VEKTOR Adri Priadana ilkomadri.com
Pengertian Dalam Fisika dikenal dua buah besaran, yaitu 1. Besaran Skalar 2. Besaran Vektor
Pengertian • Besaran Skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai nilai dan dinyatakan dengan suatu bilangan tunggal disertai dengan sistem satuan yang digunakan. Contoh : • Massa mobil 500 kg • Tinggi menara 20 m
Pengertian • Besaran Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah. • Contoh: sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 20 meter/detik ke selatan.
Pengertian AB
B
A
AB
• • • •
= notasi untuk vektor
Titik pangkal di A Titik ujung di B Arah vektor dari A menuju B Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB = |AB|
Pengertian Notasi Vektor • Huruf kapital, A atau • Vektor juga dapat ditulis dalam huruf kecil tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v, w, dan x) • huruf kecil diberi tanda garis di atas huruf a , huruf kecil diberi tanda garis di bawah huruf a
Vektor Di Ruang R2 • Vektor di dalam dimensi dua (R2) • Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2) a OA a 1 , a 2
Y a2
O
A
a1
a a 1 a2 X
Vektor posisi dari A
2 Vektor Di Ruang R Y
j = (0,1)
i = (1,0)
X
Vektor basis di ruang R2 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j
Contoh Vektor a = 2i + 5j artinya sama dengan
a
= 52
= [2, 5] = 2 (1,0) + 5(0,1) =
1 2 0
+
0 5 1
3 Vektor Di Ruang R
• Vektor di dalam dimensi tiga (R3) • Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2,a3) a OA a 1 , a 2 , a 3
Z
a1 a a2 a 3
a3 A O a1
a2 Y
X
Vektor posisi dari A
3 Vektor Di Ruang R Z
k = (0,0,1)
j = (0,1,0) X
Y
Vektor basis di ruang R3 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j, sedangkan vektor dalam sumbu Z dinyatakan dgn k
i = (1,0,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j + 3k artinya sama dengan 2 1 0 0 a = 5 = [2,5,3] = 2 (1,0,0) + 5 (0,1,0) + 3(0,0,1) = 2 0 + 5 1 + 3 0 3 0 0 1
n Vektor Di Ruang R
• Vektor a di ruang Rn dinyatakan sebagai a = [a1, a2, a3, ....., an] • Panjang sebuah vektor a disebut norma a dinyatakan dgn a a12 a22 a32 .... an2
• Vektor satuan dalam arah a adalah [a1, a 2, a 3,...., an] ea a
n Vektor Di Ruang R
• Contoh Tentukan panjang vektor a = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a ! a 12 2 2 (3) 2 14
[1,2,3] 1 2 3 ea , , 14 14 14 14
Jarak Euclidean Antara Dua Vektor • Jarak vektor a = [a1,a2,a3,...,an] dan vektor b = [b1,b2,b3,....,bn] dinyatakan sebagai ab
a1 b1 2 a2 b2 2 a3 b3 2 ..... an bn 2
Jarak Euclidean Antara Dua Vektor Contoh Jarak Euclideannya vektor a = i + 2j - 3k dan vektor b = 2i + 5j - 4k adalah
ab
1 22 2 52 3 (4)2
1 9 1 11
Operasi – Operasi pada Vektor • Kesamaan Dua Buah Vektor Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika keduanya memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b
a
b
Operasi – Operasi pada Vektor • Negatif Sebuah Vektor Vektor (-a) adalah vektor yang mempunyai arah berlawanan dengan vektor a tetapi panjangnya sama dengan panjang vektor a.
a
-a
Operasi – Operasi pada Vektor • Penjumlahan atau Resultan Vektor Jumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal dari b b
a
b
a a+b=c
Maka resultan dari a + b = c
Operasi – Operasi pada Vektor • Pengurangan Vektor Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a – b adalah vektor c yang apabila ditambahkan pada b menghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat ditulis a – b = a + (- b) b
a
a–b
-b
Operasi – Operasi pada Vektor • Perkalian Vektor dgn Skalar Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a dan arahnya – searah dengan a jika m > 0 – berlawanan arah dengan a jika m < 0 – tak tentu jika m = 0
Sifat pada Operasi Vektor 1. a + b = b + a (komutatif) 2. (a + b) + c = a + (b + c) (asosiatif)
3. k(a + b) = ka + kb (distributif) 4. a + 0 = a 5. a +(- a) = 0
Dot Product / Inner Product • Dot Product atau Perkalian Titik antara dua vektor menghasilkan skalar. a1 b1 a2 b2 • Bila a : dan b : adalah vektor-vektor an bn di Rn, θ adalah sudut antara a dan b (0 ≤ θ ≤ π) a1 a2 a : an
θ
a b
b1 b2 b : bn
Dot Product / Inner Product maka dot product/inner product dari a dan b, disajikan sebagai a ● b adalah suatu skalar yg didefinisikan sbg berikut: a ● b = a1b1 + a2b2 + ..... +anbn dimana sudut antara dua vektor tersebut :
a b cos a b
Dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor
• a b 0 bila tumpul • a b 0 bila lancip • a b 0 bila saling tegak lurus
Dot Product / Inner Product Contoh: Diketehui : vektor a = [2,-2,1] dan b = [1,3,5], berapa cosinus sudut antara kedua vektor tsb? Jawab a ● b = 2.1 + (-2).3 + 1.5 = 1 a 22 (2) 2 12 9 3 b 12 32 52 35
a b 1 cos a b 3 35
Cross Product (Perkalian Silang) c
Jika a = (a1 , a2 ,a3)
dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di b ruang R3, maka hasil kali silang a x θ b adalah vektor c yang tegak lurus a terhadap a dan b yg didefinisikan oleh determinan berikut i
axb=
j
k
a1 a2 a3 b1 b2 b3
a = 2 b 2
a3 a1 a3 a1 a2 , , b3 b1 b3 b1 b2
a x b = (a2 b3 – a3 b2 , -a1 b3 – a3 b1 , a1 b2 – a2 b1 )
Cross Product (Perkalian Silang) Contoh Carilah a x b di mana a = [1, 2, -2] dan b = [3, 0, 1] Jawab 2 2 1 2 1 2 i j k maka a x b = , , 1
2
-2
3
0
1
0
= [2, -7, -6]
1
3
1 3 0
Proyeksi Jika a dan b adalah vektor-vektor ruang-2 atau ruang-3, dan jika b ≠ 0, maka proyeksi vektor a sepanjang b adalah
ab
ab b
2
b
(komponen vektor a sepanjang b )
Proyeksi Contoh a = (2, -1, 3) b = (4, -1, 2) Carilah komponen vektor a sepanjang b ! Jawab a ● b = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15 b 42 (1) 2 22 21 2
ab
ab b
2
15 20 5 10 b (4,1,2) ( , , ) 21 7 7 7
Vektor Orthogonal dan Orthonormal Vektor a dan b dikatakan orthogonal jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus. Ini berlaku persamaan berikut a●b=0 Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut
a 1
Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh Berikut adalah contoh himpunan vektor yang saling tegak lurus (orthogonal)
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 karena 0 . 2 0 dan 0 . 0 0 dan 0 . 2 0 003 3 0 0 3 0 0
1 Ketiga vektor di atas hanya 0 saja yg orthonormal, 0 karena panjangnya 1
Matur Nuwun
