OVER DE TAAL VAN DE WISKUNDE
door
R.P. Nederpelt
gepubliceerd in Toegepaste Taalwetenschap in Artikelen, nr. 19 (1984
- 2)
(Themanummer : Taal en Beroep)
OVER DE TAAL VAN DE WISKUNDE Dr. R.P. Nederpelt Onderafdeling der Wiskunde en Informatics Technische Hogeschool Eindhoven Inleiding De wiskundige taaZ -dat is de schrijftaal waarin de beroepswiskundige zich uitdrukt- heeft twee componenten: enerzijds bevat ze (een fragment van) een natuurlijke taal en anderzijds een hoog-gespecialiseerde kunsttaal. In een gegeven wiskundige tekst valt dat kunsttaaldeel het meeste op, door zijn afwijkend woorden zinsbeeld (symbolen, formules e-d.). Het natuurlijke-taaldeel is weinig geprofileerd, zij het dat er duidelijke 'vaktaal-kleuringen' in aan te wijzen zijn. De wiskundige kuy~ttaal,daarentegen, heeft op het eerste gezicht een eigen karakter. Ze is opgebouwd volgens strakke regels, en bezit een dusdanig heldere structuur dat er, zonder begripsverwarring, ingewikkelde taalconstructies mee mogelijk zijn. Bij nadere beschouwing vertoont de kunsttaal echter trekken die men ook bij de natuurlijke taal aantreft. Natuurlijke taal en kunsttaal worden daarom in de wiskundige praktijk zonder problemen door elkaar gemengd. We zullen van beide aspecten van de wiskundige taal een aantal karakteristieken laten zien. We ordenen de materie volgens de traditionele classificatie: woorden-woordgroepen- zinnenteksten. In elk van deze klassen lichten we dig onderwerpen eruit die naar onze mening inzicht kunnen geven in de speciale aard van de wiskundige vaktaal. Daarbij zullen we het hebben over de verworvenheden van de bestaande wiskundige vaktaal, maar ook over de plaatsen waar nog aanmerkelijke vooruitgang mogelijk is. In Freudenthal ( 1 973, 1978) wordt a1 aandacht gegeven aan de wiskundige taal. Het onderwerp van de wiskundige omgangstaal ( ' W O T ' ) komt voor het eerst uitvoerig aan de orde bij De Bruijn ( I 979a,b, 198Oa,b), daarna ook bij Donkers (1 981) en Nederpelt (1982a,b, 1983a,b). De in dit artikel behandelde stof zal in een uitgebreider vorm besproken worden in Nederpelt (198~). I. Woorden
Elke vaktaal bedient zich van woorden. Vaak zal het merendeel van de gebruikte woorden uit een of andere natuurlijke taal genomen zijn, met inbegrip van de daarin gangbare functie en betekenis. Daarnaast zijn er altijd specifieke woorden die horen bij
het vak in kwestie. Die vakwoorden kunnen dichtbij de natuurlijke taal staan, of ver daarvandaan. We geven enige voorbeelden uit de wiskundige taal, waarbij ve de afstand tot de natuurlijke taal geleidelijk groter laten worden. Veel van de verschijnselen die we hierna zullen signaleren, zijn overigens ook in andere vaktalen waar te nemen. Het woord lpuntl heeft in de wiskunde een betekenis gekregen die nog heel dicht bij de woordenboekbetekenis staat: het begrip 'stip' is alleen via '~lek,plaats' en 'be~aaldheidin de ruimte of op een schaal' (Van Dale) zijn stoffelijkheid verloren. Het woord 'macht' is a1 wat meer op drift geraakt. Het heeft in de wiskunde een nieuwe betekenis gekregen die nog maar in de verte te maken heeft met het 'vermogen om iets te doen'. De derde macht van 2 is 2x 2x 2, dus 8. Nog specifieker wordt het als men oude woorden gebruikt met een volslagen nieuwe betekenis.'Graafl is daarvan een mooi staaltje uit het wiskundig lexicon (een graaf is een soort netwerk met punten en verbindingslijnen). De wiskundige, die a1 lang geleden veel woorden nodig had voor alle begrippen waar hij mee wou werken, zag geen reden om zich tot de bekende woordenschat te beperken. Zo kwamen er nieuwe woorden, eerst nog van leenwoord-karakter ( ' sinus') , maar a1 gauw taalonafhankelijk: '0' voor het getal nul, 'lK" voor de verzameling van de rezle getallen, ' T ' voor de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel. Veel van deze woorden hebben meteen de functie van een afkorting. Ze hebben een standaardbetekenis gekregen, gekoppeld aan welomschreven begrippen. Deze collectie van standaarchoorden werd uitgebreid met symbolen (tekens die ook oppervlakkig niet op de gewone taalwoorden lijken); bijv. 'A' in plaats van 'driehoek', '=' voor 'is gelijk aan', ' A ' voor 'en'. Daarnaast werden veel woorden afgekort tot standaardwoord: 'max' voor 'maximum', 'lim' voor 'limiet', en zo voorts. Een verdere ontwikkeling was het gebruik van nieuwe woorden die geen vaste band meer hebben met bestaande begrippen. Dit taalgebruik is in de wiskunde zeer vruchtbaar. Men bedient zich van letters ('a', 'V', ' F , ' ) , en verder van een heel scala van notationele varianten met accenten en indices: 'f' ' 3 ' tl', ' Q , R ' Y ' Z ' . Alles lijkt toegestaan. In een proefschrift zag ik het woord '
m
' , bestaande
uit de letter 'm' met linker-
Bm i,B(k)
onderindex 'B~', twee rechter-onderindices 'i' en 'B(k)' en een bovenindex 'R' tussen haakjes. In het standaardgebruik van dit soort woorden vindt men soms sporen van het afkortingsmechanisme waar we zojuist van spraken. Zo duidt 'n' meestal een natuurlijk getal (1,2,3,. ) aan, net als de letter 'm' die 'in de buurt' ligt. Het woord 'f' voor een -functie is heel gebruikelijk, net als 'V' voor '~erzameling'. Andere gewoontes in dit verband zijn moeilijker verklaarbaar. Voor (onbekende) regle getallen gebruikt men 'x' en 'y' , VOOr
..
complexe g e t a l l e n de l e t t e r ' z ' , voor hoeken de Griekse l e t t e r s 'a', '6' en 'y' E r b e s t a a t een h e l e t r a d i t i e op d i t gebied, overigens zonder v a s t e r e g e l s . Een nieuw geproduceerd woord kan betrekking hebben op welomschreven o b j e c t e n ( z o a l s ' a ' i n 'We d e f i n i g r e n a a l s de s i n u s van 1 ' ) ; men noemt ' a ' dan een constante. Maar ook komt vaak voor, d a t van zo een o b j e c t a l l e e n een c a t e g o r i e gegeven i s . Een voorbeeld van d i t l a a t s t e vinden we i n de z i n : 'Laat x een r e g e l g e t a l z i j n ' ; wSlk r e e e l g e t a l nu p r e c i e s ' x ' wordt genoemd, b l i j f t -met opzet- i n h e t vage. Men noemt zo een 'x' een
.
vcxriabe Le .
T e n s l o t t e vermelden we d a t h e t v e r s c h i j n s e l van de samenstelZingen w e l i g t i e r t i n e l k e v a k t a a l , ook i n de wiskundige: ' h o o g t e l i j n ' , 'machtreeks', ' d r i e h o e k s o n g e l i j k h e i d ' . De beteken i s van zo een s a m e n s t e l l i n g hangt nauw samen met d i e van de samens t e l l e n d e d e l e n , waarbi j de taxonomie d i e i n de n a t u u r l i j ke t a a l g e l d t , zonder meer van t o e p a s s i n g b l i j f t . (Noot: ook de s t a n d a a r d s p e l f o u t b i j samenstellingen, h e t 10s-scbri jven, wordt door de wiskundige zonder schroom i n p r a k t i j k gebracht: 'equiv a l e n t i e r e l a t i e " 'Laplace i n t e g r a a l ' . )
-
2. Woordgroepen De meest kenmerkende a f w i j k i n g van de n a t u u r l i j k e woordgroepc o n s t r u c t i e s v i n d t men i n de wiskundige t a a l b i j de formuZes. E r z i j n twee s o o r t e n : formules met h e t k a r a k t e r van een woord en d i e met h e t k a r a k t e r van een z i n . Voorbeelden van de e e r s t e
n= 1 en van de tweede: ' t 2 = 2 t + 6',
Formules z i j n a l t i j d oak i n n a t u u r l i j k e t a a l t e b e s c h r i j v e n , m a r d a t wordt a 1 gauw een h e l e mond v o l . B i j de l a a t s t e formul e kan d a t b i j v o o r b e e l d zo: ' ~ o o ra l l e r e z l e g e t a l l e n g e l d t d a t h e t kwadraat van zo een g e t a l g r o t e r dan of g e l i i k aan nu1 i s , e n d a t d a t kwadraat g e l i j k aan nu1 i s a l s en a l l e e n a l s d a t g e t a l z e l f g e l i j k aan nu1 i s ' . Zoals u i t d i t voorbeeld a 1 b l i j k t , z i j n e r i n zo een verwoording van een formule a l l e r l e i s o o r t e n verwijswoorden nodig. Formules hebben een h e l d e r e s t r u c t u u r , d i e eenvoudig i s u i t t e beelden i n e e n boomdiagram. Om b i j v o o r b e e l d de s t r u c t u u r van de formule '2a+5 = ~6--a;' t e b e s c h r i j v e n , s t e l l e n we e e r s t v a s t wat h e t hoofdteken van de formule i s : d a t is h i e r de '=', aangezien de formule i n e e r s t e i n s t a n t i e van de gedaante ' A = B 1 i s . Dat hoofdteken z e t t e n we b i j een knoop bovenaan de boom. Omdat '=' een binair operatiesymbool i s ( ' i n f i x ' geschreven t u s s e n de twee l e d e n ) , b l i j v e n e r twee de&lformules over om weer t e geven: '2a+5' en Het e e r s t e d e e l g e e f t een boom d i e aan een
'sf.
t a k l i n k s o n d e r d e hoofdknoop h a n g t ; d i e boom k r i j g e n we door h e t beschreven p r o c e s t e h e r h a l e n . I n h e t tweede d e e l , ' G ' , z i e n we een una<7 symbool a l s hoofdteken: ' d ' . De b i j b e h o r e n d e knoop h e e f t daarom maar GGn t a k n a a r beneden. A l l e s b i j e l k a a r l e i d t d i t t o t de volgende boom:
2
a
b
a
Merk op d a t , v o l g e n s goede wiskundige t r a d i t i e , ' 2 a ' i s opgevat a l s ' 2 x a 1 , e n n i e t a l s zzn e n k e l woord; l e t ook op de overeenkomst met bomen z o a l s d i e i n de t r a n s f o r m a t i o n e e l - g e n e r a t i e v e grannnatica voorkomen. Van b e l a n g i s , d a t h e t systeem van de c o r e f e r e n t i e s i n formules n e t zo goed aanwezig i s a l s i n d e 'gewone' t a a l . De twee woorden ' k e i z e r ' i n de z i n 'Geef den k e i z e r wat des k e i z e r s i s ' v e r w i j zen op overeenkoms t i g e manier n a a r h e t z e l f de o b j e c t a l s de twee woorden ' x ' i n de formule 1x2 + 2x + 1 ' Het systeem van v e r w i j z i n g e n i s i n d e wiskundige t a a l v e r o n t w i k k e l d , e n v e e l b e t e r b r u i k b a a r d a n i n de n a t u u r l i j k e t a a l , z o a l s we h i e r o n d e r z u l l e n demonstreren. Omdat i n f o r m u l e s vaak woorden zonder v a s t e b e t e k e n i s o p t r e d e n , z i j n de c o r e f e r e n t i e s mGGr van b e l a n g dan d e woorden z e l f . De formule ' a b + a + b ' , met nog onbepaalde a e n b , d r u k t h e t z e l f d e § + & ' . We kunnen v o l s t a a n met u i t a l s ' p q + p + q ' , of z e l f s I § & +
.
s---b
e e n verwijzingsmechanisme:
'00+ O + O 1 . De e e r d e r g e b r u i k t e
v
woorden ( ' a ' , ' b ' , e n z . ) z i j n d u i d e l i j k p Z a a t s b e k Z e d e r s ; men noemt z e we1 v r i j e v a r i a b e z e n . Vaak t r e d e n i n e e n formule v a r i a b e l e n op d i e n i e t ' v r i j ' z i j n , omdat hun c a t e g o r i e b i n n e n de formule wordt v a s t g e l e g d . Men s p r e e k t i n zo e e n g e v a l van b i n d i n g . Zo i s d e v a r i a b e l e 'x' i n ' x > x 2 ' nog v r i j , omdat de c a t e g o r i e v a n x nog'onbekend i s . . I n de f ormule ' 3x E R ( X > x2) ' , d a a r e n t e g e n , i s ' x ' gebonden.
(we l e z e n d e z e f o r m u l e a l s : ' E r i s e e n r e z e l g e t a l x met x groter dan x 2 ' , o f , zonder de v a r i a b e l e t e noemen, a l s : 'Er b e s t a a t e e n r e e e l g e t a l d a t g r o t e r i s dan z i j n e i g e n k w a d r a a t ' . Merk op d a t i n de l a a t s t e z i n verwijswoorden d e r o l v a n de 'x' overnemen. ) D e b i n d e r ' 3 x E R ' l e g t de c a t e g o r i e v a n x v a s t ( n a m e l i j k 3R). Ook h i e r kan men d e c o r e f e r e n t i E l e s t r u c t u u r m e t v e r w i j s p i j l e n weergeven: ' (El > d )' ; de naam v a n d e v a r i a b e l e i s immers , au3
i r r e l e v a n t : h e r g a a t a l l e e n om de c o r e f e r e n t i e . ('3 (y > y2) ' 2 Y clR d r u k t h e t z e l f d e u i t a l s ' 3x c I R ( ~> x ) ' .) Merk op d a t de ver-
w i j s p i j l e n nu CGn ~'fcC-ht?:vlg hebben: z e w i j z e n n a a r de p l a a t s van binding. Ook formules met b i n d e r s z i j n a l s bomen voor t e s t e l l e n . Daarvoor i s h e t n o d i g om a f s p r a k e n t e maken o v e r d e manier waarop v a r i a b e l e n i n e e n b i n d e r , samen met hun c a t e g o r i e , worden weergegeven. A l s v o o r b e e l d geven we twee v e r s i e s v o o r de boom van ( x > x2) ', e e n met namen v o o r v a r i a b e l e n e n e e n met v e r 13x
ETR
w i j s p i j l e n . De r e p r e s e n t a t i e s z u l l e n v e r d e r voor z i c h z e l f s p r e ken :
Op h e t g e b i e d van b i n d i n g h e e f t de wiskundige t a a l v e e l t e b i e den. Binding i n e e n of andere vorm t r e e d t b i j v o o r b e e l d op i n d e
Het procGdi2 van b i n d i n g i n de wiskundige t a a l g e b e u r t i n h e t algemeen op e e n b r u i k b a r e , z i j h e t n i e t op e e n uniforme m a n i e r ( d i t l a a t s t e om h i s t o r i s c h e r e d e n e n ) . Met d i e b i n d i n g e n v e r m i j d t men a l l e r l e i moeizame t a a l c o n s t r u c t i e s m e t verwijswoorden, d i e o n d e r l i n g o n d e r s c h e i d b a a r moeten b l i j v e n e n a 1 gauw ambiguit e i t e n o p l e v e r e n . Het a p p a r a a t d a t i n de wiskundige t a a l gehant e e r d wordt v o o r d e omgang met c o r e f e r e n t i e s e n b i n d i n g e n , i s z e e r d o e l t r e f f e n d , e n h e e f t op z i c h z e l f v e e l b i j g e d r a g e n a a n d e o n t w i k k e l i n g van h e t vak. Het b e s t a a n v a n goede t a a l m i d d e l e n h e e f t h i e r op o p v a l l e n d e w i j z e t o t e e n b e t e r e g r e e p op de i n t e l l e c t u e l e materie geleid. W a t d i t b e t r e f t i s h e t e i n d o v e r i g e n s nog n i e t b e r e i k t . Het f o r m u l a i r e d e e l van d e wiskundige t a d wordt s t e e d s meer g e s p e c i a l i s e e r d e n g e s t r o o m l i j n d , e n v e r w i j d e r t z i c h daarmee v e r d e r v a n d e v o o r d i t d o e l t e k o r t s c h i e t e n d e n a t u u r l i j k e t a a l . Voor ingew i j d e n wordt d e wiskundige t a a l h e l d e r d e r e n b e t e r t o e p a s b a a r . Een eenvoudig v o o r b e e l d is d e e v o l u t i e v a n d e b e s c h r i j v i n g v a n e e n ' f u n c t i e ' . Die v e r l i e p van e e n moeizame e n t a m e l i j k d u i s t e re weergave ('Aan e l k g e t a l voegen we a l s f u n c t i e w a a r d e z i j n k w a d r a a t t o e ' ) , v i a een f o m e l e r e b c s c h r i j v i ~ gf L a a t f :W +R de f u n c t i e z i j n met V (f (x) = x2) 9 ,naar de simpele n o t a t i e m e t x clR e e n f u n c t i e b i n d e r (de ' A ' ) , b i j v o o r b e e l d : ' £ : = A h e t l a a t s t e g e v a l i s de b e s c h r i j v i n g z e l f ('AxEIR ob j e c t gewo r d e n . Toch b l i j f t men z i c h , t u s s e n a l l e f o r m u l e s e n symbolen d o o r , r i j k e l i j k b e d i e n e n van n a t u u r l i j k e t a a l , z o a l s e e n b l i k i n e e n
willekeurig wiskundeboek aantoont. De noodzakelijke natuurlijke woordenschat is weliswaar klein, maar voor de overdracht van de wiskundige gedachten toch tamelijk essentieel. Men k2n ook z h der a1 die gewone woorden, door de nodige afspraken te maken. Maar vooralsnog heeft men daar weinig behoefte aan. Als gevolg daarvan blijft de wiskundige vaktaal een alleraardigst mengsel van 'gewone' taal en hoog-gespecialiseerde vaktaal.
3. Zinnen Een belangrijk soort zinnen in de wiskundige taal zijn de typeringen. In zo een zin wordt vastgesteld (c-q. ondersteld) dat een bepaald object tot een zekere categorie behoort: '3 is een natuurlijk getal', 'Laat A een afbeelding zijn', 'XE V' (te lezen als: 'x is een element van V') Bij typeringen gebruikt men zinswendingen van de gedaante 'a is een a' als a een gener i e k substantief is (d.i. een woordgroep die een 'willekeurig' element uit een categorie aanduidt: 'een regel getal', 'een vector'). Als de categorie een verzameling is, gebruikt men het element-teken ' c ' : '0 E {0,1)'. Typeringen komen vaak voor in de wiskundige taal, omdat de wiskunde zich geregeld bezighoudt met hierarchische structuren, waarin categorieen een grote rol spelen. De aard van het vak brengt ook met zich mee dat veel nieuwe begrippen moe ten worden ingevoerd. Dit gebeurt gewoonlijk met d e f i n i t i e s . In een definitie wordt een woord (of woordgroep) geintroduceerd, waarvan de betekenis wordt gelijkgesteld aan die van een andere woordgroep. Bij de gewone (zgn. niet-recursieve) definities is die andere woordgroep volledig opgebouwd uit bekende elementen. Een definitie is altijd meer dan een omschrijving die nog vaagheden toestaat. De eigenschappen van een object of uitspraak worden door een wiskundige definitie volledig bepaald. Voorbeelden: 'Het grondtal van de natuurlijke logaritme noemen we e', 'Het zwaartepunt van een driehoek is het snijpunt van de drie zwaartelijnen van die driehoek'. Hier worden 'el resp. 'het zwaartepunt' (van een driehoek) gedef inieerd Definities hebben altijd een gedefinieerd en een definigrend deel. Men noteert wel: 'X:=Y1 (lees: 'X wordt gedefinieerd als Y'; 'X' en 'Y' stellen hier woorden of woordgroepen voor). Het gedefinieerde deel 'X' treedt vaak op als afkorting van het definierend deel 'Y1.Daarmee krijgt een definitie haar praktische nut: in plaats van de misschien lange en niet zo overzichtelijke woordgroep 'Y', komt het korte 'X'. Bij de woordkeus voor 'X' neemt men vaak natuurlijke-taalwoorden die in staat zijn om het complexe begrip Y in GGn keer op te roepen: zo wordt de wiskundige inhoud beter toegankelijk. Voorbeeld: 'De oweschreven c i r k c Z van een driehoek is de cirkel die door de drie hoekpunten van die driehoek gaat'. Definities moeten niet verward worden met g e n e m t i e s , waarin een variabele gehtroduceerd wordt. Voorbeeld: 'Laat x een reeel
.
.
getal zijn'. Hier wordt weliswaar gegeven tot welke categorie x behoort (namelijk die van de reele getallen), maar dat is ook alles wat erover gezegd wordt. Er is bijvoorbeeld niet uit te maken of 'x = 3' nu waar is of niet. W Z 1 mag een tijdje lang met deze 'x' gewerkt worden, waarbij x de eigenschappen heeft die alle regle getallen hebben; zo geldt in dit geval onder meer: x-xz0; x2+2 > 1. Ook onderstelZingen vindt men vaak in wiskundige teksten: 'Stel dat de driehoek gelijkbenig is', 'Neem aan dat t positief is' (voor a1 bekende t). Op de rol die generaties en onderstellingen spelen, komen we verderop terug. Voor het overige bestaat er nog een grote verscheidenheid aan soorten zinnen in wiskundige teksten. In verbindingszinnen wordt de redenering een stukje verder geholpen; dat kan door een gevolgtrekking ('dus de basishoeken zijn even groot') of met een redengevende zin ('omdat x groter dan 3 is'). Comentaarzinnen zijn er om de lezer op weg te helpen, een aanwijzing te geven, een stuk redenering op gezag van de auteur te laten overslaan, of aan het werk te zetten ('Ga na'). Zoals we a1 eerder zagen, worden ook zinnen vaak in formulevorm ' - sin(]) ' uitgedrukt. Voorbeelden: ' y = 3 ' , 'VnEN(mO) ' , 'a .-
.
Dit brengt een aanmerkelijke bekorting met zich mee. Ook de duidelijkheid is ermee gediend. Bij onderstellingen, generaties en definities is men het daarentegen n i e t gewend om ze consequent in een heldere vorm te gieten. Men blijft zich daar behelpen met zinswendingen uit de natuurlijke taal die meestal noch eenduidig, noch erg duidelijk zijn. (Is 'Stel x > O ' nu echt een onderstelling, of misschien een generatie met de introductie van 'x'?) Op dit gebied valt nog het een en ander te verbeteren aan de wiskundige taal. Een voorstel is om een onderstelling ('Stel a = b l ) te presenteren in een rechte vtag (
1 x 1) , een generatie ('Laat
zijn') in een gepunte vzag
( r z }
=' ) in
een gemnde vlag (
f iniEren p als
ac V
) en een definitie ('We de-
.1-
Ze
krijgen daarmee elk de opvallende plaats die ze verdienen, terwij 1 dubbelzinnigheden verdwijnen.
4. Teksten Wiskundige teksten zijn doorgaans minder gestructureerd dan mogelijk zou zijn, gelet op hun inhoud. Men zit nog steeds vast aan de bekende manier van presenteren, met de zinswendingen die ook in de natuurlijke taal gewoonte zijn. Dat maakt een tekst aan SBn kant natuurlijk makkelijker toegankelijk, doordat de vertrouwde denk- en redeneerpatronen ook in wiskundige teksten herkenbaar zijn. Wie bijvoorbeeld de oppervlakkige redeneerstructuur in een wiskundig bewijs wil opsporen, zal daar in het algemeen weinig moeite mee hebben, ook als de diepe inhoud min of meer aan de waarneming ontsnapt.
We wijzen er in dit verband op, dat de wiskundige over een heel arsenaal van natuurlijke-taalsignalen beschikt om de lezer attent te maken op de functie van een zin: 'stel' leidt (meestal) een onderstelling in, 'dus' een gevolgtrekking, 'voorts' een onderbreking van de gedachtengang (en eventueel een constatering). A1 deze woordjes kunnen ook in de natuurlijke taal gebruikt worden, met dezelfde functie. In wiskundige teksten hebben ze echter, door de traditie geslepen, een bepaalde schittering en kleur gekregen. . Toch kan een wiskundige tekst nog een stuk verhelderd worden door hem in een vorm op te schrijven die ook de structuur duidelijk maakt. Het is bijvoorbeeld van wezenlijk belang om te weten of een bepaalde onderstelling in een stuk tekst nog geldt. Daar moet men echter in het algemeen maar naar raden (hoewel een geoefende wiskundige-tekstlezer daar weinig moeite mee heeft). Hetzelfde geldt voor generaties. Na de introductie van een variabele (zeg 'R') is het goed om te weten hoe Zang die 'R' nog op mag treden. Dit hangt samen met het feit dat er door generaties een soort van binding gaat optreden, vergelijkbaar met die bij formules (zie hierv66r). De bindplaats vinden we in de generatie zelf ('Laat R een lijn zijn'). Alle vermeldingen van 'die' letter 'R' in de tekst daarop volgend, verwijzen naar de 'R' in de generatie en stellen daarom SZn en hetzelfde ongespecificeerde object voor uit de categorie der lijnen. We kunnen, zonder verlies van informatie, a1 die '%'-en door een ander woord vervangen, bijvoorbeeld 'm'; ook hierin bestaat een parallel met de eerder besproken binding in een formule. Onderstellingen en generaties dienen steevast voor een bepaald doel. Met een onderstelling kan men bijvoorbeeld op een implicatie uitkomen: 'Als A, dan B'. Men onderstelt daartoe 'A', en bewijst 'B' 'onder' die onderstelling. Een generatie leidt tot een universele uits raak: na 'Laat n een natuurlijk getal zijn' en ' dus is n3 5 n4',mag men concluderen dat Yn cm(n3 5 n2).
. ..
Als men ook nog de andere logische regels hierbij betrekt, kan er een verdergaande structurering in een wiskundige tekst worden aangebracht, die de overzichtelijkheid bevordert. In het algemeen is het in elk stuk wiskundige tekst goed om te weten wat de context is, dat wil zeggen: de ter plaatse 'geldige' collectie onderstellingen en generaties. Daar hangt de correctheid van de redenering immers van af. Door de vlaggen bij onderstellingen en generaties van vlaggestokken te voorzien die precies de geldigheid aangeven, kan die context v68r elke zin in een tekst zichtbaar gemaakt worden. Voorbeeld:
1 Laat
II
I
x een regel getal ziin)
Stel dat x groter is dan 3 Dan is x2+2x > 9+6 = 15
DUS (x>3)
3
(x2 + 2 x > 15)
Conclusie :
x '
EIR
( ( x > 3)
*
2 ( x + 2 x > 15))
( o f , i n woorden: voor a l l e r e g l e g e t a l l e n x g e l d t d a t , a l s x g r o t e r i s dan 3, x 2 + 2x g r o t e r i s dan 15.) T e r w i j l h e t dus d u i d e l i j k i s d a t de wiskundige t a a l op h e t woorde n woordgroepsniveau t a m e l i j k geavanceerd i s , z i e n we d a t d i t OP h e t t e k s t n i v e a u v e e l minder h e t g e v a l i s . H i e r l i g t e e n t e r r e i n v o o r v e r b e t e r i n g , waarmee w e l l i c h t ook e e n b i j d r a g e g e l e v e r d k a n worden op h e t gebied van de (algemene) tekstgrammatica. Literatuur De B r u i j n , N.G. (1979a). Wees contextbewust i n WOT. E u c l i d e s , 5 5 ( l ) , 7-12. De B r u i j n , N.G. (1979b). Grammatica van WOT. E u c l i d e s , 55 ( 2 ) , 66-72. De B r u i j n , N.G. (1980a). Van a l l e s e n nog wat o v e r gebonden var i a b e l e n i n wiskundige t a a l . E u c l i d e s , 55 (6) , 262-268. D e B r u i j n , N.G. (1980b). Wiskundigen, l e t op uw Nederlands. E u c l i d e s , 55 ( l o ) , 429-435. Donkers, J. (1981). Mathematical v e r n a c u l a r : a n i n t r o d u c t i o n . I n : P r o c e e d i n g s of t h e Conference of t h e 1 n t e m a t i o n a 2 Group PME, v o l . 2, Grenoble, 78-85. F r e u d e n t h a l , H. (1973). Mathematics as an e d u c a t i o n a l t a s k , Dordrecht: Reidel. F r e u d e n t h a l , H. (1978). Weeding a n d sowing, Dordrecht: ~ e i d e l . N e d e r p e l t , R.P. (1982a). ~ e w is jz i n n e n . Niew ~ i j d s c h r i f tvoor Wiskunde, 6 9 ( 5 ) , 191-208. N e d e r p e l t , R.P. (1982b). The s i g n a l v a l u e of words i n mathemat i c a l p h r a s i n g . I n A. Vermandel (Ed.) : P r o c e e d i n g s of t h e 6 t h I n t e r n a t i o n a l Conference f o r t h e Psychology of at he mat i c a l E d u c a t i o n , Antwerpen, 108- 1 1 1 . N e d e r p e l t , R.P. (1983a). Signaalwoorden i n b e w i j s t a a l . N i e m T i j d s c h r i f t v o o r Wiskunde , 70 ( 4 ) , 152- 169. N e d e r p e l t , R.P. (1983b). S e n t e n c e s i n t h e language of r e a s o n i n g . J o w l z a l of Mathematical E d u c a t i o n i n S c i e n c e a n d TechnoZogy, 14 ( 2 ) , 225-232. N e d e r p e l t , R.P. ( 1 9 8 ~ ) .T a d e n S t m c t u u r van de Wiskwzde. ( i n voorbereiding)
abstract
ON THE LANGUAGE OF MATHEMATICS
Dr. R.P. Nederpelt
The professional mathematician employs in his writings a special language, which we call 'the language of mathematics'. It has two components: on one hand (a fragment of) natural language, and on the other hand a highly specialized artificial language. The latter part attracts the eye in a mathematical text, because of its deviating form: it contains symbols, formulae and the like. Yet almost all peculiarities of mathematical language, including those of the artificial part, can be embedded in the usual natural language frame. This different appearance of mathematical language originates from a mathematicianlsurge for efficiency, clarity and compactness. A noteworthy advantage of mathematical language is found in its treatment of coreferences. The artificial part of mathematical language employs a highly developed reference mechanism, called binding. A formula like '3xel R ( ~> x2) ' , for instance, contains a bound variable 'x' of which only the category real numbers) is fixed. The variable 'x' can be another one without changing the meaning of the '3 (y > y2) ' This mechanism of binding makes Y ~ E
.
(viz. the set of replaced by formula: all kinds of
referential words, as used in natural language (such as the relative pronouns), superfluous. Mathematical language is still in full development. Especially at the word and word group level, many interesting linguistic features can be observed. At the sentence and t e x t level, however, mathematical language is not very revolutionary. Here improvements are possible, and some of these are proposed in the article.
