Proceedings of International Scientific Conference of FME Session 4: Automation Control and Applied Informatics
Paper 45
Robustnost regulátorů PI a PID VÍTEČKOVÁ, Miluše Doc. Ing., CSc.,
katedra ATŘ, FS VŠB-Technická univerzita Ostrava,17. listopadu 15,
708 33 Ostrava-Poruba,
e-mail:
[email protected],
Abstrakt: Příspěvek je věnován ověření robustnosti analogových regulátorů PI a PID seřízených metodou inverze dynamiky pro regulované soustavy proporcionální aperiodické s dopravním zpožděním. Jsou sledována tři různá kritéria kvality regulačního pochodu při změnách parametrů regulované soustavy až o ± 50%. Je ukázáno, že oba typy regulátorů PI a PID seřízených metodou inverze dynamiky vykazují dostatečně vysokou robustnost. Klíčová slova: robustnost, metoda inverze dynamiky, dopravní zpoždění
1 Úvod Syntéza regulačních obvodů s dopravním zpožděním patří mezi náročné problémy aplikované teorie automatického řízení. Jedním z přístupů, který efektivně řeší problém regulace soustav i s dominantním dopravním zpožděním, je metoda inverze dynamiky (Vítečková 1998, Vítečková 1999). Příspěvek je věnován ověření robustnosti standardních lineárních regulátorů PI a PID seřízených metodou inverze dynamiky pro regulované soustavy s dopravním zpožděním.
2 Metoda inverze dynamiky Pro ověření robustnosti PI a PID regulátorů seřízených metodou inverze dynamiky byly vybrány dvě regulované soustavy proporcionální aperiodické s dopravním zpožděním. V tab. 1 jsou uvedeny přenosy regulovaných soustav GS a odpovídajících doporučených regulátorů GR, kde k1 je zesílení regulované soustavy, Ti – setrvačné časové konstanty, Tdi – dopravní zpoždění, i – řád regulované soustavy (i = 1, 2), kP – zesílení regulátoru, TI – integrační časová konstanta, TD – derivační časová konstanta. Tab. 1 Type
G R (s )
GS (s )
1
PI
1 k P 1 + TI s
k1 e −Td 1s T1 s + 1
2
PID
1 k P 1 + + TD s TI s
k1
(T2 s + 1)
2
e −Td 2 s
Vztahy pro výpočet stavitelných parametrů regulátorů metodou inverze dynamiky jsou (Vítečková 1998, Vítečková 1999): k T* (1) PI regulátor: TI* = T1 k P* = o I , k1
PID regulátor:
k P* =
k oTI* , k1
(2)
TD* = 0,25TI* .
TI* = 2T2 ,
V uvedených vztazích je ko zesílení otevřeného regulačního obvodu, které zajistí požadovaný relativní překmit κ přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu při skokové změně polohy žádané veličiny nebo poruchové veličiny působící na výstupu regulované soustavy. Toto zesílení je dáno vztahem ko =
1 , βTdi
(3)
ve kterém koeficient β je dán tab. 2. Tab. 2.
κ β
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
2,718 1,944 1,720 1,561 1,437 1,337 1,248 1,172 1,104 1,045 0,992
3 Ověření robustnosti Pro ověření robustnosti regulačního obvodu byla použita dvě integrální kritéria: absolutní regulační plocha I1 =
tmax
(4)
∫ e(t ) dt 0
a ITAE I2 =
tmax
(5)
∫ t e(t ) dt , 0
kde e je regulační odchylka, tmax – doba ustálení, pro kterou platí e(t max ) ≈ 0 .
(6)
Rovněž jako kritérium byl použit výchozí požadavek na požadovaný relativní překmit κ . Pro vlastní ověření robustnosti regulačního obvodu byly zvoleny dvě konkrétní regulované soustavy s dominantním dopravním zpožděním s nominálními přenosy (viz tab. 1) GS ( s ) = a G S (s) =
1 −10 s e , s +1 1 ( s + 1)
2
e −10 s ,
Tˆ1 = 1s ,
Tˆd 1 = 10 s
(7)
Tˆ2 = 1s ,
Tˆd 2 = 10s .
(8)
kde znak ∧ označuje nominální hodnotu. Byly uvažovány změny nominálních hodnot parametrů Tˆi a Tˆdi o ± 50% pro regulační pochody s κ = 0 a κ = 0,1 , tj.
Ti = γTˆi ; Tdi = δTˆdi ;
γ = 0,5; 0,75; 1; 1,25; 1,5 ;
(9)
δ = 0,5; 0,75; 1; 1,25; 1,5 .
(10)
Ověřování vlivu změn parametrů Ti a Tdi na integrální kritéria (4), (5) a překmit bylo provedeno pomocí simulačního programu SIPRO (Farana 1996). Jako nezávisle proměnná byla zvolena δ , protože její změny měly na sledovaná kritéria zásadní vliv. PI regulátor a) Požadovaný relativní překmit κ = 0 (obr. 1) Doba ustálení t max = 300 s. Obr. 1a, 1c ukazují, že pro hodnoty δ , γ ≤ 1 hodnota integrálního kritéria (4) je přibližně konstantní a překmit nulový. Z obr. 1b vyplývá, že při seřízení regulátoru typu PI na mezní aperiodický pochod ( κ = 0 ) je současně přibližně minimalizováno integrální kritérium ITAE. abs. r. pl. 34
32
30 gama = 0,5 gama = 0,75 gama = 1 gama = 1,25 gama = 1,5
28
26
24
22 0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
Obr. 1a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PI a kapa = 0
ITAE
1,5
1,6 delta
700
650
600
550 gama=0.5 gama = 0.75 gama =1 gama = 1.25 gama = 1.5
500
450
400
350
300 0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
Obr. 1b. ITAE s regulátorem PI a kapa = 0
1,4
1,5
1,6 delta
h 1,14
1,12
1,1
1,08
gama = 0,5 gama = 0,75 gama = 1 gama = 1,25 gama = 1,5
1,06
1,04
1,02
1
0,98 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Obr. 1c. Maximální hodnota přechodové charakteristiky s PI regulátorem a kapa = 0
1,6 delta
b) Požadovaný relativní překmit κ = 0,1 (obr. 2) Doba ustálení t max = 300 s. Obr. 2a ukazuje, že hodnota integrálního kritéria (4) pro δ , γ ≥ 0,5 přibližně kvadraticky roste. Na obr. 2b kritérium ITAE nabývá pro 0,5 ≤ γ ≤ 1,5 v rozmezí 0,7 ≤ δ ≤ 0,8 minima. Lze proto usuzovat, že při požadovaném relativním překmitu κ = 0,1 lze současně přibližně minimalizovat hodnotu kritéria ITAE, pokud pro určení zesílení regulátoru kP bude uvažována zvýšená hodnota dopravního zpoždění v rozmezí (1,25 ÷ 1,43)Td1 . Z průběhů na obr. 2c vyplývá, že pro δ < 0,7 regulační pochod je prakticky aperiodický bez překmitu.
abs. r. pl. 45
40
35 gama = 0,5 gama = 0,75 gama = 1 gama = 1,25 gama =1,5
30
25
20
15 0,4
0,6
0,8
1
1,2
Obr. 2a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PI a kapa = 0,1
1,4
1,6 delta
ITAE 1600
1400
1200
1000 gama = 0,5 gama = 0.75 gama = 1 gama 1.25 gama = 1,5
800
600
400
200
0 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Obr. 2b. ITAE s regulátorem PI a kapa = 0,1
1,6 delta
h 1,5
1,4
1,3 gama = 0.5 gama = 0.75 gama = 1 gama = 1.25 gama = 1.5
1,2
1,1
1
0,9 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Obr. 2c. Maximální hodnota přechodové chatakteristiky s PI regulátorem a kapa = 0,1
1,6 delta
PID regulátor a) Požadovaný relativní překmit κ = 0 (obr. 3) Doba ustálení t max = 300 s. Z obr. 3 a ÷ 3 c vyplývají podobné závěry jako v případě PI regulátoru při relativním překmitu κ = 0 . Pouze minimum hodnoty kritéria ITAE je více závislé na obou hodnotách δ i γ .
abs. r. pl. 35 34 33 32 31
gama = 0.5 gama = 0.75 gama = 1 gama =1.25 gama = 1.5
30 29 28 27 26 25 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Obr. 3a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PID a kapa = 0
1,6 delta
ITAE 800
750
700
650 gama = 0.5 gama = 0.75 gama = 1 gama = 1.25 gama = 1.5
600
550
500
450
400 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Obr. 3b. ITAE s regulátorem PID a kapa = 0
h
1,6 delta
1,12
1,1
1,08
gama=0,5 gama=0,75 gama=1 gama=1,25
1,06
1,04
gama=1,5
1,02
1
0,98 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Obr. 3c. Maximální hodnota přechodové charakteristiky s PID regulátorem a kapa = 0
1,6 delta
b) Požadovaný relativní překmit κ = 0,1 (obr. 4) Doba ustálení t max = 300 s. Rovněž i v tomto případě z obr. 4 lze učinit podobné závěry jako v případě PI regulátoru při κ = 0,1 . Z obr. 4b vyplývá, že minimum hodnoty kritéria ITAE vystupuje pro 0,5 ≤ γ ≤ 1,5 přibližně v rozmezí 0,6 ≤ δ ≤ 0,7 , tj. pokud je žádoucí minimalizovat kritérium ITAE, je vhodné pro výpočet zesílení regulátoru kP použít zvýšenou hodnotu dopravního zpoždění v rozmezí (1,43 ÷ 1,67)Td 2 . abs. r. pl. 45
40
35 gama = 0.5 gama = 0.75 gama = 1 gama = 1.25 gama = 1.5
30
25
20
15 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6 delta
Obr. 4a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PID a s kapa = 0,1
ITAE 1800
1600
1400
1200 gama = 0.5 gama = 0.75 gama = 1 gama = 1.25 gama = 1.5
1000
800
600
400
200
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Obr. 4b. ITAE s regulátorem PID a kapa = 0,1
1,2
1,4
1,6 delta
h 1,5
1,4
1,3
gama = 0.5 gama = 0.75 gama = 1 gama = 1.25 gama = 1.5
1,2
1,1
1
0,9 0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6 delta
Obr. 4c. Maximální hodnota přechodové charakteristiky s PID regulátorem a kapa = 0,1
4 Závěr Jako nejnepříznivější se ukázala současná změna časové konstanty i dopravního zpoždění o +50%, což se předpokládalo. Všechny průběhy na obr. 1÷ 4 ukazují, že seřízení analogových regulátorů typu PI a PID metodou inverze dynamiky zajišťuje poměrně dostatečnou robustnost regulačních obvodů. Je to velmi důležité především z praktického hlediska. Proto lze očekávat, že seřizování regulačních obvodů metodou inverze dynamiky najde své uplatnění v technické praxi. Příspěvek vznikl za podpory projektů MSM 272300012 a GAČR 102/00/0186.
Literatura FARANA, R.: Univerzální simulační program SIPRO 3.4. Uživatelská příručka FS VŠB-TU Ostrava, 1996. VÍTEČKOVÁ, M.: Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. Skripta FS VŠB-TU Ostrava, 1998. VÍTEČKOVÁ, M.: Seřízení číslicových i analogových regulátorů pro regulované soustavy s dopravním zpožděním. Automatizace r. 42, č. 2, únor 1999, str. 106-111.
