Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com
MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi 10 aksioma berikut: 1. Untuk setiap α, β K maka α + β K dan α * β K 2. Untuk setiap α, β, γ K maka (α + β) + γ = α + ( β + γ ) 3.
4.
5.
Terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + α = α + 0 = α, untuk setiap α K Untuk masing-masing α K, terdapat – α K disebut negatif dari α sedemikian sehingga (-α) + α = α + (-α) = 0 Untuk setiap α, β K maka α + β = β + α
MEDAN SKLAR Untuk setiap α, β, γ K maka (α * β) * γ = α * ( β * γ ) 7. Untuk setiap α, β, γ K a. α * ( β + γ ) = α * β + α * γ b. ( β + γ ) * α = β * α + γ * α 8. Untuk setiap α, β K maka α * β = β * α 9. Terdapat 1 K disebut elemen satuan, sedemikian sehingga 1 * α = α * 1, untuk setiap α K 10. Untuk masing-masing α ≠ 0 K, terdapat α-1 K disebut invers dari α sedemikian sehingga α-1 * α = α * α-1 = 1 Dalam hal ini semua anggota dari Field adalah skalar 6.
MEDAN SKLAR Contoh Himpunan bilangan riil R adalah medan skalar terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Berikut adalah pembuktiannya : misal 1, 2, 3 R 1. 2. 3.
4. 5.
1 + 2 = 3, 3 R dan 1 * 2 = 2, 2 R (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) => 6 = 6 Elemen 0 dari R adalah “0”, dan 0 + 1 = 1 + 0 = 1, dimana 1 R (-1) + 1 = 1 + (-1) = 0 1 + 2 = 2 + 1
MEDAN SKLAR 6. 7.
8.
9.
10.
(1 * 2)*3 = 1*(2*3) => 6 = 6 Untuk setiap 1, 2, 3 R a. 1 * ( 2 + 3 ) = 1 * 2 + 1 * 3 => 6 = 6 b. ( 2 + 3 ) * 1 = 2 * 1 + 3 * 1 => 6 = 6 1 * 2 = 2 * 1 => 2 = 2 Elemen “1” dari R adalah “1”, dan 1*1 = 1*1 = 1 1-1 * 1 = 1 * 1-1 = 1 Tidak hanya pada 1, 2, 3, semua bagian dari R harus terpenuhi semua aksioma tersebut agar dapat dikatakan medan skalar.
RUANG VEKTOR Ada 8 syarat agar V (himpunan vektor) disebut sebagai ruang vektor, yaitu: 1. Jika vektor-vektor u, v V , maka vektor u + v V dan jika α K , maka α u V 2.
3.
4.
Jika vektor-vektor u, v, w V, maka (u + v) + w = u + (v + w) Untuk setiap u, v V dan α K maka α * (u + v) = α*u + α*v
Ada 0 V (vektor 0) sehingga 0 + u = u + 0, untuk semua u V
RUANG VEKTOR 5.
6. 7.
Untuk semua u V terdapat - u V sehingga u + (-u) = 0 Untik setiap u, v V , maka u + v = v + u Untuk setiap u, v V dan α , β K berlaku a. b.
8.
(α + β) * u = α*u + β*u (α β) * u = α (β*u)
Untuk setiap u V berlaku 1 * u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K
RUANG VEKTOR Contoh Terdapat himpunan vektor V = { [1, 2, 3] , [2, 3, 4], [3, 5, 7], [2, 6, 12] } dan himpunan skalar R {1, 2, 3} . Apakah himpunan vektor V adalah ruang vektor? Jawab untuk membuktikannya harus dicari apakah himpunan vektor tersebut memenuhi aksioma 1. u + v V [1, 2, 3] + [3, 5, 7] = [4, 7, 10] karena [4, 7, 10] ∉ V , aksioma pertama tidak terpenuhi maka himpunan vektor tersebut bukan ruang vektor
RUANG BAGIAN (SUBSPACE) •
•
Ruang bagian atau sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vektor juga, namun dengan syarat-syarat khusus Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku : 1. W ≠ Ø (W tidak kosong) atau W ≠ { } 2. 3.
Untuk setiap u, v W maka u + v W Untuk setiap u W dan α K , maka αu W
RUANG BAGIAN (SUBSPACE) Contoh Apakah ruang nol, O, merupakan sub ruang? O = {0} Jawab Bukti: 1. Ada 0 ∈ O, jadi O ≠ ∅ 2. Ambil u, v ∈ O, berarti u = 0 dan v = 0, akibatnya u + v = 0 + 0 = 0, jadi u + v ∈ O 3. Ambil u ∈ O, berarti u = 0, akibatnya ku = k0 = 0, jadi ku ∈ O Jadi O merupakan sub ruang dari setiap ruang vektor yang melingkupinya.
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER •
Himpunan m buah vektor {u1, u2, ..., um } disebut bergantung linier (linearly dependent) bila terdapat skalar-skalar λ1, λ2, ..., λm yang tidak semuanya nol sedemikian rupa sehingga :
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λm um = 0 (0 adalah vektor nol) Sebaliknya, himpunan vektor {u1, u2, ..., um} disebut bebas linier (linearly independent) jika λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λm um = 0 hanya dipenuhi oleh λ1 = λ2 = ... = λm = 0
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER Contoh Selidiki apakah 1. a = [8, 18, 13], b = [1, 3, 2] , c = [2, 4, 3] 2. a = [2, 3] dan b [7, 1] bebas linier atau bergantung linier? 1.
λ1 [8, 18, 13] + λ2 [1, 3, 2] + λ3 [2, 4, 3] = 0 Misalnya λ1 = 1, λ2 = -2, λ3 = -3, maka persamaan tersebut menjadi 1 [8, 18, 13] - 2 [1, 3, 2] - 3 [2, 4, 3] = 0 karena ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor tersebut bergantung linier
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER 2.
Untuk a = [2, 3] dan b [7, 1] maka λ1 [2, 3] + λ2 [7, 1] = 0 sehingga 2 λ1 + 7 λ2 = 0 3 λ1 + 1 λ2 = 0 persamaan tersebut hanya dipenuhi bila λ1 = 0 dan λ2 = 0. Jadi vektor tersebut bebas linier.
KOMBINASI LINIER •
Suatu vektor v dikatakan kombinasi liner dari himpunan vektor {u1, u2, ..., um } bila terdapat skalar-skalar λ1, λ2, ..., λm sedemikian hingga v = λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λm um
KOMBINASI LINIER Contoh 1. Apakah linier 2. Apakah dari b
a = [5, 15, 16] merupakan kombinasi dari b = [3, 3, 2] dan c = [1, 6, 7] a = [5, 3] merupakan kombinasi linier = [4, 3] dan c = [3, 7]
KOMBINASI LINIER Jawab Kita akan menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c 1. Kita hitung λ1 dan λ2 yang memenuhi [5, 15, 16] = λ1 [3, 3, 2] + λ2 [1, 6, 7] 5 = 3λ1 + λ2 15 = 3λ1 + 6λ2 16 = 2λ1 + 7λ2 Dengan subtitusi, diperoleh λ1 = 1 dan λ2 = 2, jadi a merupakan kombinasi linier dari b dan c, dimana komposisi a = b + 2c
KOMBINASI LINIER 2.
Kita hitung λ1 dan λ2 yang memenuhi [5, 3] = λ1 [4, 3] + λ2 [3, 7] 5 = 4λ1 + 3λ2 3 = 3λ1 + 7λ2 Dengan subtitusi, tidak diperoleh nilai λ1 dan λ2 yang memenuhi. Jadi a bukan kombinasi linier dari b dan c.
RENTANGAN (SPAN) •
Misalkan S = {v1, v2, ..., vk } adalah himpunan vektor dalam ruang vektor real V dan span (S), adalah himpunan yang berisi semua vektor kombinasi linier dari v1, v2, ..., vk , yaitu span (S) = {c1v1 + c2v2 + ... + ckvk | c1, c2, c3, ..., ck R }
jika span (S) = V , maka dikatakan bahwa V dibangun / dibentuk oleh S atau S membentuk V
RENTANGAN (SPAN) Contoh Tentukan apakah v1=(-2,1,2), v2=(0,1,3), v3=(-1,0,1) span dari ruang vektor R3 Jawab : Untuk menentukan span di ruang vektor R3, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R3 adalah kombinasi linier dari v1, v2 dan v3. Misalkan vektor a = (a1,a2,a3) di ruang vektor R3, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v1,v2,dan v3
RENTANGAN (SPAN) a1 a1 -2 0 -1 k1 -2 0 -1 a k 1 k 1 k 0 a 1 1 0 k 1 2 3 2 2 2 a3 a3 2 3 1 k3 2 3 1
Agar supaya ada nilai k1,k2 dan k3, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k1,k2 dan k3 didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v1,v2 dan v3 merupakan span dari ruang vektor R3
BASIS DAN DIMENSI Vektor-vektor v1, v2, ..., vk dalam ruang vektor V dikatakan membentuk basis dimensi V, jika 1.
2.
v1, v2, ..., vk membangun V atau span (v1, v2, ..., vk) = V v1, v2, ..., vk adalah bebas linier
Dimensi dari ruang vektor V adalah jumlah vektorvektor yang membentuk basis pada V
BASIS DAN DIMENSI Contoh Tentukan apakah R3 dan tentukan dibentuk oleh: 1. a = [2, 3, 6] , 2. a = [1, 3, 5] ,
vektor V = {a, b, c} basis dalam dimensi dari ruang vektor yang b = [5, 7, 2] , c = [7, 10, 8] b = [2, -3, 1] , c = [-3, 0, 1]
BASIS DAN DIMENSI Jawab 1. λ1 [2, 3, 6] + λ2 [5, 7, 2] + λ3 [7, 10, 8] = 0 Misalnya λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = -1, maka persamaan tersebut menjadi 1 [2, 3, 6] + 1 [5, 7, 2] - 1 [7, 10, 8] = 0 karena ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor tersebut bergantung linier dan vektor a, b, c bukan basis dalam R3 dan dimensi ruang vektor V adalah 2, (c = a + b) -> {a, b} bebas linier karena tidak berkelipatan.
BASIS DAN DIMENSI 2.
λ1 [1, 3, 5] + λ2 [2, -3, 1] + λ3 [-3, 0, 1] = 0 sehingga [1, 3, 5] + [2, -3, 1] + [-3, 0, 1] = [0 , 0, 0] maka λ1 + 2λ2 - 3λ3 = 0, 3λ1 - 3λ2 = 0, 5λ1 + λ2 + λ3 = 0 persamaan kedua menyebabkan λ1 = λ2, kalau hasil ini disubstitusikan ke persamaan pertama menyebabkan λ1 = λ2 = λ3. Karena tidak ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor tersebut bebas linier.
BASIS DAN DIMENSI 2.
a = [1, 3, 5] , b = [2, -3, 1] , c = [-3, 0, 1] Jika kita jadikan matriks 1
2
-3
3
-3
0
5
1
1
dari matrik tersebut didapatkan determinan yaitu 99 maka kedua syarat terpenuhi sehingga vektor a, b, c basis dalam R3 dan dimensi ruang vektor V adalah 3.
Matur Nuwun
