen als het vliegtuig hoog vliegt omdat dan de luchtweerstand klein is. Voor passagiersvliegtuigen zoals de Boeing 747 mag de snelheid echter hoogstens 90% van de geluidssnelheid zijn. c Een Boeing 747 wil een snelheid maken van 975 km per uur (270,8 m/s). Bereken tot op welke hoogte dit vliegtuig kan vliegen. Geef het antwoord in kilometers afgerond op één decimaal. bron: examen 2004 - I

38

38

39

39


39

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +4+ Samengestelde ++++++++++++++++++++++ Instaptoets ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +functies ++++++++++++++++ Het+begrip functie + + + + 1+ + +++ + + + + + + + + + + + + + + +5+ Transformaties ++++++++++++++++++++++ Domein en + bereik + + + + 2+ + +++ + + + + + + + + + + + + + + +Voorbeeld + + + +eindtoets +++++++++++++++++++ + + + + 3+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++ Karakteristieken ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2

39


39

40

40


40

Fahrenheit CONTEXT

1

Meter, graden Celsius en newton zijn eenheden. Misschien ken je ze uit de natuurkunde, scheikunde of de biologie. En natuurlijk uit het dagelijks leven. Wat is bijvoorbeeld de afstand van jouw huis naar school? Die vraag kun je niet beantwoorden met alleen een getal, je gebruikt ook een eenheid om je antwoord duidelijk te maken.

bijvoorbeeld de omrekenfunctie van Fahrenheit naar Celsius. Fahrenheit is de eenheid van temperatuur in het imperiaal stelsel. Je kent de graden Celsius (°C). De omrekenfunctie van 𝑇F (temperatuur in graden Fahrenheit) naar u� −32 𝑇C (temperatuur in graden Celsius) is: 𝑇C = F1,8

In Nederland gebruiken we de eenheden van het Internationale Stelsel van Eenheden, kortweg de S.I.-eenheden. Dit systeem is de wettelijke standaard van de Europese Unie en wordt over bijna de hele wereld gebruikt. Vroeger had elk land zijn eigen eenhedenstelsel. Daar zijn nu nog sporen van terug te vinden.

OPGAVE

De laagst mogelijke temperatuur is - 273, 16 °C en een hoogste temperatuur bestaat (theoretisch) niet. Welke temperatuur in graden Fahrenheit hoort daar bij?

In de Verenigde Staten wordt nog veel het imperiaal stelsel gebruikt. Hierbij horen bijvoorbeeld de yard in plaats van onze meter en de pound in plaats van de ons bekende kilogram. En dat betekent dat er moet worden omgerekend. Dit houdt in de meeste gevallen slechts een vermenigvuldiging in. De omrekenfunctie van 𝑦 (in yard) naar 𝑚 (in meter) is bijvoorbeeld: 𝑚 = 0, 9144 ⋅ 𝑦 Er zijn ook eenheden met uitgebreidere omrekenfuncties,

40

40

41

41

HOOFDSTUK 2

CONTEXT


41

2

Break-even In het bedrijfsleven is een belangrijke en simpele regel: je doet het goed wanneer je meer inkomsten hebt dan dat er kosten zijn. Elk bedrijf heeft maandelijkse kosten zoals water, gas, elektriciteit, het inkopen van het product, et cetera. Om deze kosten te kunnen betalen, moet de ondernemer dus genoeg van zijn producten verkopen. Als voorbeeld nemen we een fietsenwinkel. De fietsenhandelaar heeft maandelijkse kosten, die betaald moeten worden. Om de kosten te kunnen betalen, moet de fietsenhandelaar fietsen verkopen. Het aantal fietsen dat hij moet verkopen om deze kosten te dekken noemen we 𝑥. Dus als hij 𝑥 fietsen verkoopt, zijn omzet en maandelijkse kosten gelijk: het break-even punt. Als er minder dan 𝑥 fietsen worden verkocht, lijdt de handelaar verlies. Dan zit hij onder het break-even punt. Indien meer fietsen worden verkocht, maakt de handelaar winst en zit hij boven het break-even punt.

OPGAVE

De plaatselijke fietsenhandelaar is per maand € 8000,00 kwijt aan vaste lasten. Hierbij kun je denken aan de kosten voor de huur van het gebouw, de kosten voor elektriciteit en water en de loonkosten voor het personeel. Naast deze kosten maakt de fietsenhandelaar ook nog kosten per verkochte fiets: hij koopt deze fietsen in voor € 150,00 per stuk. Deze fietsen worden voor € 250,00 per stuk verkocht. Voor de fietsenhandelaar is het van belang om winst te maken. Hiervoor kijkt hij allereerst naar het break-even punt. De formule voor de omzet wordt gegeven door 𝑓(𝑥) = 250𝑥 en de formule voor de kosten wordt gegeven door 𝑔(𝑥) = 8000 + 150𝑥. Bereken algebraïsch of de fietsenhandelaar bij verkoop van 120 fietsen boven of onder het break-even punt zit.

Voor ondernemers is het belangrijk om ervan op de hoogte te zijn waar het break-even punt ligt, want dan weten zij hoeveel producten ze in een maand moeten verkopen om hun maandelijkse kosten te kunnen betalen.

41

41

42

42


42

2.1

Het begrip functie In deze paragraaf leer je: • wat een functie en een functievoorschrift zijn; • grafieken van functies tekenen/plotten; • nulpunten berekenen van functies; • snijpunten van grafieken met behulp van de grafische rekenmachine berekenen.

UITLEG De inhoud 𝐼 van een piramide kun je uitrekenen met de formule: 1 3

⋅ oppervlakte grondvlak ⋅ hoogte

Stel dat je een piramide hebt die precies in een kubus past en dat de ribben van de kubus een lengte hebben van 𝑥 (zie de figuur). De oppervlakte van het grondvlak van de piramide is nu 𝑥 2 en de hoogte 𝑥. Hierbij kun je de volgende formule voor de inhoud van de piramide opstellen: 1

𝐼 = 3𝑥3 Om duidelijk te maken dat 𝐼 afhangt van 𝑥 schrijf je: 𝐼(𝑥) =

1 3 3𝑥 .

Dit heet

een functievoorschrift en 𝐼 is een functie van 𝑥. Bij elke waarde van 𝑥 hoort precies één uitkomst. Bijvoorbeeld bij 𝑥 = 9 hoort 𝐼 = 243. Dit schrijf je korter als 𝐼(9) = 243. En in plaats van uitkomst noem je 243 een functiewaarde. Met de grafische rekenmachine kun je bij de functie met voorschrift 𝐼(𝑥) =

1 3 3𝑥

een tabel en een grafiek maken. Je voert de formule dan op de

grafische rekenmachine in als Y1=1/3*X^3. Daarna stel je de afmetingen van het venster in en maak je de grafiek. Bekijk eventueel nog eens het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR.

42

42

43

43

HOOFDSTUK 2


43

Er zijn ook verbanden die geen functie zijn. Neem het verband 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100. Kies als invoerwaarde 𝑥 = 0. Je krijg dan de vergelijking 𝑦 2 = 100. De oplossing van de vergelijking is 𝑦 = 10 ∨ 𝑦 = - 10. Voor de waarde van 𝑥 = 0 vind je in dit geval meerdere waarden van 𝑦 en daarom is 𝑦 geen functie van 𝑥.

OPGAVE 1.1

1

In de uitleg zie je de formule 𝐼 = 3 𝑥 3 . a Bereken 𝐼(6) betekent: A Bereken de functiewaarde bij invoerwaarde 𝑥 = 6. B Bereken de invoerwaarde bij functiewaarde 𝑥 = 6. C Bereken de functiewaarde als 𝐼 = 6. D Bereken de invoerwaarde als 𝐼 = 6. b Bereken 𝐼(6). c Breng het deel van de grafiek van 𝐼 in beeld op de grafische rekenmachine, waarbij 2 ≤ 𝑥 ≤ 10. Welke waarden voor 𝐼 horen daarbij? d Voor welke waarde van 𝑥 geldt: 𝐼(𝑥) = 200? Licht je antwoord toe.

OPGAVE 1.2

In de uitleg zie je dat het verband 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100 geen functie is. Een getallenvoorbeeld maakt dit duidelijk. a Geef nog een voorbeeld waaruit blijkt dat de formule 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100 geen functievoorschrift is. b Schrijf deze formule in de vorm 𝑦 = ... c Door welke twee functievoorschriften 𝑦1 en 𝑦2 kun je de formule vervangen? d Breng de grafieken van deze twee functies in beeld. Welke vensterinstellingen gebruik je? e Bereken exact 𝑦1 (5) en 𝑦2 (5).

THEORIE Bij een formule zoals 𝑦 = - 𝑥 3 + 4𝑥 vind je bij elke mogelijke waarde van 𝑥 precies één waarde van 𝑦. In dat geval is 𝑦 een functie van 𝑥 met functievoorschrift 𝑦(𝑥) = - 𝑥 3 + 4𝑥. Bij een functie kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. De invoerwaarden komen op de horizontale as, de 𝑥-as. De uitkomsten heten functiewaarden. De functiewaarde bij 𝑥 = 1 is bijvoorbeeld 𝑦(1) = - 13 + 4 ⋅ 1 = 3. Functiewaarden komen op de 𝑦-as. Voor 𝑦(𝑥) wordt ook wel 𝑓(𝑥) gebruikt. 𝑦 is dan een functie van 𝑥 die 𝑓 heet. 𝑓 is dus geen variabele, maar de ‘naam’ van een functie. In praktijksituaties gebruik je vaak letters die verwijzen naar de betekenis van de variabelen. Bijvoorbeeld 𝑡 voor tijd, 𝑙 voor lengte, 𝐼 voor inhoud, 𝑣 voor snelheid, 𝑃 voor vermogen, enzovoort. De grafische rekenmachine werkt standaard met X voor invoerwaarden en Y voor functiewaarden.

43

43

44

44


44

De nulpunten van een functie zijn de invoerwaarden waarbij de functiewaarde (de uitkomst dus) 0 is. Een nulpunt is dus een getal. Een nulpunt wordt ook wel nulwaarde genoemd. Bij de gegeven functie kun je de 𝑥-waarden van de nulpunten van deze functie vinden door 𝑦(𝑥) = - 𝑥 3 + 4𝑥 = 0 uit te rekenen. De nulpunten van deze functie zijn 𝑥 = 0, 𝑥 = - 2 en 𝑥 = 2. Let op: een nulpunt is een getal (en dus geen punt met coördinaten).

Voorbeeld 1 De Post NL-tarieven voor de brievenbuspost binnenland zijn in 2014: • tot 20 gram: € 0,64 • van 20 tot 50 gram: € 1,28 • van 50 tot 100 gram: € 1,92 • van 100 tot 250 gram: € 2,56 Is het tarief 𝑇 een functie van het gewicht 𝐺? Is het gewicht een functie van het tarief?

Antwoord Bij elke (toegestane) waarde voor het gewicht 𝐺 vind je precies één tarief 𝑇. Dus 𝑇 is een functie van 𝐺. Let op dat als je een brief van 20 gram hebt je € 1,28 moet betalen en niet € 0,64. In de grafiek zie je ook een open rondje aan het einde van de lijnstukken. Dit betekent dat het einde van zo’n lijnstuk niet meedoet. Omgekeerd is 𝐺 geen functie van 𝑇. Als je het bedrag weet, kun je namelijk nog niet precies zeggen hoe zwaar het poststuk is, daar zijn meerdere mogelijkheden voor. OPGAVE 1.3

44

Gegeven is de functie 𝑓 met voorschrift 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥. Welke beweringen zijn waar? A 𝑓(4) is een invoerwaarde. B 𝑓(10) = 60 betekent dat het punt (60; 10) op de grafiek ligt. C 𝑓(𝑥) = 5 heeft twee oplossingen. D Bij elke waarde van 𝑥 hoort precies één waarde van 𝑦.

44

45

45

HOOFDSTUK 2


OPGAVE 1.4

Bekijk de functie 𝑓 met voorschrift 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥. a Bereken de nulpunten van 𝑓. b Los op: 𝑓(𝑥) = 5.

OPGAVE 1.5

In het voorbeeld vind je de posttarieven van 2014. a Bepaal 𝑇(15). b Als je weet hoe zwaar een brief is, weet je voor hoeveel euro aan postzegels je erop moet plakken. Klopt dat? Licht je antwoord toe. c Als je ziet voor hoeveel euro er aan postzegels op een brief zit, weet je hoe zwaar hij is. Klopt dat? Licht je antwoord toe. d Welke oplossingen heeft de vergelijking: 𝑇(𝐺) = 1, 92? e Is 𝐺 een functie van 𝑇? Licht je antwoord toe.

45

Voorbeeld 2 Je ziet twee formules bij verbanden tussen 𝑥 en 𝑦. • 𝑦 = √𝑥 • 𝑦2 = 𝑥 Verder zie je de grafieken bij deze verbanden. Is 𝑦 een functie van 𝑥 in de formule 𝑦 = √𝑥? Is 𝑦 een functie van 𝑥 in de formule 𝑦 2 = 𝑥?

Antwoord

𝑦 = √𝑥

Kies bijvoorbeeld: 𝑥 = 4. Bij formule 𝑦 = √𝑥 vind je: 𝑦 = 2. Bij formule 𝑦 2 = 𝑥 vind je: 𝑦 = 2 ∨ 𝑦 = - 2. Bij de formule 𝑦 = √𝑥 vind je bij elke waarde voor 𝑥 precies één waarde van 𝑦. Als 𝑥 negatief is vind je geen waarden van 𝑦. Dus bij de formule 𝑦 = √𝑥 is 𝑦 een functie van 𝑥. Bij de formule 𝑦 2 = 𝑥 vind je bij vrijwel alle 𝑥-waarden twee waarden van 𝑦. Alleen bij 𝑥 = 0 vind je er maar één. Bij negatieve 𝑥-waarden vind je geen uitkomsten. Dus bij de formule 𝑦 2 = 𝑥 is 𝑦 geen functie van 𝑥.

𝑦2 = 𝑥

45

45

46

46


46

OPGAVE 1.6

OPGAVE 1.7

Je ziet vier grafieken. Bij welke van deze grafieken is 𝑦 een functie van 𝑥?

A

B

C

D

Gegeven zijn de formules 𝑦 = 2𝑥 4 + 2 en 2𝑎 + 4𝑏 3 = 2. a Is 𝑦 een functie van 𝑥? b Is 𝑥 een functie van 𝑦? c Is 𝑎 een functie van 𝑏? d Is 𝑏 een functie van 𝑎?

Voorbeeld 3 Gegeven zijn de functies 𝑓(𝑥) = 10𝑥 − 0, 1𝑥 3 en 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 10. Bepaal de snijpunten van de grafieken.

Antwoord Om de snijpunten te achterhalen moet je de vergelijking 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) oplossen. Om deze vergelijking met de grafische rekenmachine op te lossen, moet je eerst de grafieken van beide functies in beeld brengen. Daarvoor heb je goede vensterinstellingen nodig. Je kunt gewoonweg wat proberen, maar je kunt dit ook systematisch doen. De grafiek van 𝑔 is een rechte lijn die door de punten (- 10, 0) en (0, 10) gaat. Als je de nulpunten van 𝑓 algebraïsch uitrekent, dan vind je: 10𝑥 − 0, 1𝑥 3 = 0 100𝑥 − 𝑥 3 = 0 𝑥(100 − 𝑥 2 ) = 0 𝑥(10 − 𝑥)(10 + 𝑥) = 0

46

46

47

47

HOOFDSTUK 2


47

De nulpunten zijn 𝑥 = - 10, 𝑥 = 0 en 𝑥 = 10. Maak nu met de grafische rekenmachine een tabel bij de formules met stapgrootte 1 vanaf 𝑥 = - 15 tot en met 𝑥 = 15. Je ziet dat de functiewaarden tussen - 50 en 50 liggen . Als je als vensterinstellingen - 15 ≤ 𝑥 ≤ 15 en - 50 ≤ 𝑦 ≤ 50 kiest, krijg je beide grafieken goed in beeld (het aantal schaalstreepjes op de as kun je ook nog instellen). De drie snijpunten zijn dan ook goed in beeld. De nulpunten zijn 𝑥 = - 10, 𝑥 = 0 en 𝑥 = 10. Met de grafische rekenmachine kun je de snijpunten uitrekenen. Hoe dat gaat, zie je in het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR. Met de grafische rekenmachine vind je voor de 𝑥-coördinaten van de snijpunten 𝑥 = - 10 ∨ 𝑥 ≈ 1, 13 ∨ 𝑥 ≈ 8, 87.

OPGAVE 1.8

Bereken zelf de snijpunten in het voorbeeld met behulp van de grafische rekenmachine. Rond waar nodig af op twee decimalen.

OPGAVE 1.9

Gegeven zijn de functies 𝑦1 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 − 9) en 𝑦2 = - 𝑥 2 − 𝑥 + 6. a Bereken van beide functies de nulpunten. b Breng beide grafieken in beeld. Schrijf op welke vensterinstellingen je gebruikt om alle snijpunten met de assen en toppen in beeld te krijgen. c Bepaal alle snijpunten van de grafieken van de functies. Rond indien nodig af op twee decimalen.

VERWERKEN ★

47

OPGAVE 1.10

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 8 − 4𝑥 + 𝑥 3 . a Bereken 𝑓(3). b Bereken de 𝑥-waarden waarvoor 𝑓(𝑥) = 8. c Bij welke vensterinstellingen krijg je de nulpunten en de toppen van de grafiek van 𝑓 in beeld? d Hoort bij elke waarde van 𝑥 precies één waarde van 𝑦? Of kun je tegenvoorbeelden vinden? e Hoort bij elke waarde van 𝑦 precies één waarde van 𝑥? Of kun je tegenvoorbeelden vinden?

47

48

48


48

★

OPGAVE 1.11

Bekijk de grafiek van een formule die een verband tussen 𝑥 en 𝑦 weergeeft.

a Is 𝑦 een functie van 𝑥? b Is 𝑥 een functie van 𝑦?

48

★ ★

OPGAVE 1.12

Gegeven zijn de formules 𝑦 = 𝑥 4 + 3𝑥 + 2 en 𝑎 + 𝑏 3 = 100. a Is 𝑦 een functie van 𝑥? b Is 𝑥 een functie van 𝑦? c Is 𝑎 een functie van 𝑏? d Is 𝑏 een functie van 𝑎?

★ ★

OPGAVE 1.13

Voor het gebruik van water betaalde je in 2013 (zonder belasting) jaarlijks € 35,00 en nog € 0,77 per verbruikte m3 water. De jaarlijkse kosten 𝐾 (in euro’s) hangen af van het aantal m3 (𝑎) dat je verbruikt. a Waarom is 𝐾 een functie van 𝑎? b Bereken 𝐾(100). c Stel het functievoorschrift 𝐾(𝑎) op. d De meeste gezinnen betalen minder dan € 500,00 per jaar voor hun waterverbruik. Hoeveel kubieke meter water gebruiken die gezinnen maximaal?

★ ★

OPGAVE 1.14

Je ziet vier functievoorschriften. Bepaal telkens eerst algebraïsch de nulpunten van de functie. Schrijf vervolgens de vensterinstellingen op waarmee de grafiek goed in beeld komt. a 𝑓(𝑥) = 100𝑥 − 𝑥 2 b 𝑔(𝑥) = 10𝑥(𝑥 − 50) 2 c ℎ(𝑥) = (𝑥 − 10) − 1600 d 𝑘(𝑥) = 200 + 1, 6𝑥

★ ★

OPGAVE 1.15

Gegeven zijn de functies 𝑦1 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 en 𝑦2 = - 𝑥 2 + 4𝑥. a Bereken algebraïsch van beide functies de nulpunten. b Breng beide grafieken in beeld. Schrijf op welke vensterinstellingen je gebruikt om alle nulpunten en toppen in beeld te krijgen. c Bepaal alle snijpunten van de grafieken in één decimaal nauwkeurig.

48

49

49

HOOFDSTUK 2

49


★ ★

OPGAVE 1.16

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = - 𝑥 2 + 8𝑥. a Wat is de grootste functiewaarde die 𝑓 aanneemt? b Voor welke 𝑎 geldt 𝑓(𝑎) = 7? c Voor welke 𝑏 geldt 𝑓(𝑏) = 𝑏?

★★★

OPGAVE 1.17

Voor 𝑓(𝑥) geldt 𝑓(1) = 0 en 𝑓(2) = 1. Verder geldt voor alle 𝑥 > 2 dat 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑓(𝑥 − 1) − 𝑓(𝑥 − 2). Bereken 𝑓(1990).

49

49

50

50


50

2.2

Domein en bereik In deze paragraaf leer je: • de intervalnotatie te gebruiken om te kunnen aangeven dat waarden beperkt zijn; • het begrip domein van een functie; • het begrip bereik van een functie; • coördinaten van toppen van grafieken berekenen met de grafische rekenmachine.

UITLEG 1 Het vermogen van een windmolen hangt af van de grootte van zijn wieken, van de windsnelheid en van de bouw van de molen. Dat vermogen 𝑃 in kilowatt van molens met wieken van 10 meter kan worden berekend met een functievoorschrift zoals: 𝑃(𝑣) = 0, 52𝑣 3 . Hierin is 𝑣 de windsnelheid in m/s. Zo’n windmolen gaat draaien vanaf windkracht 2 tot 3 en wordt stilgezet boven windkracht 10 tot 12 (afhankelijk van het type) om overbelasting te voorkomen. Dus dergelijke windmolens functioneren alleen bij windsnelheden vanaf zo’n 3 m/s tot een snelheid van maximaal zo’n 30 m/s. Dat betekent dat 𝑣 alleen waarden vanaf 0 tot waarden kleiner of gelijk aan 30 kan aannemen. Deze waarden vormen het domein van de functie en je noteert het als interval Du� = [0, 30]. Vanwege het beperkte domein van de functie 𝑃(𝑣) zullen ook de uitkomsten beperkt zijn. Het interval waarbinnen alle uitkomsten liggen heet het bereik van de functie. Ga na dat Bu� = [0, 14 040]. Het domein heeft te maken met beperkingen van de invoervariabele en die kunnen worden ingegeven door de situatie, maar ook wel door de aard van de functie: de wortel uit een negatief getal heeft geen reële waarde en delen door 0 kan niet, enzovoort. OPGAVE 2.1

50

In de uitleg vind je de functie die het vermogen van een windmolen met wieken van 10 meter weergeeft. Nu bekijk je een windmolen met wieken van 15 meter. Daarvoor geldt 𝑃(𝑣) = 1, 17𝑣 3 . Neem aan dat dit soort windmolens alle windsnelheden van kleiner of gelijk aan 25 m/s aan kunnen. Geef dan het domein en het bijbehorende bereik in de intervalnotatie.

50

51

51

HOOFDSTUK 2

OPGAVE 2.2


51

Bekijk de baan van een kogel die door een kogelstoter zo ver mogelijk wordt weggestoten. De kogel komt 14 meter ver. Het hoogste punt van de baan zit 4 meter boven de grond. De baan van de kogel kan worden beschreven met de 2 formule ℎ(𝑥) = - 0, 0625(𝑥 − 6) + 4 waarin ℎ de hoogte van de kogel boven de grond is en 𝑥 de afstand die het punt op de grond recht onder de kogel heeft afgelegd vanaf het moment van loslaten. a Laat zien dat de kogel inderdaad 14 meter ver komt. b Schrijf het domein van functie ℎ(𝑥) op als interval. c Laat zien dat het hoogste punt van de baan inderdaad 4 meter boven de grond zit. d Schrijf het bereik van deze functie op als interval.

UITLEG 2 Een interval is eigenlijk niets anders dan een aaneengesloten verzameling reële getallen, een stukje van een getallenlijn. De notatie ervan is op zich eenvoudig: je schrijft de grenswaarden (de kleinste en de grootste waarden, de kleinste eerst) van het interval op tussen twee haakjes. Er zijn alleen twee afspraken die je erbij moet onthouden. • de vorm van de haakjes bepaalt of de grenswaarde nog wel bij het interval hoort of juist niet meer - de haken [ en ] geven aan dat de grenswaarden nog bij het interval horen, de haken ⟨ en ⟩ geven aan dat de grenswaarden niet bij het interval horen; • voor intervallen die aan één kant geen grenswaarde hebben gebruik je een pijltje. Je ziet voorbeelden van intervallen met het bijbehorend deel van de getallenlijn.

Je ziet in de figuur het teken ∪. Dit teken wordt gebruikt om aan te geven dat je alle getallen van twee (of meer) afzonderlijke intervallen samen bedoelt. OPGAVE 2.3

51

Bekijk de intervallen in de uitleg. Let goed op de open en gesloten rondjes en op de bijpassende vorm van de haakjes. Teken de intervallen ⟨- 2, 4], [2, →⟩, [1; 3, 5], ⟨←, 0] en ⟨←, 4⟩ ∪ ⟨6, →⟩.

51

52

52


52

OPGAVE 2.4

Gegeven is de functie 𝑓 door 𝑓(𝑥) = 3 + √𝑥. a Uit welke getallen bestaat het domein van deze functie? Licht je antwoord toe. Het domein van deze functie wordt wel geschreven als Du� = [0, →⟩. b Wat betekent de pijl? c Waarom zou het rechterhaakje een andere vorm hebben gekregen dan het linkerhaakje? d Reken enkele functiewaarden uit, maak eventueel een tabel. Welke functiewaarden kunnen voorkomen? e Schrijf het bereik van deze functie op. Gebruik dezelfde notatie als voor het domein.

OPGAVE 2.5

Je ziet een aantal grafieken van functies. Het domein en het bereik van de functie is bij de grafiek aangegeven.

Geef het domein en bereik van elk van deze functies in intervalnotatie.

THEORIE Alle toegestane invoerwaarden samen vormen het domein van een functie. Het domein wordt bepaald door: • beperkingen vanwege het functievoorschrift; • beperkingen vanuit de situatie. Het domein van functie 𝑓 wordt aangegeven door Du� . Alle mogelijke functiewaarden samen vormen het bereik van een functie. Om het bereik van een functie 𝑓 te kunnen bepalen heb je een goed beeld van de grafiek van 𝑓 nodig. Daarbij zijn de toppen van een grafiek vaak van belang. In een top heeft de functie een maximum (grootste functiewaarde) of een minimum (kleinste functiewaarde). Hoe je die met behulp van de grafische rekenmachine kunt vinden, lees je in het PRACTICUM: FUNCTIES MET DE GR. Het bereik van functie 𝑓 wordt aangegeven door Bu� . Voor domein en bereik van een functie wordt meestal de intervalnotatie gebruikt. Een interval is een aaneengesloten verzameling reële getallen, een stukje getallenlijn dus.

52

52

53

53

HOOFDSTUK 2


53

Als je een interval opschrijft geef je vaak de beginwaarde en de eindwaarde weer tussen haken. De vorm van de haken bepaalt of de beginwaarde en de eindwaarde nog bij het interval horen. Zo wordt met het interval [2, 8⟩ bedoeld: alle getallen van 2 tot 8, dus 2 behoort wel tot het interval en 8 niet. Voor intervallen die aan één kant geen grenswaarde hebben gebruik je een pijltje. Alle reële getallen noteer je als ℝ. Hier zie je voorbeelden van intervallen met het bijbehorend deel van de getallenlijn.

Bij het geven van de vensterinstelling wordt vanaf nu vaak de notatie [- 10, 10] × [- 20, 20] gebruikt als de vensterinstellingen - 10 ≤ 𝑥 ≤ 10 en - 20 ≤ 𝑦 ≤ 20 zijn.

Voorbeeld 1 Met de grafische rekenmachine kun je (een deel van) de grafiek van 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 goed in beeld brengen. Geef het domein en bereik van 𝑓.

Antwoord Je weet dat de functiewaarden groter worden naarmate je een groter getal voor 𝑥 kiest. Je kunt niet de wortel nemen van een negatief getal. Dus er moet gelden dat 𝑥 + 2 ≥ 0 en hieruit volgt dat 𝑥 ≥ - 2. Het kleinste getal dat mogelijk is als invoerwaarde is 𝑥 = - 2. Je krijgt dan als functiewaarde: 𝑓(- 2) = √- 2 + 2 = 0. Hier bepaalt het functievoorschrift wat domein en bereik zijn: • de wortel uit een negatief getal is niet reëel, dus: Du� = [- 2, →⟩ • de functiewaarden zijn 0 of groter, dus: Bu� = [0, →⟩ De gebruikte vensterinstellingen zijn [- 3, 10] × [- 2, 5]. Hierbij geef je eerst de instellingen voor 𝑥 en als tweede die voor 𝑦.

53

53

54

54


54

OPGAVE 2.6

Gegeven is de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4. Geef het domein en bereik van 𝑓.

Voorbeeld 2 Je ziet (een deel van) de grafiek van 𝑓(𝑥) = 0, 5𝑥 4 − 4𝑥 2 . Bepaal het domein en bereik van deze functie.

Antwoord Bij elke waarde van 𝑥 kun je 𝑥 4 en 𝑥 2 berekenen en dus ook een functiewaarde. Het domein van 𝑓 is dus Du� = ℝ. Voor het bereik moet je de grafiek goed bekijken. Er zijn drie toppen, die je gemakkelijk kunt vinden. In het PRACTICUM: FUNCTIES MET DE GR kun je nalezen hoe dat met de grafische rekenmachine gaat. Je vindt een minimum 𝑓(- 2) = - 8 en een minimum 𝑓(2) = - 8. Verder is er een maximum 𝑓(0) = 0, maar dat is voor het bereik onbelangrijk. Ga na: Bu� = [- 8, →⟩.

OPGAVE 2.7

Je ziet vier grafieken van een functie. Alle toppen en nulpunten zijn in beeld.

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥

ℎ(𝑥) = (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 − 9)

𝑘(𝑥) = 3√𝑥 + 7 − 6

Schrijf het domein en bereik van deze functies op. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

54

54

55

55

HOOFDSTUK 2

OPGAVE 2.8


55

De boog onder een brug heeft de vorm van de grafiek van ℎ(𝑥) = √25 − 𝑥 2 (met 𝑥 en ℎ in meter). Het lijnstuk tussen beide nulpunten van deze functie stelt de rivierbodem voor. a In de grafiek kun je de lengte van het lijnstuk dat de rivierbodem voorstelt aflezen. Laat zien hoe je deze lengte kunt berekenen met behulp van een vergelijking. b Wat is het domein van deze functie? c Wat is het bereik van deze functie? d De waterhoogte van de rivier is twee meter boven de bodem. Bereken de breedte van de waterspiegel onder deze boog in centimeter nauwkeurig.

VERWERKEN

55

★

OPGAVE 2.9

Bepaal van de volgende functies het domein en het bereik. Noteer ze als interval. Geef eventuele benaderingen in twee decimalen. Gebruik waar nodig de grafische rekenmachine. a 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 b 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) c ℎ(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 d 𝑘(𝑥) = 1 + 2√𝑥 e 𝑙(𝑥) = - 3 + 3√2 + 6𝑥

★

OPGAVE 2.10

Je ziet de grafieken van de functies 𝑓 en 𝑔 met 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 4 en 𝑔(𝑥) = - 𝑥 2 met de standaardinstellingen van het venster. a Bereken algebraïsch de nulpunten van 𝑓. b De standaardinstellingen zijn niet erg gelukkig als je de toppen en de nulpunten van beide functies wilt zien. Kies betere instellingen en bepaal de toppen van de grafiek van 𝑓. c Bepaal van beide functies het bereik. d Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafieken van 𝑓 en 𝑔.

★ ★

OPGAVE 2.11

Een vuurpijl wordt vanaf de grond afgeschoten. De hoogte boven de grond hangt af van de tijd. Er geldt: ℎ(𝑡) = 40𝑡 − 5𝑡 2 . Hierin is ℎ de hoogte boven de grond in meter en 𝑡 de tijd in seconden. a De vuurpijl spat na zes seconden uit elkaar. Hoe hoog komt hij maximaal? b Geef het domein en bereik van deze functie, rekening houdend met de beschreven situatie. c Op welke hoogte spat de vuurpijl uit elkaar? d Hoeveel seconden is de vuurpijl boven 40 meter hoogte? e Waarom is de getekende grafiek niet de baan van de vuurpijl?

55

56

56


56

★ ★

OPGAVE 2.12

Een handelaar heeft wekelijks 400 exemplaren van een bepaald product in de verkoop. Hij heeft geen concurrentie, dus de hoeveelheid 𝑞 die hij verkoopt hangt alleen af van de prijs 𝑝 die hij per exemplaar vraagt. Er geldt: 𝑞 = 400 − 0, 5𝑝. a Geef een formule voor de opbrengst 𝑅 als functie van de prijs 𝑝. b Welke waarden kan 𝑝 aannemen? c Welke waarden kan 𝑅 aannemen?

★ ★

OPGAVE 2.13

Gegeven is het functievoorschrift 𝑦(𝑥) = 𝑥 4 − 8𝑥 2 . a Bereken 𝑦(3). b Bereken 𝑦(- 3). c Bereken algebraïsch de nulpunten van 𝑦. d Bepaal de toppen van de grafiek van 𝑦. e Geef het bereik van deze functie.

★ ★

OPGAVE 2.14

Gegeven is de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) = - 2(𝑥 − 10) + 60 en domein [0, 40]. a Bepaal het bereik van 𝑓.

2

Gegeven is de functie 𝑔 met 𝑔(𝑥) = - 3 + √2 − 5𝑥. b Bepaal het domein en bereik van 𝑔. ★★★

OPGAVE 2.15

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = √1 − 2𝑥. 𝑇 en 𝑆 zijn de snijpunten van de grafiek van 𝑓 met de 𝑥-as en de 𝑦-as. a Bereken de coördinaten van 𝑇 en 𝑆. b Geef het domein en bereik van 𝑓. c In de figuur zie je hoe punt 𝐵 de grafiek van 𝑓 doorloopt tussen 𝑇 en 𝑆. Als 𝐵 niet samenvalt met 𝑇 of 𝑆 is 𝑂𝐴𝐵𝐶 een rechthoek. Er is één plaats van 𝐵 waarbij 𝑂𝐴𝐵𝐶 een vierkant is. Bereken de coördinaten van deze plaats. Rond af op twee decimalen. d Als 𝐵 van 𝑇 naar 𝑆 beweegt over de grafiek van 𝑓, neemt de oppervlakte van 𝑂𝐴𝐵𝐶 eerst toe en later weer af. Iemand heeft het vermoeden dat de oppervlakte van 𝑂𝐴𝐵𝐶 maximaal is wanneer 𝑂𝐴𝐵𝐶 een vierkant is. Onderzoek of dit vermoeden juist is. naar: examen 1991 - II

56

56

57

57

HOOFDSTUK 2

2.3


57

Karakteristieken In deze paragraaf leer je: • wat asymptoten zijn; • karakteristieken van (de grafiek van) een functie bepalen.

UITLEG Voor een rit in een taxi betaal je: • voorrijkosten € 3,20 • per gereden kilometer € 1,20 De prijs 𝑃 per gereden km hangt af van het aantal gereden km 𝑎. Er geldt: 𝑃 = 1, 20 +

3,20 u� .

De grafiek van deze functie snijdt de horizontale as niet en heeft geen extremen. Er geldt: • Als 𝑎 (het aantal gereden kilometers) heel groot wordt, benaderen de functiewaarden het getal 1, 20. Je ziet dat als je een tabel bij de functie maakt. Dit betekent dat de grafiek steeds dichter bij de lijn 𝑃 = 1, 20 komt te liggen, maar deze niet raakt. Deze lijn heet de horizontale asymptoot van de grafiek van 𝑃. • Als 𝑎 dicht bij 0 komt, worden de functiewaarden steeds groter: 𝑃(0, 1) = 33, 20; 𝑃(0, 01) = 321, 20; 𝑃(0, 001) = 3201, 20; 𝑃(0, 0001) = 32 001, 20; enzovoort. Het getal 0 zelf mag je echter niet voor 𝑎 invullen: delen door 0 kan niet. Dit betekent dat de grafiek steeds dichter bij de lijn 𝑎 = 0 (de verticale as) komt te liggen, maar niet raakt. Dit is de verticale asymptoot van de grafiek van 𝑃. Als je de grafiek van de functie tekent, zorg je ervoor dat ook dit soort karakteristieke gedrag zichtbaar wordt, net als snijpunten met de assen en toppen (als ze er zijn). OPGAVE 3.1

Van een bepaald type kopieerapparaat worden de maandelijkse kosten per kopie gegeven door: 𝐾(𝑎) =

200 u�

+ 0, 075. Hierin is 𝑎 het aantal kopieën per

maand en 𝐾 zijn de kosten in euro. a Bereken de kosten per kopie als er 10 000 kopieën per maand met deze machine worden gemaakt. b Welke waarde benaderen de kosten per kopie als het aantal kopieën heel erg groot is? c Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van 𝐾? d Als er een bepaalde maand geen kopieën worden gemaakt, kun je niet spreken van de kosten per kopie. Het minimale aantal kopieën waarbij dit nog wel kan is 1. Hoeveel bedragen de kosten per kopie maximaal?

57

57

58

58

58


THEORIE Bij grafieken komen regelmatig asymptoten voor. Dat zijn lijnen waar de grafiek steeds dichter naast loopt naarmate je verder van de oorsprong van het assenstelsel komt. Vooral een verticale asymptoot kun je vaak goed in het functievoorschrift herkennen: een invoerwaarde waarbij je door 0 moet delen veroorzaakt vaak zo’n asymptoot. Een horizontale asymptoot ontstaat als de functiewaarden een vast getal naderen naarmate de invoerwaarden heel groot of heel klein (erg negatief) worden. De functie 𝑓 met voorschrift 𝑓(𝑥) =

1 u�

is de standaardfunctie van een functie

met asymptoten. Deze grafiek heeft: • als horizontale asymptoot de lijn 𝑦 = 0, want voor grote en kleine (erg negatieve) waarden van 𝑥 naderen de functiewaarden naar 0; • als verticale asymptoot de lijn 𝑥 = 0, want dit getal heeft geen functiewaarde (je kunt niet door 0 delen) en vlak in de buurt van 0 worden de functiewaarden heel groot of heel klein (erg negatief). Het domein van 𝑓 schrijf je als Du� = ⟨←, 0⟩ ∪ ⟨0, →⟩. Het bereik van 𝑓 schrijf je als Bu� = ⟨←, 0⟩ ∪ ⟨0, →⟩. Als je de grafiek van een functie goed in beeld hebt, zijn alle karakteristieken zichtbaar (op het gewenste domein). Dat kunnen zijn: • de snijpunten met de assen; • de asymptoten; • de toppen.

58

58

59

59

HOOFDSTUK 2


59

Voorbeeld 1 «APPLET»

De grafiek van 𝑓(𝑥) =

u�+4 u�−2

heeft twee asymptoten. Welke twee?

Schrijf het domein en bereik van 𝑓 op.

Antwoord Aangezien je niet door 0 kunt delen is er iets bijzonders als 𝑥 − 2 = 0 en dus als 𝑥 = 2. 𝑓(2) bestaat niet, maar 𝑥-waarden vlak bij 2 kun je wel invullen: 𝑓(2, 001) = 6001 en 𝑓(2, 0001) = 60 001, enzovoort. Verder is 𝑓(1, 999) = 5999 en 𝑓(1, 9999) = 59 999. De grafiek van 𝑓 komt steeds dichter langs de lijn 𝑥 = 2 te lopen. 𝑥 = 2 is de vergelijking van de verticale asymptoot. Voor de horizontale asymptoot ga je anders te werk. Kies 𝑥-waarden als 1000, 10 000, 100 000, enzovoort. Bereken de bijbehorende functiewaarden. Doe hetzelfde met - 1000, - 10 000, - 100 000, enzovoort. Je ziet dan dat de functiewaarden steeds dichter in de buurt van 𝑦 = 1 liggen. Hoe verder je van 0 af zit, hoe beter die benadering. De lijn 𝑦 = 1 is de horizontale asymptoot van de grafiek van 𝑓. Het domein van 𝑓 is: ⟨←, 2⟩ ∪ ⟨2, →⟩. Het bereik van 𝑓 is: ⟨←, 1⟩ ∪ ⟨1, →⟩. OPGAVE 3.2

Je ziet de grafiek van de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) = a b c d e

OPGAVE 3.3

4 u�+2 .

Welke verticale asymptoot heeft deze grafiek? Welk getal naderen de functiewaarden als 𝑥 heel groot wordt? Welk getal naderen de functiewaarden als 𝑥 heel klein wordt? Wat is de vergelijking van de horizontale asymptoot? Geef het domein en bereik van 𝑓.

Gegeven is de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) =

4 u�

+ 2.

a Maak de grafiek van 𝑓 met de grafische rekenmachine. Gebruik de standaardinstellingen van het venster. b Welke verticale asymptoot heeft deze grafiek? Hoe zie je dat aan de tabel van 𝑓? c Welk getal naderen de functiewaarden als 𝑥 heel groot wordt? d Welk getal naderen de functiewaarden als 𝑥 heel groot wordt in de negatieve richting? e Wat is de vergelijking van de horizontale asymptoot? f Geef het domein en bereik van 𝑓.

59

59

60

60


60

Voorbeeld 2 «APPLET» Speelt de luchtweerstand geen rol, dan is de baan van een afgeschoten

voorwerp 𝑃 een zuivere parabool. Bijvoorbeeld ℎ(𝑥) = - 0, 005𝑥 2 + 𝑥. Hierin is 𝑥 de horizontale afstand die het voorwerp heeft afgelegd (in meter) en ℎ de bijbehorende hoogte boven de grond (in meter). In de grafiek kun je zien hoe hoog het voorwerp maximaal komt. Bereken bij welke afstand de hoogte maximaal is en bereken hoe hoog het voorwerp maximaal komt.

Antwoord Bepaal eerst de nulpunten door ℎ(𝑥) = 0 op te lossen. Door ontbinding in factoren vind je 𝑥(- 0, 005𝑥 + 1) = 0 en dit geeft 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 200. Omdat een parabool symmetrisch is, zit het maximum bij 𝑥 = 100. De hoogte is dus maximaal bij 100 meter. En omdat ℎ(100) = 50 komt het voorwerp maximaal 50 meter hoog. OPGAVE 3.4

In het voorbeeld gaat het over een parabolische baan met functievoorschrift ℎ(𝑥) = - 0, 005𝑥 2 + 𝑥. a Als je de grafiek met de grafische rekenmachine wilt maken, zijn de standaardinstellingen van het venster niet geschikt. Waarom niet? b Om het hoogste punt te kunnen bepalen, moet je de grafiek goed in beeld hebben. Waarom bereken je nu eerst de nulpunten? c Maak vervolgens met de grafische rekenmachine een geschikte tabel om te bekijken welke functiewaarden er allemaal voorkomen. d Bij welke vensterinstellingen komt de hele baan in beeld?

OPGAVE 3.5

Gegeven is de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) = 100𝑥(𝑥 − 10)(𝑥 − 20) . a Welke nulpunten heeft 𝑓? b Waarom heeft de grafiek van 𝑓 geen verticale asymptoot?

2

Je kunt de 𝑥-waarden van het venster instellen, de nulpunten moeten zichtbaar worden en asymptoten zijn er niet. Met de tabel bekijk je de grootte van de functiewaarden. c Welke vensterinstellingen laten alle karakteristieken zien? d Bepaal de extremen van deze functie in gehele getallen nauwkeurig. e Welk bereik heeft deze functie?

Voorbeeld 3 Dit is een grafiek van de functie 𝑓(𝑥) =

4u� 2 −16 . u� 2 −100

Hij is gemaakt met de grafische rekenmachine met het standaardvenster. Bepaal alle karakteristieken en het bereik van 𝑓.

Antwoord Op grond van dit plaatje zou je heel verkeerde conclusies kunnen trekken. Bijvoorbeeld dat het maximum 𝑓(0) = 0 is. En dat de grafiek een soort van afgeplatte bergparabool is. En dat is niet goed.

60

60

61

61

HOOFDSTUK 2


61

Eerst kijk je of er nulpunten en asymptoten zijn: • •

•

𝑓(𝑥) = 0 levert op:

4u� 2 −16 u� 2 −100

= 0 en dus: 4𝑥 2 − 16 = 0.

Er zijn daarom precies twee nulpunten 𝑥 = - 2 en 𝑥 = 2. Je deelt door 𝑥 2 − 100 en dus ontstaan er problemen als 𝑥 2 − 100 = 0. Dit betekent dat 𝑥 = 10 en 𝑥 = - 10 wellicht verticale asymptoten zijn. Door getallen in de buurt van 10 dan wel - 10 in te vullen, merk je dat dit echt twee vericale asymptoten zijn. Als de grote getallen (of grote, negatieve getallen) invult naderen de functiewaarden naar 4. Dus 𝑦 = 4 is de horizontale asymptoot.

Pas nu de vensterinstellingen aan en breng alle karakteristieken van de grafiek in beeld. Bij 𝑥 = 10 blijkt een maximum te zitten: 𝑓(0) = 0, 16. (Laat je rekenmachine een maximum zoeken tussen bijvoorbeeld de nulpunten.) Het bereik van 𝑓 lees je uit de grafiek af, rekening houdend met het maximum en de horizontale asymptoot: Bu� = ⟨←; 0, 16⟩ ∪ ⟨4, →⟩.

OPGAVE 3.6


2u� 2 +4 . u� 2 −16

a Plot de grafiek en geef de juiste vensterinstellingen. b Geef de karakteristieken van 𝑓. c Geef Du� en Bu� . OPGAVE 3.7

Gegeven is de functie 𝑔 met 𝑔(𝑥) = a b c d

OPGAVE 3.8

4u� . 1+u� 2

Waarom heeft deze functie geen verticale asymptoot? Welk nulpunt heeft functie 𝑔? Onderzoek of 𝑔 een horizontale asymptoot heeft. Geef het domein en bereik van 𝑔.

Als iemand in koud water terechtkomt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 °C ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een lichaamstemperatuur van 30 °C wordt de overlevingstijd genoemd. Bij de vragen wordt uitgegaan van een persoon die te water is geraakt in gewone kleding en met een reddingsvest. In deze situatie geldt de volgende formule: 𝑅 = 15 +

7,2 0,0785−0,0034u�

met 𝑅 > 0 en 𝑇 ≥ 5, 0

Hierin is 𝑅 de overlevingstijd in minuten en 𝑇 de watertemperatuur in °C. a Bij een watertemperatuur van 20 °C is de overlevingstijd groter dan bij een watertemperatuur van 10 °C . Bereken hoeveel keer zo groot. b Bereken de watertemperatuur waarbij de overlevingstijd 5, 0 uur is. Rond daarna je antwoord af op een geheel aantal graden.

61

61

62

62


62

c

Bepaal de waarde van 𝑇 die bij de verticale asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de verticale asymptoot is voor de situatie van de te water geraakte persoon.

naar: examen 2011 - I

VERWERKEN ★

OPGAVE 3.9

Geef het domein, het bereik en de asymptoten van de volgende functies. a 𝑓(𝑥) = 4 −

★

OPGAVE 3.10

4 u�

b 𝑔(𝑥) =

4−u� u�

c

ℎ(𝑥) =

u� u� 2 −4

d 𝑘(𝑥) =

u� 2 u� 2 +4


3u� 2u�+3 .

Geef alle karakteristieken, Du� en Bu� . ★ ★

OPGAVE 3.11

Een voorwerp wordt vanaf de grond weggeschoten. De hoogte ℎ van het voorwerp wordt beschreven door ℎ(𝑥) = - 0, 1𝑥 2 + 8𝑥, waarbij 𝑥 de horizontale afgelegde afstand in meter van het voorwerp is. Bereken zonder de grafische rekenmachine de maximale hoogte van het voorwerp.

★ ★

OPGAVE 3.12

De toonhoogte van geluid wordt bepaald door de frequentie. Hoe hoger de frequentie, hoe kleiner de golflengte wordt. De frequentie wordt uitgedrukt in Hertz (Hz) en geeft het aantal trillingen per seconde aan. Weet je de frequentie 𝑓 dan kun je de golflengte 𝑊 (in meter) berekenen: 𝑊 =

330 u� .

Een geluidsin-

stallatie kan geluiden van 15 Hz tot 30 000 Hz produceren. a Als je [15, 30 000] als domein kiest, welk bereik heeft 𝑊 dan? b Vleermuizen kunnen hoogfrequente geluiden horen, soms wel geluiden met een frequentie van 120 000 Hz. Is dit een hoog of juist laag geluid? c Welke golflengte heeft dat geluid? d Mensen kunnen geluiden onder de 20 Hz nauwelijks horen. Gaat het dan om bassen of hoge tonen? e Welke golflengte heeft zo’n geluid? f Welke waarde benadert 𝑊 als 𝑓 heel groot wordt?

62

62

63

63

HOOFDSTUK 2

★ ★

OPGAVE 3.13



63

10u� . (u�−20)2

a Bereken de nulpunt(en) van deze functie. b Welke asymptoten heeft deze functie? c Bij welke vensterinstellingen is de grafiek van 𝑓 goed in beeld met alle karakteristieken zichtbaar? d Bepaal het bereik van 𝑓. ★ ★

OPGAVE 3.14

In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die zaden nodig hebben om voor 50% te ontkiemen. Proefondervindelijk is een verband tussen temperatuur en kiemtijd gebleken. De kiemtijd 𝐾 is geteld in dagen en de temperatuur 𝑇 is gemeten in °C. Dit verband wordt gegeven door: 𝐾 =

89 u�−2 .

a Boven welke temperatuur is de helft van de zaden al binnen 10 dagen ontkiemd? b Wat is een zinvol domein voor 𝐾 als functie van 𝑇? c Welke asymptoten heeft de grafiek van deze functie? d Welk bereik hoort bij het gekozen domein? ★ ★

OPGAVE 3.15

Voor de totale kosten (𝑇K ) bij de productie van een bepaald artikel geldt: 𝑇K = 100 + 0, 1𝑞 2 waarin 𝑞 het aantal exemplaren voorstelt. a Bereken de gemiddelde kosten per exemplaar bij een productie van 120 stuks in twee decimalen nauwkeurig. b Leg uit waarom de gemiddelde kosten het hellingsgetal zijn van de lijn door de punten (0, 0) en (𝑞, 𝑇K ). c Stel een voorschrift op voor de gemiddelde kosten per exemplaar (𝐺𝑇K ) als functie van 𝑞. d Welke asymptoot heeft de functie 𝐺𝑇K ? Schrijf het domein en het bereik van 𝐺𝑇K op.

★★★

OPGAVE 3.16

Door een technische storing in de airconditioning van een groot gebouw neemt het zuurstofgehalte in de lucht tijdelijk af. De technische staf heeft het verloop van het zuurstofgehalte beschreven met de formule: 𝑍(𝑡) = 200(1 −

10 u�+10

+

100 ) u�+102

Hierin is 𝑡 de tijd in minuten gerekend vanaf het moment dat de storing begon. Verder is 𝑍 het aantal cm3 zuurstof per liter lucht op het tijdstip 𝑡. Op 𝑡 = 0 is het zuurstofgehalte normaal. a Bereken 𝑍(0). b Welke asymptoten heeft de grafiek van 𝑍(𝑡)? Welke betekenis hebben ze? c Op welk tijdstip is het zuurstofgehalte minimaal? d De medische staf vindt een zuurstofgehalte van 80% van het normale niveau nog juist toelaatbaar. Bereken gedurende hoeveel minuten het zuurstofgehalte ontoelaatbaar laag is.

63

63

64

64


64

2.4

Samengestelde functies In deze paragraaf leer je: • herkennen uit welke schakels (rekenstappen) het functievoorschrift van een samengestelde functie bestaat; • het bij een functie behorende rekenschema en terugrekenschema opstellen; • het begrip inverse functie.

UITLEG Een vuistregel voor het berekenen van de remweg van een auto die met een gegeven snelheid rijdt, luidt: Neem de snelheid in kilometer per uur (km/h) en deel dit getal door 10. Kwadrateer de uitkomst en vermenigvuldig daarna 3

wat je hebt gevonden met 4 . Je krijgt dan de lengte van de remweg in meter. Om die remweg te berekenen werk je bij deze vuistregel met meerdere rekenstappen. Neem voor de remweg 𝑅 (in meter) en voor de snelheid 𝑣 (in km/h). Bekijk het rekenschema.

De functie met voorschrift 𝑅 = 𝑓(𝑣) is een samengestelde functie die bestaat uit drie rekenstappen, drie schakels. Wil je omgekeerd de snelheid berekenen als je de remweg weet, dan kun je beter een functie maken van de vorm 𝑣 = 𝑔(𝑅). Door elke afzonderlijke schakel terug te rekenen, maak je een terugrekenschema.

Zo’n terugrekenfunctie noem je wel de inverse functie: 𝑔 = 𝑓 inv . Bij beide functies horen dezelfde combinaties van twee waarden, maar in omgekeerde volgorde. Bij 𝑅 = 𝑓(𝑣) horen punten van de vorm (𝑣, 𝑅), en bij 𝑣 = 𝑓 inv (𝑅) horen punten van de vorm (𝑅, 𝑣). Omdat de invoerwaarden op de horizontale as moeten komen, wissel je bij de inverse functie de assen om.

64

64

65

65

HOOFDSTUK 2

OPGAVE 4.1


65

In de uitleg wordt gesproken over een samengestelde functie 3

u�

2

𝑅 = 𝑓(𝑣) = 4 ( 10 ) . Het gaat om het berekenen van de remweg van een auto die met een bepaalde snelheid rijdt. a Neem voor 𝑣 de waarden 0, 20, 40, ..., 140 en bereken de bijbehorende waarden van 𝑅. b Teken de grafiek van 𝑅 = 𝑓(𝑣). c Als 𝑣 alleen de waarden vanaf 0 tot kleiner of gelijk aan 140 aanneemt, wat zijn dan het domein en bereik van deze functie? Als je vanuit een gemeten remweg de snelheid wilt berekenen, dan is de inverse functie handiger. Die vind je met behulp van een terugrekenschema. d Hoe maak je zo’n terugrekenschema? e Teken de grafiek van de inverse functie 𝑣 = 𝑓 inv (𝑅). f Wat zijn het domein en bereik van de inverse functie? Neem weer aan dat 0 ≤ 𝑣 ≤ 140. OPGAVE 4.2

Gegeven zijn twee functies 𝑓 en 𝑔 met 𝑓(𝑥) = √𝑥 en 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 5. ℎ is de functie die ontstaat door eerst functie 𝑓 toe te passen (als eerste schakel) en dan functie 𝑔: ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). a Geef dit weer in een rekenschema. Bereken ℎ(4). b Geef het functievoorschrift van ℎ. c Maak een terugrekenschema bij ℎ en schrijf het functievoorschrift van ℎinv op. 𝑘 is de functie die ontstaat door eerst functie 𝑔 toe te passen (als eerste schakel) en dan functie 𝑓: 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). d Geef dit weer in een rekenschema en bereken 𝑘(4). e Schrijf het functievoorschrift van 𝑘 op. f Maak een terugrekenschema bij 𝑘 en schrijf het functievoorschrift van 𝑘 inv op.

OPGAVE 4.3

Bij het bepalen van een inverse functie moet je er goed op letten dat het terugrekenen telkens precies één waarde oplevert. Neem bijvoorbeeld de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . a Welke twee waarden vind je bij terugrekenen vanuit de functiewaarde 9? De terugrekenfunctie van 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 is 𝑓 inv (𝑥) = √𝑥. b Bereken nu 𝑓 inv (9). Welk probleem ontstaat er nu als je dit vergelijkt met het antwoord bij a? c Bekijk ook de grafieken van 𝑓 en 𝑓 inv op de grafische rekenmachine. Welk gedeelte van de grafiek van 𝑓 is het spiegelbeeld van die van 𝑓 inv ? d Waaraan moet een functie voldoen om er een inverse functie bij te kunnen maken? e Leg uit waarom 𝑓 inv (𝑓(𝑥)) = 𝑥. f Geldt ook 𝑓(𝑓 inv (𝑥)) = 𝑥?

65

65

66

66

66


THEORIE Als je functies na elkaar uitvoert, krijg je een samengestelde functie. Zo kun je bijvoorbeeld twee functies 𝑔 en ℎ schakelen tot een samengestelde functie 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥)).

Bij veel samengestelde functies kun je dit rekenschema gebruiken om terug te rekenen door alle afzonderlijke schakels terug te rekenen. Je gebruikt dan de inverse functies van 𝑔 en ℎ om de inverse functie van 𝑓 te krijgen.

Zo heb je door terugrekenen 𝑦 = 𝑓(𝑥) herleid tot 𝑥 = 𝑓 inv (𝑦). Bij de inverse functie zijn de 𝑦-waarden de invoervariabelen. Omdat het in de wiskunde echter gebruikelijk is om de letter 𝑥 te gebruiken voor de invoervariabele, schrijf je dit laatste meestal als 𝑦 = 𝑓 inv (𝑥). De grafieken van 𝑓 en 𝑓 inv zijn daardoor elkaars spiegelbeeld bij spiegelen in de lijn 𝑦 = 𝑥. Bij het bepalen van de inverse functie moet je er wel voor zorgen dat het terugrekenen eenduidig is. Bij elke 𝑦-waarde van 𝑓 moet bij terugrekenen ook precies één waarde voor 𝑥 horen. Is dit niet het geval, dan verklein je het domein van 𝑓 tot dit wel het geval is. Bijvoorbeeld: bij de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 is het terugrekenen niet eenduidig als het domein ℝ is, immers als 𝑦 = 4 dan is 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = - 2. Als je je beperkt tot het domein [0, →⟩, dan is het terugrekenen wel eenduidig en heeft 𝑓 een inverse, namelijk 𝑓 inv (𝑥) = √𝑥.

Voorbeeld 1 Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 9 met domein [0, →⟩. Schrijf de bijbehorende inverse functie op.

Antwoord Deze functie ontstaat zo:

Het voorschrift ervan is dus 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 9. De inverse functie vind je zo:

Het voorschrift van de inverse functie is 𝑓 inv (𝑥) = √𝑥 2 − 9.

66

66

67

67

HOOFDSTUK 2


67

Bij de laatste terugrekenstap moet je terugrekenen vanuit een kwadraat. En dat levert meestal twee uitkomsten op. Omdat het domein van 𝑎 beperkt is tot [0 →⟩, neem je alleen de positieve uitkomsten. OPGAVE 4.4

In het voorbeeld zie je dat functie 𝑓 uit drie schakels bestaat. De volgorde waarin je de schakels zet is daarbij van belang. Bekijk in het voorbeeld goed hoe de rekenschema’s van 𝑓 en zijn inverse eruitzien. a Functie 𝑔 ontstaat door de eerste en de derde schakel van het rekenschema van 𝑓 te verwisselen. Hoe ziet het functievoorschrift van 𝑔 eruit? b Stel een functievoorschrift op voor de inverse van 𝑔. Laat duidelijk met een terugrekenschema zien hoe je dit doet. c Maak vervolgens met de grafische rekenmachine beide grafieken en ga na dat ze elkaars spiegelbeeld lijken te zijn bij spiegeling in de lijn 𝑦 = 𝑥.

OPGAVE 4.5

Om een inverse functie te kunnen opstellen, moet je kunnen terugrekenen. En daarvoor moet je de terugrekenstappen (inverse functies) van allerlei basisbewerkingen kennen. 1

a Bij 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 wordt één basisbewerking uitgevoerd, namelijk vermenig1

vuldigen met 2 . Wat is dan de terugrekenbewerking? b Welk voorschrift heeft 𝑓 inv ? c

1

Welke bewerking hoort bij 𝑓(𝑥) = u� ?

d Welke inverse functie past daar bij? e De inverse bewerking van kwadrateren is worteltrekken (en omgekeerd). Waar moet je in dit geval voor oppassen?

Voorbeeld 2 Gegeven zijn de functies 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 en 𝑔(𝑥) = - 3𝑥 − 1. Stel het functievoorschrift op van ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) en ℎinv (𝑥).

Antwoord 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(- 3𝑥 − 1) = 2(- 3𝑥 − 1) + 5 = - 6𝑥 + 3 Dus ℎ(𝑥) = - 6𝑥 + 3. Bij functie ℎ hoort het volgende rekenschema:

De inverse functie vind je door een terugrekenschema te maken:

Het voorschrift van de inverse functie is ℎinv (𝑥) =

67

u�−3 -6

1

= - 6𝑥 +

1 2

67

68

68


68

OPGAVE 4.6

Bekijk de functies 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 en 𝑔(𝑥) = - 3𝑥 − 5. a Stel het functievoorschrift op van 𝑘(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) b Stel het functievoorschrift op van 𝑘 inv .

OPGAVE 4.7

Gegeven zijn de functies 𝑓 en 𝑔 door 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 en 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 + 3 .

1

1

a Bereken 𝑓(𝑔(6)) en 𝑔(𝑓(6)). b Laat zien dat voor elke 𝑥 geldt 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥. c Plot de grafieken van 𝑓 en 𝑔. Zijn de functies 𝑓 en 𝑔 elkaars inverse?

Voorbeeld 3 Voor een toets kun je maximaal 30 punten krijgen. Het cijfer 𝑐 wordt berekend met de formule: 𝑐 =

u� 30

⋅ 9 + 1. Hierin is 𝑝 het behaalde aantal punten. Je ziet

dat 𝑐 een lineaire functie is van 𝑝. Uit welke basisbewerkingen bestaat 𝑐(𝑝)? Stel een formule op voor 𝑝 als functie van 𝑐.

Antwoord De basisbewerkingen zijn van boven naar beneden: • delen door 30; • vermenigvuldigen met 9; • 1 optellen. Om 𝑝 als functie van 𝑐 te kunnen schrijven, ga je terugrekenen (denk om de omgekeerde volgorde): • 1 aftrekken; • delen door 9; • vermenigvuldigen met 30. Je krijgt 𝑝 = OPGAVE 4.8

u�−1 9

⋅ 30.

Bestudeer het voorbeeld. Een andere docent hanteert voor dezelfde toets de formule 𝑐 = 1 +

3u� 10 .

a Geef bij deze formule de rekenstappen. b Stel een bijpassende formule op voor 𝑝 als functie van 𝑐. c Laat zien dat deze formule voor 𝑐 hetzelfde resultaat oplevert als die in het voorbeeld. Als je van de functie 𝑐(𝑝) een grafiek maakt met de grafische rekenmachine, dan moet je 𝑝 vervangen door X en 𝑐 vervangen door Y. d Hoe zit dat als je in dezelfde figuur de grafiek van 𝑝(𝑐) maakt?

68

68

69

69

HOOFDSTUK 2


69

VERWERKEN ★

OPGAVE 4.9

Gegeven zijn de functies 𝑓, 𝑔 en ℎ met 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 en ℎ(𝑥) =

1 2𝑥

met domein [0, →⟩. a Bereken 𝑓(𝑔(4)), 𝑔(ℎ(4)) en ℎ(𝑓(4)). b Geef de functievoorschriften van 𝑓(𝑔(𝑥)), 𝑔(ℎ(𝑥)) en ℎ(𝑓(𝑥)). c Geef de functievoorschriften van de inversen van de in b gevonden functies. ★

OPGAVE 4.10

Welke van de volgende functies zijn elkaars inverse functie? 1

•

𝑓(𝑥) = 2 𝑥 + 2 met domein ℝ

•

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 met domein [0, →⟩

•

ℎ(𝑥) = 2𝑥 +

• •

𝑘(𝑥) = 2𝑥 − 4 met domein ℝ 𝑙(𝑥) = √𝑥 met domein [0, →⟩

1 2

met domein ℝ

★ ★

OPGAVE 4.11

Een voorwerp wordt met een beginsnelheid van 15 m/s omhoog geworpen. Onder verwaarlozing van de luchtweerstand is zijn snelheid 𝑣 (in m/s) een functie van de tijd 𝑡 (in seconde): 𝑣(𝑡) = 15 − 9, 81𝑡 a Bereken in twee decimalen nauwkeurig na hoeveel seconden het voorwerp voor het eerst weer zal vallen. b Schrijf 𝑡 als functie van 𝑣. c Bereken nu met de formule uit b in twee decimalen nauwkeurig op welk tijdstip het voorwerp voor het eerst zal vallen.

★ ★

OPGAVE 4.12

Als je een massa aan een dunne kabel ophangt en je brengt die massa in beweging, gaat die massa heen en weer slingeren. De formule van de slingertijd is: u�

𝑡 = 2𝜋√ 9,81 Hierin is 𝑡 de slingertijd in seconde en 𝑙 de lengte van het touw in meter (9, 81 is de zwaartekrachtconstante). a Welke slingertijd hoort er bij een massa van 1 kg die slingert aan een kabel met een lengte van 2 meter? Geef je antwoord in honderdsten van seconden nauwkeurig. Iemand wil de lengte van de kabel berekenen door de slingertijd te meten. (Onder de lengte van de kabel moet je dan de afstand van het ophangpunt tot het massamiddelpunt van het slingerende voorwerp verstaan.) Hij schrijft daartoe de gegeven formule in de vorm 𝑙 = ... b Schrijf 𝑙 als functie van 𝑡. Rond af op twee decimalen. c Bereken nu met de formule uit b in twee decimalen nauwkeurig de lengte van de kabel als de slingertijd 3, 2 seconden is.

69

69

70

70


70

★ ★

OPGAVE 4.13

Maak bij elk van de volgende functies een rekenschema (als dat mogelijk is) en een terugrekenschema. Schrijf het functievoorschrift en het domein van de inverse functie op. a 𝑓1 (𝑥) = √𝑥 − 4 b 𝑓2 (𝑥) = √𝑥 − 4 c

1

𝑓3 (𝑥) = 2 𝑥 2 + 5 met 𝑥 ≥ 0 1

2 d 𝑓4 (𝑥) = 2 (𝑥 + 5) met 𝑥 ≥ −5

★ ★

OPGAVE 4.14

Gegeven zijn de functies 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 8 en 𝑔(𝑥) = 0, 5𝑥 + 𝑏. Voor welke 𝑏 geldt 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥))?

★ ★

OPGAVE 4.15

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑏. De grafiek van 𝑓 snijdt de grafiek van 𝑓 inv bij 𝑥 = 7. Bereken 𝑏.

★★★

OPGAVE 4.16

Je begint met het getal 16 en je kunt de volgende operaties uitvoeren: A: Vermenigvuldig met 100. B: Deel door 100. C: Tel er 7 bij op. D: Trek er 7 van af. E: Trek de wortel, alleen uit getallen groter dan of gelijk aan 0. F: Kwadrateer. Bijvoorbeeld: A

E

D

F

B

C

16 →⎯→ 1600 →⎯→ 40 →⎯→ 33 →⎯→ 1089 →⎯→ 10, 89 →⎯→ 17, 89 Dus de reeks AEDFBC levert 17, 89 op. Welke reeks, waarbij de zes operaties elk één keer gebruikt moet worden, levert het grootste antwoord?

70

70

71

71

HOOFDSTUK 2

2.5


71

Transformaties In deze paragraaf leer je: • werken met transformaties van grafieken; • grafieken van functies die door transformatie ontstaan uit een standaardfunctie afleiden uit de grafiek van die standaardfunctie.

UITLEG Bekijk hier de grafiek van de standaard kwadratische functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 op de grafische rekenmachine met de standaardinstellingen. Door in het functievoorschrift met een getal een vermenigvuldiging uit te voeren of een optelling te doen, verander je de grafiek van deze standaardfunctie. Dat heet wel: de grafiek transformeren (vervormen).

𝑦 = 𝑥2 + 2

𝑦 = (𝑥 + 2)

𝑦 = 2 ⋅ 𝑥2

𝑦 = (2 ⋅ 𝑥)

2

2

Je moet vier van die transformaties kennen. • De grafiek van 𝑦 = 𝑥 2 +2 ontstaat door alle 𝑦-waarden met 2 te verhogen. De punten van de grafiek komen daarom 2 eenheden verder omhoog van de 𝑥-as af te liggen. Dit heet 2 eenheden verschuiven ten opzichte van de 𝑥-as. 2 • De grafiek van 𝑦 = (𝑥 + 2) ontstaat door alle 𝑥-waarden met 2 te verlagen. De punten van de grafiek komen daarom 2 eenheden verder naar links van de 𝑦-as af te liggen. Dit is hetzelfde als - 2 eenheden verschuiven ten opzichte van de 𝑦-as. • De grafiek van 𝑦 = 2 ⋅ 𝑥 2 ontstaat door alle 𝑦-waarden 2 keer zo groot te maken. De punten van de grafiek komen daarom 2 keer zo ver van de 𝑥-as af te liggen. Dit heet met 2 vermenigvuldigen ten opzichte van de 𝑥-as.

71

71

72

72


72

•

2 De grafiek van 𝑦 = (2 ⋅ 𝑥) ontstaat door alle 𝑥-waarden met 2 te ver-

menigvuldigen. De punten van de grafiek komen daarom van de 𝑦-as af te liggen. Dit is hetzelfde als met

1 2

1 2

keer zo ver

vermenigvuldigen ten

opzichte van de 𝑦-as.

OPGAVE 5.1

Ga uit van de standaardfunctie 𝑦1 = 𝑥 2 . De grafieken van de onderstaande functies kun je door transformatie van de grafiek van deze functie krijgen. Geef bij elk van die functies aan welke transformaties dat zijn. a 𝑦2 = 0, 5 ⋅ 𝑥 2 2 b 𝑦3 = (𝑥 − 4) + 2 2 c 𝑦4 = 2 − 𝑥 2 d 𝑦5 = (3𝑥) + 2

OPGAVE 5.2

Ga uit van de standaardfunctie 𝑦1 = 𝑥 3 . De grafieken van de onderstaande functies kun je door transformatie van de grafiek van deze functie krijgen. Geef bij elk van die functies aan welke transformaties dat zijn. a 𝑦2 = 3 ⋅ 𝑥 3 3 b 𝑦3 = (𝑥 + 4) + 2 c 𝑦4 = 5 − 2𝑥 3 3 d 𝑦5 = (0, 5𝑥) + 1

THEORIE Ga uit van een functie 𝑦 = 𝑓(𝑥) (de rode grafiek in de figuur). • De groene grafiek 𝑦 = 𝑓(𝑥)+2 ontstaat door de grafiek van 𝑓 ten opzichte van de 𝑥-as 2 eenheden te verschuiven. • De blauwe grafiek van 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2) ontstaat door de grafiek van 𝑓 ten opzichte van de 𝑦-as - 2 eenheden te verschuiven. Dit zijn twee transformaties van een grafiek. Door het optellen van een getal in het functievoorschrift verschuift de grafiek. In plaats van verschuiving spreek je ook wel van translatie. De karakteristieken van de getransformeerde functies kun je afleiden uit die van de gegeven functie. Ga weer uit van een functie 𝑦 = 𝑓(𝑥) (de rode grafiek in de figuur). • De groene grafiek 𝑦 = 2⋅𝑓(𝑥) ontstaat door de grafiek van 𝑓 ten opzichte van de 𝑥-as met factor 2 te vermenigvuldigen. • De blauwe grafiek 𝑦 = 𝑓(2 ⋅ 𝑥) ontstaat door de grafiek van 𝑓 ten opzichte van de 𝑦-as met factor

1 2

te vermenigvuldigen.

Ook dit zijn twee transformaties van een grafiek. Door het vermenigvuldigen van een getal in het functievoorschrift wordt de grafiek vermenigvuldigd vanuit een as. Dit noem je vermenigvuldiging ten opzichte van een as. De karakteristieken van de getransformeerde functies kun je afleiden uit die van de standaardfunctie.

72

72

73

73

HOOFDSTUK 2


73

Voorbeeld 1 = 𝑥 2. De grafiek van 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) + 3 = (𝑥 − 2) + 3 ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door translatie van 2 ten opzichte van de 𝑦-as en een translatie van 3 ten opzichte van de 𝑥-as. (Je zegt ook wel 2 naar rechts en 3 omhoog verschuiven.) «APPLET» Gegeven is de standaardfunctie 𝑓(𝑥)

2

De grafiek van 𝑓 heeft als top (0, 0), de top van de grafiek van 𝑔 is (2, 3). In het algemeen geldt dat de grafiek van 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐) + 𝑑 ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door translatie van 𝑐 ten opzichte van de 𝑦-as en een translatie van 𝑑 ten opzichte van de 𝑥-as. Let op: stel dat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥, dan is 2 2 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2) − 2(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2) − 2𝑥 + 4 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8. Je vervangt dus elke 𝑥 in de formule door 𝑥 − 2. Denk daarbij om de haakjes. OPGAVE 5.3

1

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 3 . a Plot de grafiek van 𝑓. b Schrijf het functievoorschrift van 𝑔1 (𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2) op. Plot de grafiek van 𝑔1 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔1 uit die van 𝑓? c Schrijf het functievoorschrift van 𝑔2 (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2 op. Plot de grafiek van 𝑔2 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔2 uit die van 𝑓?

OPGAVE 5.4

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥. a Plot de grafiek van 𝑓. b Schrijf het functievoorschrift van 𝑔1 (𝑥) = 𝑓(𝑥 + 4) op. Plot de grafiek van 𝑔1 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔1 uit die van 𝑓? c Schrijf het functievoorschrift van 𝑔2 (𝑥) = 𝑓(𝑥) + 5 op. Plot de grafiek van 𝑔2 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔2 uit die van 𝑓?

Voorbeeld 2 «APPLET» Gegeven is de standaardfunctie 𝑓(𝑥)

= 𝑥 2.

De grafiek van 𝑔(𝑥) = 2 ⋅ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑥-as met 2. Je ziet in de grafiek dat de 𝑦-coördinaat van punt 𝐵 gelijk is aan 8 en dat is twee keer zo groot als de 𝑦-coördinaat van punt 𝐴. Let op: stel dat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥, dan is 𝑔(𝑥) = 2⋅𝑓(𝑥) = 2(𝑥 2 − 2𝑥) = 2𝑥 2 −4𝑥. Je vermenigvuldigt dus de hele formule met 2. In het algemeen: de grafiek van 𝑔(𝑥) = 𝑑 ⋅ 𝑓(𝑥) ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑥-as met 𝑑.

73

73

74

74


74

2 De grafiek van 𝑔(𝑥) = 𝑓(2𝑥) = (2𝑥) ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door ver1

menigvuldiging ten opzichte van de 𝑦-as met 2 . Je ziet in de grafiek bijvoorbeeld dat de 𝑥-coördinaat van punt 𝐵 1 is en dat is een

1 2

keer zo groot als de 𝑥-coördinaat van punt 𝐴. 2

Let op: stel dat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥, dan is 𝑔(𝑥) = 𝑓(2𝑥) = (2𝑥) −2⋅2𝑥 = 4𝑥 2 −4𝑥. Je vervangt dus elke 𝑥 in de formule door 2𝑥. In het algemeen: de grafiek van 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐 ⋅ 𝑥) ontstaat uit de grafiek van 𝑓 1

door vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑦-as met u� .

OPGAVE 5.5

1

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 3 . a Plot de grafiek van 𝑓. b Schrijf het functievoorschrift van 𝑔1 (𝑥) = 𝑓(2𝑥) op. Plot de grafiek van 𝑔1 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔1 uit die van 𝑓? c Schrijf het functievoorschrift van 𝑔2 (𝑥) = 2 ⋅ 𝑓(𝑥) op. Plot de grafiek van 𝑔2 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔2 uit die van 𝑓?

OPGAVE 5.6

74

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥. a Plot de grafiek van 𝑓. b Schrijf het functievoorschrift van 𝑔1 (𝑥) = 𝑓(2𝑥) op. Plot de grafiek van 𝑔1 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔1 uit die van 𝑓? c Schrijf het functievoorschrift van 𝑔2 (𝑥) = 2 ⋅ 𝑓(𝑥) op. Plot de grafiek van 𝑔2 . Hoe onstaat de grafiek van 𝑔2 uit die van 𝑓?

74

75

75

HOOFDSTUK 2


75

Voorbeeld 3 «APPLET» Gegeven is de standaardfunctie 𝑓

met voorschrift 𝑓(𝑥).

De grafiek van 𝑔(𝑥) = 0, 5 ⋅ 𝑓(3 ⋅ (𝑥 − 6)) + 5 ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door de transformaties: • • • •

1

Vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑦-as met 3 : 𝑦2 = 𝑓(3 ⋅ 𝑥) Translatie van 6 ten opzichte van de 𝑦-as: 𝑦3 = 𝑓(3 ⋅ (𝑥 − 6)) Vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑥-as met 0, 5: 𝑦4 = 0, 5 ⋅ 𝑓(3 ⋅ (𝑥 − 6)) Translatie ten opzichte van de 𝑥-as van 5: 𝑦5 = 0, 5 ⋅ 𝑓(3 ⋅ (𝑥 − 6)) + 5

Let op dat je eerst de vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑦-as met

1 3

toe-

past en daarna de translatie van 1 ten opzichte van de 𝑦-as doet.

75

75

76

76


76

Gegeven is de standaardfunctie 𝑓.

De grafiek van 𝑔(𝑥) = 0, 5 ⋅ 𝑓(3𝑥 − 6) + 5 ontstaat uit de grafiek van 𝑓 door de transformaties: • Translatie van 6 ten opzichte van de 𝑦-as: 𝑦2 = 𝑓(𝑥 − 6) • • •

1

Vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑦-as met 3 : 𝑦3 = 𝑓(3𝑥 − 6) Vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑥-as met 0, 5: 𝑦4 = 0, 5 ⋅ 𝑓(3𝑥 − 6) Translatie ten opzichte van de 𝑥-as van 5: 𝑦5 = 0, 5 ⋅ 𝑓(3𝑥 − 6) + 5

Let op dat je nu eerst de translatie van 6 ten opzichte van de 𝑦-as toepast en daarna de vermenigvuldiging ten opzichte van de 𝑦-as met OPGAVE 5.7

76

1 3

doet.

Geef bij elk van de functies aan welke transformaties je moet toepassen om de grafiek uit die van 𝑓 te laten ontstaan. (Let op de volgorde!) a 𝑔(𝑥) = 2 ⋅ 𝑓(𝑥) + 3 b ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 4) + 2 c 𝑘(𝑥) = 2 − 𝑓(𝑥) d 𝑙(𝑥) = 𝑓(3𝑥) + 2 e 𝑚(𝑥) = 2 ⋅ 𝑓(3(𝑥 − 1)) + 4

76

77

77

HOOFDSTUK 2

OPGAVE 5.8


77

Schrijf het functievoorschrift op van 𝑔 als de grafiek uit die van 𝑓 ontstaat door de genoemde transformaties. a Ten opzichte van de 𝑥-as met - 2 vermenigvuldigen en dan translatie van 1 ten opzichte van de 𝑥-as toepassen. b Ten opzichte van de 𝑦-as met 2 vermenigvuldigen en dan een translatie van - 3 ten opzichte van de 𝑥-as toepassen. c Ten opzichte van de 𝑦-as met 0, 5 vermenigvuldigen, gevolgd door een translatie van 4 ten opzichte van de 𝑦-as. d Ten opzichte van de 𝑦-as een translatie van 4, dan ten opzichte van de 𝑦as een vermenigvuldiging met 0, 5 en ten slotte een translatie ten opzichte van de 𝑥-as van - 2 toepassen.

Voorbeeld 4 Als je een grafiek op de grafische rekenmachine wilt maken, dan moet je geschikte vensterinstellingen geven. Dan kan het nuttig zijn om te zien dat een bepaalde functie door transformatie kan ontstaan uit een veel eenvoudiger standaardfunctie. Zeker als je van die standaardfunctie alle karakteristieken weet. 2

Hoe breng je de grafiek van 𝑓(𝑥) = 200 − 5(𝑥 − 30) goed in beeld?

Antwoord 2

Je herkent dan de functie als 𝑓(𝑥) = - 5(𝑥 − 30) + 200 met als bijbehorende standaardfunctie 𝑦 = 𝑥 2 . Die standaardfunctie heeft als grafiek een dalparabool met top (0, 0). De grafiek van 𝑓 ontstaat uit die van 𝑦 = 𝑥 2 door: • een verschuiving van 30 ten opzichte van de 𝑦-as; • een vermenigvuldiging van - 5 ten opzichte van de 𝑥-as; • een verschuiving van 200 ten opzichte van de 𝑥-as. De top van de grafiek van 𝑓 is daarom (30, 200) en de grafiek is een bergparabool. De grafiek van 𝑦 = 𝑥 2 is goed in beeld met venster [- 10, 10] × [- 10, 10]. Op dit venster kun je ook de beschreven transformaties toepassen. De grafiek van 𝑓 is daarom goed in beeld op [20, 40] × [- 10, 250].

OPGAVE 5.9

77

4

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 0, 25(𝑥 − 5) − 10. De grafiek van deze functie kan door transformaties ontstaan uit die van de bijbehorende standaardfunctie. a Welke standaardfunctie is dat? b Welke transformaties moeten er dan achtereenvolgens worden toegepast? c Bepaal nu het minimum van de grafiek van de gegeven functie. Voor welke waarde van 𝑥 treedt dit minimum op?

77

78

78


78

OPGAVE 5.10

Je ziet de grafiek van 𝑦1 = 𝑥 2 met de standaardinstellingen van het venster van je rekenmachine.

Bekijk de zes grafieken in de standaardinstellingen van het venster van de grafische rekenmachine. Ze zijn allemaal ontstaan uit transformatie van de grafiek van 𝑦1 . Geef bij elke grafiek aan welke transformatie er is toegepast. Schrijf ook het juiste functievoorschrift op.

78

a

b

c

d

e

f

78

79

79

HOOFDSTUK 2

OPGAVE 5.11


79

2 De grafiek van de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 20) + 200 komt met de standaardinstellingen van het venster op de grafische rekenmachine niet in beeld. Leg uit hoe je door het toepassen van transformaties de vensterinstellingen in één keer zo kunt maken, dat die grafiek wel goed in beeld komt.

VERWERKEN ★

OPGAVE 5.12

Ga uit van de standaardfunctie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . De grafieken van de functies kun je door transformatie van deze standaardfunctie krijgen. Geef bij elk van die functies aan welke transformaties dat zijn en geef de bijbehorende formules. a 𝑦2 = 0, 5 ⋅ 𝑓(𝑥) b 𝑦3 = 𝑓(𝑥 − 4) + 2 c 𝑦4 = 2 − 𝑓(𝑥) d 𝑦5 = 𝑓(3𝑥) − 4

★

OPGAVE 5.13

Je ziet vijf keer het venster van de grafische rekenmachine met de basisinstellingen. De standaardfunctie is 𝑦1 = 𝑥 3 .

De overige grafieken zijn door transformatie van die grafiek ontstaan. Geef bij elke functie het juiste voorschrift.

79

a

b

c

d

79

80

80


80

★ ★

OPGAVE 5.14

Je ziet de grafiek van 𝑦1 = 𝑓(𝑥). Neem de grafiek over op een roosterblad. Teken de grafieken van de volgende functies. Schrijf erbij welke transformaties je toepast. a 𝑦2 = 𝑓(𝑥 − 2) b 𝑦3 = - 2 ⋅ 𝑓(𝑥) c 𝑦4 = 𝑓(𝑥) − 2 d 𝑦5 = 𝑓(2𝑥) − 1

★ ★

OPGAVE 5.15

Een weggeslingerde kogel beschrijft ten opzichte van een 𝑂𝑥𝑦-assenstelsel 2 de volgende baan: 𝑦 = - 0, 02(𝑥 − 10) + 4. Het moment van loslaten ligt op 𝑦 = 2. Dit is bij 𝑥 = 0. 𝑦 en 𝑥 zijn beide in meter uitgedrukt. a Geef geschikte vensterinstellingen zodat je de volledige baan van de kogel op de grafische rekenmachine in beeld kunt krijgen. b Bereken hoe ver deze kogelstoter met zijn kogel komt. Geef je antwoord in centimeter nauwkeurig. c Na hoeveel meter is de kogel weer even hoog als op het moment van loslaten?

★ ★

OPGAVE 5.16

De grafiek van 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 heeft als top de coördinaten (- 1, 6). Geef aan door welke translaties de grafiek van 𝑔 uit een standaardgrafiek ontstaat en bereken 𝑏 en 𝑐.

★ ★

OPGAVE 5.17

Gegeven is de standaardfunctie 𝑓(𝑥) = √𝑥. a De grafiek van 𝑦1 ontstaat door op de grafiek van 𝑓 een translatie van - 2 ten opzichte van de 𝑦-as en een translatie van 5 ten opzichte van de 𝑥-as toe te passen. Geef het functievoorschrift en het domein en bereik van 𝑦1 . b De grafiek van 𝑦2 ontstaat door de grafiek van 𝑓 eerst te vermenigvuldigen met 2 ten opzichte van de 𝑥-as, vervolgens de translatie van 3 ten opzichte van de 𝑦-as toe te passen en tot slot nog de translatie van - 4 ten opzichte van de 𝑥-as toe te passen. Geef het functievoorschrift van 𝑦2 en het domein en bereik daarvan. c De grafiek van 𝑦3 ontstaat door de grafiek van 𝑓 eerst te vermenigvuldigen 1

met - 2 ten opzichte van de 𝑦-as, vervolgens de translatie van 2 ten opzichte van de 𝑦-as toe te passen en tot slot nog de translatie van 4 ten opzichte van de 𝑥-as toe te passen. Geef het functievoorschrift van 𝑦3 en het domein en bereik daarvan.

80

80

81

81

HOOFDSTUK 2

★★★

81

OPGAVE 5.18


81

a De grafiek van functie 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 ontstaat uit transformaties van de grafiek van de standaardfunctie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Welke transformaties? b De functie ℎ(𝑥) = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 7 ontstaat uit transformaties van de grafiek van de standaardfunctie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Welke transformaties?

81

82

82


82

Voorbeeld eindtoets 2

OPGAVE V1

Gegeven is de functie 𝑓 met 𝑓(𝑥) = 0, 25(𝑥 − 10) − 16. a Door welke transformaties kan de grafiek van 𝑓 ontstaan uit die van 𝑦 = 𝑥 2? b Bepaal de top en de nulpunten van de grafiek van 𝑓.

OPGAVE V2

Bereken algebraïsch bij de functies eerst de nulpunten. Bepaal vervolgens het domein en bereik van de functies. a 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 2 − 400) b 𝑔(𝑥) = √20 − 𝑥 − 40

OPGAVE V3

Gegeven is de functie 𝑦(𝑥) = 4 −

1 . u� 2

a Welke asymptoten heeft de grafiek van deze functie? b Geef het domein en bereik van 𝑓. c Los algebraïsch op: 𝑦 = 2. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. OPGAVE V4

Je ziet vier grafieken die zijn ontstaan door op de grafiek van 𝑓(𝑥) = √𝑥 één of meer transformaties toe te passen. Steeds zijn de standaardinstellingen van het venster van de grafische rekenmachine gebruikt.

a

b

c

d

Schrijf bij elke grafiek het juiste functievoorschrift op.

82

82

83

83

HOOFDSTUK 2


OPGAVE V5

Gegeven zijn de functies 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 (𝑥 + 20) en 𝑔(𝑥) = 50𝑥 2 . a Bereken algebraïsch de nulpunten van 𝑓. b Plot de grafieken van 𝑓 en 𝑔, zodat alle karakteristieken goed te zien zijn. Schrijf op welke vensterinstellingen je hebt gebruikt. c Bereken de snijpunten van de grafieken van 𝑓 en 𝑔.

OPGAVE V6

Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = - 2𝑥 + 4. a Voor welke functie 𝑔 geldt dat 𝑓(𝑔(𝑥)) = 4𝑥 + 8? b Geef het voorschrift van 𝑓 inv .

OPGAVE V7

In de figuur zie je de grafieken I en II. I is de grafiek van 𝑦 = 𝑥 3 . Grafiek II ligt rechts van I, zodanig dat alle horizontale verbindingslijnstukken van I en II de lengte 2 hebben.

83

a Geef een bij grafiek II passend functievoorschrift. b De verticale verbindingslijnstukken van I en II variëren in lengte. Bereken algebraïsch de waarden van 𝑥 waarvoor die lengte 26 is. c Bereken de kortste lengte van zo’n verticaal verbindingslijnstuk.

83

83

84

84

84

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

84

84

WISKUNDE B HAVO BOEK I

Recommend Documents