Makalah UTS Teori Grup dan Simetri
INSTANTON Casmika Saputra 10212001 Institut Teknologi Bandung Abstrak. Solusi klasik pada kasus Double Well Potential dalam mekanika kuantum dalam imaginary time Euclidian memberikan dua buah solusi yaitu solusi trivial dan solusi non-trivial. Persamaan gerak pada kasus Double Well Potential yang diekspresikan pada imaginary time-Euclid memberikan solusi non-trivial yang disebut Instanton dan anti-Instanton. Penamaan instanton berkaitan dengan karakteristik solusi persamaan gerak partikel yang terlokalisasi di ruang Euclid dan mampu berpindah ke posisi lain secara instan. Kata Kunci : Double Well Potential , Instanton
Pendahuluan Solusi instanton digunakan untuk menganalisis solusi non-trivial dari satu persamaan gerak dalam waktu imajiner. Aplikasi instanton telah banyak dibahas dalam jurnal-jurnal, yaitu pada produksi pasangan Lepton [1], formulasi solusi instanton gravitasional [2], instanton pada solusi teori Yang-Mills [3], dan sebagainya. Pada makalah ini dibahas secara sederhana solusi instanton pada kasus Double Well Potential dan dimulai dengan pembahasan transformasi imaginary time-Euclid.
Forbiden Area Tinjau sebuah kasus gerak partikel berenergikan E, dan memasuki daerah dengan potensial yang bernilai lebih besar dari energinya, gambar 1. Secara klasik memang tidak mungkin partikel tersebut dapat melakukan tuneling (penerobosan). Namun, apa bila ditinjau dalam fisika Kuantum, penerobosam dapat saja terjadi dengan probabilitas yang kecil. Tinjau semi klasik pada kasus ini, yaitu perhitungan klasik dengan asumsi partikel mampu melakukan tuneling. Apabila kita tuliskan persamaan energinya, ππ₯ 2 ( ) = πΈ β π(π₯) (1) ππ‘
Gambar 1. Barrier potential [4]
Sehingga untuk x < a dan x > b energi kinetik bernilai positif sedangkan a < x < b energi kinetik bernilai negatif. Berdasarkan persamaan 1 maka kecepatan partikel memenuhi persaamaan berikut: 2(πΈ β π(π₯)) ππ₯ (2) =β ππ‘ π Dan untuk a < x < b nilai energi lebih kecil dibandingkan potensialnya sehingga kecepatan partikel akan menjadi kompleks sebagai berikut:
Makalah UTS Teori Grup dan Simetri
ππ₯ 2|πΈ β π(π₯)| = +π β ππ‘ π
untuk π < π₯ < π
(3)
Kemudian, untuk mendapatkan bagian variabel waktu kita dapat mengintegrasikan seluruh proyeksi terhadap t maka akan diperoleh: π₯π
π₯π
π 1 π‘ = β« ππ‘ = β« β ππ‘ = β« ππ‘ 2(πΈ β π(π₯) π£(π₯) π₯π
(4)
π₯π
Maka apa bila diperhatikan maka pada posisi a < x < b masuk ke dalam bagian waktu imajiner. π
π‘= β« π₯π
π
π₯π
1 1 1 ππ‘ β π β« ππ‘ + β« ππ‘ |π£(π₯)| π£(π₯) π£(π₯) π
(5)
π
Gambar 2. Evolusi waktu [4] Kasus ini menjadi latar belakang yang menjadi dasar dibentuknya transformasi imaginary time Euclidian. Merupakan transformasi dengan, π‘ β ππ dengan π = ββ1. Apabila persamaan 1 ditulis ulang dalam bentuk Euclid waktu imajinernya maka akan menjadi, 1 ππ₯ 2 π ( ) = ππΈ (π₯) β πΈπΈ dengan π(π₯) > πΈ (6) 2 ππ Instanton dalam Double Well Potential Sebuah sistem partikel yang dalam Double Well Potential maka akan didapati solusi persamaan gerak non-trivial berupa instanton. Kita tinjau sebuah Double Well Potential π(π₯), dengan π 2 (π₯ β π2 )2 π(π₯) = (7) 4! Apabila solusi persamaan gerak dideskripsikan pada imaginary time-Euclid dengan menggunakan parameter π dan pada kasus E = 0 maka bentuk potensial Euclid ditentukan dengan merevers nilai potensial, ππΈ (π₯) = βπ(π₯). Perhatikan bentuk potensial π(π₯) dan ππΈ (π₯) pada gambar 3.
Makalah UTS Teori Grup dan Simetri
Gambar 3. Bentuk Double Well Potential (kiri), Bentuk Potensial dalam waktu-Euclid (kanan) 1
Bentuk Lagrang dari gerak partikel dalam potensial tersebut adalah πΏ = 2 ππ₯Μ 2 β π(π₯) atau 1 Μ dalam potensial Euclid πΏπΈ = 2 ππ₯Μ 2 β ππΈ (π₯). Secara klasik untuk menentukan persamaan gerak dari bentuk lagrang maka digunakan persamaan berikut: π ππΏπΈ ππΏπΈ ( )= (8) ππ ππ₯Μ ππ₯ Dengan menyelesaikan persamaan lagrang di atas maka diperoleh: π2 π₯ ππ(π₯) π 2 = π β² (π₯) dengan π β² (π₯) = (9) ππ ππ₯ Pada persamaan 5, kedua ruas dikalikan π₯Μ diperoleh π₯Μ π₯Μ π = π₯Μ π β² (π₯) (10) π 1 π ( ππ₯Μ 2 ) = π(π₯) (11) ππ 2 ππ Sehingga didapat, 1 ππ₯Μ 2 = π(π₯) + π (12) 2 dengan c berupa konstanta yang merupakan energi Euclid EE. Partikel di π₯Μ (|π| β β) = 0 berimplikasi bahwa pada persamaan 3, π β² (π₯) = 0 maka secara implisit diperoleh π₯ = Β±π. Pada keadaan dasar c = 0. Selain itu, solusi Pasaman gerak dapat pula diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 12. Sehingga didapatkan dua buah solusi, yaitu solusi trivial dan non-trivial. Solusi trivial: π₯ = +π untuk semua nilai π atau π₯ = βπ untuk semua nilai π Solusi non-trivial: 1 π 2 (π₯ β π 2 )2 ππ₯Μ 2 = 2 4! π (π2 βπ₯ 2 ), dengan |π₯| β€ |π| π₯Μ = Β± β 12π π 2 2 ππ2 (π βπ₯ ), dengan π2 = 2π 3π Solusi persamaan 11 tersebut adalah π π₯ = Β±π tanh ( (π β π0 )) 2 π₯Μ = Β±
(13) (14) (15) (16)
Makalah UTS Teori Grup dan Simetri πββ
πβββ
Berdasarkan persamaan 16 maka π₯ β Β±π, π₯ β βπ, dan π₯(π0 ) = 0. Dengan kata lain, partikel terlokalisasi di π = π0. Solusi persamaan gerak pada persamaan 12 disebut Instanton (untuk tanda +) dan anti-instanton (untuk tanda - ). βInstantonβ nama tersebut digunakan karena solusi tersebut terlokalisasi dalam ruang Euclid secara simultan dan instan pada waktu Euclid. Perhatikan gambar 4.
Gambar 4. Instanton
Pada gambar 4 terlihat bahwa partikel pada π β ββ hingga π β π0 β berada pada π₯ = βπ sedangkan π β π0 + hingga π β +β berada pada π₯ = +π. Apabila faktor π β« 0 (sangat besar) maka solusi instanton akan menjadi seperti step function. Perhatikan gambar 5.
Gambar 5. Instanton terlihat seperti step function
Gambar 5 ini menjelaskan bahwa instanton terlokalisasi di π = π0 dengan π₯ = Β± π. Solusi ini menggambarkan bahwa partikel tersebut dapat mengalami tuneling di dalam daerah terlarang. Apabila kita menjumlahkan semua kemungkinan solusi instanton dan anti-instanton yang terjadi pada π1 , π2 , π3 dan seterusnya sejumlah nI instanton dan nA anti instanton maka akan didapati ilustrasi kuasi solusi seperti berikut:
Gambar 6. Multi Instanton-Anti Instanton Apabila ditinjau N = nI β nA maka partikel yang mula-mula berada pada posisi x = βa akan kembali ke posisi x = βa sedangkan apabila N = 1 maka posisi akhirnya di x = a.
Makalah UTS Teori Grup dan Simetri Kesimpulan Solusi non-trivial dari persamaan gerak partikel dalam Double Well Potential Euclid memberikan solusi Instanton untuk tanda positif (+) dan anti-instanton untuk tanda negatif (-) pada persamaan 10. Apabila faktor π β« 0 maka bentuk solusi Instanton menjadi seperti step function.
Referensi [1] Brandenburg, Arnd., Andreas Ringwald. 2006. Instantons in Pair Lepton Production. [2] Eyo Eyo Ita III. 2011. Instanton Representation of Plebanski Gravity, Gravitational Instanton from the Classical. [3] Donaldson, S.K. 2005. Yang-Mills Theory Ana Geometry [4] Rattazzi, Riccardo. 2009. The Path Integral Approach do Quantum Mechanic, Lecture Note for Quantum Mechanic IV. [5] Rattazzi, Riccardo. The Path Integral approach to Quantum Mechanics Lecture Notes for Quantum Mechanics IV
