RUANG WAKTU RINDLER DAN PARADOKS KEMBAR Casmika Saputra 10212001, Asep Sofyan 10212074
ABSTRAK Rindler spoacetime adalah bentuk transformasi di ruang waktu untuk kerangka noninersial.“Paradoks kebar” terjadi ketika salah seorang dari sepasang saudara kembar bepergian dengan kecepatan mendekati cahaya. Artinya ia dalam keadaan relativistik sehingga dengan transformasi lorentz maka menurut saudaranya yang berada di bumi ia akan mengalami dilatasi waktu. Sehingga ketika mereka bertemu maka saudara yang di bumi menjadi lebih tua dibandingkan saudaranya yang bepergian. Begitupun sebaliknya, jika mengambil koordinat diamnya adalah saudara yang bepergian itu maka saudara yang berada di bumi lah yang akan bergerak relatif saudara yang bepergian. Sehingga yang akan mengalami dilatasi waktu adalah saudaranya yang di bumi. Kedua hal diatas saling bertentangan dan membingungkan karena sebenarnya siapa yang lebih tua? Atau bahkan mereka masih berusia sama! “Paradoks kembar” dalam tulisan ini diselesaikan dengan menggunakan kerangka acuan S’ yang bergerak konstan.kemudian menggunakan kerangka non-inersial (koordinat Rindler). Hasil yang didapat adalah saudara yang di Bumi lebih tua dibandingkan saudara yang bepergian. Hal ini disebabkan pemuluran waktu saat bergerak dipercepat. Kata kunci: Ruang waktu Rindler, paradoks kembar, non-inersial
PENDAHULUAN Gerak relatif antara dua benda atau lebih dengan kecepatan yang besar, mendekati kecepatan cahaya maka akan mengalami keadaan relativistik. Dalam keadaan relativistik maka gerak relatif menyebabkan timbulnya fenomena dilatasi waktu. Namun, fenomena dilatasi waktu ini memunculkan sebuah berbagai paradoks, diantaranya paradoks kembar. Menurut paradoks kembar, misalkan ada sepasang saudara kembar A dan B. Kemudian A bepergian kesuatu tempat sejauh L dengan kecepatan v. Sedangkan B berdiam di bumi. Suatu ketika A kembali ke Bumi dengan kecepatan v pula. Perhitungan pertama, menurut A, ia bepergian selama tAA. (1) Sedangkan menurut si B, si A bepergian selama tAB, sehingga untuk bertemu lagi dengan si A, maka si B harus menunggu selama:
(2)
Pada akhirnya ketika keduanya bertemu maka akan didapati B lebih muda dibandingkan A (tAA> tBA), karena si A yang bergerak mengalami dilatasi waktu. Perhitungan ke dua, misalkan ditinjau kerangka diamnya adalah si A, maka si B yang berada di bumi bergerak dengan kecepatan v relatif terhadap si A. Sehingga menurut si B, ia bepergian (bergerak) relatif terhadap si A selama tAB. (3) Sedangkan menurut si A, si B bergerak terhadap si A selama
(4) Pada akhirnya ketika keduanya bertemu maka akan didapati A lebih muda dibandingkan B (tBB > tBA), karena si B yang bergerak terhadap si A mengalami dilatasi waktu. Pehitungan pertama dan kedua saling berkontradiksi, sehingga kedua hasil perhitungan diatas melanggar persyaratan dunia yang rasional maka relativitas khusus adalah salah. Implikasi dari “paradoks kembar” menunjukkan kontradiksi antara teori dan akal rasional. Namun, perhitungan dilatasi waktu pada persamaan (2) dan (4) berlaku bila berada dalam kerangka inersial.
Jika A awalnya diam maka haruslah A mengalami percepatan terlebih dahulu sebelum akhirnya bisa bergerak konstan. Perhitungan tersebut tidak dapat dibenarkan karena A mengalami percepatan (berada pada kerangka noninersial), atau bisa dikatakan si A mengalami peloncatan dari suatu kerangka inersial ke kerangka inersial lain secara kontinu. “paradoks kembar” ini menjadi menarik perhatian penulis, sehingga penulis ingin menganalisis lebih lanjut terkait “paradoks kembar ini”.
Maka dengan memasukkan persamaan (11) ke persamaan (10) didapat (12) Thomas Müller dalam bukunya Catalogue of Spacetimes,[2] Ruang – waktu Rindler bila sebuah kerangka bergerak dengan constant proper acceleration α sepanjang sumbu-x adalah (13)
PARADOKS KEMBAR RUANG WAKTU RINDLER
Kerangka Inersial
Diketahui vektor peristiwa dalam ruang waktu minkowski adalah sebagai berikut: (5) Dalam ruang waktu Rindler kecepatan tidak konstan, sehingga
Gerak relatif antara dua benda atau lebih dengan kecepatan yang besar, mendekati kecepatan cahaya maka akan mengalami keadaan relativistik. Dalam keadaan relativistik maka gerak relatif menyebabkan timbulnya fenomena dilatasi waktu. Namun, fenomena dilatasi waktu ini memunculkan sebuah berbagai paradoks, diantaranya paradoks kembar. Menurut paradoks kembar, misalkan ada sepasang saudara kembar A dan B. Kemudian A bepergian kesuatu tempat sejauh L dengan kecepatan v. Sedangkan B berdiam di bumi. Suatu ketika A kembali ke Bumi dengan kecepatan v pula. Perhitungan pertama, dipilih kerangka diamnya adalah Bumi. Si A bepergian selama tA1. (14) Sedangka si B, untuk bertemu lagi dengan si A, ia harus menunggu si A selama:
(6) dan τ adalah
dengan proper time. Jika mula-mula t = 0, dalam keadaan diam v(0) = 0. Maka percepatan-4 nya adalah:
(7) Maka diperoleh proper acceleration Sehingga
dari
persamaan
(8)
[1]
(8) diperoleh
Kemudian, bila saat t = 0 dan x(0) = c2α-1 maka,
(10) Proper time adalah
atau inversnya,
(11)
(15) Pada akhirnya ketika keduanya bertemu maka akan didapati B lebih tua dibandingkan A (tA1 < tB1), karena si A yang bergerak mengalami dilatasi waktu. Perhitungan kedua, misalkan ditinjau kerangka diamnya adalah si A, maka si B yang berada di bumi bergerak dengan kecepatan -v relatif terhadap si A. Sehingga menurut si B, ia bepergian (bergerak) relatif terhadap si A selama tB2. (16)
Sedangkan menurut terhadap si A selama
si A, si B bergerak
(17)
dan si B yang berada dibumi (S) akan bergerak dengan kecepatan –v relatif terhadap kerangka S’. Lihat gambar 2.
Pada akhirnya ketika keduanya bertemu maka akan didapati B lebih muda dibandingkan A (tB2 > tA2), karena si B yang bergerak terhadap si A mengalami dilatasi waktu. Pehitungan pertama dan kedua saling berkontradiksi, sehingga kedua hasil perhitungan diatas melanggar persyaratan dunia yang rasional maka relativitas khusus adalah salah. Implikasi dari “paradoks kembar” menunjukkan kontradiksi antara teori dan akal rasional. Kesalahan pada perhitungan diatas yaitu: pertama, kerangka diam yang dipilih pada perhitungan kedua adalah si A, namun saat si A berbalik arah terhadap gerak awalnya maka si A akan berpindah kerangka. Kerangka diam yang awalnya diam terhadap si A (berhimpitan dengan si A) akan terus bergerak ke kanan, sedangkan si A berbalik arah. (lihat gambar 1).
Gambar 2. Si A berangkat (kondisi 1), si A pulang (kondisi 2)
Kondisi 1 : Perjalanan waktu si A menurut kerangka S’ adalah
Perjalanan waktu si B menurut kerangka S’ adalah
Kondisi 1 : Perjalanan waktu si A menurut kerangka S’ adalah
Substitusi persamaan (18) ke persamaan (21) didapat Gambar 1. Si A berangkat (kondisi 1), si A pulang (kondisi 2)
Sehingga jika kita memandang kerangka S’ diam. Maka ketika si A berbalik arah, ia akan bergerak dengan kecepatan u terhadap kerangka S’, dengan u adalah
Perjalanan waktu si B menurut kerangka S’ adalah
Total perjalanan waktu kerangka S’ adalah
si
A
terhadap
Total perjalanan waktu kerangka S’ adalah
si
B
terhadap
Perhatikan bahwa persamaan (2421) dan persamaan (!231#_) menunjukkan nilai yang sama.
Misalkan v = 3/5 c, L = 12/5 tahun cahaya. Maka jika menggunakan perhitungan pertama (persamaan 1 dan 2) dapat
Sedangka si B, untuk bertemu lagi dengan si A, ia harus menunggu si A selama:
Gambar 3. Diagram ruang waktu, kerangka diam S (bumi) Dengan menggunakan persamaan (19) hingga (23) maka akan didapati diagram ruang waktunya adalah sebagai berikut:
Maka akhirnya ketika mereka bertemu, si A 2 tahun lebih muda dibanding si B Jika di buat diagram ruang waktunya akan tampak sebagai berikut:
diam, kemudian dipercepat dengan proper acceleration a. Setelah proper time t1 si A diperlambat dengan perlambatan –a, hingga berhenti sesaat saat t2. Kemudian si A pulang dengan cara yang sama.
Gamabr 5. Sekema gerakan si A Dengan menggunakan koordinat Rindler. Gerakkannya memennuhi: [3]
dan
Gambar 4. Diagram ruang waktu, kerangka diam S’ Perhatikan bahwa garis abu-abu menunjukkan kesimultanan kejadian Si A dan kejadian Si B.
Misalkan si A menggunakan pesawat dengan a = (3/16) c /tahun dan denagan proper time t1 = 2 tahun. Maka jika digambarkan diagram ruang waktunya adalah:
Kedua diagram menunjukkan Si A lebih muda dibandingkan si B. Pada titik tA = 4 tahun (saat si A berbalik arah), terlihat bahwa kejadian simultannya tidak terdefinisi. Untuk tA 4- maka tB = 3,2. Sedangkan untuk tA 4+ maka tB = 6,8. Artinya, si A mengalami pelambatan waktu yang luar biasa besar secara singkat. Kerangka Non-inersial Jika si A awalnya diam maka haruslah A mengalami percepatan terlebih dahulu sebelum akhirnya bisa bergerak konstan. Perhitungan diatas tidak dapat dibenarkan karena A mengalami percepatan (berada pada kerangka noninersial), atau bisa dikatakan si A mengalami peloncatan dari suatu kerangka inersial ke kerangka inersial lain secara kontinu. Untuk itu pembahasan lebih lanjut adalah dengan menggunakan kerangka noninersial, Ruang waktu Rindler. Misalkan gerakan si A mengalami 4 kondisi. Pertama si A berada dalam keadaan
Gambar 6. Diagram ruang waktu dalam koordinat Rindler
Berdasarkan diagram diatas, perjalanan waktu si A mengalami perlambatan saat gerak si A dipercepat, sebaliknya saat si A bergerak diperlambat, perjalanan waktunya menjadi lebih cepat. KESIMPULAN jika suatu benda bergerak dalam kerangka non inersia, memiliki percepatan konstan, maka ruang waktunya akan berbeda. Dalam hal ini disebut ruang waktu Rindler. Jika arah percepatannya searah dengan sumbu x, maka dalam Ruang Waktu Rindler yaitu
Paradoks kembar dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan kerangka non-inersial. Dengan menggunakan ruang waktu Rindler menunjukkan bahwa ketika bergerak dipercepat maka akan mengalami pemuluran waktu. Sehingga pada kasus paradoks kembar, salah satu dari saudara kembar yang bergerak dipercepat mengalami dilatasi waktu. Sehingga saat kembali ke Bumi, ia akan lebih muda dibanding saudaranya yang diam di Bumi.
REFERENSI [1] Socolovsky, M. . 2013. Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, 04510, M´exico D. F., M´exico [2] Müller, Thomas. 2011. Catalogue of Spacetimes. Visualisierungsinstitut der Universität Stuttgart (VISUS) Allmandring 19, 70569 Stuttgart, Germ. [3] Boblest, Sbastian. 2010. Twin Paradox in de Sitter Spacetime. Universität Stuttgart, 1. Institut fur Theoretische Physik. Pfaffenwaldring 57//IV, 70569 Stuttgart, Germany.
