i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 3 — #3 i
i
Ron Aharoni
MATEMATIKA ˝ ¨ OKNEK SZUL Feln˝otteknek az iskol´as matematik´ar´ol Ford´ıtotta Dedinszky Zs´ofia
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 5 — #5 i
i
Tartalom El˝ osz´ o 7 Bevezet´es 11 Els˝ o r´esz: Elemek 17 Mi a matematika? . . . . . . . . . . . . . . . 18 A gazdas´ agoss´ ag h´ arom m´ odja a matematik´ aban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A matematikai sz´eps´eg titka . . . . . . . . . . 29 Egyik r´eteg a m´ asikon . . . . . . . . . . . . . 35 Eg´esz sz´ amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Jelent´es ´es sz´ amol´ as . . . . . . . . . . . . . . 54 A t´ızes sz´ amrendszer . . . . . . . . . . . . . . 61 Mit tanulunk? . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ´ az absztrakci´ M´ asodik r´esz: Ut ohoz – a tan´ıt´ as alapelvei 77 ´ Atadni az absztrakci´ ot . . . . . . . . . . . . . 78 V´ altozatoss´ ag ´es hib´ as beidegz˝ od´es . . . . . . 81 Mi´ert neh´ez tan´ıtani? . . . . . . . . . . . . . 84 Medi´ aci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A legnyilv´ anval´ obb dolgot is ki kell mondani . 90 B˝ uv¨ os szavak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Sz´ amol´ og´ep ´es m´ as seg´edeszk¨ oz¨ ok . . . . . . . 98 Merj¨ unk egyszer˝ uek lenni . . . . . . . . . . . 103 Harmadik r´esz: Sz´ amtan az els˝ ot˝ ol a hatodik oszt´ alyig 105 A. Jelent´es 106
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 6 — #6 i
i
Az ¨ osszead´ as jelent´ese . . . . . . . . . . . . . 107 A kivon´ as jelent´ese . . . . . . . . . . . . . . . 113 A szorz´ as jelent´ese . . . . . . . . . . . . . . . 118 Az oszt´ as k´et jelent´ese . . . . . . . . . . . . . 131 Jelent´es ´es sz¨ oveges feladatok . . . . . . . . . 144 B. Sz´ amol´ as 145 Az o sszead´ a s kisz´ a mol´ a sa . . . . . . . . . . . 147 ¨ Kivon´ as: k¨ olcs¨ on vagy u ´jrarendez´es? . . . . . 157 A szorz´ as kisz´ amol´ asa . . . . . . . . . . . . . 164 Memoriz´ aljuk, vagy sz´ amoljuk ki u ´jra? . . . . 174 Az oszt´ as kisz´ amol´ as´ at balr´ ol kezdj¨ uk . . . . 177 C) T¨ ortek 186 Oszt´ as ´es t¨ ortek . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 T¨ ortek szorz´ asa ´es oszt´ asa . . . . . . . . . . . 199 Besz´elget´es a t¨ortekkel val´ o oszt´ asr´ ol . . . . . 211 T¨ ortes feladatok megold´ asokkal . . . . . . . . 215 A k¨ oz¨ os nevez˝ o . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 A legkisebb k¨ oz¨ os t¨ obbsz¨ or¨ os . . . . . . . . . 224 Vegyes t¨ ortek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 D. Tizedes t¨ ortek 233 Tizedes t¨ ortek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Sz´ amol´ as tizedes t¨ ortekkel . . . . . . . . . . . 243 Sz´ azal´ek – a t¨ ortek univerz´ alis nyelve . . . . . 254 E. Ar´ anyok 260 Ar´ anyoss´ ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Tov´ abbi ar´ anyoss´ agi probl´em´ ak . . . . . . . . 269 Ut´ osz´ o 276 F¨ uggel´ek: Fordul´ opontok a modernkori matematikaoktat´ as t¨ ort´enet´eben 278
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 7 — #7 i
i
El˝ osz´ o A feln˝ ottek t¨ obbs´ege gondosan eltemeti mag´ aban a matematikaoktat´ as eml´ek´et. A legf˝ obb v´ agyuk: feledni a traum´ at. M´ ultb´eli u uket f´ ajdalmas, de ¨gyetlens´eg¨ megbocs´ athat´ o t´enyk´ent k¨ onyvelik el. Igaz´ ab´ ol nincs ” is sz¨ uks´eg a matekra” – vigasztalj´ ak magukat. M´ıgnem egy sz´ep napon m´egiscsak sz¨ uks´eg¨ uk lesz r´ a, ´es akkor az egykori f´elelmek u ´jb´ ol felsz´ınre ker¨ ulnek. Ez altal´ ´ aban olyankor t¨ ort´enik, amikor saj´ at gyermek¨ uk szembes¨ ul ugyanazokkal a probl´em´ akkal. Sokan sz´ıvesen seg´ıten´enek gyermek¨ uknek a matektanul´ asban, de t´ uls´ agosan rettegnek a tal´ alkoz´ ast´ ol azzal a t´ arggyal, ami annyi szenved´est okozott nekik fiatalkorukban. Arra nem gondolnak ilyenkor, hogy iskol´ askoruk o´ta sz´ amos u ´j k´epess´eggel gazdagodtak. Egy feln˝ ottnek sokkal nagyobb az ¨ onuralma, jobbak az absztrakci´ os k´epess´egei, u uzd meg az ¨gyesebben k¨ osszetett ´ all´ıt´ asokkal, ´es van t¨ urelme kiv´ arni, am´ıg a ¨ r´eszletekb˝ ol az eg´esz kirajzol´ odik. Ezen k´epess´egek birtok´ aban egyszer˝ ubben ´es gyorsabban meg tud k¨ uzdeni az ´ altal´ anos iskolai matematika probl´em´ aival. E k¨ onyv c´elja u ´tmutat´ ast ny´ ujtani mindehhez. Seg´ıts´eget k´ın´ al a sz¨ ul˝ onek, aki akt´ıv r´eszese szeretne lenni gyermeke matektanul´ as´ anak. A k¨ onyv ¨ otlete tulajdonk´eppen ´ıgy fogant: a fiam iskol´ aj´ aban a t¨ obbi sz¨ ul˝ o megk´ert arra, hogy ´ırjak ¨ ossze n´eh´ any ¨ otletet,
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 8 — #8 i
i
´ mik´ent seg´ıthetn´ek gyermek¨ uket a sz´ amtanban. Am a n´eh´ any szer´eny v´ azlatpontb´ ol lassank´ent egy teljes k¨ onyv n˝ otte ki mag´ at. Csakhogy a k¨ onyveknek, ak´ arcsak az ¨ otleteknek, megvan a maguk ´elete. N´eha nem csak ´ır´ ojuk alak´ıtja ˝ oket, ˝ ok is alak´ıtj´ ak az ´ır´ ot. Ez most sem t¨ ort´ent m´ ask´ent: a k¨ onyv lassank´ent a´talakult. Az egyik felismer´es, amit az ´ altal´ anos iskolai tan´ıt´ as sor´ an tettem, ez volt: az elemi matek cs¨ oppet sem elemi”. Nagyon ” ´ ez a gondolat is m´ely ´es csodasz´ep. Es lassank´ent ebbe a k¨ onyvbe is a´tsz¨ uremlett, u ´j ir´ anyt adva neki: az elemi matematika – ´es a´ltal´ anoss´ agban az eg´esz matematika – sz´eps´eg´enek a le´ır´ asa lett bel˝ ole. Ez´ altal az eredeti c´elk¨ oz¨ ons´eg is kisz´elesedett, ´es imm´ ar azokhoz is sz´ ol, akik szeretn´enek visszat´erni az iskol´ as matematik´ ahoz, de friss szemmel tekinteni r´ a. Itt a m´ asodik es´ely azon olvas´ ok sz´ am´ ara, akik megtanult´ ak, hogyan kell ´ır´ asban t¨ orteket szorozni vagy osztani, de sohasem ´ertett´ek, mi´ert pont u ´gy: o˝k most u ´j, feln˝ ott perspekt´ıv´ ab´ ol tekinthetnek vissza ezekre az ismeretekre. De van egy harmadik, hasonl´ oan fontos csoportja k¨ onyvem c´elk¨ oz¨ ons´eg´enek: a tan´ arok ´es oktat´ ok. Sz´ amukra a k¨ onyv a k¨ovetkez˝ o fontos u ¨zenetet hordozza: a matematika helyes oktat´ asa nem tan´ ari tr¨ ukk¨ okkel, hanem a matematikai alapok marad´ektalan meg´ertet´es´evel ´erhet˝ o el. Ismerni kell, hogyan ´ep¨ ulnek egym´ asra a matematika legapr´ obb alapk¨ ovei is, ´es a legjobb, ha az elm´eletet k¨ ozvetlen p´eld´ ak u ´tj´ an, nem pedig k¨ ozvetetten saj´ at´ıtjuk el. A k¨ onyv els˝ o r´esze, az Elemek, az elemi matematika alapjait ismerteti. Azokkal a k´erd´esekkel foglalkozik, hogy mi a matematika, mit kell megtanulni a´ltal´ anos iskol´ aban, ´es mi´ert vetekszik sz´eps´eg´eben a matematika a m˝ uv´eszetekkel. 8
˝ knek Matematika sz¨ u lo
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 9 — #9 i
i
Annak a sz¨ ul˝ onek, aki seg´ıteni akar gyermek´enek, a matematik´ an fel¨ ul tiszt´ aban kell lennie alapvet˝ o pedag´ ogiai elvekkel is: p´eld´ aul, hogy mik´ent jussunk el a konkr´et p´eld´ akt´ ol az absztrakt megfogalmaz´ asig – ezekkel a k¨ onyv m´ asodik r´esz´eben foglalkozom. Ezen t´ ul ismernie kell a gyermek iskol´ aj´ aban uralkod´ o ok´ tat´ asi elveket, ir´ anyzatokat is. Eppen ez´ert, a k¨ onyv f¨ uggel´ek´eben di´ oh´ejban ismertetem az elm´ ult ¨ otven ´ev matematikaoktat´ as´ anak f˝ obb fejlem´enyeit. A harmadik r´eszben az elemi matematika jelent´ektelenebbnek t˝ un˝ o apr´ os´ agait t´ argyalom, az iskolai tananyag r´eszleteit, szintenk´ent haladva. B´ ar a m´ertan a tanterv 10–20%-´ at alkotja, e k¨ onyvben figyelmen k´ıv¨ ul hagytam, ´es csak a sz´ amtanra – azaz a sz´ amok tulajdons´ agaival foglalkoz´ o tudom´ anyter¨ uletre – koncentr´ altam. Nemcsak a tantervben bet¨ olt¨ ott k¨ ozponti szerepe miatt d¨ont¨ ottem ´ıgy, hanem az´ert is, mert a sz´ amtan olyan egys´eges ´es csiszolt, mint egy gy´em´ ant – ´es m´elt´ o arra, hogy egy k¨ onyvet egyes-egyed¨ ul neki szenteljenek.
˝ szo ´ Elo
9
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 10 — #10 i
i
Els˝ o lecke Sohasem kapsz m´ asodik es´elyt a j´ o els˝ o benyom´ asra Amerikai k¨ozmond´as
Az oktat´ asban ugyan´ ugy, mint az ´eletben, nagyon fontos az els˝ o benyom´ as. Bevezet´es´enek mik´entje nagyban befoly´ asolja a t´ argy ´es a tanul´ o j¨ ov˝ obeli viszony´ at. Kellemes eml´ek lesz-e, vagy ink´ abb f´ ajdalmas? Az ´ertem!” vagy a jaj, ez neh´ez!” ´erz´es´et kelti az ” ” emberben? Ebb˝ ol az okb´ ol a k¨ onyvben elsz´ orva gyakran tal´ alkozhatnak Els˝ o lecke a. . . kezdet˝ u r´eszekkel. Ezekben javaslatokat k´ın´ alok arra, mik´ent vezess¨ unk be egy-egy t´em´ at. Soha sincs egyetlen u oz´ıt˝ o m´ odszer, de se¨dv¨ g´ıthet, ha van n´eh´ any ¨ otlet a tarsolyunkban. A javaslatokat tan´ aroknak sz´ ol´ ou ´tmutat´ ask´ent adom el˝ o, de azok a sz¨ ul˝ ok sz´ am´ ara ugyanolyan hasznosak lehetnek.
10
˝ knek Matematika sz¨ u lo
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 11 — #11 i
i
Bevezet´ es Amit az ´ altal´ anos iskol´ aban tanultam Egy k¨ olt˝ onek mindig k¨ ozel kell maradnia gyermekkor´ ahoz. Theodore Roethke, k¨olt˝o
Egy bar´ atom a negyvenes ´eveiben d¨ ont¨ ott u ´gy, hogy feladja a technol´ ogiai iparban bet¨ olt¨ ott vezet˝ oi poz´ı´ ci´ oj´ at, ´es az oktat´ asban keresi ´elete u ´j ´ertelm´et. Es nem is csak u ´gy a´ltal´ aban az oktat´ asban, hanem ´epp a matematikaoktat´ asban. 2000 szeptember´eben, nem sokkal a tan´ev kezdete el˝ ott h´ıvott fel, ´es sz´ amolt be egy u ´j kezdem´enyez´esr˝ ol Ma’alotban, amely a matematikaoktat´ ast k´ıv´ anta n´epszer˝ us´ıteni, ´es ¨ oszt¨ ok´elt, hogy csatlakozzak ´en is. (Ma’alot Izrael ´eszaki cs¨ ucsk´eben fekv˝ o telep¨ ul´es, egyike azoknak, amelyeket az 1950-es ´evekben ´ep´ıtettek fel az u ´j bev´ andorl´ ok fogad´ as´ ara – ´es amelyeket m´ aig is viszonylag elmaradottnak szok´ as tartani.) J´ omagam egyetemen tan´ıtok matematik´ at, de mindig is ´erdekelt az oktat´ as, ´es az ´evek sor´ an sok ifj´ us´ agi programban vettem r´eszt. T¨ obbek k¨ ozt p´eld´ aul a´ltal´ anos ´es k¨ oz´episkol´ as di´ akok tehets´eggondoz´ as´ at is ´ v´egeztem. Am a hatodik oszt´ aly elv´egz´ese o´ta nem l´eptem ´ at ´ altal´ anos iskola kapuj´ at. ´Igy azt´ an tan´ acsot k´ertem mindenkit˝ ol, akit˝ ol csak lehetett. A tan´ acs
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 12 — #12 i
i
t¨ obb´e-kev´esb´e egybehangz´ oan ´ıgy sz´ olt: el sem tudod k´epzelni, mibe v´ agod a fejsz´edet. A tehets´eges gyerekek tan´ıt´ asa teljesen m´ as, mint az a´tlagos gyerekek´e. ´ Altal´ anos iskol´ aban tan´ıtani: hivat´ as. Ostobas´ ag azt hinni, hogy az egyetemi oktat´ asban megismert alapelveket haszn´ alni tudod majd. (Akkoriban ugyanis azt hittem, azokat legal´ abb t´enyleg ismerem.) K´ets´egeimet megosztottam egy tapasztalt tan´ arral is, akinek a v´elem´eny´ere mindig sokat adtam. Amikor meghallotta, mire k´esz¨ ul¨ ok, t˝ ole soha nem tapasztalt d¨ uhrohamban t¨ ort ki. Ne mer´eszeld! – ki´ altott r´ am. ” – Az ilyen emberek, mint te teszik t¨ onkre az a´ltal´ anos iskolai oktat´ ast. Ugyanolyan leszel, mint a t¨ obbi egyetemi tud´ os, akinek fogalma sincs arr´ ol, hogyan kell tan´ıtani, de elmegy tov´ abbk´epz´est tartani, hogy a tan´ arokat a fantazmag´ ori´ aival trakt´ alja. Ha elm´esz Ma’alotba, mindenkit csak ¨ ossze fogsz zavarni, ´es miut´ an veled u ´gy meg´egett´ek magukat, m´eg a hideg vizet is ker¨ ulni fogj´ ak.” Visszatekintve nem is ´ertem, hogyan v´ aghattam m´egis bele. Tal´ an az egyetemi professzor a´rtatlan ¨ onhitts´eg´evel azt gondoltam, ´en m´egiscsak jobban tudom, mi a tan´ıt´ as, mint o˝k, akik v´egeredm´enyben csak egyszer˝ u tan´ arok. Visszatekintve r´ a kell j¨ onn¨ om, hogy ha hallgattam volna a tan´ acsokra, ´eletem legizgalmasabb kalandj´ ar´ ol maradtam volna le. ∗ ∗ ∗ A jelsz´ o, amit lobog´ omra t˝ uztem: Hagyd o˝ket k´ı” s´erletezni!” Elhat´ aroztam: arra fogom k´esztetni a gyerekeket, hogy j´ atsszanak a matematikai fogalmakkal, ´es miut´ an konkr´et p´eld´ akon kereszt¨ ul megismerkedtek vel¨ uk, k¨ onnyebben meg´ertik majd o˝ket absztrakt form´ aban is. El˝ osz¨or magasabb oszt´ alyokban – negyedikben ´es ¨ ot¨ odikben – kezdtem tan´ıtani. Kivittem a 12
˝ knek Matematika sz¨ u lo
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 13 — #13 i
i
gyerekeket a j´ atsz´ ot´erre, ahol megm´ert¨ uk a f´ ak, ´ep¨ uletek ´es p´ ozn´ ak a´rny´ek´ at. Kisz´ amoltuk a gyerekek val´ odi magass´ ag´ anak ´es a´rny´ek´ anak az ar´ any´ at, majd ezen inform´ aci´ o birtok´ aban kisz´ amoltuk a f´ ak magass´ ag´ at az ´ arny´ekuk hossz´ ab´ ol. (Az ¨ otletet Thal´eszt˝ ol k¨ olcs¨ on¨ oztem, aki e m´ odszer seg´ıts´eg´evel sz´ amolta ki a piramisok magass´ ag´ at. Az i. e. VII. sz´ azadban ´elt Thal´esz volt az els˝ o olyan matematikus, akinek fennmaradt a neve.) K¨ or¨ oket rajzoltunk a f¨ oldre, ´es megm´ert¨ uk a sugarukat, a´tm´er˝ oj¨ uket ´es ker¨ ulet¨ uket, majd osszehasonl´ıtottuk az adatokat. Megm´ert¨ uk a tante¨ rem hossz´ at ´es sz´eless´eg´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odokon. R´ aj¨ ott¨ unk, hogy mennyi csempe f´er el egy m´eterben, abb´ ol, hogy tudtuk a terem hossz´ at m´eterben ´es csemp´eben, ´es kisz´ amoltuk ezek ar´ any´ at. ¨ Onhitts´egem´ert s´ ulyos a´rat fizettem. Nagyon kev´es ´erdemleges tud´ ast tudtam ´ıgy a´tadni: a tan´ or´ ak nagy r´esze maga volt a z˝ urzavar. Eml´ekszem az els˝ o napra, amikor mindezt meg´ertettem. Kivittem a negyedikeseket a j´ atsz´ ot´erre, hogy k¨ or¨ ok ´ atm´er˝ oj´et ´es ker¨ ulet´et m´eregess´ek a betonra rajzolt ´ abr´ akon. Az oszt´ alyf˝ on¨ ok t¨ urelmesen figyelte, ahogy kibontakozik az elker¨ ulhetetlen k´ aosz, mert a gyerekek azonnal kihaszn´ alt´ ak, hogy szabadon gar´ azd´ alkodhatnak. Egy id˝ o ut´ an a tan´ arn˝ o azt javasolta, hogy t´erj¨ unk vissza a terembe. Az iskol´ aban azt´ an a t´ abl´ an folytattuk a k¨ orrajzol´ ast, majd megvitattuk a ker¨ ulet ´es az a´tm´er˝ o ar´ any´ at. Teljesen led¨ obbentem, hogy milyen egyszer˝ u volt ´ertelmes diskurzust folytatni a gyerekekkel. R´ aj¨ ottem, hogy al´ abecs¨ ultem a gyerekek absztrakci´ os k´epess´eg´et, ´es a szavak, valamint az egy¨ uttgondolkod´ as erej´et. Szerencs´ere ugyanekkor kezdtem el els˝ os¨ okkel is foglalkozni. Roppant izgalmas ´elm´eny volt. Els˝ o osz´s Bevezete
13
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 14 — #14 i
i
t´ alyosokkal tal´ alkozni igazi megvil´ agosod´ as. M´eg teljesen romlatlanok: b´ıznak benned, ´es k¨ ovetnek, ak´ armerre vezeted ˝ oket. Teljesen spont´ an reag´ alnak, ´es azonnal k¨ ozlik, mi m˝ uk¨ odik sz´ amukra, ´es mi nem. Nincs jobb hely megtanulni a tan´ıt´ ast, mint az els˝ os¨ ok k¨ or´eben. Ugyanitt tal´ alkoztam egy kiv´ al´ o tan´ arral, Marcel Granottal, aki csatlakozott hozz´ am, hogy egy¨ utt vegy¨ unk r´eszt ebben a csod´ alatos kalandban. ´ Altal´ aban ´en kezdtem az o´r´ at, Marcel pedig k¨ ozbesz´ olt, amikor u ´gy ´erezte, didaktikai hib´ at v´etek. Erre legt¨ obbsz¨ or akkor ker¨ ult sor, amikor nem u ¨temeztem j´ ol az anyagot, azaz kihagytam egy l´ep´est. Az els˝ o napt´ ol kezdve folyamatosan ´es intenz´ıven tanultam magam is, minden tan´ or´ an ´es minden tan´ art´ ol, akit megismerhettem. A f´elresiker¨ ult o´r´ akb´ ol ´eppoly sokat tanultam, mint a t¨ ok´eletesekb˝ ol. A legt¨ obbet m´egis azokb´ ol az o´r´ akb´ ol, amelyek akadozva indultak, de a megfelel˝ o m´ odszert megtal´ alva sz´ arnyra kaptak. ∗ ∗ ∗ Hogy mit tanultam? Rengeteget a tan´ıt´ asr´ ol, arr´ ol, hogy hogyan k¨ ozel´ıtsek a gyerekekhez, hogy mik´ent gondolkoznak o˝k maguk. Megtanultam a rendszeress´eg fontoss´ ag´ at – ez kezdetben teljess´eggel hianyzott bel˝ ´ olem. R´ a´ebredtem, hogy azok a fogalmak, amelyeket a feln˝ ott egy eg´eszk´ent fogad el, val´ oj´ aban sok apr´ o r´eszletb˝ ol a´llnak o ssze, amelyek egym´ asra ¨ ´ep¨ ulnek, ´es egyik sem hagyhat´ o el. Szem´elyes tapasztalatb´ ol kellett r´ aj¨ onn¨ om, hogy az a´ltal´ anos iskol´ aban a magyar´ azatok vajmi keveset ´ernek. A fogalmakat a gyermek saj´ at ´elm´enyeib˝ ol kell levezetni. Igazam volt az elej´en a k´ıs´erletez´es fontoss´ ag´ aval kapcsolatban, csup´ an annyi volt a baj, hogy nem tudtam, mik´ent ´ep´ıtsem be a tan´ or´ akba. A k´ıs´erletez´esnek nem csak a bonyolultabb elm´eletekn´el van jelent˝ os´ege. 14
˝ knek Matematika sz¨ u lo
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 15 — #15 i
i
A legalapvet˝ obb fogalmak bevezet´es´en´el is kulcsfontoss´ ag´ u: p´eld´ aul a sz´ amfogalom magyar´ azatakor vagy a kisebb, mint”, nagyobb, mint” fogalmak ´ertelme” ” z´es´en´el. ´ mindezek mellett nagyon sok meglepet´es is ´ert. Es Ha valaki azt mondta volna nekem, hogy amikor visszat´erek az ´ altal´ anos iskol´ aba, ´en magam fogok matematik´ at tanulni, nem hittem volna neki. De a legnagyobb d¨ obbenetemre pontosan ez t¨ ort´ent: rengeteg matematik´ at tanultam. Mondhatni a legf˝ obb dolog, amit megtanultam, maga a matematika volt. Ha gimn´ aziumba mentem volna tan´ıtani, val´ osz´ın˝ uleg nem ez t¨ ort´ent volna. Egy matematikus t¨ ok´eletesen tiszt´ aban van a k¨ oz´episkol´ as matematik´ aval, a´m az a´ltal´ anos iskol´ aban u ´jdons´ agok v´ arnak r´ a. Itt rajzol´ odnak ki a legalapvet˝ obb elm´eletek: a sz´ amok ´es a sz´ amtani m˝ uveletek fogalma. Azok az ´ep´ıt˝ okock´ ak, amelyeken egy egyetemet v´egzett matematikus ritk´ an kezd el gondolkodni. Az itt megtanult ismereteimnek a nagy r´esze nem u ´j t´eny volt, hanem valami eg´eszen m´ as: u ´j r´eszletek. Olyan ´erz´es volt, mintha egy darab sz¨ ovetet n´ezn´ek: t´ avolr´ ol sim´ anak ´es egysz´ın˝ unek t˝ unik, de k¨ ozelr˝ ol kider¨ ul, hogy finom, egym´ asba fon´ od´ o sz´ alak rendszere. Amir˝ ol kor´ abban azt hittem, egy darabb´ ol a´ll, most kider¨ ult, hogy elgondol´ asok ´erz´ekenyen ¨ osszefon´ od´ o ele´ ami a legfontosabb, r´ gye. Es aj¨ ottem, hogy a j´ o tan´ arnak t¨ ok´eletesen tiszt´ aban kell lennie ezekkel az apr´ o r´eszletekkel, ´es ismernie kell, mik´ent fon´ odnak ¨ ossze. L´ep´esr˝ ol l´ep´esre” – figyelmeztetett a´lland´ oan Marcel. ” Ez a k¨ onyv javar´eszt azokr´ ol a r´eszletekr˝ ol sz´ ol, amelyek a matematik´ at ´es annak sz´eps´eg´et alkotj´ ak, a r´eszletekr˝ ol, amelyek miatt ´erdemes tan´ıtani.
´s Bevezete
15
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 17 — #17 i
i
Els˝ o r´ esz
Elemek
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 18 — #18 i
i
Mi a matematika? A term´eszet k¨ onyve a matematika nyelv´en ´ır´ odott. Johannes Kepler, csillag´ asz
A term´ eszettudom´ anyok kir´ alyn˝ oje A matematika a term´eszettudom´ anyok kir´ alyn˝ oje, a sz´ amtan pedig a matematika kir´ alyn˝ oje. Carl Friedrich Gauss, matematikus
M´ asodik oszt´ alyban megpr´ ob´ alom elmagyar´ azni a gyerekeknek, mi´ert olyan fontosak a sz´ amok. Elmes´elek egy t¨ ort´enetet egy kir´ alyr´ ol, aki annyira gy˝ ul¨ olte a sz´ amokat, hogy betiltotta a haszn´ alatukat a kir´ alys´ aga ter¨ ulet´en. A gyerekekkel egy¨ utt igyeksz¨ unk elk´epzelni, milyen lehet a vil´ ag sz´ amok n´elk¨ ul, ´es arra jutunk, hogy komoly korl´ atokba u ozn´enk ott. Mivel nem le¨tk¨ hetne r´ ak´erdezni a tanul´ ok ´eletkor´ ara, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o kor´ u gyerekek j´ arn´ anak az els˝ o oszt´ alyba, nem tudn´ ank fizetni a boltban, ´es nem lehetne tal´ alkoz´ ot megbesz´elni, mert az id˝ opont – az o´r´ ak ´es a percek sz´ am´ anak – eml´ıt´ese tabu volna. Ez csak egy p´elda arra, milyen fontos szerepet j´ atszik a matematika ´elet¨ unkben. Ahogy a civiliz´ aci´ o ´es a technika fejl˝ odik, egyre jobban ´es jobban t´ amaszko-
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 19 — #19 i
i
dunk a matematik´ ara. Steven Weinberg, Nobel-d´ıjas ´ fizikus Almodoz´ asok egy v´egs˝ o elm´eletr˝ ol c´ım˝ u k¨ onyv´eben k´et fejezetet is a fizik´ an k´ıv¨ ul es˝ o t´em´ aknak szentel: a matematik´ anak ´es a filoz´ ofi´ anak. Azt ´ırja, hogy id˝ or˝ ol id˝ ore u ´jra meglep˝ odik azon, mennyire hasznos a matematika, ´es mennyire muland´ o a filoz´ ofia. Ahhoz, hogy meg´erts¨ uk, mi´ert is van ez ´ıgy, meg kell ´erten¨ unk, mi a matematika. Ez nem egyszer˝ u k´erd´es – m´eg a matematikusok sem tudj´ ak r´ a mindig a v´ alaszt. Bertrand Russel egyszer azt mondta a matematikusokr´ ol, hogy fogalmuk sincs, mit csin´ alnak”. ” (A filoz´ ofusokr´ ol alkotott v´elem´enye m´eg enn´el is kem´enyebb volt: a filoz´ ofus szerinte nem m´ as, mint egy vak ember, aki egy s¨ ot´et szob´ aban egy olyan fekete ” macsk´ at keres, ami nincs is ott”.) Ez bizonyos szempontb´ ol val´ oban ´ıgy van: a legt¨ obb matematikus nem f´ arasztja mag´ at azzal, hogy azt firtassa, pontosan mit is csin´ al. A k´erd´es megv´ alaszol´ as´ ahoz kezdj¨ uk egy egyszer˝ u p´eld´ aval. Mit jelent az, hogy 3 + 2 = 5? Az els˝ o oszt´ alyosokat arra szoktam k´erni, hogy n´ezz´ek meg, h´ any ceruz´ ajuk lesz, ha h´ arom ceruz´ ahoz hozz´ aadnak k´et ceruz´ at. Azt m´ ar tudj´ ak, hogy a hozz´ aad´ as ugyanaz, mint az ¨ osszetev´es. ´Igy azt´ an egym´ as mell´e tesznek h´ arom ceruz´ at meg k´et ceruz´ at ´es megsz´ amolj´ ak: ¨ osszesen ¨ ot ceruza. Ezut´ an megk´erdezem: ´ h´ – Es any gombotok lesz, ha ¨ osszeadtok h´ arom gombot meg k´et gombot? ¨ gomb! – v´ – Ot agj´ ak r´ a erre. – Honnan tudj´ atok? – pr´ ob´ alkozom. – Az el˝ oz˝ o k´erd´esb˝ ol. – De az el˝ oz˝ o k´erd´es a ceruz´ akra vonatkozott. Mi van, ha a gombokkal m´ ask´epp van?
Mi a matematika?
19
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 20 — #20 i
i
Erre nevetni kezdenek. De nem az´ert, mert ´ertelmetlen a k´erd´es, ´eppen ellenkez˝ oleg. A matematika egyik nagy titka rejt˝ ozik a m´ely´en: az absztrakci´ o. Nem sz´ am´ıt, hogy ceruz´ akr´ ol, gombokr´ ol vagy alm´ akr´ ol van sz´ o. A v´ alasz minden esetben ugyanaz. Ez´ert tudjuk teljesen absztraktan kijelenteni: 3 + 2 = 5. Ez egy nagyon elemi, de nagyon jellemz˝ o p´elda arra, hogyan absztrah´ alja a matematika a gondolkod´ asi folyamatokat. Persze bizonyos fokig minden elgondol´ as absztrakt. De a matematika k¨ ul¨ onleges abban, hogy a legelemibb gondolkod´ asi folyamatokat is k´epes absztraktt´ a tenni. A 3 + 2 = 5 eset´eben a folyamat annyi, hogy ¨ osszekapcsolunk h´ arom t´ argyat meg k´et t´ argyat. Az ember sz´ amos k´erd´est fel tud tenni ezekkel a t´ argyakkal kapcsolatban: mik ezek – alm´ ak vagy ceruz´ ak? A kez¨ unkben vannak, vagy az asztalon? Ha az asztalon vannak, milyen alakzatban helyezkednek el? A matematika figyelmen k´ıv¨ ul hagyja ezeket a r´eszleteket, ´es csak az a k´erd´es ´erdekli, ami nem a r´eszletekre vonatkozik, hanem egyed¨ ul arra a t´enyre, hogy ezeket a t´ argyakat ¨ osszekapcsoljuk – a v´egeredm´eny nagys´ ag´ ara. Azaz, hogy mennyi t´ argy lesz v´eg¨ ul. Az absztrakt gondolkod´ asra val´ o k´epess´eg volt az a titok, ami biztos´ıtotta az ember gy˝ ozelm´et k¨ ornyezete f¨ ol¨ ott. Az absztrakci´ o ereje abban a´ll, hogy n¨ oveli a hat´ekonys´ agunkat, azaz er˝ ofesz´ıt´est˝ ol k´ım´el meg minket. Lehet˝ ov´e teszi, hogy az itt ´es most” korl´ atait´ ol ” megszabaduljunk, mert amire itt ´es most r´ aj¨ ov¨ unk, azt k´epesek lesz¨ unk hasznos´ıtani m´ askor ´es m´ as helyen is. Ha h´ arom ceruza meg k´et ceruza ¨ osszesen ¨ ot ceruza, ugyanez igaz lesz alm´ akra is, ´es ugyanez igaz lesz holnap is. Egyszeri er˝ ofesz´ıt´essel minden¨ utt hasznos´ıthat´ o inform´ aci´ ot nyert¨ unk.
20
˝ knek Matematika sz¨ u lo
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 21 — #21 i
i
Ha az absztrakci´ o a´ltal´ aban v´eve hasznos, akkor ez hatv´ anyozottan igaz a matematik´ ara, amely az abszt´ rakci´ ot a v´egs˝ okig viszi. Igy azt´ an nem meglep˝ o, hogy a matematika olyan hasznos.
Mindenki tanuljon matematik´ at? Amikor az emberek meghallj´ ak, hogy matematikus vagyok, sz´ ajuk gyakran leg¨ orb¨ ul, ´es arcukon alig pal´ astolt f´ ajdalmas grimasz jelenik meg: A matematika ” sohasem volt az er˝ oss´egem.” Sokak sz´ am´ ara a matematikatanul´ as olyan gy¨ otrelmes eml´ek, hogy u ´jra meg u ´jra felvet˝ odik a k´erd´es: miv´egre? Mi´ert sz¨ uks´eges ez a k´ınszenved´es? Nem kellene a legt¨ obb embernek eleve feladni, ´es nem is pr´ ob´ alkozni matematik´ aval? Manaps´ ag, amikor a zsebsz´ amol´ og´epek egy szempillant´ as alatt elv´egzik a matematikai m˝ uveleteket, mi ´ertelme van megtanulni a szorz´ ot´ abl´ at vagy az ´ır´ asbeli oszt´ ast? Az egyik v´ alasz az, hogy a matematika a kulcs minden olyan foglalkoz´ ashoz, amely egzakt term´eszettudom´ anyos ismereteket v´ ar el – ´es ilyenb˝ ol igen sok van. De a matematika nem csak a val´ o vil´ ag meg´ert´es´ehez seg´ıt hozz´ a. Sokkal t¨ obbet k´ın´ al enn´el: akkur´ atusan ´es m´ odszeresen tan´ıt meg az absztrakt gondolkod´ asra. Alapvet˝ o gondolkoz´ asform´ akat fejleszt, a l´enyeges ´es a l´enyegtelen k¨ oz¨ otti k¨ ul¨ onbs´egt´etelre tan´ıt, ´es a konkl´ uzi´ os k´epess´eg¨ unket gazdag´ıtja. De egy k´erd´es nyitva marad: mi´ert olyan neh´ez m´egis? A matematik´ anak felt´etlen¨ ul k´ınokkal kell j´ arnia? A szok´ asos v´ alasz az, hogy nem, csak ´eppen rosszul tan´ıtj´ ak. A legdivatosabb felfog´ as az, hogy a legt¨ obb gyerek, aki tanul´ asi neh´ezs´egekkel k¨ uzd, val´ oj´ aban tan´ıt´ asi neh´ezs´egek” miatt szenved. De ez nem ” ilyen egyszer˝ u. A tan´ arokat hib´ aztatni leegyszer˝ us´ıt´es Mi a matematika?
21
i
i i
i
i
i
“ahan” — 2015/2/4 — 10:58 — page 22 — #22 i
i
´es oktalans´ ag. Aki azt a´ll´ıtja, hogy a matematikatan´ arok ´evsz´ azadok o´ta pocs´ek munk´ at v´egeznek, magyar´ azza meg azt is, hogy mi´ert csak a matematik´ aval van ´ıgy, a t¨ obbi t´ arggyal mi´ert nem? A matematikatan´ıt´ as k¨ ul¨ onleges neh´ezs´ege abban all, hogy az absztrakci´ ´ ot k´eptelens´eg a´tadni. Megtan´ıthatod b´ arkinek, hogy mi Chile f˝ ov´ arosa, de nem absztrah´ alhatsz helyette. Ezt a folyamatot mindenkinek mag´ anak kell elsaj´ at´ıtania. A konkr´ett´ ol az absztraktig minden egyes gondolati l´ep´est egyed¨ ul kell megtenn¨ unk. A tan´ ar feladata ebben a folyamatban csup´ an annyi, hogy ir´ any´ıtsa a di´ akot, hogy a l´ep´eseket a helyes sorrendben tapasztalja ki. Ez nem egyszer˝ u m˝ uvelet, ´es nem k¨onny˝ u megtanulni sem. De nem lehetetlen. E k¨ onyv egyik c´elja az, hogy a´tadjon n´eh´ any elvet, hogy mik´ent b´ ab´ askodhatunk” a tanul´ oink f¨ o” l¨ ott – ahogy azt Sz´ okrat´esz mondotta.
22
˝ knek Matematika sz¨ u lo
i
i i
i
