samenvattin9 stock-taking of the reliability of M.V

ttr:.L.

92

ELE

stock-taking of the reliability of M.V. cables

samenvattin9 In het kader van een stage heb ik gezocht naar modellen die de faalkans respectievelijk de levensduur van middenspanningskabels beschrijven. Ik heb me bij dit zoeken vooral gericht op redelijk recente artikels uit wetenschappelijke tijdschriften. Over het algemeen kan men zowel bij de levensduurrelaties als bij de relaties die de faalkans van kabels beschrijven onderscheid maken in 3 categorieen: relaties die aIleen de invloed van de electrische veldsterkte beschrijven bij vaste temperatuur, relaties die aIleen de temperatuurafhankelijkheid beschrijven (bij vaste veldsterkte) en relaties die beide invloeden meenemen. Verder zijn er nog artikelen die naast de invloed van veldsterkte en temperatuur ook nog de afmetingen van kabel (samples) verdisconteren.

2

Inbou4sopqave 1 Inleidinq

bIz

4

2 Het falen van kabels bIz 2.1 Belanqrijke oorzaken van het falen van kabels bIz 2.2 De levensduur van een kabel bIz

6 6

10

3 Eendimensionale levensduurkrommen van kabels 3.1 Het inverse power law model 3.2 Andere levensduurkrommen met de veldsterkte als verouderende factor 3.3 Levensduurkrommen met de temperatuur als verouderende factor

bIz bIz bIz

12 12 21

bIz

24

4 Meerdimensionale levensduurkrommen van kabels 4.1 Modellen voor verouderinq door meerdere factoren 4.2 Grafische voorstellinqen van een aantal modellen

bIz bIz

27 27

bIz

40

5 De Weibullverdelinq in verband met het falen van kabels 5.1 De Weibullverdelinq in verband met de eerder qevonden levensduurverqelijkinqen 5.2 Opmerkinqen ten aanzien van het qebruik van de Weibullverdelinq

bIz

50

bIz

50

bIz

67

6 De verqelijkinq van kabels me verschillende diameters en lenqten

bIz

76

7 Parameterbepalinq van de Weibullverdelinqsfunctie

bIz

99

8 Conclusies

bIz 105

9 Literatuurlijst

bIz 106

Bijlaqe 1: Verslaq van het bibliotheekpraktikum

bIz 112

3

1 Inleidinq Gedurende de afgelopen eeuw is er een enorme toename in het gebruik van electrische energie ontstaan. Om deze energie te transporteren van centrale naar verbruiker zijn in de loop der jaren enorme distributienetten aangelegd. De verbruikers zijn steeds hogere eisen gaan stellen aan de kwaliteit van de geleverde electrische energie. Een van deze eisen is de betrouwbaarheid van de levering. Speciaal bij continue produktieprocessen in onder andere de chemische industrie is een betrouwbare energievoorziening noodzakelijk. Een belangrijk aspect in de electrische energievoorziening is derhalve de betrouwbaarheid van de distributienetten. Deze distributienetten bestaan in Nederland voor het grootste deel uit kabels. De ontwikkeling van nieuwe, meer betrouwbare kabels en kabeltypen is dan ook nog steeds in volle gang. Een beheerder van een distributienet wil graag een zo nauwkeurig mogelijke indicatie hebben van de levensduur van een bepaalde kabel, zodat hij tijdig tot vervanging over kan gaan. Verder moet de levensduur natuurlijk zo groot mogelijk zijn. In dit verband werkt men ook veel met de begrippen faalkans en faalgraad, omdat er binnen elk tijdsinterval een kans is dat een bepaalde kabel faalt. Er zijn de afgelopen jaren verschillende modellen ontwikkeld om de levensduur en de faalkans van een bepaalde kabel of een bepaald kabeltype te bepalen. Het praktisch nut van onderzoek naar levensduren en faalkansen van kabels berust op het feit dat men zo waarschijnlijk nauwkeuriger schattingen kan doen omtrent de betrouwbaarheid van een kabel(netwerk). In de volgende hoofdstukken zal ik de zaken presenteren zoals 4

ze ook in de verschillende artikels behandeld worden. Hierbij zal ik over het algemeen proberen zo min mogelijk mijn eigen conclusies te trekken om zo te voorkomen dat ik lezers op het verkeerde spoor zet. In de navolgende hoofdstukken zal ik eerst wat algemene zaken over het falen van kabels aanduiden. Daarna zal ik een aantal in de literatuur gevonden verouderingsmodellen presenteren. Vervolgens zal ik neg een aantal zaken aanduiden die verband houden met de gebruikte kansverdeling, waaronder de vergelijking van kabels met verschillende lengten en diameters.

5

2 Bet falen van kabels 2.1 Belangrijke oorzaken van het falen van kabels

Een kabel kan falen onder invloed van verschillende oorzaken. Hoge belasting en thermische cycli vormen belangrijke verouderende factoren en maken de kans op falen van de kabel groter. Een veel voorkomende oorzaak van het falen van kabels is het kapottrekken van kabels bij graafwerkzaamheden, maar dit heeft verder weinig uit te staan met de kwaliteit van een kabel en kan in principe met iedere kabel gebeuren. Het vormt een externe oorzaak waar de fabricant van de kabels weinig aan kan doen. De doorslagveldsterkte van goede XLPE kabelisolatie kan hoog zijn wanneer deze veldsterkte gedurende een korte tijd wordt aangeboden. Een lagere waarde van de doorslagveldsterkte wordt veelal veroorzaakt door imperfecties. Deze imperfecties zijn dus van grote invloed op het faalgedrag van een kabel. Enkele van deze imperfecties zijn: defecten in de isolatie (extrusiedefecten bij kunststofisolatie), verontreinigingen in de isolatie en vochtigheid in de grond. Hieronder zal ik het een en ander nader uiteenzetten. Om te beginnen zal ik eerst de algemene opbouw van een kabel in twee plaatjes laten zien om zo ook de benamingen van de verschillende delen al te introduceren bij de lezer. Het eerste plaatje is een plaatje van een kunststofgeisoleerde kabel, het tweede plaatje is een plaatje van een gepantserde papier loodkabel (GPLK) [18].

6

1 - - - -....... __

.. .---_ill

...._ _ _

~ r - - -

Fiquur 1: Opbouw van een 30/50 kV XLPE-kabel.

GORDElKABEl geleider aderisolatie gordelisolatie loodmantel staalband bewapening bekleding

Fiquur 2: Een dwarsdoorsnede van een GPLK. Wat defecten in de isolatie van kabels met kunststof isolatie betreft kan men onderscheid maken in holtes in de isolatie, gaten in de isolatie en uitsteeksels (van geleider- en aderscherm in de isolatie). De uitsteeksels en gaten van het geleiderscherm zijn kritischer dan die van het aderscherm [4]. a) Uitsteeksels van het geleiderscherm. De invloed van uitsteeksels kan behulp van onderstaande formule: 7

geillustreerd

worden

met

(1

=

(2.1)

= =

E a E~x

=

h r

veldsterkte voor vlakke structuur veldsterkteverhogingsfactor

veldsterkte op de top van het uitsteeksel (ellipsoide) - hoogte van het uitsteeksel = straal van de top van het uitsteeksel

Bovenstaande

formule

geldt

aIleen voor

een

ellipsoidevormig

uitsteeksel. Hieronder voIgt een tabel die aangeeft wat er met a gebeurt als het quotient h/r toeneemt: Tabel 1: De verandering van a bij een toename van het quotient h/r. h/r

2

5

10

50

100

a

5,8

9,8

15

49

85

Naar

aanleiding

van

de

tabel

kan

spitser het uitsteeksel is hoe hoger

men E~x

concluderen

dat

hoe

relatief tot E wordt.

Vanwege de hoge veldsterkte ter plaatse van het uitsteeksel is dit uitsteeksel een breakdowngevoeligpunt van de kabel. Deze uitsteeksels worden veroorzaakt bij de fabricage van de kabel door

onder

meer

clustering

van

koolstofdeeltjes

en

andere

omstandigheden van grote oppervlakteruwheid [4]. b) Holtes en gaten in de isolatie. Wat

kunststofisolatie

betreft

zit

het

gevaar

van

gaten

en

holtes hierin dat deze het ontstaan van bomen in de isolatie kunnen bevorderen en zo breakdown van de kabel kunnen versnel8

len. De beginspanning van een partiEHe ontlading stijgt met afnemende grootte van de hoIte. Grote hoItes hebben dus een zeer nadelige invloed. Holtes in de isolatie worden meestal veroorzaakt door een slechte verspreiding van de crosslinking vloeistof en slechte extrusiecondities [4]. c) Onderbrekingen in het geleiderscherm. Onderbrekingen in het geleiderscherm kunnen ontstaan tijdens de fabricage vanwege slechte extrusiecondities. Onder normale bedrij fsomstandigheden en bij cyclische belasting zal er een hoIte ontstaan bij de onderbreking en er zullen ontladingen optreden die kunnen leiden tot het falen van de kabel [4]. d) Verontreinigingen in de isolatie. Verontreinigingen kunnen ook een behoorlijke invloed hebben. Wanneer ze scherpe randen hebben kunnen ze electrische bomen initieren. Ook zijn ze vaak beter geleidend dan de isolatie waarin ze zich bevinden. Verontreinigingen ontstaan bij het verwerken en behandelen van de compounds [4]. De meest critische gebreken bij kunststofkabels zijn in afnemende mate van belangrijkheid uitsteeksels van het geleiderscherm, verontreinigingen bestaande uit geleidende deeltjes en isolerende deeltjes met een grotere geleidbaarheid dan de isolatie zelf en ruimtes die ontladen bij gebruik van een wissel spanning [4]. De omgeving (vocht, enzovoort) is een factor die invloed heeft op zowel gepantserde papier lood kabels als kunststofgeisoleerde kabels. Verder is voor gepantserde papier loodkabels de zuurtegraad van de grond belangrijk. Zure grond tast de buitenkant (pantsering) van de kabel het hardste aan. De loodmantel van gepantserde papier loodkabels kan corroderen en de loodkristalstructuur kan ongelijkmatig zijn. Daarnaast kaner verkazing (polymerisatie) van de massa optreden. Dit laatste 9

is vooral van belang wanneer men een bepaalde kabel wil verleggen [18]. In het algemeen dient men ook aan het (ver) leggen van een kabel de nodige zorg te besteden, daar ook hieruit schade kan voortvloeien. Een slechte loodkristalstructuur ligt over het algemeen aan het fabricageproces (het niet goed vloeien van het lood). Verkazing van de massa treedt veelal op bij hoogbelaste kabels. Corrosie vindt zijn oorzaak in de omgeving [18]. In verband met het uiterlijk van een in bedrijf geweest zijnde gepantserde papier lood kabel kan opgemerkt worden dat ook hier ongerechtigheden zoals gaatjes in de mantel voorkomen

[18].

2.2 De 1evensduur van een kabel De factor en die de levensduur van een kabel beinvloeden verschillen per kabeltype. De omstandigheden waaronder een kabel functioneert zijn daarbij van groot belang. Om de invloed van een bepaalde factor op een gegeven kabel of kabeltype te onderzoeken heeft men getracht door middel van metingen van de levensduur van kabels als functie van een of meer van die factoren modellen af te leiden die de mate van veroudering en het faalgedrag moesten beschrijven. De data die men nodig heeft om bepaalde modellen af te leiden en te controleren bepaalt men meestal in het laboratorium onder optimale condities. Hier past men vaak versnelde veroudering toe. Voorbeelden van (versnelde) veroudering Z1Jn het toedienen van thermische cycli (warm-koud-warm-koud) om een kabel thermisch te verouderen, het toedienen van een hoge veldsterkte, bij een normale grootte van veldsterkte een hoge frequentie toepassen, 10

enzovoort [7,9]. Bij dit soort metingen laat men een of enkele factoren die het leven van een kabel kunnen beinvloeden varieren. De invloed van andere factoren probeert men zoveel mogelijk te beperken. Op deze manier kan een model voor thermische veroudering, electrische veroudering, enzovoort worden afgeleid. De afzonderlijke modellen kan men vervolgens combineren. Vervolgens kan men proberen te bepalen hoe de faalkans verandert gedurende een bepaald verouderingsregime. Dit is natuurlijk allemaal statistisch omdat er een behoorlijke spreiding kan zitten in het falen van kabels. Het doel van de bepaling van modellen voor de levensduur en de faalkans van kabels is om door metingen van de parameters die bij het model horen iets te kunnen zeggen over de levensduur en de faalkans van een groep kabels op de lange termijn.

11

3 Ben4imensiona1e 1evens4uurkro. .en van kabe1s 3.1 .et inverse power law .04e1

Bet zogenaamde inverse power law model is een veel gebruikte relatie om het verband aan te geven tussen de levensduur van een kabel en de aangelegde spanning (veldsterkte). In formulevorm ziet het er als voIgt uit [9]:

(3.1)

waarbij L de levensduur voorstelt, V de aangelegde spanning en C en n constanten zijn. Meestal zet men meetwaarden langs logarithmische assen uit. Men krijgt dan een rechte lijn als de meetwaarden kloppen met het model. Vaak komt men formule 3.1 in een iets andere vorm tegen [9]:

(3.2)

In bovenstaande formule is V vervangen door E en heeft de constante C uit formule 3.1 een waarde gekregen uitgedrukt in de constanten Eo en to (toEo"=constant). Referenties [9,20] geven aan dat Eo als grenswaarde geinterpreteerd kan worden waaronder electrische veroudering niet of nauwelijks meer optreedt en bovenstaand verband niet meer geldt, iets wat anderen niet doen [34]. Zij zien Eo als referentieveldsterkte. Er zijn verschillende pogingen ondernomen om bovenstaande relatie af te leiden. Ik zal er nu een paar laten zien.

12

Referentie [17] toont een chemische variant van formules 3. 1 en 3 •2 uitgaande van een formule die gebruikt wordt bij de theorie van chemische reactiesnelheden. Dit is de volgende relatie:

_ dc = kc N

dt

waarbij c de concentratie van het resterende reagent is, en k en N constanten. Bovenstaande formule stelt dat de afname van de concentratie van een reagent recht evenredig is met de concentratie van het overblijvende reagent tot de macht N. k geeft de snelheid aan van de reactie. De constante N is een maat voor het aantal functionele groepen dat deelneemt aan de reactie. N wordt vaak de orde van de reactie genoemd. Voor N=1 ziet de oplossing van de functie er als voIgt uit:

c

=

e-kt

Co

Voor N>1 voIgt:

Co is de concentratie op t=o. uit deze formule voIgt dan weer:

(

~

N-l )

·[1+ko(N-1) °CON-lot] = 1

13

Naar het einde van de reactie toe, dus voor qrote waarden van t, wordt (N-1)kc~-1t»1 en is de volqende benaderinq qeIdiq:

Bovenstaande benaderinq qeIdt voor een reactie van orde N. Voor een reactie van de orde N+1 vindt men:

Deze formule vertoont zeer qrote qeIijkenis met formules 3.1 en 3.2. De anaIoqie qeeft aan dat electrische verouderinq een chemische reactie is van de orde N+1. De afleidinq impliceert ook dat formule 3.1 slechts een benaderinq is van de ware verouderinqsrelatie. Vervolqens Ieidt de auteur van [17] met behulp van formule 3.1 een verouderinqsrelatie voor een test met een constante veIdsterkte. Formule 3.1 kunnen we schrijven als (waarbij L vervanqen is door t):

t- 1 = V n C- 1

Door differentiatie volqt:

14

en

dV

dt

= _-.!... V n+1 nC

Met -.!... = k voIgt: nC

_ dV = kVn+l

dt

In een test met constante veldsterkte is V een maat voor de dielectric strength S. Daardoor krijgt men dan:

_ dS

dt

= kSn+1

De dielectric strength S in bovenstaande formule is gelijk aan de toegevoerde veldsterkte aan het einde van de levensduur van de isolatie. Men kan de vergelijking als voIgt oplossen:

_ dS = Sn+l

kdt

met de beginvoorwaarde S=80 voor t=O voIgt:

15

Uiteindelijk volgt dan:

Ooor

te

stellen

1

nkson

= to krijgt

de verouderingsrelatie

een

simpele vorm:

oit is de verouderingsrelatie voor een constante spanning. Bij een constante spanning S hoort een levensduur t. Voor t » to kan men dit benaderen door:

oit is weer een vorm van de inverse power law. Ook in referentie [31] wordt geprobeerd relaties zoals 3.1 en 3.2 af te leiden. Er wordt uitgegaan van een zekere eigenschap met een in de tijd afnemend verloop, hoewel men voor een stijgend verloop maar weinig aan de afleiding hoeft te veranderen. Hoe dit verloop er precies uitziet hangt af van de eigenschap en de factor die het verloop veroorzaakt. c = C geeft de relatieve waarde van bedoelde Co

16

eigen-

schap. Er wordt aangenomen dat algemeen geldt: de dt = -keD

In dit geval wordt de vergelijking als voIgt opgelost: c

t

f -e-Dde = fkdt = kt 1

0

c

stel f -e-Dde =

J

•

We kunnen dan schrijven:

J =

kt .Er geldt dat

1

J

= F(e)

J

= k(S)

en k

= k(S)

• Wanneer J constant is krijgt men:

t

Deze formule zou men zo kunnen modelleren dat men formule 3.1 krijgt. Ik heb deze methode om het verouderingsproces heel formeel te bekijken meegenomen omdat er heel sterke overeenkomsten zijn met de benaderingswij ze volgens de chemische reactietheorie van referentie [17]. Beide dienen om de vorm van bepaalde levensduurrelaties (de inverse power law) aannemelijk te maken. In referentie [4] probeert men een uitdrukking te vinden voor de constante C in formule 3.1. Men stelt dat het begin van een voltage breakdown bepaald wordt door de in de isolatie heen en weer vloeiende ladingen die een ionisatiestroom veroorzaken in 17

de isolatie in de gebieden met hoge veldsterkten. Oe formule voor de ionisatiestroom i is als voIgt:

met: i A Enu Eo

= ac stroom in amperes = een constante = de maximale veldsterkte bij een imperfectie = de beginveldsterkte van ionisatie van een imperfectie = een exponent die het verband aangeeft tussen ionisa-

n tiestroom en veldsterkte

Ken neemt aan dat de isolatie maar gedurende een bepaalde tijd een bepaalde ionisatiestroom kan verdragen. Dus de factor i·t is bepalend.

Ken noemt dit de critische lading Ocr.

In

formulevorm krijgt men dan: Ocr = i' t =

A ( -max Ji' - E ) n. t 0

Voor veldsterkten kleiner dan de beginveldsterkte Eo is de levensduur van de kabel oneindig. Eo functioneert als een soort drempel waaronder veroudering van de kabel geen rol speelt. Voor E.x»Eo kan men bovenstaande uitdrukking als voIgt reduceren:

oit doet weer sterk denken aan 3.2. Verder kan men dan nog de volgende formule beschouwen:

18

met:

= veldsterkte in de buurt van de imperfectie in afwezig-

E

heid van de imperfectie = de gemiddelde veldsterkte in de isolatie y

= de

veldversterkingsfactor van de imperfectie

Met behulp van deze formule kan men vinden:

E-"9'not

=C =

Deze formule geeft een mogelijke uitdrukking voor C in formule 3.2. Oat de inverse power law volgens formules 3.1 en 3.2 in de praktijk goed voldoen laten de volgende plaatjes zien waarvan ik de eerste 2 plaatjes heb overgenomen uit referentie [1] en het laatste plaatje uit referentie [9].

19

IOOr-r--r--'---'---r~r-,--....----r----r----r---,

lOO,..--r--....----r---r----r----,-,--....----,---r-,.---,

80

80

!

---.

>

M

::::

30

t'

'". ,

20

~

15

'"

60

pO

.----.----

~ 40

e ___

~

'0

>

~

o

10

,

~ m

t c>

Threshold Le.el

J 1~0.:7."""'--~l 0:-:'.2,-'----'-----l.-1'-;02-;---1----..I.O....""....L.....-L,""":'---.J j

years: 1

110 '

10

100

years:

T;!Tle' to Brel!lkdown - H1nutes

Time to Breakdown - Minutes

Fiquur 3: Voorbeelden van de inverse power law in grafiek. "

~:~ ~.

--~

:;:':t

L-------"---~---'-----"""'""________'

• .t

;r:".

;c 2

Ie"

Electrische veroudering veroorzaakt een afname in electric strength met toenemende tijd. In referentie [27] is hiervoor een formule terug te vinden. Deze ziet er als voIgt uit:

l_(~)n+l = (~)n ...!.. ~o

~o

(3.3)

to

waarbij S de electric strength (na prestress) op een zekere tijd t voorstelt, So is de initiEHe waarde van de electric strength (voor prestress), E is de electrische veldsterkte, to is de tijd tot falen wanneer een constante veldsterkte gelijk aan de ini tiEHe waarde van de electric strength wordt aangelegd en n is een fundamentele coefficient die vaak "voltage endurance coefficient" wordt genoemd. Voor een juiste toepas20

sing van de theorie is het noodzakelijk om de electric strength te definieren als de waarde van constante veldsterkte die doorslag veroorzaakt in een vastgestelde tijd. Met 5=0 en wordt t gelijk aan de tijd tot falen (= de levensduur L). Feitelijk betekent 5=0 dat de isolatie gefaald heeft. De vergelijking wordt dan:

Dit doet weer sterk denken aan formule 3.2 en is weer een vorm van de inverse power law. Het een en ander wordt in referentie [27] naar m~Jn mening nogal slecht uitgelegd. Het begrip prestress wordt bijvoorbeeld eigenlijk niet eens gedefinieerd. De aandachtige lezer raad ik dan ook aan om het een en ander zel f in referentie [27] na te lezen. 3.2 Andere levensduurkrommen .et de veldsterkte als veroude-

rende factor In tegenstelling tot het voorafgaande wordt er in de life modellen meestal een of andere drempelwaarde verwacht waarbeneden de veroudering niet of nauwelijks meer optreedt. In de hiervoor beschreven inverse power law kwam geen drempel voor. Toch kan men in dit model een drempel introduceren. In referentie [20] heeft men een electrische drempel geintroduceerd door n afhankelijk te maken van E en in zekere mate van T. In formulevorm ziet het er als voIgt uit:

n

(3.4)

=

1- E 0 -E)'f ( Eo-ET

21

waarbij

E

de

electrische

veldsterkte

voorstelt,

ET is de electrische drempel bij een temperatuur T, Eo is een referen-

tieveldsterkte (de hoogste waarde op de levensduurkromme bij een temperatuur T), n c is de initiele endurance coefficient die afhankelijk is van T (nc=n(Eo,to», v is een vormfactor en to is de tijd tot falen bij een veldsterkte Eo. De formule is geldig voor

E>ET~El.

El

is de grenswaarde van de electrische veld-

sterkte waarbeneden de levensduur aIleen afhangt van de temperatuur. De temperatuurafhankelijkheid van formule in v = v (T)

,

3.4

zit opgesloten

n c = n (Eol to> die functies van T zijn en de elec-

trische drempel

ET• Het plaatj e dat men van formule 3.2 in combinatie met formule 3.4 kan tekenen ziet er uit zoals in figuur 4. tog' E.

'. Figuur 4: Electrische life lines volgens formules 3.2 en 3.4. Naast bovenstaande modellen gebruikt men ook vaak een exponentiele relatie tussen veldsterkte E en Ievensduur L [7,9J. Deze relatie ziet er als voIgt uit:

Le hB

=C

of L

Bovenstaande

= L oe-hB relatie

(3.5)

gebruikt

men

levensduurkromme vaak sterk daalt wordt door de deze

relatie

inverse power law) is

naast

Cook h

22

omdat

in

de

praktijk

de

(sterker dan gesuggereerd bij

een

Iage veldsterkten. constante.

ook

in

In

deze

relatie heeft men getracht een drempel aan te brengen, omdat zeer lage veldsterkten weinig invloed hebben op de levensduur van een kabel. De relatie komt er dan als voIgt uit te zien:

(3.6)

In bovenstaande formule treedt Eo als benedengrens op waaronder diilectrische veroudering niet optreedt. Voor gebruik in de formule moet dus gelden: E>Eo. Een belangrijk verschil van formule 3.5 met formule 3.2 is de eindige levensduur voor E~O. Ook in referentie [29] heeft men getracht een drempel aan te brengen in de exponentiele relatie, omdat ook zij afwijkingen hadden gevonden voor lage veldsterkten. Zij kwamen tot een volgende relatie:

L =

_CX_e-hB

(3.7)

E-ET

a en h in deze relatie zijn constanten. Er is weer de drempelwaarde van de veldsterkte. Als opmerking kan gemeld worden dat men met behulp van deze vergelijking probeert een betere benadering te vinden voor lage veldsterkten, maar dat de volgens het model resulterende oneindig grote levensduur L bij E~Er niet overeenstemt met experimentele data. Het model wordt dan ook geldig geacht voor E>E r • Voor E<E r worden aIleen andere factoren dan de electrische veldsterkte (bijvoorbeeld temperatuur) geacht verantwoordelijk te zijn voor het falen van een kabel.

23

3.3 Lavansduurkro. .an .at da temparatuur a1s varoudarenda

factor Omdat er ook andere oorzaken zijn van veroudering heeft men ook life curves met andere parameters getracht te bepalen. Een belangrijke parameter is de temperatuur. In het voorafgaande, bij de beschrijving van sommige modellen met de veldsterkte expliciet als verouderende factor, werd al gesteld dat sommige "constanten", zoals de drempelwaarde van de veldsterkte, temperatuurafhankelijk waren. Hoe de afhankelijkheid van de temperatuur van deze "constanten" verloopt is per materiaal verschillend. Zo is bijvoorbeeld de eenvoudige relatie n = no-beT ,met no de voltage endurance coefficient bij kamertemperatuur, cT de conventionele thermische belasting en been coefficient die de reactie van het materiaal onder gecombineerde belasting verdisconteert, slechts voor bepaalde material en in beperkte temperatuurgebieden geldig. Men heeft ook relaties afgeleid voor de temperatuur als expliciete verouderende factor. ZO bestaat er een formule van Arrhenius. Deze luidt als voIgt: -B

Re

= Ae T

(3.8)

A en B z1Jn constantes, Rt geeft de mate van veroudering aan en T is de temperatuur. Aangezien de levensduur van een kabel omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering geldt: B

L = ke T

(3.9)

Men kan deze uitdrukking als voIgt herschrijven. Stel dat

La

de

levensduur is bij een temperatuur To dan vindt men voor k [29]: 24

-B

k ... Lc,e

2'0

Door nu te stellen:

4T =

....!._..! To

T

= T-To TI'o

volqt: L = L oe-BAT

(3.10)

Een plaatj e van data die voldoet aan de Arrhenius relatie staat in figuur 5 [9].

..

10 4

tol

:::>

...

..l C

""0

..'" t il

:::> 0

10 J

:c

; 50

200

250

JOO

TEMPERATURE lOCI

Figuur 5: Voorbeelddata van de Arrhenius relatie. De Arrhenius relatie wordt soms vervanqen door een iets andere die qevonden is door Eyrinq [31]. Die relatie luidt: -B

Re

= A'T"e" 25

A', B en w zijn constanten. Meestal maakt men in de literatuur qebruik van de Arrhenius relatie. Men neemt deze relatie ook reqelmatiq als een van de uitqanqsrelaties om een qecombineerd thermisch-electrisch verouderinqsverband af te leiden.

26

4 Heerdi.eDsioDale leveDsduurkro. .eD van kabels 4.1 HodelleD voor verouderiDq door .eerdere factoreD

In het voorgaande hoofdstuk zijn een aantal in de literatuur afgeleide en gebruikte life curves van kabels als functie van een expliciete verouderende factor genoemd. Er zijn echter meerdere verouderende factoren van invloed op het leven van een kabel. Men heeft dan ook regelmatig geprobeerd verschillende factoren simultaan in een model onder te brengen. Over het algemeen zijn dit modellen met de electrische veldsterkte en de temperatuur als verouderende factoren. Veelal is de vraag bij gecombineerde verouderingsfactoren hoe deze met elkaar gecombineerd moeten worden om de totale veroudering te geven. Een eenvoudige optelsom van bijvoorbeeld thermische en electrische veroudering klopt niet, want dit resulteert in een kleinere mate van veroudering en dus een grotere levensduur dan uit experimenten voIgt [29]. Men heeft in de literatuur verschillende verbanden afgeleid. a) In referentie [11] maakt men gebruik van de zogenaamde Eyring relatie. Men drukt deze relatie uit in termen van K(T) en neT) bij een willekeurige temperatuur. Dit levert dan:

(4.1)

Net als in formule 3.11 is AT = ....!._.! To

T

=

T-To ITo

neT) is nog een iets exactere invulling gegeven:

27

Aan K(T)

en

Uiteindelijk kan men uitdrukkinq 4.1 uitschrijven tot:

(4.2)

Opmerkinq:

voor I:. T -constant

(dus

constante

temperatuur)

krij qt men een vorm van de inverse power lawen voor E-constant krijqt men de Arhenius-relatie. Dit ziet men vaker dat de inverse power lawen de Arhenius-relatie als een soort randvoorwaarden functioneren binnen de modellen met qecombineerde thermisch-electrische belastinq. b) In hetzelfde artikel [11] qebruikt men ook een exponentieel model met de volqende formule:

L

=e(

A(E) + B(E) )

T

(4.3)

Men veronderstelt weer een lineaire afhankelijkheid van de veldsterkte voor A en B : A(E) = ~+~·E

opmerkinq: Az en Bz zullen praktisch neqatief zijn omdat het intuitief duidelijk is dat de levensduur L af moet nemen bij toenemende electrische veldsterkte E. Door uitschrijven vindt men de volqende formule: 28

(4.4)

met A = eAt

Voor constante veldsterkte E krijgen we weer de Arheniusrelatie terug. Voor constante T krijgt men een aan formule 3.5 gelijkvormige vorm. c) In referentie [29] is een algemene uitdrukking gegeven voor de mate van veroudering als functie van E en T die er als voIgt uit ziet:

R = Ae

-B (.+,E)fCB) T

e

(4.5)

T

A, B, a en b z1Jn van tijd temperatuur en veldsterkte onafhankelijke constanten en f (E) is een nog niet nader gespecificeerde functie van de veldsterkte E. Wanneer men bovenstaande relatie beschouwd dan ziet men dat met f(E)=O de Arrhenius relatie overblijft. Omdat levensduur omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering voIgt in geval van het exponentiele model met f(E)=E:

1

L = -e A

~ T

e

-(.+,E)B T

Gebruikmakend

van

de

~

levensduur

zonder electrisch veld en AT =

29

T-T, 0

ITo

(bij

kamertemperatuur)

voIgt door vergelijking

met formule 3.5: a+~ To

L = L e o

=h

. Nu kan men schrijven:

(-S-AT-hB+bA7'.&')

(4.6)

Ken kan deze uitdrukkinq iets overzichtelijker noteren:

L = LeL. e Lo

(bEAT)

met L t =L o e-S -AT en. L

= L 0 e-hB

Bovenstaande relatie drukt de afhankelijkheid van L van de levensduren onder thermische en electrische invloed, Lt: en Le uit. Voor Lt: is de Arrhenius relatie qebruikt (formule 3.11). Voor Le is formule 3.5 qebruikt.

Door nu te stellen k c

=~

krijqt men:

(4.7)

We hebben nu een relatie waarmee we 2 een tweedimensionale levensduurkromme kunnen bepalen voor elke combinatie van eendimensionale levensduurkrommen. d) Wanneer we nu voor Le de inverse power law nemen wordt feE) uit formule 4.5 qelijk aan

l~ ~) 30

. Door wederom 1.0 te intro-

duceren en te stellen dat a+.E.. To

=n

vindt men de volqende uit-

drukkinq:

L = L o6

(-S"A2') (

~

- (n-b-A2')

(4.8)

)

Bovenstaande functie wordt qelijk aan de inverse power law voor constante temperatuur. Voor constante veldsterkte krijqen we weer de aan Arrhenius ontleende relatie. e) Om de bovenstaande modellen volqens formules te verbeteren en aan te passen aan laqe sterktes van de verouderende factoren zou men onder andere drempels kunnen aanbrenqen. Dit heeft men dan ook qepooqd. Voor de te introduceren drempel veronderstelt men het volqende eenvoudiqe temperatuurverband:

(4.9)

met ATr

1 1 = ----

To

Tr

en ATro

1 = -1 - ,

To

T ro

ETo is de drempelwaarde bij

kamertemperatuur To. Voor 3.7:

=

L e

Le qebruikte men in het betreffende artikel [29] formule

_Cl_ 6-blf

(3.7)

E-Er

31

Wanneer formule 3.7 beschouwd wordt als de electrische levensduur bij kamertemperatuur moet de drempel volgens formule 4.9 aangegeven worden met ETo. Dus:

=

L II

e-bB-

(4.10)

(1-

E-Ero

Bovenstaande relatie 4.10 heeft men nog iets aangepast. Men gaat er namelijk van uit dat voor tests met korte tijden de drempel nauwelijks invloed heeft, omdat in dit geval de electrische veldsterkten meestal groot zijn (veel groter dan veldsterkten die nooit veroudering veroorzaken). Men neemt aan dat voor L=to de waarde van de breakdown veldsterkte EB volgens formule 4.10 hetzelfde is als volgens exponentiele model (formule 3.5). Dus:

het

eenvoudige

Hieruit voIgt:

Uiteindelijk kan men dan formule 4.10 aanpassen tot:

(4.11)

Voor de tweedimensionale levensduurkromme krijgt men dan de volgende uitdrukking: 32

e (-B-.iT-bB+bE-.i7? L = Lo

(E-E

T

)

(ES-ETO )

waarbij voor de thermische levensduur Lt de Arheniusrelatie is qenomen. Voor ET in bovenstaande formule geldt vergelijking 4.9. Door deze verqelijking in te vullen ontstaat de volgende formule:

(4.12 )

Wanneer men nu probeert middels E=O de levensduur voor aIleen thermische veroudering te vinden dan krijgt men een uitdrukking waarin EB en ETo voorkomen. Dit komt door de extra veronderstelling voor de electrische levensduur (formule 4.11) dat de short-time karakteristieken gelijk blijven bij de afwezigheid van een drempel. Wanneer nu het model symmetrisch moet zijn voor E en T moet er een soortgelijke veronderstelling gedaan worden voor de thermische levensduur. Dus wanneer de temperatuur naar oneindig gaat (resulterend in een erg korte levensduur) moet het Arrhenius model en het nieuwe model (formule 4.10) dezelfde levensduur qeven. Dus er moet gelden:

33

In bovenstaande formule is A T1

= 1 .Er voIgt nu: To

Formule 4.12 kunnen we nu als voIgt noteren:

L

= kaLo

e

(-B·A T-hE+bB"A T)

E

(4.13)

AT ATro

-+---1

E ro

Afgeleid uit het model vinden we voor vinden we :

e L e = kaLo

(-B-AT)

AT ---1 ATro

e (-B-AT) e(~) = k ---..;;.-e T AT-ATro 1---ro AT1 -ATro T

~

formule 4.11. Voor

~

(4.14)

Deze uitdrukking is geldig voor T>Tro •

f) Referentie [27] leidt verschillende life curves af uitgaande van een formule die de afname van electric strength beschrijft. De formule voor electrische veroudering is volgens formule 3.3:

(3.3)

34

Deze vergelijking kan nog uitgebreid worden tot een vorm bruikbaar voor verschillende invloeden (E,T). Algemeen kan men voor afname van electric strength als functie van E en T schrijven:

F (S) = R (E, T) t

Falen

treedt

op

bereikt F L = F(O)

als •

de

Dit

totale

veroudering

betekent dat

wanneer

zijn 5

eindwaarde

(de

electric

strength na prestress) 0 wordt de tijd t dat de afname duurt gelijk is aan de levensduur. 5=0 betekent dat de kabel gefaald heeft. Men kan dan schrijven : -

indien de totale veroudering gevormd wordt door een short

time test: F L = R(So' T) to

- indien de totale veroudering gevormd wordt door het testsampIe eerst te belasten met een temperatuur T en een veldsterkte E gedurende een tij d t en vervolgens door te laten slaan in een short time test: F L

50

= R(E, T)

t+R(S, T) t~

is de beginwaarde van de electric strength

stress),

to

voor E=50,

(zonder pre-

de equivalente tijd tot falen bij constante invloed 5

is de electric strength op tijd t

en to'

is de

equivalente tijd tot falen bij constante invloed, maar korter dan to omdat 5 lager is dan 50. Het een en ander kan misschien verduidelijkt worden met behulp van onderstaand plaatje.

35

F(ESl

I imit io~ v31ul'

t

lime:

Figuur 6: Representatie van een electric strength test voor en na verouderingin een verouderingsdiagram. Wanneer dezelfde voltage rampfunctie is gebruikt in short-time tests dan geldt:

Nu kan men de volgende formule construeren:

De levensduurvergelijking die men vervolgens gebruikt is die volgens vergelijking 4.8:

L

= Loe (-S"AT) ( ~ )

- (n-qAT)

(4.8)

Deze vergelijking is een samenstelsel van de inverse power law (vergelijking 3.2) voor electrische veroudering en de vergelijking voor de thermische levensduur ontleend aan Arrhenius. Wanneer men de inverse power law die voIgt uit formule 3.3 met 8=0 en dus t=L vergelijkt met die volgens formule 3.2 dan 36

voIgt:

omdat voor L vergelijking 4.8 geldt voIgt voor de mate van veroudering met het feit dat levensduur omgekeerd evenredig is met de mate van veroudering:

R = Roe (B·A7') ~ (

(D-boA 7') )

Wanneer men deze formule invult in:

R(50 ' T) -R(5, T) 55 = R(E, T)...!.

o

to

krijgt men eenexplicietere uitdrukking voor de functies tussen haakjes. De waarde van to kan worden afgeleid met behulp van formule 4.8, want het stelt de levensduur voor bij een temperatuur T en een veldsterkte met een waarde gelijk aan So. sommige zaken die verband houden met deze equivalente tijd to moeten nog worden verduidelijkt. Voor een juiste toepassing van de theorie is het noodzakelijk om de electric strength te definieren als de waarde van constante veldsterkte die doorslag veroorzaakt in een vastgestelde tijd. Wanneer we nu to als deze referentietijd nemen is So de initiele waarde van S. Deze So is echter niet constant maar daalt met toenemende temperatuur. In de praktijk wordt S gemeten met een stijgende spanning. to is derhalve niet de eigenlijke tijd tot doorslag t p , maar een equivalente tijd tot doorslag bij constante spanning. Voor de 37

verhouding tp/to geldt:

!R to

= n-b'/1 T+1

Bovenstaande formule wordt helaas niet afgeleid in referentie [27] en daarom poneer ik hem hier dan ook maar. Deze verhouding wordt gelijk aan n+1 bij kamertemperatuur (To). OlDdat So afneemt met toenemende temperatuur wordt de tijd t p korter wanneer de temperatuur stijgt als de mate van spanningsstijging constant wordt gehouden in aIle tests. t p is dan proportioneel met met de grootte van de doorslagveldsterkte. De equivalente tijd to heeft echter een veel kleinere variatie omdat vowel

t p als

de

factor n-b'4T kleiner worden.

Daarom

beschouwt men de keuze voor to als de referentietijd voor de initiele waarde van de electric strength bij iedere willekeurige temperatuur als tamelijk realistisch. Daarom geldt:

t

s

o

=Le(-BA7?_O 0 ( Eo

)-n..

b '4T

Vervolgens krijgen we de uiteindelijke verouderingsrelatie:

5)(n-b'AT+U (E)(n-b'A7? t . = _e(BA7? ( 50 Eo Lo

1- _

(4.15)

Deze bovenstaande algemene verouderingsrelatie is samen met de uit deze formule af te leiden relaties samengebracht in 38

fiquur 7.

I

l ':

[-n

•

(~)

( .. t .. ("Cl'ic.t I ihl

.-.~-;-:-:::-;_I (...!!...)

I

r·~11

IS-O h-L)

"·1 •

I·

.2:..~ (..!.~, Lo

r. u

n

1------,-----, [-[0

DT-O

Fiquur 7: De algemene verouderingsrelatie (formule 4.15) met zijn afgeleide relaties. Uit formule 4.15 kunnen we ook nog de variatie in de tijd van S bepalen wanneer de temperatuur de enige verouderende factor is. Dit ziet er in formulevorm als voIgt uit:

1- -

8 )lJ-lrAT+l

( 80

= e (BoAT)...!.. L

o

g) Naast voorgaande modellen geeft referentie [9] een wat meer fysisch model. Dit model gaat uit van een zekere gegeneraliseerde spanning (electrisch, mechanisch, enzovoort) die de hoogte van de energiebarriere, die het proces controleert, verlaagt. De tijd t die nodig is om de barriere te passeren (de levensduur) wordt als voIgt beschreven: AG

t

6,

= ...E:.e "'iT csc rJ ~AE) kT kT

(4.16 )

Deze referentie geeft geen afleiding van bovenstaand model. De referentie waarnaar door dat artikel wordt verwezen heb ik niet kunnen vinden. In bovenstaande formule is h de constante 39

van

Planck,

k

de

Boltzmann

constante,

~G

de

vrije

energie

en .4 de breedte van de barriere. csch staat voor de cosecans hyperbolicus (CSChx = Si~)

.

Voor hoge E krijgt men de vol-

gende benadering:

t

In

h

= -kT6 dit

(AG-elE) iT

model

parameters .4 en

kunnen ~G

afhankelijk

van

de

omstandigheden

de

varieren. Ondanks dat hierdoor extrapolatie

bemoeilijkt wordt zijn er volgens het artikel toch behoorlijke resultaten mee geboekt.

4.2 Grafische voorstellingen van een aantal aodellen De eendimensionale life curves leverden lijnen in een plat vlak Ope L werd uitgezet tegen de verouderende factor (meestal E of T). De modellen die beschreven zij n in hoofdstuk 4.1 houden rekening met twee verouderende factoren tegelijkertijd, de electrische veldsterkte E en de temperatuur T. De grafieken van deze modellen zijn derhalve vlakken in een driedimensionaIe ruimte. In referenties [27] en [29] heeft men van de gevonden modellen dergelijke plaatjes gemaakt. Het eerste model waarvan een plaatje voIgt is het model volgens vergelijking 4.6:

L

= L o6

(-S'AT-bE+bA7'E)

(4.6)

40

Deze vergelijking is als voIgt te schrijven:

Z

met

= zo-Bx-hy+bxy

(4.17)

= lnL, Zo = lnLo' x = AT, Y = E of y = ln~ (dit Eo

Z

laatste

is

voor het geval dat men vergelijking 4.8 gebruikt in plaats van 4.6) • Het plaatje is gegeven in figuur 8. G

olog1U.

·C

Figuur 8: Driedimensionale grafiek van vergelijking 4.6. Men kan uit deze figuur ook de electrische en thermische life line construeren. De electrische life line krijgt men voor x = 0 • Neemt men x = C, C > 0 (hoqere temperatuur dan To), dan wordt de helling h-bx (deze neemt dus af bij een temperatuurtoename).

Ook

de

doorsnede

met

benedenen en wordt: zo-Bx ClnLo-BAT) •

de

z-as

(L)

zakt

naar

De breakdown strength

daalt wanneer de temperatuur stijgt. Deze invloed van de temperatuur op de electrische levensduur komt duidelijk naar 41

voren in fiquur 9. G

Ge t

Fiquur 9: Invloed van de temperatuur op de electrische levensduur. Wanneer men de y in formule 4.17 gelijk aan 0 neemt krijgt men de thermische levensduur. Wanneer men nu y constant en groter dan 0 neemt (constante veldsterkte) wordt de helling van de lijn B-by (dalend met

stijgende electrische veldsterkte).

De

doorsnijdingen met de

z-as veranderen dan van Zo naar zo-hy

(InLo-hE) • De hierbij behorende lijnen zijn getekend in fiquur 10.

Fiquur 10: Lijnen van de levensduur bij constante electrische 42

veldsterkte. Voor z =

ZO (L = L o>

kunnen we uitdrukking 4.17 als voIgt note-

ren:

Bx+hy-bxy = 0

=y = 0

Hieraan wordt aIleen voldaan indien x

• Het punt L

= Lo

is een singulier punt in het vlak: het stelt het maximum voor L voor.

Wanneer L
Het is

mogelijk om te bewijzen dat de krommen hyperbolen zijn waarvan aIleen het gedeelte x > 0, y > 0 van belang is,

overeenkomend

met b > 0 •

Voorbeelden van dit soort krommen voIgt in figuur 11.

200

Figuur

11:

Voorbeelden

van

~oo

de

levensduur L.

43

l,noo

.C

krommen E -

~T

bij

constante

Zoals in hoofdstuk 4.1 aangegeven is heeft men het model volgens vergelijking 4.6 (4.8) nog iets proberen te verbeteren door onder meer drempels in de vergelijkingen te introduceren. Dit leverde uiteindelijk vergelijking 4.13 op:

L

= kaLa

e

(-B-AT-bE'+bB-A7')

E

(4.13)

AT

-+---1 E TO /:"TTO

Op soortgelijke w1Jze als met vergelijking 4.6 is gebeurd kan men vergelijking 4.13 ook anders noteren.

1nL

= In (kaLa> -Bo/:" T-hE+bEoAT-ln( AT .., ~ E + AT TO

-1)

(4.18)

TO

Natuurlijk geldt bovenstaande formule voor

(~+ E TO

.

A T) > 1 •

~TTO

De driedimensionale figuur behorende bij deze versie van het model voIgt hieronder in figuur 12.

44

verbeterde

1°

Jog l.

Figuur 12:

Driedimensionale figuur van het verbeterde model

met drempels volgens referentie [29]. In figuur 10 z1Jn enige krommen bij constante temperatuur getekend. Zoals te zien is aan de figuur neemt de waarde van de electrische drempel snel af bij een grotere waarde van de temperatuur, om zelfs helemaal te verdwijnen voor temperaturen boven Tyo. Gelijksoortige overwegingen z1Jn van toepassing op situaties met constante veldsterkte E. Dit is afgebeeld in figuur 11. De lijn behorende bij de thermische levensduur wordt bereikt voor E=O en drempelwaarde Tyo. De figuren 13 en 14 zijn hieronder achter elkaar afgebeeld.

45

Fiquur 13: Levensduurkrommen bij constante temperatuur van het nieuwe model. h

tA

50

90

130

2(X1

500

·C

too

Fiquur 14: Levensduurkrommen bij constante electrische veldsterkte voor het nieuwe, verbeterde model. In fiquur 15 staat het verschil uitqebeeld tussen de normale thermische levensduurkromme en de versie zoals die in het model volqens formule 4.13 qebruikt is. Die verloopt namelijk volqens formule 4.14:

Le

= kaLa

e

(-B'.U')

(4.14)

AT ---1 ATTO

46

De afwijkingen van de kromme volgens formule 4.14 ten opzichte

van de normaal gebruikte formule treden op wanneer de temperatuur laag is. Volgens de nieuwe thermische levensduurkromme zou de feitelijke levemsduur dus langer kunnen zijn dan normaal verwacht wordt. Figuur 15 voIgt hieronder.

10~ 20,000

_

10,000 .

-- - - - - - -- -- - --.... ,

I

~

1,000

- -- - - - - - - - -

1(Xl'--

jO

-~-

-;-- -;-

, ,

I

,,

-----'---'-------'----'-

120

155

180 200

_

'C

Figuur 15: Vergelijking van de thermische levensduurkromme volgens formule 4.14 met de conventionele rechte lijn. De curves bij constante levensduur volgen hieronder in figuur

16.

Figuur 16: E-T krommen bij constante levensduur volgens het verbeterde model. Een groot verschil met het simpele exponentiile model is dat de lijnen in bovenstaande figuur neigen naar naar de lijn door TTa en ETa. Beneden deze lij n is de levensduur oneindig, boven deze lijn is de levensduur eindig. Dit heeft als belangrijke consequentie dat de voorwaarden T < TTa en E < ETa niet voldoende zijn om te stellen dat de levensduur naar oneindig 47

gaat, omdat punten in het gearceerde gebied toch eindige levensduren kunnen opleveren ondanks het feit dat zowel E als T onder hun drempelwaarde zitten. Ook in referentie [27] heeft men driedimensionale plaatj es gegenereerd van bepaalde relaties met meerdere variabelen. In dit artikel is dit gedaan voor de gegeneraliseerde verouderingsformule (formule 4.15):

1

-( SoS) -

(n-lrA T+l)

(E )

= Eo

t

(n-b'A:M

(4.15 )

_e(B'A:M

Lo

Het probleem met bovenstaande formule is dat er 4 variabelen in zitten (E, T, 8 en t). Van 4 variabelen, dus een 4-dimensionale ruimte, kan men niet zo maar een goed plaatje maken. Men kan aIleen de doorsneden met de driedimensionale ruimte tekenen, verkregen door een van de 4 variabelen te fixeren. Men onderzoekt

de

situaties

S

= 0, AT = 0 en

E

= Eo (de doorsnede

met de vierde ruimte t=o is gereduceerd tot 8=80). Oit levert drie oppervlakken die het levensduuroppervlak voor gecombineerde thermische en electrische veroudering, het oppervlak van variatie in 8 bij kamertemperatuur en het oppervlak van 8 variatie bij afwezigheid van electrische veroudering voorstellen. bijbehorende plaatjes staan hieronder in respectievelijk fiquur 17, 18 en 19.

De

48

L" LC 10, I

Fiquur 17: Levensduuroppervlak voor gecombineerde thermische en electrische invloed •

•

110;>

Figuur 18: Oppervlak van de variatie in electric strength veroorzaakt door electrische veroudering.

Figuur 19: Oppervlak van de variatie in electric strength veroorzaakt door thermische veroudering (zonder electrische veroudering).

49

5 De weibullverdelinq in verband met het falen van kabels

s. 1 De Weibullverdelinq in verband met de eerder qevonden levensduur verqelijkinqen Het falen van een bepaalde kabel is een stochastische gebeurtenis. Men weet niet zeker op welk moment een bepaalde kabel faalt. Om omtrent het falen van kabels toch iets zinnigs te kunnen zeggen heeft men elementen uit de kansrekening geintroduceerd. Zo gebruikt men voor de kansverdeling F(t) heel vaak een vorm van de Weibull verdeling. In een algemene vorm ziet de bij deze verdeling behorende vergelijking er als volgt uit [20]:

F{t)

= l-e-(-i)'

(5.1)

In bovenstaande formule zijn a en B constanten. Omdat

zoals

in de voorgaande hoofdstukken

aangegeven

is de

levensduur van een kabel (nadelig) beinvloed wordt door externe factoren als de veldsterkte E en de temperatuur T moeten deze factoren ook ergens in bovenstaande formule terugkomen. a en B zijn derhalve functies van E en T [20]. Omdat a de tijd tot falen met een waarschijnlijkheid van 63,2% voorstelt kan a(E,T) bepaald worden met levensduur modellen. De

levensduurkrommen

uit

de

twee

voorgaande

hoofdstukken

bieden nu een goede mogelijkheid de vorm van de Weibullfunctie en in het bijzonder de factor a nader te definieren. De meest eenvoudige levensduurvergelijking is de inverse power law uit hoofdstuk

3

(vergel ij kingen

3.1

en

3.2).

introduceren binnen de Weibullfunctie bullfunctie de volgende gedaante:

50

[20]

Door

deze

krijgt

de

nu

te

Wei-

= 1-e

F(t,E,T)

i

t (

8)1,,··71

to Eo

(5.2)

Kennelijk functioneert de eerder in hoofdstuk 3 ingevoerde inverse power law in bovenstaande formule als karakteristieke levensduur. Eo is een

zekere referentieveldsterkte

(de hoogste van aIle

veldsterkten op de levensduurkromme bij een temperatuur T), to is de tijd tot falen bij een veldsterkte Eo en n is de voltage endurance coefficient bij temperatuur T. In het betreffende artikel werd ook een electrische drempel geintroduceerd in de inverse power law middels een bepaalde veldsterkte afhankelijkheid van de factor n Deze afhankelijkheid is als in formule 3.4:

n

=

(

1- E 0

waarbij

(3.4)

-E)V

Eo-ET

E

de

electrische

veldsterkte

voorstelt,

ET

is

de

electrische drempel bij een temperatuur T, Eo is een referentieveldsterkte (de hoogste waarde op de levensduurkromme bij een temperatuur T), n c is de initiele endurance coefficient die afhankelijk is van T (nc=n(Eo,tO», v is een vormfactor en to is de tijd tot falen bij een veldsterkte Eo. Ook deze n kan men gewoon in formule 5.2 introduceren. Men definieert vervolgens een tijd t waarna,

naar verwachting,

Fp •

Deze t

Fp

is de tijd

een fractie p van de kabels heeft

51

gefaald. Dat is de inverse van de kansverdeling

tFp

E )n = to; [-In(l-p)] (

De vormfactor y van

(t~

= F- 1 (p))

•

1

'IB,T)

de Weibullverdeling volgens

formule

5.2

kan verklaard worden met de relatie:

n=::L

p

y in

bovenstaande

formule

is de vormfactor van

de Weibull

distributie van breakdown spanningen bij een constante tij d. Bovenstaande relatie is geldig voor breakdown spanning tests met korte tij den en voor situaties met constante n. Met n volgens formule 3.4 kunnen er problemen ontstaan. Bovenstaande relatie is correct voor het lineaire stuk van de levensduurkromme waar n ongeveer gelijk is aan nco In de nabijheid van de drempel gaat de betrouwbaarheid naar 1 en neigen de levensduurkrommen bij verschillende faalkansen samen te vallen. Voor E dicht

bij

Er

wordt

de

definitie

van

de

factor

B

minder

significant. Na aanleiding van experimentele resultaten heeft men als eerste benadering B (E, T)

constant genomen voor E in

het gehele gebied waar het waarschijnlijkheidsmodel geldig is. Dus:

Voor

Bc kan men de gemiddelde waarde van de vormfactoren

afgeleid van iedere levensduur test bij temperatuur T nemen. Dezelfde auteurs hadden in een eerder artikel [22] nog een wat 52

ander verband voor a en n gevonden. Hierbij baseerden zij zich op informatie uit onder andere referentie [29]. Men gebruik van formule 4.8, aIleen vult men voor L nu a in:

maakt

(5.3)

Eo in bovenstaande formule

een levensduur La,

is de veldsterkte E behorende bij

B en b zijn constanten,

4T =

...!..-l:. To

T

en n is

de constante uit het inverse power law model. Dit levert vervolgens de volgende Weibullfunctie op:

F(t,E,T)

-[...E.. e[Bu'J(~)I2-b61'

= l-e.o

Eo

(5.4)

In hetzelfde artikel introduceert men een simpele temperatuurafhankelijkheid voor de inverse power law. Deze temperatuurafhankelijkheid komt wederom tot uitdrukking in de factor n. Men neemt voor n de volgende uitdrukking:

n*=n-b4T

n* is de nieuwe n, n is de n bij een bepaalde referentietemperatuur (To). Ook in formule 5.3 is een dergelijk verband voor n verondersteld. Voor T=To wordt formule 5.4: F = l-e

·0

-( t )'( E

Eo

)'0

53

met: Yo

= ~no

Wanneer T>To daalt n van n(To) tot n*. Aangezien de helling van de

Weibullfunctie

meestal

geen

grote

verandering

vertoont

neemt men Yo vaak constant. Als dit geldt dan voIgt:

~

=

=

Yo

n·

Yo

n-b~T

Een veeI gebruikte vorm van de Weibullverdeling, waarbij aIleen de invloed van de veldsterkte meegenomen wordt en niet de invloed van de temperatuur, ziet er als voIgt uit [4,19,25]:

(5.5)

met c

=

-a

-b

to Eo

Eigenlijk is bovenstaande formule een nader uitgewerkte versie van formule 5.2 met uitzondering van de temperatuurafhankelijkheid die in formule 5.2 weI meegenomen wordt en in formule 5.5 niet. In referentie [25] wordt een poging gedaan om bovenstaande relatie af te leiden. De auteur neemt aan dat wanneer een veldsterkte E wordt toegevoerd aan een zekere homogene isolatie voor een zekere tijd t zonder dat er een breakdown optreedt de verwachte momentane faalgraad f als voIgt geschreven kan worden gedurende het tijdsinterval tussen t en

f

= "~t

(f
54

t+~t :

a is de "verwachte breakdown frequentie" van het systeem. Deze is in het algemeen afhankelijk van t en E. De overlevingswaarschijnlijkheid van het systeem gedurende hetzelfde interval

At zal er dan als voIgt uitzien:

1-f = l-«A t

Wanneer men de tijd beschouwd als zijnde opgedeeld in n intervallen

At j

(i = 1,2, .. . n)

dan

geldt

voor

de

overlevingswaar-

schijnlijkheid gedurende de hele tijd t:

P =

ft

1-1

(l-«.A t.) ~

~

aj in bovenstaande relatie is de gemiddelde waarde van a in het

interval

At j

•

Uitgaande van de voorgaande relatie kan men nu

afleiden:

InP = tln(1-«iAt1) ::: 1-1

Met A t 1~O voIgt:

t

InP

= - f«

(t, E) dt

o

Voor de overlevingswaarschijnlijkheid van het systeem kan nu 55

geschreven worden:

P(t,E)

Als opmerking bij bovenstaande vergelijking kan gesteld worden dat wanneer a niet afhangt van t deoverlevingswaarschijnlijkheid gegeven wordt de Poisson verdeling. De manier waarop a afhangt van t en E kan niet bepaald worden door aIleen maar statistische beschouwingen omdat a zeer essentieel afhankelijk is van de fysische structuur van het dielectricum en het bij het bepaalde geval behorende breakdown mechanisme. Als het mogelijk is aan te nemen dat er geen overheersende effecten op de verouderingskarakteristieken van het dielectricum zijn dan lijkt de afhankelijkheid van t van a afgeleid uit de beschikbare resultaten relatief eenvoudig:

ao en n z1Jn parameters die onafhankelijk zijn van t. Wanneer er weI overheersende effecten aanwezig z1Jn, bijvoorbeeld wanneer sornmige delen van het systeem blootstaan aan sterke partiEHe ontladingen terwij I de rest ionisatievrij is of bij verschillen in omgeving van het systeem, kan het systeem niet meer beschouwd worden als zijnde homogeen en statistische beschouwingen kunnen aIleen maar losgelaten worden op afzonderlijke delen van het systeem die onder dezelfde condities functioneren en dezelfde omgeving hebben. Met deze beperkingen en de aanname met betrekking tot a in het achterhoofd verkrijgen we nu de Weibull verdeling:

56

met

A =

Cl

O

a

I

a =

n+l.

auteur neemt vervolgens aan dat de breakdown van een deel van het systeem samenvalt met het falen van het complete systeem. Er voIgt dan dat wanneer P de overlevingswaarschijnlijkheid van een deel van het systeem is voor een tijd t bij een bepaalde E voor een systeem dat is opgebouwd uit n dezelfde delen de overlevingswaarschijnlijkheid voor dezelfde t en E gelijk zal zijn aan pn. De distributiefunctie afhankelijk van t en E moet derhalve zodanig gedefinieerd worden dat de transformatie van P tot pn het karakter van de distributie niet verandert met betrekking tot t en E. Met de aanname dat P=1 voor t of E gelijk aan 0 voIgt voor de meest eenvoudige vorm van de twee dimensionale distributie: De

waarbij voor de momentane faalgraad geldt:

Cl

(t, E) =

cat a - 1 E b

a,b en c zijn constanten die onafhankelijk zijn van t en E. Voor de faalkans krijgen we vervolgens vergelijking 5.5. De betekenis van to en Eo verklaart hij als voIgt: wanneer er een veldsterkte Eo aan het systeem wordt toegevoerd is de overlevingswaarschijnlijkheid na een tijd to:

Naast de hier genomen to en Eo had men ook een ander paar kunnen nemen om de verdelingsfunctie te karakteriseren , bijvoorbeeld gemiddelde waarden of waarden van E en t die gecom57

bineerd een waarschijnlijkheid van een half hebben om door het systeem verdragen te worden zonder falen, enzovoort. Uit dezelfde referentie heb ik ook nag wat plaatjes overgenomen om de geldigheid van relatie 5.4 te illustreren. Dat zijn de hierna volgende plaatjes 20 en 21.

II,; 1 • j ; \;

9

~ i • '! .

;!::: :

80 '1" j 60 .," 1 40 : : . ' ;

,

IIi ~ !

t

;

;

I"

j

. .,,,

.,

2 .

. , , t

0'·t!:1,s.....J....i.-:-'-..l.--'--!----'-• ....l-5+--J-f-.l.-l-4-4g.l.<'01-LL....L..J 6 7 e 15 -Em(kv/mmJ_

Figuur 20: verdeling van gemiddelde breakdown veldsterkte bij 50Hz voor samples van kunststof geisoleerde middenspanningskabels (~=8,65kVjmm, b=5,9,de referentie tijd is 1000 uur).

20

JO

40

50

60

10

eo gO IJO

- Em{ov/mm)-- -

Figuur 21: Verdeling van impuls breakdown veldsterkte voor samples van middenspanningskabels met kunststof isolatie (~=­ 61kVjmm, b=6,4). 58

Referentie [12] leidt een vorm van de Weibull verdelingsfunctie af uitgaande van een licht gewijzigde vorm van de inverse power law volgens formule 3.1. De auteur gaat uit van 3 condities. De eerste is dat de levensduur van de isolatie beschreven kan worden met behulp van de Weibull verdelingsfunctie F(tlv) bij constante spanning V. De tweede voorwaarde is dat de gemiddelde levensduur r... en de spanning V voldoen aan de inverse power law met een drempelspanning Vy in een zeker geldigheidsgebied volgens de volgende formule: L • = K(V-v:)-n T

De derde conditie is dat de vormfacor & van de Weibullverdeling constant en onafhankelijk van V is. oit laatste is overigens lang niet altijd waar. Met deze 3 aannamen kunnen we de volgende formule afleiden:

I

F( t V) = 1-e -[(.k(V-v,.) ) lit]'

met k

n =

(5.6)

r (1 +1/ P) / K

r(.) stelt in bovenstaande formule een gammafunctie voor. Referentie [17] heeft een iets exactere vorm gevonden voor de inverse power law zoals te zien is in hoofdstuk 3. Deze exactere vorm ziet er als voIgt uit:

(5.7)

is in deze formule de dielectric strength, So is de initiile waarde van de dielectric strength, to is een zekere tijdconS

59

stante, t is de tijd en n is een constante. Deze formule (5.7) is ook als volqt te schrijven:

Met de aanname dat de veldsterkte (E=S) en de tijd tot breakdown (t=T) kunnen varieren kan men bovenstaande verqelijkinq in een Weibullverqelijkinq introduceren. Dit levert dan:

(5.S)

Door aan te nemen dat de veldsterkte constant blijft en rekeninq houdend met:

( 8)b = (1+~

t )-.

8

0

krijqt men de volqende formule voor de voor de kans dat er een doorslaq optreedt in de buurt van de levensduur t:

P

to+")-

= l-e -{ to+t

(5.9)

Met T»t en t»to is dit als voIgt te benaderen:

60

auteur de door bepaalde zoals die De

van het betreffende artikel geeft vervolgens aan dat hem gevonden "exacte" oplossing (formule 5.9) in opzichten vollediger en correcter is dan de vorm in referentie [25] gehanteerd wordt (formule 5.5).

In formule 5.5 gaat P naar 0 wanneer t naar 0 gaat. Dit is in conflict met experimentele resultaten omdat de kans op onmiddellijke breakdown groter is dan 0 als de aangelegde spanning maar hoog genoeg is. De auteur doet vervolgens nag een paging de zaak wat te veralgemeniseren en te komen tot een uitdrukking voor de degradatie van het dielectricum met toenemende tijd. Hij gaat daartoe weer uit van een gemodificeerde vorm van vergelijking 5.7:

S ( So

)n J.~ Sos)lJ t;t

(5.10)

= 1

Wanneer aan het systeem een constante veldsterkte wordt toegevoerd hoopt de schade door veroudering zich op tot aan de limietwaarde die gedicteerd wordt door bovenstaande vergelijking. Men substitueert derhalve S, voor S in de eerste term van de vergelijking. Dielectric strength S en tijd t in de tweede term worden dan vervangen door respectievelijk veldsterkte E en verlooptijd f'. Dit levert de volgende formule op voor de degradatie van dielectric strength met toenemende tijd:

(5.11)

Bovenstaande formule is echter niet de enigst mogelijke degradatiekromme die men kan afleiden uit formule 5.10. Met n=b/a 61

kan men namelijk ook de volgende vorm van vergelijking 5.10 krijgen:

Dit leidt dan weer tot de volgende vergelijking voor de degradatie van de dielectric strength met toenemende tijd:

(5.12)

Aan deze vergelijking wordt voldaan voor iedere combinatie van a en b zolang b/a=n. Voor

f

~

t en

S'f~S

=E

5.11 en 5.12 over in vergelijking 5.7 dezelfde levensduurkarakteristiek.

gaan beide formules

en volgen dus beide

Hoewel er in feite een oneinig aantal combinaties van a en b gevonden kunnen worden om in vergelijking 5.12 in te vullen is er geen reden om de experimenteel gevonden waarden van a en b uit de Weibull distributie uit te sluiten. Daarom zou voorzichtig gesteld kunnen worden dat de degradatie van dielectric strength en de Weibull verdeling bepaald worden door dezelfde constanten a en b. deze parameters zijn onafhankelijk van veldsterkte en tijd en moeten daarom de intrinsieke eigenschappen van het materiaal representeren. vervolgens wil de auteur een uitdrukking voor de dielectric strength degradatie en de Weibull verdeling bepalen voor een stijgende spanning. In dit geval

neemt de waarde van de dielectric strengh af 62

totdat de waarde van de stijgende spanning bereikt wordt. Daarna treedt de breakdown op. Met behulp van vergelijking 5.11 vindt men voor de dielectric strength degradatie de volgende formule:

Es stelt in bovenstaande formule een met de tijd varierende veldsterkte voor. Voor K=8 s =8 en r=t stelt bovenstaande formule de verouderingskarakteristiek (levensduurkarakteristiek) voor voor een willekeurig verloop van de (test) spanning. Gaat men ET 80

uit van een lineaire toename (

Op

het

moment

strength ( 8 T

)

van

breakdown

--

m-~ ) dan kr1OJ gt men: to

zijn

de

afnemende

en de stijgende veldserkte ( ET

gemeenschappelijke waarde (8) • Met

~

)

= t, ET = 8 T = 8

dielectric

gelijk aan de

en

kan men bovenstaande formule als voIgt converteren door eliminatie van m:

8-[1+

80

t (n+1)

to

(5.13)

];

63

Wanneer men bovenstaande formule vergelijkt met vergelijking 5.7 dan ziet men dat bij de rampspanning de levensduur n+1 maal groter is als bij een constant spanningsniveau met dezelfde breakdown spanning. Om nu de bijbehorende Weibull verdelingsfunctie te vinden kan men 5.13 als voIgt omschrijven:

( 88 )b{1+ (n+l)t to ]a

- 1

0

Omdat de verdelingsfunctie bepaald wordt als functie van veldsterkte en tijd moet men Es en ~ substitueren voor S en t. Vervolgens kan men bovenstaande formule introduceren in de Weibull verdeling. Men krijgt dan:

P

J

Eo)b(l+ ~/to).] n+l

= l-e [ \ So

(5.14)

Voor een lineair toenemende spanning geldt:

Door dit nu te introduceren in de Weibull formule door rekening te houden met:

( 8)b _( 80

-

t/ to

(5.14)

en

)-a

1+-n+l

krijgt men de volgende formule voor de spreiding in de tijd 64

tot falen rond de gemiddelde levensduur t:

Of)1

P = l-e -( t

Wanneer

1"))

to+Of]-

(n+l) (n"l) to .. t

(5.15)

(n+1) to en t)) (n+1) to kan men formule 5.15 als voIgt

benaderen:

Of )_+b

P

I:

l-e -( t

(5.16)

Ook in referentie hen

gevonden

[7] proberen de auteurs uitgaande van door

levensduurkrommen

een

nadere

invulling

aan

de

Weibull verdeling te geven. Men gaat uit van de in referentie [29]

gegeven verouderingsrelatie

4.5

en de bijbehorende

le-

vensduur L (f(E)=E) met de volgende formule:

L

1 ~ -(a.. l?)E = -e Te T A

A, B, a en b in bovenstaande formule zijn constanten , E en T zijn natuurlijk weer respectievelijk de electrische veldsterkte en de temperatuur en L is de levensduur. Door nu voor L=a deze vergelijking in te vullen in de algemene Weibullfunctie (formule 5.1) krijgt men:

P( t)

r (--J+d'+ ~)]"

= l-e-LAte

(5.17)

In referentie [8] maakt men gebruik van de volgende uitdrukking voor a in de algemene Weibullfunctie (formule 5.1) om een nader bepaalde vorm van de Weibullfunctie te verkrijgen: 65

ex

=

(Eo, to)

(5.18)

stelt het startpunt voor van de levensduurkromme bij

een zekere temperatuur T, h is een constante,

~

is de vormfac-

tor en ET is de electrische drempel. Als opmerking kan gesteld worden dat formule 5.18 grote gelijkenis vertoont met formule 4.11 die afkomstig is uit referentie [29]. Door

ook

nu

weer

vergelijking

5.18

te

introduceren

in

de

algemene Weibullformule kan men een nader ingevulde versie van deze Weibullfunctie afleiden die er als voIgt uitziet:

t (

F(E, T; t)

= l-e -{ to

8-8'1')J1 bI6-"oI]' 8o-E'I'

(5.19)

(I

Met betrekking tot het voorafgaande stuk uit referentie kan gesteld worden dat

de auteur

soms vreemde

[17]

substituties

doet. Hij substitueert binnen 1 formule soms maar 1 term door een andere, terwijl hij de overige ongemoeid laat. Dit is vreemd en onverklaarbaar. De verklaring hiervoor is ook nergens te vinden.

op.erkinqen ten aaD.ien YaD bet gebruik YaD 4e .eibu11 verde1inq 5.2

Een aantal auteurs [6,10,12] vindt dat men in het algemeen meer moet oppassen bij het toepassen van de Weibull verdeling bij verouderingsstudies. In referentie [6]

vat de auteur het gevaar van het ongeoor66

loofd toepassen van de Weibull verdelinq als volqt samen in drie afzonderlijke qevaarcomponenten. Bet eerste qevaar schuilt hierin dat men afqeleid kan raken van de feitelijke fysische achterqrond van het proces. Bet tweede qevaar is het verliezen van het onderscheid tussen verouderinq (fysische deqradatie of verbeterinq) en de statistisch verwachte hellinq in de spanninqs-tijd relatie (met of zonder verouderinq). Het derde qevaar is het niet vollediq zijn bij de verqelijkinq van verschillende testmethoden. Met betrekkinq tot het eerste qevaar kan men stellen dat men de Weibull verdelinq niet aIleen vanuit een wiskundiq ooqpunt moet bekijken. Heel alqemeen koos Weibull voor de volqende formule: P = 1- e -+ (x)

(

5 • 20)

stel dat we P qevonden hebben bij een bepaalde load x qeldiq voor een bepaald deel van een kettinq. Voor n van die delen achter elkaar volqt dan:

Met betrekkinq tot • (x) werd door Weibull een noodzakelijke voorwaarde qesteld, namelijk dat .(x) een positieve nietdalende functie voorstelde die verdween bij een zekere waarde Xl

die niet noodzakelijkerwijs qelijk hoefde te zijn aan

o.

Als

meest eenvoudiqe vorm die aan deze voorwaarde voldeed yond

De echte noodzakelijke voorwaarden worden in ons qeval natuurlijk bepaald door fysische redenaties in plaats wiskundiqe 67

eenvoud. Bij het gebruik van de Weibull verdeling voor de beschrijving van dielectrisch gedrag krijgt I(V) de volgende algemene vorm:

Normaal gesproken wordt Vl verondersteld gelijk te zijn aan 0 en wordt I (V) geschreven in een vorm die I ij kt op de hierna volgende: +CV) =AVC

Bovenstaande vorm van I(V) wordt erg veel gebruikt. Hij lijkt ook goed te voldoen. Hij voldoet zelfs zodanig goed dat het ontbreken van een fysische redenatie bij de bepaling van a zo ongeveer de norm is. De Weibullfunctie is een van de mogelijke asymptotische vormen van van een statistische verdeling van extreme waarden. Door nu deze verdeling te gebruiken in een bepaalde situatie omdat hij zo goed lijkt te voldoen kan de aandacht afleiden van de fysische oorzaken van het proces.

om

dus dit eerste gevaar zoveel mogelijk te elimineren is een critische houding ten opzichte van de gebruikte statistische verdeling noodzakelijk. Een tweede, meer specifieke aanbeveling is dat men de aandacht meer moet richten op de grootte en de eigenschappen van de kleinste, statistisch onafhankelijke "links" in een keten. Hoewel er geen statistische noodzaak is om de kleinst mogelijke "link" te vinden kan het weI helpen om de fysische achtergronden te doorzien van een proces.

68

Bij AC testen kan zo/n kleinste link bijvoorbeeld bestaan uit een enkele cyclus. Naast kleinste links in tijdsduur is het ook belangrijk gebruik te maken van kleinste links in lengte. Bij DC testen is het gebruik van een kleinste link in tijdsduur niet zo doorzichtig en is derhalve moeilijk te definieren. De tweede gevaarcomponent was de onjuiste behandeling van veroudering. In geval van het gedrag van isolatie stelt veroudering een fysische verandering voor (achteruitgang danwel verbetering) van het isolatievermogen met de tijd. Ret is nu belangrijk om op te merken dat er een tijdafhankelijkheid is van het verwachte gedrag van de isolatie zonder dat er veroudering optreedt. Dit kan men inzien aan de hand van de volgende formule:

PII (V) = l-(l-p(V»n

Deze

formule

(5.22)

stelt de

faalkans

voor

wanneer gedurende

een

klein tijdsinterval 4 teen spanning V aan de isolatie wordt toegevoerd aan n link.

links.

omdat t = no4 t ( 4 t vast

P(V)

stelt de

gekozen)

kan

faalkans voor van 1

men

Pn (V)

als

voIgt

schrijven in de vorm P(V,t):

1

P(v,t) = l-[(l-p(V»n]t

i ~(V)]·t

P(V, t) = 1-e """It

P(V,t)

= l-e-t(V)t

(5.23)

69

Uitgedrukt in een algemene, typische vorm krijgt men:

F(V, t)

= l-e-A V-t'

(5.24) Een lineaire tijdsafhankelijkheid van de exponent van de emacht stelt dus een situatie voor waarin geen veroudering optreedt. Iedere andere variatie betekent weI een fysische verandering van de isolatie en duidt op veroudering. Ook de auteur van referentie [25] realiseerde zich dit, maar in de praktijk gooide ook hij de fysische en statistische aspecten bij elkaar in de Weibull vorm in formule 5.5:

(5.5) met c

= to-aEo-b

In analyseresultaten wordt het nauwelijks onderkend dat het fysische verouderingsproces gerepresenteerd wordt door t e ·'. Een waarde van a groter dan 1 geeft een verslechtering van de isolatie aan. Een a kleiner dan 1 geeft aan dat de isolatie in de loop van de tijd herstelt/verbetert. Het gevaar is derhalve dat men bij het niet critisch gebruiken van de Weibull verdeling afgeleid wordt van de werkelijke fysische verouderingsprocessen en dat men dergelijke processen niet onderscheidt van de statistisch verwachte helling van de spannings-tijdrelatie. De auteur van referentie [6] adviseert derhalve om de faalkans als voIgt te schrijven: p (V, T, t)

=

de faalkans voor een spanning V die toegevoerd 70

wordt gedurende een tijd t aan een systeem dat verouderd is gedurende een tijd T (Dit symbool T wordt ook door de auteur gebruikt voor de tij d, elders in dit verslag betekent het steeds de temperatuur). Door dit te doen wordt men tot een diepere fysische gedachtengang gedwongen. Analoog aan vergelijking 5.22 kan men ook P(V,T,t) als voIgt schrijven: t

P(V,T,t)

= l-(l-P(V,T» "it

P(V,T) is de faalkans gedurende 1 keer toevoeren van de spanning V voor een tijd 11 t nadat het systeem verouderd is gedurende een tijd T. t stelt de feitelijke testtijd voor. In Weibullvorm krijgt men nu: P(V, T, t) = l-e-t(V,n"t

In een vorm die de meest typische vorm benadert levert dit:

P(V, T, t)

(vergelijking 5.24)

= l_e-AV"'T't

(5.25)

Wanneer men nu uitgaat van een conditionerend

(verbeterend)

systeem betekent dit dat P (V, T, t) met T' naar 0 moet .gaan op een zeker moment, zel fs voor hoge spanning. vanuit fysische redenatie zouden we echter voor ieder realistisch systeem verwachten dat P(V,T,t) groter zou blijven dan O. Men kan hieruit dus kennelijk concluderen dat een stricte Weibull vorm aIleen bij benadering kan gelden. Een betere uitdrukking ziet 71

er als volqt uit:

P(V, T, t)

= 1_e-A V-f(T)t

In bovenstaande formule stelt f (T) de verouderinq voor. f (T) moet van een laqe waarde naar een hoqe waarde qaan, maar niet van 0 naar oneindiq zoals in een Weibull formule. Verder maakt de auteur in dit verband nag een opmerkinq over het qebruik van de inverse power law (hoofdstuk 3). Volqens zijn opinie en in samenhanq met het voorqaande stelt hij dat deze formule het zicht op het verouderinqsproces vertroebeld en dat deze formule derhalve niet qebruikt dient te worden in studies die qericht zijn op het beqrip van isolatie of de ontwikkelinq ervan. De formule kan weI qoed qebruikt worden bij routinecontrole van bekende isolatie. Het derde qevaar dat de auteur siqnaleerde is het qebrek aan herkenninq van testovereenkomsten. De alqemene formule voor de faalkans na het n maal toevoeren van spanninq ziet er voor ieder testtype (bijvoorbeeld ramptest of test met constante spanninq) als volqt uit: n

Pn(V>

= 1-II k-l

(5.26)

(l-P(Vk »

Voor een constante spanninq wordt dit qelijk aan formule 5.22: (5.22)

Om qelijkwaardiq te zijn moeten twee tests een qelijke faalkans opleveren. Wanneer men nu de ramptest verqelijkt met de test met constante spanninq zal het aantal keren toevoeren van 72

een cyclus (met een lengte At ) bij de ramptest groter moeten zijn dan bij de test met constante spanning. Men zou dus een aantal cycli n' kunnen definieren bij de test met constante spanning die dezelfde faalkans oplevert als n cycli bij een andere testmethode. Hierbij zouden er eventueel problemen kunnen ontstaan wanneer de faalkans zeer sterk stijgt bij 1 extra cyclus van bijvoorbeeld de ramptest. Het gevaar bestaat eigenlijk hieruit dat men bepaalde informatie niet of slecht gebruikt omdat men de overeenkomsten tussen verschillende testmethoden en resultaten over het hoofd ziet. Wanneer de aandacht te zeer gericht is op de Weibullverdeling is men veelal geneigd om in dergelijke gevallen de Weibull variabele opnieuw te definieren. Men loopt dan de kans fysische en statistische aspecten te zeer te maskeren. De auteur adviseert derhalve om de verschillende testmethoden te normaliseren. Men kan bijvoorbeeld proberen de effecten van een ramptest te definieren in de vorm van testresultaten met een constante spanning. De tijd tot falen (nA t) van een rampfunctie tot een spanning Vn is equivalent aan een constante spanning Vn die toegevoerd wordt gedurende een tijd nA t als:

n

II (l-P(Vj.:» j.:-l

= (l-P(V:»~ n

dus:

73

n

.E In(l-p(V » k

fJ.

= ..;;;k,-,-l",:---:-_""",,:,,,"~_

(5.27)

In(l-p(Vn )

Wanneer we een test met spanningsstappen vergelijken met een test met constante spanning kunnen we schrijven:

N

IT (l-P(V

K

)

)n.-

K-l

= (l-P(Vn »J5

(5.28)

In bovenstaande formule is N het aantal stappen en is 11K het aantal intervals 4 t die op een spanningsniveau VIC zijn gehouden. Voor n' krijgt men nu:

N

.E nKln (l-P(VK) )

fJ.

= .::K~-l~~~""",,:,,,"~~_ In(l-p(Vn ) )

Ook in referentie [12] wordt een opmerking gemaakt ten aanzien van het gebruik van de Weibull verdeling. Hierbij gaat het om de speciale vorm van de Weibullformule namelijk zoals die afgeleid wordt in referentie [25] en vrij algemeen gebruikt wordt [4,19], namelijk die volgens formule 5.5 (waarover in het voorafgaande ook al een opmerking was gemaakt): (5.5)

met c

= to-4Eo-b

Men zou namelijk kunnen denken dat bovenstaande formule een 74

tweedimensionale kansverdeling voorstelt met als stochastische variabelen de tijd t en de veldsterkte E. Dit blijkt niet juist te zijn. Een van de voorwaarden waaraan een kansverdeling moet voldoen is dat hij monotoon moet zijn. De kansdichtheidsfunctie moet groter of gelijk aan 0 zijn. Wanneer men nu F achtereenvolgens differentieert naar E en naar t krijgt men:

f(

t, E) = ...;.(J2....;F~(~t:o=-,_E..;..) o toE

Er z1Jn nu best situaties denkbaar dat de term tussen accolades negatief wordt. Aangezien de kansdichtheidsfunctie niet negatief mag worden betekent dit dat formule 5.5 geen tweedimensionale kansverdeling kan voorstellen. Deze formule is weI te gebruiken wanneer men aIleen de tij d t als stochastische variabele beschouwd en de veldsterkte E als aangelegd (en dus bekend) •

75

6 De verqelijkinq van kabels .et verschillende diameters en lenqten In het voorgaande hoofdstuk heb ik een aantal nader ingevulde vormen van de Weibullformule naar voren gebracht zoals ik die in verschillende artikels ben tegengekomen. Met deze formules werd de faalkans van een kabel beschreven als functie van een aantal verschillende variabelen zoals veldsterkte E, temperatuur T, tijd t, enzovoort. Toch is geen enkele van de Weibullformules uit hoofdstuk 5 naar mijn mening volledig, omdat de invloed van lengten en diameters op het falen van kabels er niet in meegenomen wordt. Dat lengten en diameters invloed moeten hebben op het falen van kabels is volgens mij vooral wat de lengten betreft goed in te zien. Indien men aanneemt dat het falen van een kabel op een punt het falen van de complete kabel impliceert dan lijkt het vrij logisch dat een kabel van 10km lengte onder dezelfde omstandigheden (veldsterkte, temperatuur, enzovoort) een grotere faalkans heeft dan een kabel van 1km lengte met dezelfde diameter, eenvoudig omdat de langere kabel meer plaatsen zal hebben om te falen. Dit kan men overigens ook goed inzien door een langere kabel te zien als een keten van verschillende kortere standaardlinks (een kabel van 10km lengte is gelijk aan een keten van 10 links van 1km lengte). De Weibullformules uit hoofdstuk 5 kunnen naar mijn mening weI heel nuttig z1Jn bij het vergelijken van gestandariseerde kabelsamples (dezelfde lengte, dezelfde diameters. Relatief weinig artikels maken melding van de invloed van lengten en diameters van kabels op de faalkans. In de door mij gevonden

literatuur gaat

het

maar

om een

vijftal

artikels

[5,15,19,25,35].

De auteur van referentie [25] heeft in het betreffende artikel de veelvuldig gebruikte formule 5.5 afgeleid: 76

(5.5)

De auteur leidt in hetzelfde artikel ook een relatie in wei-

bullvorm af waarin hij ook lengten en diameters introduceert. Hij gaat eveneens uit van de aanname dat het falen van een element het falen van het complete systeem (ketting van elementen) tot gevolg heeft. Hieruit voIgt dan dat wanneer we aannemen dat een systeem opgedeeld kan worden in een aantal subvolumes met verschillende spanningen een gecombineerde tijd- en veldsterktedistributie toegekend kan worden aan ieder element. De distributie voor het gehele systeem is dan een compositie van de losse distributies behorende bij de deelelementen. Laat E j de waarde zijn van de aan een element van het systeem toegevoerde veldsterkte dat een volume 4 V j heeft dat zodanig klein is dat verondersteld mag worden dat de veldsterkte binnen dit volume uniform is. De overlevingswaarschijnlijkheid van dit element ziet er als voIgt uit:

Voor de overlevingswaarschijnlijkheid van het gehele systeem dat samengesteld is uit n elementen krijgt men vervolgens:

77

Wanneer Eo een passende referentieveldsterkte voorstelt qeldt:

Wj in bovenstaande formule stelt een parameter voor die aIleen afhanqt van de qeometrie van het systeem. Wanneer men dit substitueert in de uitdrukkinq voor de overlevinqswaarschijnlijkheid krijqt men:

Anderzijds kan men wanneer men een element AVo als referentie

neemt Cj uitdrukken als een functie van de verhoudinq n j

zodaniq dat Cj=eonj. Daarom kan men schrijven:

(6.1)

Hierbij is aanqenomen dat:

Als het systeem continu is kan voorqaande relatie als volqt worden qeschreven:

78

(6.2)

waarbij de integraal genomen moet worden over het gehele volume waar de veldsterkte invloed heeft. Wanneer het systeem een kabel betreft kan volume AVj als voIgt worden geschreven:

I is in bovenstaande formule de lengte van de kabelsample, Ro is de straal van de geleider en R, is de buitenstraal van de isolatie. Daarom kan men schrijven:

dV

= 2'nlRdR

en dn

=

2xlR dR AVo

Wanneer men de veldsterkte Eo bij de binnengeleider als referentieveldsterkte neemt dan is w=Rn/R. Wanneer men dit substitueert in formule 6.2 krijgt men:

C

=

2(

2'nc0 lR0

(b-2) AVo

1-(R 2

)b-2)

R1

Om nu een constante overlevingswaarschijnlijkheid te krijgen verkrijgt men uitgaande van formule 6.1 de volgende uitdrukking:

79

De constante k kan men zodanig kiezen dat P=O,S of op andere gelijksoortige wijze. Wanneer men twee verschillende kabelmonsters vergelijkt die geisoleerd zijn met hetzelfde materiaal, maar waarvan de een afmetingen Ro(1), R1(1) en l(1) heeft en de ander Ro(2), R1(2) en l(2)' dan zullen de combinaties van waarden die dezelfde waarschijnlijkheid opleveren gegeven worden door de volgende relatie:

= tal (2)

)';12 (2)'&"0 (2)

Eb

0 (2)

R 0 (2) 1 ( -( R (2) 1

)b-2)

Hieruit voIgt dat wanneer men kabel 1 als referentie neemt de waarde van de maximale veldsterkte van kabel 2 die voor beide kabels dezelfde faalkans impliceert op een gegeven tijdstip t gegeven wordt door:

EO(2)

_ -

O

(1))2 EO (l) {1(1)(R -1- ~ H(1,2) (2)

}i

1-

met

H(1,2)

=

R

.......ll!1. R1 (1)

1-( RR

o (2)

0 (2)

b-2 )b-2

(6.3)

1 (2)

Wanneer men in plaats van de maximale veldsterkte Eo gebruik maakt van de gemiddelde veldsterkte E. als referentie dan verkrijgt men de volgende uitdrukking:

(6.4)

80

Hierbij is gebruik gemaakt van formule 6.11 om de gemiddelde veldsterkte E. uit te drukken in de maximale veldsterkte Eo. In het algemeen is b voor het dielectricum zo groot dat in goede benadering kan worden aangenomen dat:

Oe hierboven afgeleide relaties worden ook elders in de literatuur gebruikt. Speciaal formule 6.3 komt men verschillende malen tegen [5,15,19], veelal met de benadering dat H12 ongeveer gelijk is aan 1. In referentie 15 wordt het een en ander nog iets uitgebreid. Men gaat in dat artikel uit van een Weibullformule F(E) die er als voIgt uit ziet:

F(E)

Wat bij bovenstaande formule vooral opvalt ten opzichte van de meeste voorgaande vormen van de Weibullverdeling is dat er een locatieparameter EL in voorkomt. Hiermee introduceert men dan nog een extra vrijheidsgraad. oit komt men niet zo vaak tegen in de literatuur. Wanneer er overigens sprake is van een situatie waarin een locatieparameter toegevoegd moet worden in een Weibullformule kan men naar mijn mening in de" meeste gevallen E-E L substitueren voor E. Andere artikelen waarin ook Weibullformules met locatieparameters voorkomen zijn onder andere referenties [5,6 en 12]. Wanneer de waarde van EL verwaarloosbaar is ten opzichte van E 81

kan men deze Weibullformule vereenvoudigen tot:

F(E)

= l-e -( ~r

(6.5)

Wanneer men aannneemt dat de schaal factor aIleen afhangt van het volume van de isolatie krijqt men de volgende relatie voor

K is in bovenstaande formule een coefficient die afhangt van de soort isolatiemateriaal en V is het isolatievolume. Wanneer men nu bovenstaande formule invult in relatie 6.5 dan voIgt:

(6.6)

De auteurs van dit artikel proberen het werk van referentie 25 nog wat uit te breiden. Ze willen de invloed van kabelafmetingen op de faalkans nagaan. Zij onderscheiden hiervoor 2 gevallen, namelijk het eerste geval dat doorslag afhankelijk is van de maximale veldsterkte Eo en het tweede geval dat doorslag afhankelijk is van de gemiddelde veldsterkte E.. 1) Doorslag is afhankelijk van de maximale veldsterkte. Om te beginnen proberen Z1J de Weibullformule 6.6 nog wat nader in te vullen. Hiertoe delen zij de kabelisolatie op in cylindrische lagen met straal p ,

dikte Ap en lengte 1.

De

veldsterkte bij een straal p kan men als voIgt uitdrukken in

82

de maximale veldsterkte Eo:

In bovenstaande formule is ~ de straal van de geleider. Hierdoor krijgt de faalkans van de cylindrische laag de volgende vorm:

F(E) = p

l-e

-2'dClP~.J Ro Eo)"

(6.7)

,\p

Hierna maakt men een grote stap door bovenstaande formule te herleiden tot een vorm van F(E). Hierbij verwijzen de auteurs naar een artikel dat ik niet heb kunnen bemachtigen. Het enigste dat ze met betrekking tot de afleiding aangeven is de volgende formule:

F(E) =

liml-II {l-F(E

~p~ol

p

)}] =

p

l-e

1 ~Eob{lJ -2.XZ_ b-2 \

Ro)b-l

~

(6.8)

en R, Z1Jn in bovenstaande formule weer respectievelijk de straal van de geleider en de buitenstraal.

~

Toch heb ik mede met behulp van een nadere uitleg/afleiding van een soortgelijke formule in referentie 35 (die later in dit stuk nog naar voren komt) uitdrukking 6.8 zelf afgeleid. Aangezien

F(Ep )

de faalkans op een cylindrische laag aangeeft

geeft l-F(Ep ) de overlevingskans van de cylindrische laag aan.

83

Het product van al deze overlevingskansen genomen over aIle lagen geeft de waarschijnlijkheid dat er geen enkele laag doorslag optreedt. Wanneer men deze waarschijnlijkheid op zijn beurt weer aftrekt van 1 verkrijgt men de kans dat er minimaal doorslag optreedt in 1 laag die samenvalt met het falen van het gehele dielectric. Dus dit betekent:

F(E) =

limrl-II {l-F(Ep )}]

.6p"ol

p

vervolgens kan men deze formule als voIgt omschrijven:

In (l-F(E»

= .6p limlnII {l-F(Ep )} = limE IIl{l-F(Ep )} ..o p .6p ..o p

De sommatie met

4p~O

gaat over in een integraal en men krijgt

door invullen van formule 6.7 dus:

Door dit uit te werken krijgt men:

Door nu het linkerdeel van bovenstaande formule weer terug om te werken krijgen we de volgende uitdrukking:

84

Hiermee is vergelijking 6.8 dUs afgeleid. Voor het speciale geval dat de faalkans van twee kabels gelijk is gebruiken ook de auteurs van referentie 15 voor de uitdrukking met de maximale veldsterkte Eo formule 6.3. Zij proberen vervolgens de effecten van geleiderdiameter en isolatiedikte van de algemene formule af te splitsen. Hierbij gebruiken ze ook de benadering die in referentie 25 geoppperd wordt, namelijk dat H'2 in formule 6.3 gelijk is aan 1. Voor het effect van de geleiderdiameter geldt dan:

Eo (2)

_ -

)-2

R 0 (2) b Eo (1) (~ 0(1)

(6.9)

Voor het effect van de isolatiedikte geldt dan: (6.10)

De beide bovenstaande relaties gelden voor een vaste kabellengte. De auteurs geven vervolgens in hun artikel een relatie tussen gemiddelde veldsterkte en maximale veldsterkte die er als voIgt uitziet:

(6.11)

85

In bovenstaande formule is ~ de gemiddelde veldsterkte, geeft d de dikte van de isolatie aan en is Eo de maximale veldsterkte (Ro is de straal van de geleider en R, is de straal over de buitenkant van de isolatie). Ik heb vervolgens zelf de formules 6.3 en 6.4 vergeleken om te controleren of hieruit ook bovenstaand verband volgde. Dit is volgens mij weI het geval. Vervolgens wordt formule 6.11 achtereenvolgens in formule 6.9 en 6.10 ingevuld. Dit levert de volgende verbanden op voor de invloed van de geleiderdiameter en voor de invloed van de isolatiedikte: 1 RO (2) +d n R o (2) (Ro(2) -In R o (1) +d Ro (1)

)l-i

E

(6.12)

(1)

•

RO(l)

(6.13)

Merk op dat in relatie 6.12 de dikten d gelijk zijn en in relatie 6.13 de geleiderstralen Ro. 2) Doorslag is afhankelijk van de gemiddelde veldsterkte. Globaal voIgt men bij de afleiding wederom hetzelfde recept als hiervoor bij de afleiding van de relaties die behoorden bij de situatie waarbij doors lag afhankelijk was van de maximale veldsterkte. De toegevoerde veldsterkte wordt veronder86

steld bij iedere laag constant te zijn. In formulevorm wordt dit:

Uitgaande van de Weibullverdeling volgens formule 6.6 krijgen we nu:

F(E) = 1-e -2fCXlpApB: p

In geval dat de faalkansen van twee kabels gelijk zijn kan men hieruit de volgende formule afleiden:

De auteurs onderscheiden nu 3 effecten, namelijk het effect van het isolatievolme, het effect van de geleiderdiameter en het effect van de isolatiedikte. Voor het effect van het isolatievolume geldt: 87

(6.14)

Voor het effect van de geleiderdiameter geldt:

(6.15)

Voor het effect van de isolatiedikte geldt:

(6.16)

Door binnen deze 3 relaties formule 6.11 te introduceren krijgen we achtereenvolgens de volgende relaties voor de effecten van het isolatievolume, de geleiderdiameter en de isolatiedikte:

d Eo (2) =

1 R 1 (1) (2)Ro(1)

n~ 0;;..(:.=1.:...) R

d (1)"~(2) " In ~ 1(2)

(V)":! E (2)

""V""""" (1)

b

°(

1)

(6.17)

0(2)

(6.18)

88

(6.19)

De afhankelijkheid van kabellengte op de doorslagveldsterkte moet hetzelfde zijn voor de beide situaties (doorslag hangt af van de maximale veldsterkte of doorslag hangt af van de gemiddelde veldsterkte) I omdat de radiale verdeling van de veldsterkte in een kabel onafhankelijk is van de kabellengte. Voor het effect van de kabellengte (voor gemiddelde veldsterkte) geldt:

(6.20)

Indien men een locatieparameter staande relaties moet men door

(~-Ea)

I

~,

(Ed

wil

invoeren in boven-

Eo en b respectievelijk vervangen

(Eo-Eod en b / • Voor het effect van de kabellengte

krijgt men nu bijvoorbeeld:

(6.21)

Vervolgens

wordt

er

geprobeerd

uit

te

vinden

of

doorslag

afhankelijk is van de gemiddelde veldsterkte danwel. van de maximale veldsterkte. Doorslag in isolatie treedt op op het punt waar de toegevoerde veldsterkte de waarde overschrijdt waartegen de isolatie plaatselijk bestand is. Zo I n punt waar doorslag als eerste

89

plaatsvindt wordt gedefinieerd als het zwakste punt. In relatie tot het zwakste punt zijn de volgende 3 factoren van groot belang: (1) De radiale verdeling van de electrische veldsterkte in de isolatie. (2) Het aantal zwakke punten in een dunne laag (equivalent met het volume van de laag). (3) De veldsterkte waarbij het zwakke punt doorslaat voor ieder zwak punt afzonderlijk. Om te beginnen wordt aangenomen dat er sprake is van een kabeldiilectricum waarin de zwakke punten uniform verdeeld zijn en die aIle bij ongeveer de zelfde veldsterkte doorslaan. Voor dit speciale geval kan men, rekening houdend met de condities 1 en 2 behalve 3, de faalkans vergelijken van de lagen door gebruik te maken van formule 6.6. De faalkans van de meest naar binnen gelegen laag met straal Ro wordt gegeven door:

F(E) r

b

= 1_E-KVzBr

Evenzo kan de faalkans van de buitenste laag met straal R1 genoteerd worden in de volgende vorm:

Hieruit voIgt:

90

Omdat F(Er)>>F(ER) ligt het zwakste punt in de buurt van de binnenste laag. In dit geval hangt doorslag af van de maximale veldsterkte. Vergelijking 6.9 geeft hieraan een qualitatieve invulling door de afhankelijkheid van de geleiderdiameter (en daarmee ook van het oppervlak). Wanneer er aIleen relatief grote zwakke punten voorkomen op het geleiderscherm is het eveneens duidelijk dat doorslag afhangt van de maximale veldsterkte. Vervolgens wordt aangenomen dat we te maken hebben met een kabeldiilectricum waarin de zwakke punten, die aIle doorslaan bij verschillende veldsterkten, willekeurig verdeeld zijn. In dit geval moet men er ook rekening mee houden dat doorslag kan beginnen in de buitenste laag wanneer het betreffende zwakke punt dat zich daar bevindt een voldoend lage doorslagveldsterkte heeft. Het zwakste punt kan in dit geval voorkomen in iedere laag. Daarnaast is er een sterke neiging voor een zwak punt met lage doorslagveldsterkte om zich te bevinden in een van de buitenste lagen, omdat het volume van de buitenste lagen groter is. Dientengevolge hebben bovenstaande condities (1) en (3) de neiging elkaar uit te middelen. Daarom kunnen condities (1) en (3) vervangen worden door een aanname (4): (4) Uniform toegevoerde veldsterkte in het diilectricum en constante doorslagveldsterkte van zwakke punten. In dit geval is doorslag afhankelijk van de gemiddelde veldsterkte. Vergelijking 6.14 geeft een quantitatieve invulling aan bovenstaande aanname. Hierna volgen nog een opmerking omtrent kabellengte. Uit vergelijking 6.21 voIgt dat de doorslagveldsterkte van kabels van oneindige lengte nooit lager wordt dan EL • Men kan formule 6.21 als voIgt herschrijven:

91

De afname van de doorslagveldsterkte voor de verhouding van kabellengten is afhankelijk van zowel ELlE(1) als lIb'. Voor weinig

degradatie

is

een

kleine

lIb'

en

een

grote

ELlE(1)

vereist. Deze voorwaarde is equivalent met een kleine spreiding van de doorslagveldsterkte van een stuk kabel van vaste lengte. uiteindelijk concludeert men nog naar aanleiding van experimenteel onderzoek aan XLPE kabels onder meer dat de gemiddelde doorslagveldsterkte goed past in de vorm van een Weibullverdeling met een locatieparameter en dat de mediane waarde van de gemiddelde doorslagveldsterkte varieert wannneer men kabels gebruikt met verschillende afmetingen, maar dat de vormfactor en de locatieparameter constant blijven. Ook in referentie [35] worden aspecten die de afmetingen van een kabel betreffen besproken en de wij ze waarop men deze aspecten kan introduceren binnen de Weibullverdeling. Het artikel begint eigenlijk met de niet onbelangrijke opmerking dat bij het testen van kabels een kort stuk testkabel aIleen representatief kan zijn voor een langer stuk kabel wanneer de spreiding in doorslag klein is. Voor klassieke kabels is dit in het algemeen juist, maar bij het testen van kunststof geisoleerde kabels moet dit eerst aangetoond worden. Vervolgens maakt men ook in dit artikel een voorbehoud tegen het gebruik van de inverse power law. Enerzijds omdat· er ook onderzoekers zijn die een ingewikkelder verband veronderstel~ len. Anderzijds zou de factor n (LE"=constant) afhankelijk kunnen zijn van de manier van testen, het type isolatiemateriaal, het fabricageproces, de aanwezigheid van spanningsstabilisatoren, enzovoort. 92

In dit artikel worden de invloeden van kabellengte en geleiderstraal afzonderlijk behandeld. om te beginnen leidt men eerst op vrij fundamentele wijze de Weibullverdeling af. kans P (LSt) dat de levensduur L van een dielectric niet groter is dan t wordt gegeven door de statistische verdelingsfunctie P(t). Vervolgens kan men, hiervan uitgaande, de kans De

P(t
als voIgt schrijven:

p(t
= p(t+At)-p(t) = [l-P(t)]·Po·At

Het

laatste

deel

door

P(t
van

te

voorgaande

zien

als

een

formule product

kan van

men

vinden

twee

andere

kansen, namelijk de kans dat er geen doorslag optreedt voor een moment t (I-P(t» en de kans dat een dielectricum, dat reeds getest is gedurende een tijd t, door zal slaan tussen t en t+A t (=PoA t) At-O

•

Later wordt Po nog nader gedefinieerd. Met

verkrijgt men uit bovenstaande formule:

dP( t) I-P(t)

= Po·dt

met als oplossing:

t

-In[l-P(t)] = fPodt+C

o

Met de eis dat P(t)=O voor

t~o

voIgt dat C=O. Door voor Po de

93

volgende vorm te gebruiken

vindt men (K is een functie van de electrische veldsterkte en de kabelafmetingen):

pet)

= l-e i ~)'

(6.22)

De tijdconstante to wordt hierbij gegeven door:

Hierbij moet men bedenken dat de tijdconstante to in formule 6.22 een tijd tot falen voorstelt en dus ook moet voldoen aan de inverse power law. Het verband tussen E en L dat voIgt uit de inverse power law kan men binnen de Weibullformule introduceren door te stellen:

K

= K'E~'

Om nu het effect van kabellengte te introduceren moet men er rekening mee houden dat indien de kabellenqte vergroot wordt met een factor p de faalkans met dezelfde factor p vergroot wordt. Hieruit voIgt dat dat K evenredig moet zijn met p. Ook dit effect kan men nu introduceren in de Weibullverdeling door te stellen:

94

K = KlpE~1

In bovenstaande formule is 8'=8n waarbij n de constante afkomstiq van de inverse power law voorstelt (LE"=constant). Dit heeft als consequentie dat 8 onafhankelijk is van de veldsterkte E wanneer er qeen andere doorslaqmechanismen actief zijn en dat 8 ook onafhankelijk is van kabelafmetinqen. Wanneer de lenqte van de kabels verqroot wordt met een factor p en de veldsterkte met een factor E kan de nieuwe tijdconstante to als voIgt in de oude tijdconstante 'to' worden:

I

to

=

1

uitqedrukt

met B'=Bn

e~/p "J

Volqens mij komt de lenqte wederom op soortqelijke Wl.J ze tot uitdrukkinq binnen de Weibullverdelinq als in voorqaande artikelen [15,25]. Om de invloed van de qeleiderstraal te bepalen wordt in dit artikel een soortqelijke weq qevolqd als in referentie [15]. Weer beschouwt men een circulaire laaq met een

straal p en

dikte Ap en lenqte 1. Men qebruikt voor K de volqende uitdrukkinq:

=

RoE P

E p is

de

locale electrische veldsterkte en de dimensionele 95

factor p

is vervangen door het volume

12~pAp

van een laag.

Door dit te substitueren vindt men de volgende Weibullverdeling:

(6.23)

De kans dat er geen doorslag optreedt is l-P, • Vervolgens wil men de totale kans bepalen over aIle lagen met dikte Ap liggen tussen binnenstraal Ro en buitenstraal R,.

De

die

faalkans

van iedere laag wordt gegeven door formule 6.23, waarbij p de straal van

iedere laag voorstelt.

Bet product

II, (l-P,)

is de

kans dat er geen enkele doors lag in geen van de lagen plaatsvindt.

l-II, (l-P,)

is de kans dat er minimaal 1 doorslag in 1

van de lagen plaatsvindt. Voor de kans pet) voor de doorslag van de kabel krijgt men vervolgens de volgende formule:

Door in bovenstaande formule formule 6.23 in te vullen verkrijgt men:

(6.24)

96

In practische situaties geldt vaak:

(

R --2.

R1

)"-2 <1

zodat:

R )" Rf( R:

<

R;

Men kan dan formule 6.24 als voIgt benaderen:

Aangezien B'=Bn (n is de constante afkomstig van de inverse power law) vindt men voor de tijdconstante to de volgende uitdrukking:

(6.26)

Aan deze formule is goed te zien dat de doorslagveldsterkte E van een kabel in een gegeven tijd to afhankelijk is van van de lengte I en de doorsnede van de geleider (~Ro2), maar dat hij niet afhankelijk is van de dikte of het volume van de isolatie (merk op dat dit geldt in geval van de benadering). Veralgemeniserend kan men nu stellen dat wanneer een serie testkabels met een lengte l'-l/p, die een echte kabel met lengte I moeten representeren, en die een q maal kleinere doorsnede hebben dan de echte kabel getest worden in een electrisch veld met veldsterkte E'=f'E men met behulp van 97

relatie 6.26 de volgende vergelijking voor de tijdconstante to' kan afleiden: 1

I

to =

1

toP lq 1 flD

Om te zorgen dat beide situaties leiden tot dezelfde faaltijd (to'=to) moet men f' als voIgt kiezen:

1

fl

1

= P "ji q"ji

met 6'=6n

98

7 Parameterbepaling van de Weibull vardelingsfunetie In een aantal referenties maakt men wat extra opmerkingen omtrent de bepaling van de verschillende Weibullparameters [5,19]. In referentie [19] behandelt men een aantal mogelijke testmethoden om de parameters van de Weibullverdeling te bepalen. In het betreffende artikel wordt uitgegaan van een wat uitgebreide versie van formule 5.5. Formule 5.5 zag er als voIgt uit: F(t,E) = 1_e-{ct agb)

(5.5)

De uitbereiding bestaat nu hieruit dat men de invloed van kabellengten en diameters meeneemt zoals die afgeleid zijn in referentie 25 (zie hoofdstuk 6) als formule 6.3:

(6.3)

Volgens referentie [19] kan men op een snelle en eenvoudige wij ze de verdeling van het falen van een kabel bepalen door een groot aantal tests uit te voeren op miniatuurkabels (kabels met kleine afmetingen). De op deze wijze verkregen verdeling kan men gebruiken om een kleiner aantal testresultaten op kabels met normale afmetingen te controleren. Op deze wij ze worden de tests minder kostbaar. De tests, die men toe kart passen op zowel kabels met normale 99

afmetingen als op miniatuurkabels om de parameters van de verdeling te vinden, kan men onderverdelen in 2 hoofdklassen: short time tests en levensduurtests. De short time tests zijn nuttig om de verdeling van de doorslag te vinden in een gegeven tijd. Zij worden uitgevoerd als doorslagtests met standaard procedures (impu1stest, ramptest, enzovoort). De parameter Eo en b kunnen vervolgens op verschi1lende manieren bepaald worden uit een serie tests. Hierna volgen 2 methoden. a) Door twee series kabelmonsters te kiezen met verschillende lengten 1(1) en 1(2) krijgt men 2 groepen resultaten met behulp waarvan de bijbehorende verdeling geivalueerd kan worden. Elk van beide verdelingen wordt geinterpoleerd met behu1p van lineaire regressie van de variabelen lnln1/(1-F) en lnE. De op deze wij ze verkregen lijn definieert Eo voor F=O. 63 en de he1ling van de lijn geeft de waarde van b (spreidingscoefficiint van de veldsterkte). b) De 2 nominale waarden van Eo die voor iedere verdel ing berekend worden kan men introduceren in vergel ij king 6. 3 en vervolgens kan men hieruit de waarde voor b bepalen als functie van de verhouding 1(1)/1(2). Wanneer de achterliggende theorie correct is moeten de beide berekende waarden van b consistent zijn. Wanneer men de parameters van de verdeling bepaald heeft met behu1p van miniatuurkabe1s kan men deze gebruiken om de doorslagwaarden bij kabels met norma1e afmetingen te correleren over een groot bereik van waarden van 1(1), R(1) en R(2)- De eventuele verificatie van deze correlatie impliceert een tweetal aandachtspunten:

100

1)

De theorie moet qeldiq zijn voor het qehele bereik van

qebruikte afmetinqen. 2) De modificatie van de kabelafmetinqen maq qeen systematische verschillen introduceren qedurende het fabricaqeproces. Het eerste aandachtspunt is qoed te controleren met behulp van verqelijkinq 6.3. Het belanqrijkste probleem bij hooqspanninqskabels is het verkrijqen van een qoede schattinq van de betrouwbaarheid (de berekeninq van de faalkans na een zekere tijd). Met behulp van formule 5.5 of de inverse power law kan dit probleem opqelost worden door ofwel een schattinq van de exponent a van de Weibullverdelinq danwel een schattinq van de levensduurexponent n (n=bja) van de inverse power law. Een derqelijke bepalinq is aIleen maar moqelijk indien zowel a als n constant zijn voor doorslaqtijden varierend van eniqe minuten tot verscheidene jaren. Hierin schuilt ook het belanq van tests met een lanqere tijdsduur. Hier komt bij dat een levensduurtest rekeninq houdt met invloeden die zich moqelijk pas na lanqere tijd openbaren zoals het fabricaqeproces, cyclische belastinqen en omqevinqsinvloeden. In het betreffende artikel rapporteren de onderzoekers verscheidene voorbeelden met constante a (n). Daarnaast rapporteren ze ook situaties waarvoor dit niet qeldt. De volqende fiquur toont hiervan een voorbeeld.

101

"

15 10 10 40

~.

10

5 2 1

lef'

~ .

i

20

.Y

..- ~ i

.... V0 10

'-

10'

lrl

10J

104

10

Figuur 22: Levensduurverdeling bij constante veldsterkte (25kV/mm) van miniatuurkabels met een ionisatieeffect na ongeveer t A=1000h (de 2 geschatte waarden van a zijn 0,4 en 1,5) • Een dergelijke knik in de verdelingskromme is typerend voor materialen met een slechte weerstand tegen partiele ontladingen. Men stelt vervolgens dat een verdelingskromme met een dergelijke knik in principe beschreven kan worden met een iets gemodificeerde vorm van formule 5.5 die er als voIgt uitziet:

Hierbij moet worden opgemerkt dat de bepaling van de nieuwe verdelingsparameters c', a' en b' erg moeilijk is. Het meest belangrijke punt echter waarmee men rekening dient te houden is dat tests die uitgevoerd worden met relatief hoge veldsterkten (en die dus een kortere tijd duren dan t A ) kunnen leiden tot een optimistische schatting van de levensduur van een kabel onder serviceomstandigheden. Om dit te illustreren voIgt hieronder het plaatje van de levensduurkromme die behoort bij de levensduurverdeling van figuur 22.

102

E

(l
li8

'8

60

-

~

50 40 30 -

I · ......

~

~

---1 .. ~ ,

~

__ ---l...--

20 10

- •

I

~~ --t~

"-

16j4

lCi..f

10-"

161

1

10

fil

10 J

--~

r-..

10 4

10:' 10 6

T (h)

Figuur 23: Levensduurkromme van hetzelfde materiaal als waarop figuur 22 betrekking heeft. Ook in referentie 5 wordt de short time test gebruikt voor de bepaling van b en de levensduurtest voor de bepaling van a. In dit artikel wordt nadere uitleg gegeven over de short time test om de waarde van b (van formule 5.5) te bepalen. De short time test bestaat in principe hieruit dat men een spanningstest met een constante tijdsduur uitvoert op p identieke kabelmonsters. Dit levert vervolgens een lijst van doorslagveldsterkten Ei die geordend moeten worden van kleinste naar grootste waarde. De cumulatieve waarschijnlijkheid van Ei kan worden benaderd door:

i p+1

als

= i-0,3 p+0,4

p~10

als p<10

Omdat de tijd tot falen constant is kan men vervolgens de waarde van b bepalen uit een plot.

103

De auteur van dit artikel maakt in zijn algemeenheid gebruik van een vorm van de Weibullverdeling volgens formule 5.5, maar voegt hieraan nog een locatieparameter toe voor de veldsterkte. Of de locatieparameter in een bepaald geval een waarde groter dan 0 heeft kan men inzien aan de hand van een plot van de doorslaggegevens. Wanneer de gegevens in een Weibullplot een rechte lijn vormen is de locatieparameter ongeveer o. Indien er geen sprake is van een min of meer rechte lijn, maar van een kromme, kan men proberen de kromme recht te maken door het invoeren van een locatieparameter. Daarnaast zijn er ook nog de gevallen waarbij een knik optreedt. Deze zijn hiervoor al behandeld. Levensduurtests zijn nuttig om de constanten c en a te bepalen (van formule 5.5). Dit kan men weer doen door een plot te maken volgens dezelfde principes als hiervoor vermeld bij de short

time

test.

Dit keer houdt men

niet de

tijd maar de

spanning (veldsterkte) constant. Een methode die over het algemeen geprefereeerd wordt boven de levensduurtest is de bepaling van de factor n van de inverse power law. Deze bepaling wordt vergemakkelijkt door de logarithmes van spanning (veldsterkte) en tijd tegen elkaar uit te zetten.

104

8 CODclusie.

Ik heb in de door mij geraadpleegde bronnen een behoorlijke hoeveelheid literatuur gevonden die levensduur en de faalkans van kabels.

betrekking

heeft

op

de

Met betrekking tot de levensduurmodellen kan geconcludeerd worden dat men in het algemeen de levensduur laat afhangen van 2 factoren, namelijk de electrische veldsterkte en de temperatuur. Verder is de verscheidenheid in levensduurmodellen behoorlijk groote Ondanks de soms behoorlijk grote verschillen tussen de modellen rapporteren de meeste onderzoekers practische situaties waarin het door hen gevonden model lijkt te gelden. De levensduurrelaties worden veelal als karakteristieke levensduur geintroduceerd in een Weibullverdeling om zo een relatie te verkrijgen die een beschrijving geeft van de faalkans van een kabel. Doordat er een aantal verschillende vormen van de levensduurrelaties gevonden zijn zijn er ook verschillende vormen die een beschrijving geven van de faalkans van een kabel. De verschillende onderzoekers Zl.] n het niet met elkaar eens hoe de levensduurvergelijking en vergelijking voor de faalkans er eigenlijk uitzien. Ik denk dan ook dat het onderzoek nog verder verdiept zal moeten worden.

105

9 Literatuurlijst

1

Bahder, G. et ale ELECTRICAL BREAKDOWN CHARACTERISTICS AND TESTING OF HIGH VOLTAGE XLPE AND EPR INSULATED CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102(1983), p. 2173-2185.

2

Bahder, G. et ale PHYSICAL MODEL OF ELECTRIC AGING AND BREAKDOWN OF EXTRUDED POLYMERIC INSULATED POWER CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101(1982), p. 1379-1390.

3

Bahder, G. et ale LIFE EXPECTANCY OF CROSSLINKED POLYETHYLENE INSULATED CABLES RATED 15 TO 35 KV. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100(1981), p. 1581-1590.

4

Bahder, G. et ale CRITERIA FOR DETERMINING PERFORMANCE IN SERVICE OF CROSSLINKED POLYETHYLENE INSULATED POWER CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-95(1976), p. 1552-1566.

5

Bernard, G. APPLICATION OF WEIBULL DISTRIBUTION TO THE STUDY OF POWER CABLES INSULATION. Electra, Vol. 127(1989), p. 75-83.

6

Brown, G.W. THE WEI BULL DISTRIBUTION: some dangers with its use in insulation studies. IEEE Transactions on Power Apparatus and systems, Vol. PAS-101(1982), p. 3513-3522.

106

7

Bulens, R. et al. AGEING AND PERMISSIBLE LOAD OF PAPER INSULATED MEDIUM VOLTAGE CABLES. In: ClRED 1983. Proc. 7th Int. Conf. on Electricity Distribution, Liege, 25-29 April 1983. Part 1 (reports): paper d.06. Liege: Association des Ingenieurs electriciens sortis de l'institut Montefiore, 1983. P. 1-7.

8

Cacciari, M. and G.C. Montanari PROBABILISTIC MODELS FOR LIFE PREDICTION OF INSULATING MATERIALS. Journal of Physics D: Applied Physics, Vol. 23(1990), p. 1592-1598.

9

Cygan, P. and J.R. Laghari MODELS FOR INSULATION AGING UNDER ELECTRICAL AND THERMAL MULTISTRESS • IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-25 (1990), p. 923-934.

10 Dissado, L.A. et al. WEIBULL STATISTICS IN DIELECTRIC BREAKDOWN; Theoretical basis, applications and implications. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-19 (1984), p. 227-233. 11 Hemalatha, B. and T.S. Ramu INSULATION DEGRADATION UNDER MULTIFACTOR STRESS. In: High Voltage Engineering. Proc. 5th Int. Symp., Braunschweig, 24-28 August 1987. Vol. 1: paper 23.08. Braunschweig: Technical University Braunschweig, 1987. P. 1-4. 12 Hirose, H. A METHOD TO ESTIMATE THE LIFETIME OF SOLID ELECTRICAL INSULATION. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-22 107

(1987), p. 745-753. 13 Horton, W.F. and A.N. st. John THE FAILURE RATE OF POLYETHYLENE INSUlATED CABLE. In: Proc. 7th IEEE/PES Transmission and Distribution Conference and Exposition, Atlanta, G.A., 1-6 April 1979. piscataway, N.J.: IEEE Service Center, 1979. P. 324-328. 14 Kako, Y. and L. Simoni GENERAL EQUATION OF THE DECLINE IN THE ELECTRIC STRENGTH FOR COMBINED THERMAL AND ELECTRICAL STRESSES (discussion). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-20 (1985), p.648-651. 15 Kaneko, R. and K. Sugiyama STATISTICAL CONSIDERATIONS ON IMPULSE BREAKDOWN CHARACTERISTICS OF CROSS-LINKED POLYETHYLENE INSUlATED CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-94(1975), p. 367-377. 16 Katz, C. et al. COMPARATIVE EVALUATION BY lABORATORY AGING OF 15 AND 35 KV EXTRUDED DIELECTRIC CABLES. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 5(1990), p. 816824. 17 Kiersztyn, S.E. FORMAL THEORETICAL FOUNDATION OF ELECTRICAL AGING OF DIELECTRICS. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100(1981), p. 4333-4340. 18 Luckens, G. et al. ONDERZOEK NAAR RESTLEVENSDUUR VAN GPLK. Elektrotechniek, Vol. 68(1990), p. 667-674.

108

19 Metra, P. et ale HIGH VOLTAGE CABLES WITH EXTRUDED INSULATION. statistical controls and reliability evaluation. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-94(1975), p. 967-976. 20 Montanari, G.C. and M. Cacciari A PROBABILISTIC LIFE MODEL FOR INSULATING MATERIALS SHOWING ELECTRICAL THRESHOLDS. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-24 (1989), p.127-134. 21 Montanari, G.C. and G. Pattini THERMAL ENDURANCE EVALUATION OF INSULATING MATERIALS: A theoretical and experimental analysis. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-21 (1986), p. 69-77. 22 Montanari, G.C. and M. Cacciari A PROBABILISTIC INSULATION LIFE MODEL FOR COMBINED THERMALELECTRICAL STRESSES. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-20 (1985), p. 519-522. 23 Montanari, G.C. and M. Cacciari A PROBABILISTIC INSULATION LIFE MODEL FOR COMBINED THERMALELECTRICAL STRESSES (erratum). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-20 (1985), p. 690. 24 Montanari, G.C. et ale THE ELECTRIC STRENGTH MEASUREMENT FOR AGING EVALUATION IN MULTIPLE STRESS TEST. In: Electrical Insulation. Proc. 4th Int. Symp., Philadelphia, 7-9 June 1982. piscataway, N.J.: IEEE Service Center, 1982. P. 9-12.

109

25 Occhini, E. A STATISTICAL APPROACH TO THE DISCUSSION OF THE DIELECTRIC STRENGTH IN ELECTRIC CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-90(1971), p. 2671-2682. 26 Raqeb, M.H.S.A. and A.J. Pearmain AN APPROACH TO THE PREDICTION OF THE LIFETIME OF ELECTRICAL INSULATIONS. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-19 (1984), p. 107-113. 27 Simoni, L. GENERAL EQUATION OF THE DECLINE IN THE ELECTRIC STRENGTH FOR COMBINED THERMAL AND ELECTRICAL STRESSES. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-19 (1984), p. 45-52. 28 Simoni, L. ON COMPATIBILITY BETWEEN THERMAL AND ELECTRICAL STRESS. (communication). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-17 (1982), p. 373-375.

29 Simoni, L. A GENERAL APPROACH TO THE ENDURANCE OF ELECTRICAL INSULATION UNDER TEMPERATURE AND VOLTAGE. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-16 (1981), p. 277-289. 30 Simoni, L. A GENERAL APPROACH TO THE ENDURANCE OF ELECTRICAL INSULATION UNDER TEMPERATURE AND VOLTAGE (errata). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-17 (1982), p. 375.

110

31 Simoni, L. AGING THEORY OF ENGENEERING MATERIALS. Alta Frequenza, Vol. XLII(1973), p. 501-510. 32 Stember, L.H. et ale ANALYSIS OF FIELD FAILURE DATA ON HMWPE- AND XLPE-INSULATED HIGH-VOLTAGE DISTRIBUTION CABLE. IEEE Transactions on Power Apparatus and systems, Vol. PAS-104(1985), p. 1979-1985. 33 Stone, G.C. et ale A PROBABILISTIC LIFE MODEL FOR INSULATING MATERIALS SHOWING ELECTRICAL THRESHOLDS (discussion). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-24 (1989), p. 135-137. 34 CIGRE Study Committee no. 21 (H.V. Insulated Cables). Working Group 03 (Partial Discharges). THE WEI BULL DISTRIBUTION: effect of length and conductor size of test cables. Electra, Vol. 33(1974), p. 49-61. 35 Antal, M. ELEKTRICITEITSOPWEKKING,-TRANSMISSIE EN -DISTRIBUTIE. Deel 1. Afdeling der elektrotechniek, Technische Universiteit Eindhoven, 1986. Dictaatnr. 5691.

111

VBRSLAGLBGGXNG VAN BET BXBLXOTHEEKPRACTXCOK

Inventarisatie van de betrouwbaarheid van middenspanningskabels

door: stagebegeleider:

S.T.J.A. Vermeulen, id.nr 308211 dr. ire M.H.J. Bollen (vakgroep EG)

periode literatuuronderzoek: December 1991 - Juni 1992 datum bibliotheekinstructie: 6 februari 1992 augustus 1992 ingeleverd: 112

Inboudsopgave

1 2 3 4

Samenvatting van de stageopdracht Concept inhoudsopgave van het stageverslag De geraadpIeegde bronnen Diagrammen van de toepassing van de 'sneeuwbalmethode' en de 'citatiemethode' 5 Bet relatiepatroon van de gevonden Iiteratuurverwijzingen tot concept inhoudsopgave 6 Conclusies naar aanleiding van het verrichte Iiteratuuronderzoek 7 LiteratuurIijst

113

bIz bIz bIz bIz

114 115 115 116

bIz 121

bIz 123 bIz 124

1 samenvattinq van 4e staqeopdracht.

De stageopdracht was een literatuuronderzoek dat gericht moest zijn op het

falen van middenspanningskabels.

Hierbij

kwamen

onder andere de volgende vragen aan de orde: - wat is de faalgraad van middenspanningskabels ? - hoe wordt de faalgraad van middenspanningskabels beinvloed door de temperatuur van de isolatie (dus de mate van elektrische belasting) ? - hoe hangt de faalgraad van middenspanningskabels af van de reeds verstreken levensduur ? welke verschillen in faalgedrag Z1Jn er aan te geven tussen de verschillende typen middenspanningskabels ? De meest belangrijke vragen zijn de tweede en de derde en in mindere mate de vierde. Ter beantwoording van

deze vragen

kan

onder andere gebruik

worden gemaakt van de volgende bronnen: - literatuur over faal- en verouderingsmodellen van kabels; - literatuur over waarnemingen aan de levensduur van kabels; - gegevens over het testen van middenspanningskabels; - gegevens over het falen van kabels in de openbare distributienetten. De eerste bron was hier de belangrijkste, omdat informatie uit de tweede en derde bron vaak onderling slecht te vergelijken zijn. Dit was het eerste uitgangspunt

(een getypte versie van de

opdracht). Al vrij snel vond ik zo/n grote hoeveelheid mogelijk

interessante

literatuur dat we

de

opdracht

iets

nader

bepaald hebben en ik vooral gezocht heb naar literatuur waarin modellen en relaties bepaald worden die de levensduur en de faalkans van een kabel beschrijven als functie van onder meer de elektrische veldsterkte en de temperatuur met de bijbehorende experimentele data. 114

Bij het zoeken van literatuur heb ik me eigenlijk aIleen gericht op tijdschriftartikelen en congresverslagen, omdat ik me vooral moest richten op recente informatie.

2 concept inboudsopqave van bet staqeverslaq inhoudsopgave

De

van

het

stageverslag

ziet

er

globaal

als

voIgt uit: 1 Inleiding 2 Bet falen van kabels 3 Eendimensionale levensduurkrommen van kabels 4 Meerdimensionale levensduurkrommen van kabels 5 De Weibullverdeling in verband met het falen van kabels

6 De vergelijking van kabels met verschillende diameters en

lengten

7 Parameterbepaling van de Weibullverdelingsfunctie 8 Conclusies 9 Literatuurlijst

3 De qeraadpleeqde bronnen In eerste instantie heb ik een aantal artikels van mijn stagebegeleider gekregen. Uit deze stapel heb ik 6 artikelen geselecteerd. De bronnen die ik vervolgens geraadpleegd heb zijn de volgende: - electrical & electronics abstracts - science citation index Ik

heb

me

dus

bij

het

zoeken

vooral

gericht

op

tijd-

schriftartikelen en congresverslagen. uit

de electrical

& electronics

abstracts heb ik in eerste

instantie ongeveer 30 artikels geselecteerd. uit de de science citation index heb ik in eerste instantie ongeveer 18 artikels 115

geselecteerd. De science citation index heb ik aIleen benut om uitgaande van reeds gevonden artikelen verder te zoeken (citatieanalyse na toepassing van de sneeuwbalmethode). De zoektermen die ik gebruikt heb in de electrical tronics abstracts zijn de volgende: - cable insulation - cable testing - power cables - cables (electric)

&

elec-

Een artikel moest aan 1 of meerdere van de volgende selectiecriteria voldoen om (voorlopig) opgenomen te worden in de definitieve literatuurlijst: - het artikel bevat formules (met afleiding) die de levensduur van een kabel als functie van externe factoren (temperatuur, elektrische veldsterkte, enzovoort) beschrijven of die de faalkans van een kabel als functie van externe factoren in de tijd beschrijven. het artikel bevat meetgegevens van levensduren en faalkansen van kabels die de geldigheid aantonen van de afgeleide formules (modellen). het artikel bevat correcties of commentaar op een eerder gevonden artikel (waaronder review articles en errata). het artikel bevat informatie omtrent de invloed van lengten en diameters van kabels op de faalkans. het artikel moest bij voorkeur in het Nederlands, Duits of Engels gesteld zijn. het artikel moest redelijk makkelijk te krijgen zijn (maximale levertijd van ongeveer 2 maanden). 4 Diaqrammen van de toepassinq van de 'sneeuwbalmethode' en de 'citatiemethode'. Bij mijn literatuuronderzoek heb ik op een gegeven moment op de tot dan toe gevonden artikelen eerst de sneeuwbalmethode toegepast, vervolgens de citatiemethode en uiteindelijk nog 116

een keer de sneeuwbalmethode. De 3 bijbehorende diaqrammen volqen op de volqende paqina's. De referenties zijn qenummerd zoals in de literatuurlijst. wat overiqens opmerkelijk is met betrekkinq tot het diaqram van de 'citatiemethode' is dat er qeen omhooqqaande pijlen bestaan van [25] naar [29] en naar [[17], terwijl in het eerste diaqram van de 'sneeuwbalmethode' de omqekeerde pijlen weI voorkomen. oit is in die zin vreemd dat de beide pijlen weI bestaan tussen bijvoorbeeld [25] en [12], terwijl [12] uit hetzelfde tijdschrift komt als [29] (weI uit een andere jaarqanq). De artikels die afkomstiq z1Jn uit de door m1Jn staqebeqeleider qevonden literatuur zijn de volqende: [1,5,16,18,19,32].

117

I~

DIA6RAM VAN DE 'SNEEUW BAU1EtHoDE'

1990

{jIJ cPcP

f!7 cP6 {jSrJ"I

tf3

r!2

&/

&0 fq

M

n 76 ~'i

1'1 ;.~

1.2 fl

if!

DJAbRAM VAil DE lCITAT1£I1ETtl oDE' I~~o

~

rio

,r

7-t

2.;.e DIAbRAM VAN DE 'SNEEUWBALMETllfJDE} l~,o

(f)

7t!

~ ~

~j ~l.

rjf ~

11

~

M

rr 1(

"tf

,." J~

12 "'1 10

120

5 Ret relatiepatroon van de qevonden Iiteratuurverwij zinqen met betrekkinq tot concept inhoudsopqave Het relatiepatroon van de gevonden literatuurverwijzingen met betrekking tot concept inhoudsopgave heb ik op de volgende pagina weergegeven in de vorm van een matrix. De hoofdstuknummering is dezelfde als gegeven onder hoofdstuk 2. De referenties zijn genummerd zoals in de literatuurlijst.

121

RfLA TIE s russ EN I,#.L VI

LlrERATUU R. E. N J.!O 0 F()STUk. kE'N

1.4 I

1./2

Wq

/./3

W'1- IUN

rx

'5<

:; '!

~

e><:

" ~

D< "'X

~

1-

><::

/<

I,

><

'><:

--rx I:>< "X' ><

If ~ 1/1

:><::

/I I?

"5<:!

It

1'1 lLt-I--

/ t. I

tftF

,

><

C>< :

rx

i><:

I

I C><.' :><:1 I 1><:; ,

I

I

><

. I

/01

I

/f'i

I

i

1

i'><:i

i'><J

J 1 )'l

,

'1

r><

,'f ;>, ? L

c><::

.,';L

~'2>< X

><.

D<

>< r>< X

X

i><

f"S< ><

)J> ){1J 0-

<,.f1 'j I

32 ~.~l~ I -

~-

)S"

Ji6

/./r-

,

><eX ><

C>< D<J i I C>< >< T:>< ;><; I :>< I

c><J

/2L

i

-

.

.---

.

, Conclu.ie. naar aanleidinq van het verrichte Ii teratuuronderzoek Ten eerste kan ik concluderen dat er over het falen van (middenspannings)kabels behoorlijk veel geschreven is. Het was niet zo moeilijk om artikels te vinden die hierop betrekking hadden. Het was weI redelijk moeilijk om te selecteren. Ik merkte al snel dat de verleiding erg groot is om een beetje van het eigenlijke onderwerp weg te lopen en nevenaspecten te gaan benadrukken. Ik denk dat ik een groot deel van de tijdschriftliteratuur en een deel van de congresverslagen die betrekking heeft op mijn onderwerp gevonden hebe Dit concludeer ik onder andere uit het feit dat de verschillende artikels over het algemeen sterk met elkaar samenhangen. Dit is bijvoorbeeld te zien aan het laatste diagram van de 'sneeuwbalmethode'. Verder merkte ik dat toen ik steeds verder vorderde met het literatuuronderzoek ik in de referentielijsten van nieuw gevonden artikels steeds vaker grote aantallen artikels tegenkwam die ik al eerder gevonden had en die al dan niet nuttig waren om in mijn literatuuronderzoek te betrekken. Ik vond steeds minder vaak referenties die ik nog nergens anders was tegengekomen. Ook dit wijst er volgens mij op dat ik uiteindelijk een groot deel van de voor mijn onderzoek relevante artikelen gevonden heb uit de door mij geraadpleegde bronnen. Het opstellen van diagrammen van de 'citatiemethode' en de 'sneeuwbalmethode' is met betrekking tot mijn literatuuronderzoek erg nutig geweest. Wanneer men bijvoorbeeld kijkt naar het laatste diagram van de 'sneeuwbalmethode' dan ziet ~en dat er erg veel pijlen zijn naar [25] en [29]. In mijn stageverslag speelt de informatie uit [25] dan ook een vrij grote rol (voor de informatie uit [29] geldt dit in mindere mate). Samenvattend kan ik stellen dat ik denk dat dit literatuuron123

derzoek een redelijk afgerond geheel

is door de

overwegend

sterke samenhang tussen de verschillende artikels,

maar dat

het toch nog weI uitgebreid kan worden door bijvoorbeeld de materie meer fysisch te benaderen. Ook zou men het onderwerp misschien nog wat meer kunnen verdiepen, door uitgaande van de reeds gevonden literatuur nag wat verder te zoeken.

7 Literatuurlijat 1

Bahder, G. et ale ELECTRICAL BREAKDOWN CHARACTERISTICS AND TESTING OF HIGH VOLTAGE XLPE AND EPR INSULATED CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102(1983), p. 2173-2185.

2

Bahder, G. et ale PHYStCAL MODEL OF ELECTRIC AGING AND BREAKDOWN OF EXTRUDED POLYMERIC INSULATED POWER CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101(1982), p. 1379-1390.

3

Bahder, G. et ale LIFE EXPECTANCY OF CROSSLINKED POLYETHYLENE INSULATED CABLES RATED 15 TO 35 KV. IEEE Transactions on Power Apparatus and systems, Vol. PAS-100(1981), p. 1581-1590.

4

Bahder, G. et ale CRITERIA FOR DETERMINING PERFORMANCE IN SERVICE OF CROSSLINKED POLYETHYLENE INSULATED POWER CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-95(1976), p. 1552-1566.

5

Bernard, G. APPLICATION OF WEIBULL DISTRIBUTION TO THE STUDY OF POWER CABLES INSULATION. Electra, Vol. 127(1989), p. 75-83. 124

6

Brown, G.W. THE WEIBULL DISTRIBUTION: some dangers with its use in insulation studies. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101(1982), p. 3513-3522.

7

Bulens, R. et al. AGEING AND PERMISSIBLE LOAD OF PAPER INSULATED MEDIUM VOLTAGE CABLES. In: CIRED 1983. Proc. 7th Int. Conf. on Electricity Distribution, Liege, 25-29 April 1983. Part 1 (reports): paper d.06. Liege: Association des Ingenieurs electriciens sortis de l'institut Montefiore, 1983. P. 1-7.

8

Cacciari, M. and G.C. Montanari PROBABILISTIC MODELS FOR LIFE PREDICTION OF INSULATING MATERIALS. Journal of Physics D: Applied Physics, Vol. 23(1990), p. 1592-1598.

9

Cygan, P. and J.R. Laghari MODELS FOR INSULATION AGING UNDER ELECTRICAL AND THERMAL MULTISTRESS. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-25 (1990), p. 923-934.

10 Dissado, L.A. et al. WEIBULL STATISTICS IN DIELECTRIC BREAKDOWN: Theoretical basis, applications and implications. IEEE Transactions on Electrical InSUlation, Vol. EI-19 (1984), p. 227-233. 11 Hemalatha, B. and T.S. Ramu INSULATION DEGRADATION UNDER MULTI FACTOR STRESS. In: High Voltage Engineering. Proc. 5th Int. Symp., Braunschweig, 24-28 August 1987. Vol. 1: paper 23.08. Braunschweig: Technical University Braunschweig, 1987. 125

P. 1-4. 12 Hirose, H. A METHOD TO ESTIMATE THE LIFETIME OF SOLID ELECTRICAL INSULATION. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-22 (1987), p. 745-753. 13 Horton, W.F. and A.N. st. John THE FAILURE RATE OF POLYETHYLENE INSULATED CABLE. In: Proc. 7th IEEE/PES Transmission and Distribution Conference and Exposition, Atlanta, G.A., 1-6 April 1979. Piscataway, N.J.: IEEE Service Center, 1979. P. 324-328. 14 Kako, Y. and L. Simoni GENERAL EQUATION OF THE DECLINE IN THE ELECTRIC STRENGTH FOR COMBINED THERMAL AND ELECTRICAL STRESSES (discussion). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-20 (1985), p.648-651. 15 Kaneko, R. and K. Sugiyama STATISTICAL CONSIDERATIONS ON IMPULSE BREAKDOWN CHARACTERISTICS OF CROSS-LINKED POLYETHYLENE INSULATED CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and systems, Vol. PAS-94(1975), p. 367-377. 16 Katz, C. et al. COMPARATIVE EVALUATION BY LABORATORY AGING OF 15 AND 35 KV EXTRUDED DIELECTRIC CABLES. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 5(1990), p. 816824. 17 Kiersztyn, S.E. FORMAL THEORETICAL FOUNDATION OF ELECTRICAL AGING OF DIELECTRICS. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 126

PAS-100(1981), p. 4333-4340. 18 Luckens, G. et al. ONDERZOEK NAAR RESTLEVENSDUUR VAN GPLK. Elektrotechniek, Vol. 68(1990), p. 667-674. 19 Metra, P. et al. HIGH VOLTAGE CABLES WITH EXTRUDED INSULATION. Statistical controls and reliability evaluation. IEEE Transactions on Power Apparatus and systems, Vol. PAS-94(1975), p. 967-976. 20 Montanari, G.C. and M. Cacciari A PROBABILISTIC LIFE MODEL FOR INSULATING MATERIALS SHOWING ELECTRICAL THRESHOLDS. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-24 (1989), p.127-134. 21 Montanari, G.C. and G. Pattini THERMAL ENDURANCE EVALUATION OF INSULATING MATERIALS: A theoretical and experimental analysis. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-21 (1986), p. 69-77. 22 Montanari, G.C. and M. Cacciari A PROBABILISTIC INSULATION LIFE MODEL FOR COMBINED THERMALELECTRICAL STRESSES. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-20 (1985), p. 519-522. 23 Montanari, G.C. and M. Cacciari A PROBABILISTIC INSULATION LIFE MODEL FOR COMBINED THERMALELECTRICAL STRESSES (erratum). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-20 (1985), p. 690. 24 Montanari, G.C. et al. 127

THE ELECTRIC STRENGTH MEASUREMENT FOR AGING EVALUATION IN MULTIPLE STRESS TEST. In: Electrical Insulation. Proc. 4th Int. Symp., Philadelphia, 7-9 June 1982. Piscataway, N.J.: IEEE Service Center, 1982. P. 9-12. 25 Occhini, E. A STATISTICAL APPROACH TO THE DISCUSSION OF THE DIELECTRIC STRENGTH IN ELECTRIC CABLES. IEEE Transactions on Power Apparatus and systems, Vol. PAS-90(1971), p. 2671-2682. 26 Rageb, M.H.S.A. and A.J. Pearmain AN APPROACH TO THE PREDICTION OF THE LIFETIME OF ELECTRICAL INSULATIONS. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-19 (1984), p. 107-113. 27 Simoni, L. GENERAL EQUATION OF THE DECLINE IN THE ELECTRIC STRENGTH FOR COMBINED THERMAL AND ELECTRICAL STRESSES. IEEE Transactions on Electrical InSUlation, Vol. EI-19 (1984), p. 45-52. 28 Simoni, L. ON COMPATIBILITY BETWEEN THERMAL AND ELECTRICAL STRESS. (communication). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-17 (1982), p. 373-375.

29 Simoni, L. A GENERAL APPROACH TO THE ENDURANCE OF ELECTRICAL INSULATION UNDER TEMPERATURE AND VOLTAGE. IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-16 (1981), p. 277-289.

128

30 Simoni, L. A GENERAL APPROACH TO THE ENDURANCE OF ELECTRICAL INSULATION UNDER TEMPERATURE AND VOLTAGE (errata). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-17 (1982), p. 375. 31 simoni, L. AGING THEORY OF ENGENEERING MATERIALS. Alta Frequenza, Vol. XLII(1973), p. 501-510. 32 Stember, L.H. et al. ANALYSIS OF FIELD FAILURE DATA ON HMWPE- AND XLPE-INSULATED HIGH-VOLTAGE DISTRIBUTION CABLE. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-104(1985), p. 1979-1985. 33 Stone, G.C. et al. A PROBABILISTIC LIFE MODEL FOR INSULATING MATERIALS SHOWING ELECTRICAL THRESHOLDS (discussion). IEEE Transactions on Electrical Insulation, Vol. EI-24 (1989), p. 135-137. 34 CIGRE Study Committee no. 21 (H.V. Insulated Cables). Working Group 03 (Partial Discharges). THE WEIBULL DISTRIBUTION: effect of length and conductor size of test cables. Electra, Vol. 33(1974), p. 49-61. 35 Antal, M. ELEKTRICITEITSOPWEKKING,-TRANSMISSIE EN -DISTRIBUTIE. Deel 1. Afdeling der elektrotechniek, Technische Universiteit Eindhoven, 1986. Dictaatnr. 5691.

129