Váení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, e na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, e ukázka má slouit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, e není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále íøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umisováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN technická literatura
[email protected]
Kapitola 14 Regulaˇ cn´ı smyˇ cka a z´ akladn´ı typy PID regul´ ator˚ u Ve snaze ˇr´ıdit syst´emy rozezn´av´ame dva hlavn´ı zp˚ usoby ˇr´ızen´ı: • pˇr´ımovazebn´ı,
w(t)
e(t)
u(t)
C
y(t)
P
• zpˇetnovazebn´ı. Pˇr´ımovazebn´ı ˇr´ızen´ı (ˇr´ızen´ı v otevˇren´e smyˇcce), zvan´e tak´e jako ovl´ ad´ an´ı, m´a jednoduˇsˇs´ı zapojen´ı, ovˇsem jeho nev´ yhodou je nemoˇznost reagovat na poruchy ˇci zmˇeny soustavy a my se j´ım zde d´ale zab´ yvat nebudeme. Naproti tomu zpˇetnovazebn´ı ˇr´ızen´ı (ˇr´ızen´ı v uzavˇren´e smyˇcce), obecnˇe oznaˇcovan´e jako regulace, porovn´av´a v´ ystup soustavy y(t) s poˇzadovan´ ym v´ ystupem w(t), a podle t´eto informace generuje akˇcn´ı z´asah u(t) do ˇr´ızen´eho syst´emu. Regulace n´am tak d´av´a mimo jin´e moˇznost stabilizovat nestabiln´ı soustavy (Dorf, R. C. a Bishop, R. H., 2007; Franklin, G. F. et al., 2005; John, J., ˇ 1998; Havlena, V. a Stecha, J., 2000). V t´eto kapitole se budeme vˇenovat regulaci, regulaˇcn´ı smyˇcce a z´akladn´ım typ˚ u regul´ator˚ u. Uk´aˇzeme si dvˇe z´akladn´ı zapojen´ı regulaˇcn´ıch smyˇcek a zavedeme jednotn´e n´azvoslov´ı, kter´e bude pouˇzito i v ostatn´ıch ˇc´astech publikace (zejm´ena proto, ˇze toto n´azvoslov´ı nen´ı ust´alen´e a ˇcasto studenty mate). Vysvˇetl´ıme si nˇekter´e m´ıry kvality ˇr´ızen´ı ¨ m, K. J. a uk´aˇzeme n´azornˇe na pˇr´ıkladech vlastnosti z´akladn´ıch PID regul´ator˚ u (˚ Astro ¨gglund, T., 1995). Zvl´aˇstn´ı pozornost bude vˇenov´ana filtraci derivaˇcn´ı sloˇzky a Ha u tohoto regul´atoru. Konkr´etn´ı zp˚ usoby n´avrhu regul´ator˚ u si uk´aˇzeme v n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach. Na konci t´eto kapitoly najdete sadu neˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u, kter´e maj´ı slouˇzit k procviˇcen´ı t´eto l´atky. Kl´ıˇc k tˇemto pˇr´ıklad˚ um naleznete v z´avˇeru t´eto publikace. 215
ˇ ´I SMYCKA ˇ KAPITOLA 14. REGULACN
216
14.1
Regulaˇ cn´ı smyˇ cka
Pod pojmem regulaˇcn´ı smyˇcka zpravidla rozum´ıme zpˇetnovazebn´ı obvod (Dorf, R. C. a Bishop, R. H., 2007; Franklin, G. F. et al., 2005; John, J., 1998; Havlena, V. ˇ a Stecha, J., 2000), kter´ y vid´ıme na obr. 14.1.
Obr´azek 14.1: Regulaˇcn´ı smyˇcka s regul´atorem s jedn´ım stupnˇem volnosti
Tento nejroˇs´ıˇrenˇejˇs´ı typ regulaˇcn´ı smyˇcky obsahuje dvˇe z´akladn´ı komponenty: regulovanou soustavu P (z anglick´eho plant) a regul´ ator C (z anglick´eho controller). D´ale se ve smyˇcce vyskytuj´ı sign´aly, kter´e budeme naz´ yvat n´asledovnˇe : w(t) . . . ˇza´dan´a hodnota v´ ystupu, e(t) . . . regulaˇcn´ı odchylka, u(t) . . . akˇcn´ı z´asah (v´ ystup regul´atoru, vstup soustavy), y(t) . . . regulovan´a veliˇcina (v´ ystup soustavy), d(t) . . . porucha (vstupu soustavy), n(t) . . . ˇsum mˇeˇren´ı. Z regulaˇcn´ıho obvodu, nebo t´eˇz z regulaˇcn´ı smyˇcky, kterou vid´ıme na obr. 14.1, je zˇrejm´e, ˇze regulaˇcn´ı odchylka e(t) je rovna rozd´ılu ˇza´dan´e hodnoty v´ ystupu w(t) a v´ ystupu soustavy y(t) e(t) = w(t) − y(t).
(14.1)
Na z´akladˇe t´eto veliˇciny generuje regul´ator akˇcn´ı z´asah u(t), kter´ ym p˚ usob´ı na regulovanou soustavu. Pozn´ amka: Obˇcas se m˚ uˇzeme setkat s oznaˇcen´ım w(t) jako vstup, myˇsleno vstup regulaˇcn´ı smyˇcky. R´adi bychom se tomuto oznaˇcen´ı vyhnuli. Oznaˇcen´ı vstup m˚ uˇze l´akat k z´amˇenˇe sign´alu w(t) za sign´al u(t), nehledˇe nato, ˇze sign´al w(t) nen´ı jedin´ y vstup regulaˇcn´ı smyˇcky. Dohromady s poruchou d(t) a ˇsumem mˇeˇren´ı n(t) naz´ yv´ame tyto sign´aly vnˇejˇs´ımi vstupy regulaˇcn´ıho obvodu.
2
ˇ ´I SMYCKA ˇ 14.1. REGULACN
217
V regulaˇcn´ı technice zav´ad´ıme dalˇs´ı pojmy v souvislosti s regulaˇcn´ı smyˇckou uvedenou na obr. 14.1. Je to pˇrenos otevˇren´e smyˇcky L(s) v Laplaceovˇe transformaci, kter´ y oznaˇcuje pˇrenos regulaˇcn´ı smyˇcky po rozpojen´ı zpˇetn´e vazby L(s) = P (s)C(s).
(14.2)
Pokud nech´ame zpˇetnou vazbu na obr. 14.1 zapojenou, oznaˇcujeme pˇrenos z w(t) na e(t) jako S(s) a naz´ yv´ame ho citlivostn´ı funkc´ı (z anglick´eho sensitivity function) S(s) =
E(s) 1 1 = = W (s) 1 + P (s)C(s) 1 + L(s)
(14.3)
a pˇrenos z w(t) na y(t) jako T (s) a naz´ yv´ame ho doplˇ nkovou citlivost´ı T (s) =
Y (s) P (s)C(s) L(s) = = . W (s) 1 + P (s)C(s) 1 + L(s)
(14.4)
Ze vztah˚ u (14.3) a (14.4) vid´ıme, ˇze plat´ı S(s) + T (s) = 1, coˇz pˇrin´aˇs´ı omezen´ı pˇri n´avrhu regulaˇcn´ı smyˇcky (Dorf, R. C. a Bishop, R. H., 2007; ˇ Havlena, V. a Stecha, J., 2000). Pˇri anal´ yze regulaˇcn´ıch obvod˚ u sledujeme citlivost (14.3) i doplˇ nkovou citlivost (14.4), nebot’ plat´ı, ˇze je-li regulaˇcn´ı smyˇcka stabiln´ı budou stabiln´ı i obˇe citlivosti. V klasick´e regulaˇcn´ı smyˇcce uveden´e na obr. 14.1 generuje regul´ator akˇcn´ı veliˇcinu u(t) na z´akladˇe regulaˇcn´ı odchylky e(t). Tato varianta neumoˇzn ˇuje seˇr´ıdit parametry regul´atoru zvl´aˇst’ pro optim´aln´ı potlaˇcen´ı poruchy d(t) a zvl´aˇst’ pro optimalizaci tvaru odezvy uzavˇren´e smyˇcky na skokovou zmˇenu poˇzadovan´e hodnoty w(t). Je tedy nutn´e volit jist´ y kompromis mezi tˇemito rozd´ıln´ ymi poˇzadavky. Proto se nˇekdy nam´ısto regulaˇcn´ı smyˇcky z obr. 14.1 pouˇz´ıv´a i jin´ ych struktur, napˇr´ıklad zapojen´ı regul´atoru se dvˇema ˇ stupni (Havlena, V. a Stecha, J., 2000) volnosti podle n´asleduj´ıc´ıho obr´azku.
Obr´azek 14.2: Regulaˇcn´ı smyˇcka s regul´atorem se dvˇema stupni volnosti
V t´eto regulaˇcn´ı smyˇcce reaguje regul´ator jinak na zmˇenu w(t) a jinak na y(t). Regul´ator tedy z´ısk´av´a informaci o obou veliˇcin´ach zvl´aˇst’. Vˇetˇsinou poˇzadujeme, aby regul´ator rychle a v´ yraznˇe reagoval na zmˇenu regulovan´e veliˇciny (hodnˇe velk´a derivaˇcn´ı sloˇzka
ˇ ´I SMYCKA ˇ KAPITOLA 14. REGULACN
218
u hladk´ ych pr˚ ubˇeh˚ u y(t) neudˇel´a nepˇrimˇeˇrenˇe velk´ y regulaˇcn´ı z´asah). Naopak u skokov´e zmˇeny ˇza´dan´e hodnoty w(t) je potˇreba v´ yraznˇe derivaˇcn´ı sloˇzku omezit. Regul´atory se dvˇema stupni volnosti jsou tedy sloˇzeny ze dvou oddˇelen´ ych regul´ator˚ u, na jejichˇz vstupy jsou pˇrivedeny oddˇelenˇe w(t) a y(t) a odeˇc´ıt´a se aˇz jejich v´ ystup (jejich akˇcn´ı z´asahy“). Ve skuteˇcnosti mus´ı b´ yt tento regul´ator realizov´an jako jeden ” prvek (oba bloky musej´ı m´ıt stejn´ y jmenovatel), abychom neztratili stabilitu regulaˇcn´ı ˇ smyˇcky (Havlena, V. a Stecha, J., 2000). Kvalita regulace Pro hodnocen´ı kvality ˇr´ızen´ı se pouˇz´ıvaj´ı nˇekter´e m´ıry, kter´e jsme si definovali jiˇz dˇr´ıve: • Rezonanˇcn´ı pˇrev´yˇsen´ı Vˇetˇsina ˇr´ıdic´ıch syst´em˚ u se v praxi navrhuje s rezonanˇcn´ım pˇrev´ yˇsen´ım 1 ÷ 3 dB, protoˇze r˚ uzn´e nelinearity, kter´e nejsou line´arn´ım modelem nˇejak´eho re´aln´eho syst´emu pops´any, zpravidla pˇrekmity utlum´ı. Pokud by se vyˇzadovalo rezonanˇcn´ı pˇrev´ yˇsen´ı nulov´e, tedy bez pˇrekmitu, byla by odezva zpˇetnovazebn´ıho obvodu s re´aln´ ym syst´emem zbyteˇcnˇe pomal´a. ˇıˇrka pˇren´ aˇsen´eho p´asma • S´ ˇ s´ı propustn´e p´asmo znamen´a rychlejˇs´ı odezvu syst´emu, to je kratˇs´ı dobu n´abˇehu Sirˇ pˇrechodov´e charakteristiky (dobu, za kterou pˇrejde v´ ystup z 10% na 90% ust´alen´e hodnoty). Na druhou stranu vˇetˇs´ı ˇs´ıˇrka pˇren´aˇsen´eho p´asma znamen´a, ˇze syst´em m˚ uˇze reagovat i na vysokofrekvenˇcn´ı ˇsum vstupuj´ıc´ı do r˚ uzn´ ych ˇc´ast´ı regulaˇcn´ı smyˇcky. S ˇs´ıˇrkou pˇren´aˇsen´eho p´asma souvis´ı i amplitudov´a a f´azov´ a bezpeˇcnost. • Regulaˇcn´ı odchylka v ust´alen´em stavu Navrhujeme regulaˇcn´ı obvody, aby regulaˇcn´ı odchylka mˇela v ust´alen´em stavu nulovou nebo nˇejakou malou hodnotu (obvykle 1%, 2% nebo 5% z ˇz´adan´e hodnoty w(t)). Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na ˇca´st regulaˇcn´ı smyˇcky, kterou jsme nazvali regul´ator. Regul´atory lze ˇclenit z r˚ uzn´ ych hledisek. Napˇr´ıklad z hlediska pˇr´ıvodu energie se dˇel´ı regul´atory na pˇr´ım´e a nepˇr´ım´e. Pˇr´ım´e odeb´ıraj´ı veˇskerou energii potˇrebnou ke sv´e ˇcinnosti z regulovan´e soustavy – pˇr´ıkladem je roztˇeˇzn´ıkov´ y regul´ator ot´aˇcek parn´ıho stroje zn´am´ y t´eˇz jako Watt˚ uv regul´ator, o kter´em se v´ıce dozv´ıte napˇr´ıklad v (Mayr, O., 1970; Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2009). Nepˇr´ım´e vyˇzaduj´ı ke sv´e funkci pˇr´ıvod vnˇejˇs´ı energie (napˇr´ıklad elektrick´e). Podle charakteru media, kter´e je nositelem regulaˇcn´ıho sign´alu se dˇel´ı regul´atory na mechanick´e, pneumatick´e, hydraulick´e, elektrick´e a podobnˇe.
ˇ ´I SMYCKA ˇ 14.1. REGULACN
219
Podle toho, v jak´em tvaru je sign´al regul´atorem pˇren´aˇsen se dˇel´ı na spojit´e a ˇc´ıslicoˇ ıslicov´ v´e. C´ ym regul´atorem b´ yv´a nejˇcastˇeji poˇc´ıtaˇc, kter´ y umoˇzn ˇuje t´emˇeˇr libovolnou sloˇzitost regul´atoru a kter´ y m˚ uˇze pod slovem regul´ator skr´ yvat r˚ uznˇe sloˇzit´e algoritmy, ˚stro ¨ m, K. J. a Witkter´e napˇr´ıklad mohou zaruˇcit v jist´em smyslu optim´ aln´ı ˇr´ızen´ı (A ˚stro ¨ m, K. J. a Wittenmark, B., 1995; Zhou, K. et al., 1996; tenmark, B., 1997; A ˇ Maciejowski, J. M., 2002; Havlena, V. a Stecha, J., 2000). Zvl´aˇstn´ı kategorii tvoˇr´ı ¨ m, K. J. a Ha ¨ gglund, T., 1995), na kter´ v praxi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı regul´ator PID (˚ Astro y se v t´eto ˇc´asti knihy zamˇeˇr´ıme.
14.1.1
Regul´ ator PID
PID regul´ator obsahuje 3 sloˇzky: proporcion´aln´ı, integraˇcn´ı a derivaˇcn´ı. Do akˇcn´ıho z´asahu se tak pˇren´aˇs´ı zes´ılen´a regulaˇcn´ı odchylka e, jej´ı integr´al a tak´e jej´ı derivace. Ta v regul´atoru p˚ usob´ı proti prudk´e zmˇenˇe regulaˇcn´ı odchylky e. Naopak integraˇcn´ı sloˇzka slouˇz´ı k pˇresn´emu regulov´an´ı v ust´alen´em stavu. Rovnici PID regul´atoru v ˇcasov´e oblasti je moˇzn´e zapsat ve tvaru Zt u(t) = kP e(t) + kI
e(τ )dτ + kD
de(t) dt
(14.5)
0
a z n´ı vych´az´ı pˇrenos regul´atoru v Laplacovˇe transformaci C(s) =
U (s) k = kP + I + kD s. E(s) s
(14.6)
V jin´ ych publikac´ıch, napˇr´ıklad v (Hugh, J., 2004; Li, Y. et al., 2006), se m˚ uˇzeme setkat s jin´ ymi z´apisy pˇrenosu PID regul´atoru, jako napˇr´ıklad µ ¶³ ´ 1 C(s) = kP +1 TD s + 1 TI s nebo
µ C(s) = kP
¶ 1 1+ + TD s . TI s
(14.7)
(14.8)
V n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach budeme teorii okolo PID regul´ator˚ u zakl´adat na pˇrenosu (14.6), respektive rovnici (14.5), ale principy budou vykl´ad´any obecnˇe, takˇze si je budete moci odvodit i pro vztahy (14.7) a (14.8). Poloˇz´ıme-li nˇekter´e z konstant regul´atoru rovn´e nule, vzniknou n´am regul´atory jednoduˇsˇs´ı. Ty se pouˇz´ıvaj´ı v pˇr´ıpadech, kdy nem˚ uˇzeme ˇci nechceme pouˇz´ıt cel´ y regul´ator PID. Nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı z nich jsou v tab. 14.1.
ˇ ´I SMYCKA ˇ KAPITOLA 14. REGULACN
220
Tabulka 14.1: Jednoduch´e typy PID regul´ator˚ u
Regul´ator
Zastoupen´ı sloˇzky P
I
D
P
ANO
NE
NE
I
NE
ANO
NE
PI
ANO
ANO
NE
PD
ANO
NE
ANO
14.1.1.1
ˇ Casov´ a rovnice
Pˇrenos
u(t) = kP e(t) Rt u(t) = kI t0 e(τ )dτ Rt u(t) = kP e(t) + kI t0 e(τ )dτ
C(s) = kP
u(t) = kP e(t) + kD de(t) dt
C(s) = kP + kD s
C(s) =
kI s
C(s) = kP +
kI s
Filtrace derivaˇ cn´ı sloˇ zky
V´ yhodou derivaˇcn´ı sloˇzky regul´ator˚ u PD a PID je jej´ı schopnost rychle reagovat na zmˇeny ˇza´dan´e hodnoty a na poruchy. To z´aroveˇ n zp˚ usobuje pot´ıˇze, protoˇze zesiluje i vysokofrekvenˇcn´ı ˇsumy a m˚ uˇze tak b´ yt zdrojem nestability. Z tohoto d˚ uvodu a tak´e proto, ˇze je v praxi ide´aln´ı D sloˇzka nerealizovateln´a, se derivaˇcn´ı sloˇzka filtruje od vysok´ ych frekvenc´ı. To se zpravidla prov´ad´ı filtrac´ı cel´eho regul´atoru pˇrid´an´ım filtraˇcn´ıho p´olu k pˇrenosu regul´atoru C(s) =
kP + s ωf
kI s
+ kD s , +1
(14.9)
kde ωf [rad s−1 ] je filtraˇcn´ı frekvence. M˚ uˇzeme se setkat i s pˇr´ıpadem filtrace pouze D sloˇzky regul´atoru C(s) = kP +
kI k s + s D . s +1 ω
(14.10)
f
Je nezbytn´e vˇsimnout si rozd´ılu mezi obˇema zp˚ usoby z´apisu. Pˇri pouˇzit´ı stejn´ ych konstant jednotliv´ ych ˇca´st´ı regul´atoru kP , kI , kD a frekvence filtru ωf se v´ ysledn´ y pˇrenos regul´atoru v obou pˇr´ıpadech liˇs´ı. Aby nedoch´azelo k nedorozumˇen´ım, budeme nad´ale pˇredpokl´adat prvn´ı zp˚ usob filtrace, tedy vztah (14.9).
14.2
Pˇ r´ıklady
Pˇ r´ıklad 14.1: Nakreslete pˇrechodovou charakteristiku ide´aln´ıho P regul´atoru s konstatnou kP = 2 a porovnejte ji s pˇrechodovou charakteristikou re´aln´eho P regul´atoru, kter´ y m´a nav´ıc ˇcasovou konstantu τ = 0,01 s.
ˇ ´IKLADY 14.2. PR
221
ˇ sen´ı: Ide´aln´ı P regul´ator je tedy podle (14.6) Reˇ C(s) = 2. Pro porovn´an´ı potˇrebujeme zjistit pˇrenos regul´atoru s ˇcasovou konstantou τ = 0,01 s. Pro ˇcasovou konstantu plat´ı τ = ωf−1 . Tedy podle (14.9) je P regul´ator se zpoˇzdˇen´ım C(s) =
2 . 0,01s + 1
Porovn´an´ı obou pˇrechodov´ ych charakteristik je na obr. 14.3(a). Do obr. 14.3(a) sami vyznaˇcte konstanty kP a τ . Porovnejte tak´e Bodeho frekvenˇcn´ı charakteristiky obou regul´ator˚ u.
X
Pˇ r´ıklad 14.2: Proved’te stejn´e porovn´an´ı jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe pro I regul´ator s konstantami kI = 0,5 a τ = 0,01 s. ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı tohoto pˇr´ıkladu je podobn´e jako ˇreˇsen´ı minul´eho pˇr´ıkladu. Ide´aln´ı a re´aln´ Reˇ y I regul´ator je C(s) =
0,5 , s
C(s) =
0,5 1 0,5 = . s 0,01s + 1 s (0,01s + 1)
Porovn´an´ı pˇrechodov´ ych charakteristik je na obr. 14.3(b).
0.06
2 0.05
1.5 u [−]
u [−]
0.04
1
0.03
0.02
0.5 0.01
Ideální Reálná 0 −0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t [s]
(a) ide´aln´ı a re´aln´ y (se zpoˇzdˇen´ım) P regul´ator
Ideální Reálná 0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t [s]
(b) ide´aln´ı a re´aln´ y (se zpoˇzdˇen´ım) I regul´ator
Obr´azek 14.3: Pˇrechodov´e charakteristiky ide´aln´ıch a re´aln´ ych regul´ator˚ u
Na obr. 14.3(b) sami vyznaˇcte konstanty kI a τ . Porovnejte tak´e Bodeho frekvenˇcn´ı charakteristiky obou regul´ator˚ u.
X
