ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE. Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely. Feladatok és megoldások

SZABÓ CSILLA DR. WESZELY TIBOR KOCZINGER ÉVA PÁLHEGYI-FARKAS LÁSZLÓ RÉMAN ILDIKÓ SZÁSZ ENIKŐ ORBÁN JULIANNA TOMOS IZABELLA DÉNES MARGIT

DR. BENCZE MIHÁLY MÁTÉFI ISTVÁN DÁVID GÉZA ISTÓK ÉVA KOLUMBÁN ILDIKÓ KOVÁCS BÉLA PĂCURAR MÁRIA ZÁKÁNY MÓNIKA

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely

Feladatok és megoldások

STUDIUM KIADÓ MAROSVÁSÁRHELY, 2014

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 2014

Műszaki szerkesztés: Pálhegyi-Farkas László, Bartha Botond Csaba

A feladatokat összeállító versenybizottság tagjai: dr. Weszely Tibor Szabó Csilla dr. Bencze Mihály Koczinger Éva Pálhegyi-Farkas László Kovács Béla Dávid Géza Réman Ildikó Szász Enikő Orbán Julianna Tomos Izabella Istók Éva Kolumbán Ildikó Mátéfi István Păcurar Mária Dénes Margit Zákány Mónika

Sapientia Tudományegyetem, Marosvásárhely Nemzeti Oktatási Minisztérium, Bukarest Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Mihai Eminescu Főgimnázium, Nagyvárad Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Andrei Muresanu Főgimnázium, Beszterce Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Kolozsvár Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 8-as Általános Iskola, Brassó Petőfi Sándor Általános Iskola, Kézdivásárhely Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Liviu Rebreanu Általános Iskola, Csíkszereda Németh László Elméleti Líceum, Nagybánya

A versenybizottság tagjai Elnök: Ügyvezető elnök: Alelnök:

dr. Weszely Tibor Szabó Csilla dr. Bencze Mihály

Tagok: Koczinger Éva, Pálhegyi-Farkas László, Kovács Béla, Dávid Géza, Réman Ildikó, Szász Enikő, Orbán Julianna, Tomos Izabella, Istók Éva, Kolumbán Ildikó, Mátéfi István, Păcurar Mária, Dénes Margit, Zákány Mónika. Titkár: Bartha Botond Csaba

4


Előszó „Aki matematikát tanul, az a tűzzel játszik. A matematika könnyen lenyűgözi, elcsábítja, rabul ejti az embert. Csodálatos titkokat rejt, melyek egyike-másika kis szerencsével és kemény munkával megfejthető. A megvilágosodás pillanatának katarzisa semmivel sem összehasonlítható, felemelő érzés.” Pach János

Eltelt egy év azóta, hogy az erdélyi matematika egén egy új csillag gyúlt ki, a Romániai Általános Iskolák Magyar Matematika Versenye. Igen, az egy éves születésnapját ünnepeljük most, itt Marosvásárhelyen, a Bolyaiak fellegvárában. Jó érzés visszagondolni a tavalyi versenyünk díjkiosztó ünnepségére, amikor a célba jutott tanulók örömkönnyek közt vették át a megérdemelt jutalmat. Hasonlóan a tanáraikra, akiknek a mindennapi többletmunkáját, a dobogós tanítványuk koronázta. Érdemes élni, érdemes tanítani, érdemes tanulni, érdemes ehhez a matematikusok csodálatos családjához tartozni. A diákoknak – és nem csak -, a matematika egy olyan csodálatos világ, amit mindenki a saját sorsán keresztül tapasztal. A vele foglalkozót néha megigézi, néha elrettenti, de a kitartó munka rejtett titkok megértéséhez vezeti. Minél mélyebbre hatolsz a felfedezések kacskaringós útján, annál csodálatosabb világ tárul eléd, és szellemed annál gazdagabb lesz. Végül észre sem veszed, hogy a matematika szerelmese lettél. De éppen ez benne a szép. Szívből kívánom, hogy az itt résztvevő kisokosok közül kerüljenek ki a következő generációk Bolyai Jánosai, akik folytassák az elődeik által teremtett hagyományt, tovább öregbítve a magyar matematika nemzetközi hírét. Köszönöm mindenkinek a testvéri hozzáállását, a kitartását, az önfeláldozó munkáját, és azt, hogy segítettek valóra váltani ezt a gyönyörű álmot. Köszönöm a Bolyai Farkas Elméleti Líceum vezetőségének, tanári karának, Mátéfi István tanár úrnak, hogy felvállalták a II. Romániai Általános Iskolák Magyar Matematika Versenyét és Marosvásárhelyhez méltóan meg is szervezték. A diákoknak egy eredményes versenyzést kívánok, a tanároknak élményekben gazdag ittlétet, hogy mindenki a Bolyaiak szellemét vihesse magával, akár hamuba sült pogácsaként. Szabó Csilla A Nemzeti Nevelési Minisztérium tanácsosa

5


Feladatsorok V. osztály 1. Feladat Adott az A ={𝑥 ∊ 𝑁│442 < 𝑥 ≤ 452 } halmaz, melynek elemeit növekvő sorrendben írjuk le. a) Melyik a halmaz középső eleme? b) A halmaznak melyik az az eleme, amely előtt 7-szer annyi elem van, mint utána?

Durugy Erika, Torda

2. Feladat Egy osztályban 35 diák van. Ha a fiúk száma 2-vel nagyobb, mint a lányok számának fele, mutasd ki, hogy legkevesebb 4 lány a hét ugyanazon napján, és legalább 2 fiú az évnek ugyanabban a hónapjában született!

Nagy Jenő, Székelyudvarhely

3. Feladat Hófehérke felírja egy kör köré az 1, 2, 3,  ,2016 számokat. A hét törpe közül elindul az első, és letörli minden nyolcadik számot, majd a második törpe a megmaradt számokból letörli minden hetedik számot, a harmadik törpe a megmaradt számokból letörli minden hatodik számot, és így tovább, amíg az utolsó törpe a megmaradt számokból letörli minden másodikat. A megmaradt számokat Hófehérke összeadta. Mennyivel egyenlő a kapott összeg?

Mátéfi István, Marosvásárhely

4. Feladat Rendezd növekvő sorrendbe az a b a 2, 3, 4 halmazból!

c

alakú számokat, ha a, b és c különböző számok

Kovács Béla, Szatmárnémeti

5. Feladat 5-től 2005-ig leírjuk egymás után az 5-tel osztható természetes számokat. a) Hány számjegyet tartalmaz az így képzett szám? b) Hány 5-ös számjegy van a kapott számban? c) Határozd meg a képzett szám ezredik számjegyét!

Simon József, Csíkszereda

6. Feladat Egy országúti kerékpárversenyen a következőképpen indították a benevezett versenyzőket: reggel 6 órakor indult el a versenyzők fele, negyedóra múlva a megmaradt versenyzők fele, ismét negyedóra múlva a még visszamaradt versenyzők fele, és így tovább. Az utolsó indításkor egyetlen versenyző rajtolt. Az ő indulása után negyed órával, fél nyolckor ért célba az első résztvevő. Hányan neveztek be a versenyre?

Bartis Anna-Mária, Gyergyószárhegy

6


VI. osztály 1. feladat: Egy 2014 cm hosszúságú szakasz egyik végpontjából elindul egy szöcske és a szakaszon ugrál a másik végpontig. Minden ugrásának a hossza 2 n cm, ahol n természetes szám. Tudva, hogy a szöcske minden ugrása különböző hosszúságú, határozd meg a szöcske ugrásainak a számát!


2. feladat: Adottak az a1, a2, a 3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 tízes számrendszerbeli számjegyek, 2

(

2

2

) ( ) = (a b c ) . Igazold, hogy (a b c a b c ) + (a b c a b c ) = (a b c a b c ) .

hogy a1b1c1 + a 2b2c2 2

1 1 1 1 1 1

3 3 3

2

2 2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 3 3

3. feladat: Adott a következő 3x3-as négyzetrács:

dr. Bencze Mihály, Bukarest

a) Töltsd ki prímszámokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 2014 legyen és indokold! b) Töltsd ki természetes számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 2014 legyen és a négyzetrácsban szereplő számok összege a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez az összeg? Válaszodat indokold!

Durugy Erika, Torda

4. feladat: Legyen n darab egymásmelletti szög az O pont körül, amelyek mértékei x o, 2x o, 3x o,..., nx o , ahol x és n természetes számok. Legtöbb hány szög van az O pont körül úgy, hogy mindegyik hegyesszög legyen?

Păcurar Mária, Temesvár

5. feladat: Az X OY hegyesszög belsejében adottak az (OE és (OF félegyenesek, amelyek a szöget három kongruens részre osztják és legyen M egy tetszőleges pont az X OY szög szögfelezőjén. Ha MA ^ (OE , A Î (OE , MB ^ (OF , B Î (OF , MA Ç (OY = {C } , MA Ç (OX = {H } , MB Ç (OY = {G } és MB Ç (OX = {D } igazold, hogy: a) BOM D º A OM D . b) [CG ] º [DH ] .

Kolumbán Anikó, Sepsiszentgyörgy, Păcurar Mária, Temesvár, PálhegyiFarkas László, Nagyvárad 6. feladat:Igazold, hogy bármely 2014 különböző természetes szám közül ki tudsz választani kettőt úgy, hogy különbségük osztható legyen 2013 -mal!

Polcz Zita, Szatmárnémeti

7


VII. osztály 1. feladat: Két természetes szám szorzata 144. Ha az egyiket növeljük 9-cel, a másikat pedig csökkentjük 8-cal, akkor a szorzatuk ugyanannyi marad. Melyek ezek a számok?


2. feladat: Van 1232 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb 30%-át, vagy a kisebbik csoport legfeljebb 70%át veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi a lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány aranykrajcárt kap így Misi?

Róka Sándor, Nyíregyháza

3. feladat: Az ABC egyenlő oldalú háromszög BC oldalára megszerkesztjük a BCDE négyzetet, majd felvesszük az F  AB pontot úgy, hogy  BE    EF  , és FD  AC  G illetve AD  EF  M . Igazold, hogy: a) AC   CG  b) az M pont az AFG háromszög magasságpontja.

Császár Sándor, Csíkmadaras

4. feladat: Adott az ABC háromszög. Legyenek D, E , F a BC , AB, AC egyenesek azon pontjai, amelyekre CD  AB és C   BD  , CE AD , EF BC . Bizonyítsd be, hogy az ABF és CDF háromszögek területe egyenlő!

Olosz Ferenc, Szatmárnémeti

5. feladat: Egy folyó két ellentétes partjáról egy öreg és egy fiatal kereskedő ugyanazon a pallón szeretné áruval megtöltött zsákjait áthordani a másik oldalra. Az öreg kereskedőnek 4 zsákja, a fiatalnak 11 zsákja van. Egyszerre indulnak egymással szembe, és mindegyik egyszerre egy zsákot cipel. Zsákkal megrakodva is, és zsák nélkül is, ugyanazzal az állandó sebességgel haladnak, ám a fiatal gyorsabb, mint az öreg kereskedő. Hányszor találkoznak összesen, amíg mindketten áthordják a zsákjaikat, és egyszerre végeznek?

Császár Sándor, Csíkmadaras

6. feladat: Veronka egy téglalapot az oldalakkal párhuzamos egyenesek mentén vízszintesen 56, függőlegesen pedig 7 részre darabolt fel, és azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Peti egy ugyanakkora téglalappal hasonlóan járt el, csak vízszintesen 80, függőlegesen 10 részre vágta fel, és ő is azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Igazold, hogy ha Réka egy ugyanolyan téglalapot vízszintesen 104 egyenlő részre, függőlegesen pedig 13 egyenlő részre darabol fel, az oldalakkal párhuzamosan, akkor a keletkezett téglalapok szintén négyzetek lesznek!

Bencze Mihály, Bukarest

8


VIII. osztály 1. feladat:Számítsuk ki az x + y + z összeg értékét, ha az x, y, z valós számokra teljesülnek a következő feltételek: 4x – 9y2 = 1 , 6y – 36z2 = 1 és 12z – 4x2 = 1.

Kovács Béla, Szatmárnémeti 2. feladat: Az ABCD háromoldalú gúlában AB = b, AC = c és AD = d ,



 

 



ˆ C  m CA ˆ D  m DA ˆ B  600 m BA

a) Igazoljuk, hogy BC  b  bc  c 2 . 2

b) Mutassuk ki, hogy b 2  bc  c 2  b 2  bd  d 2  c 2  cd  d 2 .


3. feladat: Bizonyítsátok be az alábbi egyenlőtlenséget: 2011  2012  2013  2015  2016  2017  6 2014 .


4. feladat: Az ABC háromszög oldalai az a és b szigorúan pozitív valós számok æÙ ö æÙ ö æÙ ö ççB ÷ ççC ÷ ÷ ÷ ÷ számtani, mértani és harmonikus középarányosai, m çççA ÷ . = 90 ° és m < m ÷ ÷ ÷ çèç ø ÷ ÷ ÷ çè ø èçç ø Igazoljátok, hogy: a) sin B  cos2 B és cos C  sin 2 C 



b) 30  B  45  C  60 .

dr.Bencze Mihály, Bukarest

5. feladat: Egy kupacban 2014 mogyoró van. Egyet kiveszünk belőle, és a többit két részre osztjuk. Ezután megint kiveszünk egy mogyorót egy olyan kupacból, amelyben egynél több mogyoró van, és egyik kupacot megint két részre osztjuk. Lehetséges-e, hogy néhány művelet után minden kupacban ugyanannyi mogyoró maradjon? Ha igen, legkevesebb hány lépés szükséges?

Istók Éva, Kézdivásárhely és Orbán Julianna, Déva

6. feladat: Van 2014 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra, és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb egy harmadát, vagy a kisebbik csoport legfeljebb két harmadát veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány krajcárt kap így Misi?


9


Megoldások V. osztály 1. Feladat Adott az A ={𝑥 ∊ 𝑁│ 442 < 𝑥 ≤ 452 } halmaz, melynek elemeit növekvő sorrendben írjuk le. a) Melyik a halmaz középső eleme? b) A halmaznak melyik az az eleme, amely előtt 7-szer annyi elem van, mint utána?

Durugy Erika, Torda

Megoldás a) 442 = 1936, 452 = 2025 . A halmaznak 2025 - 1936, azaz 89 eleme van.. A középső a 45. elem, vagyis az 1937 + 44 = 1981. b) Első megoldás: Legyen x a keresett szám után levő elemek száma, tehát az előtte levő elemek száma 7x. Ekkor 7x + 1 + x = 89 . Az egyenlet megoldása x = 11. A keresett elem : 2025 – 11 = 2014.

Második megoldás:

A halmaznak 89 eleme van, a keresett elemen kívül van még 88 elem. Mivel a keresett elem előtt 7- szer annyi elem van, mint azt követően, ezért: 88 : 8 = 11 elem van utána. A keresett elem: 2025 – 11 = 2014. 2. Feladat Egy osztályban 35 diák van. Ha a fiúk száma 2-vel nagyobb, mint a lányok számának fele, mutasd ki, hogy legkevesebb 4 lány a hét ugyanazon napján, és legalább 2 fiú az évnek ugyanabban a hónapjában született!

Nagy Jenő, Székelyudvarhely

Megoldás A lányok száma legyen 2x, ekkor a fiúk száma x +2 . 2x +x + 2 = 35 Az egyenlet megoldása x = 11 A fiúk száma 11 + 2 = 13, a lányok száma 22 Ha a hét minden napján legtöbb 3 lány születne, akkor lenne 3 ∙ 7 = 21 lány, ezért a skatulyaelv alapján van legkevesebb 4 lány, aki a hét ugyanazon a napján született. Hasonlóan: ha minden fiú más hónapban született volna, lenne 12 ∙ 1 = 12 fiú, tehát van legalább két fiú, aki az évnek ugyanabban a hónapjában született.

10


3. Feladat Hófehérke felírja egy kör köré az 1, 2, 3,  ,2016 számokat. A hét törpe közül elindul az első, és letörli minden nyolcadik számot, majd a második törpe a megmaradt számokból letörli minden hetedik számot, a harmadik törpe a megmaradt számokból letörli minden hatodik számot, és így tovább, amíg az utolsó törpe a megmaradt számokból letörli minden másodikat. A megmaradt számokat Hófehérke összeadta. Mennyivel egyenlő a kapott összeg?


Megoldás A törpék által letörölt számokat a következő halmazok tartalmazzák: 1.törpe  8;16; 24; 32;,2016, 2.törpe  7;15; 23; 31;,2015, 3.törpe  6;14; 22; 30;,2014, 4.törpe  5;13; 21; 29;,2013, 5.törpe  4;12; 20; 28;,2012, 6.törpe  3;11;19; 27;,2011, 7.törpe  2;10;18; 26;,2010. Hófehérkének az 1; 9;17; 25;,2009 számok maradtak. amelyek összege S  1  1  1  8  1  2  8  1  3  8  1  251 8 . S  252  8  1  2  3    251 , ahonnan S  252  252 1004. Tehát S  2521005. 4. Feladat Rendezd növekvő sorrendbe az a b a 2, 3, 4 halmazból!

c

alakú számokat, ha a, b és c különböző számok

Kovács Béla, Szatmárnémeti Megoldás: A következő esetek vannak: 4 c 1. eset: a = 2 , b = 3 és c = 4 . Ekkor A = a b = 2 3 = 2 81 .

c

3

2. eset: a = 2 , b = 4 és c = 3 . Ekkor B = a b = 2 4 = 2 64 . c 4 3. eset: a = 3 , b = 2 és c = 4 . Ekkor C = a b = 3 2 = 316 .

c 2 4. eset: a = 3 , b = 4 és c = 2 . Ekkor D = a b = 3 4 = 316 . c

5. eset: a = 4 , b = 2 és c = 3 . Ekkor E = a b = 4 2

3

= 4 8 = 216 .

2 c 6. eset: a = 4 , b = 3 és c = 2 . Ekkor F = a b = 4 3 = 4 9 = 218 . Azonnal látszik, hogy B
 16

Továbbá: 2 64 = 2 4 16 = 2 4 = 1616  316 . Tehát: C = D < B < A. Végül még két hatványt kell összehasonlítanunk.

36 = 27 2 =729 és 2 9 = 8 3 = 512 alapján

 2

2

c

 2 = 312 < 316 = D

F = a b = 4 3 = 218 = 29 = 5122 < 7292 = 36 Kapjuk, hogy: E < F < D = C < B
2

Tehát: 4 2 < 4 3 < 3 4

2

4

3

= 32 < 2 4 < 2 3

4

5. Feladat 11


5-től 2005-ig leírjuk egymás után az 5-tel osztható természetes számokat. a) Hány számjegyet tartalmaz az így képzett szám? b) Hány 5-ös számjegy van a kapott számban? c) Határozd meg a képzett szám ezredik számjegyét!

Simon József, Csíkszereda

Megoldás: a) A képzett szám: 510152025...95100105...99510001005...20002005. A számot 2005: 5  401 számból raktuk össze, amelyek közül 1 db. egyjegyű, 18 db. kétjegyű, 180 db. háromjegyű, végül 202 db. négyjegyű szám. A kapott szám 11  2 18  3 180  4  202  1  36  540  808  1385 számjegyű. b) Az egyjegyű számban 1 db. 5-ös, a 18 kétjegyű számban 10 db. 5-ös, a 180 háromjegyű szám 100, 105, … , 195, 200, 205, … , 295, … , 500, 505, … , 595, … , 900, 905, …, 995, így ezekben 11 9  20  119 db. 5-ös, összesen 5-től 1000-ig 1 10 119  130 db. 5-ös fordul elő, az 1000 és 2000 között szintén 130 darab 5-ös van, a 2005 pedig 1 darab 5-öst tartalmaz  a kapott számban 130 130 1  261 darab 5-ös számjegy van. c) Az a) alpontot követve azt kapjuk, hogy a legfennebb háromjegyű számokat 1  18  2  180 3  577 számjeggyel írtuk le, tehát 1000 - 577= 423 számjegyet kell még venni. 423:4=105 és a maradék 3, tehát a 106. négyjegyű szám 3. számjegyét kell megkapni. Az első négyjegyű szám 1000, a második 1005, …, a 106. pedig 1525, ebben a 3. számjegy a 2-es. A keresett számjegy a 2. 6. Feladat Egy országúti kerékpárversenyen a következőképpen indították a benevezett versenyzőket: reggel 6 órakor indult el a versenyzők fele, negyedóra múlva a megmaradt versenyzők fele, ismét negyedóra múlva a még visszamaradt versenyzők fele, és így tovább. Az utolsó indításkor egyetlen versenyző rajtolt. Az ő indulása után negyed órával, fél nyolckor ért célba az első résztvevő. Hányan neveztek be a versenyre?

Bartis Anna-Mária, Gyergyószárhegy

Megoldás:

Első megoldás: 6 órakor elindult a benevezett versenyzők fele, maradt a másik fele.

6:15-kor elindult a benevezett versenyzők negyede, és maradt ugyanannyi. Megállapítható, hogy mindig ugyanannyian maradtak, mint ahányan indultak. Ezért az utolsó indításkor (amikor egy versenyző indult), 1 versenyző még maradt. Az utolsó indítás 7:15-kor történt. Az indulási időpontok 6:00, 6:15, 6:30, 6:45, 7:00 és 7:15 (6 indítás). Összesen tehát 1+2+4+8+16+32=63 versenyző indult. Mivel az utolsó indításkor maradt még 1 versenyző, összesen 64-en neveztek be a versenyre. Második megoldás: 𝑥 𝑥 𝑥 Legyen x a versenyzők száma, 6 órakor elindult 2, , maradt 2 , 6:15-kor 4 versenyző indult, maradt

𝑥

4

.

Folytatva a gondolatmenetet, az utolsó indításkor 1 versenyző indult, 1 maradt. 12


Az indulási idők (6:00, 6:15, 6:30, 6:45, 7:00 és 7:15) szerint felírható a következő egyenlet: 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 + 4 + 8 + 16 + 32 + 1 + 1 = 𝑥 . 2 1

1

1

1

1

31

𝑥

x(2 + 4 + 8 + 16 + 32) + 2 = 𝑥 ⟺ 32 . 𝑥 + 2 = 𝑥 ⟺ 32 =2, x=64 . Felelet: 64 versenyző indult el.

VI. osztály 1. Feladat.Egy 2014 cm hosszúságú szakasz egyik végpontjából elindul egy szöcske és a szakaszon ugrál a másik végpontig. Minden ugrásának a hossza 2 n cm, ahol n természetes szám. Tudva, hogy a szöcske minden ugrása különböző hosszúságú, határozd meg a szöcske ugrásainak a számát!


Megoldás: 2  2014 , a lehetséges ugrások: 210 ; 2 9 ; 2 8 ; 2 7 ; 2 6 ; 2 5 ; 2 4 ; 2 3 ; 2 2 ; 2; 2 0 ezek összege 11

2047 tehát az összegből 33-at kell levonni, amely csak az 1  2 5 összegből állítható elő. Tehát 2014  210  2 9  2 8  2 7  2 6  2 4  2 3  2 2  2 . A szöcske ugrásainak száma 9.

2. Feladat. Adottak az a1, a2, a 3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 tízes számrendszerbeli számjegyek, 2

(

2

2

) ( ) ( ) (a b c a b c ) + (a b c a b c ) = (a b c a b c ) .

hogy a1b1c1 + a 2b2c2

= a 3b3c 3 . Igazold, hogy

2

2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 3 3

dr. Bencze Mihály, Bukarest

Megoldás:

(

)

(

)

(

)

Legyen A = a1b1c1 , B = a 2b2c2 , C = a 3b3c 3 , így az adott egyenlőség a következőképpen írható: A 2 + B 2 = C 2 . Észrevesszük, hogy

(a b c a b c ) = (a b c )×1000 + (a b c ) = A ×1001 , hasonlóan (a b c a b c ) = (a b c )×1000 + (a b c ) = B ×1001 és (a b c a b c ) = (a b c )×1000 + (a b c ) = C ×1001 . Ezért a bizonyítandó összefüggés: (a b c a b c ) + (a b c a b c ) = (a b c a b c ) , 1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 3 3 3 3

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2

1 1 1 1 1 1

egyenértékű a következővel: (A ×1001)2 + (B ×1001)2 = (C ×1001)2 .

Ha

ezt

2

2 2 2 2 2 2

elosztjuk

A + B = C kifejezést kapjuk, ami igaz. 2

2

2

3. Feladat. Adott a következő 3x3-as négyzetrács: 13

2

3 3 3 3 3 3

az

10012 számmal,

az


c) Töltsd ki prímszámokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 2014 legyen és indokold! d) Töltsd ki természetes számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 2014 legyen és a négyzetrácsban szereplő számok összege a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez az összeg? Válaszodat indokold!

Durugy Erika, Torda

Megoldás:

a) 2014=2∙19∙53 Tehát a táblázatot a 2,19 és 53 prímszámokkal töltjük ki úgy, hogy minden sorban illetve minden oszlopban szerepeljenek a 2, 19 és 53 számok. b) A 2014 osztói: {1;2;19; 38;53;106;1007;2014} . Az a) pont alapján egy ilyen összeg 3 ×(2 + 19 + 53) = 222 . Észrevehető, hogy 2014 és 1007 nem jöhetnek számításba, mert eleve nagyobbak, mint az előbbi összeg. Tehát marad még két eset: 106 ×19 ×1 = 2014 Þ 3 ×(106 + 19 + 1) = 378 > 222 , amely nem megfelelő és 53 ×38 ×1 = 2014 Þ 3 ×(53 + 38 + 1) = 276 > 222 , amely szintén nem megfelelő. Tehát a legkisebb összeg 222 .

4. Feladat.

Legyen n darab egymásmelletti szög az O pont körül, amelyek mértékei x , 2x , 3x ,..., nx o , ahol x és n természetes számok. Legtöbb hány szög van az O pont körül úgy, hogy mindegyik hegyesszög legyen? o

o

o

Megoldás: x + 2x o + 3x o + ... + nx o = 360o Þ x o ×n ×(n + 1) = 720o

Păcurar Mária, Temesvár

Mivel nx a legnagyobb szög mértéke, tehát nx < 90o , ezért n + 1 > 8 Þ n > 7 . De n ×(n + 1) 720 , 720 = 24 ×32 ×5 Tehát a lehetséges esetek: n ×(n + 1) Î {2 ×3; 3 ×4; 4 ×5;5 ×6; 8 ×9;9 ×10;15 ×16} , mivel n > 7 Þ n Î {8; 9;15}. Tehát legtöbb 15 szög van.

5. Feladat Az X OY hegyesszög belsejében adottak az

(OE és (OF félegyenesek, amelyek a szöget három kongruens részre osztják és legyen M egy tetszőleges pont az X OY szög szögfelezőjén. Ha MA ^ (OE , A Î (OE , MB ^ (OF , B Î (OF , MA Ç (OY = {C } , MA Ç (OX = {H } , MB Ç (OY = {G } és MB Ç (OX = {D } igazold, hogy: a). BOM D º A OM D b). [CG ] º [DH ]

Kolumbán Anikó, Sepsiszentgyörgy, Păcurar Mária, Temesvár, Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:

14


m (A OM S ) = m (MOH S ) - m (A OH S )üïï ï m (BOM S ) = m (MOG S ) - m (BOG S ) ïïï a). ý Þ BOM S º A OM S , tehát m (BOG S ) = m (A OH S )(harmadolás ) ïï ï m (MOH S ) = m (MOG S )(szögfelezõ ) ïï ïþ ü BOM S º A OM S ïï ý Þ BOM D º A OM D (B.Hsz). [OM ] º [OM ](közös )ïï þ ïï [OA ] º [OB ] ü b). A OM D º BOM D Þ ý Þ HA O D º GBO D (B.Hsz) HOA S º BOG S ïï þ ìï [MH ] º [MG ] ïïü a ) Þ [MB ] º [MA ] ïü ïï ï ï í ìï [HA ] º [GB ] ïý Þ ïï DHM S º CGM S ïý Þ HMDD º GMC D Þ [HD ] º [GC ] ï î ï ïï b) Þ í ïï OHA S º OGB S ïï ïï DMH S º GMC S ( cs . sz ) ïþ î þ .

6. Feladat. Igazold, hogy bármely

2014 különböző természetes szám közül ki tudsz választani kettőt úgy, hogy különbségük osztható legyen 2013 -mal!


Megoldás: Egy természetes szám 2013 -mal való osztási maradéka lehet: 0,1, 2,..., 2012 . Ennek megfelelően képzeljünk el 2013 darab skatulyát. A 2014 különböző természetes számot a 2013 számmal való osztási maradéka alapján, helyezzük a megfelelő skatulyába. Mivel 2014 különböző természetes szám van, ezért biztosan létezik egy skatulya, amelyikben legalább két szám van. Jelöljük ezeket a , b -vel. A 2013 -mal való osztási maradékuk egyenlő, ezért felírhatjuk azt, hogy a = 2013m + r és b = 2013s + r , ahol m , s Î ¥ . Akkor a - b = 2013(m - s ) . Ebből következik, hogy a - b osztható 2013 -mal.

VII. osztály

15


1. feladat: Két természetes szám szorzata 144. Ha az egyiket növeljük 9-cel, a másikat pedig csökkentjük 8-cal, akkor a szorzatuk ugyanannyi marad. Melyek ezek a számok?

Kovács Béla, Szatmárnémeti Megoldás: I. módszer:Legyen a két természetes szám a és b. Tudjuk, hogy ab= 144, és (a  9)(a  8)  144 vagyis ab − 8a + 9b – 72 = ab, ahonnan 9b – 8a = 72, vagy 9(b – 8) = 8a. Itt az a értéke csak 9 lehet, a b értéke pedig 16. Tehát a keresett természetes számok: 9 és 16. II. módszer: Legyen aés b a két keresett szám, ahol a  b . Az alábbi táblázat az a és b lehetséges értékei alapján mutatja, hogy a keresett számok a 9 és a 16. (a  9)(a  8) a b a+9 b-8 1 144 10 136 1360 2 72 11 64 704 3 48 12 40 480 4 36 13 28 364 6 24 15 16 240 8 18 17 10 170 9 16 18 8 144

2. feladat: Van 1232 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb 30%-át, vagy a kisebbik csoport legfeljebb 70%át veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi a lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány aranykrajcárt kap így Misi?


Megoldás: Könnyen belátható, hogy azt kell elérnünk, hogy bármilyen csoportot is választ Misi, majdnem egyenlő mennyiségű krajcárt kapjon. Legyen x a nagyobbik csoportban lévő krajcárok mennyisége. Tehát felírható a következő egyenlet: 0,3 x  0,7(1232  x) . Innen x  0,7  1232  862,4 , tehát x  862, 863, mivel x egész szám. Legyen x  862 . Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor 0,3  x  258,6 , így Misi 258 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választja, akkor 0,7  (1232  x)  0,7  370  259 , így Misi 259 krajcárt kapna. Legyen most x  863. Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor 0,3  x  258,9 , így Misi 258 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választaná, akkor 0,7  (1232  x)  0,7  369  258,3 , így Misi megint csak 258 krajcárt kapna. Ha tehát 863 és 369 csoportokra osztjuk a krajcárokat, akkor bárhogy választ is Misi, 258 krajcárt kap. 3. feladat: Az ABC egyenlő oldalú háromszög BC oldalára megszerkesztjük a BCDE négyzetet, majd felvesszük az F  AB pontot úgy, hogy  BE    EF  , és

FD  AC  G illetve AD  EF  M . Igazold, hogy: a) AC   CG  b) az M pont az AFG háromszög magasságpontja. Császár Sándor,Csíkmadaras 16


Megoldás: I. eset: A és D pontok a BC egyenes különböző oldalán helyezkednek el. a) Az ábra helyes elkészítése.

m( FBE )  180   90  60   30    m( FEB)  120  BEF  e.sz.  FBE  BFE m( FED)  360   90  120   150  180  150   15   m( EFD)  2 DEF  e.sz.   FM  AG  P

AFP   ben

m( P)  180   30  60   90

(1)

GFP   ben  CD  CG   CA  CG    CDG e.sz.       CD   CA   m(CDG )  180   90  15   75    m(G )  90  15  75

m( EDA)  90  15  75 m( FDA)  75  15  90  AD  FG     M az AFG magasságpontja m( FPA)  90 (1)  AP  AG   II. eset:A és D pontok a BC egyenes ugyanazon oldalán helyezkednek el. Az I esethez hasonló módon bizonyítjuk.

4. feladat: Adott az ABC háromszög. Legyenek D, E , F a BC , AB, AC egyenesek azon pontjai, amelyekre CD  AB és C   BD  , CE AD , EF BC . Bizonyítsd be, hogy az ABF és CDF háromszögek területe egyenlő!

Megoldás:

Az ábra helyes elkészítése I. módszer: Az FCD és ABF -ben CD -t, illetve AB -t tekintve alapnak  CD  AB  elégséges azt igazolni, hogy a hozzájuk tartozó FH és FG B magasságok is egyenlők. Th .t AE AF  (1) Az ABC -ben EF BC  AB AC Th .t AE CD  (2) Az ABD  ben EC AD  AB BD AF CD AF CD (1) és (2)      AC BD AC  AF BD  CD AF CD   AF AB szögf .t . f .   FC BC     ABF  FBC AC BC CD  AB  17

Olosz Ferenc,Szatmárnémeti

A G E

F

H

C

D

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 2014 Tehát BF az ABC szög szögfelezője  GF  FH  TABF   TCDF 

II. módszer: Legyen BC  a , AB  CD  c , BE  x , így AE  c  x . BE BC  , vagyis EA CD x a x a ac  , amelyből származtatjuk  , ahonnan BE  x  és cx c c ac ac ac c2 AE  c  x  c   . ac ac Az ABC háromszögben EF BC , így a hasonlóság alaptétele értelmében AEF ABC , tehát AE EF AE  BC ac   , ahonnan EF  , így bebizonyítottuk, hogy BE  EF . AB BC AB ac Az EFB egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek kongruensek, így EBF  EFB , de EFB  FBC (belső váltószögek, mivel EF BC ), következik EBF  FBC , tehát BF az ABC szögfelezője. Ha G , H az F pontból az AB, BC -re húzott merőleges talppontja, akkor FG  FH ( a szögfelező bármely pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól). AB  FG CD  FH TABF    TCDF . Tehát ABF és CDF egyenlő területű háromszögek. 2 2 CE AD , így az ABD háromszögben a Thalész tétel értelmében

5. feladat: Egy folyó két ellentétes partjáról egy öreg és egy fiatal kereskedő ugyanazon a pallón szeretné áruval megtöltött zsákjait áthordani a másik oldalra. Az öreg kereskedőnek 4 zsákja, a fiatalnak 11 zsákja van. Egyszerre indulnak egymással szembe, és mindegyik egyszerre egy zsákot cipel. Zsákkal megrakodva is, és zsák nélkül is, ugyanazzal az állandó sebességgel haladnak, ám a fiatal gyorsabb, mint az öreg kereskedő. Hányszor találkoznak összesen, amíg mindketten áthordják a zsákjaikat, és egyszerre végeznek?

Császár Sándor,Csíkmadaras

Megoldás: Az öreg kereskedő a fiatallal egyszerre végez, összesen 7-szer kell átmennie a pallón, a fiatal ezalatt 21-szer. Ez azt jelentette, hogy amíg az öreg kereskedő egyszer áthaladt a hídon, a fiatallal 3-szor találkozott, és mivel ellentétes partról indultak, mikor az öreg kereskedő átért, a fiatal éppen az ellentétes oldalon tartózkodott, tehát összesen 21-szer találkoztak. Grafikus szemléltetés:

18


6. feladat: Veronka egy téglalapot az oldalakkal párhuzamos egyenesek mentén vízszintesen 56, függőlegesen pedig 7 részre darabolt fel, és azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Peti egy ugyanakkora téglalappal hasonlóan járt el, csak vízszintesen 80, függőlegesen 10 részre vágta fel, és ő is azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Igazold, hogy ha Réka egy ugyanolyan téglalapot vízszintesen 104 egyenlő részre, függőlegesen pedig 13 egyenlő részre darabol fel, az oldalakkal párhuzamosan, akkor a keletkezett téglalapok szintén négyzetek lesznek!

Bencze Mihály,Bukarest

Megoldás: Jelölje a a Veronka által kapott négyzetek oldalainak hosszát Jelölje b a Peti által kapott négyzetek oldalainak hosszát Réka által kapott téglalapok oldalainak hosszát jelöljüku-val és v-vel Felírhatjuk, hogy: a 10 392 a 2  800 b 2  7 2 a 2  102 b 2  7 a  10 b   b 7 7a 80 b 7 a  10 b  13v  v  és 56a  80 b  104u  u  13 104 7a v v  13   1  u  v  A Réka által kapott téglalapok négyzetek. u 80 b u 104

VIII. osztály 1. Számítsd ki az x + y + z összeg értékét, ha az x, y, z valós számokra teljesülnek a következő feltételek: 4x – 9y2 = 1 , 6y – 36z2 = 1 és 12z – 4x2 = 1 .


Megoldás: Összeadjuk a három egyenletet, és rendezzük a változók szerint: 4x2 – 4x + 1 + 9y2 – 6y + 1 + 36z2 – 12z + 1 = 0 Teljes négyzetek alakulnak ki: (2x – 1)2 +(3y – 1)2 + (6z – 1)2 = 0 1 1 1 Következik: x = , y = , z = . 2 3 6 Ellenőrizni kell, hogy ezek az értékek valóban kielégítik-e a kért feltételeket. 1 1 Az első egyenlet esetében: 4 – 9 = 1 igaz. 2 9 1 1 A második egyenlet esetében. 6 – 36 = 1 igaz. 3 36 1 1 A harmadik egyenlet esetében: 12 – 4 = 1 igaz. 6 4 A kapott értékek mindegyik feltételt teljesítik, kiszámíthatjuk a kért összeget: 1 1 1 x+y+z= + + = 1. 2 3 6 Tehát: x + y + z = 1.

19


2. Az ABCD háromoldalú gúlában AB = b, AC = c és AD = d , ˆ C  m CA ˆ D  m DA ˆ B  600 m BA



 

 



a) Igazold, hogy BC  b 2  bc  c 2 . b) Mutasd ki, hogy b 2  bc  c 2  b 2  bd  d 2  c 2  cd  d 2 .


Megoldás:

a) A gúla ABC oldallapján legyen BE  AC , E  AC . Az ABE háromszögben ˆ E  300 , tehát AE  1 b . Alkalmazva Pitagorasz tételét az ABE háromszögben m AB 2 3b kapjuk, hogy BE  . 2 ˆ C  900 , BE  3b , EC  c  b (ha c  b ) és EC  b  c A BEC háromszögben m BE 2 2 2 2 b (ha c  ), alkalmazva Pitagorasz tételét kapjuk, hogy BC  b 2  bc  c 2 . 2









b) Hasonlóan igazolható, hogy CD  c 2  cd  d 2 és BD  b 2  bd  d 2 . A BCDháromszögben felírhatjuk, hogy BC  BD  CD , ahonnan b 2  bc  c 2  b 2  bd  d 2  c 2  cd  d 2 .

3. Bizonyítsd az alábbi egyenlőtlenséget: 2011  2012  2013  2015  2016  2017  6 2014 .

Polcz Zita, Szatmárnémeti Megoldás: Megfelelő csoportosítás után, alkalmazzuk a számtani és négyzetes középarányosok

ab a 2  b2  közötti egyenlőtlenséget. Az képlet alapján, (egyenlőség csak a = 2 2 besetén) 2011  2017 2011 2017 2012  2016 2012  2016   2014 ,   2014 , 2 2 2 2 2013  2015 2013  2015   2014 . Összeadva a fenti egyenlőtlenségek 2 2 megfelelő oldalait, és szorozva kettővel, megkapjuk a kért egyenlőtlenséget. 2. Megoldás: A a  k  a  k  2 a egyenlőtlenség a > k > 0 esetén négyzetre emeléssel bizonyítható. Az a = 2014 és k = 1, 2, 3 esetekre felírva az előbbi egyenlőtlenséget és összeadva ezeket, megkapjuk a kért egyenlőtlenséget. Megjegyzés: A feladat általánosítható

 k



a  i  a  i  2k a , 0  k  a természetes

i 1

számok esetén

20


4. Az ABC háromszög oldalai az a és b szigorúan pozitív valós számok számtani, mértani és harmonikus középarányosai, valamint m Aˆ = 90° és m (Bˆ ) < m (Cˆ ).

()

Igazold, hogy: a) sin B  cos2 B és cos C  sin 2 C ˆ  60 . ˆ  45  m C b) 30  m B





Dr. Bencze Mihály, Bukarest

Megoldás: a) a = b nem lehetséges, mert a háromszög derékszögű. 2ab ab ˆ , ezért ˆ mC  ab  Mivel és m B ab 2 2ab ab AC  AB  BC, AC  , AB  ab , BC  . ab 2 Az ABC háromszögben felírjuk a sin és cos értelmezéseit:

 

2

2ab    ab  4 ab   4ab 2  sin B  cos2 B sin B  a  b  , cos2 B   2 a  b a  b  ab a  b    2  2  2

2ab    ab  4 ab   4ab 2  cos C  sin 2 C cos C  a  b  , sin 2 C   2 a  b a  b  ab a  b    2  2  b) Felírjuk az ABC háromszögben a Pitagorasz tételt:

a b     2  2

 ab 

2

2

 2ab  2 2 4 4    18a b  a  b a b

Megfelelő átrendezés után a 2  b 2   16a 2 b 2  0  a 2  b 2  4ab a 2  b 2  4ab   0 a Innen következik, hogy: egyrészt a 2  b 2  4ab  0 , ahonnan  2  5 . b a 1 Másrészt a 2  b 2  4ab  0 , ahonnan  2  5  . b 2 5 2

Mindkét esetben sin B 

4ab 5 1 .  2 2 a  b

2  5  1  2 egyenlőtlenségből kiindulva kapjuk

1 5 1 2    sin 30  sin B  sin 45 . Felhasználva, hogy nagyobb szöghöz 2 2 2 ˆ )  45 . Továbbá, nagyobb sin érték tartozik, és fordítva, következik, hogy 30  m(B ˆ )  60 . Tehát 30  m B ˆ  60 . ˆ )  90  m(B ˆ  45  m C ˆ ) alapján 45  m(C m(C





5. Egy kupacban 2014 mogyoró van. Egyet kiveszünk belőle, és a többit két részre osztjuk. Ezután megint kiveszünk egy mogyorót egy olyan kupacból, amelyben egynél több mogyoró van, és egyik kupacot megint két részre osztjuk. Lehetséges-e, hogy 21


néhány művelet után minden kupacban ugyanannyi mogyoró maradjon? Ha igen, legkevesebb hány lépés szükséges?

Istók Éva, Kézdivásárhely és Orbán Julianna, Déva

Megoldás: Legyen n a műveletek száma. Mivel minden kupacban ugyanannyi mogyoró kell maradjon, jelöljük x-el ezt a mennyiséget; n és x zérótól különböző természetes számok. Mivel minden művelet után eggyel kevesebb mogyorónk lesz, ezért n művelet után 2014 – n mogyorónk marad, a kupacok száma pedig n + 1 lesz. Ha minden kupacban ugyanannyi mogyoró marad, felírhatjuk a következő egyenletet: 2014  n x  n  1  2014  n  x  , n , x  N* n 1  n  1  2015 2015  1   N*, akkor Ha x  n 1 n 1 n  1  D 2015  1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015 Tehát, lehetséges, hogy néhány lépés után ugyanannyi mogyoró maradjon minden kupacban. A szükséges legkevesebb lépésszámot megkapjuk az n  1  5  n  4 esetén. Az x  n  1  2014  n összefüggés felírható még x  1n  1  2015 alakban is. Mivel x  1n  1  5  13  31, a legkevesebb lépésszámot n  1  5 esetén kapjuk meg, azaz n  4 . 6. Van 2014 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra, és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb egy harmadát, vagy a kisebbik csoport legfeljebb két harmadát veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány krajcárt kap így Misi?


Megoldás. Látható, hogy azt kell elérnünk, hogy bármilyen csoportot is választ Misi, majdnem egyenlő mennyiségű krajcárt kapjon. Legyen x a nagyobbik csoportban lévő krajcárok 1 2 x  ( 2014  x) . Innen mennyisége. Tehát felírható a következő egyenlet: 3 3 2 x   2014  1342,6... , tehát x  1342, 1343 , mivel x egész szám. 3 1 Legyen x  1342. Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor  1342  447,3... , így 3 Misi 447 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választja, akkor viszont 2  672  448 , így Misi 448 krajcárt kapna. 3 1 Legyen most x  1343. Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor  1343  447,6... 3 , így Misi 447 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választja, akkor 2  671  447,3... , így Misi megint csak 447 krajcárt kapna. 3 22


Ha tehát 1343 és 671 csoportokra osztjuk a krajcárokat, akkor bárhogy választ is Misi, 447 krajcárt kap.

23


A versenyen résztvevő diákok névsora

V. osztály Ábrahám Xavér Antal Dávid Árva Norbert Ákos Baranyai Dóra Eszter Bende Timea Ivette Biró Mátyás Bisericaru Andreas Borsi Evetke Brotea János Bucescu Andreea Blanka Dancea Daniel Deé-Lukács Gergely Divin Judit Farkas Krisztina-Diana Ferencz Eszter Fogarasi András Fuci Anita Grancsa Robert Gulyasy Alexandru Hiriczkó Dávid Kása Baumli Dávid Kelemen Katalin Borostyán Kerekes Norbert Kéry Alexandra Regina Kiss Ábel Kocsis Brigitta Edina Kotró Kosztándi Anna Kováts Álmos Botond Lackó Csongor Lackó Petra Liskai Krisztián Ludescher Júlia Mátyás András Mátyus Bence Mészár Anna Orsolya Molnár Dávid Moroşanu Norbert Muszka Csaba Nagy Kitti Nagy Lenard

Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Líceum, Kovászna Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Báthory István Általános Iskola, Medgyes Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Brassó Baczkamadarasi Kis Gergely Református Gimnázium, Székelyudvarhely Művészeti Líceum, Marosvásárhely Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Nicolae Titulescu Általános Iskola, Kolozsvár Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Andrei Mureșanu Főgimnázium, Beszterce F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti 1-es sz. Általános Iskola, Marosludas Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bălcescu- Petőfi Általános Iskola, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Báthory István Általános Iskola, Medgyes Josephus Calasantius Római Katolikus Líceum, Nagykároly Iuliu Maniu Általános Iskola, Zilah Szállítási Szakkollégium, Felsőbánya 24

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 2014 Nagy Mátyás Orbán Emese Orbán Tímea Ördög Kinga Orosz Katalin Osváth Tamás Pap Richard - Zoltán Péter Ákos Popa Andrei Prunache Anna Eveline Rokaly Barna Sikó Debóra Simon Zsók Anett Szabó Lóránd Tóth Tibor-Richárd Veres Vivien Alexandra Vernes Dávid László Vitus Szabolcs

Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár 2-es sz. Általános Iskola, Brassó József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Kiss Ferenc Általános Iskola, Csíkmadaras Andrei Mureșanu Főgimnázium, Beszterce Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Fogarasy Mihály Általános Iskola, Gyergyószentmiklós Művészeti Líceum, Marosvásárhely Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy

VI. osztály Ambarus Egyed Ágnes Anderlik Patrik Bereczki-Orbán András Boros Csaba Borsai Erwin Bronţ Zsanett Csabai Anita Csibi Alexandra Csutak Dávid Damokos Beatrix Dobos Ervin Farkas Bence Fekete Agnes Fodor Orsolya Szilvia Galaczi Jácinta Gittinger András Győrfi Orsolya Havas Panna Jakab Etele Józsa Kriszta Kantor Éva-Andrea Kéry Imola Vivien Kiss Andrea-Tímea Kocsis Boglarka Kovacs Edgar Vilmos

János Zsigmond Elméleti Líceum, Kolozsvár Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Baczkamadarasi Kis Gergely Református Gimnázium, Székelyudvarhely Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Arany János Elméleti Líceum, Nagyszalonta 2-es sz. Általános Iskola, Brassó Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Református Líceum, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Kölcsey Ferenc Nemzeti Kollégium, Szatmárnémeti Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Brassó Művészeti Líceum, Marosvásárhely F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad Konsza Samu Általános Iskola, Nagybacon Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Apáczai Csere János Elméleti Líceum, Kolozsvár 25

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 2014 Kovács Sándor Kristó Roland Krivosik Alpár Kundi Ilona Lepedus Erzsébet Lőrincz Bálint-Imre Lőrincz Róbert Mészáros Letitia-Izabela Miklós Csenge Miklós Dóra Militaru Júlia Mózsa Attila Ördög Hunor Pallai Hunor Pap Gyopár Pop Kriszta Posta Csanád Roth Apor Scram-Deák Péter Seres Brigitta Simó Szabolcs Simon Katalin Spier Rebeka Petra Szabó Dóra-Renáta Szabó Thalmeiner Bence Szász Zsolt Szegedi Dóra Tamás Noémi Tök-Dietrich Norbert Török Andrea Trombitas Erzsebet Dorottya Vass Annamária Vicsi Márk Zöldi Tamás-Botond

Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Liviu Rebreanu Általános Iskola, Csíkszereda Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Tálentum Református Általános Iskola, Kolozsvár Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 16-os sz. Általános Iskola, Nagyvárad Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mózes Általános Iskola, Lövéte Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Líceum, Kovászna Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Palló Imre Művészeti Líceum, Székelyudvarhely Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Gaál Mózes Általános Iskola, Barót Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely Általános Iskola, Árpástó Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely

VII. osztály Bács Tamás Balázs-Bécsi Anna Busch Szabó Anna Csegezi Balázs Csongor Csomay Eszter Csutak Zsolt Daczó Dávid Darlaczi Zoltan Attila

Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Nagy István Művészeti Líceum, Csíkszereda Orbán Balázs Elméleti Líceum, Székelykeresztúr Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad 2-es sz. Általános Iskola, Brassó Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Általános Iskola, Szentmáté 26

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 2014 Decsei Barbara Erdei Csongor Fazakas Borbála Füstös Ferenc Garfield Adrienne Harkay Gabriella Horgos Patrick Katona Hunor Kelemen Hunor Kerekes Krisztina Keresztes Beáta Knobloch Esztergár Péter Kozman Botond Kurunczi Viktória Kutnik Andrea Virág Lukács Márton Örs Marica Edina Márton Vazul Nagy Örs Oláh Tibor Dávid Péter Anna Fanni Péter István Pop Brigitta Popa-Müller Viktor Dávid Rancz Máté Salánki Miklós Sallai Tamás Levente Soós Márton Szép Bence Szolomaier Noémi Tamás Benedek Tamás Nándor-Károly Tempfli Levente Tóth Dóra Vigh Viktória Enikó Virág Thekla-Mária

Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Kolozsvár Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár János Zsigmond Elméleti Líceum, Kolozsvár Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Horváth János Elméleti Líceum, Marghita Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Petőfi Sándor Általános Iskola, Kézdivásárhely Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Nagy István Művészeti Líceum, Csíkszereda Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Brassó Petőfi Sándor Általános Iskola, Csíkszereda Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta Petőfi Sándor Általános Iskola, Csíkszereda Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Zajzoni Rab István Elméleti Líceum, Négyfalu Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Kelemen Didák Általános Iskola, Kézdialmás Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk

VIII. osztály Agócs Henrietta Bakó Bence Bálint Hunor Baranyai István Dávid Bartis Zsolt Bauer Artur Beke Viktória Kincső

Horváth János Horváth János, Margitta Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Márton Áron Elméleti Líceum, Csíkszereda Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Horváth János Horváth János, Margitta 27

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 2014 Béres-Duha Csongor Borcsa Hunor Dáni Eszter Demeter Ábel Fekete Dániel Finta Klara-Enikő Harkó Csanád Hegyi Boglárka Iuhas Erik - Ovidiu Jakab Júlia Kacsó Péter-Gábor Katona-Bugner Attila Krisztián Mag Róbert Mátyás Gergely-Péter Ördög Ákos Ördög Zoltán Osváth Tamás Petres Sára Portik Kriszta Skapinyák Szilárd Sneff Gertrude Soós Roland Stelczner Norbert Szabó Liza Szasz Helga Széles Roland Edvin Szőcs Orsolya Szonda Blanka Udvari Roberrt Vinczi Richard Vita Henrietta Zsámbok Emese Mária

Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely János Zsigmond Elméleti Líceum, Kolozsvár Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Jósika Miklós Elméleti Líceum, Torda Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Apáczai Csere János Elméleti Líceum, Kolozsvár Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely József Attila Általános Iskola, Csíkszereda József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen Avram Iancu Sportiskola, Zilah Kiss Ferenc Általános Iskola, Csíkmadaras Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Matei Corvin Technikai Kollégium, Vajdahunyad Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár 2-es sz. Általános Iskola, Brassó Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Báthory István Általános Iskola, Medgyes Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Általános Iskola, Zimándújfalu

28


EREDMÉNYEK V. osztály eredmények

Sorszám 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Név

Iskola

Josephus Calasantius Római Katolikus Líceum, Nagykároly Székely Mikó Elméleti Líceum, Ferencz Eszter Sepsiszentgyörgy József Attila Általános Iskola, Mátyás András Csíkszereda Árva Norbert Ákos Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Székely Mikó Elméleti Líceum, Lackó Csongor Sepsiszentgyörgy Nicolae Titulescu Általános Iskola, Fogarasi András Kolozsvár Kiss Ferenc Általános Iskola, Péter Ákos Csíkmadaras Székely Mikó Elméleti Líceum, Kotró Kosztándi Anna Sepsiszentgyörgy Báthory István Elméleti Líceum, Biró Mátyás Kolozsvár Divin Judit Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad József Attila Általános Iskola, Ördög Kinga Csíkszereda Bucescu Andreea Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Blanka Brassó Mészár Anna Orsolya Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Bende Timea Ivette Líceum, Kovászna Bartók Béla Elméleti Líceum, Orosz Katalin Temesvár Andrei Mureșanu Főgimnázium, Popa M. Andrei Beszterce Nagy Imre Általános Iskola, Nagy Mátyás Csíkszereda Sikó Debóra Művészeti Líceum, Marosvásárhely Báthory István Általános Iskola, Bisericaru Andreas Medgyes Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Ludescher Júlia Marosvásárhely Báthory István Elméleti Líceum, Orbán Emese Kolozsvár Borsi Evetke Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Muszka Csaba

29

Pontszám 49 47 45 44 44 43 42 41 40 40 40 39 39 37 36 36 35,5 34 33 33 33 32

Minisztériumi EMMV díj díj I. díj

I. díj

II. díj

I. díj

III. díj

I. díj

Dicséret

II. díj

Dicséret

II. díj

Dicséret

III. díj

Dicséret

III. díj

Dicséret

III. díj Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret


23

Kiss Ábel

24

Kocsis B.Brigitta Edina

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

1-es sz. Általános Iskola, Marosludas Székely Mikó Elméleti Líceum, Lackó Petra Sepsiszentgyörgy Bălcescu- Petőfi Általános Iskola, Liskai Krisztián Szatmárnémeti Nagy Kitti Iuliu Maniu Általános Iskola, Zilah Báthory István Elméleti Líceum, Szabó Lóránd Kolozsvár Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Simon Zsók Anett Sepsiszentgyörgy Deé-Lukács Gergely Művészeti Líceum, Marosvásárhely Baczkamadarasi Kis Gergely Református Gimnázium, Dancea Daniel Székelyudvarhely Farkas KrisztinaSzékely Mikó Elméleti Líceum, Diana Sepsiszentgyörgy Kelemen Katalin Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Borostyán Marosvásárhely Hám János Római Katolikus Teológiai Kováts Álmos Botond Líceum, Szatmárnémeti Nagy Lenard Rokaly Barna Veres Vivien Alexandra Gulyasy Alexandru

39

Kása Baumli Dávid

40

Moroşanu Norbert

41 42 43 44 45 46 47

10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti

Brotea János Tóth Tibor-Richárd

Mátyus Bence Antal Dávid Prunache Anna Eveline Vitus Szabolcs Hiriczkó Dávid

Szállítási Szakkollégium, Felsőbánya Fogarasy Mihály Általános Iskola, Gyergyószentmiklós Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Báthory István Általános Iskola, Medgyes Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah 30

32 31 31 31 31 31 29 28 27 27 26 26 26 26 26 25 25 25 24 23 22 21 21 21 20


48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

Pap Richard - Zoltán

Vernes Dávid László Kerekes Cs. Norbert Osváth Tamás Molnár Dávid Baranyai Dóra Eszter Orbán Tímea Grancsa Robert Ábrahám Xavér Kéry Alexandra Regina

Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Andrei Mureșanu Főgimnázium, Beszterce Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti 2-es sz. Általános Iskola, Brassó Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad

31

20 20 19 19 18 14 14 12 8 8


VI. osztály eredmények Sorszám 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Név

Iskola

Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Miklós Csenge Sepsiszentgyörgy Liviu Rebreanu Általános Iskola, Kristó Roland Csíkszereda János Zsigmond Elméleti Líceum, Ambarus Egyed Ágnes Kolozsvár Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Mózsa Attila Marosvásárhely Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Józsa Kriszta Brassó Székely Mózes Általános Iskola, Miklós Dóra Lövéte Nagy Imre Általános Iskola, Csibi Alexandra Csíkszereda Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Szabó Dóra-Renáta Marosvásárhely Konsza Samu Általános Iskola, Kiss Andrea-Tímea Nagybacon Hám János Római Katolikus Boros Csaba Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Jakab Etele Marosvásárhely Kantor Éva-Andrea Művészeti Líceum, Marosvásárhely Tamási Áron Elméleti Líceum, Vass Annamária Székelyudvarhely Fodor Orsolya Szilvia Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Kocsis Boglarka Marosvásárhely Apáczai Csere János Elméleti Kovacs Edgar Vilmos Líceum, Kolozsvár Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Vicsi Márk Zilah Bartók Béla Elméleti Líceum, Militaru Júlia Temesvár Székely Mikó Elméleti Líceum, Tök-Dietrich Norbert Sepsiszentgyörgy Hám János Római Katolikus Lepedus Erzsébet Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Székely Mikó Elméleti Líceum, Csutak Dávid Sepsiszentgyörgy Ady Endre Elméleti Líceum, Kovács Sándor Nagyvárad Roth Apor

32

Pontszám 59 58 48 42 42 41 41 39 39 37,5 35,5 34 32,5 32,5 31,5 31,5 31 30 28,5 28,5 26,5 25 25

Minisztériumi EMMV díj díj I. díj

I. díj

II. díj

I. díj

III. díj

II. díj

Dicséret

III. díj

Dicséret

III. díj

Dicséret

Dicséret

Dicséret

Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret


24 25 26 27 28

Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Líceum, Kovászna Bethlen Gábor Általános Iskola, Scram-Deák Péter Székelyudvarhely Ady Endre Elméleti Líceum, Simon Katalin Bukarest 16-os sz. Általános Iskola, Nagyvárad Lőrincz Bálint-Imre Baczkamadarasi Kis Gergely Bereczki-Orbán András Református Gimnázium, Székelyudvarhely Pap Gyopár

29

Dobos Ervin

30

Spir Rebaka Petra

31

Győrfi Orsolya

32

Farkas Bence

33

Kundi Ilona

34

Pop Kriszta

35

Lőrincz Róbert

36

Pallai Hunor

37

Zöldi Tamás-Botond

38

Simó Szabolcs

39

Szegedi Dóra

40

Fekete Agnes

41

Damokos Beatrix

42

Szász Zsolt

43

Seres Brigitta

44

Török Andrea

45

Krivosik Alpár

46

Posta Csanád

47

Szabó Thalmeiner Bence

Református Líceum, Szatmárnémeti Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Kölcsey Ferenc Nemzeti Kollégium, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tálentum Református Általános Iskola, Kolozsvár Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Gaál Mózes Általános Iskola, Barót Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Palló Imre Művészeti Líceum, Székelyudvarhely Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti

33

25 25 25 24,5 24 24 24 23,5 22,5 22,5 22 21,5 21 21 20,5 20 19 18,5 18 17 17 16,5 16,5 16


48

Gittinger András

49

Bronţ Zsanett

50

Mészáros LetitiaIzabela

51

Havas Panna

52

54

Anderlik Patrik Trombitas Erzsebet Dorottya Borsai Erwin

55

Csabai Anita

56

Kéry Imola Vivien

57

Tamás Noémi

58

Galanczi Jácinta

59

Ördög Hunor

53

Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Arany János Elméleti Líceum, Nagyszalonta Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Általános Iskola, Árpástó Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 2-es sz. Általános Iskola, Brassó F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen

34

15,5 15 15 12 11 11 10,5 10 9 7,5 7 6,5


VII. osztály eredmények Sorszám 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Név

Iskola

Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Kelemen Didák Általános Iskola, Tamás Nándor-Károly Kézdialmás János Zsigmond Elméleti Líceum, Garfield Adrienne Kolozsvár Nagy Imre Általános Iskola, Rancz Máté Csíkszereda Erdei Csongor Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Nagy István Művészeti Líceum, Lukács Márton Örs Csíkszereda József Attila Általános Iskola, Péter István Csíkszereda Kurunczi Viktória Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Marica Edina Brassó Tamási Áron Elméleti Líceum, Nagy Örs Székelyudvarhely Popa-Müller Viktor Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Dávid Marosvásárhely Salánki Miklós Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Hám János Római Katolikus Tempfli Levente Teológiai Líceum, Szatmárnémeti József Attila Általános Iskola, Márton Vazul Csíkszereda Nagy István Művészeti Líceum, Balázs-Bécsi Anna Csíkszereda Petőfi Sándor Általános Iskola, Kozman Botond Kézdivásárhely S. Illyés Lajos Általános Iskola, Tóth Dóra Szováta Báthory István Elméleti Líceum, Füstös Ferenc Kolozsvár Horváth János Elméleti Líceum, Horgos Patrick Marghita Báthory István Elméleti Líceum, Katona Hunor Kolozsvár Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Sallai Tamás Levente Zilah Nagy Imre Általános Iskola, Tamás Benedek Csíkszereda Fazakas Borbála

35

Pontszám Minisztériumi díj 52 46 45 44 42 40 40 37 34 34 34 34 33 32 31 31 28 27 27 26 26 26

EMMV díj

I. díj

I. díj

II. díj

II. díj

III. díj

II. díj

Dicséret

II. díj

Dicséret

II. díj

Dicséret

III. díj

Dicséret

III. díj Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret


23 24 25 26 27 28 29

Csutak Zsolt Daczó Dávid Péter Anna Fanni Bács Tamás Harkay Gabriella Keresztes Beáta Csomay Eszter

30

Knobloch Esztergár Péter

31

Szép Bence

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Decsei Barbara Oláh Tibor Dávid Pop Brigitta Kutnik Andrea Virág Darlaczi Zoltan Attila Kelemen Hunor

Kerekes Krisztina Szolomaier Noémi Vigh Viktória Enikó Csegezi Balázs Csongor Virág Thekla-Mária

2-es sz. Általános Iskola, Brassó Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Kolozsvár Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Általános Iskola, Szentmáté Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk

36

25 25 25 24 24 24 21 20 19 18 18 18 17 15 15 15 12 11 10 7


VIII. osztály eredmények

Sorszám

Név

1

Baranyai István Dávid

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Iskola

10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Bartók Béla Elméleti Líceum, Szabó Liza Temesvár Nagy Mózes Elméleti Líceum, Dáni Eszter Kézdivásárhely Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Vita Henrietta Marosvásárhely Báthory István Elméleti Líceum, Szőcs Orsolya Kolozsvár Osváth Tamás Avram Iancu Sportiskola, Zilah Tamási Áron Elméleti Líceum, Bartis Zsolt Székelyudvarhely Székely Mikó Elméleti Líceum, Bálint Hunor Sepsiszentgyörgy Katona-Bugner Attila Apáczai Csere János Elméleti Líceum, Krisztián Kolozsvár Váradi József Általános Iskola, Bakó Bence Sepsiszentgyörgy János Zsigmond Elméleti Líceum, Finta Klara-Enikő Kolozsvár Kiss Ferenc Általános Iskola, Petres Sára Csíkmadaras Horváth János Elméleti Líceum, Agócs Henrietta Marghita Bethlen Gábor Általános Iskola, Fekete Dániel Székelyudvarhely József Attila Általános Iskola, Ördög Ákos Csíkszereda Iuhas Erik - Ovidiu Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Jakab Júlia Jósika Miklós Elméleti Líceum, Torda Kacsó Péter-Gábor Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Széles Roland Edvin Zilah Székely Mikó Elméleti Líceum, Harkó Csanád Sepsiszentgyörgy Váradi József Általános Iskola, Demeter Ábel Sepsiszentgyörgy József Attila Általános Iskola, Mátyás Gergely-Péter Csíkszereda Florea Bogdan Általános Iskola, Portik Kriszta Szászrégen

37

Pontszám 48 47 44 35 34 33 29,5 29 27 26,5 25 25 24,5 24 23 21,5 21 19 19 17,5 17 17 17

Minisztériumi díj

EMMV díj

I. díj

I. díj

II. díj

I. díj

III. díj

II. díj

Dicséret

III. díj

Dicséret

Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret Dicséret


24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Váradi József Általános Iskola, Borcsa Hunor Sepsiszentgyörgy Nicolae Iorga Általános Iskola, Szasz Helga Nagybánya Hegyi Boglárka Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Tamási Áron Elméleti Líceum, Mag Róbert Székelyudvarhely Matei Corvin Technikai Kollégium, Stelczner Norbert Vajdahunyad Udvari Robert Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Báthory István Általános Iskola, Vinczi Richard Medgyes Horváth János Elméleti Líceum, Beke Viktória Kincső Marghita Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Béres-Duha Csongor Marosvásárhely Florea Bogdan Általános Iskola, Ördög Zoltán Szászrégen Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Soós Roland Zilah Hám János Római Katolikus Teológiai Skapinyák Szilárd Líceum, Szatmárnémeti Nicolae Iorga Általános Iskola, Bauer Artur Nagybánya Zajzoni Rab István Elméleti Líceum, Soós Márton Négyfalu Szonda Blanka 2-es sz. Általános Iskola, Brassó Zsámbok Emese Általános Iskola, Zimándújfalu Mária Sneff Gertrude

38

16,5 16 15,5 14 13,5 13,5 13,5 13,5 12,5 12,5 12,5 11 10,5 10 9,5 9,5 8


A versenyen résztvevő tanárok névsora Nagy Enikő Tamási Csaba Ujlaki Zita Székely Éva Kóbori Annamária Gödri Judith Dáni Zsuzsa Hodgyai Edit Nagy Örs Tankó Mihály Forgács István Spier Tunde Polcz Zita Erdei Sándor Fodor Erika Ugron Szabolcs Téglás Anna Ilona Tempfli Gabriella András Ibolya Molnár Klára Csikai Ildikó Ördög Zoltán József Madaras Beáta – Enikő Kiss Mihály András Durugy Erika Szebeni Klára Székely Tivadar Faluvégi Melánia Fülöp Edit Albert Etelka

Szent László Római Katolikus Teológiai Líceum, Nagyvárad Márton Áron Elméleti Líceum, Csíkszereda Nicolae Iorga Általános Iskola , Nagybánya Báthory István Általános Iskola, Medgyes Bethlen Gabor Főgimnázium, Nagyenyed Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Dani Gergely Általános Iskola , Gyimesbükk Kölcsey Ferenc Főgimnázium, Szatmárnémeti Csiky Gergely Főgimnázium, Arad Hám János Római Katolikus Líceum, Szatmárnémeti Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Andrei Muresanu Főgimnázium, Beszterce Konsza Samu Általános Iskola, Nagybacon 1-es sz. Általános Iskola, Marosludas Bălcescu- Petőfi Általános Iskola, Szatmárnémeti Tamási Áron Elméleti Líceum, Szekelyudvarhely Petőfi Sándor Általános Iskola , Csíkszereda József Attila Általános Iskola , Csíkszereda Florea Bogdan Általános Iskola , Szászrégen S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta M. Corvin Szakkollégium, Vajdahunyad Téglás Gábor Elméleti Líceum, Torda Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Báthory István Általános Iskola, Medgyes Silvania Főgimnázium, Zilah Áprily Lajos Főgimnázium, Brassó Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár

39


A VERSENY SZERVEZÉSÉBEN RÉSZT VÁLLALTAK dr.Bálint István - igazgató Horváth Gabriella - igazgatóhelyettes György Gabriella Horváth Éva Mátéfi István Simon János Szilágyi Emőke Stan Ágota Barabás Miklós Dávid Anikó Szitai Tünde László József Hajdu Zoltán Oniga Erika Bolyai Farkas Elméleti Líceum - néptánccsoportja - IV. osztályos diákjai - Kájoni János Furulyakör - szervezésben részt vállaló diákjai

Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas Bolyai Farkas történész

Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Bolyai Farkas Elméleti Líceum munkaközössége

40

Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti Elméleti

Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum, Líceum,

Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely Marosvásárhely


Támogatóink: A Román Tanügyminisztérium

A Marosvásárhelyi Polgármesteri Hivatal

A Maros Megyei Tanfelügyelőség

Balassi Intézet, Budapest

Bolyai Farkas Elméleti Líceum

41


Tartalom Műszaki szerkesztés: ............................................................................................................................... 4 A feladatokat összeállító versenybizottság tagjai: .................................................................................. 4 A versenybizottság tagjai......................................................................................................................... 4 Előszó....................................................................................................................................................... 5 Feladatsorok ............................................................................................................................................ 6 V. osztály ............................................................................................................................................. 6 VI. osztály ............................................................................................................................................ 7 VII. osztály ........................................................................................................................................... 8 VIII. osztály .......................................................................................................................................... 9 Megoldások ........................................................................................................................................... 10 V. osztály ........................................................................................................................................... 10 VI. osztály .......................................................................................................................................... 13 VII. osztály ......................................................................................................................................... 15 VIII. osztály ........................................................................................................................................ 19 A versenyen résztvevő diákok névsora ................................................................................................. 24 V. osztály ........................................................................................................................................... 24 VI. osztály .......................................................................................................................................... 25 VII. osztály ......................................................................................................................................... 26 VIII. osztály ........................................................................................................................................ 27 EREDMÉNYEK ........................................................................................................................................ 29 A versenyen résztvevő tanárok névsora ............................................................................................... 39 A VERSENY SZERVEZÉSÉBEN RÉSZT VÁLLALTAK .................................................................................... 40 Támogatóink:......................................................................................................................................... 41

42

ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE. Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely. Feladatok és megoldások

Recommend Documents