RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni

KMA/ZM1 Pˇ redn´ aˇ sky ˇ RNDr. Blanka Sediv´ a, PhD. Katedra matematiky FAV Západoˇceská univerzita v Plzni [email protected]

Obsah 0.1

Matematické objekty, matematické definice, matematické vˇety . . . . . . . . . . . . . .

1 Mnoˇ zina a operace s mnoˇ zinami 1.1 Definice základn´ıch mnoˇzinov´ ych pojm˚ u . . . . . . ˇ 1.2 C´ıselné mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Operace s mnoˇzinami, Vénnovy diagramy . . . . . . 1.5 Omezenost mnoˇzin, maximum a minimum mnoˇziny, 1.6 Pˇrehled pouˇz´ıvan´ ych symbol˚ u . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . .

5 5 5 7 7 9 13

s posloupnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 15 15 17 19 20

3 Nekoneˇ cn´ eˇ rady re´ aln´ ych ˇ c´ısel 3.1 Základn´ı vlastnosti ˇc´ıseln´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Pˇr´ıklady ˇc´ıseln´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Konvergence ˇc´ıseln´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 22 24

4 Z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı 4.1 Reálná funkce f reálné promˇenné x . . . . . . . 4.2 Operace s funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vlastnosti funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Prostá funkce a inverzn´ı funkce . . . . . . . . . 4.5 Základn´ı typy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Lineárn´ı funkce f : y = a0 + a1 x . . . . 4.5.2 Kvadratická funkce f : y = a0 + a1 x + a2 4.5.3 Polynomické funkce x3 , x4 , x5 , . . . . . . . a0 + a1 x 4.5.4 Lineárn´ı lomené funkce f : y = b0 + b1 x 4.5.5 Exponenciáln´ı funkce f : y = ax . . . . .

26 26 26 30 33 34 35 36 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . supremum . . . . . .

. . . . a .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . infimum . . . . .

2 Posloupnosti re´ aln´ ych ˇ c´ısel 2.1 Definice posloupnosti, zadáván´ı posloupnosti, graf posloupnosti, operace 2.2 Operace s posloupnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vlastnosti posloupnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti . . . . . . . . . 2.5 Algebra limit posloupnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Pˇr´ıklady limit posloupnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . x2 . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mnoˇziny . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5.6 4.5.7

Logaritmické funkce f : y = logz (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Funkce s absolutn´ı hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Polynomy 5.1 Dˇelen´ı polynomu polynomem . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Hornerovo schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Odhady koˇren˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Racionáln´ı koˇreny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Odhad poˇctu reáln´ ych koˇren˚ u a jejich polohy . . . . . 5.3 Numerické metody odhadu reáln´ ych koˇren˚ u polynomu P (x) 5.4 Rozklad lomené racionáln´ı funkce na parciáln´ı zlomky . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

42 45 45 46 46 47 49 51

6 Vektory a vektorov´ y prostor 6.1 Vektorov´ y prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Voln´ y a vázan´ y vektor, podprostor vektorového prostoru . . . . . . . . 6.3 Báze vektorového prostoru a souˇradnice vektorového prostoru vzhledem 6.4 Skalárn´ı souˇcin vektor˚ u a norma vektoru, vektorov´ y souˇcin v R3 . . . .

. . k .

. . . . . . bázi . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

53 53 55 56 59

7 Matice - z´ akladn´ı pojmy a definice 7.1 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . 7.2 Determinant maticemi . . . . . . . . . . . 7.3 Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 V´ ypoˇcet inverzn´ı matice pomoc´ı Jordanovy

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61 62 65 70 70

o dvou neznám´ ych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

73 74 75 76 76 76 76 77 79 81

9 Analytick´ a geometrie 9.1 Analytická geometrie v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Smˇernicová, u ´seková, obecná a vektorová rovnice pˇr´ımky . . . . . . 9.1.2 Odchylka dvou pˇr´ımek a vzdálenost bodu od pˇr´ımky . . . . . . . . 9.1.3 Vzájemná poloha dvou pˇr´ımek v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Transformace kartézsk´ ych souˇradnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Analytická geometrie v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Obecná, u ´seková a parametrická rovnice roviny . . . . . . . . . . . 9.2.2 Odchylka dvou rovin, vzdálenost bodu od roviny, poloha dvou rovin

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

83 83 83 85 86 86 88 88 89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . eliminace

8 Soustava line´ arn´ıch rovnic 8.1 Grafické ˇreˇsen´ı soustavy dvou lineárn´ıch rovnic 8.2 Elementárn´ı u ´pravy matic a hodnost matice . ˇ 8.3 Reˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . 8.3.1 Graficky . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Substituˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . 8.3.3 Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou . . . . 8.3.4 Cramerov´ ym pravidlem . . . . . . . . . 8.3.5 Nalezen´ım inverzn´ı matice . . . . . . . 8.4 Homogenn´ı a nehomogenn´ı soustavy . . . . . .

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

9.2.3

Pˇr´ımka v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10 Limita funkce v bodˇ e x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞} 10.1 Definice limity funkce . . . . . . . . . . . 10.2 Vlastnosti limit funkc´ı . . . . . . . . . . 10.3 Nˇekteré limity vybran´ ych funkc´ı . . . . . 10.4 Neurˇcité v´ yrazy - speciáln´ı typy limit . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

91 91 97 98 99

11 Spojitost re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e 100 11.1 Spojitost v bodˇe x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Body nespojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.3 Spojitost funkce v uzavˇreném intervalu I = ha; bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12 Derivace re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e 103 12.1 Definice diferenˇcn´ıho pod´ılu a derivace a jejich geometrická interpretace . . . . . . . . . 103 12.2 Pravidla pro derivován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 12.3 Pˇrehled derivac´ı elementárn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 13 Vyuˇ zit´ı derivace 13.1 Stacionárn´ı body a vztah k lokáln´ım maxim˚ um a minim˚ um . . . . . . . 13.2 Vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe - nab´ yván´ı hodnot na uzavˇreném intervalu . . . 13.3 Vyuˇzit´ı derivac´ı pro v´ ypoˇcet limit - l´Hospitalovo pravidlo . . . . . . . 13.4 Vyuˇzit´ı derivac´ı pro urˇcován´ı rovnice teˇcen a rovnice normály . . . . . 13.5 Vyuˇzit´ı derivac´ı pro aproximaci funkce polynomem - Taylor˚ uv polynom

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

108 . 108 . 110 . 111 . 112 . 113

14 Vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce 115 14.1 Základn´ı pojmy d˚ uleˇzité pro pr˚ ubˇeh reálné funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 14.2 Postup pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a):

0.1

4

Matematick´ e objekty, matematick´ e definice, matematick´ e vˇ ety

Mezi základn´ı pojmy, se kter´ ymi se budeme ˇcasto potkávat jsou: Definice pojmu je charakteristika nˇejakého matematického jevu, charakteristika (vymezen´ı pojmu) mus´ı b´ yt jednoznaˇcná tak, abychom mohli rozhodnout, zda nˇejak´ y matematick´ y objekt definici vyhovuje nebo ne. Obvykle v definici vyjmenujeme vlastnosti, které matematick´ y objekt mus´ı m´ıt, abychom ho mohly oznaˇcovat pˇr´ısluˇsn´ ym pojmem. Vˇ eta (matematická vˇeta) je tvrzen´ı, které m˚ uˇzeme pomoc´ı dˇr´ıve zaveden´ ych definic a jednoduch´ ych logick´ ych u ´vah povaˇzovat za platné. Kaˇzdá vˇeta má svoje pˇredpoklady a dále vlastn´ı tvrzen´ı. Z hlediska logiky má tedy charakter: Kdyˇ z jsou splnˇ eny pˇ redpoklady . . . , pak plat´ı . . . . Jednoduché (snadno dokazatelné) vˇety se ˇcasto naz´ yvaj´ı tvrzen´ı nebo lemma. Vˇety, které jsou zaloˇzeny na základn´ıch (intuitivn´ıch) matematick´ ych pojmech, které nelze dokázat, naz´ yváme axiomy. D˚ ukaz je logick´ y postup, pomoc´ı kterého ovˇeˇrujeme platnost matematické vˇety. Pˇri d˚ ukazech se op´ıráme o principy v´ yrokové logiky, zaloˇzené na pojmu v´ yrok (cokoliv o ˇcem má smysl uvaˇzovat, zda je pravda nebo nen´ı pravda). V matematice pouˇz´ıváme logiku vyuˇz´ıvaj´ıc´ı pouze dva stavy: v´ yrok má smysl (pravdiv´ y v´ yrok) nebo v´ yrok nemá smysl (nepravdiv´ y v´ yrok). Pro sloˇzené v´ yroky budeme pouˇz´ıvat následuj´ıc´ı oznaˇcen´ı a z´ aroveˇ n znaˇc´ıme V1 ∧ V2 a slovnˇe interpretujeme plat´ı v´ yrok V1 a zároveˇ n v´ yrok V2“ ” nebo znaˇc´ıme V1 ∨ V2 a slovnˇe interpretujeme plat´ı v´ yrok V1 nebo v´ yrok V2 nebo plat´ı oba v´ yroky, ” tj. plat´ı alespoˇ n jeden z v´ yrok˚ u“ implikace znaˇc´ıme V1 ⇒ V2 a slovnˇe interpretujeme kdyˇz plat´ı v´ yrok V1 pak plat´ı v´ yrok V2“, ” POZOR pokud v´ yrok V1 neplat´ı mohou pro v´ yrok V2 nastat obˇe situace, tedy m˚ uˇze platit a nemus´ı ekvivalence znaˇc´ıme V1 ⇔ V2 a slovnˇe interpretujeme v´ yrok V1 plat´ı právˇe tehdy, kdyˇz plat´ı v´ yrok ” V2“ negace znaˇc´ıme V1 nebo non V1 a slovnˇe interpretujeme nen´ı pravda, ˇze V1“, hodnota v´ yrazu V1 ” nab´ yvá opaˇcn´ ych hodnot neˇz je hodnota v´ yrazu V1 ˇ Poznámka: Matematické vˇety maj´ı charakter implikac´ı nebo ekvivalenc´ı. Casto pˇri d˚ ukazech vyuˇz´ıváme toho, ˇze plat´ı V1 ⇒ V2 ⇔ non V2 ⇒ non V1

4

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami

1

5

Mnoˇ zina a operace s mnoˇ zinami

1.1

Definice z´ akladn´ıch mnoˇ zinov´ ych pojm˚ u

Zaveden´ı pojmu mnoˇzina je velice sloˇzité, my budeme pod pojmem mnoˇzina chápat souhrn matematick´ ych objekt˚ u, které maj´ı spoleˇcnou vlastnost a dokáˇzeme tyto objekty tedy vymezit. Je nezbytnˇe ˇ nutné, abychom VZDY dokázali rozhodnout, zda matematick´ y objekt je prvkem mnoˇziny nebo nen´ı prvkem mnoˇziny. Pouˇz´ıváme znaˇcen´ı • objekt x je prvkem mnoˇziny M (objekt x náleˇz´ı do mnoˇziny M ): x ∈ M • objekt x nen´ı prvkem mnoˇziny M (objekt x nenáleˇz´ı do mnoˇziny M ): x ∈ /M • kaˇzd´ y prvek x mnoˇziny M (vˇsechny prvky x z mnoˇziny M ): ∀x ∈ M • existuje (alespoˇ n jeden) prvek x mnoˇziny M : ∃x ∈ M • existuje právˇe jeden prvek x mnoˇziny M : ∃! x ∈ M Mnoˇzinu vymezujeme dvˇemi základn´ımi zp˚ usoby: 1. v´ yˇctem vˇsech prvk˚ u {x1 , x2 , . . . , xn } 2. stanoven´ım charakteristick´ ych vlastnost´ı {x : V (x)}, kde V (x) je vlastnost prvku, napˇr. x je sudé ˇc´ıslo. Pokud nad prvky mnoˇziny zavedeme algebraické operaci (sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı a podobnˇe) s prvky mluv´ıme obvykle o algebˇre. Modern´ı algebra studuje vlastnosti r˚ uzn´ ych mnoˇzin co nejobecnˇeji, aby bylo moˇzno dosaˇzené závˇery pouˇz´ıt na co nejv´ıce konkrétn´ıch pˇr´ıpad˚ u.

1.2

ˇ ıseln´ C´ e mnoˇ ziny

Speciáln´ım typem mnoˇziny jsou ˇc´ıselné mnoˇziny, kdy prvky naz´ yváme ˇc´ıslem. Pojem ˇc´ısla patˇr´ı k jednomu ze základn´ıch pojm˚ u matematiky, postupnˇe v rámci historického v´ yvoje byl tento pojem stále rozˇsiˇrován a kaˇzdé d´ıtˇe zopakuje pˇri seznamován´ı s ˇc´ısly tento historick´ y v´ yvoj. Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla znaˇc´ıme N = {1, 2, 3, . . . } Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla rozˇ s´ıˇ ren´ a o nulu znaˇc´ıme N0 = {0, 1, 2, 3, . . . } Cel´ aˇ c´ısla znaˇc´ıme Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } p : p, q ∈ Z, nesoudˇelná, q 6= 0 Racion´ aln´ı ˇ c´ısla znaˇc´ıme Q = q Re´ aln´ aˇ c´ısla znaˇc´ıme R (definici neuvád´ıme nikoliv proto, ˇze neexistuje, ale protoˇze je tak sloˇzitá, ˇze to pˇresahuje jednu pˇrednáˇsku) 5

10. záˇr´ı 2010


6

Iracion´ aln´ı ˇ c´ısla {x ∈ R : x nen´ı racionáln´ı} Komplexn´ı ˇ c´ısla znaˇc´ıme C = {[x, y] : x, y ∈ R, uspoˇra´daná dvojice reáln´ ych ˇc´ısel} Plat´ı N (Z(Q(R Budeme pˇredpokládat, ˇze pro v´ yˇse uvedené ˇc´ıselné mnoˇziny známe základn´ı operace (je dobré si rozmyslet, které algebraické operace nám zachovávaj´ı mnoˇzinu“, tj. pˇri kter´ ych operac´ıch dostaneme ” ˇc´ıslo opˇet ze stejné mnoˇziny : rovnost-nerovnost um´ıme rozhodnout, které dvˇe ˇc´ısla jsou stejná uspoˇ r´ ad´ an´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme rozhodnout, které ˇc´ıslo je menˇs´ı <, ev. vˇetˇs´ı >, pˇr´ıpadnˇe menˇs´ı nebo rovno ≤ nebo vˇetˇs´ı nebo rovno geq sˇ c´ıt´ an´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a + b n´ asoben´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a · b odˇ c´ıt´ an´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a − b dˇ elen´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a/b Rozmyslete si, ve kter´ ych ˇc´ıseln´ ych mnoˇzinách plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı: komutativn´ı z´ akon tj. a + b = b + a, resp. a · b = b · a asociativn´ı z´ akon tj. (a + b) + c = a + (b + c), resp. (a · b) · c = a · (b · c) existence nulov´ eho prvku 0 tj. existence prvku, pro kter´ y plat´ı a + 0 = 0 + a = a existence opaˇ cn´ eho prvku k prvku a tj. existence prvku −a, pro kter´ y plat´ı a + (−a) = 0 existence jednotkov´ eho prvku 1 tj. existence prvku, pro kter´ y plat´ı a · 1 = 1 · a = a existence inverzn´ıho prvku k prvku a tj. existence prvku a−1 , pro kter´ y plat´ı a · a−1 = 1 distributivn´ı z´ akon tj. (a + b) · c = a · c + b · c tranzitivnost rovnosti tj. a = b a zároveˇ n b = c, pak a = c tranzitivnost nerovnosti tj. pokud a < b a zároveˇ n b < c, pak a < c

6

10. záˇr´ı 2010


1.3

7

Intervaly

Pro jednoduchost zavedeme následuj´ıc´ı pojmy a oznaˇcen´ı pro speciáln´ı podmnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel Omezené intervaly uzavˇ ren´ y interval ha; bi je mnoˇzina {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

• a

polouzavˇ ren´ y interval (a; bi je mnoˇzina {x ∈ R : a < x ≤ b} polouzavˇ ren´ y interval ha; b) je mnoˇzina {x ∈ R : a ≤ x < b} otevˇ ren´ y interval (a; b) je mnoˇzina {x ∈ R : a < x < b}

◦ a

• b ◦ a • a

• b ◦ b ◦ b

Neomezené intervaly ha; +∞) je mnoˇzina {x ∈ R : x ≥ a} (a; +∞) je mnoˇzina {x ∈ R : x > a} (−∞; ai je mnoˇzina {x ∈ R : x ≤ a} (−∞; a) je mnoˇzina {x ∈ R : x < a}

• a ◦ a • a ◦ a

(−∞; +∞) je mnoˇzina x ∈ R

1.4

Operace s mnoˇ zinami, V´ ennovy diagramy

Mnoˇzina je tedy matematick´ y objekt, se kter´ ym m˚ uˇzeme r˚ uzné mnoˇzinové operace a zaj´ımat se o vztahy mezi r˚ uzn´ ymi mnoˇzinami. My budeme potˇrebovat následuj´ıc´ı mnoˇzinové operace: inkluse znaˇc´ıme A ⊂ B a slovnˇe interpretujeme mnoˇzina A je podmnoˇzinou mnoˇziny B, plat´ı v´ yrok x∈A⇒x∈B mnoˇ zinov´ a rovnost (identita) znaˇc´ıme A ≡ B a slovnˇe interpretujeme mnoˇzina A je ekvivalentn´ı s mnoˇzinou B, plat´ı v´ yrok x ∈ A ⇔ x ∈ B sjednocen´ı znaˇc´ıme A ∪ B a slovnˇe interpretujeme sjednocen´ı mnoˇzin A a B, plat´ı A ∪ B ≡ {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} n ∞ [ [ téˇz pouˇz´ıváme symboly Ai pro sjednocen´ı koneˇcného poˇctu mnoˇzin, Ai pro sjednocen´ı i=1 [ i=1 nekoneˇcného poˇctu mnoˇzin a Ai pro sjednocen´ı mnoˇzin z indexové mnoˇziny I i∈I

7

10. záˇr´ı 2010


8

pr˚ unik znaˇc´ıme A ∩ B a slovnˇe interpretujeme pr˚ unik mnoˇzin A a B, plat´ı A ∩ B ≡ {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} n ∞ \ \ téˇz pouˇz´ıváme symboly Ai pro pr˚ unik koneˇcného poˇctu mnoˇzin, Ai pro pr˚ unik nekoneˇcného i=1 i=1 \ poˇctu mnoˇzin a Ai pro pr˚ unik mnoˇzin z indexové mnoˇziny I i∈I

rozd´ıl znaˇc´ıme A\B a slovnˇe interpretujeme rozd´ıl mnoˇzin A a B,resp. doplnˇek mnoˇziny B v mnoˇzinˇe A plat´ı A \ B ≡ {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B} ´ Z ˇÍ kart´ ezsk´ y souˇ cin znaˇc´ıme A × B a slovnˇe interpretujeme kartézsk´ y souˇcin mnoˇzin A a B (ZALE ˇ Í) plat´ı NA PORAD A × B ≡ {[x; y] : x ∈ A ∧ y ∈ B} Uˇziteˇcné je grafické znázorˇ nován´ı mnoˇzinov´ ych vztah˚ u a operac´ı pomoc´ı tzv. Vénnov´ ych diagram˚ u, kdy mnoˇziny znázorˇ nujeme pomoc´ı obrázk˚ u. • Mnoˇzina B je podmnoˇzina mnoˇziny B

• Sjednocen´ı mnoˇzin A ∪ B

8

10. záˇr´ı 2010


9

• Pr˚ unik mnoˇzin A ∩ B

Vztahy mezi dvˇemi a v´ıce mnoˇzinami se zab´ yvá matematická anal´ yza. Základn´ım pojmem je v této matematické oblasti pojem zobrazen´ı mnoˇ ziny A do mnoˇ ziny B. Speciáln´ım pˇr´ıpadem jednoznaˇcného zobrazen´ı z mnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel do mnoˇziny reáln´ ych jsou reálné funkce reáln´ ych promˇenn´ ych.

1.5

Omezenost mnoˇ zin, maximum a minimum mnoˇ ziny, supremum a infimum mnoˇ ziny

V této kapitole se budeme zab´ yvat pouze podmnoˇzinami mnoˇziny R. Pod pojmem mnoˇzina M tedy v následuj´ıc´ım textu chápeme M ⊂ R. Mohli bychom pracovat i v obecnˇejˇs´ıch mnoˇzinách, ale potˇrebujeme pˇredevˇs´ım tyto dvˇe základn´ı vlastnosti reáln´ ych ˇc´ısel. Na reáln´ ych ˇc´ıslech máme definovanou relaci uspoˇrádán´ı, tj. pro dvˇe r˚ uzná reálná ˇc´ısla a, b ∈ R nastane vˇzdy právˇe jedna z moˇznost´ı a < b nebo b < a. V reáln´ ych ˇc´ıslech plat´ı Cantor˚ uv axiom spojitosti. Pro kaˇzdé dvˇe r˚ uzná reálná ˇc´ısla a, b ∈ R, a < b, existuje reálné ˇc´ıslo c tak, ˇze plat´ı a < c < b. Definice 1.1 Mnoˇzina M se nazývá shora omezen´ a mnoˇ zina, pokud existuje reálné ˇc´ıslo a ∈ R tak, ˇze ∀x ∈ M ⇒ x < a. (pro kaˇzdé ˇc´ıslo x z mnoˇziny M plat´ı, ˇze x je menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo a) Definice ˇr´ıká, ˇze mus´ı existovat ˇc´ıslo a ∈ R, takov´ ych ˇc´ısel m˚ uˇze ale existovat i v´ıce. Definice 1.2 Mnoˇzina M se nazývá zdola omezen´ a mnoˇ zina, pokud existuje reálné ˇc´ıslo b ∈ R tak, ˇze ∀x ∈ M ⇒ b < x. (pro kaˇzdé ˇc´ıslo x z mnoˇziny M plat´ı, ˇze x je vˇetˇs´ı neˇz ˇc´ıslo b) Definice 1.3 Mnoˇzina M se nazývá omezen´ a mnoˇ zina, pokud je omezená shora a zároveˇ n je omezená zdola.

9

10. záˇr´ı 2010


10

ˇ ıslo a ∈ R se nazývá supremem mnoˇ Definice 1.4 C´ ziny M , pokud 1. ∀x ∈ M ⇒ x < a nebo x = a (zkrácenˇe x ≤ a) 2. ˇc´ıslo a je nejmenˇs´ı ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku (1.) Supremum mnoˇziny M znaˇc´ıme sup M, supremum mnoˇziny je ˇc´ıslo, které m˚ uˇze, ale nemus´ı leˇzet v mnoˇzinˇe M. Supremum mnoˇziny je vˇzdy urˇceno jednoznaˇcnˇe, tj. neexistuj´ı dvˇe suprema. ˇ ıslo b ∈ R se nazývá infimem mnoˇ Definice 1.5 C´ ziny M , pokud 1. ∀x ∈ M ⇒ x > a nebo x = a (zkrácenˇe x ≥ a) 2. ˇc´ıslo a je nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku (1.) Infimum mnoˇziny M znaˇc´ıme inf M, infimum mnoˇziny je ˇc´ıslo, které m˚ uˇze, ale nemus´ı leˇzet v mnoˇzinˇe M. Infimum mnoˇziny je urˇceno jednoznaˇcnˇe. ˇ ıslo a ∈ M se nazývá maximem mnoˇ Definice 1.6 C´ ziny M , pokud ∀x ∈ M ⇒ x ≤ a Maximum mnoˇziny M znaˇc´ıme max M, maximum mnoˇziny je vˇzdy prvkem mnoˇziny M. Maximum mnoˇziny je urˇceno jednoznaˇcnˇe. ˇ ıslo b ∈ M se nazývá minimem mnoˇ Definice 1.7 C´ ziny M , pokud ∀x ∈ M ⇒ x ≥ b Maximum mnoˇziny M znaˇc´ıme min M, maximum mnoˇziny je vˇzdy prvkem mnoˇziny M. Minimum mnoˇziny je urˇceno jednoznaˇcnˇe. Vˇ eta 1.1 Necht’ M ⊂ R je podmnoˇzina reálných ˇc´ısel, pak plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı: • Jestliˇze mnoˇzina M je shora omezená, pak mnoˇzina M má supremum. • Jestliˇze mnoˇzina M je zdola omezená, pak mnoˇzina M má infimum. • Jestliˇze mnoˇzina M má maximáln´ı prvkem, pak mnoˇzina M má supremum a max M = sup M . • Jestliˇze mnoˇzina M má minimáln´ı prvkem, pak mnoˇzina M má infimum a min M = inf M . • Jestliˇze mnoˇzina M má koneˇcný poˇcet prvk˚ u, pak mnoˇzina M je omezená (shora i zdola) a m´ a maximum i minimum a supremum i infimum. Pˇr´ıklady: • Pro uzavˇren´ y interval h−1; 100i plat´ı – mnoˇzina je omezená shora, ˇc´ıslo a z definice je napˇr´ıklad ˇc´ıslo 101 nebo ˇc´ıslo 100.00001 – mnoˇzina je omezená zdola – mnoˇzina má maximum a minimum max M = 100 a min M = −1 – mnoˇzina má supremum a infimum sup M = 100 a inf M = −1 10

10. záˇr´ı 2010


11

• Pro otevˇren´ y interval (−1; 100) plat´ı – mnoˇzina je omezená shora, ˇc´ıslo a z definice je napˇr´ıklad ˇc´ıslo 101 nebo ˇc´ıslo 100.00001 – mnoˇzina je omezená zdola – mnoˇzina nemá maximum a nemá minimum max M = @ a min M = @ – mnoˇzina má supremum a infimum sup M = 100 a inf M = −1 • Pro interval (−1; +∞) plat´ı – mnoˇzina nen´ı omezená shora – mnoˇzina je omezená zdola – mnoˇzina nemá maximum a nemá minimum max M = @ a min M = @ – mnoˇzina nemá supremum ale má infimum sup M = @ a inf M = −1 1 1 1 1 : n ∈ N = 1; ; ; ; . . . plat´ı • Pro mnoˇzinu M = n 2 3 4 – mnoˇzina je omezená shora, napˇr´ıklad ˇc´ıslem 2 – mnoˇzina je omezená zdola, napˇr´ıklad ˇc´ıslem 0 – mnoˇzina má maximum ale nemá minimum max M = 1 a min M = @ – mnoˇzina má supremum a má infimum sup M = 1 a inf M = 0 • Pro mnoˇzinu M = n2 : n ∈ N = {1; 4; 9; 16; . . . } plat´ı – mnoˇzina nen´ı omezená shora – mnoˇzina je omezená zdola, napˇr´ıklad ˇc´ıslem 0 – mnoˇzina nemá maximum ale má minimum max M = @ a min M = 1 – mnoˇzina nemá supremum ale má infimum sup M = @ a inf M = 1 • mnoˇzina M m˚ uˇze b´ yt zobrazena téˇz graficky mnoˇzina M - silnˇe vyznaˇcená ˇca´st • a a = inf M = min M

11

◦ b b = sup M

10. záˇr´ı 2010


12

12

10. záˇr´ı 2010


1.6

13

Pˇ rehled pouˇ z´ıvan´ ych symbol˚ u

V1 ⇒ V2

jestliˇze plat´ı V1 , pak plat´ı V2

V1 ; V2

obecnˇe neplat´ı tato implikace

V1 ⇔ V2

V1 plat´ı právˇe tehdy, kdyˇz plat´ı V2

V1 ∧ V2

plat´ı v´ yrok V1 a zároveˇ n plat´ı v´ yrok V2

V1 ∨ V2

plat´ı v´ yrok V1 nebo plat´ı v´ yrok V2 (nebo plat´ı oba v´ yroky)

V1

negace (opak) v´ yroku V1

M = {x : V (x)}

mnoˇzina M zadána pomoc´ı v´ yroku V

x∈M

objekt x je prvkem mnoˇziny M

x∈ /M

objekt x nen´ı prvkem mnoˇziny M

∀x ∈ M

pro kaˇzd´ y prvek mnoˇziny M

∃x ∈ M

existuje prvek mnoˇziny M

∃! x ∈ M

existuje právˇe jeden prvek mnoˇziny M

@

neexistuje

A∪B [ Ai

sjednocen´ı mnoˇzin A a B sjednocen´ı v´ıce mnoˇzin Ai

A∩B \ Ai

pr˚ unik mnoˇzin A a B

A⊂B

mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B

A⊆B

mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B (mnoˇziny mohou b´ yt ekvivalentn´ı)

A(B

mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B (mnoˇziny nejsou ekvivalentn´ı)

N

mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel

N0

mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel rozˇs´ıˇrená o prvek 0

Z

mnoˇzina vˇsech cel´ ych ˇc´ısel

Q

mnoˇzina vˇsech racionáln´ıch ˇc´ısel

pr˚ unik v´ıce mnoˇzin Ai

R

mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel +

−

R (R )

mnoˇzina vˇsech kladn´ ych (záporn´ ych) reáln´ ych ˇc´ısel

− R+ 0 (R0 )

mnoˇzina vˇsech nezáporn´ ych (nekladn´ ych) reáln´ ych ˇc´ısel

a=b

ˇc´ıslo a je rovno ˇc´ıslu b

a 6= b . a=b

ˇc´ıslo a nen´ı rovno ˇc´ıslu b

a≈b

ˇc´ıslo a je pˇribliˇznˇe rovno ˇc´ıslu b

ab

ˇc´ıslo a je mnohem (ˇra´dovˇe) menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo b

max M (min M )

maximum (minimum) mnoˇziny M

sup M (inf M )

supremum (infimum) mnoˇziny13M

ˇc´ıslo a je po zaokrouhlen´ı rovno ˇc´ıslu b

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti reáln´ ych ˇc´ısel

2 2.1

14

Posloupnosti re´ aln´ ych ˇ c´ısel Definice posloupnosti, zad´ av´ an´ı posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi

Definice 2.1 Posloupnost´ı reálných ˇc´ısel (ˇc´ıselnou posloupnost´ı) nazýváme kaˇzdé zobrazen´ı mnoˇziny vˇsech pˇrirozených ˇc´ısel N do mnoˇziny reálných ˇc´ısel R. N −→ R n 7→ an Pro posloupnosti ˇc´ısel pouˇz´ıváme znaˇcen´ı {an }+∞ r´ıpadnˇe znaˇcen´ı (an )+∞ r´ıpadnˇe {a1 ; a2 ; a3 ; . . . } n=1 , pˇ n=1 , pˇ nebo (a1 ; a2 ; a3 ; . . . ) Posloupnost je dána slovn´ım vyj´ adˇ ren´ım napˇr´ıklad- kaˇzdému pˇrirozenému ˇc´ıslu je pˇriˇrazena jeho druhá mocnina; tabel´ arnˇ e (v´ yˇctem vˇsech ˇclen˚ u), pokud je jasn´ y princip konstrukce posloupnosti, napˇr´ıklad {1; 4; 9; 16, ; 25; . . . } analyticky (vzorem pro n-t´ y ˇclen, napˇr´ıklad an = n2 + 3 rekurentnˇ e (je dáno nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ u posloupnosti a je dán pˇredpis, jak se vypoˇcte dalˇs´ı ˇclen na základˇe pˇredcházej´ıc´ıch ˇclen˚ u), napˇr´ıklad a1 = 1, a2 = 4 a an − 2an−1 = 2 Graf posloupnosti mus´ı odpov´ıdat situaci, kdy definiˇcn´ı obor posloupnosti jsou pˇrirozená ˇc´ısla. TAKTO ANO

TAKTO NE !!!

14

10. záˇr´ı 2010


15

Vybranou posloupnost´ı z posloupnosti {an }+∞ yváme posloupnost {bn }+∞ ıˇz existuje taková n=1 naz´ n=1 , k n´ +∞ rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel {kn }n=1 , ˇze bn = akn . 2 +∞ Posloupnost n n=1 je vybranou posloupnost´ı z posloupnosti {n}+∞ n=1 .

2.2

Operace s posloupnostmi

S posloupnostmi m˚ uˇzeme provádˇet základn´ı algebraické operace tak, ˇze napˇr´ıklad souˇ cet dvou posloupnost´ı je posloupnost, která má ˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı souˇctu pˇr´ısluˇsn´ ych ˇclen˚ u p˚ uvodn´ıch posloupnost´ı. +∞ +∞ {an }+∞ n=1 + {bn }n=1 = {an + bn }n=1

Obdobn´ ym zp˚ usobem zavedeme odˇ c´ıt´ an´ı posloupnost´ı, souˇ cin posloupnost´ı a pod´ıl posloupnost´ı (pokud maj´ı vˇsechny pod´ıly smysl).

2.3

Vlastnosti posloupnost´ı

yvá Definice 2.2 Posloupnost {an }+∞ n=1 se naz´ • rostouc´ı, pokud pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı an ≤ an+1 ; • ostˇre rostouc´ı, pokud pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı an < an+1 ; • klesaj´ıc´ı, pokud pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı an ≥ an+1 ; • ostˇre klesaj´ıc´ı, pokud pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı an > an+1 . Souhrnnˇe nazýváme rostouc´ı, ostˇre rostouc´ı, klesaj´ıc´ı a ostˇre klesaj´ıc´ı posloupnosti jako posloupnosti monotónn´ı. Konstantn´ı posloupnost nazýváme takovou posloupnost, pro kterou plat´ı an = konstanta pro ∀n ∈ N Definice 2.3 Posloupnost {an }+∞ yvá n=1 se naz´ • omezená shora, pokud existuje reálné ˇc´ıslo KH takové, ˇze pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı an ≤ KH ; • omezená zdola, pokud existuje reálné ˇc´ıslo KD takové, ˇze pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı KD ≤ an ; • omezená, pokud existuje reálné ˇc´ıslo K takové, ˇze pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı |an | ≤ K. Nˇekdy pouˇz´ıváme m´ısto term´ınu omezená posloupnost term´ın posloupnost ohraniˇcená. Vˇ eta 2.1 Posloupnost je omezená právˇe tehdy, kdyˇz je omezená zdola a zároveˇ n je omezen´ a shora. Speciáln´ım pˇr´ıpadem posloupnost´ı jsou posloupnosti aritmetické a geometrické. POZOR vˇetˇsina posloupnost´ı nen´ı ani aritmetická ani geometrická.

15

10. záˇr´ı 2010


16

Aritmetick´ a posloupnost je posloupnost, pro kterou plat´ı an − an+1 = d = konstanta pro ∀n ∈ N. ˇ C´ıslo d se naz´ yvá diferenc´ı aritmetické posloupnosti. Pokud diference aritmetické posloupnosti je kladná, pak posloupnost je ostˇre rostouc´ı. Pokud diference aritmetické posloupnosti je záporná, pak posloupnost je ostˇre klesaj´ıc´ı. Pokud diference aritmetické posloupnosti je rovna nule, pak posloupnost je konstantn´ı. Geometrick´ a posloupnost je posloupnost, pro kterou plat´ı ˇ ıslo q se naz´ C´ yvá kvocientem geometrické posloupnosti.

an = q = konstanta pro ∀n ∈ N. an+1

Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je q > 1 a a1 > 0, pak posloupnost je ostˇre rostouc´ı. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je q > 1 a a1 < 0, pak posloupnost je ostˇre klesaj´ıc´ı. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je 0 < q < 1 a a1 > 0, pak posloupnost je ostˇre klesaj´ıc´ı. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je 0 < q < 1 a a1 < 0, pak posloupnost je ostˇre rostouc´ı. Pro q < 0 je geometrická posloupnost alternuj´ıc´ı, tj. an = (−1)n bn (posloupnost se stˇr´ıdav´ ymi znaménky). Pro q = 1 je geometrická konstantn´ı. cme Definice 2.4 Necht’ je dána posloupnost {an }+∞ n=1 , oznaˇ A = {a ∈ R; existuje n ∈ N tak, ˇze a = an } pak definuje pojmy maximum posloupnosti, minimum posloupnosti, infimum posloupnosti a supremum posloupnosti následuj´ıc´ım zp˚ usobem • max {an }+∞ n=1 = max A; • min {an }+∞ n=1 = min A; • sup {an }+∞ n=1 = sup A; • inf {an }+∞ n=1 = inf A. Vˇ eta 2.2 Z kaˇzdé posloupnosti lze vybrat posloupnost monotónn´ı.

16

10. záˇr´ı 2010


2.4

17

Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti

ˇ Definice 2.5 Rekneme, ˇze ˇc´ıslo a ∈ R je vlastn´ı (koneˇ cnou) limitou posloupnosti {an }+∞ n=1 , jestliˇze ∀ > 0 ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ |an − a| < Tuto skuteˇcnost struˇcnˇe zapisujeme lim an = a nebo struˇcnˇeji an → a pro n → ∞

n→∞

Ilustraˇcn´ı obrázek vlastn´ı limity posloupnosti.

ˇ a nevlastn´ı limitou posloupnosti +∞ , jestliˇze Definice 2.6 Rekneme, ˇze posloupnost {an }+∞ n=1 m´ ∀K > 0 ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ an > K Tuto skuteˇcnost struˇcnˇe zapisujeme lim an = +∞ nebo struˇcnˇeji an → +∞ pro n → ∞

n→∞

ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }+∞ a nevlastn´ı limitou posloupnosti −∞ , jestliˇze n=1 m´ ∀L < 0 ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ an < L Tuto skuteˇcnost struˇcnˇe zapisujeme lim an = −∞ nebo struˇcnˇeji an → −∞ pro n → ∞

n→∞

Definice 2.7 Posloupnost, která má vlastn´ı (koneˇcnou) limitu se nazývá posloupnost konvergentn´ı. Posloupnost, která nen´ı konvergentn´ı se nazývá divergentn´ı. Divergentn´ı posloupnost m˚ uˇze m´ıt limitu rovnu +∞ nebo −∞ nebo limita neexistuje. 17

10. záˇr´ı 2010


18

Nyn´ı uvedeme nˇekolik základn´ıch vˇet o limitách. D˚ ukazy tˇechto vˇet budou pouze naznaˇceny. Vˇ eta 2.3 Kaˇzdá posloupnost má nejvýˇse jednu limitu. D˚ ukaz vˇety sporem: Omez´ım se pouze na vlastn´ı limity. Budu pˇredpokládat, ˇze existuj´ı dvˇe r˚ uzná |a − b| . Podle definice limity mus´ı existovat index ˇc´ısla lim an = a a lim an = b. Pak zvol´ım 0 < < n→∞ n→∞ 2 n0 (a) pro hodnotu a a index n0 (b) pro hodnotu b, vezmu vˇetˇs´ı z tˇechto hodnot. Pak mus´ı platit ∀n > max(n0 (a); n0 (b)) (n ∈ N) =⇒ a − < an < a + a zároveˇ n b − < an < b + A to je spor, protoˇze intervaly (a − ; a + ) a (b − ; b + ) jsou disjunktn´ı (maj´ı prázdn´ y pr˚ unik). Vˇ eta 2.4 Kaˇzdá konvergentn´ı posloupnost je omezená. D˚ ukaz: Zvol´ıme si = 1 a najdeme pˇr´ısluˇsn´ y index n0 a pak mus´ı platit pro vˇsechny n > nO (n ∈ N) a − 1 < an < a + 1 Jestliˇze zvol´ım KH = max {a1 ; a2 ; . . . ; an0 −1 ; a + 1} a KD =∈ {a1 ; a2 ; . . . ; an0 −1 ; a − 1} dostanu omezuj´ıc´ı konstanty pro posloupnost. POZOR: obrácená implikace neplat´ı. Existuje posloupnost, které je omezená, ale nemá koneˇcnou limitu, napˇr´ıklad an = (−1)n . Plat´ı vˇsak následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 2.5 Kaˇzdá omezené monotónn´ı posloupnosti je konvergentn´ı. A pro klesaj´ıc´ı posloupnost plat´ı lim an = inf {an }+∞ n=1 a n→∞

pro rostouc´ı posloupnost plat´ı lim an = sup {an }+∞ n=1 n→∞

Vˇ eta 2.6 Z kaˇzdé omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která je konvergentn´ı.

18

10. záˇr´ı 2010


2.5

19

Algebra limit posloupnost´ı

Pod pojmem algebra limit chápeme operace sˇc´ıtán´ım, odˇc´ıtán´ım, . . . limit“. V této ˇca´sti se omez´ıme ” pouze na vlastn´ı (koneˇcné) limity. +∞ Vˇ eta 2.7 Necht’ jsou dány dvˇe konvergentn´ı posloupnosti {an }+∞ riˇcemˇz lim an = a a n=1 a {bn }n=1 , pˇ n→∞ lim bn = b, pak plat´ı

n→∞

• lim an + bn = a + b; n→∞

• lim an − bn = a − b; n→∞

• lim K · an = K · a, kde K je libovolné reálné ˇc´ıslo (vˇcetnˇe nuly); n→∞

• lim an · bn = a · b; n→∞

an a = , pokud b 6= 0. n→∞ bn b

• lim

Vˇ eta 2.8 Vˇ ety o limitov´ an´ı posloupnost´ı 1. Necht’ lim an = a a lim bn = b n→∞

n→∞

a necht’ existuje index n0 takový, ˇze pro vˇsechny n > n0 ∈ N plat´ı an ≤ b n pak také plat´ı lim an ≤ lim bn

n→∞

n→∞

2. Necht’ lim an = a a lim bn = b a necht’ a < b, pak exituje index n0 takový, ˇze pro vˇsechny n→∞ n→∞ n > n0 ∈ N plat´ı an < bn . POZOR:Neostr´ ustávaj´ı! Ostrá nerovnost m˚ uˇze pˇrej´ıt v neostrou. +∞e nerovnosti +∞ pˇri limitˇe z˚ 1 2 Pˇr´ıklad a , plat´ı an < bn , ale lim an = lim bn . n→∞ n→∞ n n=1 n n=1 Vˇ eta 2.9 Vˇ eta o sevˇ ren´ı, vˇ eta o dvou policistech Necht’ jsou dány tˇri posloupnosti {an }+∞ n=1 , +∞ {bn }+∞ a {c } , kde lim a = a a lim c = a n n=1 n n n=1 n→∞ n→∞ a necht’ existuje index n0 takový, ˇze pro vˇsechny n > n0 ∈ N plat´ı an ≤ b n ≤ c n , pak také lim bn = a

n→∞

19

10. záˇr´ı 2010


2.6

20

Pˇ r´ıklady limit posloupnost´ı

  @,     0, 1. lim q n = n→∞  1,     +∞,

pro q ∈ (−∞; −1i pro q ∈ (−1; 1) pro q = 1 pro q ∈ (1; +∞)

 ak  , pro k = m  Pk (n) a0 + a1 n + · · · + ak nk  bm 2. lim = lim 0, pro k < m n→∞ Qm (n) n→∞ b0 + b1 n + · · · + bm nm    ±∞, pro k > m a n 3. lim 1 + = ea n→∞ n 4. limita typu

konst. je rovna 0 ±∞

5. limita typu

konst. m˚ uˇze b´ yt rovna +∞ nebo −∞ nebo nemus´ı existovat 0

6. limita typu

±∞ m˚ uˇze b´ yt cokoliv, ˇcasto m˚ uˇzeme pouˇz´ıt následuj´ıc´ıch vztah˚ u ±∞ √ √ √ 4 n 3 n n n n2 n3 n n 1 1 1 (2)n (4)n 4 2 ln n n en n! nn

20

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 3 Nekoneˇcné ˇrady reáln´ ych ˇc´ısel

3

21

Nekoneˇ cn´ eˇ rady re´ aln´ ych ˇ c´ısel

V dalˇs´ım budeme zkoumat v´ yznam symbolu a1 + a2 + a3 + · · · =

∞ X

an

n=1

nekoneˇcné (a pˇr´ıpadnˇe koneˇcné) ˇrady se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı pro vyjádˇren´ı oˇcekávan´ ych pˇr´ıjm˚ u nebo plateb v budouc´ıch obdob´ıch.

3.1

Z´ akladn´ı vlastnosti ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad

Definice 3.1 Bud’ {an }+∞ alných (komplexn´ıch) ˇc´ısel. Oznaˇcme n=1 posloupnost re´ s1 = s2 = s3 = s4 = ... ... sn =

a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an .

ˇ ıslo sn nazveme n-tým ˇcásteˇcným souˇctem ˇrady C´

∞ X

an a posloupnost {sn }+∞ n=1 nazveme posloupnost

n=1

ˇc´ asteˇcných souˇct˚ u dané ˇrady. ∞ X Symbol an = a1 + a2 + a3 + . . . se nazývá ˇrada. n=1

Jestliˇze existuje (vlastn´ı nebo nevlastn´ı) limita posloupnosti ˇcásteˇcných souˇct˚ u, tj. existuje s tak, ˇze lim sn = s,

n→∞

pak ˇc´ıslo s nazveme souˇctem ˇrady a p´ıˇseme ∞ X

an = s

n=1

Pokud s je koneˇcné ˇc´ıslo, tj. Pokud s je ±∞, tj.

∞ X

∞ X

an = s ∈ R ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada konverguje.

n=1

an = ±∞ ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada diverguje.

n=1

Pokud lim sn neexistuje, ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada osciluje. n→∞

21

10. záˇr´ı 2010


3.2

22

Pˇ r´ıklady ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad

Geometrick´ aˇ rada konverguje pro |q| < 1 ˇ Radu 2

3

a + aq + aq + aq + · · · =

∞ X

aq n ,

n=0

kde a a q jsou daná ˇc´ısla (a je prvn´ı ˇclen ˇrady a q je kvocient ˇrady), nazveme geometrickou ˇradou. Pro ˇca´steˇcné souˇcty plat´ı sn = a

1 − qn 1−q

a limita ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u pro n → ∞ je pro |q| < 1 rovna a

1 , pro ostatn´ı pˇr´ıpady je limita 1−q

rovna +∞, -∞ nebo neexistuje. Celkovˇe tedy plat´ı, ˇze geometrická ˇrada pro konverguje pro |q| < 1 a + aq + aq 2 + aq 3 + · · · =

∞ X

aq n =

n=0

Pˇ r´ıklad: Je dána nekoneˇcná ˇc´ıselná ˇrada

∞ X

a 1−q

an , kde an =

n=0

pro

|q| < 1

1 42n+4

1. Urˇcete pro n−t´ y ˇclen posloupnosti ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u sn . 2. Seˇctˇete prvn´ıch 10,15 a 16 ˇclen˚ u posloupnosti an . 3. Vypoˇctˇete souˇcet nekoneˇcné ˇc´ıselné ˇrady. 1 1 1 = · , tedy jedná se o geometrickou ˇradu 42n+4 42n · 44 256 16n ∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + 3 + ... = · 1+ + 2 + ... , 256 16 16 16 256 16 16 16 n=0

Pro ˇcleny této ˇrady plat´ı an ==

1

=

kde prvn´ı ˇclen ˇrady a má hodnotu a=

1 1 = 256 · 16 4096

a kvocient ˇrady q má hodnotu q=

1 . 16

1 − qn Podle pˇredcházej´ıc´ıch vztah˚ u v´ıme, ˇze pro ˇca´steˇcné souˇcty plat´ı sn = a a ˇrada konverguje 1−q a pro |q| < 1 k hodnotˇe s∞ = . 1−q 22

10. záˇr´ı 2010


23

1. Pro n−t´ y ˇclen posloupnosti ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u sn plat´ı 1 − qn 1 1− sn = a = 1−q 4096 1 −

1 n 16 1 16

2. Seˇctˇete prvn´ıch 10,15 a 16 ˇclen˚ u posloupnosti an . s10

1 1− = 4096 1 −

1 10 16 1 16

. = 0.00026

s15

1 1− = 4096 1 −

1 15 16 1 16

. = 0.00026

s16

1 1− = 4096 1 −

1 16 16 1 16

. = 0.00026

1 1 3. Vypoˇctˇete souˇcet nekoneˇcné ˇc´ıselné ˇrady, kde q = a <1 16 16 1 a 1 s∞ = = 40961 = 1−q 3840 1 − 16 ˇ Rada

∞ X n=0

1 konverguje n(n + 1)

Pouˇzijeme následuj´ıc´ı trik

1 1 1 = − a dostáváme posloupnost ˇcásteˇcn´ ych souˇct˚ u n(n + 1) n n+1 1 − 1 1 s2 = − 1 1 s3 = − 1 1 s4 = − 1 ... ... ... 1 sn = − 1 s1

=

1 2 1 1 1 + − 2 2 3 1 1 1 1 1 + − + − 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − 2 2 3 3 4 4 5 1 n+1

Pro limitu ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u pak plat´ı lim 1 −

n→∞

23

1 = 1, n+1

10. záˇr´ı 2010


tedy ˇrada

∞ X n=0

1 konverguje a souˇcet ˇrady je roven jedné. n(n + 1) ∞ X n=0

ˇ Rada

24

1 =1 n(n + 1)

∞ X 1 diverguje, harmonick´ aˇ rady n n=0 ∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + ... n 2 3 4 5 n=0 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + ... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 + ≥ 1+ + + ... 2 2 4 4 1 1 1 = 1+ + + ... 2 2 2

3.3

Konvergence ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad

Vˇ eta 3.1 Nutn´ a podm´ınka konvergence ˇ c´ıseln´ e ˇ rady Necht’

∞ X

an = a1 + a2 + a3 + . . .

n=1

konverguje, pak lim an = 0. n→∞

Poznámky: • jedná se nutnou podm´ınku, tedy: pokud lim an je r˚ uzná od nuly, pak ˇrada nem˚ uˇze b´ yt konvern→∞ gentn´ı ∞ X 1 • nejedná se o podm´ınku postaˇcuj´ıc´ı: pˇr´ıkladem je harmonická ˇrada , kde podm´ınka n n=0 lim an = 0 je splnˇena, ale ˇrada je divergentn´ı n→∞

Rozhodnut´ı o konvergenci ˇc´ıselné ˇrady je v konkrétn´ıch situac´ıch velmi sloˇzité, pomáhaj´ı nám r˚ uzná kritéria konvergence. Jednoduˇsˇs´ı je situace pro ˇrady s nezáporn´ ymi ˇcleny, kdy m˚ uˇzeme pouˇz´ıvat napˇr´ıklad následuj´ıc´ı kritéria Srovn´ avac´ı krit´ erium: Bud’

∞ X

an a

n=0

∞ X

bn dvˇe ˇrady s nezáporn´ ymi ˇcleny a necht’ existuje k tak,

n=0

ˇze pro vˇsechna n > k plat´ı an ≤ bn , potom plat´ı: • je-li

∞ X n=0

bn konvergentn´ı, je

∞ X

an také konvergentn´ı

n=0

24

10. záˇr´ı 2010


• je-li

∞ X

an divergentn´ı, je

n=0

∞ X

25

bn také divergentn´ı

n=0

∞ X 1 1 1 , která je divergentn´ı (srovnám > ) Pˇr´ıkladem pouˇzit´ı je ˇrada ln n ln n n n=0 ∞ X

an ˇrada s nezáporn´ ymi ˇcleny a necht’ existuje limita Cauchyho (odmocninov´ e) krit´ erium Bud’ n=0 √ lim n an = A , potom plat´ı: n→∞

• je-li A < 1, je • je-li A > 1, je

∞ X n=0 ∞ X

an konvergentn´ı; an divergentn´ı;

n=0

• je-li A = 1, nemohu o konvergenci na základˇe tohoto kritéria rozhodnout. DÁlembertovo (pod´ılov´ e) krit´ erium Bud’ an+1 = A , potom plat´ı: n→∞ an

∞ X

an ˇrada s kladn´ ymi ˇcleny a necht’ existuje limita

n=0

lim

• je-li A < 1, je • je-li A > 1, je

∞ X n=0 ∞ X

an konvergentn´ı; an divergentn´ı;

n=0

• je-li A = 1, nemohu o konvergenci na základˇe tohoto kritéria rozhodnout.

25

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Základn´ı vlastnosti funkc´ı

4

26

Z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı

4.1

Re´ aln´ a funkce f re´ aln´ e promˇ enn´ ex

• zobrazen´ı f : A → B, kde A ⊆ R a B ⊆ R • zobrazen´ı, které ke kaˇzdému x ∈ A pˇriˇrazuje právˇe jedno y = f (x) ∈ B • ∀x ∈ A ∃! y ∈ B : y = f (x) • x - argument funkce f ;

y - funkˇcn´ı hodnota funkce f

• D (f ) = A: definiˇcn´ı obor funkce f • H (f ) = B: obor (funkˇcn´ıch) hodnot funkce f • maximáln´ı (existenˇcn´ı) definiˇcn´ı obor je taková podmnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel, pro která má analytick´ y vzorec funkce smysl • graf funkce: mnoˇzina vˇsech bod˚ u {[x, y]; x ∈ D (f ), y = f (x)} ve zvolené soustavˇe souˇradnic (kartézské souˇradnice Oxy, sférické souˇradnice, . . . ) • zp˚ usoby zadán´ı funkce – analytické (vzorec, rovnice, nˇekolik rovnic pro r˚ uzné ˇca´sti definiˇcn´ıho oboru + definiˇcn´ı obor) Napˇr. f : y = −2x ( +3 x2 pro x ∈ (−3, 3) f (x) := 9 jinak – grafick´ ym zadán´ım – v´ yˇctem funkˇcn´ıch hodnot {(1; 1), (2; 4), (3; 9), (4, 16)}

4.2

Operace s funkcemi

• ekvivalence funkc´ı – rovnost funkc´ı f1 a f2 : f1 ≡ f2 ⇔ D (f1 ) = D (f2 ) ∧ ∀x ∈ D (f1 ) : f1 (x) = f2 (x) • upoˇra´dán´ı funkc´ı – funkce f1 je vˇetˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 ≥ f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) ≥ f2 (x) – funkce f1 je ostˇre vˇetˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 > f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) > f2 (x) 26

10. záˇr´ı 2010


27

– funkce f1 je menˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 ≤ f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) ≤ f2 (x) – funkce f1 je ostˇre menˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 < f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) < f2 (x) • algebraické operace s funkcemi – sˇc´ıtán´ı (odˇc´ıtán´ı) funkc´ı f1 a f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ): g = f1 ± f2 ⇔ ∀x ∈ M : g(x) = f1 (x) ± f2 (x) – násoben´ı funkc´ı f1 a f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ): g = f1 · f2 ⇔ ∀x ∈ M : g(x) = f1 (x) · f2 (x) – dˇelen´ı funkc´ı f1 a f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ): g=

f1 (x) f1 ⇔ ∀x ∈ M ; f2 (x) 6= 0 : g(x) = f2 f2 (x)

• skládán´ı funkc´ı – g = f1 ◦ f2 : g(x) = f1 (f2 (x)), pokud je splnˇeno, ˇze H (f2 ) ⊆ D (f1 ) ∗ D (g) ⊆ D (f2 ) ∗ H (g) ⊆ H (f1 ) – g: sloˇzená funkce – f1 : vnˇejˇs´ı funkce – f2 : vnitˇrn´ı funkce • opaˇcn´ ym postupem dostáváme rozklad sloˇzené funkce na elementárn´ı funkce

27

10. záˇr´ı 2010


28

• transformace grafu funkc´ı (speciáln´ı typy skládán´ı) – g(x) = −f (x): graf funkce g je soumˇern´ y s grafem funkce f podle osy x

– g(x) = f (−x): graf funkce g je soumˇern´ y s grafem funkce f podle osy y

– g(x) = f (x) + K: graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunut´ y o konstatnu K ve smˇeru osy y

28

10. záˇr´ı 2010


29

– g(x) = f (x + K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunut´ y o konstatnu −K ve smˇeru osy x

– g(x) = f (x · K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovan´ y smˇeru osy x (body pr˚ uniku grafu s osou y z˚ ustávaj´ı zachovány)

– g(x) = K · f (x): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovan´ y smˇeru osy y (body pr˚ uniku grafu s osou x z˚ ustávaj´ı zachovány)

29

10. záˇr´ı 2010


4.3

30

Vlastnosti funkc´ı

• sudá (lichá) funkce – sudá funkce: ∀x ∈ D (f ) : −x ∈ D (f ) ∧ f (−x) = f (x) – sudá funkce je soumˇerná podle osy y – x2 , x1/2 , cos(x), |x|, . . .

– lichá funkce: ∀x ∈ D (f ) : −x ∈ D (f ) ∧ f (−x) = −f (x) – lichá funkce je soumˇerná podle poˇca´tku 0 – 1/x, x3 , sin(x), . . .

• periodická funkce – ∃p ∈ R \ {0} : ∀x ∈ D (f ) : x ± p ∈ D (f ) ∧ f (x ± p) = f (x) – p je perioda funkce – základn´ı (primitivn´ı) perioda: existuje-li pro funkci f nejmenˇs´ı kladná perioda p – goniometrické funkce - sin, cos, tg, cotg,. . . • funkce omezená – funkce f je omezená zdola na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∃ d ∈ R : ∀x ∈ M plat´ı d ≤ f (x) – funkce f je omezená shora na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∃ h ∈ R : ∀x ∈ M plat´ı f (x) ≤ h – funkce f je omezená na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): 30

10. záˇr´ı 2010


31

∃ d, h ∈ R : ∀x ∈ M plat´ı d ≤ f (x) ≤ h – d: doln´ı mez funkˇcn´ıch hodnot – h: horn´ı mez funkˇcn´ıch hodnot • extrémy funkc´ı – funkce f má v bodˇe xmin minimum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) ≤ f (x) – funkce f má v bodˇe xmin ostré minimum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) < f (x) – funkce f má v bodˇe xmin maximum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) ≥ f (x) – funkce f má v bodˇe xmin ostré maximum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) > f (x) – pokud M = D (f ), jedná se o globáln´ı extrém funkce f (globáln´ı minimum, globáln´ı ostré minimum, globáln´ı maximum, globáln´ı ostré maximum) – funkce f má v bodˇe xmin lokáln´ı minimum: ∃ > 0 takové, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) ≤ f (x) – funkce f má v bodˇe xmin ostré lokáln´ı minimum: ∃ > 0 takové, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) < f (x) – funkce f má v bodˇe xmin lokáln´ı maximum: ∃ > 0 takové, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) ≥ f (x) – funkce f má v bodˇe xmin ostré lokáln´ı maximum: ∃ > 0 takové, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) > f (x) ˇ Í • POZOR NA ZNACEN – max f (x) je funkˇcn´ı hodnota v bodˇe maxima - leˇz´ı na ose y – xmax = argmax f (x) je bod, ve kterém funkce svého maxima nab´ yvá - leˇz´ı na ose x • monotón´ı funkce – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) ostˇre rostouc´ı: ∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) < f (x2 ) – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) ostˇre klesaj´ıc´ı: 31

10. záˇr´ı 2010


32

∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) > f (x2 ) – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) rostouc´ı: ∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≤ f (x2 ) – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) klesaj´ıc´ı: ∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≥ f (x2 ) – funkce monotón´ı: funkce klesaj´ıc´ı, rostouc´ı – funkce ryze monotón´ı: funkce ostˇre rostouc´ı, ostˇre klesaj´ıc´ı • vzájemné vazby mezi omezenost´ı, existenc´ı lokáln´ıch a globáln´ıch extrém˚ u a monotóni´ı – pokud má funkce globáln´ı minimum, pak je omezená zdola – pokud má funkce globáln´ı maximum, pak je omezená shora – lokáln´ı extrémy k omezenosti nepostaˇcuj´ı – kaˇzd´ y globáln´ı extrém je i extrém lokáln´ı – existuj´ı funkce omezené zdola, které nemaj´ı globáln´ı minimum – existuj´ı funkce omezené shora, které nemaj´ı globáln´ı maximum – pokud má funkce v bodˇe xmin ostré lokáln´ı minimum, pak ∃ > 0 takové, ˇze funkce f je v intervalu (xmin − , xmin ) ostˇre klesaj´ıc´ı a v intervalu (xmin , xmin + ) ostˇre rostouc´ı – pokud má funkce v bodˇe xmin lokáln´ı minimum, pak ∃ > 0 takové, ˇze funkce f je v intervalu (xmin − , xmin ) klesaj´ıc´ı a v intervalu (xmin , xmin + ) rostouc´ı – pokud má funkce v bodˇe xmax ostré lokáln´ı maximum, pak ∃ > 0 takové, ˇze funkce f je v intervalu (xmax − , xmax ) ostˇre rostouc´ı a v intervalu (xmax , xmax + ) ostˇre klesaj´ıc´ı – pokud má funkce v bodˇe xmax lokáln´ı maximum, pak ∃ > 0 takové, ˇze funkce f je v intervalu (xmax − , xmax ) rostouc´ı a v intervalu (xmax , xmax + ) klesaj´ıc´ı – existuj´ı funkce f , které jsou v intervalu (a − , a) monotónn´ı a v intervalu (a, a + ) opaˇcnˇe monotónn´ı, ale nemaj´ı v bodˇe a extrém

32

10. záˇr´ı 2010


4.4

33

Prost´ a funkce a inverzn´ı funkce

– funkce f je prostá: ∀x1 , x2 ∈ D (f ), x1 6= x2 plat´ı f (x1 ) 6= f (x2 ) – funkce f je prostá na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x1 , x2 ∈ M, x1 6= x2 plat´ı f (x1 ) 6= f (x2 ) – funkce f −1 je inverzn´ı k funkci f : pokud funkce f je prostá a plat´ı y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) – D (f −1 ) ≡ H (f ) – D (f ) ≡ H (f −1 ) – ∀x ∈ D (f ) : x = f −1 (f (x)) – f −1 ◦ f (x) ≡ 1 – pokud je funkce f prostá prostá na mnoˇzinˇe M ⊂ D (f ), existuje inverzn´ı funkce na této mnoˇzinˇe M – kaˇzdá ryze monotón´ı funkce je prostá → ke kaˇzdé ryze monotón´ı funkci existuje funkce inverzn´ı – grafy inverzn´ıch funkc´ı jsou symetrické podle osy prvn´ıho a tˇret´ıho kvadrantu

33

10. záˇr´ı 2010


4.5

34

Z´ akladn´ı typy funkc´ı

• lineárn´ı funkce f : y = a0 + a1 x

grafem je pˇr´ımka

• kvadratické funkce f : y = a0 + a1 x + a2 x2

grafem je p parabola

• mocninné funkce f : y = xα – pˇrirozen´ y mocnitel α ∈ N – cel´ y mocnitel α ∈ Z p ∈Q g – iracionáln´ı mocnitel α ∈ R

– racionáln´ı mocnitel α =

• lineárn´ı lomené funkce f : y =

a0 + a1 x b0 + b1 x

grafem je hyperbola

• algebraické funkce (vznikne z lineárn´ı funkce pomoc´ı koneˇcného poˇctu operac´ı sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı, umocˇ nován´ı a odmocˇ nován´ı) – polynomické funkce stupnˇe n (polynom Pn ) f : y = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn Pn – lomené racionáln´ı funkce f : y = Qm – iracionáln´ı funkce (obsahuje odmocniny x) • exponenciáln´ı funkce f : y = ax • logaritmické funkce (inverzn´ı k exponenciáln´ım) f : y = loga (x) • funkce s absolutn´ı hodnotou • goniometrické funkce f : sin, cos, tg, cotg • cyklometrické funkce (inverzn´ı ke goniometrick´ ym) f : arcsin, arccos, arctg, arccotg

34

10. záˇr´ı 2010


4.5.1

35

Line´ arn´ı funkce f : y = a0 + a1 x

• definiˇcn´ı obor i obor hodnot jsou reálná ˇc´ısla • monotónn´ı funkce, – a1 > 0 ostˇre rostouc´ı – a1 < 0 ostˇre klesaj´ıc´ı – a1 = 0 konstanta, nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı • neomezená funkce (pro a1 6= 0) • inverzn´ı funkce existuje pokud a1 6= 0 • grafem je pˇr´ımka • grafem inverzn´ı funkce je opˇet pˇr´ımka

Pˇr´ıklady • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x + 3 a f2 : y = 2x − 1 a najdˇete k funkc´ım funkce inverzn´ı 1 3 − 2x a najdˇete k funkc´ım funkce inverzn´ı • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x − 2 a f2 : y = 3 2 • Sestrojte graf funkce f1 : y =

4x2 − 5x 2x

35

10. záˇr´ı 2010


4.5.2

36

Kvadratick´ a funkce f : y = a0 + a1 x + a2 x2

• definiˇcn´ı obor jsou reálná ˇc´ısla • funkce omezená zdola pokud a2 > 0 • funkce omezená zhora pokud a2 < 0 • existuj´ı dvˇe vˇetve inverzn´ı funkce • grafem je parabola, parabola prot´ıná osu x v nulov´ ych bodech • f 1 : y = x2 − 4 • f2 : y = −x2 − x + 6 = −(x + 3)(x − 2)

Pˇr´ıklady • Sestrojte graf funkce f : y = x2 −5x+6 pro x ∈ h−5; 7i , urˇcete obor funkˇcn´ıch hodnot, sestrojte graf funkce g(x) = |f (x)| a sestrojte graf funkce h(x) = x2 − 5|x| + 6 • Sestrojte graf funkce f : y = x2 − 5x + 6, urˇcete pr˚ useˇc´ıky funkce f s osami, najdˇete nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı hodnotu funkce f na intervalu h0; 4i

36

10. záˇr´ı 2010


4.5.3

37

Polynomick´ e funkce x3 , x4 , x5 , . . .

x2 , x4 , x6

x, x3 , x5 Pˇr´ıklady • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x4 a f2 : y = x6 a na grafech vyznaˇcte body funkˇcn´ıch hodnot 1 pro x = 14 • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x3 a f2 : y = x5 a na grafech vyznaˇcte body funkˇcn´ıch hodnot 1 pro x1 = a pro x2 = 0, 25 32

37

10. záˇr´ı 2010


4.5.4

Line´ arn´ı lomen´ e funkce f : y =

38

a0 + a1 x b0 + b1 x

• definiˇcn´ı obor jsou vˇsechna reálná ˇc´ısla kromˇe bodu − • obor hodnot jsou vˇsechna reálná ˇc´ısla kromˇe bodu −

b0 b1

a1 b1

• grafem je hyperbola • inverzn´ı funkc´ı je opˇet lineárn´ı lomená funkce •

1 x+2 a x x−1

Pˇr´ıklady • Sestrojte graf funkce f : y = hodnot • Sestrojte graf funkce f : y =

2x − 2 a vypoˇctˇete pr˚ useˇc´ıky s osami, urˇcete definiˇcn´ı obor a obor x+1 3x + 5 a vypoˇctˇete pr˚ useˇc´ıky s osami, vypoˇctˇete funkˇcn´ı hodnoty x+2

f (−1), f (−1/3), f (1)

38

10. záˇr´ı 2010


4.5.5

39

Exponenci´ aln´ı funkce f : y = ax

• 2x ,

1x = 2−x , 2x − 1 2

• −2x , −2−x

Pˇr´ıklady • Sestrojte grafy funkc´ı 3x , 3−x , 3|x| , 3x + 1, 3x+1 • Sestrojte grafy funkc´ı

1x 1x ,− 2 2

• Sestrojte grafy funkc´ı 3x , 4x a sestrojte k funkc´ım grafy funkc´ı inverzn´ıch

39

10. záˇr´ı 2010


4.5.6

40

Logaritmick´ e funkce f : y = logz (x)

• Logaritmické funkce jsou inverzn´ı k exponenciáln´ım funkc´ım • Definiˇcn´ı obor (0; ∞), obor hodnot jsou vˇsechna reálná ˇc´ısla • log10 (x), loge (x), 10x

• log2 (x), log1/2 (x), 2x

40

10. záˇr´ı 2010


4.5.7

41

Funkce s absolutn´ı hodnotou

• |2x| + 1, |2x + 1|, 2x

• |x2 − 2x − 8|, x2 − 2|x| − 8, x2 − 2x − 8

41

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy

5

42

Polynomy

Definice 5.1 Necht’ a0 , . . . , an jsou prvky mnoˇziny T , n ≥ 0 pˇrirozené ˇc´ıslo. Polynomem (mnohoˇclenem) P promˇenné x ∈ T nazýváme pˇredpis P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ∀x, an 6= 0 Stupeˇ n polynomu P (x) je nejvyˇsˇs´ı mocnina promˇenné x u n´ıˇz je nenulový koeficient, znaˇc´ıme st(P ). Nulov´ y polynom je polynom, který má vˇsechny koeficienty rovny 0. Stupeˇ n nulového polynomu nen´ı definován. Nˇekdy je vhodné dodefinovat stupeˇ n nulového polynomu ˇc´ıslem −1. V dalˇs´ım budeme pˇredpokládat, ˇze pracujeme s reálnými T = R (pˇr´ıpadnˇe komplexn´ımi polynomy T = C), tj. x ∈ R resp. x ∈ C. Pˇr´ıklady polynom˚ u: • 5x2 + 4x + 6

⇒ JE polynom stupnˇe 2

• 7x10 + 23.2x


• 5


• 4x3 + πx − 19

⇒ JE polynom stupnˇe 3 ⇒ NENÍ polynom

• sin x + 7x5 • 0 •

⇒ JE polynom, stupeˇ n nen´ı definován

4 3 x + x7 + 2 3

• 5x−6 + x5

⇒ JE polynom stupnˇe 3 ⇒ NENÍ polynom

• (4 + 2i )x2 + i x7


Definice 5.2 Polynomy P (x) a Q(x) se rovnaj´ı (P (x) = Q(x)), pokud plat´ı P (α) = Q(α) ∀α Vˇ eta 5.1 Polynomy P (x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 a Q(x) = bm xm +bm−1 xm−1 +. . .+b1 x+b0 se rovnaj´ı právˇe tehdy, kdyˇz maj´ı stejný stupeˇ n a rovnaj´ı se jejich koeficienty, tj. n = m a ai = bj i = 0, 1, . . . , n. Pˇr´ıklad: Urˇcete koeficienty A, B, C, D polynomu P (x) = A(x + 1) + B(x3 + x2 ) + Cx2 − 3D tak, aby byl roven polynomu x3 + 2x + 5. Bx3 + (B + C)x2 + Ax + (A − 3D) = 1x3 + 0x2 + 2x + 5 B

= 1

B+C

= 0

A

= 2

⇒

A − 3D = 5

A =

2

B =

1

C = −1 D = −1

42

10. záˇr´ı 2010


43

Definice 5.3 Operace s polynomy Necht’ jsou dány dva polynomy n

P (x) = an x + an−1 x

n−1

+ . . . + a1 x + a0 =

n X

ai x i

i=0

a m

Q(x) = bm x + bm−1 x

m−1

+ . . . + b 1 x + b0 =

m X

bj x j

j=0

1. Souˇcet dvou polynom˚ u P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) je polynom stupnˇe max {n; m} max{n;m}

X

P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) =

(ai + bi )xi

i=0

2. Násoben´ı polynomu nenulov´ ym ˇc´ıslem λ ∈ R je polynom stupnˇe n λ · P (x) =

n X

(λ · ai )xi

i=0

3. Násoben´ı polynomu polynomem je polynom stupnˇe n + m P (x) · Q(x) =

n+m X

ck x k ,

k=0

kde ck =

n X m X

ai b j

i=0 j=0

ˇ POLYNOM, ale racionáln´ı lomená funkce. 4. Dˇelen´ı polynomu polynomem NENÍ OBECNE Pokud Q(x) nenulov´ y, pak existuj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcené polynomy S(x) a R(x) tak, ˇze P (x) = S(x) · Q(x) + R(x), kde R(x) naz´ yváme zbytek po dˇelen´ı a st(R) < st(Q). Definice 5.4 Necht’ je dán polynom P (x) =

n X

ˇ ai xi . Rekneme, ˇze ˇc´ıslo c je koˇrenem polynomu

i=0

(nulovým bodem polynomu) P (x), jestliˇze plat´ı P (c) =

n X

ai ci = 0.

i=0

Poznámka: Polynom s reáln´ ymi koeficienty nemus´ı m´ıt obecnˇe ˇza´dn´ y reáln´ y koˇren - napˇr´ıklad polynom p(t) = 1 + t2 nemá ˇza´dn´ y reáln´ y koˇren, má vˇsak dva imaginárn´ı koˇreny −i a i . 43

10. záˇr´ı 2010


44

Vˇ eta 5.2 Vlastnosti koˇ ren˚ u polynom˚ u s re´ aln´ ymi koeficienty ´ ´ ˇ • ZAKLADN I VETA ALGEBRY Kaˇzdý polynom stupnˇe n ≥ 1 má v C alespoˇ n jeden koˇren. • Jestliˇze c je koˇrenem polynomu P (x), pak polynom x − c dˇel´ı polynom P (x) beze zbytku, tj. P (x) = (x − c) · S(x); • Jestliˇze c = a + i b je komplexn´ım koˇrenem polynomu P (x), pak koˇrenem polynomu je také komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo c = a − i b a plat´ı P (x) = (x − (a + i b)) · (x − (a − i b)) · S(x) = x2 − 2 ax + a2 + b2 · S(x);

Definice 5.5 Necht’ je dán polynom P (x) =

n X

ˇ ai xi . Rekneme, ˇze ˇc´ıslo c je k-násobným koˇrenem

i=0

polynomu (nulovým bodem polynomu) P (x), jestliˇze existuje S(x) 6= 0 tak, ˇze plat´ı P (x) = (x − c)k S(x) ˚ ´ ˇ Vˇ eta 5.3 DUSLEDEK ZAKLADN I´ VETY ALGEBRY Kaˇzdý polynom stupnˇe n ≥ 1 s re´ alnými nebo komplexn´ımi koeficienty má v tˇelese komplexn´ıch ˇc´ısel právˇe n koˇren˚ u, jestliˇze kaˇzdý koˇren poˇc´ıtáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Oznaˇc´ıme-li c1 , c2 , . . . cr vˇsechny navzájem r˚ uzné (komplexn´ı) koˇreny polynomu P a oznaˇc´ıme-li kj n´ asobnost j−tého koˇrenu, pak k1 + k2 + · · · + kr = n a plat´ı P (x) = an · (x − c1 )k1 · (x − c2 )k2 · · · · · (x − cr )kr . Polynomy (x − cj )kj nazýváme koˇrenovými ˇciniteli polynomu P a pˇredchoz´ımu vztahu ˇr´ıkáme rozklad polynomu na (komplexn´ı) souˇ cin koˇ renov´ ych ˇ cinitel˚ u. Pokud vyuˇzijeme skuteˇcnosti, ˇze pro komplexn´ı koˇrenem polynomu plat´ı, ˇze koˇrenem je téˇz komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo a oznaˇc´ıme c1 , c2 , . . . , cr reálné koˇreny a cr+1 , cr+1 , . . . , cr+s , cr+s komplexn´ı koˇreny polynomu P dostáváme re´ aln´ y rozklad na koˇ renov´ eˇ cinitele tvaru P (x) = an ·(x−c1 )k1 ·· · ··(x−cr )kr ·(x2 −(cr+1 +cr+1 )x+cr+1 ·cr+1 )kr+1 ·· · ··(x2 −(cr+s +cr+s )x+cr+s ·cr+s )kr+s

44

10. záˇr´ı 2010


5.1

45

Dˇ elen´ı polynomu polynomem

Algoritmus dˇelen´ı polynomu polynomem je obdobn´ y algoritmu dˇelen´ı reáln´ ych ˇc´ısel a ukáˇzeme ho na 4 3 pˇr´ıkladu dˇelen´ı polynomu P (x) = 2x − 3x − 5x + 6 polynomem Q(x) = x2 + 1 (2x4

−3x3

+6) : (x2 +1) = 2x2

−5x

−(2x4

+2x2

vynásob´ım 2x2 · (x2 + 1)

)

−−− −−− −−− −−− −−− −3x

3

−2x

2

−5x

vydˇel´ım nejvyˇsˇs´ı mocniny 2x4 /x2 = 2x2 odeˇctu a pokraˇcuji analogicky − 3x3 /x2 = −3x

+6

celkovˇe (2x4

−3x3

−(2x4

−5x

+6) : (x2 +1) = 2x2 −3x −2

+2x2

−−−

−−− −3x

3

−−− −−− −−− −2x2

−(−3x3 −−−

−−−

) −5x −3x)

−−− −−− −−− −2x2

−2x

−(−2x2 −−−

−−−

+6

+6 −2)

−−− −−− −−− −2x

+8

Tedy plat´ı P (x) 2x4 − 3x3 − 5x + 6 −2x + 8 = = (2x2 − 3x − 2) + 2 Q(x) x +1 x2 + 1 5.1.1

Hornerovo sch´ ema

Pro dˇelen´ı polynomu P (x) =

n X

ai xi lineárn´ım dvojˇclenem (x − α) lze pouˇz´ıt Hornerovo schéma.

i=0

Na základˇe následuj´ıc´ı rovnosti an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (x − α) · (bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 ) + P (α) lze dokázat, ˇze pro koeficienty bn−1 , bn−2 , . . . , b1 , b0 plat´ı bn−1

=

an

bn−2

=

an−1 + αbn−1

...

...

...

b1

=

a2 + αb2

b0

=

a1 + αb1 45

10. záˇr´ı 2010


46

a P (α) = a0 + αb0 . Pokud P (α) = 0 je α koˇrenem polynomu P (x). Cel´ y postup lze zapsat do tabulky an α bn−1

an−1

...

a1

a0

αbn−1

...

αb1

αb0

bn−2

...

b0

P (α)

Hledáme pomoc´ı Hornerova schématu ˇcásteˇcn´ y pod´ıl a zbytek pˇri dˇelen´ı polynomu 7 6 4 3 2 P (x) = 4x − 5x + 4x − 12x + 2x − x − 3 polynomem x − 2 4 2

-5

0

2.4

2.3

3

6

4

4

-12

2

-1

-3

2.6 2.16 2.20

2.42

2.83

83

163

16

20

42

P (x) = 4x7 − 5x6 + 4x4 − 12x3 + 2x2 − x − 3 = 163 + (x − 2) · (4x6 + 3x5 + 6x4 + 16x3 + 20x2 + 42x + 83)

5.2

Odhady koˇ ren˚ u

5.2.1

Racion´ aln´ı koˇ reny p Vˇ eta 5.4 Necht’ je racionáln´ı koˇren polynomu P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , pak ˇc´ıslo q p je dˇelitelem koeficientu an a ˇc´ıslo q je dˇelitelem koeficientu a0 . Nav´ıc pokud polynom má pouze kladné koeficienty aj > 0 mus´ı být koˇren polynomu záporné ˇc´ıslo. Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme polynom x7 + 4x6 − 3x5 − 18x4 + x3 + 4x2 − 3x − 18. Pokud tento polynom má racionáln´ı koˇren, mus´ı platit, ˇze tento koˇren je dˇelitelem koeficientu a0 = 18. Koˇren tedy mus´ı b´ yt z mnoˇziny {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18} . Pomoc´ı Hornerova schématu dostávám 1 4

-3

-18

2 -16

1

4

-3

-18 -32 ⇒

1 nen´ı koˇren

6 -24 ⇒

-1 nen´ı koˇren

1

1 5

-15 -11 -14

-1

1 3

-6

-12

13

-9

2

1 6

9

0

1

6

9

0 ⇒

2 je koˇren (dalˇs´ı koˇreny mus´ı b´ yt záporn´ y dˇelitel 9)

-3

1 3

0

0

1

3

0

⇒

-3 je koˇren (dalˇs´ı koˇreny mus´ı b´ yt záporn´ y dˇelitel 3)

-3

1 0

0

0

1

0

⇒

-3 je koˇren

Pro studovan´ y polynom tedy plat´ı x7 + 4x6 − 3x5 − 18x4 + x3 + 4x2 − 3x − 18 = (x − 2) · (x + 3)2 · S(x), kde S(x) je polynom stupnˇe 4, kter´ y nemá racionáln´ı koˇreny. 46

10. záˇr´ı 2010


5.2.2

47

Odhad poˇ ctu re´ aln´ ych koˇ ren˚ u a jejich polohy

Vˇ eta 5.5 Necht’ P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 je polynom s reálnými koeficienty, pak 1. Descartesova vˇ eta Poˇcet kladných koˇren˚ u polynomu P (x) je bud’ roven poˇctu znaménkových zmˇen v posloupnosti an , an−1 , . . . , a0 jeho koeficient˚ u nebo je o sudý poˇcet menˇs´ı. 2. Vˇsechny reálné koˇreny polynomu P (x) leˇz´ı v intervalu h−A; Ai , kde A = max {|a0 |; |a1 |; . . . ; |an |} + 1 3. Pokud alespoˇ n jeden z koeficient˚ u polynomu je záporný plat´ı následuj´ıc´ı horn´ı odhady re´ alných koˇren˚ u α. |ai | |an | √ n−r B • Lagrangova vˇeta α < 1 + s |ai | • Tillova vˇeta α < 1 + s−r as

• Maclaurinova vˇeta α < 1 +

kde

ai

...

nejmenˇs´ı záporný koeficient v posloupnosti an , an−1 , . . . , a0 ;

ar

...

prvn´ı záporný koeficient;

as

...

nejvˇetˇs´ı kladný koeficient pˇred prvn´ım záporným koeficientem;

B

...

nejvˇetˇs´ı z absolutn´ıch hodnot záporných koeficient˚ u.

Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme polynom P (x) = x4 −2x3 +x2 −10x−20. Pak posloupnost koeficient˚ u an , an−1 , . . . , a0 je 1, −2, 1, −10, −20 • poˇcet znaménkov´ ych zmˇen je 3 ⇒ poˇcet kladn´ ych koˇren˚ u je 3 nebo 1; • A = max {|1|; | − 2|; |1|; | − 10|; | − 20|} + 1 = 21

•

ai = a0 = −20

...

nejmenˇs´ı záporn´ y koeficient v posloupnosti 1, −2, 1, −10, −20;

ar = a3 = −2

...

prvn´ı záporn´ y koeficient;

as = a4 = 1

...

nejvˇetˇs´ı kladn´ y koeficient pˇred prvn´ım záporn´ ym koeficientem;

B = 20

...

nejvˇetˇs´ı z absolutn´ıch hodnot záporn´ ych koeficient˚ u.

a pro odhady plat´ı | − 20| = 21 |1| √ √ n−r 4−3 B =1+ 20 = 21 – Lagrangova vˇeta α < 1 + r 4−3 | − 20| – Tillova vˇeta α < 1 + = 21 1

– Maclaurinova vˇeta α < 1 +

47

10. záˇr´ı 2010


48

Odhady nám nepomohly, budeme opakovat postup pro polynom Q(x) = P (−x) a t´ım z´ıskáme doln´ı odhad koˇren˚ u polynomu Q(x) = P (−x) = x4 + 2x3 + x2 + 10x − 20 a pro odhady koˇren˚ u tohoto polynomu plat´ı • posloupnost koeficient˚ u 1, 2, 1, 10, −20 • poˇcet znaménkov´ ych zmˇen je 1 ⇒ poˇcet kladn´ ych koˇren˚ u polynomu Q(x) je 1 ⇒ poˇcet záporn´ ych koˇren˚ u polynomu P (x) je 1; • A = max {|1|; |2|; |1|; |10|; | − 20|} + 1 = 21

•

ai = a0 = −20

...

nejmenˇs´ı záporn´ y koeficient v posloupnosti 1, 2, 1, 10, −20;

ar = a0 = −20

...

prvn´ı záporn´ y koeficient;

as = a1 = 10

...

nejvˇetˇs´ı kladn´ y koeficient pˇred prvn´ım záporn´ ym koeficientem;

B = 20

...

nejvˇetˇs´ı z absolutn´ıch hodnot záporn´ ych koeficient˚ u.

a pro odhady plat´ı | − 20| = 21 |1| √ √ . n−r 4−0 – Lagrangova vˇeta α < 1 + B =1+ 20 = 3.115 r 1−0 | − 20| =3 – Tillova vˇeta α < 1 + 10

– Maclaurinova vˇeta α < 1 +

Reálné koˇreny polynomu P (x) = x4 − 2x3 + x2 − 10x − 20 leˇz´ı v intervalu h−3; 21i. Jeden koˇren je záporn´ y a bud’ tˇri nebo jeden koˇren je kladn´ y.

48

10. záˇr´ı 2010


5.3

49

Numerick´ e metody odhadu re´ aln´ ych koˇ ren˚ u polynomu P (x)

• Metoda p˚ ulen´ı intervalu Pˇredpokládáme, ˇze existuje interval hc1 ; c2 i takov´ y, ˇze P (c1 ) · P (c2 ) < 0, ve kterém existuje alespoˇ n jeden koˇren polynomu. c1 + c2 a bud’ P (c3 ) = 0 a c3 je koˇren nebo P (c3 ) 6= 0. Z interval˚ u hc1 ; c3 i a Pak oznaˇc´ım c3 = 2 hc3 ; c2 i vyberu interval, ve kterém funkˇcn´ı hodnoty v krajn´ıch bodech maj´ı r˚ uzná znaménka, tj. pro kter´ y plat´ı P (ci ) · P (cj ) < 0. Postup opakuji dokud urˇcen´ı koˇrenu nen´ı dostateˇcnˇe pˇresné, tj. dokud nen´ı |ci − ci+1 | < ε

• Metoda seˇ cen (metoda regula falsi) Pˇredpokládáme, ˇze existuje interval hc1 ; c2 i takov´ y, ˇze P (c1 ) · P (c2 ) < 0, ve kterém existuje alespoˇ n jeden koˇren polynomu. c2 P (c1 ) − c1 P (c2 ) Pak oznaˇc´ım c3 = pr˚ useˇc´ık spojnice bod˚ u [c1 ; P (c1 )] a [c2 ; P (c2 )] s osou x. Z P (c1 ) − P (c2 ) interval˚ u hc1 ; c3 i a hc3 ; c2 i vyberu interval, ve kterém funkˇcn´ı hodnoty v krajn´ıch bodech maj´ı r˚ uzná znaménka, tj. pro kter´ y plat´ı P (ci ) · P (cj ) < 0. Postup opakuji dokud urˇcen´ı koˇrenu nen´ı dostateˇcnˇe pˇresné, tj. dokud nen´ı |ci − ci+1 | < ε

49

10. záˇr´ı 2010


50

• Metoda teˇ cen (Newtonova metoda) Pˇredpokládáme, ˇze existuje interval hc1 ; c2 i takov´ y, ˇze P (c1 ) · P (c2 ) < 0, ve kterém existuje alespoˇ n jeden koˇren polynomu. A dále pˇredpokládejme, ˇze derivace P 0 (x) a P 00 (x) maj´ı ve sledovaném intervalu stálé znaménko. P (ck ) . Pak posloupnost bod˚ u vytvoˇr´ıme podle vztahu ck+1 = ck − 0 P (ck ) Postup opakuji dokud urˇcen´ı koˇrenu nen´ı dostateˇcnˇe pˇresné, tj. dokud nen´ı |ci − ci+1 | < ε

50

10. záˇr´ı 2010


5.4

51

Rozklad lomen´ e racion´ aln´ı funkce na parci´ aln´ı zlomky

Pro funkce typu

Pn (x) , kde Pn a Qm jsou polynomy plat´ı Qm (x)

Pn (x) Pñ˜ (x) 1. pokud n ≥ m, pak existuj´ı polynomy Rn−m a Pñ˜ (˜ n < m) takové, ˇze = Rn−m − Qm (x) Qm (x) a ˇreˇs´ıme rozklad pro pod´ıl polynom˚ u, kde polynom ve jmenovateli Qm (x) má vyˇsˇs´ı stupeˇ n neˇz polynom v ˇcitateli Pn (x) 2. polynom Qm (x) má jednoduché reálné koˇreny x1 .x2 , . . . , xm pak existuj´ı reálná ˇc´ısla A, B, C, . . . A B C Pn (x) = + + + ... Qm (x) x − x1 x − x2 x − x 3 koeficienty A, B, C, . . . urˇc´ıme porovnán´ım koeficient˚ u u t´ ychˇz mocnin promˇenn´ ych nebo podle Pn (x1 ) Pn (x2 ) Pn (x3 ) vztah˚ uA= 0 ,B= 0 ,C= 0 , ... Qm (x1 ) Qm (x2 ) Qm (x3 ) 3. polynom Qm (x) má reálné koˇreny, z nichˇz nˇekteré jsou v´ıcenásobné: x1 je α-násobn´ y, x2 je β− násobn´ y koˇren . . . , pak existuj´ı reálná ˇc´ısla A1 , A2 , . . . , Aα , B1 , B2 , . . . , Bβ , C1 , C2 , . . . Pn (x) A1 A2 Aα B1 Bβ C = + +···+ + +... α + 2 +···+ β Qm (x) (x − x1 ) (x − x1 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 ) (x − x2 ) 4. polynom Qm (x) má jednoduché komplexn´ı koˇreny x1 , x2 , . . . , xm/2 a k nim vˇzdy koˇreny komplexnˇe sdruˇzené x¯1 , x¯2 , . . . , x¯m/2 , pak existuj´ı reálná ˇc´ısla P1 , P2 , . . . , Q1 , Q2 . . . P1 x + Q1 P2 x + Q2 Pn (x) = 2 + 2 + ... Qm (x) x + p1 x + q 1 x + p2 x + q2 kde plat´ı p2i − 4qi < 0 a ˇreˇsen´ım rovnic x2 + pi x + qi = 0 jsou komplexnˇe sdruˇzené koˇreny xi a x¯i . 5. polynom Qm (x) má v´ıcenásobné komplexn´ı koˇreny x1 , x¯1 jsou α-násobné koˇreny, x2 , x¯2 jsou β− násobné koˇreny . . . , pak plat´ı Pn (x) P1 x + Q 1 P2 x + Q2 Pα x + Qα Pα+1 x + Qα+2 + ··· + 2 + 2 = 2 + + ... α 2 Qm (x) x + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 ) x + p2 x + q 2 Pˇr´ıklady na rozklad parciáln´ıch zlomk˚ u •

3 x3 + 12 x2 + 7 x + 2 −2 x + 2 A B A (x + 3) + B (x + 1) = 3 x+ = 3 x+ + = 3 x+ 2 x + 4x + 3 (x + 1) (x + 3) (x + 1) (x + 3) (x + 1) (x + 3) a porovnán´ım koeficient˚ u dostaneme ) A +B = −2 A = 2 =⇒ 3 A +B = 2 B = −4 51

10. záˇr´ı 2010


•

•

52

A2 3x + 1 A1 A1 (x − 3) + A2 + a porovnán´ım koeficient˚ u dostaneme 2 = 2 = x − 3 (x − 3) (x − 3) (x − 3)2 ) A1 = 3 A1 = 3 =⇒ A2 = 10 −3 A1 +A2 = 1 3 x3 + 10 x2 − x A1 B1 A2 B2 = + = + + 2 2 x − 1 (x − 1) x + 1 (x + 1)2 (x2 − 1) A1 (x − 1) (x + 1)2 + A2 (x + 1)2 + B1 (x − 1)2 (x + 1) + B2 = (x − 1)2 (x + 1)2 a porovnán´ım koeficient˚ u dostaneme  A1 +B1 = 3     A1 +A2 −B1 +B2 = 10  =⇒ −A1 +2A2 −B1 −2B2 = −1      −A1 +A2 +B1 +B2 = 0

•

(x − 1)2

A1 =

4

A2 =

3

B1 = −1 B2 =

2

7 x2 − 10 x + 37 A P x+Q A (x2 − 4 x + 13) + (P x + Q) (x + 1) = + = x3 − 3 x2 + 9 x + 13 x + 1 x2 − 4 x + 13 (x + 1) (x2 − 4 x + 13) a porovnán´ım koeficient˚ u dostaneme  A = 3 A +P = 7    −4 A +P +Q = −10 13 A

+Q =

52

  37 

=⇒ P =

4

Q = −2

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor

6

53

Vektory a vektorov´ y prostor

6.1

Vektorov´ y prostor

V prvn´ı pˇrednáˇsce jsme si upˇresnili a rozˇs´ıˇrili pojem ˇc´ıslo a ˇc´ıselné mnoˇziny. Obecnˇe uvaˇzujme mnoˇzinu, na které jsou zavedeny operace sˇc´ıtán´ı + a násoben´ı · a tyto operace splˇ nuj´ı základn´ı axiomy: asociativita, komutativita, existence nulového prvku vzhledem ke sˇc´ıtán´ı, existence jednotkového prvku vzhledem k násoben´ı, existence inverzn´ıch prvk˚ u vzhledem k násoben´ı a sˇc´ıtán´ı a distributivn´ı zákon. Matematickou strukturu, které má vˇsechny v´ yˇse uvedené vlastnosti naz´ yváme tˇelesem a znaˇc´ıme (T, +, ·). Klasick´ ym pˇr´ıkladem tˇeles jsou mnoˇziny vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel s obvykl´ ymi operacemi, mnoˇziny vˇsech racionáln´ıch ˇc´ısle s obvykl´ ymi operacemi, ale i napˇr´ıklad mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel. Definice 6.1 Vektorov´ y prostor Pˇredpokládejme, ˇze T je nˇejaké tˇeleso (napˇr´ıklad reáln´ a ˇc´ısla). Vektor dimenze n nad tˇelesem T je uspoˇrádaná n-tice (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) prvk˚ u tˇelesa T. ˇ ıslo xi nazýváme i-tá souˇradnice vektoru. C´ Vektor (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) znaˇc´ıme − mathbf x, ev. → x Jsou-li x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) a y = (y1 , y2 , y3 , . . . , yn ) dva vektory stejné dimenze n nad tˇelesem T , pak souˇctem vektor˚ u x a y rozum´ıme vektor (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , . . . , xn + yn ). Je-li a ∈ T prvek tˇelesa T a vektor x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), pak souˇcinem prvku a a vektoru x rozum´ıme vektor x = (a · x1 , a · x2 , a · x3 , . . . , a · xn ). Mnoˇzinu vˇsech vektor˚ u dimenze n nad tˇelesem T spolu s právˇe definovanými operacemi sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a n´ asoben´ı vektoru prvkem tˇelesa nazýváme aritmetick´ y vektorov´ y prostor dimenze n nad tˇ elesem T . Obvykle tento vektorový prostor znaˇc´ıme V. Sˇc´ıtán´ı vektor˚ u stejné dimenze a násoben´ı prvky z tˇelesa T má ˇradu vlastnost´ı spoleˇcn´ ych se sˇc´ıtán´ım a násoben´ım v rámci tˇelesa T . Pro obecné vektorové prostory nen´ı d˚ uleˇzitá jejich konkrétn´ı vyˇc´ıslená podoba (konkrétn´ı hodnoty souˇradnic), ale algebraické vlastnosti sˇc´ıtán´ı a násoben´ı prvky tˇelesa T . • x + y ∈ V pro vˇsechny x, y ∈ V • (x + y) + z = x + (y + z) pro vˇsechny x, y, z ∈ V • x + y = y + x pro vˇsechny x, y ∈ V • existence prvku 0 takového, ˇze x + 0 = x pro vˇsechny x ∈ V • pro vˇsechny x ∈ V existence prvku −x takového, ˇze x + −x = 0 • a · x ∈ V pro vˇsechny x ∈ V a a ∈ T 53

10. záˇr´ı 2010


54

• existence prvku 1 ∈ T takového, ˇze 1 · x = x pro vˇsechny x ∈ V • a · (b · x) = (a · b) · x pro vˇsechny x ∈ V a a, b ∈ T • (a + b) · x) = a · x + b · x pro vˇsechny x ∈ V a a, b ∈ T • a · (x + y) = a · x + a · y pro vˇsechny x, y ∈ V a a ∈ T Prvky prostoru V, které splˇ nuj´ı v´ yˇse uvedená axiomy se naz´ yvaj´ı vektory a prostor V naz´ yváme vektorov´ y prostor. Pˇr´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u Mnoˇ zina Rn s operacemi sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı skal´ arem je mnoˇzina vˇsech n-dimenzionáln´ıch us2 poˇra´dan´ ych n-tic reáln´ ych ˇc´ısel. V prostoru R si m˚ uˇzeme pˇredstavit geometrickou interpretaci vektor˚ u. Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych polynom˚ u s operacemi sˇc´ıtán´ı polynom˚ u a násoben´ı polynom˚ u reáln´ ych ˇc´ıslem je nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorov´ y prostor prvk˚ u tvaru p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + 3 a3 · x + . . . nad tˇelesem reáln´ ych ˇc´ısel. Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych polynom˚ u stupnˇ e nejv´ yˇ se n operacemi sˇc´ıtán´ı polynom˚ u a násoben´ı polynom˚ u reáln´ ych ˇc´ıslem je n- dimenzionáln´ı vektorov´ y prostor prvk˚ u tvaru p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + . . . an · xn nad tˇelesem reáln´ ych ˇc´ısel. Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇ ren´ em intervalu h0, 1i spolu s operacemi (f + g) (x) = f (x) + g(x) a (kf )(x) = kf (x) Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych spojit´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇ ren´ em intervalu h0, 1i Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych diferencovateln´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇ ren´ em intervalu h0, 1i

54

10. záˇr´ı 2010


6.2

55

Voln´ y a v´ azan´ y vektor, podprostor vektorov´ eho prostoru

Term´ıny voln´ y a vázan´ y vektor vycház´ı z geometrické interpretace koneˇcnˇe dimenzionáln´ıch vektor˚ u n R . • Pokud uvaˇzujeme o vektorech jako o prvc´ıch vektorového prostoru V, které splˇ nuj´ı v´ yˇse uvedená pravidla o sˇc´ıtán´ı vektor˚ u, násoben´ı vektor˚ u prvkem tˇelesa T , existenci nulového prvku vektorového prostoru V a podobnˇe, mluv´ıme o voln´ ych vektorech. • Pokud vektor chápeme jako orientovanou spojnici dvou bod˚ u, mluv´ıme o v´ azan´ ych vektorech. Geometrická interpretace souˇctu dvou vektor˚ u pak odpov´ıdá naˇsim stˇredoˇskolsk´ ym znalostem.

Definice 6.2 Podprostor vektorového prostoru. Kaˇzdou podmnoˇzinu U vektorového prostoru V, kter´ a je uzavˇrena v˚ uˇci operac´ım sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı vektor˚ u prvkem z T nazveme vektorovým podprostorem U. Pˇr´ıklady vektorov´ ych podprostor˚ u: 1. Mnoˇzina vˇsech vektor˚ u z prostoru {(k · x1 , k · x2 ); k ∈ R} tvoˇr´ı vektorov´ y podprostor mnoˇziny 2 R. 2. Mnoˇzina spojit´ ych funkc´ı na intervalu h0, 1i tvo59 podprostor vektorov0ho prostoru vˇsech funkc´ı definovan´ ych na intervalu h0, 1i. 3. Prázdn´ y prostor je podprostor vektorového prostoru a cel´ y prostor je také podprostor vektorového prostoru. (jedná se o tzv. triviáln´ı prostory)

55

10. záˇr´ı 2010


6.3

56

B´ aze vektorov´ eho prostoru a souˇ radnice vektorov´ eho prostoru vzhledem k b´ azi

Definice 6.3 Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u a line´ arn´ı obal mnoˇ ziny M . Necht’ jsou dány vektory v1 , v2 , . . . vk line´ arn´ı kombinac´ı tˇechto vektor˚ u rozum´ıme kaˇzdý vektor tvaru α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk Line´ arn´ım obalem mnoˇ ziny M rozum´ıme vˇsechny vektory tvaru α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk , kde v1 , v2 , . . . vk ∈ M. Line´ arn´ı obal znaˇc´ıme L(M ). Lineárn´ım obalem mnoˇziny M jsou vˇsechny vektory, které vzniknou lineárn´ı kombinac´ı“ vektor˚ uz ” ˇ mnoˇziny. R´ıkáme, ˇze mnoˇzina M generuje lineárn´ı obal L(M ). Napˇr´ıklad 1. pro vektory v1 = (1, 0) a v2 = (0, 1) je jejich lineárn´ım obalem L({(1, 0), (0, 1)}) cel´ y prostor R2 ; 2. pro vektory v1 = (1, 0) a v2 = (2, 0) je jejich lineárn´ım obalem L({(1, 0), (2, 0)}) prostor vˇsech vektor˚ u tvaru (k, 0), kde k ∈ R Definice 6.4 Vektory v1 , v2 , . . . vk jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, jestliˇze z rovnosti α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk = 0 plyne, ˇze α1 = α2 = · · · = αk = 0. Vektory v1 , v2 , . . . vk jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e, jestliˇze existuj´ı α1 , α2 , . . . , αk , z nichˇz alespoˇ n jeden je nenulový, pro která plat´ı rovnost α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk = 0 Dva lineárnˇe závislé vektory se nazývaj´ı koline´ arn´ı vektory (rovnobˇeˇzné). Vektory jsou lineárnˇe závislé, pokud kaˇzd´ y vektor lze napsat jako lineárn´ı kombinaci zbyl´ ych vektor˚ u. Tj. vektory v1 , v2 , . . . vk jsou závislé, pokud vektor v1 je lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u v 2 , v3 , . . . vk .

56

10. záˇr´ı 2010


57

Pˇr´ıklady: 1. vektory v1 = (1, 0) a v2 = (2, 0) jsou lineárnˇe závislé, protoˇze zvol´ım α1 = 2 a α2 = −1 a dostanu α1 · v1 + α2 · v2 = 2 · (1, 0) + −1 · (2, 0) = (2 + (−2), 0) = (0, 0) 2. vektory v1 = (1, 0) a v2 = (0, 1) nejsou lineárnˇe závislé (jsou lineárnˇe nezávislé), protoˇze hledám α1 , α2 tak, aby α1 · (1, 0) + α2 · (0, 1) = (0, 0) tady (α1 , α2 ) = (0, 0) a to je splnˇeno pouze pro α1 = α2 = 0 3. vektory v1 = (1, 3) a v2 = (2, 6) jsou lineárnˇe závislé, protoˇze zvol´ım α1 = −2 a α2 = 1 a dostanu α1 · v1 + α2 · v2 = −2 · (1, 3) + 1 · (2, 6) = (2 + (−2), −6 + 6) = (0, 0) 4. vektory v1 = (1, 3) a v2 = (2, 4) nejsou lineárnˇe závislé (jsou lineárnˇe nezávislé), protoˇze hledám α1 , α2 tak, aby α1 · (1, 3) + α2 · (2, 4) = (0, 0) tady ˇreˇs´ım soustavu

1 · α1 + 2 · α2 = 0 3 · α1 + 4 · α2 = 0 a najdu, ˇze jedin´ ym ˇreˇsen´ım této soustavy je (α1 , α2 ) = (0, 0) 5. Chápeme-li vektory graficky v prostoru R2 ev. R3 jsou smˇernice dvou lineárnˇe závisl´ ych vektor˚ u (kolineárn´ıch vektor˚ u) jsou shodné. Vektory v1 a v2 jsou kolineárn´ı právˇe tehdy, kdyˇz existuje α ∈ R tak, ˇze v 1 = α · v2

57

10. záˇr´ı 2010


58

Definice 6.5 Mnoˇzinu lineárnˇe nezávislých vektor˚ u v1 , v2 , . . . vk , takových ˇze tyto vektory generuj´ı celý prostor V, tj. ˇze L (v1 , v2 , . . . vk ) = V nazýváme báz´ı vektorového prostoru. Poznámky: 1. Báze vektorového prostoru jsou tedy vektory pomoc´ı“, kter´ ych um´ıme vyjádˇrit vˇsechny ostatn´ı ” vektory z vektorového prostoru. 2. Jestliˇze vektory e1 , e2 , . . . ek tvoˇr´ı bázi vektorového prostoru, pak kaˇzd´ y vektor v ∈ V lze napsat jako lineárn´ı kombinaci bazick´ ych vektor˚ u α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 + · · · + αk · ek = v 3. V jednom vektorovém prostoru m˚ uˇze existovat v´ıce báz´ı, dokonce tˇechto báz´ı existuje nekoneˇcnˇe. • Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) tvoˇr´ı bázi vektorového prostoru R3 • Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (1, 1, 1) tvoˇr´ı bázi vektorového prostoru R3 • Vektory (−1, 0, 0), (0, −1, 0) a (−2, 2, 5) tvoˇr´ı bázi vektorového prostoru R3 • Vektory (1, 0, 0), (0, x, 0) a (0, 0, x2 ) tvoˇr´ı bázi vektorového prostoru vˇsech polynom˚ u stupnˇe nejv´ yˇse 2. Vˇ eta 6.1 Poˇcet prvk˚ u báze je roven dimenzi vektorového prostoru. Aritmetick´ y vektorov´ y prostor zaloˇzen´ y na souˇradnic´ıch v sobˇe jiˇz obsahuje bázi prostoru. Souˇradnice vektoru nám urˇcuj´ı koeficienty α1 , α2 , . . . , αn z definice lineárnˇe závisl´ ych vektor˚ u. Pokud bychom zvolili jiné bazické vektory, dostaneme jiné souˇradnice. Systém nen´ı invariantn´ı v˚ uˇci zmˇenˇe souˇradnic.

58

10. záˇr´ı 2010


6.4

59

Skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u a norma vektoru, vektorov´ y souˇ cin v R3

Vektorov´ y prostor Rn je prostor, kter´ y kromˇe základn´ıch vlastnost´ı vektorov´ ych prostor˚ u splˇ nuje jeˇstˇe ˇradu dalˇs´ıch dobr´ ych“ vlastnost´ı. ” 1. V prostoru Rn jsou vzájemnˇe jednoznaˇcnˇe propojeny“ body a vektory. Libovoln´ ym dvou bod˚ um ” A = (a1 , a2 , . . . , an ) a B = (b1 , b2 , . . . , bn ), m˚ uˇzeme pˇriˇradit vektor vycházej´ıc´ı z bodu A a smˇeˇruj´ıc´ı do bodu B, −→ − v=→ v = AB = B − A = (b1 − a1 , b2 − a2 , . . . , bn − an ) Jedná se o afinn´ı prostor. 2. V prostoru um´ıme definovat normu (délku) vektoru q kvk = |v| = v12 + v22 + v32 + · · · + vn2 Jedná se o normovan´ y lineárn´ı prostor. Libovoln´ y vektor v m˚ uˇzeme normovat tak, ˇze v´ ysledn´ y vektor má normu (délku) jedna: u=

v |v|

3. V prostoru um´ıme definovat skalárn´ı souˇcin u, v ∈ Rn následuj´ıc´ım zp˚ usobem ρ(u, v) = u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 + · · · + un · vn Jedná se o prostor se skalárn´ım souˇcinem. V kaˇzdém prostoru se skalárn´ım souˇcinem lze definovat normu p kvk = ρ(u, v) Jsou-li u, v ∈ R3 dva nenulové vektory, pak pro jejich skalárn´ı souˇcin plat´ı u · v = |u| · |v| · cos ϕ, kde ϕ je u ´hel, kter´ y dané vektory sv´ıraj´ı. 4. V prostorech se skalárn´ım souˇcinem definujeme pojem, kolmé vektory. ˇ Definice 6.6 Rekneme, ˇze dva nenulové vektory u, v ∈ Rn jsou kolm´ e vektory, pokud u·v =0

59

10. záˇr´ı 2010


60

V prostorech R2 , resp. R3 jsou kolmé vektory ty vektory, pro které plat´ı cos ϕ =

u·v =0 |u| · |v|

tj. cos ϕ = 0, speciálnˇe tedy vektory, které sv´ıraj´ı u ´hel

π = 90◦ 2

5. Jsou-li vektory lineárnˇe nezávislé a kolmé, naz´ yváme je ortogon´ aln´ı vektory. Báze tvoˇrená ortogonáln´ımi vektory se naz´ yvá ortogonáln´ı báze. Jsou-li vektory nav´ıc jednotkové (maj´ı-li normu jedna), naz´ yváme je ortonorm´ aln´ı vektory. Báze tvoˇrená ortonormáln´ımi vektory se naz´ yvá ortonormáln´ı báze. 6. V prostoru R3 lze definovat téˇz vektorov´ y souˇ cin u × v = (u2 · v3 − u3 · v2 , u3 · v1 − u1 · v3 , u1 · v2 − u2 · v1 ) V´ ysledkem vektorového souˇcinu je vektor. Vektorov´ y souˇcin dvou lineárnˇe závisl´ ych vektor˚ u je nulov´ y vektor. Vektorov´ y souˇcin dvou lineárnˇe nezávisl´ ych vektor˚ u w = u × v má následuj´ıc´ı vlastnosti • Vektorov´ y souˇcin je kolm´ y k obˇema dan´ ym vektor˚ um: u · w = 0 a v · w = 0 • Norma (délka) vektorového souˇcinu je ˇc´ıselnˇe rovna obsahu rovnobˇeˇzn´ıku urˇceného vektory u a v. |w| = |u| · |v| · sin ϕ, kde ϕ je u ´hel vektor˚ uu

60

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - základn´ı pojmy a definice

7

61

Matice - z´ akladn´ı pojmy a definice

Definice 7.1 Matic´ı A typu m × n nazýváme schéma sloˇzené z m · n prvk˚ u (reálných, komplexn´ıch, celých ˇc´ısel, . . . ), které jsou uspoˇrádány do m ˇrád˚ u a n sloupc˚ u.   a11 a12 . . . a1n  . ..  i=1...m .. P´ıˇseme A =  .    = (aij )j=1...n am1 ... amn • ˇc´ıslo aij nazýváme prvkem matice; • index i oznaˇcuje ˇc´ıslo ˇrádku (ˇrádkový index); • index j oznaˇcuje ˇc´ıslo sloupce (sloupcový index). Pˇr´ıklad: 

1

2

3

4



    5 6 3.7 0   4 −2 8 −7.89 Dalˇs´ı pojmy: • Prvky se stejn´ ym ˇrádkov´ ym a sloupcov´ ym indexem ai i nazveme diagonáln´ı prvky a jejich spojnici nazveme hlavn´ı diagonálou matice A. • Prvky s indexy ai n−i nazveme prvky vedlejˇs´ı diagonály. • Matice se naz´ yvá ˇctvercovou matic´ı, pokud n = m, ˇc´ıslo n se naz´ yvá ˇra´d matice. • Nulová matice je matice Am,n , jej´ıˇz vˇsechny prvky jsou nulové, nulovou matici znaˇc´ıme O. • Matice, která má na hlavn´ı diagonále prvn´ıch h prvk˚ u (h ≤ m, h ≤ n) nenulov´ ych a ostatn´ı prvky nulové se naz´ yvá diagonáln´ı matice. • Troj´ uheln´ıková matice je matice, v n´ıˇz jsou prvky po jedné stranˇe hlavn´ı diagonály rovny nule. Jsou-li prvky pod hlavn´ı diagonálou rovny nule, mluv´ıme o horn´ı troj´ uheln´ıkové matici. Jsou-li prvky nad hlavn´ı diagonálou rovny nule, mluv´ıme o doln´ı troj´ uheln´ıkové matici. Pˇr´ıklady troj´ uheln´ıkov´ ych matic: 

1

0 0 0



   5  6 0 0   4 −2 8 0 61



1 a a 2 a3

  0 1  0 0

a 1



 a2   a 10. záˇr´ı 2010


62

ˇ • Ctvercov´ a diagonáln´ı matice, která má diagonáln´ı prvky rovny jedniˇcce, se naz´ yvá jednotkov´ a matice a znaˇc´ı se In nebo En . 

1 0 0 0



  0 1 0 0 I4 =   0 0 1 0  0 0 0 1

    

ˇ • Ctvercov´ a matice A = (aij )i,j=1...n se naz´ yvá symetrická matice, pokud pro jej´ı prvky plat´ı ai,j = aj,i . ˇ • Ctvercov´ a matice A = (aij )i,j=1...n se naz´ yvá antisymetrická matice, pokud pro jej´ı prvky plat´ı ai,j = −aj,i . Z definice plyne, ˇze diagonáln´ı prvky antisymetrické matice mus´ı b´ yt rovny nule.

7.1

Operace s maticemi

Mezi základn´ı operace s maticemi patˇr´ı: transpozice matic, sˇc´ıtán´ı a odˇc´ıtán´ı matic se stejn´ ymi rozmˇery, násoben´ı matice reáln´ ym (komplexn´ım) ˇc´ıslem, násoben´ı dvou matic (pokud maj´ı pˇr´ısluˇsné rozmˇery). Definice 7.2 Necht’ je dána matice A = (aij )i=1...m j=1...n typu m×n, pak matici s prvky (bij = aji ) nazveme transponovanou matic´ı k matici A a znaˇc´ıme ji AT . (Transponovaná matice vznikne pˇrehozen´ım ” ˇr´ adk˚ u a sloupc˚ u“ p˚ uvodn´ı matice)  1 0 −2 −4

A=

5 6

0

3

!

1 5



   0 6    A =   −2 0  −4 3 T

Definice 7.3 Sˇ c´ıt´ an´ı matic, odˇ c´ıt´ an´ı matic a n´ asoben´ı matic konstantou Necht’ jsou d´ any dvˇe matice A, B stejných rozmˇer˚ u, pak matici s prvky ai j +bi j nazveme souˇctem matic A a B. Znaˇc´ıme A + B. (pˇri sˇc´ıtán´ı provád´ıme operaci sˇc´ıtán´ı prvek po prvku). Analogicky definujeme odˇc´ıtán´ı matic a násoben´ı matic reálným ˇc´ıslem (komplexn´ım ˇc´ıslem, konstantou). 1

0 −2

−5 −6

0

! +

1 5 5 0 6 0

! =

1+1

0 + 5 −2 + 5

−5 + 0 −6 + 6

0+0

! =

2 5 3

!

−5 0 0

Pokud matice nemaj´ı stejn´ y rozmˇer, nelze odˇc´ıtat nebo sˇc´ıtat:

62

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - základn´ı pojmy a definice  1

0 −2

−5 −6

!

0

1 5 5

63



   +  0 6 0   1 0 0

=

neexistuje

Pˇri násoben´ı matice konstantou zapisujeme λ · A a!násob´ıme opˇet prvek po prvku: ! 1 0 −2 10 0 −20 10 · = −5 −6 0 −50 −60 0 Vˇ eta 7.1 Pro sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı a násoben´ı matic konstantou plat´ı následuj´ıc´ı vztahy (pˇredpokladem je, ˇze matice A,B a C maj´ı stejné rozmˇery, r, s jsou reálná (resp. komplexn´ı) ˇc´ısla): • A + B = B + A komutativn´ı zákon • (A + B) + C = A + (B + C) asociativn´ı zákon • (A + B)T = AT + B T • A+0=0+A=A • r A + sA = (r + s) A distributivn´ı zákon • r (A + B) = r A + r B distributivn´ı zákon • (r A)T = r AT • (−1)A = −A Definice 7.4 Necht’ matice A je matice s rozmˇery m × n a matice B je matice s rozmˇery n × p, pak n X aik bkj . souˇcinem matic A · B nazveme matici C s prvky cij = k=1

Výsledná matice C = A · B má rozmˇery m × p

Násobek matic vznikne tak, ˇze prvek ci j matice souˇcinu je roven skalárn´ımu souˇcin i− tého ˇra´dku prvn´ matice.  ı matice aj− tého sloupce druhé       3 2 1 21 + 12 + 0 24 + 2 + 1 33 27 7 8        0       8 5    ·  6 1  =  0 + 48 + 0 0 + 8 + 5  =  48 13   1 −1 0   7−6+0 8−1+0   1 7          0 1 0 0 1 0+0+0 0+0+1 0 1

ˇ ´ POKUD NESOUHLASÍ ROZMERY MATIC, NELZE MATICE NASOBIT ! 63

10. záˇr´ı 2010


3 2 1

!

7 8 1

·

0 8 5

64

! =

6 1 0

neexistuje

´ Í MATIC NENÍ KOMUTATIVNÍ A · B 6= B · A NASOBEN

1 0

! ·

2 1

1 3

1 3

1 0

·

3 6

!

2 1

!

1 3

=

1 0

!

1 0

!

!

7 3

=

1 0

Vˇ eta 7.2 Pro násoben´ı matic plat´ı následuj´ıc´ı vztahy (pˇredpokladem je, ˇze matice A,B a C maj´ı pˇr´ısluˇsné rozmˇery takové, ˇze násobky matic existuj´ı): • A · (B · C) = (A · B) · C asociativn´ı zákon • (A + B) · C = A · C + B · C distributivn´ı zákon • (A · B)T = B T · AT !! • A·0=0·A=0 • r(A · B) = (r · A) · B • A · B = 0 6⇒ A = 0 ∨ B = 0 Definice 7.5 Necht’ n ∈ N je pˇrirozené ˇc´ıslo a matice A je ˇctvercová matice, pak mocninu matice definuji indukˇcn´ım postupem: • A2 = A · A • An = A · An−1 Matici A, pro kterou existuje pˇrirozené ˇc´ıslo n takové, ˇze plat´ı An = 0 nazveme nilpotentn´ı matic´ı. Pˇr´ıklady netriviáln´ıch nilpotentn´ı matic: 

0 1

3



   0 0 −1    0 0 0



0 0 0 0



   2 0 0 0     1 3 0 0    0 2 4 0

 1

1

!   

−1 −1

64

1

1

1



 1   −2 −2 −2 1

1

10. záˇr´ı 2010


7.2

65

Determinant maticemi

P´ ar pozn´ amek na zaˇ c´ atku Determinant je ˇc´ıslo, které pˇriˇrad´ıme ˇctvercové matici determinant matice A spoˇctu podle vztahu ! a a11 a12 11 a12 det = a21 a22 a21 a22

A. Pokud A je ˇctvercová matice 2 × 2, pak = a11 a22 − a12 a21

a absolutn´ı hodnota determinant matice A udává obsah rovnobˇeˇzn´ıku urˇceného ˇra´dkov´ ymi (sloupcov´ ymi) vektory matice A. ! ! v1 1 1 = Uvaˇzujme vektor v1 = (1, 1) a vektor v2 = (−2, 2), sestav´ıme matici A = v2 −2 2 Determinant této matice je roven Determinant má vˇsak i ˇradu dalˇs´ıch pouˇzit´ı, jak uvid´ıme pozdˇeji. ! 1 1 = 1 · 2 − 1 · (−2) = 4 det(A) = det −2 2 Pokud zakresl´ıme vektory do obrázku a√vykresl´ıme y tˇemito vektory, vid´ıme, ˇze √ rovnobˇ √ eˇzn´ık urˇc√en´ 2 2 se jedn´ √ a o√obdeln´ık se stranami délky 1 + 1 = 2 a 2 + 2 = 8. Obsah tohoto obdeln´ıku je S = 2 · 8 = 4.

Definice 7.6 Definice determinantu indukc´ı Necht’ A je ˇctvercová matice ˇrádu n, pak determinant matice nazvu ˇc´ıslo det A, které dostanu • pro n = 1 je det (a11 ) = a11 • pro n = 2 je det

a11 a12 a21 a22

!

a 11 a12 = a21 a22

= a11 a22 − a12 a21 65

10. záˇr´ı 2010


66

• pro n > 2 det A rozvojem podle zvoleného ˇrádku nebo sloupce det A = ai1 · (−1)i+1 · det Ai1 + + ai2 · (−1)i+2 · det Ai2 + + ai3 · (−1)i+3 · det Ai3 + kde det Aij je subdeterminant matice Aij , která vznikne +

...

+

i+n

+ ain · (−1) · det Ain vynechán´ım i-tého ˇrádku a k-tého sloupce matice A. Pˇ ypoˇcet determinantu matice rozvojem podle prvn´ıho ˇrádku: r´ıklad na v´ ! ! ! 1 2 3 5 6 4 6 4 5 4 5 6 = 1 · det − 2 · det + 3 · det = 1 · (−3) − 2 · (−6) + 3 · (−3) = 0 8 9 7 9 7 8 7 8 9 Nedostatkem této definice je jej´ı nejednoznaˇcnost, nen´ı urˇceno podle kterého ˇra´dku dˇelám rozvoj. Lze dokázat, ˇze v´ ysledek v´ ypoˇctu nezávis´ı na zvoleném ˇra´dku a nav´ıc lze determinant matice poˇc´ıtat stejn´ ym postupem rozvojem podle libovolnˇe zvoleného sloupce.

Pˇ ri v´ ypoˇ ctu determinantu rozvojem je jedno podle kter´ eho sloupce nebo ˇ r´ adku rozvoj provedu. ˇ ADEK ´ ˇ S ˇÍM POCTEM ˇ Obvykle VOLÍM SLOUPEC nebo R s NEJVET NUL !

66

10. záˇr´ı 2010


67

Vˇ eta 7.3 Vlastnosti determinant˚ u • det A = det AT . 1 2 1 3 2 4 5 1 3 6 7 5 = 4 8 3 7

1 2 3 4 2 4 6 8 1 5 7 3 3 1 5 7

• Má-li matice jeden ˇrádek nebo sloupec nulový, pak je jej´ı determinant roven nule. • Má-li matice dva shodné ˇrádky nebo dva shodné sloupce, pak je jej´ı determinant roven nule. • Pokud matice A je diagonáln´ı nebo troj´ uheln´ıková, pak det je souˇcin prvk˚ u na diagon´ ale. Tj. n det A = Πi=1 aii = a11 · a22 · · · · · ann • pro matici typu 3 × 3 plat´ı Sarrusovo pravidlo. −

−

−

%

%

%

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 &

&

&

+

+

+

´ ˇ AD ´ U ˚ PODOBNE ´ PRAVIDLO NEPLATI´ !! PRO MATICE VYSˇSˇICH R

67

10. záˇr´ı 2010


68

Element´ arn´ı u ´ pravy matice a determinant

• Vznikne-li matice B z matice A v´ ymˇenou dvou ˇrádk˚ u (nebo dvou sloupc˚ u), pak det B = − det A. • Vznikne-li matice B z matice A vynásoben´ım a a 11 a12 . . . 11 a12 . . . a1n ... ... kai1 kai2 . . . kain = k · ai1 ai2 . . . ... ... an1 an2 . . . an1 an2 . . . ann • Vznikne-li matice B z matice A pˇriˇc ten´ım a a a12 ... 11 11 ... ... ai1 + b1 ai2 + b2 . . . ain + bn = ai1 ... ... an1 an1 an2 ...

jednoho ˇrádku ˇc´ıslem k, pak det B = k det A. a1n ain ann

vektoru (b1 , b 2 , . . . , bn ) k i− tému ˇra´dku, pak plat´ı a12 . . . a11 a12 . . . ... + ai2 . . . ain b1 b2 . . . bn ... an2 ... an1 an2 . . .

• Vznikne-li matice B z matice A pˇriˇcten´ım jiného ˇra´dku nebo pˇriˇcten´ım pak det B = det A a a a . . . a a . . . 11 12 11 12 11 ... ... . . . a a . . . a a a . . . a ak1 k1 k2 kn k1 k2 kn = ... + t ... . . . ak1 ai1 + tak1 ai2 + tak2 . . . ain + takn ai1 ai2 . . . ain ... . . . . . . an1 an1 an2 ... an1 an2 ...

68

násobku jiného ˇra´dku, a12

...

ak2 . . . akn ak2 . . . akn an2

...

.

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - základn´ı pojmy a definice =

a11 a12

...

... ak1 ak2 . . . akn ... ai1

ai2

. . . ain

... an1 an2

...

69

+ t · 0.

Pˇ ri v´ ypoˇ ctu sloˇ zitˇ ejˇ s´ıch determinant˚ u nejprve matici uprav´ım pomoc´ı element´ arn´ıch u ´ prav s c´ılem z´ıskat sloupec nebo ˇ r´ adek s velk´ ym“ poˇ ctem nul a d´ ale provedu rozk” lad podle sloupce nebo ˇ r´ adku. Pˇ ypoˇcet determinantu ych u ´prav a rozvojem maticov´ s pouˇzit´ım elementárn´ıch r´ıklad na v´ −3 −1 −3 2 0 7 0 2 4 −3 2 7 0 2 −2 0 −7 −1 −10 0 1 3 5 −2 −2 0 1 3 = 4 4 0 6 −4 −1 = 1 · 0 6 −4 −1 = 4 6 −4 −1 5 5 1 10 −4 5 1 10 −4 5 −10 −26 8 −12 5 8 −12 3 4 −4 3 −10 0 −26

2 7 0 2 0 0 1 0 −4 6 −4 11 6 −26 8 −36

7 2 2 = 1· −4 6 11 6 −26 −36

7 2 2 = 0 20 15 0 −47 −42

= 2·20·(−42)−2·15·(−47) = 270

ˇ Definice 7.7 Ctvercov´ a matice se nazývá regulárn´ı matice právˇe tehdy, kdyˇz det(A) 6= 0. ˇ Ctvercov´ a matice se nazývá singulárn´ı matice právˇe tehdy, kdyˇz det(A) = 0. Vˇ eta 7.4 Necht’ A a B jsou ˇctvercové matice stejného stupnˇe a R je regulárn´ı matice, pak plat´ı • det(A · B) = det(A) · det(B). • det(R−1 ) = det(R)−1 =

1 det(R)

Pro determinant souˇctu matic podobn´ y vztah neplat´ı ! 69

10. záˇr´ı 2010


7.3

70

Inverzn´ı matice

Definice 7.8 Necht’ A je regulárn´ı matice, I je jednotková matice. Inverzn´ı matic´ı k matici A nazýváme matici A−1 , pro kterou plat´ı A−1 A = AA−1 = I.

7.4

V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice pomoc´ı Jordanovy eliminace

ˇ sen´ı soustavy rovnic Jordanovou eliminac´ı Reˇ 

2 −3

  1  0







1

2 −1

   2 −1 3   ∼  0 −7 1 0 3 0 1

1 2 −1

  0 1  0 0



1 0

3









1

2 −1

   3 −6  1 ∼ 0 0 3 0 −7

1 2 −1 3

   3  ∼ 0 1 3 15 0 0 0

3





1 2 0 8

3



 3  ∼ 3 −6

0



    0 1 0 3 ∼ ∼ 0 3     1 5 0 0 1 5



1 0 0 2 x=2    0 1 0 3 ⇒ y=3   z=5 0 0 1 5 Jordanova metoda v´ ypoˇ ctu inverzn´ı matice AA−1 = I Rozep´ıˇseme v´ yˇse uvedenou rovnost pro matici 3 × 3 

a11 a12 a13



x11 x12 x13





1 0 0



      a21 a22 a23   x21 x22 x23  =  0 1 0       a31 a32 a33 x31 x32 x33 0 0 1

Hled´ ı matice an´ı inverzn´    tedy odpov´ıdá ˇreˇsen´ı tˇr´ı soustav lineárn´ıch rovnic x11 1 a11 x11 + a12 x21 + a13 x31 = 1        A·  x21  =  0  ⇒ a21 x11 + a22 x21 + a23 x31 = 0 x31 0 a31 x11 + a32 x21 + a33 x31 = 0

70

10. záˇr´ı 2010


Maticov´ y zápis   tˇr´ı soustav  rovnic 1 0     A   0  1   A 0 0





  

  

0

1 1

Urˇcete inverzn´ı matici k matici A =



 0   1

A

Vˇsechny tˇri soustavy   ˇreˇs´ıme najednou (A|I)  1 0 0 1 0 0     A   0 1 0  ∼ ··· ∼ ··· ∼ ··· ∼  0 1 0  0 0 1 0 0 1

Pˇr´ıklad:

71

 A−1

  

! :

1 2





1 0 1    Urˇcete inverzn´ı matici k matici B =  0 1 0  : 1 1 2 Urˇcen´ı inverzn´ı matice pomoc´ı determinant˚ u Vˇ eta 7.5 Necht’ A je regulárn´ı matice, pak pro inverzn´ı matici plat´ı

 A−1

D11 D12

 1   D21 D22 = det A   ... ... ...

...

T

...



   D12 D22 . . . ...  1   =   ... ... det A   Dnn . . . . . . Dnn

    

...



D11 D21

ˇc´ıslo Dij = (−1)i+j · det Aij je algebraický doplnˇek prvku aij Znovu pˇr´ıklady Urˇcete inverzn´ı matici k matici A =

1 1 1 2

! : 71

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - základn´ı pojmy a definice 

1 0 1

72



  : Urˇcete inverzn´ı matici k matici B =  0 1 0   1 1 2 Vˇ eta 7.6 Vlastnosti inverzn´ı matice 1. (A−1 )−1 2. (A · B)−1 = B −1 · A−1 3. (AT )−1 = (A−1 )T 4. det A−1 =

1 det A

5. Ke kaˇzdé regulárn´ı matici existuje právˇe jedna inverzn´ı matice.

72

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava lineárn´ıch rovnic

8

73

Soustava line´ arn´ıch rovnic

Definice 8.1 Necht’ aij , bi , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n jsou reálná (nebo komplexn´ı) ˇc´ısla. Soustavu a11 x1 + a12 x2 + . . . +a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . +a2n xn

= b2

... am1 x1 + am2 x2 + . . . +amn xn = bm nazýváme soustavou m lineárn´ıch rovnic o n neznám´ ych. Rovnici ˇcasto zapisujeme v maticovém tvaru Ax = b 

a11

a12 . . . a1n





b1



      b  x a22 . . . a2n  2 1          ...   x2   ...    , x =   . . . , b =  . . .   ...          ...   x ... n    bm am1 am2 . . . amn Matice A se nazývá matice soustavy, vektor b se nazývá vektor vektor neznámých. Matice  a11 a12 . . . a1n |   a21 a22 . . . a2n | (A|b) =   ... ... ... ... |  am1 am2 . . . amn |

     kde A =      

a21

pravých stran a vektor x se nazýv´ a

b1



 b2     bm

se nazývá rozˇs´ıˇrená matice soustavy.

Jestliˇze b = 0 ˇr´ıkáme, ˇze soustava je homogenn´ı, jestliˇze B 6= 0 jedná se o soustavu nehomogenn´ı. • (Obecné) ˇreˇsen´ı soustavy je kaˇzdá n-tice ˇc´ısel v1 , v2 , . . . , vn taková, ˇze po dosazen´ı za x1 , x2 , . . . , xn budou vˇsechny rovnice splnˇeny. ˇ sit soustavu znamená naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı (vˇsechny n-tice, které vyhovuj´ı soustavˇe) • Reˇ • metody ˇreˇsen´ı: graficky, dosazen´ım, Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou, Cramérov´ ym pravidlem, inverzn´ı matic´ı, speciáln´ımi numerick´ ymi postupy, . . .

73

10. záˇr´ı 2010


8.1

74

Grafick´ eˇ reˇ sen´ı soustavy dvou line´ arn´ıch rovnic o dvou nezn´ am´ ych

ˇ ste graficky soustavu 2 rovnic o dvou neznám´ Reˇ ych. Co to znamená graficky? x − 2y = 2 x + 2y = −4 2x + 4y = 0 x+y =5

2x + 4y

=8

x + 2y = 0

Grafické ˇreˇsen´ı soustavy tˇr´ı rovnic o tˇrech neznám´ ych

74

10. záˇr´ı 2010


8.2

75

Element´ arn´ı u ´ pravy matic a hodnost matice

Definice 8.2 Elementárn´ı ˇrádkové (sloupcové) u ´pravy matic jsou operace 1. Zmˇena poˇrad´ı ˇrádk˚ u (sloupc˚ u). 2. Vynásoben´ı ˇrádku (sloupce) nenulovým ˇc´ıslem. 3. Pˇriˇcten´ı násobku nˇekterého ˇrádku k jinému ˇrádku (totéˇz pro sloupce). Definice 8.3 Hodnost matice A typu m × n je poˇcet nenulových ˇrádk˚ u troj´ uheln´ıkové matice B, kter´ a vznikne z matice A pomoc´ı elementárn´ıch ˇrádkových a sloupcových u ´prav. Pˇrevod matice na troj´ uheln´ıkovou matici se nazývá Gaussova eliminaˇcn´ı metoda. Vznikne-li matice C z matice A pomoc´ı elementárn´ıch u ´prav, ˇr´ıkáme, ˇze C je ekvivalentn´ı s A. • Hodnost matice je tedy ˇc´ıslo h(A), hodnost nenulové matice je v rozmez´ı hodnot 1 aˇz m • Hodnost matice nezávis´ı na poˇrad´ı elementárn´ıch u ´prav, kaˇzdou nenulovou matici lze pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody upravit na horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici. • Hodnost matice A je ˇrád nejvˇetˇs´ıho nenulového subdeterminantu matice. Subdeterminantem ˇrádu k rozum´ıme determinant matice vzniklé z matice A v´ ybˇerem prvk˚ u ve zvolen´ ych k ˇra´dc´ıch a k sloupc´ıch. • Ekvivalentn´ı matice maj´ı stejnou hodnost. Pˇr´ıklad: Urˇcetehodnost následuj´ ıc´ıch matice     1 2 3 1 2 3 1 2 3           A1 =  3 5 1  ∼  0 −1 −8  ∼  0 −1 −8 0 −1 −8 2 3 −2 2 3 −2



1 4 5 2





1

4

5

2











1 2 3     ∼  0 −1 −8  ⇒ h(A1 ) = 2    0 0 0

1 4

5 2



      ∼ 0 ∼ 0 7  ⇒ h(A2 ) = 3 A2 =  7 7 3 7 3 −1 3 2 1       0 0 −3 0 2 1 0 1 0 −7 −10 −3



3

1 1 1



   ⇒ h(A3 ) = 3 A3 =  5 4 6 3   2 −1 0 0

75

10. záˇr´ı 2010


8.3

76

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic

8.3.1

Graficky

8.3.2

Substituˇ cn´ı metoda

Z prvn´ı rovnice vyjádˇr´ım prvn´ı neznámou a dosad´ım do dalˇs´ıch rovnic, t´ım zmenˇs´ım poˇcet rovnic na m − 1, postup opakuji dokud nemám pouze jednu lineárn´ı rovnici. 8.3.3

Gaussovou eliminaˇ cn´ı metodou

Upravuji rozˇs´ıˇrenou matici soustavy na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar. Vˇ eta 8.1 Frobeniova vˇ eta. Soustava m lineárn´ıch rovnic o n neznámých má alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, pr´ avˇe kdyˇz hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozˇs´ıˇrené matice soustavy. Pro soustavu Ax = b s n neznámými plat´ı: • h(A) = h(A|B) = n ⇒ soustava má právˇe jedno ˇreˇsen´ı 

a11 a12 . . . a1n

     

0 a22 . . . a2n . 0 0 .. . . . 0

0 0

amn

| b1



 | b2     |  | bm

• h(A) = h(A|B) < n ⇒ má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı       

a11 a12 . . . a1n | b1



 0 a22 . . . a2n | b2    ...  0 0 ... |  0 0 0 0 | 0

• h(A) 6= h(A|B) ⇒ soustava nemá ˇreˇsen´ı  a a  11 12  0 a22    0 0  0 0

. . . a1n | b1



. . . a2n | b2 ... ... |

     

0

0

| bm

ˇ ste soustavy lin. rovnic Pˇr´ıklad: Reˇ

76

10. záˇr´ı 2010


77

3x1 − 5x2 + 6x3 = −20 −x1 + 2x2 + 5x3

=1

7x1 − 10x2 − 19x3

= −7

ˇreˇsen´ı Gauss. eliminaˇcn´ı metodou ⇒ x1 = 2, x2 = 4, x3 = −1

x1 − 2x2 + x3 = 0 ⇒ x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1

3x1 − 5x2 − 2x3 = −3 7x1 − 3x2 + x3 = 16

2x − 3y + 4z = 8 nemá ˇreˇsen´ı

3x + 5y − z = 10 7x − y + 7z = 15

x + y + 2z = 1 2x

+ 2z = 0

⇒ nekoneˇcnˇe ˇreˇsen´ı x = t, y = 1 − t, z = t kde parametr t ∈ R

⇒ (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(−1, −1, 1) Algoritmus:  a11 a12 . . . a1n b1   a21 a22 . . . a2n b2 A|b =   ...  am1 am2 . . . amn bm 8.3.4

   ,  

Cramerov´ ym pravidlem

Vˇ eta 8.2 Necht’ soustava Ax = b zahrnuj´ıc´ı n rovnic o n neznámých má regulárn´ı matici (det A 6= 0). Pak tato soustava má jediné ˇreˇsen´ı: x1 =

det A1 det A2 det An , x2 = , . . . , xn = , det A det A det A 77

10. záˇr´ı 2010


78

kde Ai je matice, která vznikne z matice A nahrazen´ım i-tého sloupce sloupcem pravých stran. Poznámka: Pouˇzit´ı Cramerova pravidla je velmi nároˇcné na poˇcet operac´ı, pokud rozsah matice je n . . . potˇrebujeme (n − 1)n! násoben´ı, n! − 1 sˇc´ıtán´ı, máme n + 1 determinant˚ u ⇒ (n + 1)[(n − 1)n! + n!] = (n + 1)!n pro n = 30 ⇒ 2.5 · 1035 operac´ı

Pˇr´ıklad: 2x − 3y =

4

5x + 7y = −9

2 −3 6 0 lze pouˇz´ıt Cramerovo pravidlo |A| = = 2 · 7 − (−3) · 5 = 14 + 15 = 29 ⇒ |A| = 5 7 4 −3 det A1 1 = |A1 | = = 4 · 7 − (−3) · (−9) = 28 − 27 = 1 ⇒ x = −9 det A 29 7 2 4 det A2 −38 = |A2 | = = 2 · (−9) − 4 · 5 = −18 − 20 = −38 ⇒ y = 5 −9 det A 29 Vyuˇ zit´ı Cramerova pravidla pro ˇ reˇ sen´ı rovnic s parametrem x + 3y = z = 1 2x − y − 3z =

0

3x + (3a − 1) − 2z = a + 3

3 1 1 |A| = 2 −1 −3 = 15a − 15 ⇒ lze pouˇz´ıt Cramerovo pravidlo pro a 6= 1 3 3a − 1 −2 1 3 1 det Ax a − 25 |Ax | = = 0 −1 −3 = a − 25 ⇒ x = det A 15a − 15 a + 3 3a − 1 −2 1 1 1 det Ay 5a + 10 |Ay | = 2 = 0 −3 = 5a + 10 ⇒ y = det A 15a − 15 3 a + 3 −2

78

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava lineárn´ıch rovnic 3 1 1 |Az | = 2 −1 0 3 3a − 1 a + 3

79

= −a − 20 ⇒ z = det Az = −a − 20 det A 15a − 15

ˇ s´ım soustavu Gaussovou eliminac´ı Pro a = 1 Reˇ 











1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1            (A|b) =  2 −1 −3 0  ∼  0 −7 −5 −2  ∼  0 −7 −5 −2  ⇒ 3 2 −2 1 0 −7 −5 1 0 0 0 3

soustava nemá ˇreˇsen´ı pro hodnotu parametru a = 1 8.3.5

Nalezen´ım inverzn´ı matice

Vˇ eta 8.3 Necht’ soustava Ax = b zahrnuj´ıc´ı n rovnic o n neznámých má regulárn´ı matici (det A 6= 0). Pak existuje inverzn´ı matice k matici A a soustava má jediné ˇreˇsen´ı x = A−1 b Maticovˇe plat´ı A·x=b

79

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava lineárn´ıch rovnic 

a11 a12 . . . a1n

  a21 a22 . . . a2n   ...  an1 an2 . . . ann

 

x1



     x2   ·   ...     xn



x1



   x2     ...    xn



x1





b1

80



   b2   =   ...    bn



a11 a12 . . . a1n

  a21 a22 . . . a2n =   ...  an1 an2 . . . ann



c11 c12 . . . c1n

    x2   c21 c22 . . . c2n     ...  =  ...    xn cn1 cn2 . . . cnn kde prvky cij , i, j = 1, 2 . . . n jsou prvky inverzn´ı matice A−1 .

80

−1      

b1



   b2   ·  ...    bn

 

b1



     b2  ·    ...     bn

10. záˇr´ı 2010


8.4

81

Homogenn´ı a nehomogenn´ı soustavy

Soustava s nulov´ ym sloupcem prav´ ych stran se  a a12 . . . a1n  11  a  21 a22 . . . a2n   ...   ...    ... 

am1 am2 . . . amn

naz´ yvá homogenn´ı soustava.    0        0  x 1           x2   ...     ·   ...  =  ...             x . . . n    0

• Pro homogenn´ı soustavy vˇzdy plat´ı: h(A) = h(A|B) • Jedno ˇreˇsen´ı je vˇzdy x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0. Toto ˇreˇsen´ı naz´ yváme triviáln´ı (nebo nulové). • Pokud h(A) = n ⇒ existuje pouze jedno ˇreˇsen´ı (nulové) homogenn´ı soustavy. • Pokud h(A) < n ⇒ existuje nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı (jedno nulové) homogenn´ı soustavy. Vˇ eta 8.4 Homogenn´ı soustava A · x = b se ˇctvercovou matic´ı A má nenulové ˇreˇsen´ı ⇔ det A = 0. Nehomogenn´ı soustava je soustava s nenulovou  a a12 . . . a1n  11  a  21 a22 . . . a2n   ...   ...    ... 

am1 am2 . . . amn

pravou stranou.          ·       

x1



 x2   ...   xn



     =      

b1



 b2    ...   ...    ...   bm

(Obecn´ e)ˇ reˇ sen´ı nehomogenn´ı soustavy dostaneme tak, ˇ ze seˇ cteme (obecn´ e) ˇ reˇ sen´ı pˇ r´ısluˇ sn´ e homogenn´ı soustavy a jedno ˇ reˇ sen´ı zadan´ e nehomogenn´ı soustavy. ˇ ste nehomogenn´ı soustavu pomoc´ı homogenn´ı a porovnejte toto ˇreˇsen´ı s ˇreˇsen´ım pomoc´ı Pˇr´ıklad: Reˇ Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. 1 2 1 1 1 0 1 2

! ∼

1

2 1 1

0 −2 0 1

! ⇒

x +

2y + z = 1 −2y 81

1 ⇒ (x, y, z) = (0, − , 2) 2 = 1 10. záˇr´ı 2010


1 2 1 0 1 0 1 0

! ∼

1

2 1 0

0 −2 0 0

! ⇒

x +

82

2y + z = 0 −2y +

= 1

⇒ (x, y, z) = (t, 0, −t)

1 Celkové ˇreˇsen´ı (x, y, z) = (0, − , 2) + (t, 0, −t) 2

82

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytická geometrie

9 9.1

83

Analytick´ a geometrie Analytick´ a geometrie v rovinˇ e

Pohybujeme se v prostoru R2 a pˇredpokládáme, ˇze pracujeme s bazick´ ymi vektory e1 = (1, 0) a e2 = (0, 1). Graficky tˇemto bazick´ ym vektor˚ um odpov´ıdaj´ı souˇradné osy. Vzhledem k tomu, ˇze bazické vektory e1 a e2 jsou kolmé (jejich skalárn´ı souˇcin je roven nule) tvoˇr´ı tento systém tzv. kartézsk´ y systém souˇradnic. Souˇradnice se prot´ınaj´ı v bodˇe 0. Kaˇzd´ y bod z prostoru R2 charakterizujeme tedy jejich souˇradnicemi, které vyjadˇruj´ı koeficienty lineárn´ı kombinace bazick´ ych vektor˚ u (x, y) = v1 · e1 + v2 · e2 . Vzdálenost dvou bod˚ u a = (ax , ay ) a b = (bx , by )v prostoru R2 odpov´ıdá odpov´ıdá normˇe vektoru daného tˇemito body. q d(a, b) = kb − ak =

(bx − ax )2 + (by − ay )2

Pomoc´ı vektorového a maticového poˇctu m˚ uˇzeme napˇr´ıklad spoˇc´ıtat obsah mnohouheln´ıka. Pro obsah mnoho´ uheln´ıky s vrcholy (ax , ay ), (bx , by ), (cx , cy ), . . . (zx , zy ) plat´ı ! ! ! ax b x b x cx zx ax 1 P = det + det + · · · + det 2 ay b y by c y zy ay Obsah troj´ uheln´ıka s vrcholy (ax , ay ), (bx , by ) a (cx , cy )  ax  1 P4 = det   bx 2 cx 9.1.1

je roven  ay 1  by 1   cy 1

Smˇ ernicov´ a, u ´ sekov´ a, obecn´ a a vektorov´ a rovnice pˇ r´ımky

83

10. záˇr´ı 2010


84

Rovnice pˇr´ımky je mnoˇzina bod˚ u p = (x, y) ∈ R2 ; . . . splˇ nuj´ıc´ı pˇredpis: Smˇ ernicov´ a rovnice pˇ r´ımky y = k x + q; x y ´ Usekov´ a rovnice + = 1, kde p 6= 0 a q 6= 0; p q Obecn´ a rovnice pˇ r´ımky ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0 (alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a, b je nenulové); Vektorov´ a rovnice x = A + t(B − A) kde t ∈ R, kde m = (x, y) a A, B jsou dva body, kter´ ymi pˇr´ımka procház´ı; Parametrick´ a rovnice x = ax + (bx − ax )t y = ay + (by − ay )t

84

10. záˇr´ı 2010


85

Vlastnosti koeficient˚ u: 1. obecné rovnice: • koeficienty a, b urˇcuj´ı souˇradnice normálového vektoru n = (a, b) a smˇerového vektoru s = (−b, a) • pokud a = 0 je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou x • pokud b = 0 je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou y • pokud c = 0 procház´ı pˇr´ımka poˇcátkem (0, 0) 2. smˇernicové rovnice: • tento tvar nezahrnuje pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s osou y • koeficient k se naz´ yvá smˇernice pˇr´ımky, • koeficient q je u ´sek, kter´ y vyt´ıná pˇr´ımky na ose y Rovnice pˇr´ımky procházej´ıc´ı dvˇema body A = (ax , ay ) a B = (bx , by ) je x − ax y − ay = b x − ax b y − ay neboli y − ay = 9.1.2

b y − ay (x − ax ) b x − ax

Odchylka dvou pˇ r´ımek a vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky

Pro ostr´ yu ´hel ϕ pˇr´ımek y = k1 x + q1 a y = k2 x + q2 plat´ı k1 − k2 . tgϕ = 1 + k1 · k2 Jsou-li dány pˇr´ımky ve tvaru a1 x + b1 y + c1 = 0 a a2 x + b2 y + c2 = 0, je a1 b 2 − a2 b 1 . tgϕ = a1 a2 + b 1 b 2 Pokud pouˇzijeme smˇerové vektory pˇr´ımek s1 = (−b1 , a1 ) a s2 = (−b2 , a2 ) lze odchylku dvou pˇr´ımek zapsat téˇz |s1 · s2 | cos ϕ = , ks1 k · ks2 k kde v ˇcitateli je absolutn´ı hodnota skalárn´ıho souˇcinu vektor˚ u s1 a s2 . Vzdálenost bodu x0 , y0 od pˇr´ımky ax + by + c = 0 je ax0 + by0 + c . d= √ a2 + b 2

85

10. záˇr´ı 2010


9.1.3

86

Vz´ ajemn´ a poloha dvou pˇ r´ımek v rovinˇ e

Pˇr´ımky v rovinˇe mohou b´ yt: • rovnobˇeˇzné spl´ yvaj´ıc´ı • rovnobˇeˇzné nespl´ yvaj´ıc´ı • r˚ uznobˇeˇzné kolmé • r˚ uznobˇeˇzné (nekolmé) Vˇ eta 9.1 Mˇejme dvˇe pˇr´ımky dané ve smˇernicovém tvaru y = k1 x+q2 a y = k2 x+q2 resp. v obecném tvaru a1 x + b1 y + c1 = 0 a a2 x + b2 y + c2 = 0. Pak • pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzné splývaj´ıc´ı, jestliˇze je jedna rovnice násobkem druhé; • pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzné, jestliˇze k1 = k2 resp. a1 b2 + a2 b1 = 0 (normálové, resp. smˇerové vektory jsou závislé); 1 resp. a1 a2 + b1 b2 = 0 k1 (skalárn´ı souˇcin normálových, resp. smˇerových vektor˚ u je roven nule).

• pˇr´ımky jsou kolmé, jestliˇze k2 = −

9.1.4

Transformace kart´ ezsk´ ych souˇ radnic

Pˇri pˇrechodu (transformaci) od jedné kartézské (ortonormáln´ı) soustavy k druhé kartézské soustavˇe pouˇzijeme pouze operace posun a otoˇcen´ı (rotace) o u ´hel α. Vˇ eta 9.2 Pˇri pˇrechodu od kartézských (0; x; y) ke stejnˇe orientované kartézské soustavˇe souˇradnic (00 ; x0 ; y 0 ) se souˇradnice transformuj´ı podle vztah˚ u x0 = x cos α + y sin α − m0 y 0 = −x sin α + y cos α − n0

resp. x = x0 cos α − y 0 sin α + m y = x0 sin α + y 0 cos α + n

kde m, n jsou souˇradnice nového poˇcátku 00 v soustavˇe (0; x; y), m0 = m cos α+n sin α a n0 = −m sin α+ n cos α a α je u ´hel otoˇcen´ı os souˇradnic.

86

10. záˇr´ı 2010


Z´ apis v maticovém tvaru ! ! x0 cos α sin α = · y0 − sin α cos α

x y x

!

x

! −

y

!

m0

!

n0

sin α x0

=

− sin α cos α

cos α

!

a x0 = , A = y y0 transformace jednoduˇse v maticovém tvaru Oznaˇcme x =

cos α sin α

cos α − sin α

=

87

! ·

x0

!

y0

cos α sin α − sin α cos α

+

! ·

m

x y

!

cos α sin α

−

− sin α cos α

! ·

!

n

! a m =

m n

! . Pak zap´ıˇseme

x0 = A · (x − m) A−1 · x0 + m = x

87

10. záˇr´ı 2010

m n

!


9.2

88

Analytick´ a geometrie v prostoru

Pohybujeme se v prostoru R2 a pˇredpokládáme, ˇze pracujeme s bazick´ ymi vektory e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) a e3 = (0, 0, 1). Graficky tˇemto bazick´ ym vektor˚ um odpov´ıdaj´ı souˇradné osy. Vzhledem k tomu, ˇze bazické vektory e1 , e2 a e3 jsou kolmé (jejich skalárn´ı souˇciny jsou rovny nule) tvoˇr´ı tento systém tzv. kartézsk´ y systém souˇradnic. Souˇradnice se prot´ınaj´ı v bodˇe 0 = (0, 0, 0). Kaˇzd´ y bod z prostoru R3 charakterizujeme tedy jejich souˇradnicemi, které vyjadˇruj´ı koeficienty lineárn´ı kombinace bazick´ ych vektor˚ u (x, y, z) = v1 · e1 + v2 · e2 + v3 · e3 . Vzdálenost dvou bod˚ u a = (ax , ay , az ) a b = (bx , by , bz )v prostoru R3 odpov´ıdá odpov´ıdá normˇe vektoru daného tˇemito body. q d(a, b) = kb − ak = (bx − ax )2 + (by − ay )2 + +(bz − az )2 Obsah ˇctyˇrstˇenu s vrcholy (ax , ay , az ), (bx , by , bz ), (cx , cy , cz )  ax ay az   bx by bz 1 P = det   c c c 6  x y z dx dy dz

a (dx , dy , dz )je roven  1  1    1  1

Objem ˇctyˇrstˇenu je roven nule právˇe tehdy, kdyˇz leˇz´ı vˇsechny ˇctyˇri body v jedné rovinˇe. 9.2.1

Obecn´ a, u ´ sekov´ a a parametrick´ a rovnice roviny Rovnice roviny je mnoˇzina bod˚ u ρ = (x, y, z) ∈ R3 ; . . . splˇ nuj´ıc´ı pˇredpis: Obecn´ a rovnice roviny Ax + By + Cz + D = 0, kde alespoˇ n jedno z ˇc´ısel A, B, C je r˚ uzné od nuly x y z ´ Usekov´ a rovnice + + = 1, p q r Parametrick´ a rovnice x = ax + s1 t1 + r1 t2 y = ay + s2 t1 + r2 t2 z = az + s3 t1 + r3 t2 ,

kde t1 , t2 ∈ R a rovina procház´ı bodem A = (ax , ay , az ) a s = (s1 , s2 , s3 ), r = (r1 , r2 , r3 ) jsou jej´ı smˇerové vektory. Vlastnosti koeficient˚ u: 88

10. záˇr´ı 2010


89

1. obecn´ y tvar: • koeficienty a, b, c urˇcuj´ı souˇradnice normálového vektoru n = (a, b, c), pozor smˇerov´ y vektor nen´ı urˇcen jednoznaˇcnˇe, rovina má DVA smˇerové vektory (vektory kolmé na normálov´ y); • pokud a = 0 je rovina rovnobˇeˇzná s osou x • pokud b = 0 je rovina rovnobˇeˇzná s osou y • pokud c = 0 je rovina rovnobˇeˇzná s osou z • pokud d = 0 procház´ı rovina poˇca´tkem (0, 0) • pokud a = b = 0 je rovina rovnobˇeˇzná se souˇradnou rovinou urˇcenou osami x, y 2. u ´sekov´ y tvar: p, q, r jsou u ´seky, které vyt´ıná rovina na osách souˇradnic s pˇrihlédnut´ım k jejich orientaci - napˇr´ıklad p = −3 znamená, ˇze rovina prot´ıná zápornou poloosu −x ve vzdálenosti 3, tj. rovina procház´ı bodem (−3, 0, 0) Rovina v prostoru je jednoznaˇcnˇe urˇcena: • tˇremi r˚ uzn´ ymi body, které neleˇz´ı na jedné pˇr´ımce; • dvˇema r˚ uznobˇeˇzn´ ymi pˇr´ımkami; • dvˇema r˚ uzn´ ymi rovnobˇeˇzn´ ymi pˇr´ımkami; • bodem a pˇr´ımkou, která dan´ ym bodem neprocház´ı. 9.2.2

Odchylka dvou rovin, vzd´ alenost bodu od roviny, poloha dvou rovin

Jsou-li n1 a n2 normálové vektory dvou rovin ρ a σ, potom pro odchylku ϕ tˇechto dvou rovin plat´ı cos ϕ =

|n1 · n2 | , kn1 k · kn2 k

kde v ˇcitateli je absolutn´ı hodnota skalárn´ıho souˇcinu vektor˚ u n1 a n2 . Vzdálenost bodu x0 , y0 , z0 od roviny ax + by + cz + d = 0 je ax0 + by0 + cz0 + d . d = √ a2 + b 2 + c 2 Vzájemná poloha dvou rovin je analogická vzájemn´ ym polohám pˇr´ımek v prostoru 9.2.3

Pˇ r´ımka v prostoru

Rovnice pˇr´ımky v prostoru je mnoˇzina bod˚ u ρ = (x, y, z) ∈ R3 ; . . . splˇ nuj´ıc´ı pˇredpis:

89

10. záˇr´ı 2010


90

Parametrick´ a rovnice x = ax + s 1 t y = ay + s 2 t z = az + s3 t,

kde t ∈ R a pˇr´ımky procház´ı bodem A = (ax , ay , az ) a jej´ı smˇerov´ y vektor je s = (s1 , s2 , s3 ). Kanonick´ y tvar rovnice

x − ax y − ay z − az = = s1 s2 s3

Obecn´ y tvar rovnice (pr˚ useˇcnice dvou r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin) A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 a A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Pˇr´ımky v prostoru mohou b´ yt: • rovnobˇeˇzné spl´ yvaj´ıc´ı - smˇerové vektory jsou lineárnˇe závislé a pˇr´ımky maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho spoleˇcn´ ych bod˚ u; • rovnobˇeˇzné nespl´ yvaj´ıc´ı - smˇerové vektory jsou lineárnˇe závislé a pˇr´ımky nemaj´ı spoleˇcn´ y bod; • r˚ uznobˇeˇzné - smˇerové vektory jsou lineárnˇe nezávislé a pˇr´ımky maj´ı právˇe jeden spoleˇcn´ y bod; • r˚ uznobˇeˇzné kolmé - r˚ uznobˇeˇzné a skalárn´ı souˇcin smˇerov´ ych vektor˚ u je roven nule; • mimobˇeˇzné - smˇerové vektory jsou lineárnˇe nezávislé a pˇr´ımky nemaj´ı spoleˇcn´ y bod.

90

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}

10 10.1

91

Limita funkce v bodˇ e x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞} Definice limity funkce

Definice 10.1 Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e lim f (x) = A. x→x0

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ R vlastn´ı limitu, pokud existuje ˇc´ıslo A ∈ R, tak, ˇze Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ δ > 0 tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze n=1 ∈ D(f ) takov´

lim xn = x0 , plat´ı lim f (xn ) = A

n→+∞

n→+∞

Poznámky: 1. Obˇe definice limit jsou ekvivalentn´ı. Rozd´ıl v pˇr´ıstupu ukáˇzema na pˇr´ıkladu, kdy funkce f (x) má ve vlastn´ım bodˇe x0 vlastn´ı limitu A. • Cauchyova definice pracuje s okol´ım: Vlastn´ı limita A ve vlastn´ım bodˇe x0 existuje, pokud kdyˇz zvol´ım libovolné okol´ı bodu A - oznaˇc´ıme (U (A, )), pak vˇzdy existuje okol´ı bodu x0 oznaˇc´ım (U (x0 , δ)) takové, ˇze pro vˇsechny body z tohoto okol´ı (U (x0 , δ)) plat´ı, ˇze f (x) leˇz´ı v okol´ı bodu A, tj. v okol´ı U (A, ). • Heinova definice pracuje s hromadn´ ym bodem (bod, ke kterému se bl´ıˇz´ı nˇejaká posloupnost bod˚ u xn ) a limitou funkˇcn´ıch hodnot posloupnosti f (xn ). Vlastn´ı limita A ve vlastn´ım bodˇe x0 existuje, pokud pro kaˇzdou posloupnost bod˚ u limitnˇe smˇeˇruj´ıc´ıch do x0 plat´ı, ˇze jejich funkˇcn´ı hodnoty f (xn ) limitnˇe smˇeˇruj´ı do A.

91

10. záˇr´ı 2010


92

• Existuj´ı funkce, které nemaj´ı limitu ve sledovaném bodˇe x0 . Napˇr´ıklad funkce sgn x nemá limitu v bodˇe x0 = 0.

Vyberu posloupnost n 1 1 1 1 1 xn = − = − ,+ ,− ,+ ,... , 2 2 4 8 16 tato posloupnost se limitnˇe bl´ıˇz´ı k nule, lim xn = 0, ale posloupnost funkˇcn´ıch hodnot n→+∞

má tvar f (xn ) = {−1, +1, −1, +1, . . . } a tato posloupnost nemá limitu. Proto má nˇekdy smysl zkoumat chován´ı funkce zvláˇst’ pro body bl´ıˇz´ıc´ı se k bodu x0 zleva a zvláˇst’ pro body bl´ıˇz´ıc´ı se k bodu x0 zprava.

92

10. záˇr´ı 2010


93

Definice 10.2 Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe zprava lim f (x) = A. x→x0+

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ R vlastn´ı limitu zprava, pokud existuje ˇc´ıslo A ∈ R, tak, ˇze Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ δ > 0 tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (x0 , x0 + δ), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze xn ≥ x0 a n=1 ∈ D(f ) takov´

lim xn = x0 , plat´ı lim f (xn ) = A

n→+∞

n→+∞

Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe zleva lim f (x) = A. Definuji analogicky. x→x0−

Definice 10.3 Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e lim f (x) = +∞ nebo lim f (x) = −∞ x→x0

x→x0

Cauchyova definice ∀K, ∃ δ > 0 tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), plat´ı f (x) ∈ (K, +∞) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze n=1 ∈ D(f ) takov´

lim xn = x0 , plat´ı lim f (xn ) = +∞

n→+∞

n→+∞

Nevlastn´ı limity zleva a zprava definuji analogicky. Limita je v bodˇe x0 je +∞ a limita je v bodˇe x0 je −∞

93

10. záˇr´ı 2010


94

Limita je v bodˇe x0 neexistuje, ale limita zprava je −∞ a limita zleva je +∞

Limita je v bodˇe x0 neexistuje, ale limita zprava je −∞ a limita zleva je vlastn´ı (koneˇcná) A

94

10. záˇr´ı 2010


95

Definice 10.4 Vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇ e lim f (x) = A x→+∞

Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ M tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (M, +∞), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze xn ≥ x0 a n=1 ∈ D(f ) takov´

lim xn = +∞, plat´ı lim f (xn ) = A

n→+∞

n→+∞

Vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe −∞ definuji analogicky lim f (x) = A x→−∞

Limity zleva a zprava nemá smysl definovat, protoˇze do nevlastn´ıho bodu se lze limitnˇe dostat pouze z jedné strany. Do bodu +∞ se limitnˇe bl´ıˇz´ıme zleva a do bodu −∞ se limitnˇe bl´ıˇz´ıme zleva. Pˇr´ıklad funkc´ı lim f (x) = A a funkce, která nemá limitu v bodˇe +∞ x→+∞

95

10. záˇr´ı 2010


96

Definice 10.5 Nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇ e lim f (x) = +∞ x→+∞

Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ M tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (M, +∞), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze xn ≥ x0 a n=1 ∈ D(f ) takov´

lim xn = +∞, plat´ı lim f (xn ) = A

n→+∞

n→+∞

Nevlastn´ı limity ve nevlastn´ıch bodech definuji analogicky. lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, x→−∞

x→+∞

lim f (x) = −∞.

x→−∞

Pˇr´ıklad funkc´ı s nevlastn´ı limitou v nevlastn´ım bodˇe

96

10. záˇr´ı 2010


10.2

97

Vlastnosti limit funkc´ı

Vˇ eta 10.1 Funkce f má v bodˇe x0 nejvýˇse jednu limitu. Vˇ eta 10.2 Funkce f má v bodˇe limitu právˇe tehdy, kdyˇz limita zleva se rovná limitˇe zprava. lim f (x) = lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A

x→+x0

x→−x0

x→x0

Vˇ eta 10.3 Algebra vlastn´ıch limit Jestliˇze funkce f, g maj´ı vlastn´ı limity lim f (x) = A a x→x0

lim g(x) = B v bodˇe x0 (bod m˚ uˇze být vlastn´ı i nevlastn´ı), pak plat´ı

x→x0

1. lim (f (x) ± g(x)) = A ± B x→x0

2. lim (f (x) · g(x)) = A · B x→x0

3. lim

x→x0

f (x) g(x)

=

A B

pro B 6= 0

Vˇ eta 10.4 O limitˇ e sevˇ ren´ e funkce Jestliˇze, v okol´ı bodu x0 plat´ı d(x) ≤ f (x) ≤ h(x) a plat´ı lim d(x) = lim h(x) = A, pak x→x0

x→x0

lim f (x) = A.

x→x0

Vˇ eta 10.5 O limitˇ e sloˇ zen´ e funkce Jsou dány dvˇe funkce f : Df → Hf a g : Dg → Hg . Jestliˇze plat´ı Dg ⊂ Hf a lim f (x) = y0 a lim g(y) = A, pak x→x0

y→y0

lim g (f (x)) = A

x→x0

Pˇr´ıklady vyuˇzit´ı této vˇety: 1 • lim f (x) = lim f x→+∞ y→+0 y n n • lim (f (x)) = lim f (x) x→x0

• lim

x→x0

pro f (x) ≥ 0, n ∈ N

x→x0

q p n f (x) = n lim f (x)

pro f (x) ≥ 0, n ∈ N

x→x0

lim f (x)

• lim αf (x) = αx→x0

pro α > 0

x→x0

• jestliˇze, lim |f (x)| = 0, pak lim f (x) = 0 x→x0

x→x0

97

10. záˇr´ı 2010


10.3

98

Nˇ ekter´ e limity vybran´ ych funkc´ı

• lim

x→±∞

1+

1 a x = lim (1 + ax) x = ea x→±0 x

• lim ax = 0, lim ax = +∞ x→+∞

pro 0 < a < 1

x→−∞

• lim ax = +∞, lim ax = 0 x→+∞

pro a > 1

x→−∞

sin x =1 x→0 x

• lim

sin x =0 x→+∞ x

• lim

sin ax =a x→0 x

• lim

tgax =a x→0 x

• lim

ex − 1 • lim =1 x→0 x ax − 1 = ln a x→0 x

• lim

pro a > 0

ln(x + 1) =1 x→0 x

• lim

xa =0 x→+∞ ebx

• lim

pro a ∈ R, b > 0

98

10. záˇr´ı 2010


10.4

99

Neurˇ cit´ e v´ yrazy - speci´ aln´ı typy limit

Pro neurˇcité v´ yrazy, tj. limity pod´ılu, rozd´ılu, násobku a pod. dvou funkc´ı, kdy jedna nebo obˇe z limit jsou nekoneˇcno, lze vypoˇc´ıtat s pouˇzit´ım derivac´ı (viz. kapitola 13.). • limita typu 0/0 nebo ∞/∞ (l’Hospitalova pravidla) Jestliˇze lim f (x) = lim g(x) = 0 a existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) a plat´ı x→a

x→a

x→a 0

x→a

f (x) f (x) lim 0 = lim x→a g (x) x→a g(x) Jestliˇze lim |g(x)| = +∞ a existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) a plat´ı x→a

x→a

x→a

f (x) f 0 (x) = lim lim 0 x→a g(x) x→a g (x)

• limita typu 0 · ∞ pˇrevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x) · g(x) = lim

x→a

f (x)

x→a

1 g(x)

• limity typu 0∞ , ∞0 a 1∞ pˇrevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x)g(x) = lim eg(x)·ln(f (x)) x→a

x→a

• limity typu ∞ − ∞ pˇrevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x) − g(x) = lim

x→a

x→a

1 g(x)

−

1 f (x)

1 f (x)·g(x)

a2 − b 2 a dostáváme • nebo u limit typu ∞ − ∞ vyuˇzijeme vztah a − b = a+b f 2 (x) − g 2 (x) lim f (x) − g(x) = lim x→a x→a f (x) + g(x)

99

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 11 Spojitost reálné funkce reálné promˇenné

11 11.1

100

Spojitost re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e Spojitost v bodˇ e x0 .

Definice 11.1 Necht’ f : D ⊂ R → R je reálná funkce a bod x0 je hromadný bod Df . Pak ˇrekneme, ˇze funkce f je spojitá funkce v bodˇe x0 , pokud limita funkce f v bodˇe x0 je rovna funkˇcn´ı hodnotˇe v dobˇe x0 . def f je spojitá v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0

Obdobnˇe definujeme spojitost zleva a spojitost zprava v bodˇe x0 def

f je spojitá zleva v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0−

def

f je spojitá zprava v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0+

Hromadn´ y bod je takov´ y bod mnoˇziny, ke kterému existuje konvergentn´ı posloupnost. Pokud bod nen´ı hromadn´ y, ˇr´ıkáme, ˇze se jedná o izolovan´ y bod. ˇ Rekneme, ˇze funkce je spojitá v izolovaném bodˇe, pokud je v tomto bodˇe definována. Funkce je spojitá v bodˇe x0 právˇe tehdy, kdyˇz je spojité zleva a zároveˇ n zprava v daném bodˇe x0 . Funkce nen´ı spojitá v hromadném bodˇe x0 , pokud limita v tomto bodˇe neexistuje nebo nen´ı koneˇcná. Vˇ eta 11.1 (Lokáln´ı vlastnosti spojitých funkc´ı) Necht’ funkce f je spojitá v bodˇe x0 , pak (A) existuje okol´ı bodu x0 , ve kterém je funkce omezená (B) pokud f (x0 ) 6= 0, existuje okol´ı, ve kterém funkce f zachovává znaménko. Vˇ eta 11.2 (Algebraické vlastnosti spojitých funkc´ı a spojitost sloˇzené funkce). • Jsou-li funkce f a g spojité v bodˇe x0 , pak funkce f ± g, f · g , |f | a

f , g(x) 6= 0 jsou spojité g

v bodˇe x0 . • Je-li funkce f spojitá v bodˇe x0 a funkce g spojitá v bodˇe f (x0 ), pak funkce g(f (x)) je spojit´ a v bodˇe x0 .

100

10. záˇr´ı 2010


11.2

101

Body nespojitosti

Definice 11.2 Necht’ funkce f nen´ı spojitá v hromadném dobˇe x0 , pak bod x0 je bodem nespojitosti. Bod nespojitosti m˚ uˇze být následuj´ıc´ıho druhu. (A) Odstranitelná nespojitost, pokud lim f (x) a lim f (x) jsou koneˇcné a shodné. x→x0−

x→x0+

(B) Bod nespojitosti prvn´ıho druhu - skok, pokud lim f (x) a lim f (x) jsou koneˇcné a r˚ uzné. x→x0−

x→x0+

(C) Bod nespojitosti druhého druhu, pokud alespoˇ n jedna z limit lim f (x) a lim f (x) je nekoneˇcn´ a x→x0−

x→x0+

nebo neexistuje. Body nespojitosti prvn´ıho druhu a druhého druhu jsou neodstranitelné body nespojitosti. Odstranitelná nespojitost

Nespojitost I. druhu

101

10. záˇr´ı 2010


102

Nespojitost II. druhu

11.3

Spojitost funkce v uzavˇ ren´ em intervalu I = ha; bi

Definice 11.3 Funkce f je spojitá v uzavˇreném intervalu I = ha; bi, právˇe tehdy kdyˇz je spojit´ a v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe intervalu a v krajn´ıch bodech je spojitá zleva resp. zprava. def

f je spojitá v I = ha; bi ←→ f je spojitá v kaˇzdém x ∈ (a, b) a je spojitá zleva v a a zprava v b Vˇ eta 11.3 Necht’ funkce f je spojitá na intervalu ha; bi a plat´ı f (a) · f (b) < 0, pak existuje bod c ∈ ha; bi takový, ˇze f (c) = 0. ˇ sitelnost nelinárn´ıch rovnic) Necht’ funkce f je spojitá ha; bi a necht’ f (a) 6= f (b), pak D˚ usledek: (Reˇ pro libovolné y0 ∈ hf (a); f (b)i, existuje alespoˇ n jedno x0 takové, ˇze y0 = f (x0 ). Vˇ eta 11.4 Weiestrassova vˇeta. Je-li funkce f spojitá na intervalu ha; bi, pak je funkce f na tomto intervalu omezená. POZOR: Implikace naopak neplat´ı. Funkce omezená na intervalu ; funkce spojitá na intervalu. Vˇ eta 11.5 Globáln´ı vlastnosti 1. Je-li funkce f spojitá na intervalu ha; bi, pak je f (ha; bi) opˇet interval nebo jednobodová mnoˇzina. 2. Je-li f ostˇre monotónn´ı na intervalu I a f (I) je opˇet interval, pak f je spojitá. 3. Je-li f spojitá a prostá na intervalu I, pak existuje funkce inverzn´ı a je také spojitá na f (I).

102

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 12 Derivace reálné funkce reálné promˇenné

12 12.1

103

Derivace re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e Definice diferenˇ cn´ıho pod´ılu a derivace a jejich geometrick´ a interpretace

Definice 12.1 Diferenˇcn´ı pod´ıl funkce f v bodˇe x0 . Pomˇer pˇr´ır˚ ustk˚ u (diferenc´ı) ∆f funkce f a pˇr´ır˚ ustku (diference) ∆x argumentu x. ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = ∆x x − x0 Diferenˇcn´ı pod´ıl udává smˇernici seˇcny P0 P , kde bod P0 = [x0 , f (x0 )] a bod P = [x, f (x)]. Definice 12.2 Existuje-li vlastn´ı, resp. nevlastn´ı limita ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim = lim x→x0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x − x0 lim

ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f má v bodˇe x0 vlastn´ı, resp. nevlastn´ ı derivaci. df df ∂f ∂f 0 Tuto limitu oznaˇcujeme f (x0 ) nebo (x0 ) nebo x0 nebo (x0 ) nebo x0 nebo f˙(x0 ). dx dx ∂x ∂x M´ısto o vlastn´ı derivaci mluv´ıme také o koneˇcné derivaci nebo jenom o derivaci v bodˇe x0 . Derivace funkce f v bodˇe x0 udává smˇernici teˇcny kˇrivky dané rovnic´ı y = f (x) v bodˇe P0 = [x0 , f (x0 )]. Existuje-li vlastn´ı limita f (x) − f (x0 ) lim x→x0− x − x0 resp. f (x) − f (x0 ) lim x→x0+ x − x0 v bodˇe x0 , naz´ yváme ji vlastn´ı derivac´ı zleva resp. zprava. Obdobnˇe definujeme nevlastn´ı derivaci v bodˇe zleva a zprava. Diference a derivace funkce

103

10. záˇr´ı 2010


104

Definice 12.3 Funkce f je diferencovatelná v uzavˇreném intervalu ha; bi právˇe tehdy, kdyˇz m´ a vlastn´ı derivaci v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe intervalu a v krajn´ıch bodech má derivaci zleva resp. zprava. Funkce, jej´ıˇz funkˇcn´ı hodnota v kaˇzdém bodˇe x ∈ (a, b) je f 0 (x) se nazývá derivace funkce f na intervalu (a, b). Pro uzavˇren´ y interval dodefinujeme funkˇcn´ı hodnoty f 0 (x) v krajn´ıch bodech zleva a zprava. Funkce, která má na intervalu ha; bi spojitou derivaci se naz´ yvá spojitˇe diferencovatelná funkce (hladké funkce) na intervalu ha; bi. Znaˇc´ıme C(ha; bi) nebo C 1 (ha; bi). Vˇ eta 12.1 (Souvislost existence vlastn´ı derivace a spojitosti) Jestliˇze funkce f má vlastn´ı derivaci v bodˇe x0 , pak je funkce v bodˇe x0 spojitá. POZOR: Obrácená implikace neplat´ı. Funkce spojitá v bodˇe x0 ; funkce má v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci. Napˇr´ıklad funkce f (x) = |x| v bodˇe x0 = 0. Pˇr´ıklad spojité funkce, která má derivaci v bodˇe a nemá derivaci v bodˇe

Definice 12.4 (Derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u) Existuje-li vlastn´ı, resp. nevlastn´ı limita lim

x→x0

f 0 (x) − f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) x − x0

ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f má v bodˇe x0 vlastn´ı, resp. nevlastn´ı druhou derivaci. d2 f ∂ 2f ∂ 2 f d2 f 00 Tuto limitu oznaˇcujeme f (x0 ) nebo (x0 ) nebo x0 nebo (x0 ) nebo x0 nebo f¨(x0 ). dx2 dx2 ∂x2 ∂x2 Obdobnˇe definujeme derivace n−tého ˇrádu f

(n)

dn f ((x0 ), resp. (x0 ) dxn

104

10. záˇr´ı 2010


12.2

105

Pravidla pro derivov´ an´ı

Vˇ eta 12.2 Pravidla pro derivován´ı. Necht’ u, v, f, g, u1 , u2 , . . . jsou diferencovatelné funkce promˇenné x. 1. (konst)0 = 0 2. (u1 + u2 + . . .)0 = u01 + u02 + . . . 3. (u · v)0 = u0 · v + u · v 0 u0 v − uv 0 u 4. ( )0 = v v2

pro v(x) 6= 0

5. (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)

(derivace sloˇzené fce)

f 0 (x) 6. (ln f (x)) = f (x) 0

g 0

g·ln(f ) 0

7. (f ) = e

pro f (x) > 0

1 0 0 = f g ln (f ) + g f f g

pro f (x) > 0

8. jestliˇze x = g(y) je inverzn´ı funkce k funkci y = f (x) a existuje-li v bodˇe c derivace f 0 (c) 6= 0, pak v bodˇe d = f (c) existuje g 0 (d) a plat´ı 1 g 0 (d) = 0 f (c)

105

10. záˇr´ı 2010


12.3

106

Pˇ rehled derivac´ı element´ arn´ıch funkc´ı

• (xn )0 = nxn−1

pro n ∈ N

• (x−n )0 = −nx−n−1

pro n ∈ N, x 6= 0

• (xa )0 = axa−1

pro a ∈ R, x > 0

• (ax )0 = ax ln a

pro a > 0

•

speciálnˇe (ex )0 = ex

• (loga x)0 = •

1 x ln a

speciálnˇe (ln x)0 =

pro x > 0, a > 0, a 6= 1 1 x

• (sin x)0 = cos x • (cos x)0 = − sin x • (tgx)0 =

1 cos2 x

• (cotgx)0 = −

π pro x 6= (2k + 1) ; k ∈ Z 2

1 sin2 x

pro x 6= kπ; k ∈ Z

1 • (arcsin x)0 = √ 1 − x2

pro |x| < 1

1 • (arccos x)0 = − √ 1 − x2

pro |x| < 1

• (arctgx)0 =

1 1 + x2

• (arccotgx)0 = −

1 1 + x2

• (sinh x)0 = cosh x • (cosh x)0 = sinh x • (tghx)0 =

1 cosh2 x

• (cotghx)0 = −

1 sinh2 x

pro x 6= 0

106

10. záˇr´ı 2010


107

1 • (argsinhx)0 = √ 1 + x2 • (argcoshx)0 = √ • (argtghx)0 =

1 x2

pro x > 1

−1

1 1 − x2

• (argcotghx)0 =

pro |x| < 1

1 1 − x2

pro |x| > 1

107

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace

13 13.1

108

Vyuˇ zit´ı derivace Stacion´ arn´ı body a vztah k lok´ aln´ım maxim˚ um a minim˚ um

Definice 13.1 Bod x0 je stacionárn´ım bodem funkce f pokud f 0 (x0 ) = 0. Vˇ eta 13.1 (Nutn´ a podm´ınka lok´ aln´ıho extr´ emu) Necht’ bod x0 je bodem lokáln´ıho extrému (minimum nebo maximum) funkce f a necht’ existuje f 0 (x0 ), pak f 0 (x0 ) = 0. ´ POZNAMKY: • Funkce f má lokáln´ı extrém pouze ve stacionárn´ıch bodech (f 0 (x) = 0) nebo v bodech, kde prvn´ı derivace neexistuje. • Existuj´ı stacionárn´ı body, ve kter´ ych nemá funkce extrém. Pˇr´ıklad f (x) = x3 , stacionárn´ı bod je bod 0 (f 0 (x0 ) = 3x20 = 0 ⇒ x0 = 0), ale funkce nemá v tomto bodˇe lokáln´ı extrém. • Existuj´ı body, ve kter´ ych neexistuje derivace funkce a funkce má v tomto bodˇe extrém. Pˇr´ıklad f (x) = |x−1| má lokáln´ı minimum v bodˇe x0 = 1 a nemá v tomto bodˇe derivaci, resp f−0 (1) = −1 a f+0 (1) = 1. Vˇ eta 13.2 Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka lok´ aln´ıho extr´ emu Necht’ funkce f je diferencovateln´ a na 0 prstencovém okol´ı bodu x0 a spojité v bodˇe x0 . Necht’ pro kaˇzdé x z intervalu (x0 − δ; x0 ) je f (x) > 0 a pro kaˇzdé x y intervalu (x0 ; x0 + δ) je f 0 (x) < 0, pak má funkce f v bodˇe x0 lokáln´ı maximum. Vˇ eta 13.3 O stacion´ arn´ıch bodech • Jestliˇze f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) > 0, pak má funkce v bodˇe x0 ostré lokáln´ı minimum. • Jestliˇze f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) < 0, pak má funkce v bodˇe x0 ostré lokáln´ı maximum. • Jestliˇze f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 a f 000 (x0 ) > 0, pak má funkce v bodˇe x0 inflexn´ı bod (graf pˇrech´ az´ı z polohy pod teˇcnou na polohu nad teˇcnou). • Jestliˇze f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 a f 000 (x0 ) < 0, pak má funkce v bodˇe x0 inflexn´ı bod (graf pˇrech´ az´ı z polohy nad teˇcnou na polohu pod teˇcnou). Obecnˇe necht’ plat´ı f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f m−1 (x0 ) = 0 a f m (x0 ) 6= 0 • Je-li m liché a f m (x0 ) > 0, pak je funkce v bodˇe x0 rostouc´ı, bod x0 je inflexn´ı bod: pˇrechod z kokávn´ıho na konvexn´ı. • Je-li m liché a f m (x0 ) < 0, pak je funkce v bodˇe x0 klesaj´ıc´ı, bod x0 je inflexn´ı bod: pˇrechod z kovexn´ıho na konkávn´ı. • Je-li m sudé a f m (x0 ) > 0, pak má funkce v bodˇe x0 minimum. 108

10. záˇr´ı 2010


109

• Je-li m sudé a f m (x0 ) < 0, pak má funkce v bodˇe x0 maximum. Ukázku pr˚ ubˇehu funkce

• funkce je spojitá v Df = (−∞; +∞) • funkce má derivaci v Df − {x4 } • prvn´ı derivace funkce je rovna nule (f 0 (x) = 0) v bodech x1 , x2 a x3 • funkce má lokáln´ı extrém v bodech x1 , x2 , x3 a x4 • funkce je rostouc´ı v intervalu (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; x3 ) ∪ (x4 , +∞) • funkce je klesaj´ıc´ı v intervalu (x1 ; x2 ) ∪ (x3 ; x4 ) • druhá derivace funkce je rovna nule (f 00 (x) = 0) v bodech x5 a x6 , toto jsou inflexn´ı body funkce

109

10. záˇr´ı 2010


13.2

110

Vˇ ety o stˇ redn´ı hodnotˇ e - nab´ yv´ an´ı hodnot na uzavˇ ren´ em intervalu

Vˇ eta 13.4 Rollova vˇ eta Jestliˇze funkce y = f (x) je spojitá na uzavˇreném intervalu ha; bi a m´ av kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a; b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı prvn´ı derivaci a plat´ı f (a) = f (b), pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a; b) takový, ˇze plat´ı f 0 (c) = 0. Vˇ eta 13.5 Lagrangeova vˇ eta Jestliˇze funkce y = f (x) je spojitá na uzavˇreném intervalu ha; bi a m´ a v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a; b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı prvn´ı derivaci, pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a; b) takový, ˇze plat´ı f (b) − f (a) . f 0 (c) = b−a ´ POZNAMKA: Geometrická interpretace uveden´ ych vˇet.

110

10. záˇr´ı 2010


13.3

111

Vyuˇ zit´ı derivac´ı pro v´ ypoˇ cet limit - l´Hospitalovo pravidlo

Vˇ eta 13.6 l´Hospitalovo pravidlo Jestliˇze bud’ lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim |g(x)| = +∞ x→a

x→a

x→a

(o funkci f nemus´ım nic pˇredpokládat) a jestliˇze existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) x→a x→a a plat´ı f 0 (x) f (x) = lim 0 x→a g (x) x→a g(x) lim

∞ 0 nebo . ∞ 0 Jestliˇze hledám limitu funkce f (x) · g(x), která je typu 0 · ∞ pˇrevedu problém na hledán´ı limity typu ∞ podle pravidla ∞ g(x) lim f (x) · g(x) = lim 1 Toto pravidlo vyuˇz´ıváme pˇri urˇcován´ı limit typu

x→a

x→a

f (x)

Jestliˇze hledám limitu funkce f (x) − g(x), která je typu ∞ − ∞ pˇrevedu problém na hledán´ı limity 0 typu podle pravidla 0 1 1 − f (x) g(x) lim (f (x) − g(x)) = lim 1 x→a x→a · 1 f (x) g(x) Jestliˇze hledám limitu funkce f (x)g(x) , která je typu 00 nebo ∞0 nebo 1∞ pˇrevedu problém na hledán´ı limity typu e0·∞ podle pravidla lim f (x)g(x) = lim eg(x)·ln[f (x)]

x→a

x→a

111

10. záˇr´ı 2010


13.4

112

Vyuˇ zit´ı derivac´ı pro urˇ cov´ an´ı rovnice teˇ cen a rovnice norm´ aly

Vˇ eta 13.7 Teˇ cny a norm´ aly Necht’ funkce f ∈ C(ha; bi) a necht’ x0 ∈ (a; b), pak pro rovnici teˇcny τ funkce f v bodˇe x0 plat´ı τ : y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) a pro rovnici normály η funkce f v bodˇe x0 plat´ı η : y = f (x0 ) −

1 f 0 (x

112

0)

(x − x0 )

10. záˇr´ı 2010


13.5

113

Vyuˇ zit´ı derivac´ı pro aproximaci funkce polynomem - Taylor˚ uv polynom

Vˇ eta 13.8 Taylor˚ uv rozvoj funkce v bodˇ e Necht’ funkce f (x) má na intervalu ha, xi (x > a) spojité derivace aˇz do n-tého ˇrádu a na intervalu (a, x) má spojitou derivaci n + 1-n´ıho ˇrádu, pak lze funkci rozvést v mocninou ˇradu Taylorova typu: f 00 (a) f (n) (a) f 0 (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n + Rn+1 1! 2! n! lze vyjádˇrit napˇr´ıklad ve tvaru

f (x) = f (a) + kde zbytek Rn+1

Rn+1 =

f (n+1) (a + ϑ(x − a)) (x − a)n+1 , (n + 1)!

ϑ ∈ (0, 1)

Speciálnˇe pro x = a + h plat´ı f 0 (a) f (n) (a) n f 00 (a) 2 h+ h + ... + h + Rn+1 . 1! 2! n! Speciálnˇe pro a = 0 dostaneme Maclaurin˚ uv vzorec f (a + h) = f (a) +

f (x) = f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n (x) + (x) + . . . + (x) + Rn+1 1! 2! n!

Pˇr´ıklady Taylorov´ ych ˇrad x x2 • ex = 1 + + + . . ., 1! 2! • ax = 1 + • ln x =

pro |x| < +∞

x ln a (x ln a)2 + + . . ., 1! 2!

pro |x| < ∞, a > 0

x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 − + − . . ., 1! 2! 3!

• ln (1 + x) = x −

pro 0 < x ≤ 2

x2 x 3 + − . . ., 2! 3!

pro −1 < x ≤ 1

x3 x5 + − . . ., 3! 5!

pro |x| < +∞

x2 x4 • cos x = 1 − + − . . ., 2! 4!

pro |x| < +∞

• sin x = x −

1 x3 1 3 x5 + + . . ., 2 3 24 5

pro |x| < 1

π 1 x3 1 3 x5 −x− − − . . ., 2 2 3 24 5

pro |x| < 1

• arcsin x = x + • arccos x =

• arctgx = x − • arccotgx =

x3 x5 + − . . ., 3 5

pro |x| ≤ 1

π x3 x5 −x+ − + . . ., 2 3 5

pro |x| ≤ 1

113

10. záˇr´ı 2010


114

Pˇr´ıklad: Taylor˚ uv rozvoj funkce f (x) = sin(x) v bodˇe x0 = 0 • f (x) = sin(x) • T1 (x) = x • T3 (x) = x −

1 3 x 3!

• T5 (x) = x −

1 3 1 5 x + x 3! 5!

114

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 14 Vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce

14 14.1

115

Vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce Z´ akladn´ı pojmy d˚ uleˇ zit´ e pro pr˚ ubˇ eh re´ aln´ e funkce f

Rostouc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≤ f (x2 ) Ostˇ re rostouc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) < f (x2 ) Klesaj´ıc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≥ f (x2 ) Ostˇ re klesaj´ıc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) > f (x2 ) Konvexn´ı (ostˇ re konvexn´ı) funkce , pokud pro x1 < x < x2 plat´ı f (x) < Y , kde bod [x, Y ] je bod, kter´ y leˇz´ı na u ´seˇcce spojuj´ıc´ı body [x1 , f (x1 )] a [x2 , f (x2 )]. Tj. plat´ı Y = f (x1 ) +

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) x2 − x1

Konk´ avn´ı (ostˇ re konk´ avn´ı) funkce , pokud pro x1 < x < x2 plat´ı f (x) > Y , kde bod [x, Y ] je bod, kter´ y leˇz´ı na u ´seˇcce spojuj´ıc´ı body [x1 , f (x1 )] a [x2 , f (x2 )]. Tj. plat´ı Y = f (x1 ) +

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) x2 − x1

A - lok´ aln´ı maximum A = [xA ; yA = f (xA )] ∈ R2 - bod, ve kterém je funkˇcn´ı hodnoty maximáln´ı. Funkce nab´ yvá maximum v bodˇe xA a hodnota maxima (funkˇcn´ı hodnota v bodˇe maxima) je yA = f (xA ) Bod xA je bodem lokáln´ıho maxima funkce f . B - lok´ aln´ı minimum B = [xB ; yB = f (xB )] ∈ R2 - bod, ve kterém je funkˇcn´ı hodnoty minimáln´ı. Funkce nab´ yvá minima v bodˇe xB a hodnota minima (funkˇcn´ı hodnota v bodˇe minima) je yB = f (xB ) Bod xB je bodem lokáln´ıho minima funkce f . C - inflexn´ı bod C = [xC ; yC = f (xC )] ∈ R2 - bod, kdy docház´ı ke zmˇenˇe chován´ı funkce z konvexn´ı funkce se stane funkce konkávn´ı (nebo naopak). Bod xC je inflexn´ım bodem funkce f . D - nulov´ y bod D = [xD ; 0] ∈ R2 - bod, kdy graf funkce prot´ıná osu x. Bod xD je nulov´ ym bodem funkce f , pokud f (xD ) = 0. E - p´ ol E = [xE ; ±∞] ∈ R2 - bod, kdy graf funkce diverguje do ±∞. Bod xE je pólem funkce f , pokud lim f (x) = ∞ nebo lim f (x) = −∞. x→xE

x→xE

115

10. záˇr´ı 2010

ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 14 Vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce

14.2

116

Postup pˇ ri vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce

1. Najdu definiˇcn´ı obor funkce, pˇr´ıpadnˇe obor hodnot. 2. Rozhodnu, zda funkce nen´ı sudá, lichá nebo periodická. V takovémto pˇr´ıpadˇe se omez´ıme pouze na ˇca´st definiˇcn´ıho oboru. 3. Urˇc´ım limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru (ve vlastn´ıch bodech urˇcuji limity zleva a zprava). 4. Urˇc´ım intervaly spojitosti a najdu body nespojitosti funkce a rozhodnu o druhu nespojitosti v dan´ ych bodech. 5. Urˇc´ım body, ve kter´ ych neexistuje prvn´ı derivace funkce a stacionárn´ı body (body, ve kter´ ych je prvn´ı derivace rovna nule). 6. Najdu lokáln´ı extrémy funkce a urˇc´ım intervaly monotónie: • pokud f 0 (x) > 0 pak funkce je rostouc´ı • pokud f 0 (x) < 0 pak je funkce klesaj´ıc´ı v daném intervalu 7. Urˇc´ım body, ve kter´ ych je druhá derivace (a pˇr´ıpadné dalˇs´ı derivace) funkce rovny nula. Najdu inflexn´ı body a urˇc´ım intervaly konvexity a konkávnosti. • pokud f 00 (x) > 0 pak funkce je konkávn´ı • pokud f 00 (x) < 0 pak je funkce konvexn´ı v daném intervalu 8. Urˇc´ım rovnice asymptot. • Pokud v bodˇe x0 je alespoˇ n jedna z jednostrann´ ych limit nevlastn´ı, je pˇr´ımka x = x0 asymptota funkce f . • Pokud pro x → ∞ existuje pˇr´ımky y = kx + q taková, ˇze plat´ı f (x) =1 x→∞ kx + q

lim f (x) − (kx + q) = 0 a lim

x→∞

je pˇr´ımky y = kx + q asymptota funkce f v dobˇe ∞. f (x) =ka x→∞ x

Asymptota v bodˇe x0 = ∞ existuje právˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı koneˇcné limity lim lim f (x) − kx = q

x→∞

9. Najdu funkˇcn´ı hodnoty ve vybran´ ych v´ yznamn´ ych bodech (lokáln´ı extrémy, inflexn´ı body, pr˚ useˇc´ıky s osou x a osou y, bode,ve kter´ ych neexistuje derivace) 10. Na základˇe z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u naˇcrtnu graf

116

10. záˇr´ı 2010

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni

Recommend Documents