KMA/ZM1 Pˇ redn´ aˇ sky ˇ RNDr. Blanka Sediv´ a, PhD. Katedra matematiky FAV Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni
[email protected]
Obsah 0.1
Matematick´e objekty, matematick´e definice, matematick´e vˇety . . . . . . . . . . . . . .
1 Mnoˇ zina a operace s mnoˇ zinami 1.1 Definice z´akladn´ıch mnoˇzinov´ ych pojm˚ u . . . . . . ˇ 1.2 C´ıseln´e mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Operace s mnoˇzinami, V´ennovy diagramy . . . . . . 1.5 Omezenost mnoˇzin, maximum a minimum mnoˇziny, 1.6 Pˇrehled pouˇz´ıvan´ ych symbol˚ u . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . .
5 5 5 7 7 9 13
s posloupnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 14 15 15 17 19 20
3 Nekoneˇ cn´ eˇ rady re´ aln´ ych ˇ c´ısel 3.1 Z´akladn´ı vlastnosti ˇc´ıseln´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Pˇr´ıklady ˇc´ıseln´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Konvergence ˇc´ıseln´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 21 22 24
4 Z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı 4.1 Re´aln´a funkce f re´aln´e promˇenn´e x . . . . . . . 4.2 Operace s funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vlastnosti funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Prost´a funkce a inverzn´ı funkce . . . . . . . . . 4.5 Z´akladn´ı typy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Line´arn´ı funkce f : y = a0 + a1 x . . . . 4.5.2 Kvadratick´a funkce f : y = a0 + a1 x + a2 4.5.3 Polynomick´e funkce x3 , x4 , x5 , . . . . . . . a0 + a1 x 4.5.4 Line´arn´ı lomen´e funkce f : y = b0 + b1 x 4.5.5 Exponenci´aln´ı funkce f : y = ax . . . . .
26 26 26 30 33 34 35 36 37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . supremum . . . . . .
. . . . a .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . infimum . . . . .
2 Posloupnosti re´ aln´ ych ˇ c´ısel 2.1 Definice posloupnosti, zad´av´an´ı posloupnosti, graf posloupnosti, operace 2.2 Operace s posloupnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vlastnosti posloupnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti . . . . . . . . . 2.5 Algebra limit posloupnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Pˇr´ıklady limit posloupnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . x2 . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mnoˇziny . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.6 4.5.7
Logaritmick´e funkce f : y = logz (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Funkce s absolutn´ı hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Polynomy 5.1 Dˇelen´ı polynomu polynomem . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Hornerovo sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Odhady koˇren˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Racion´aln´ı koˇreny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Odhad poˇctu re´aln´ ych koˇren˚ u a jejich polohy . . . . . 5.3 Numerick´e metody odhadu re´aln´ ych koˇren˚ u polynomu P (x) 5.4 Rozklad lomen´e racion´aln´ı funkce na parci´aln´ı zlomky . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
42 45 45 46 46 47 49 51
6 Vektory a vektorov´ y prostor 6.1 Vektorov´ y prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Voln´ y a v´azan´ y vektor, podprostor vektorov´eho prostoru . . . . . . . . 6.3 B´aze vektorov´eho prostoru a souˇradnice vektorov´eho prostoru vzhledem 6.4 Skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u a norma vektoru, vektorov´ y souˇcin v R3 . . . .
. . k .
. . . . . . b´azi . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
53 53 55 56 59
7 Matice - z´ akladn´ı pojmy a definice 7.1 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . 7.2 Determinant maticemi . . . . . . . . . . . 7.3 Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 V´ ypoˇcet inverzn´ı matice pomoc´ı Jordanovy
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
61 62 65 70 70
o dvou nezn´am´ ych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
73 74 75 76 76 76 76 77 79 81
9 Analytick´ a geometrie 9.1 Analytick´a geometrie v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Smˇernicov´a, u ´sekov´a, obecn´a a vektorov´a rovnice pˇr´ımky . . . . . . 9.1.2 Odchylka dvou pˇr´ımek a vzd´alenost bodu od pˇr´ımky . . . . . . . . 9.1.3 Vz´ajemn´a poloha dvou pˇr´ımek v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Transformace kart´ezsk´ ych souˇradnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Analytick´a geometrie v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Obecn´a, u ´sekov´a a parametrick´a rovnice roviny . . . . . . . . . . . 9.2.2 Odchylka dvou rovin, vzd´alenost bodu od roviny, poloha dvou rovin
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
83 83 83 85 86 86 88 88 89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . eliminace
8 Soustava line´ arn´ıch rovnic 8.1 Grafick´e ˇreˇsen´ı soustavy dvou line´arn´ıch rovnic 8.2 Element´arn´ı u ´pravy matic a hodnost matice . ˇ 8.3 Reˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . 8.3.1 Graficky . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Substituˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . 8.3.3 Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou . . . . 8.3.4 Cramerov´ ym pravidlem . . . . . . . . . 8.3.5 Nalezen´ım inverzn´ı matice . . . . . . . 8.4 Homogenn´ı a nehomogenn´ı soustavy . . . . . .
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9.2.3
Pˇr´ımka v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10 Limita funkce v bodˇ e x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞} 10.1 Definice limity funkce . . . . . . . . . . . 10.2 Vlastnosti limit funkc´ı . . . . . . . . . . 10.3 Nˇekter´e limity vybran´ ych funkc´ı . . . . . 10.4 Neurˇcit´e v´ yrazy - speci´aln´ı typy limit . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
91 91 97 98 99
11 Spojitost re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e 100 11.1 Spojitost v bodˇe x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Body nespojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.3 Spojitost funkce v uzavˇren´em intervalu I = ha; bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12 Derivace re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e 103 12.1 Definice diferenˇcn´ıho pod´ılu a derivace a jejich geometrick´a interpretace . . . . . . . . . 103 12.2 Pravidla pro derivov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 12.3 Pˇrehled derivac´ı element´arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 13 Vyuˇ zit´ı derivace 13.1 Stacion´arn´ı body a vztah k lok´aln´ım maxim˚ um a minim˚ um . . . . . . . 13.2 Vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe - nab´ yv´an´ı hodnot na uzavˇren´em intervalu . . . 13.3 Vyuˇzit´ı derivac´ı pro v´ ypoˇcet limit - l´Hospitalovo pravidlo . . . . . . . 13.4 Vyuˇzit´ı derivac´ı pro urˇcov´an´ı rovnice teˇcen a rovnice norm´aly . . . . . 13.5 Vyuˇzit´ı derivac´ı pro aproximaci funkce polynomem - Taylor˚ uv polynom
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
108 . 108 . 110 . 111 . 112 . 113
14 Vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce 115 14.1 Z´akladn´ı pojmy d˚ uleˇzit´e pro pr˚ ubˇeh re´aln´e funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 14.2 Postup pˇri vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a):
0.1
4
Matematick´ e objekty, matematick´ e definice, matematick´ e vˇ ety
Mezi z´akladn´ı pojmy, se kter´ ymi se budeme ˇcasto potk´avat jsou: Definice pojmu je charakteristika nˇejak´eho matematick´eho jevu, charakteristika (vymezen´ı pojmu) mus´ı b´ yt jednoznaˇcn´a tak, abychom mohli rozhodnout, zda nˇejak´ y matematick´ y objekt definici vyhovuje nebo ne. Obvykle v definici vyjmenujeme vlastnosti, kter´e matematick´ y objekt mus´ı m´ıt, abychom ho mohly oznaˇcovat pˇr´ısluˇsn´ ym pojmem. Vˇ eta (matematick´a vˇeta) je tvrzen´ı, kter´e m˚ uˇzeme pomoc´ı dˇr´ıve zaveden´ ych definic a jednoduch´ ych logick´ ych u ´vah povaˇzovat za platn´e. Kaˇzd´a vˇeta m´a svoje pˇredpoklady a d´ale vlastn´ı tvrzen´ı. Z hlediska logiky m´a tedy charakter: Kdyˇ z jsou splnˇ eny pˇ redpoklady . . . , pak plat´ı . . . . Jednoduch´e (snadno dokazateln´e) vˇety se ˇcasto naz´ yvaj´ı tvrzen´ı nebo lemma. Vˇety, kter´e jsou zaloˇzeny na z´akladn´ıch (intuitivn´ıch) matematick´ ych pojmech, kter´e nelze dok´azat, naz´ yv´ame axiomy. D˚ ukaz je logick´ y postup, pomoc´ı kter´eho ovˇeˇrujeme platnost matematick´e vˇety. Pˇri d˚ ukazech se op´ır´ame o principy v´ yrokov´e logiky, zaloˇzen´e na pojmu v´ yrok (cokoliv o ˇcem m´a smysl uvaˇzovat, zda je pravda nebo nen´ı pravda). V matematice pouˇz´ıv´ame logiku vyuˇz´ıvaj´ıc´ı pouze dva stavy: v´ yrok m´a smysl (pravdiv´ y v´ yrok) nebo v´ yrok nem´a smysl (nepravdiv´ y v´ yrok). Pro sloˇzen´e v´ yroky budeme pouˇz´ıvat n´asleduj´ıc´ı oznaˇcen´ı a z´ aroveˇ n znaˇc´ıme V1 ∧ V2 a slovnˇe interpretujeme plat´ı v´ yrok V1 a z´aroveˇ n v´ yrok V2“ ” nebo znaˇc´ıme V1 ∨ V2 a slovnˇe interpretujeme plat´ı v´ yrok V1 nebo v´ yrok V2 nebo plat´ı oba v´ yroky, ” tj. plat´ı alespoˇ n jeden z v´ yrok˚ u“ implikace znaˇc´ıme V1 ⇒ V2 a slovnˇe interpretujeme kdyˇz plat´ı v´ yrok V1 pak plat´ı v´ yrok V2“, ” POZOR pokud v´ yrok V1 neplat´ı mohou pro v´ yrok V2 nastat obˇe situace, tedy m˚ uˇze platit a nemus´ı ekvivalence znaˇc´ıme V1 ⇔ V2 a slovnˇe interpretujeme v´ yrok V1 plat´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı v´ yrok ” V2“ negace znaˇc´ıme V1 nebo non V1 a slovnˇe interpretujeme nen´ı pravda, ˇze V1“, hodnota v´ yrazu V1 ” nab´ yv´a opaˇcn´ ych hodnot neˇz je hodnota v´ yrazu V1 ˇ Pozn´amka: Matematick´e vˇety maj´ı charakter implikac´ı nebo ekvivalenc´ı. Casto pˇri d˚ ukazech vyuˇz´ıv´ame toho, ˇze plat´ı V1 ⇒ V2 ⇔ non V2 ⇒ non V1
4
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
1
5
Mnoˇ zina a operace s mnoˇ zinami
1.1
Definice z´ akladn´ıch mnoˇ zinov´ ych pojm˚ u
Zaveden´ı pojmu mnoˇzina je velice sloˇzit´e, my budeme pod pojmem mnoˇzina ch´apat souhrn matematick´ ych objekt˚ u, kter´e maj´ı spoleˇcnou vlastnost a dok´aˇzeme tyto objekty tedy vymezit. Je nezbytnˇe ˇ nutn´e, abychom VZDY dok´azali rozhodnout, zda matematick´ y objekt je prvkem mnoˇziny nebo nen´ı prvkem mnoˇziny. Pouˇz´ıv´ame znaˇcen´ı • objekt x je prvkem mnoˇziny M (objekt x n´aleˇz´ı do mnoˇziny M ): x ∈ M • objekt x nen´ı prvkem mnoˇziny M (objekt x nen´aleˇz´ı do mnoˇziny M ): x ∈ /M • kaˇzd´ y prvek x mnoˇziny M (vˇsechny prvky x z mnoˇziny M ): ∀x ∈ M • existuje (alespoˇ n jeden) prvek x mnoˇziny M : ∃x ∈ M • existuje pr´avˇe jeden prvek x mnoˇziny M : ∃! x ∈ M Mnoˇzinu vymezujeme dvˇemi z´akladn´ımi zp˚ usoby: 1. v´ yˇctem vˇsech prvk˚ u {x1 , x2 , . . . , xn } 2. stanoven´ım charakteristick´ ych vlastnost´ı {x : V (x)}, kde V (x) je vlastnost prvku, napˇr. x je sud´e ˇc´ıslo. Pokud nad prvky mnoˇziny zavedeme algebraick´e operaci (sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı a podobnˇe) s prvky mluv´ıme obvykle o algebˇre. Modern´ı algebra studuje vlastnosti r˚ uzn´ ych mnoˇzin co nejobecnˇeji, aby bylo moˇzno dosaˇzen´e z´avˇery pouˇz´ıt na co nejv´ıce konkr´etn´ıch pˇr´ıpad˚ u.
1.2
ˇ ıseln´ C´ e mnoˇ ziny
Speci´aln´ım typem mnoˇziny jsou ˇc´ıseln´e mnoˇziny, kdy prvky naz´ yv´ame ˇc´ıslem. Pojem ˇc´ısla patˇr´ı k jednomu ze z´akladn´ıch pojm˚ u matematiky, postupnˇe v r´amci historick´eho v´ yvoje byl tento pojem st´ale rozˇsiˇrov´an a kaˇzd´e d´ıtˇe zopakuje pˇri seznamov´an´ı s ˇc´ısly tento historick´ y v´ yvoj. Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla znaˇc´ıme N = {1, 2, 3, . . . } Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla rozˇ s´ıˇ ren´ a o nulu znaˇc´ıme N0 = {0, 1, 2, 3, . . . } Cel´ aˇ c´ısla znaˇc´ıme Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } p : p, q ∈ Z, nesoudˇeln´a, q 6= 0 Racion´ aln´ı ˇ c´ısla znaˇc´ıme Q = q Re´ aln´ aˇ c´ısla znaˇc´ıme R (definici neuv´ad´ıme nikoliv proto, ˇze neexistuje, ale protoˇze je tak sloˇzit´a, ˇze to pˇresahuje jednu pˇredn´aˇsku) 5
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
6
Iracion´ aln´ı ˇ c´ısla {x ∈ R : x nen´ı racion´aln´ı} Komplexn´ı ˇ c´ısla znaˇc´ıme C = {[x, y] : x, y ∈ R, uspoˇra´dan´a dvojice re´aln´ ych ˇc´ısel} Plat´ı N (Z(Q(R Budeme pˇredpokl´adat, ˇze pro v´ yˇse uveden´e ˇc´ıseln´e mnoˇziny zn´ame z´akladn´ı operace (je dobr´e si rozmyslet, kter´e algebraick´e operace n´am zachov´avaj´ı mnoˇzinu“, tj. pˇri kter´ ych operac´ıch dostaneme ” ˇc´ıslo opˇet ze stejn´e mnoˇziny : rovnost-nerovnost um´ıme rozhodnout, kter´e dvˇe ˇc´ısla jsou stejn´a uspoˇ r´ ad´ an´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme rozhodnout, kter´e ˇc´ıslo je menˇs´ı <, ev. vˇetˇs´ı >, pˇr´ıpadnˇe menˇs´ı nebo rovno ≤ nebo vˇetˇs´ı nebo rovno geq sˇ c´ıt´ an´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a + b n´ asoben´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a · b odˇ c´ıt´ an´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a − b dˇ elen´ı pro dvˇe ˇc´ısla um´ıme naj´ıt a/b Rozmyslete si, ve kter´ ych ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin´ach plat´ı n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: komutativn´ı z´ akon tj. a + b = b + a, resp. a · b = b · a asociativn´ı z´ akon tj. (a + b) + c = a + (b + c), resp. (a · b) · c = a · (b · c) existence nulov´ eho prvku 0 tj. existence prvku, pro kter´ y plat´ı a + 0 = 0 + a = a existence opaˇ cn´ eho prvku k prvku a tj. existence prvku −a, pro kter´ y plat´ı a + (−a) = 0 existence jednotkov´ eho prvku 1 tj. existence prvku, pro kter´ y plat´ı a · 1 = 1 · a = a existence inverzn´ıho prvku k prvku a tj. existence prvku a−1 , pro kter´ y plat´ı a · a−1 = 1 distributivn´ı z´ akon tj. (a + b) · c = a · c + b · c tranzitivnost rovnosti tj. a = b a z´aroveˇ n b = c, pak a = c tranzitivnost nerovnosti tj. pokud a < b a z´aroveˇ n b < c, pak a < c
6
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
1.3
7
Intervaly
Pro jednoduchost zavedeme n´asleduj´ıc´ı pojmy a oznaˇcen´ı pro speci´aln´ı podmnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel Omezen´e intervaly uzavˇ ren´ y interval ha; bi je mnoˇzina {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
• a
polouzavˇ ren´ y interval (a; bi je mnoˇzina {x ∈ R : a < x ≤ b} polouzavˇ ren´ y interval ha; b) je mnoˇzina {x ∈ R : a ≤ x < b} otevˇ ren´ y interval (a; b) je mnoˇzina {x ∈ R : a < x < b}
◦ a
• b ◦ a • a
• b ◦ b ◦ b
Neomezen´e intervaly ha; +∞) je mnoˇzina {x ∈ R : x ≥ a} (a; +∞) je mnoˇzina {x ∈ R : x > a} (−∞; ai je mnoˇzina {x ∈ R : x ≤ a} (−∞; a) je mnoˇzina {x ∈ R : x < a}
• a ◦ a • a ◦ a
(−∞; +∞) je mnoˇzina x ∈ R
1.4
Operace s mnoˇ zinami, V´ ennovy diagramy
Mnoˇzina je tedy matematick´ y objekt, se kter´ ym m˚ uˇzeme r˚ uzn´e mnoˇzinov´e operace a zaj´ımat se o vztahy mezi r˚ uzn´ ymi mnoˇzinami. My budeme potˇrebovat n´asleduj´ıc´ı mnoˇzinov´e operace: inkluse znaˇc´ıme A ⊂ B a slovnˇe interpretujeme mnoˇzina A je podmnoˇzinou mnoˇziny B, plat´ı v´ yrok x∈A⇒x∈B mnoˇ zinov´ a rovnost (identita) znaˇc´ıme A ≡ B a slovnˇe interpretujeme mnoˇzina A je ekvivalentn´ı s mnoˇzinou B, plat´ı v´ yrok x ∈ A ⇔ x ∈ B sjednocen´ı znaˇc´ıme A ∪ B a slovnˇe interpretujeme sjednocen´ı mnoˇzin A a B, plat´ı A ∪ B ≡ {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} n ∞ [ [ t´eˇz pouˇz´ıv´ame symboly Ai pro sjednocen´ı koneˇcn´eho poˇctu mnoˇzin, Ai pro sjednocen´ı i=1 [ i=1 nekoneˇcn´eho poˇctu mnoˇzin a Ai pro sjednocen´ı mnoˇzin z indexov´e mnoˇziny I i∈I
7
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
8
pr˚ unik znaˇc´ıme A ∩ B a slovnˇe interpretujeme pr˚ unik mnoˇzin A a B, plat´ı A ∩ B ≡ {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} n ∞ \ \ t´eˇz pouˇz´ıv´ame symboly Ai pro pr˚ unik koneˇcn´eho poˇctu mnoˇzin, Ai pro pr˚ unik nekoneˇcn´eho i=1 i=1 \ poˇctu mnoˇzin a Ai pro pr˚ unik mnoˇzin z indexov´e mnoˇziny I i∈I
rozd´ıl znaˇc´ıme A\B a slovnˇe interpretujeme rozd´ıl mnoˇzin A a B,resp. doplnˇek mnoˇziny B v mnoˇzinˇe A plat´ı A \ B ≡ {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B} ´ Z ˇ´I kart´ ezsk´ y souˇ cin znaˇc´ıme A × B a slovnˇe interpretujeme kart´ezsk´ y souˇcin mnoˇzin A a B (ZALE ˇ ´I) plat´ı NA PORAD A × B ≡ {[x; y] : x ∈ A ∧ y ∈ B} Uˇziteˇcn´e je grafick´e zn´azorˇ nov´an´ı mnoˇzinov´ ych vztah˚ u a operac´ı pomoc´ı tzv. V´ennov´ ych diagram˚ u, kdy mnoˇziny zn´azorˇ nujeme pomoc´ı obr´azk˚ u. • Mnoˇzina B je podmnoˇzina mnoˇziny B
• Sjednocen´ı mnoˇzin A ∪ B
8
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
9
• Pr˚ unik mnoˇzin A ∩ B
Vztahy mezi dvˇemi a v´ıce mnoˇzinami se zab´ yv´a matematick´a anal´ yza. Z´akladn´ım pojmem je v t´eto matematick´e oblasti pojem zobrazen´ı mnoˇ ziny A do mnoˇ ziny B. Speci´aln´ım pˇr´ıpadem jednoznaˇcn´eho zobrazen´ı z mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel do mnoˇziny re´aln´ ych jsou re´aln´e funkce re´aln´ ych promˇenn´ ych.
1.5
Omezenost mnoˇ zin, maximum a minimum mnoˇ ziny, supremum a infimum mnoˇ ziny
V t´eto kapitole se budeme zab´ yvat pouze podmnoˇzinami mnoˇziny R. Pod pojmem mnoˇzina M tedy v n´asleduj´ıc´ım textu ch´apeme M ⊂ R. Mohli bychom pracovat i v obecnˇejˇs´ıch mnoˇzin´ach, ale potˇrebujeme pˇredevˇs´ım tyto dvˇe z´akladn´ı vlastnosti re´aln´ ych ˇc´ısel. Na re´aln´ ych ˇc´ıslech m´ame definovanou relaci uspoˇr´ad´an´ı, tj. pro dvˇe r˚ uzn´a re´aln´a ˇc´ısla a, b ∈ R nastane vˇzdy pr´avˇe jedna z moˇznost´ı a < b nebo b < a. V re´aln´ ych ˇc´ıslech plat´ı Cantor˚ uv axiom spojitosti. Pro kaˇzd´e dvˇe r˚ uzn´a re´aln´a ˇc´ısla a, b ∈ R, a < b, existuje re´aln´e ˇc´ıslo c tak, ˇze plat´ı a < c < b. Definice 1.1 Mnoˇzina M se naz´yv´a shora omezen´ a mnoˇ zina, pokud existuje re´aln´e ˇc´ıslo a ∈ R tak, ˇze ∀x ∈ M ⇒ x < a. (pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x z mnoˇziny M plat´ı, ˇze x je menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo a) Definice ˇr´ık´a, ˇze mus´ı existovat ˇc´ıslo a ∈ R, takov´ ych ˇc´ısel m˚ uˇze ale existovat i v´ıce. Definice 1.2 Mnoˇzina M se naz´yv´a zdola omezen´ a mnoˇ zina, pokud existuje re´aln´e ˇc´ıslo b ∈ R tak, ˇze ∀x ∈ M ⇒ b < x. (pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x z mnoˇziny M plat´ı, ˇze x je vˇetˇs´ı neˇz ˇc´ıslo b) Definice 1.3 Mnoˇzina M se naz´yv´a omezen´ a mnoˇ zina, pokud je omezen´a shora a z´aroveˇ n je omezen´a zdola.
9
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
10
ˇ ıslo a ∈ R se naz´yv´a supremem mnoˇ Definice 1.4 C´ ziny M , pokud 1. ∀x ∈ M ⇒ x < a nebo x = a (zkr´acenˇe x ≤ a) 2. ˇc´ıslo a je nejmenˇs´ı ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku (1.) Supremum mnoˇziny M znaˇc´ıme sup M, supremum mnoˇziny je ˇc´ıslo, kter´e m˚ uˇze, ale nemus´ı leˇzet v mnoˇzinˇe M. Supremum mnoˇziny je vˇzdy urˇceno jednoznaˇcnˇe, tj. neexistuj´ı dvˇe suprema. ˇ ıslo b ∈ R se naz´yv´a infimem mnoˇ Definice 1.5 C´ ziny M , pokud 1. ∀x ∈ M ⇒ x > a nebo x = a (zkr´acenˇe x ≥ a) 2. ˇc´ıslo a je nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku (1.) Infimum mnoˇziny M znaˇc´ıme inf M, infimum mnoˇziny je ˇc´ıslo, kter´e m˚ uˇze, ale nemus´ı leˇzet v mnoˇzinˇe M. Infimum mnoˇziny je urˇceno jednoznaˇcnˇe. ˇ ıslo a ∈ M se naz´yv´a maximem mnoˇ Definice 1.6 C´ ziny M , pokud ∀x ∈ M ⇒ x ≤ a Maximum mnoˇziny M znaˇc´ıme max M, maximum mnoˇziny je vˇzdy prvkem mnoˇziny M. Maximum mnoˇziny je urˇceno jednoznaˇcnˇe. ˇ ıslo b ∈ M se naz´yv´a minimem mnoˇ Definice 1.7 C´ ziny M , pokud ∀x ∈ M ⇒ x ≥ b Maximum mnoˇziny M znaˇc´ıme min M, maximum mnoˇziny je vˇzdy prvkem mnoˇziny M. Minimum mnoˇziny je urˇceno jednoznaˇcnˇe. Vˇ eta 1.1 Necht’ M ⊂ R je podmnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel, pak plat´ı n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: • Jestliˇze mnoˇzina M je shora omezen´a, pak mnoˇzina M m´a supremum. • Jestliˇze mnoˇzina M je zdola omezen´a, pak mnoˇzina M m´a infimum. • Jestliˇze mnoˇzina M m´a maxim´aln´ı prvkem, pak mnoˇzina M m´a supremum a max M = sup M . • Jestliˇze mnoˇzina M m´a minim´aln´ı prvkem, pak mnoˇzina M m´a infimum a min M = inf M . • Jestliˇze mnoˇzina M m´a koneˇcn´y poˇcet prvk˚ u, pak mnoˇzina M je omezen´a (shora i zdola) a m´ a maximum i minimum a supremum i infimum. Pˇr´ıklady: • Pro uzavˇren´ y interval h−1; 100i plat´ı – mnoˇzina je omezen´a shora, ˇc´ıslo a z definice je napˇr´ıklad ˇc´ıslo 101 nebo ˇc´ıslo 100.00001 – mnoˇzina je omezen´a zdola – mnoˇzina m´a maximum a minimum max M = 100 a min M = −1 – mnoˇzina m´a supremum a infimum sup M = 100 a inf M = −1 10
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
11
• Pro otevˇren´ y interval (−1; 100) plat´ı – mnoˇzina je omezen´a shora, ˇc´ıslo a z definice je napˇr´ıklad ˇc´ıslo 101 nebo ˇc´ıslo 100.00001 – mnoˇzina je omezen´a zdola – mnoˇzina nem´a maximum a nem´a minimum max M = @ a min M = @ – mnoˇzina m´a supremum a infimum sup M = 100 a inf M = −1 • Pro interval (−1; +∞) plat´ı – mnoˇzina nen´ı omezen´a shora – mnoˇzina je omezen´a zdola – mnoˇzina nem´a maximum a nem´a minimum max M = @ a min M = @ – mnoˇzina nem´a supremum ale m´a infimum sup M = @ a inf M = −1 1 1 1 1 : n ∈ N = 1; ; ; ; . . . plat´ı • Pro mnoˇzinu M = n 2 3 4 – mnoˇzina je omezen´a shora, napˇr´ıklad ˇc´ıslem 2 – mnoˇzina je omezen´a zdola, napˇr´ıklad ˇc´ıslem 0 – mnoˇzina m´a maximum ale nem´a minimum max M = 1 a min M = @ – mnoˇzina m´a supremum a m´a infimum sup M = 1 a inf M = 0 • Pro mnoˇzinu M = n2 : n ∈ N = {1; 4; 9; 16; . . . } plat´ı – mnoˇzina nen´ı omezen´a shora – mnoˇzina je omezen´a zdola, napˇr´ıklad ˇc´ıslem 0 – mnoˇzina nem´a maximum ale m´a minimum max M = @ a min M = 1 – mnoˇzina nem´a supremum ale m´a infimum sup M = @ a inf M = 1 • mnoˇzina M m˚ uˇze b´ yt zobrazena t´eˇz graficky mnoˇzina M - silnˇe vyznaˇcen´a ˇca´st • a a = inf M = min M
11
◦ b b = sup M
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
12
12
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 1 Mnoˇzina a operace s mnoˇzinami
1.6
13
Pˇ rehled pouˇ z´ıvan´ ych symbol˚ u
V1 ⇒ V2
jestliˇze plat´ı V1 , pak plat´ı V2
V1 ; V2
obecnˇe neplat´ı tato implikace
V1 ⇔ V2
V1 plat´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı V2
V1 ∧ V2
plat´ı v´ yrok V1 a z´aroveˇ n plat´ı v´ yrok V2
V1 ∨ V2
plat´ı v´ yrok V1 nebo plat´ı v´ yrok V2 (nebo plat´ı oba v´ yroky)
V1
negace (opak) v´ yroku V1
M = {x : V (x)}
mnoˇzina M zad´ana pomoc´ı v´ yroku V
x∈M
objekt x je prvkem mnoˇziny M
x∈ /M
objekt x nen´ı prvkem mnoˇziny M
∀x ∈ M
pro kaˇzd´ y prvek mnoˇziny M
∃x ∈ M
existuje prvek mnoˇziny M
∃! x ∈ M
existuje pr´avˇe jeden prvek mnoˇziny M
@
neexistuje
A∪B [ Ai
sjednocen´ı mnoˇzin A a B sjednocen´ı v´ıce mnoˇzin Ai
A∩B \ Ai
pr˚ unik mnoˇzin A a B
A⊂B
mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B
A⊆B
mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B (mnoˇziny mohou b´ yt ekvivalentn´ı)
A(B
mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B (mnoˇziny nejsou ekvivalentn´ı)
N
mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel
N0
mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel rozˇs´ıˇren´a o prvek 0
Z
mnoˇzina vˇsech cel´ ych ˇc´ısel
Q
mnoˇzina vˇsech racion´aln´ıch ˇc´ısel
pr˚ unik v´ıce mnoˇzin Ai
R
mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel +
−
R (R )
mnoˇzina vˇsech kladn´ ych (z´aporn´ ych) re´aln´ ych ˇc´ısel
− R+ 0 (R0 )
mnoˇzina vˇsech nez´aporn´ ych (nekladn´ ych) re´aln´ ych ˇc´ısel
a=b
ˇc´ıslo a je rovno ˇc´ıslu b
a 6= b . a=b
ˇc´ıslo a nen´ı rovno ˇc´ıslu b
a≈b
ˇc´ıslo a je pˇribliˇznˇe rovno ˇc´ıslu b
ab
ˇc´ıslo a je mnohem (ˇra´dovˇe) menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo b
max M (min M )
maximum (minimum) mnoˇziny M
sup M (inf M )
supremum (infimum) mnoˇziny13M
ˇc´ıslo a je po zaokrouhlen´ı rovno ˇc´ıslu b
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
2 2.1
14
Posloupnosti re´ aln´ ych ˇ c´ısel Definice posloupnosti, zad´ av´ an´ı posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi
Definice 2.1 Posloupnost´ı re´aln´ych ˇc´ısel (ˇc´ıselnou posloupnost´ı) naz´yv´ame kaˇzd´e zobrazen´ı mnoˇziny vˇsech pˇrirozen´ych ˇc´ısel N do mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel R. N −→ R n 7→ an Pro posloupnosti ˇc´ısel pouˇz´ıv´ame znaˇcen´ı {an }+∞ r´ıpadnˇe znaˇcen´ı (an )+∞ r´ıpadnˇe {a1 ; a2 ; a3 ; . . . } n=1 , pˇ n=1 , pˇ nebo (a1 ; a2 ; a3 ; . . . ) Posloupnost je d´ana slovn´ım vyj´ adˇ ren´ım napˇr´ıklad- kaˇzd´emu pˇrirozen´emu ˇc´ıslu je pˇriˇrazena jeho druh´a mocnina; tabel´ arnˇ e (v´ yˇctem vˇsech ˇclen˚ u), pokud je jasn´ y princip konstrukce posloupnosti, napˇr´ıklad {1; 4; 9; 16, ; 25; . . . } analyticky (vzorem pro n-t´ y ˇclen, napˇr´ıklad an = n2 + 3 rekurentnˇ e (je d´ano nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ u posloupnosti a je d´an pˇredpis, jak se vypoˇcte dalˇs´ı ˇclen na z´akladˇe pˇredch´azej´ıc´ıch ˇclen˚ u), napˇr´ıklad a1 = 1, a2 = 4 a an − 2an−1 = 2 Graf posloupnosti mus´ı odpov´ıdat situaci, kdy definiˇcn´ı obor posloupnosti jsou pˇrirozen´a ˇc´ısla. TAKTO ANO
TAKTO NE !!!
14
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
15
Vybranou posloupnost´ı z posloupnosti {an }+∞ yv´ame posloupnost {bn }+∞ ıˇz existuje takov´a n=1 naz´ n=1 , k n´ +∞ rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel {kn }n=1 , ˇze bn = akn . 2 +∞ Posloupnost n n=1 je vybranou posloupnost´ı z posloupnosti {n}+∞ n=1 .
2.2
Operace s posloupnostmi
S posloupnostmi m˚ uˇzeme prov´adˇet z´akladn´ı algebraick´e operace tak, ˇze napˇr´ıklad souˇ cet dvou posloupnost´ı je posloupnost, kter´a m´a ˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı souˇctu pˇr´ısluˇsn´ ych ˇclen˚ u p˚ uvodn´ıch posloupnost´ı. +∞ +∞ {an }+∞ n=1 + {bn }n=1 = {an + bn }n=1
Obdobn´ ym zp˚ usobem zavedeme odˇ c´ıt´ an´ı posloupnost´ı, souˇ cin posloupnost´ı a pod´ıl posloupnost´ı (pokud maj´ı vˇsechny pod´ıly smysl).
2.3
Vlastnosti posloupnost´ı
yv´a Definice 2.2 Posloupnost {an }+∞ n=1 se naz´ • rostouc´ı, pokud pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı an ≤ an+1 ; • ostˇre rostouc´ı, pokud pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı an < an+1 ; • klesaj´ıc´ı, pokud pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı an ≥ an+1 ; • ostˇre klesaj´ıc´ı, pokud pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı an > an+1 . Souhrnnˇe naz´yv´ame rostouc´ı, ostˇre rostouc´ı, klesaj´ıc´ı a ostˇre klesaj´ıc´ı posloupnosti jako posloupnosti monot´onn´ı. Konstantn´ı posloupnost naz´yv´ame takovou posloupnost, pro kterou plat´ı an = konstanta pro ∀n ∈ N Definice 2.3 Posloupnost {an }+∞ yv´a n=1 se naz´ • omezen´a shora, pokud existuje re´aln´e ˇc´ıslo KH takov´e, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı an ≤ KH ; • omezen´a zdola, pokud existuje re´aln´e ˇc´ıslo KD takov´e, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı KD ≤ an ; • omezen´a, pokud existuje re´aln´e ˇc´ıslo K takov´e, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı |an | ≤ K. Nˇekdy pouˇz´ıv´ame m´ısto term´ınu omezen´a posloupnost term´ın posloupnost ohraniˇcen´a. Vˇ eta 2.1 Posloupnost je omezen´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz je omezen´a zdola a z´aroveˇ n je omezen´ a shora. Speci´aln´ım pˇr´ıpadem posloupnost´ı jsou posloupnosti aritmetick´e a geometrick´e. POZOR vˇetˇsina posloupnost´ı nen´ı ani aritmetick´a ani geometrick´a.
15
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
16
Aritmetick´ a posloupnost je posloupnost, pro kterou plat´ı an − an+1 = d = konstanta pro ∀n ∈ N. ˇ C´ıslo d se naz´ yv´a diferenc´ı aritmetick´e posloupnosti. Pokud diference aritmetick´e posloupnosti je kladn´a, pak posloupnost je ostˇre rostouc´ı. Pokud diference aritmetick´e posloupnosti je z´aporn´a, pak posloupnost je ostˇre klesaj´ıc´ı. Pokud diference aritmetick´e posloupnosti je rovna nule, pak posloupnost je konstantn´ı. Geometrick´ a posloupnost je posloupnost, pro kterou plat´ı ˇ ıslo q se naz´ C´ yv´a kvocientem geometrick´e posloupnosti.
an = q = konstanta pro ∀n ∈ N. an+1
Pokud kvocientem geometrick´e posloupnosti je q > 1 a a1 > 0, pak posloupnost je ostˇre rostouc´ı. Pokud kvocientem geometrick´e posloupnosti je q > 1 a a1 < 0, pak posloupnost je ostˇre klesaj´ıc´ı. Pokud kvocientem geometrick´e posloupnosti je 0 < q < 1 a a1 > 0, pak posloupnost je ostˇre klesaj´ıc´ı. Pokud kvocientem geometrick´e posloupnosti je 0 < q < 1 a a1 < 0, pak posloupnost je ostˇre rostouc´ı. Pro q < 0 je geometrick´a posloupnost alternuj´ıc´ı, tj. an = (−1)n bn (posloupnost se stˇr´ıdav´ ymi znam´enky). Pro q = 1 je geometrick´a konstantn´ı. cme Definice 2.4 Necht’ je d´ana posloupnost {an }+∞ n=1 , oznaˇ A = {a ∈ R; existuje n ∈ N tak, ˇze a = an } pak definuje pojmy maximum posloupnosti, minimum posloupnosti, infimum posloupnosti a supremum posloupnosti n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem • max {an }+∞ n=1 = max A; • min {an }+∞ n=1 = min A; • sup {an }+∞ n=1 = sup A; • inf {an }+∞ n=1 = inf A. Vˇ eta 2.2 Z kaˇzd´e posloupnosti lze vybrat posloupnost monot´onn´ı.
16
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
2.4
17
Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti
ˇ Definice 2.5 Rekneme, ˇze ˇc´ıslo a ∈ R je vlastn´ı (koneˇ cnou) limitou posloupnosti {an }+∞ n=1 , jestliˇze ∀ > 0 ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ |an − a| < Tuto skuteˇcnost struˇcnˇe zapisujeme lim an = a nebo struˇcnˇeji an → a pro n → ∞
n→∞
Ilustraˇcn´ı obr´azek vlastn´ı limity posloupnosti.
ˇ a nevlastn´ı limitou posloupnosti +∞ , jestliˇze Definice 2.6 Rekneme, ˇze posloupnost {an }+∞ n=1 m´ ∀K > 0 ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ an > K Tuto skuteˇcnost struˇcnˇe zapisujeme lim an = +∞ nebo struˇcnˇeji an → +∞ pro n → ∞
n→∞
ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }+∞ a nevlastn´ı limitou posloupnosti −∞ , jestliˇze n=1 m´ ∀L < 0 ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ an < L Tuto skuteˇcnost struˇcnˇe zapisujeme lim an = −∞ nebo struˇcnˇeji an → −∞ pro n → ∞
n→∞
Definice 2.7 Posloupnost, kter´a m´a vlastn´ı (koneˇcnou) limitu se naz´yv´a posloupnost konvergentn´ı. Posloupnost, kter´a nen´ı konvergentn´ı se naz´yv´a divergentn´ı. Divergentn´ı posloupnost m˚ uˇze m´ıt limitu rovnu +∞ nebo −∞ nebo limita neexistuje. 17
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
18
Nyn´ı uvedeme nˇekolik z´akladn´ıch vˇet o limit´ach. D˚ ukazy tˇechto vˇet budou pouze naznaˇceny. Vˇ eta 2.3 Kaˇzd´a posloupnost m´a nejv´yˇse jednu limitu. D˚ ukaz vˇety sporem: Omez´ım se pouze na vlastn´ı limity. Budu pˇredpokl´adat, ˇze existuj´ı dvˇe r˚ uzn´a |a − b| . Podle definice limity mus´ı existovat index ˇc´ısla lim an = a a lim an = b. Pak zvol´ım 0 < < n→∞ n→∞ 2 n0 (a) pro hodnotu a a index n0 (b) pro hodnotu b, vezmu vˇetˇs´ı z tˇechto hodnot. Pak mus´ı platit ∀n > max(n0 (a); n0 (b)) (n ∈ N) =⇒ a − < an < a + a z´aroveˇ n b − < an < b + A to je spor, protoˇze intervaly (a − ; a + ) a (b − ; b + ) jsou disjunktn´ı (maj´ı pr´azdn´ y pr˚ unik). Vˇ eta 2.4 Kaˇzd´a konvergentn´ı posloupnost je omezen´a. D˚ ukaz: Zvol´ıme si = 1 a najdeme pˇr´ısluˇsn´ y index n0 a pak mus´ı platit pro vˇsechny n > nO (n ∈ N) a − 1 < an < a + 1 Jestliˇze zvol´ım KH = max {a1 ; a2 ; . . . ; an0 −1 ; a + 1} a KD =∈ {a1 ; a2 ; . . . ; an0 −1 ; a − 1} dostanu omezuj´ıc´ı konstanty pro posloupnost. POZOR: obr´acen´a implikace neplat´ı. Existuje posloupnost, kter´e je omezen´a, ale nem´a koneˇcnou limitu, napˇr´ıklad an = (−1)n . Plat´ı vˇsak n´asleduj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 2.5 Kaˇzd´a omezen´e monot´onn´ı posloupnosti je konvergentn´ı. A pro klesaj´ıc´ı posloupnost plat´ı lim an = inf {an }+∞ n=1 a n→∞
pro rostouc´ı posloupnost plat´ı lim an = sup {an }+∞ n=1 n→∞
Vˇ eta 2.6 Z kaˇzd´e omezen´e posloupnosti lze vybrat podposloupnost, kter´a je konvergentn´ı.
18
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
2.5
19
Algebra limit posloupnost´ı
Pod pojmem algebra limit ch´apeme operace sˇc´ıt´an´ım, odˇc´ıt´an´ım, . . . limit“. V t´eto ˇca´sti se omez´ıme ” pouze na vlastn´ı (koneˇcn´e) limity. +∞ Vˇ eta 2.7 Necht’ jsou d´any dvˇe konvergentn´ı posloupnosti {an }+∞ riˇcemˇz lim an = a a n=1 a {bn }n=1 , pˇ n→∞ lim bn = b, pak plat´ı
n→∞
• lim an + bn = a + b; n→∞
• lim an − bn = a − b; n→∞
• lim K · an = K · a, kde K je libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo (vˇcetnˇe nuly); n→∞
• lim an · bn = a · b; n→∞
an a = , pokud b 6= 0. n→∞ bn b
• lim
Vˇ eta 2.8 Vˇ ety o limitov´ an´ı posloupnost´ı 1. Necht’ lim an = a a lim bn = b n→∞
n→∞
a necht’ existuje index n0 takov´y, ˇze pro vˇsechny n > n0 ∈ N plat´ı an ≤ b n pak tak´e plat´ı lim an ≤ lim bn
n→∞
n→∞
2. Necht’ lim an = a a lim bn = b a necht’ a < b, pak exituje index n0 takov´y, ˇze pro vˇsechny n→∞ n→∞ n > n0 ∈ N plat´ı an < bn . POZOR:Neostr´ ust´avaj´ı! Ostr´a nerovnost m˚ uˇze pˇrej´ıt v neostrou. +∞e nerovnosti +∞ pˇri limitˇe z˚ 1 2 Pˇr´ıklad a , plat´ı an < bn , ale lim an = lim bn . n→∞ n→∞ n n=1 n n=1 Vˇ eta 2.9 Vˇ eta o sevˇ ren´ı, vˇ eta o dvou policistech Necht’ jsou d´any tˇri posloupnosti {an }+∞ n=1 , +∞ {bn }+∞ a {c } , kde lim a = a a lim c = a n n=1 n n n=1 n→∞ n→∞ a necht’ existuje index n0 takov´y, ˇze pro vˇsechny n > n0 ∈ N plat´ı an ≤ b n ≤ c n , pak tak´e lim bn = a
n→∞
19
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 2 Posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel
2.6
20
Pˇ r´ıklady limit posloupnost´ı
@, 0, 1. lim q n = n→∞ 1, +∞,
pro q ∈ (−∞; −1i pro q ∈ (−1; 1) pro q = 1 pro q ∈ (1; +∞)
ak , pro k = m Pk (n) a0 + a1 n + · · · + ak nk bm 2. lim = lim 0, pro k < m n→∞ Qm (n) n→∞ b0 + b1 n + · · · + bm nm ±∞, pro k > m a n 3. lim 1 + = ea n→∞ n 4. limita typu
konst. je rovna 0 ±∞
5. limita typu
konst. m˚ uˇze b´ yt rovna +∞ nebo −∞ nebo nemus´ı existovat 0
6. limita typu
±∞ m˚ uˇze b´ yt cokoliv, ˇcasto m˚ uˇzeme pouˇz´ıt n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u ±∞ √ √ √ 4 n 3 n n n n2 n3 n n 1 1 1 (2)n (4)n 4 2 ln n n en n! nn
20
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 3 Nekoneˇcn´e ˇrady re´aln´ ych ˇc´ısel
3
21
Nekoneˇ cn´ eˇ rady re´ aln´ ych ˇ c´ısel
V dalˇs´ım budeme zkoumat v´ yznam symbolu a1 + a2 + a3 + · · · =
∞ X
an
n=1
nekoneˇcn´e (a pˇr´ıpadnˇe koneˇcn´e) ˇrady se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı pro vyj´adˇren´ı oˇcek´avan´ ych pˇr´ıjm˚ u nebo plateb v budouc´ıch obdob´ıch.
3.1
Z´ akladn´ı vlastnosti ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad
Definice 3.1 Bud’ {an }+∞ aln´ych (komplexn´ıch) ˇc´ısel. Oznaˇcme n=1 posloupnost re´ s1 = s2 = s3 = s4 = ... ... sn =
a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an .
ˇ ıslo sn nazveme n-t´ym ˇc´asteˇcn´ym souˇctem ˇrady C´
∞ X
an a posloupnost {sn }+∞ n=1 nazveme posloupnost
n=1
ˇc´ asteˇcn´ych souˇct˚ u dan´e ˇrady. ∞ X Symbol an = a1 + a2 + a3 + . . . se naz´yv´a ˇrada. n=1
Jestliˇze existuje (vlastn´ı nebo nevlastn´ı) limita posloupnosti ˇc´asteˇcn´ych souˇct˚ u, tj. existuje s tak, ˇze lim sn = s,
n→∞
pak ˇc´ıslo s nazveme souˇctem ˇrady a p´ıˇseme ∞ X
an = s
n=1
Pokud s je koneˇcn´e ˇc´ıslo, tj. Pokud s je ±∞, tj.
∞ X
∞ X
an = s ∈ R ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada konverguje.
n=1
an = ±∞ ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada diverguje.
n=1
Pokud lim sn neexistuje, ˇr´ık´ame, ˇze ˇrada osciluje. n→∞
21
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 3 Nekoneˇcn´e ˇrady re´aln´ ych ˇc´ısel
3.2
22
Pˇ r´ıklady ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad
Geometrick´ aˇ rada konverguje pro |q| < 1 ˇ Radu 2
3
a + aq + aq + aq + · · · =
∞ X
aq n ,
n=0
kde a a q jsou dan´a ˇc´ısla (a je prvn´ı ˇclen ˇrady a q je kvocient ˇrady), nazveme geometrickou ˇradou. Pro ˇca´steˇcn´e souˇcty plat´ı sn = a
1 − qn 1−q
a limita ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u pro n → ∞ je pro |q| < 1 rovna a
1 , pro ostatn´ı pˇr´ıpady je limita 1−q
rovna +∞, -∞ nebo neexistuje. Celkovˇe tedy plat´ı, ˇze geometrick´a ˇrada pro konverguje pro |q| < 1 a + aq + aq 2 + aq 3 + · · · =
∞ X
aq n =
n=0
Pˇ r´ıklad: Je d´ana nekoneˇcn´a ˇc´ıseln´a ˇrada
∞ X
a 1−q
an , kde an =
n=0
pro
|q| < 1
1 42n+4
1. Urˇcete pro n−t´ y ˇclen posloupnosti ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u sn . 2. Seˇctˇete prvn´ıch 10,15 a 16 ˇclen˚ u posloupnosti an . 3. Vypoˇctˇete souˇcet nekoneˇcn´e ˇc´ıseln´e ˇrady. 1 1 1 = · , tedy jedn´a se o geometrickou ˇradu 42n+4 42n · 44 256 16n ∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + 3 + ... = · 1+ + 2 + ... , 256 16 16 16 256 16 16 16 n=0
Pro ˇcleny t´eto ˇrady plat´ı an ==
1
=
kde prvn´ı ˇclen ˇrady a m´a hodnotu a=
1 1 = 256 · 16 4096
a kvocient ˇrady q m´a hodnotu q=
1 . 16
1 − qn Podle pˇredch´azej´ıc´ıch vztah˚ u v´ıme, ˇze pro ˇca´steˇcn´e souˇcty plat´ı sn = a a ˇrada konverguje 1−q a pro |q| < 1 k hodnotˇe s∞ = . 1−q 22
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 3 Nekoneˇcn´e ˇrady re´aln´ ych ˇc´ısel
23
1. Pro n−t´ y ˇclen posloupnosti ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u sn plat´ı 1 − qn 1 1− sn = a = 1−q 4096 1 −
1 n 16 1 16
2. Seˇctˇete prvn´ıch 10,15 a 16 ˇclen˚ u posloupnosti an . s10
1 1− = 4096 1 −
1 10 16 1 16
. = 0.00026
s15
1 1− = 4096 1 −
1 15 16 1 16
. = 0.00026
s16
1 1− = 4096 1 −
1 16 16 1 16
. = 0.00026
1 1 3. Vypoˇctˇete souˇcet nekoneˇcn´e ˇc´ıseln´e ˇrady, kde q = a <1 16 16 1 a 1 s∞ = = 40961 = 1−q 3840 1 − 16 ˇ Rada
∞ X n=0
1 konverguje n(n + 1)
Pouˇzijeme n´asleduj´ıc´ı trik
1 1 1 = − a dost´av´ame posloupnost ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u n(n + 1) n n+1 1 − 1 1 s2 = − 1 1 s3 = − 1 1 s4 = − 1 ... ... ... 1 sn = − 1 s1
=
1 2 1 1 1 + − 2 2 3 1 1 1 1 1 + − + − 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − 2 2 3 3 4 4 5 1 n+1
Pro limitu ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u pak plat´ı lim 1 −
n→∞
23
1 = 1, n+1
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 3 Nekoneˇcn´e ˇrady re´aln´ ych ˇc´ısel
tedy ˇrada
∞ X n=0
1 konverguje a souˇcet ˇrady je roven jedn´e. n(n + 1) ∞ X n=0
ˇ Rada
24
1 =1 n(n + 1)
∞ X 1 diverguje, harmonick´ aˇ rady n n=0 ∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + ... n 2 3 4 5 n=0 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + ... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 + ≥ 1+ + + ... 2 2 4 4 1 1 1 = 1+ + + ... 2 2 2
3.3
Konvergence ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad
Vˇ eta 3.1 Nutn´ a podm´ınka konvergence ˇ c´ıseln´ e ˇ rady Necht’
∞ X
an = a1 + a2 + a3 + . . .
n=1
konverguje, pak lim an = 0. n→∞
Pozn´amky: • jedn´a se nutnou podm´ınku, tedy: pokud lim an je r˚ uzn´a od nuly, pak ˇrada nem˚ uˇze b´ yt konvern→∞ gentn´ı ∞ X 1 • nejedn´a se o podm´ınku postaˇcuj´ıc´ı: pˇr´ıkladem je harmonick´a ˇrada , kde podm´ınka n n=0 lim an = 0 je splnˇena, ale ˇrada je divergentn´ı n→∞
Rozhodnut´ı o konvergenci ˇc´ıseln´e ˇrady je v konkr´etn´ıch situac´ıch velmi sloˇzit´e, pom´ahaj´ı n´am r˚ uzn´a krit´eria konvergence. Jednoduˇsˇs´ı je situace pro ˇrady s nez´aporn´ ymi ˇcleny, kdy m˚ uˇzeme pouˇz´ıvat napˇr´ıklad n´asleduj´ıc´ı krit´eria Srovn´ avac´ı krit´ erium: Bud’
∞ X
an a
n=0
∞ X
bn dvˇe ˇrady s nez´aporn´ ymi ˇcleny a necht’ existuje k tak,
n=0
ˇze pro vˇsechna n > k plat´ı an ≤ bn , potom plat´ı: • je-li
∞ X n=0
bn konvergentn´ı, je
∞ X
an tak´e konvergentn´ı
n=0
24
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 3 Nekoneˇcn´e ˇrady re´aln´ ych ˇc´ısel
• je-li
∞ X
an divergentn´ı, je
n=0
∞ X
25
bn tak´e divergentn´ı
n=0
∞ X 1 1 1 , kter´a je divergentn´ı (srovn´am > ) Pˇr´ıkladem pouˇzit´ı je ˇrada ln n ln n n n=0 ∞ X
an ˇrada s nez´aporn´ ymi ˇcleny a necht’ existuje limita Cauchyho (odmocninov´ e) krit´ erium Bud’ n=0 √ lim n an = A , potom plat´ı: n→∞
• je-li A < 1, je • je-li A > 1, je
∞ X n=0 ∞ X
an konvergentn´ı; an divergentn´ı;
n=0
• je-li A = 1, nemohu o konvergenci na z´akladˇe tohoto krit´eria rozhodnout. D´Alembertovo (pod´ılov´ e) krit´ erium Bud’ an+1 = A , potom plat´ı: n→∞ an
∞ X
an ˇrada s kladn´ ymi ˇcleny a necht’ existuje limita
n=0
lim
• je-li A < 1, je • je-li A > 1, je
∞ X n=0 ∞ X
an konvergentn´ı; an divergentn´ı;
n=0
• je-li A = 1, nemohu o konvergenci na z´akladˇe tohoto krit´eria rozhodnout.
25
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4
26
Z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.1
Re´ aln´ a funkce f re´ aln´ e promˇ enn´ ex
• zobrazen´ı f : A → B, kde A ⊆ R a B ⊆ R • zobrazen´ı, kter´e ke kaˇzd´emu x ∈ A pˇriˇrazuje pr´avˇe jedno y = f (x) ∈ B • ∀x ∈ A ∃! y ∈ B : y = f (x) • x - argument funkce f ;
y - funkˇcn´ı hodnota funkce f
• D (f ) = A: definiˇcn´ı obor funkce f • H (f ) = B: obor (funkˇcn´ıch) hodnot funkce f • maxim´aln´ı (existenˇcn´ı) definiˇcn´ı obor je takov´a podmnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel, pro kter´a m´a analytick´ y vzorec funkce smysl • graf funkce: mnoˇzina vˇsech bod˚ u {[x, y]; x ∈ D (f ), y = f (x)} ve zvolen´e soustavˇe souˇradnic (kart´ezsk´e souˇradnice Oxy, sf´erick´e souˇradnice, . . . ) • zp˚ usoby zad´an´ı funkce – analytick´e (vzorec, rovnice, nˇekolik rovnic pro r˚ uzn´e ˇca´sti definiˇcn´ıho oboru + definiˇcn´ı obor) Napˇr. f : y = −2x ( +3 x2 pro x ∈ (−3, 3) f (x) := 9 jinak – grafick´ ym zad´an´ım – v´ yˇctem funkˇcn´ıch hodnot {(1; 1), (2; 4), (3; 9), (4, 16)}
4.2
Operace s funkcemi
• ekvivalence funkc´ı – rovnost funkc´ı f1 a f2 : f1 ≡ f2 ⇔ D (f1 ) = D (f2 ) ∧ ∀x ∈ D (f1 ) : f1 (x) = f2 (x) • upoˇra´d´an´ı funkc´ı – funkce f1 je vˇetˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 ≥ f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) ≥ f2 (x) – funkce f1 je ostˇre vˇetˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 > f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) > f2 (x) 26
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
27
– funkce f1 je menˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 ≤ f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) ≤ f2 (x) – funkce f1 je ostˇre menˇs´ı neˇz f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ) : f1 < f2 ⇔ ∀x ∈ M : f1 (x) < f2 (x) • algebraick´e operace s funkcemi – sˇc´ıt´an´ı (odˇc´ıt´an´ı) funkc´ı f1 a f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ): g = f1 ± f2 ⇔ ∀x ∈ M : g(x) = f1 (x) ± f2 (x) – n´asoben´ı funkc´ı f1 a f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ): g = f1 · f2 ⇔ ∀x ∈ M : g(x) = f1 (x) · f2 (x) – dˇelen´ı funkc´ı f1 a f2 na mnoˇzine M ⊂ D (f1 ) ∩ D (f2 ): g=
f1 (x) f1 ⇔ ∀x ∈ M ; f2 (x) 6= 0 : g(x) = f2 f2 (x)
• skl´ad´an´ı funkc´ı – g = f1 ◦ f2 : g(x) = f1 (f2 (x)), pokud je splnˇeno, ˇze H (f2 ) ⊆ D (f1 ) ∗ D (g) ⊆ D (f2 ) ∗ H (g) ⊆ H (f1 ) – g: sloˇzen´a funkce – f1 : vnˇejˇs´ı funkce – f2 : vnitˇrn´ı funkce • opaˇcn´ ym postupem dost´av´ame rozklad sloˇzen´e funkce na element´arn´ı funkce
27
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
28
• transformace grafu funkc´ı (speci´aln´ı typy skl´ad´an´ı) – g(x) = −f (x): graf funkce g je soumˇern´ y s grafem funkce f podle osy x
– g(x) = f (−x): graf funkce g je soumˇern´ y s grafem funkce f podle osy y
– g(x) = f (x) + K: graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunut´ y o konstatnu K ve smˇeru osy y
28
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
29
– g(x) = f (x + K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunut´ y o konstatnu −K ve smˇeru osy x
– g(x) = f (x · K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovan´ y smˇeru osy x (body pr˚ uniku grafu s osou y z˚ ust´avaj´ı zachov´any)
– g(x) = K · f (x): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovan´ y smˇeru osy y (body pr˚ uniku grafu s osou x z˚ ust´avaj´ı zachov´any)
29
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.3
30
Vlastnosti funkc´ı
• sud´a (lich´a) funkce – sud´a funkce: ∀x ∈ D (f ) : −x ∈ D (f ) ∧ f (−x) = f (x) – sud´a funkce je soumˇern´a podle osy y – x2 , x1/2 , cos(x), |x|, . . .
– lich´a funkce: ∀x ∈ D (f ) : −x ∈ D (f ) ∧ f (−x) = −f (x) – lich´a funkce je soumˇern´a podle poˇca´tku 0 – 1/x, x3 , sin(x), . . .
• periodick´a funkce – ∃p ∈ R \ {0} : ∀x ∈ D (f ) : x ± p ∈ D (f ) ∧ f (x ± p) = f (x) – p je perioda funkce – z´akladn´ı (primitivn´ı) perioda: existuje-li pro funkci f nejmenˇs´ı kladn´a perioda p – goniometrick´e funkce - sin, cos, tg, cotg,. . . • funkce omezen´a – funkce f je omezen´a zdola na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∃ d ∈ R : ∀x ∈ M plat´ı d ≤ f (x) – funkce f je omezen´a shora na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∃ h ∈ R : ∀x ∈ M plat´ı f (x) ≤ h – funkce f je omezen´a na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): 30
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
31
∃ d, h ∈ R : ∀x ∈ M plat´ı d ≤ f (x) ≤ h – d: doln´ı mez funkˇcn´ıch hodnot – h: horn´ı mez funkˇcn´ıch hodnot • extr´emy funkc´ı – funkce f m´a v bodˇe xmin minimum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) ≤ f (x) – funkce f m´a v bodˇe xmin ostr´e minimum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) < f (x) – funkce f m´a v bodˇe xmin maximum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) ≥ f (x) – funkce f m´a v bodˇe xmin ostr´e maximum na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x ∈ M plat´ı f (xmin ) > f (x) – pokud M = D (f ), jedn´a se o glob´aln´ı extr´em funkce f (glob´aln´ı minimum, glob´aln´ı ostr´e minimum, glob´aln´ı maximum, glob´aln´ı ostr´e maximum) – funkce f m´a v bodˇe xmin lok´aln´ı minimum: ∃ > 0 takov´e, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) ≤ f (x) – funkce f m´a v bodˇe xmin ostr´e lok´aln´ı minimum: ∃ > 0 takov´e, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) < f (x) – funkce f m´a v bodˇe xmin lok´aln´ı maximum: ∃ > 0 takov´e, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) ≥ f (x) – funkce f m´a v bodˇe xmin ostr´e lok´aln´ı maximum: ∃ > 0 takov´e, ˇze ∀x ∈ (xmin − , xmin + ) plat´ı f (xmin ) > f (x) ˇ ´I • POZOR NA ZNACEN – max f (x) je funkˇcn´ı hodnota v bodˇe maxima - leˇz´ı na ose y – xmax = argmax f (x) je bod, ve kter´em funkce sv´eho maxima nab´ yv´a - leˇz´ı na ose x • monot´on´ı funkce – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) ostˇre rostouc´ı: ∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) < f (x2 ) – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) ostˇre klesaj´ıc´ı: 31
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
32
∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) > f (x2 ) – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) rostouc´ı: ∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≤ f (x2 ) – funkce f je na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ) klesaj´ıc´ı: ∀x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≥ f (x2 ) – funkce monot´on´ı: funkce klesaj´ıc´ı, rostouc´ı – funkce ryze monot´on´ı: funkce ostˇre rostouc´ı, ostˇre klesaj´ıc´ı • vz´ajemn´e vazby mezi omezenost´ı, existenc´ı lok´aln´ıch a glob´aln´ıch extr´em˚ u a monot´oni´ı – pokud m´a funkce glob´aln´ı minimum, pak je omezen´a zdola – pokud m´a funkce glob´aln´ı maximum, pak je omezen´a shora – lok´aln´ı extr´emy k omezenosti nepostaˇcuj´ı – kaˇzd´ y glob´aln´ı extr´em je i extr´em lok´aln´ı – existuj´ı funkce omezen´e zdola, kter´e nemaj´ı glob´aln´ı minimum – existuj´ı funkce omezen´e shora, kter´e nemaj´ı glob´aln´ı maximum – pokud m´a funkce v bodˇe xmin ostr´e lok´aln´ı minimum, pak ∃ > 0 takov´e, ˇze funkce f je v intervalu (xmin − , xmin ) ostˇre klesaj´ıc´ı a v intervalu (xmin , xmin + ) ostˇre rostouc´ı – pokud m´a funkce v bodˇe xmin lok´aln´ı minimum, pak ∃ > 0 takov´e, ˇze funkce f je v intervalu (xmin − , xmin ) klesaj´ıc´ı a v intervalu (xmin , xmin + ) rostouc´ı – pokud m´a funkce v bodˇe xmax ostr´e lok´aln´ı maximum, pak ∃ > 0 takov´e, ˇze funkce f je v intervalu (xmax − , xmax ) ostˇre rostouc´ı a v intervalu (xmax , xmax + ) ostˇre klesaj´ıc´ı – pokud m´a funkce v bodˇe xmax lok´aln´ı maximum, pak ∃ > 0 takov´e, ˇze funkce f je v intervalu (xmax − , xmax ) rostouc´ı a v intervalu (xmax , xmax + ) klesaj´ıc´ı – existuj´ı funkce f , kter´e jsou v intervalu (a − , a) monot´onn´ı a v intervalu (a, a + ) opaˇcnˇe monot´onn´ı, ale nemaj´ı v bodˇe a extr´em
32
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.4
33
Prost´ a funkce a inverzn´ı funkce
– funkce f je prost´a: ∀x1 , x2 ∈ D (f ), x1 6= x2 plat´ı f (x1 ) 6= f (x2 ) – funkce f je prost´a na mnoˇzinˇe M ⊆ D (f ): ∀x1 , x2 ∈ M, x1 6= x2 plat´ı f (x1 ) 6= f (x2 ) – funkce f −1 je inverzn´ı k funkci f : pokud funkce f je prost´a a plat´ı y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) – D (f −1 ) ≡ H (f ) – D (f ) ≡ H (f −1 ) – ∀x ∈ D (f ) : x = f −1 (f (x)) – f −1 ◦ f (x) ≡ 1 – pokud je funkce f prost´a prost´a na mnoˇzinˇe M ⊂ D (f ), existuje inverzn´ı funkce na t´eto mnoˇzinˇe M – kaˇzd´a ryze monot´on´ı funkce je prost´a → ke kaˇzd´e ryze monot´on´ı funkci existuje funkce inverzn´ı – grafy inverzn´ıch funkc´ı jsou symetrick´e podle osy prvn´ıho a tˇret´ıho kvadrantu
33
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5
34
Z´ akladn´ı typy funkc´ı
• line´arn´ı funkce f : y = a0 + a1 x
grafem je pˇr´ımka
• kvadratick´e funkce f : y = a0 + a1 x + a2 x2
grafem je p parabola
• mocninn´e funkce f : y = xα – pˇrirozen´ y mocnitel α ∈ N – cel´ y mocnitel α ∈ Z p ∈Q g – iracion´aln´ı mocnitel α ∈ R
– racion´aln´ı mocnitel α =
• line´arn´ı lomen´e funkce f : y =
a0 + a1 x b0 + b1 x
grafem je hyperbola
• algebraick´e funkce (vznikne z line´arn´ı funkce pomoc´ı koneˇcn´eho poˇctu operac´ı sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı, umocˇ nov´an´ı a odmocˇ nov´an´ı) – polynomick´e funkce stupnˇe n (polynom Pn ) f : y = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn Pn – lomen´e racion´aln´ı funkce f : y = Qm – iracion´aln´ı funkce (obsahuje odmocniny x) • exponenci´aln´ı funkce f : y = ax • logaritmick´e funkce (inverzn´ı k exponenci´aln´ım) f : y = loga (x) • funkce s absolutn´ı hodnotou • goniometrick´e funkce f : sin, cos, tg, cotg • cyklometrick´e funkce (inverzn´ı ke goniometrick´ ym) f : arcsin, arccos, arctg, arccotg
34
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.1
35
Line´ arn´ı funkce f : y = a0 + a1 x
• definiˇcn´ı obor i obor hodnot jsou re´aln´a ˇc´ısla • monot´onn´ı funkce, – a1 > 0 ostˇre rostouc´ı – a1 < 0 ostˇre klesaj´ıc´ı – a1 = 0 konstanta, nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı • neomezen´a funkce (pro a1 6= 0) • inverzn´ı funkce existuje pokud a1 6= 0 • grafem je pˇr´ımka • grafem inverzn´ı funkce je opˇet pˇr´ımka
Pˇr´ıklady • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x + 3 a f2 : y = 2x − 1 a najdˇete k funkc´ım funkce inverzn´ı 1 3 − 2x a najdˇete k funkc´ım funkce inverzn´ı • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x − 2 a f2 : y = 3 2 • Sestrojte graf funkce f1 : y =
4x2 − 5x 2x
35
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.2
36
Kvadratick´ a funkce f : y = a0 + a1 x + a2 x2
• definiˇcn´ı obor jsou re´aln´a ˇc´ısla • funkce omezen´a zdola pokud a2 > 0 • funkce omezen´a zhora pokud a2 < 0 • existuj´ı dvˇe vˇetve inverzn´ı funkce • grafem je parabola, parabola prot´ın´a osu x v nulov´ ych bodech • f 1 : y = x2 − 4 • f2 : y = −x2 − x + 6 = −(x + 3)(x − 2)
Pˇr´ıklady • Sestrojte graf funkce f : y = x2 −5x+6 pro x ∈ h−5; 7i , urˇcete obor funkˇcn´ıch hodnot, sestrojte graf funkce g(x) = |f (x)| a sestrojte graf funkce h(x) = x2 − 5|x| + 6 • Sestrojte graf funkce f : y = x2 − 5x + 6, urˇcete pr˚ useˇc´ıky funkce f s osami, najdˇete nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı hodnotu funkce f na intervalu h0; 4i
36
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.3
37
Polynomick´ e funkce x3 , x4 , x5 , . . .
x2 , x4 , x6
x, x3 , x5 Pˇr´ıklady • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x4 a f2 : y = x6 a na grafech vyznaˇcte body funkˇcn´ıch hodnot 1 pro x = 14 • Sestrojte grafy funkc´ı f1 : y = x3 a f2 : y = x5 a na grafech vyznaˇcte body funkˇcn´ıch hodnot 1 pro x1 = a pro x2 = 0, 25 32
37
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.4
Line´ arn´ı lomen´ e funkce f : y =
38
a0 + a1 x b0 + b1 x
• definiˇcn´ı obor jsou vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla kromˇe bodu − • obor hodnot jsou vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla kromˇe bodu −
b0 b1
a1 b1
• grafem je hyperbola • inverzn´ı funkc´ı je opˇet line´arn´ı lomen´a funkce •
1 x+2 a x x−1
Pˇr´ıklady • Sestrojte graf funkce f : y = hodnot • Sestrojte graf funkce f : y =
2x − 2 a vypoˇctˇete pr˚ useˇc´ıky s osami, urˇcete definiˇcn´ı obor a obor x+1 3x + 5 a vypoˇctˇete pr˚ useˇc´ıky s osami, vypoˇctˇete funkˇcn´ı hodnoty x+2
f (−1), f (−1/3), f (1)
38
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.5
39
Exponenci´ aln´ı funkce f : y = ax
• 2x ,
1x = 2−x , 2x − 1 2
• −2x , −2−x
Pˇr´ıklady • Sestrojte grafy funkc´ı 3x , 3−x , 3|x| , 3x + 1, 3x+1 • Sestrojte grafy funkc´ı
1x 1x ,− 2 2
• Sestrojte grafy funkc´ı 3x , 4x a sestrojte k funkc´ım grafy funkc´ı inverzn´ıch
39
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.6
40
Logaritmick´ e funkce f : y = logz (x)
• Logaritmick´e funkce jsou inverzn´ı k exponenci´aln´ım funkc´ım • Definiˇcn´ı obor (0; ∞), obor hodnot jsou vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla • log10 (x), loge (x), 10x
• log2 (x), log1/2 (x), 2x
40
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 4 Z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı
4.5.7
41
Funkce s absolutn´ı hodnotou
• |2x| + 1, |2x + 1|, 2x
• |x2 − 2x − 8|, x2 − 2|x| − 8, x2 − 2x − 8
41
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
5
42
Polynomy
Definice 5.1 Necht’ a0 , . . . , an jsou prvky mnoˇziny T , n ≥ 0 pˇrirozen´e ˇc´ıslo. Polynomem (mnohoˇclenem) P promˇenn´e x ∈ T naz´yv´ame pˇredpis P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ∀x, an 6= 0 Stupeˇ n polynomu P (x) je nejvyˇsˇs´ı mocnina promˇenn´e x u n´ıˇz je nenulov´y koeficient, znaˇc´ıme st(P ). Nulov´ y polynom je polynom, kter´y m´a vˇsechny koeficienty rovny 0. Stupeˇ n nulov´eho polynomu nen´ı definov´an. Nˇekdy je vhodn´e dodefinovat stupeˇ n nulov´eho polynomu ˇc´ıslem −1. V dalˇs´ım budeme pˇredpokl´adat, ˇze pracujeme s re´aln´ymi T = R (pˇr´ıpadnˇe komplexn´ımi polynomy T = C), tj. x ∈ R resp. x ∈ C. Pˇr´ıklady polynom˚ u: • 5x2 + 4x + 6
⇒ JE polynom stupnˇe 2
• 7x10 + 23.2x
⇒ JE polynom stupnˇe 10
• 5
⇒ JE polynom stupnˇe 0
• 4x3 + πx − 19
⇒ JE polynom stupnˇe 3 ⇒ NEN´I polynom
• sin x + 7x5 • 0 •
⇒ JE polynom, stupeˇ n nen´ı definov´an
4 3 x + x7 + 2 3
• 5x−6 + x5
⇒ JE polynom stupnˇe 3 ⇒ NEN´I polynom
• (4 + 2i )x2 + i x7
⇒ JE polynom stupnˇe 7
Definice 5.2 Polynomy P (x) a Q(x) se rovnaj´ı (P (x) = Q(x)), pokud plat´ı P (α) = Q(α) ∀α Vˇ eta 5.1 Polynomy P (x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 a Q(x) = bm xm +bm−1 xm−1 +. . .+b1 x+b0 se rovnaj´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz maj´ı stejn´y stupeˇ n a rovnaj´ı se jejich koeficienty, tj. n = m a ai = bj i = 0, 1, . . . , n. Pˇr´ıklad: Urˇcete koeficienty A, B, C, D polynomu P (x) = A(x + 1) + B(x3 + x2 ) + Cx2 − 3D tak, aby byl roven polynomu x3 + 2x + 5. Bx3 + (B + C)x2 + Ax + (A − 3D) = 1x3 + 0x2 + 2x + 5 B
= 1
B+C
= 0
A
= 2
⇒
A − 3D = 5
A =
2
B =
1
C = −1 D = −1
42
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
43
Definice 5.3 Operace s polynomy Necht’ jsou d´any dva polynomy n
P (x) = an x + an−1 x
n−1
+ . . . + a1 x + a0 =
n X
ai x i
i=0
a m
Q(x) = bm x + bm−1 x
m−1
+ . . . + b 1 x + b0 =
m X
bj x j
j=0
1. Souˇcet dvou polynom˚ u P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) je polynom stupnˇe max {n; m} max{n;m}
X
P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) =
(ai + bi )xi
i=0
2. N´asoben´ı polynomu nenulov´ ym ˇc´ıslem λ ∈ R je polynom stupnˇe n λ · P (x) =
n X
(λ · ai )xi
i=0
3. N´asoben´ı polynomu polynomem je polynom stupnˇe n + m P (x) · Q(x) =
n+m X
ck x k ,
k=0
kde ck =
n X m X
ai b j
i=0 j=0
ˇ POLYNOM, ale racion´aln´ı lomen´a funkce. 4. Dˇelen´ı polynomu polynomem NEN´I OBECNE Pokud Q(x) nenulov´ y, pak existuj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen´e polynomy S(x) a R(x) tak, ˇze P (x) = S(x) · Q(x) + R(x), kde R(x) naz´ yv´ame zbytek po dˇelen´ı a st(R) < st(Q). Definice 5.4 Necht’ je d´an polynom P (x) =
n X
ˇ ai xi . Rekneme, ˇze ˇc´ıslo c je koˇrenem polynomu
i=0
(nulov´ym bodem polynomu) P (x), jestliˇze plat´ı P (c) =
n X
ai ci = 0.
i=0
Pozn´amka: Polynom s re´aln´ ymi koeficienty nemus´ı m´ıt obecnˇe ˇza´dn´ y re´aln´ y koˇren - napˇr´ıklad polynom p(t) = 1 + t2 nem´a ˇza´dn´ y re´aln´ y koˇren, m´a vˇsak dva imagin´arn´ı koˇreny −i a i . 43
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
44
Vˇ eta 5.2 Vlastnosti koˇ ren˚ u polynom˚ u s re´ aln´ ymi koeficienty ´ ´ ˇ • ZAKLADN I VETA ALGEBRY Kaˇzd´y polynom stupnˇe n ≥ 1 m´a v C alespoˇ n jeden koˇren. • Jestliˇze c je koˇrenem polynomu P (x), pak polynom x − c dˇel´ı polynom P (x) beze zbytku, tj. P (x) = (x − c) · S(x); • Jestliˇze c = a + i b je komplexn´ım koˇrenem polynomu P (x), pak koˇrenem polynomu je tak´e komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo c = a − i b a plat´ı P (x) = (x − (a + i b)) · (x − (a − i b)) · S(x) = x2 − 2 ax + a2 + b2 · S(x);
Definice 5.5 Necht’ je d´an polynom P (x) =
n X
ˇ ai xi . Rekneme, ˇze ˇc´ıslo c je k-n´asobn´ym koˇrenem
i=0
polynomu (nulov´ym bodem polynomu) P (x), jestliˇze existuje S(x) 6= 0 tak, ˇze plat´ı P (x) = (x − c)k S(x) ˚ ´ ˇ Vˇ eta 5.3 DUSLEDEK ZAKLADN I´ VETY ALGEBRY Kaˇzd´y polynom stupnˇe n ≥ 1 s re´ aln´ymi nebo komplexn´ımi koeficienty m´a v tˇelese komplexn´ıch ˇc´ısel pr´avˇe n koˇren˚ u, jestliˇze kaˇzd´y koˇren poˇc´ıt´ame tolikr´at, kolik je jeho n´asobnost. Oznaˇc´ıme-li c1 , c2 , . . . cr vˇsechny navz´ajem r˚ uzn´e (komplexn´ı) koˇreny polynomu P a oznaˇc´ıme-li kj n´ asobnost j−t´eho koˇrenu, pak k1 + k2 + · · · + kr = n a plat´ı P (x) = an · (x − c1 )k1 · (x − c2 )k2 · · · · · (x − cr )kr . Polynomy (x − cj )kj naz´yv´ame koˇrenov´ymi ˇciniteli polynomu P a pˇredchoz´ımu vztahu ˇr´ık´ame rozklad polynomu na (komplexn´ı) souˇ cin koˇ renov´ ych ˇ cinitel˚ u. Pokud vyuˇzijeme skuteˇcnosti, ˇze pro komplexn´ı koˇrenem polynomu plat´ı, ˇze koˇrenem je t´eˇz komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo a oznaˇc´ıme c1 , c2 , . . . , cr re´aln´e koˇreny a cr+1 , cr+1 , . . . , cr+s , cr+s komplexn´ı koˇreny polynomu P dost´av´ame re´ aln´ y rozklad na koˇ renov´ eˇ cinitele tvaru P (x) = an ·(x−c1 )k1 ·· · ··(x−cr )kr ·(x2 −(cr+1 +cr+1 )x+cr+1 ·cr+1 )kr+1 ·· · ··(x2 −(cr+s +cr+s )x+cr+s ·cr+s )kr+s
44
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
5.1
45
Dˇ elen´ı polynomu polynomem
Algoritmus dˇelen´ı polynomu polynomem je obdobn´ y algoritmu dˇelen´ı re´aln´ ych ˇc´ısel a uk´aˇzeme ho na 4 3 pˇr´ıkladu dˇelen´ı polynomu P (x) = 2x − 3x − 5x + 6 polynomem Q(x) = x2 + 1 (2x4
−3x3
+6) : (x2 +1) = 2x2
−5x
−(2x4
+2x2
vyn´asob´ım 2x2 · (x2 + 1)
)
−−− −−− −−− −−− −−− −3x
3
−2x
2
−5x
vydˇel´ım nejvyˇsˇs´ı mocniny 2x4 /x2 = 2x2 odeˇctu a pokraˇcuji analogicky − 3x3 /x2 = −3x
+6
celkovˇe (2x4
−3x3
−(2x4
−5x
+6) : (x2 +1) = 2x2 −3x −2
+2x2
−−−
−−− −3x
3
−−− −−− −−− −2x2
−(−3x3 −−−
−−−
) −5x −3x)
−−− −−− −−− −2x2
−2x
−(−2x2 −−−
−−−
+6
+6 −2)
−−− −−− −−− −2x
+8
Tedy plat´ı P (x) 2x4 − 3x3 − 5x + 6 −2x + 8 = = (2x2 − 3x − 2) + 2 Q(x) x +1 x2 + 1 5.1.1
Hornerovo sch´ ema
Pro dˇelen´ı polynomu P (x) =
n X
ai xi line´arn´ım dvojˇclenem (x − α) lze pouˇz´ıt Hornerovo sch´ema.
i=0
Na z´akladˇe n´asleduj´ıc´ı rovnosti an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (x − α) · (bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 ) + P (α) lze dok´azat, ˇze pro koeficienty bn−1 , bn−2 , . . . , b1 , b0 plat´ı bn−1
=
an
bn−2
=
an−1 + αbn−1
...
...
...
b1
=
a2 + αb2
b0
=
a1 + αb1 45
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
46
a P (α) = a0 + αb0 . Pokud P (α) = 0 je α koˇrenem polynomu P (x). Cel´ y postup lze zapsat do tabulky an α bn−1
an−1
...
a1
a0
αbn−1
...
αb1
αb0
bn−2
...
b0
P (α)
Hled´ame pomoc´ı Hornerova sch´ematu ˇc´asteˇcn´ y pod´ıl a zbytek pˇri dˇelen´ı polynomu 7 6 4 3 2 P (x) = 4x − 5x + 4x − 12x + 2x − x − 3 polynomem x − 2 4 2
-5
0
2.4
2.3
3
6
4
4
-12
2
-1
-3
2.6 2.16 2.20
2.42
2.83
83
163
16
20
42
P (x) = 4x7 − 5x6 + 4x4 − 12x3 + 2x2 − x − 3 = 163 + (x − 2) · (4x6 + 3x5 + 6x4 + 16x3 + 20x2 + 42x + 83)
5.2
Odhady koˇ ren˚ u
5.2.1
Racion´ aln´ı koˇ reny p Vˇ eta 5.4 Necht’ je racion´aln´ı koˇren polynomu P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , pak ˇc´ıslo q p je dˇelitelem koeficientu an a ˇc´ıslo q je dˇelitelem koeficientu a0 . Nav´ıc pokud polynom m´a pouze kladn´e koeficienty aj > 0 mus´ı b´yt koˇren polynomu z´aporn´e ˇc´ıslo. Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme polynom x7 + 4x6 − 3x5 − 18x4 + x3 + 4x2 − 3x − 18. Pokud tento polynom m´a racion´aln´ı koˇren, mus´ı platit, ˇze tento koˇren je dˇelitelem koeficientu a0 = 18. Koˇren tedy mus´ı b´ yt z mnoˇziny {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18} . Pomoc´ı Hornerova sch´ematu dost´av´am 1 4
-3
-18
2 -16
1
4
-3
-18 -32 ⇒
1 nen´ı koˇren
6 -24 ⇒
-1 nen´ı koˇren
1
1 5
-15 -11 -14
-1
1 3
-6
-12
13
-9
2
1 6
9
0
1
6
9
0 ⇒
2 je koˇren (dalˇs´ı koˇreny mus´ı b´ yt z´aporn´ y dˇelitel 9)
-3
1 3
0
0
1
3
0
⇒
-3 je koˇren (dalˇs´ı koˇreny mus´ı b´ yt z´aporn´ y dˇelitel 3)
-3
1 0
0
0
1
0
⇒
-3 je koˇren
Pro studovan´ y polynom tedy plat´ı x7 + 4x6 − 3x5 − 18x4 + x3 + 4x2 − 3x − 18 = (x − 2) · (x + 3)2 · S(x), kde S(x) je polynom stupnˇe 4, kter´ y nem´a racion´aln´ı koˇreny. 46
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
5.2.2
47
Odhad poˇ ctu re´ aln´ ych koˇ ren˚ u a jejich polohy
Vˇ eta 5.5 Necht’ P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 je polynom s re´aln´ymi koeficienty, pak 1. Descartesova vˇ eta Poˇcet kladn´ych koˇren˚ u polynomu P (x) je bud’ roven poˇctu znam´enkov´ych zmˇen v posloupnosti an , an−1 , . . . , a0 jeho koeficient˚ u nebo je o sud´y poˇcet menˇs´ı. 2. Vˇsechny re´aln´e koˇreny polynomu P (x) leˇz´ı v intervalu h−A; Ai , kde A = max {|a0 |; |a1 |; . . . ; |an |} + 1 3. Pokud alespoˇ n jeden z koeficient˚ u polynomu je z´aporn´y plat´ı n´asleduj´ıc´ı horn´ı odhady re´ aln´ych koˇren˚ u α. |ai | |an | √ n−r B • Lagrangova vˇeta α < 1 + s |ai | • Tillova vˇeta α < 1 + s−r as
• Maclaurinova vˇeta α < 1 +
kde
ai
...
nejmenˇs´ı z´aporn´y koeficient v posloupnosti an , an−1 , . . . , a0 ;
ar
...
prvn´ı z´aporn´y koeficient;
as
...
nejvˇetˇs´ı kladn´y koeficient pˇred prvn´ım z´aporn´ym koeficientem;
B
...
nejvˇetˇs´ı z absolutn´ıch hodnot z´aporn´ych koeficient˚ u.
Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme polynom P (x) = x4 −2x3 +x2 −10x−20. Pak posloupnost koeficient˚ u an , an−1 , . . . , a0 je 1, −2, 1, −10, −20 • poˇcet znam´enkov´ ych zmˇen je 3 ⇒ poˇcet kladn´ ych koˇren˚ u je 3 nebo 1; • A = max {|1|; | − 2|; |1|; | − 10|; | − 20|} + 1 = 21
•
ai = a0 = −20
...
nejmenˇs´ı z´aporn´ y koeficient v posloupnosti 1, −2, 1, −10, −20;
ar = a3 = −2
...
prvn´ı z´aporn´ y koeficient;
as = a4 = 1
...
nejvˇetˇs´ı kladn´ y koeficient pˇred prvn´ım z´aporn´ ym koeficientem;
B = 20
...
nejvˇetˇs´ı z absolutn´ıch hodnot z´aporn´ ych koeficient˚ u.
a pro odhady plat´ı | − 20| = 21 |1| √ √ n−r 4−3 B =1+ 20 = 21 – Lagrangova vˇeta α < 1 + r 4−3 | − 20| – Tillova vˇeta α < 1 + = 21 1
– Maclaurinova vˇeta α < 1 +
47
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
48
Odhady n´am nepomohly, budeme opakovat postup pro polynom Q(x) = P (−x) a t´ım z´ısk´ame doln´ı odhad koˇren˚ u polynomu Q(x) = P (−x) = x4 + 2x3 + x2 + 10x − 20 a pro odhady koˇren˚ u tohoto polynomu plat´ı • posloupnost koeficient˚ u 1, 2, 1, 10, −20 • poˇcet znam´enkov´ ych zmˇen je 1 ⇒ poˇcet kladn´ ych koˇren˚ u polynomu Q(x) je 1 ⇒ poˇcet z´aporn´ ych koˇren˚ u polynomu P (x) je 1; • A = max {|1|; |2|; |1|; |10|; | − 20|} + 1 = 21
•
ai = a0 = −20
...
nejmenˇs´ı z´aporn´ y koeficient v posloupnosti 1, 2, 1, 10, −20;
ar = a0 = −20
...
prvn´ı z´aporn´ y koeficient;
as = a1 = 10
...
nejvˇetˇs´ı kladn´ y koeficient pˇred prvn´ım z´aporn´ ym koeficientem;
B = 20
...
nejvˇetˇs´ı z absolutn´ıch hodnot z´aporn´ ych koeficient˚ u.
a pro odhady plat´ı | − 20| = 21 |1| √ √ . n−r 4−0 – Lagrangova vˇeta α < 1 + B =1+ 20 = 3.115 r 1−0 | − 20| =3 – Tillova vˇeta α < 1 + 10
– Maclaurinova vˇeta α < 1 +
Re´aln´e koˇreny polynomu P (x) = x4 − 2x3 + x2 − 10x − 20 leˇz´ı v intervalu h−3; 21i. Jeden koˇren je z´aporn´ y a bud’ tˇri nebo jeden koˇren je kladn´ y.
48
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
5.3
49
Numerick´ e metody odhadu re´ aln´ ych koˇ ren˚ u polynomu P (x)
• Metoda p˚ ulen´ı intervalu Pˇredpokl´ad´ame, ˇze existuje interval hc1 ; c2 i takov´ y, ˇze P (c1 ) · P (c2 ) < 0, ve kter´em existuje alespoˇ n jeden koˇren polynomu. c1 + c2 a bud’ P (c3 ) = 0 a c3 je koˇren nebo P (c3 ) 6= 0. Z interval˚ u hc1 ; c3 i a Pak oznaˇc´ım c3 = 2 hc3 ; c2 i vyberu interval, ve kter´em funkˇcn´ı hodnoty v krajn´ıch bodech maj´ı r˚ uzn´a znam´enka, tj. pro kter´ y plat´ı P (ci ) · P (cj ) < 0. Postup opakuji dokud urˇcen´ı koˇrenu nen´ı dostateˇcnˇe pˇresn´e, tj. dokud nen´ı |ci − ci+1 | < ε
• Metoda seˇ cen (metoda regula falsi) Pˇredpokl´ad´ame, ˇze existuje interval hc1 ; c2 i takov´ y, ˇze P (c1 ) · P (c2 ) < 0, ve kter´em existuje alespoˇ n jeden koˇren polynomu. c2 P (c1 ) − c1 P (c2 ) Pak oznaˇc´ım c3 = pr˚ useˇc´ık spojnice bod˚ u [c1 ; P (c1 )] a [c2 ; P (c2 )] s osou x. Z P (c1 ) − P (c2 ) interval˚ u hc1 ; c3 i a hc3 ; c2 i vyberu interval, ve kter´em funkˇcn´ı hodnoty v krajn´ıch bodech maj´ı r˚ uzn´a znam´enka, tj. pro kter´ y plat´ı P (ci ) · P (cj ) < 0. Postup opakuji dokud urˇcen´ı koˇrenu nen´ı dostateˇcnˇe pˇresn´e, tj. dokud nen´ı |ci − ci+1 | < ε
49
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
50
• Metoda teˇ cen (Newtonova metoda) Pˇredpokl´ad´ame, ˇze existuje interval hc1 ; c2 i takov´ y, ˇze P (c1 ) · P (c2 ) < 0, ve kter´em existuje alespoˇ n jeden koˇren polynomu. A d´ale pˇredpokl´adejme, ˇze derivace P 0 (x) a P 00 (x) maj´ı ve sledovan´em intervalu st´al´e znam´enko. P (ck ) . Pak posloupnost bod˚ u vytvoˇr´ıme podle vztahu ck+1 = ck − 0 P (ck ) Postup opakuji dokud urˇcen´ı koˇrenu nen´ı dostateˇcnˇe pˇresn´e, tj. dokud nen´ı |ci − ci+1 | < ε
50
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
5.4
51
Rozklad lomen´ e racion´ aln´ı funkce na parci´ aln´ı zlomky
Pro funkce typu
Pn (x) , kde Pn a Qm jsou polynomy plat´ı Qm (x)
Pn (x) P˜n˜ (x) 1. pokud n ≥ m, pak existuj´ı polynomy Rn−m a P˜n˜ (˜ n < m) takov´e, ˇze = Rn−m − Qm (x) Qm (x) a ˇreˇs´ıme rozklad pro pod´ıl polynom˚ u, kde polynom ve jmenovateli Qm (x) m´a vyˇsˇs´ı stupeˇ n neˇz polynom v ˇcitateli Pn (x) 2. polynom Qm (x) m´a jednoduch´e re´aln´e koˇreny x1 .x2 , . . . , xm pak existuj´ı re´aln´a ˇc´ısla A, B, C, . . . A B C Pn (x) = + + + ... Qm (x) x − x1 x − x2 x − x 3 koeficienty A, B, C, . . . urˇc´ıme porovn´an´ım koeficient˚ u u t´ ychˇz mocnin promˇenn´ ych nebo podle Pn (x1 ) Pn (x2 ) Pn (x3 ) vztah˚ uA= 0 ,B= 0 ,C= 0 , ... Qm (x1 ) Qm (x2 ) Qm (x3 ) 3. polynom Qm (x) m´a re´aln´e koˇreny, z nichˇz nˇekter´e jsou v´ıcen´asobn´e: x1 je α-n´asobn´ y, x2 je β− n´asobn´ y koˇren . . . , pak existuj´ı re´aln´a ˇc´ısla A1 , A2 , . . . , Aα , B1 , B2 , . . . , Bβ , C1 , C2 , . . . Pn (x) A1 A2 Aα B1 Bβ C = + +···+ + +... α + 2 +···+ β Qm (x) (x − x1 ) (x − x1 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 ) (x − x2 ) 4. polynom Qm (x) m´a jednoduch´e komplexn´ı koˇreny x1 , x2 , . . . , xm/2 a k nim vˇzdy koˇreny komplexnˇe sdruˇzen´e x¯1 , x¯2 , . . . , x¯m/2 , pak existuj´ı re´aln´a ˇc´ısla P1 , P2 , . . . , Q1 , Q2 . . . P1 x + Q1 P2 x + Q2 Pn (x) = 2 + 2 + ... Qm (x) x + p1 x + q 1 x + p2 x + q2 kde plat´ı p2i − 4qi < 0 a ˇreˇsen´ım rovnic x2 + pi x + qi = 0 jsou komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny xi a x¯i . 5. polynom Qm (x) m´a v´ıcen´asobn´e komplexn´ı koˇreny x1 , x¯1 jsou α-n´asobn´e koˇreny, x2 , x¯2 jsou β− n´asobn´e koˇreny . . . , pak plat´ı Pn (x) P1 x + Q 1 P2 x + Q2 Pα x + Qα Pα+1 x + Qα+2 + ··· + 2 + 2 = 2 + + ... α 2 Qm (x) x + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 ) x + p2 x + q 2 Pˇr´ıklady na rozklad parci´aln´ıch zlomk˚ u •
3 x3 + 12 x2 + 7 x + 2 −2 x + 2 A B A (x + 3) + B (x + 1) = 3 x+ = 3 x+ + = 3 x+ 2 x + 4x + 3 (x + 1) (x + 3) (x + 1) (x + 3) (x + 1) (x + 3) a porovn´an´ım koeficient˚ u dostaneme ) A +B = −2 A = 2 =⇒ 3 A +B = 2 B = −4 51
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 5 Polynomy
•
•
52
A2 3x + 1 A1 A1 (x − 3) + A2 + a porovn´an´ım koeficient˚ u dostaneme 2 = 2 = x − 3 (x − 3) (x − 3) (x − 3)2 ) A1 = 3 A1 = 3 =⇒ A2 = 10 −3 A1 +A2 = 1 3 x3 + 10 x2 − x A1 B1 A2 B2 = + = + + 2 2 x − 1 (x − 1) x + 1 (x + 1)2 (x2 − 1) A1 (x − 1) (x + 1)2 + A2 (x + 1)2 + B1 (x − 1)2 (x + 1) + B2 = (x − 1)2 (x + 1)2 a porovn´an´ım koeficient˚ u dostaneme A1 +B1 = 3 A1 +A2 −B1 +B2 = 10 =⇒ −A1 +2A2 −B1 −2B2 = −1 −A1 +A2 +B1 +B2 = 0
•
(x − 1)2
A1 =
4
A2 =
3
B1 = −1 B2 =
2
7 x2 − 10 x + 37 A P x+Q A (x2 − 4 x + 13) + (P x + Q) (x + 1) = + = x3 − 3 x2 + 9 x + 13 x + 1 x2 − 4 x + 13 (x + 1) (x2 − 4 x + 13) a porovn´an´ım koeficient˚ u dostaneme A = 3 A +P = 7 −4 A +P +Q = −10 13 A
+Q =
52
37
=⇒ P =
4
Q = −2
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
6
53
Vektory a vektorov´ y prostor
6.1
Vektorov´ y prostor
V prvn´ı pˇredn´aˇsce jsme si upˇresnili a rozˇs´ıˇrili pojem ˇc´ıslo a ˇc´ıseln´e mnoˇziny. Obecnˇe uvaˇzujme mnoˇzinu, na kter´e jsou zavedeny operace sˇc´ıt´an´ı + a n´asoben´ı · a tyto operace splˇ nuj´ı z´akladn´ı axiomy: asociativita, komutativita, existence nulov´eho prvku vzhledem ke sˇc´ıt´an´ı, existence jednotkov´eho prvku vzhledem k n´asoben´ı, existence inverzn´ıch prvk˚ u vzhledem k n´asoben´ı a sˇc´ıt´an´ı a distributivn´ı z´akon. Matematickou strukturu, kter´e m´a vˇsechny v´ yˇse uveden´e vlastnosti naz´ yv´ame tˇelesem a znaˇc´ıme (T, +, ·). Klasick´ ym pˇr´ıkladem tˇeles jsou mnoˇziny vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel s obvykl´ ymi operacemi, mnoˇziny vˇsech racion´aln´ıch ˇc´ısle s obvykl´ ymi operacemi, ale i napˇr´ıklad mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel. Definice 6.1 Vektorov´ y prostor Pˇredpokl´adejme, ˇze T je nˇejak´e tˇeleso (napˇr´ıklad re´aln´ a ˇc´ısla). Vektor dimenze n nad tˇelesem T je uspoˇr´adan´a n-tice (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) prvk˚ u tˇelesa T. ˇ ıslo xi naz´yv´ame i-t´a souˇradnice vektoru. C´ Vektor (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) znaˇc´ıme − mathbf x, ev. → x Jsou-li x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) a y = (y1 , y2 , y3 , . . . , yn ) dva vektory stejn´e dimenze n nad tˇelesem T , pak souˇctem vektor˚ u x a y rozum´ıme vektor (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , . . . , xn + yn ). Je-li a ∈ T prvek tˇelesa T a vektor x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), pak souˇcinem prvku a a vektoru x rozum´ıme vektor x = (a · x1 , a · x2 , a · x3 , . . . , a · xn ). Mnoˇzinu vˇsech vektor˚ u dimenze n nad tˇelesem T spolu s pr´avˇe definovan´ymi operacemi sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u a n´ asoben´ı vektoru prvkem tˇelesa naz´yv´ame aritmetick´ y vektorov´ y prostor dimenze n nad tˇ elesem T . Obvykle tento vektorov´y prostor znaˇc´ıme V. Sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u stejn´e dimenze a n´asoben´ı prvky z tˇelesa T m´a ˇradu vlastnost´ı spoleˇcn´ ych se sˇc´ıt´an´ım a n´asoben´ım v r´amci tˇelesa T . Pro obecn´e vektorov´e prostory nen´ı d˚ uleˇzit´a jejich konkr´etn´ı vyˇc´ıslen´a podoba (konkr´etn´ı hodnoty souˇradnic), ale algebraick´e vlastnosti sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı prvky tˇelesa T . • x + y ∈ V pro vˇsechny x, y ∈ V • (x + y) + z = x + (y + z) pro vˇsechny x, y, z ∈ V • x + y = y + x pro vˇsechny x, y ∈ V • existence prvku 0 takov´eho, ˇze x + 0 = x pro vˇsechny x ∈ V • pro vˇsechny x ∈ V existence prvku −x takov´eho, ˇze x + −x = 0 • a · x ∈ V pro vˇsechny x ∈ V a a ∈ T 53
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
54
• existence prvku 1 ∈ T takov´eho, ˇze 1 · x = x pro vˇsechny x ∈ V • a · (b · x) = (a · b) · x pro vˇsechny x ∈ V a a, b ∈ T • (a + b) · x) = a · x + b · x pro vˇsechny x ∈ V a a, b ∈ T • a · (x + y) = a · x + a · y pro vˇsechny x, y ∈ V a a ∈ T Prvky prostoru V, kter´e splˇ nuj´ı v´ yˇse uveden´a axiomy se naz´ yvaj´ı vektory a prostor V naz´ yv´ame vektorov´ y prostor. Pˇr´ıklady vektorov´ ych prostor˚ u Mnoˇ zina Rn s operacemi sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı skal´ arem je mnoˇzina vˇsech n-dimenzion´aln´ıch us2 poˇra´dan´ ych n-tic re´aln´ ych ˇc´ısel. V prostoru R si m˚ uˇzeme pˇredstavit geometrickou interpretaci vektor˚ u. Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych polynom˚ u s operacemi sˇc´ıt´an´ı polynom˚ u a n´asoben´ı polynom˚ u re´aln´ ych ˇc´ıslem je nekoneˇcnˇe dimenzion´aln´ı vektorov´ y prostor prvk˚ u tvaru p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + 3 a3 · x + . . . nad tˇelesem re´aln´ ych ˇc´ısel. Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych polynom˚ u stupnˇ e nejv´ yˇ se n operacemi sˇc´ıt´an´ı polynom˚ u a n´asoben´ı polynom˚ u re´aln´ ych ˇc´ıslem je n- dimenzion´aln´ı vektorov´ y prostor prvk˚ u tvaru p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + . . . an · xn nad tˇelesem re´aln´ ych ˇc´ısel. Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇ ren´ em intervalu h0, 1i spolu s operacemi (f + g) (x) = f (x) + g(x) a (kf )(x) = kf (x) Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych spojit´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇ ren´ em intervalu h0, 1i Mnoˇ zina vˇ sech re´ aln´ ych diferencovateln´ ych funkc´ı definovan´ ych na uzavˇ ren´ em intervalu h0, 1i
54
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
6.2
55
Voln´ y a v´ azan´ y vektor, podprostor vektorov´ eho prostoru
Term´ıny voln´ y a v´azan´ y vektor vych´az´ı z geometrick´e interpretace koneˇcnˇe dimenzion´aln´ıch vektor˚ u n R . • Pokud uvaˇzujeme o vektorech jako o prvc´ıch vektorov´eho prostoru V, kter´e splˇ nuj´ı v´ yˇse uveden´a pravidla o sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u, n´asoben´ı vektor˚ u prvkem tˇelesa T , existenci nulov´eho prvku vektorov´eho prostoru V a podobnˇe, mluv´ıme o voln´ ych vektorech. • Pokud vektor ch´apeme jako orientovanou spojnici dvou bod˚ u, mluv´ıme o v´ azan´ ych vektorech. Geometrick´a interpretace souˇctu dvou vektor˚ u pak odpov´ıd´a naˇsim stˇredoˇskolsk´ ym znalostem.
Definice 6.2 Podprostor vektorov´eho prostoru. Kaˇzdou podmnoˇzinu U vektorov´eho prostoru V, kter´ a je uzavˇrena v˚ uˇci operac´ım sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u a n´asoben´ı vektor˚ u prvkem z T nazveme vektorov´ym podprostorem U. Pˇr´ıklady vektorov´ ych podprostor˚ u: 1. Mnoˇzina vˇsech vektor˚ u z prostoru {(k · x1 , k · x2 ); k ∈ R} tvoˇr´ı vektorov´ y podprostor mnoˇziny 2 R. 2. Mnoˇzina spojit´ ych funkc´ı na intervalu h0, 1i tvo59 podprostor vektorov0ho prostoru vˇsech funkc´ı definovan´ ych na intervalu h0, 1i. 3. Pr´azdn´ y prostor je podprostor vektorov´eho prostoru a cel´ y prostor je tak´e podprostor vektorov´eho prostoru. (jedn´a se o tzv. trivi´aln´ı prostory)
55
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
6.3
56
B´ aze vektorov´ eho prostoru a souˇ radnice vektorov´ eho prostoru vzhledem k b´ azi
Definice 6.3 Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u a line´ arn´ı obal mnoˇ ziny M . Necht’ jsou d´any vektory v1 , v2 , . . . vk line´ arn´ı kombinac´ı tˇechto vektor˚ u rozum´ıme kaˇzd´y vektor tvaru α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk Line´ arn´ım obalem mnoˇ ziny M rozum´ıme vˇsechny vektory tvaru α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk , kde v1 , v2 , . . . vk ∈ M. Line´ arn´ı obal znaˇc´ıme L(M ). Line´arn´ım obalem mnoˇziny M jsou vˇsechny vektory, kter´e vzniknou line´arn´ı kombinac´ı“ vektor˚ uz ” ˇ mnoˇziny. R´ık´ame, ˇze mnoˇzina M generuje line´arn´ı obal L(M ). Napˇr´ıklad 1. pro vektory v1 = (1, 0) a v2 = (0, 1) je jejich line´arn´ım obalem L({(1, 0), (0, 1)}) cel´ y prostor R2 ; 2. pro vektory v1 = (1, 0) a v2 = (2, 0) je jejich line´arn´ım obalem L({(1, 0), (2, 0)}) prostor vˇsech vektor˚ u tvaru (k, 0), kde k ∈ R Definice 6.4 Vektory v1 , v2 , . . . vk jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, jestliˇze z rovnosti α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk = 0 plyne, ˇze α1 = α2 = · · · = αk = 0. Vektory v1 , v2 , . . . vk jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e, jestliˇze existuj´ı α1 , α2 , . . . , αk , z nichˇz alespoˇ n jeden je nenulov´y, pro kter´a plat´ı rovnost α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · · + αk · vk = 0 Dva line´arnˇe z´avisl´e vektory se naz´yvaj´ı koline´ arn´ı vektory (rovnobˇeˇzn´e). Vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e, pokud kaˇzd´ y vektor lze napsat jako line´arn´ı kombinaci zbyl´ ych vektor˚ u. Tj. vektory v1 , v2 , . . . vk jsou z´avisl´e, pokud vektor v1 je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚ u v 2 , v3 , . . . vk .
56
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
57
Pˇr´ıklady: 1. vektory v1 = (1, 0) a v2 = (2, 0) jsou line´arnˇe z´avisl´e, protoˇze zvol´ım α1 = 2 a α2 = −1 a dostanu α1 · v1 + α2 · v2 = 2 · (1, 0) + −1 · (2, 0) = (2 + (−2), 0) = (0, 0) 2. vektory v1 = (1, 0) a v2 = (0, 1) nejsou line´arnˇe z´avisl´e (jsou line´arnˇe nez´avisl´e), protoˇze hled´am α1 , α2 tak, aby α1 · (1, 0) + α2 · (0, 1) = (0, 0) tady (α1 , α2 ) = (0, 0) a to je splnˇeno pouze pro α1 = α2 = 0 3. vektory v1 = (1, 3) a v2 = (2, 6) jsou line´arnˇe z´avisl´e, protoˇze zvol´ım α1 = −2 a α2 = 1 a dostanu α1 · v1 + α2 · v2 = −2 · (1, 3) + 1 · (2, 6) = (2 + (−2), −6 + 6) = (0, 0) 4. vektory v1 = (1, 3) a v2 = (2, 4) nejsou line´arnˇe z´avisl´e (jsou line´arnˇe nez´avisl´e), protoˇze hled´am α1 , α2 tak, aby α1 · (1, 3) + α2 · (2, 4) = (0, 0) tady ˇreˇs´ım soustavu
1 · α1 + 2 · α2 = 0 3 · α1 + 4 · α2 = 0 a najdu, ˇze jedin´ ym ˇreˇsen´ım t´eto soustavy je (α1 , α2 ) = (0, 0) 5. Ch´apeme-li vektory graficky v prostoru R2 ev. R3 jsou smˇernice dvou line´arnˇe z´avisl´ ych vektor˚ u (koline´arn´ıch vektor˚ u) jsou shodn´e. Vektory v1 a v2 jsou koline´arn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuje α ∈ R tak, ˇze v 1 = α · v2
57
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
58
Definice 6.5 Mnoˇzinu line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚ u v1 , v2 , . . . vk , takov´ych ˇze tyto vektory generuj´ı cel´y prostor V, tj. ˇze L (v1 , v2 , . . . vk ) = V naz´yv´ame b´az´ı vektorov´eho prostoru. Pozn´amky: 1. B´aze vektorov´eho prostoru jsou tedy vektory pomoc´ı“, kter´ ych um´ıme vyj´adˇrit vˇsechny ostatn´ı ” vektory z vektorov´eho prostoru. 2. Jestliˇze vektory e1 , e2 , . . . ek tvoˇr´ı b´azi vektorov´eho prostoru, pak kaˇzd´ y vektor v ∈ V lze napsat jako line´arn´ı kombinaci bazick´ ych vektor˚ u α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 + · · · + αk · ek = v 3. V jednom vektorov´em prostoru m˚ uˇze existovat v´ıce b´az´ı, dokonce tˇechto b´az´ı existuje nekoneˇcnˇe. • Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) tvoˇr´ı b´azi vektorov´eho prostoru R3 • Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (1, 1, 1) tvoˇr´ı b´azi vektorov´eho prostoru R3 • Vektory (−1, 0, 0), (0, −1, 0) a (−2, 2, 5) tvoˇr´ı b´azi vektorov´eho prostoru R3 • Vektory (1, 0, 0), (0, x, 0) a (0, 0, x2 ) tvoˇr´ı b´azi vektorov´eho prostoru vˇsech polynom˚ u stupnˇe nejv´ yˇse 2. Vˇ eta 6.1 Poˇcet prvk˚ u b´aze je roven dimenzi vektorov´eho prostoru. Aritmetick´ y vektorov´ y prostor zaloˇzen´ y na souˇradnic´ıch v sobˇe jiˇz obsahuje b´azi prostoru. Souˇradnice vektoru n´am urˇcuj´ı koeficienty α1 , α2 , . . . , αn z definice line´arnˇe z´avisl´ ych vektor˚ u. Pokud bychom zvolili jin´e bazick´e vektory, dostaneme jin´e souˇradnice. Syst´em nen´ı invariantn´ı v˚ uˇci zmˇenˇe souˇradnic.
58
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
6.4
59
Skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u a norma vektoru, vektorov´ y souˇ cin v R3
Vektorov´ y prostor Rn je prostor, kter´ y kromˇe z´akladn´ıch vlastnost´ı vektorov´ ych prostor˚ u splˇ nuje jeˇstˇe ˇradu dalˇs´ıch dobr´ ych“ vlastnost´ı. ” 1. V prostoru Rn jsou vz´ajemnˇe jednoznaˇcnˇe propojeny“ body a vektory. Libovoln´ ym dvou bod˚ um ” A = (a1 , a2 , . . . , an ) a B = (b1 , b2 , . . . , bn ), m˚ uˇzeme pˇriˇradit vektor vych´azej´ıc´ı z bodu A a smˇeˇruj´ıc´ı do bodu B, −→ − v=→ v = AB = B − A = (b1 − a1 , b2 − a2 , . . . , bn − an ) Jedn´a se o afinn´ı prostor. 2. V prostoru um´ıme definovat normu (d´elku) vektoru q kvk = |v| = v12 + v22 + v32 + · · · + vn2 Jedn´a se o normovan´ y line´arn´ı prostor. Libovoln´ y vektor v m˚ uˇzeme normovat tak, ˇze v´ ysledn´ y vektor m´a normu (d´elku) jedna: u=
v |v|
3. V prostoru um´ıme definovat skal´arn´ı souˇcin u, v ∈ Rn n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem ρ(u, v) = u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 + · · · + un · vn Jedn´a se o prostor se skal´arn´ım souˇcinem. V kaˇzd´em prostoru se skal´arn´ım souˇcinem lze definovat normu p kvk = ρ(u, v) Jsou-li u, v ∈ R3 dva nenulov´e vektory, pak pro jejich skal´arn´ı souˇcin plat´ı u · v = |u| · |v| · cos ϕ, kde ϕ je u ´hel, kter´ y dan´e vektory sv´ıraj´ı. 4. V prostorech se skal´arn´ım souˇcinem definujeme pojem, kolm´e vektory. ˇ Definice 6.6 Rekneme, ˇze dva nenulov´e vektory u, v ∈ Rn jsou kolm´ e vektory, pokud u·v =0
59
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 6 Vektory a vektorov´ y prostor
60
V prostorech R2 , resp. R3 jsou kolm´e vektory ty vektory, pro kter´e plat´ı cos ϕ =
u·v =0 |u| · |v|
tj. cos ϕ = 0, speci´alnˇe tedy vektory, kter´e sv´ıraj´ı u ´hel
π = 90◦ 2
5. Jsou-li vektory line´arnˇe nez´avisl´e a kolm´e, naz´ yv´ame je ortogon´ aln´ı vektory. B´aze tvoˇren´a ortogon´aln´ımi vektory se naz´ yv´a ortogon´aln´ı b´aze. Jsou-li vektory nav´ıc jednotkov´e (maj´ı-li normu jedna), naz´ yv´ame je ortonorm´ aln´ı vektory. B´aze tvoˇren´a ortonorm´aln´ımi vektory se naz´ yv´a ortonorm´aln´ı b´aze. 6. V prostoru R3 lze definovat t´eˇz vektorov´ y souˇ cin u × v = (u2 · v3 − u3 · v2 , u3 · v1 − u1 · v3 , u1 · v2 − u2 · v1 ) V´ ysledkem vektorov´eho souˇcinu je vektor. Vektorov´ y souˇcin dvou line´arnˇe z´avisl´ ych vektor˚ u je nulov´ y vektor. Vektorov´ y souˇcin dvou line´arnˇe nez´avisl´ ych vektor˚ u w = u × v m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti • Vektorov´ y souˇcin je kolm´ y k obˇema dan´ ym vektor˚ um: u · w = 0 a v · w = 0 • Norma (d´elka) vektorov´eho souˇcinu je ˇc´ıselnˇe rovna obsahu rovnobˇeˇzn´ıku urˇcen´eho vektory u a v. |w| = |u| · |v| · sin ϕ, kde ϕ je u ´hel vektor˚ uu
60
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
7
61
Matice - z´ akladn´ı pojmy a definice
Definice 7.1 Matic´ı A typu m × n naz´yv´ame sch´ema sloˇzen´e z m · n prvk˚ u (re´aln´ych, komplexn´ıch, cel´ych ˇc´ısel, . . . ), kter´e jsou uspoˇr´ad´any do m ˇr´ad˚ u a n sloupc˚ u. a11 a12 . . . a1n . .. i=1...m .. P´ıˇseme A = . = (aij )j=1...n am1 ... amn • ˇc´ıslo aij naz´yv´ame prvkem matice; • index i oznaˇcuje ˇc´ıslo ˇr´adku (ˇr´adkov´y index); • index j oznaˇcuje ˇc´ıslo sloupce (sloupcov´y index). Pˇr´ıklad:
1
2
3
4
5 6 3.7 0 4 −2 8 −7.89 Dalˇs´ı pojmy: • Prvky se stejn´ ym ˇr´adkov´ ym a sloupcov´ ym indexem ai i nazveme diagon´aln´ı prvky a jejich spojnici nazveme hlavn´ı diagon´alou matice A. • Prvky s indexy ai n−i nazveme prvky vedlejˇs´ı diagon´aly. • Matice se naz´ yv´a ˇctvercovou matic´ı, pokud n = m, ˇc´ıslo n se naz´ yv´a ˇra´d matice. • Nulov´a matice je matice Am,n , jej´ıˇz vˇsechny prvky jsou nulov´e, nulovou matici znaˇc´ıme O. • Matice, kter´a m´a na hlavn´ı diagon´ale prvn´ıch h prvk˚ u (h ≤ m, h ≤ n) nenulov´ ych a ostatn´ı prvky nulov´e se naz´ yv´a diagon´aln´ı matice. • Troj´ uheln´ıkov´a matice je matice, v n´ıˇz jsou prvky po jedn´e stranˇe hlavn´ı diagon´aly rovny nule. Jsou-li prvky pod hlavn´ı diagon´alou rovny nule, mluv´ıme o horn´ı troj´ uheln´ıkov´e matici. Jsou-li prvky nad hlavn´ı diagon´alou rovny nule, mluv´ıme o doln´ı troj´ uheln´ıkov´e matici. Pˇr´ıklady troj´ uheln´ıkov´ ych matic:
1
0 0 0
5 6 0 0 4 −2 8 0 61
1 a a 2 a3
0 1 0 0
a 1
a2 a 10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
62
ˇ • Ctvercov´ a diagon´aln´ı matice, kter´a m´a diagon´aln´ı prvky rovny jedniˇcce, se naz´ yv´a jednotkov´ a matice a znaˇc´ı se In nebo En .
1 0 0 0
0 1 0 0 I4 = 0 0 1 0 0 0 0 1
ˇ • Ctvercov´ a matice A = (aij )i,j=1...n se naz´ yv´a symetrick´a matice, pokud pro jej´ı prvky plat´ı ai,j = aj,i . ˇ • Ctvercov´ a matice A = (aij )i,j=1...n se naz´ yv´a antisymetrick´a matice, pokud pro jej´ı prvky plat´ı ai,j = −aj,i . Z definice plyne, ˇze diagon´aln´ı prvky antisymetrick´e matice mus´ı b´ yt rovny nule.
7.1
Operace s maticemi
Mezi z´akladn´ı operace s maticemi patˇr´ı: transpozice matic, sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı matic se stejn´ ymi rozmˇery, n´asoben´ı matice re´aln´ ym (komplexn´ım) ˇc´ıslem, n´asoben´ı dvou matic (pokud maj´ı pˇr´ısluˇsn´e rozmˇery). Definice 7.2 Necht’ je d´ana matice A = (aij )i=1...m j=1...n typu m×n, pak matici s prvky (bij = aji ) nazveme transponovanou matic´ı k matici A a znaˇc´ıme ji AT . (Transponovan´a matice vznikne pˇrehozen´ım ” ˇr´ adk˚ u a sloupc˚ u“ p˚ uvodn´ı matice) 1 0 −2 −4
A=
5 6
0
3
!
1 5
0 6 A = −2 0 −4 3 T
Definice 7.3 Sˇ c´ıt´ an´ı matic, odˇ c´ıt´ an´ı matic a n´ asoben´ı matic konstantou Necht’ jsou d´ any dvˇe matice A, B stejn´ych rozmˇer˚ u, pak matici s prvky ai j +bi j nazveme souˇctem matic A a B. Znaˇc´ıme A + B. (pˇri sˇc´ıt´an´ı prov´ad´ıme operaci sˇc´ıt´an´ı prvek po prvku). Analogicky definujeme odˇc´ıt´an´ı matic a n´asoben´ı matic re´aln´ym ˇc´ıslem (komplexn´ım ˇc´ıslem, konstantou). 1
0 −2
−5 −6
0
! +
1 5 5 0 6 0
! =
1+1
0 + 5 −2 + 5
−5 + 0 −6 + 6
0+0
! =
2 5 3
!
−5 0 0
Pokud matice nemaj´ı stejn´ y rozmˇer, nelze odˇc´ıtat nebo sˇc´ıtat:
62
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice 1
0 −2
−5 −6
!
0
1 5 5
63
+ 0 6 0 1 0 0
=
neexistuje
Pˇri n´asoben´ı matice konstantou zapisujeme λ · A a!n´asob´ıme opˇet prvek po prvku: ! 1 0 −2 10 0 −20 10 · = −5 −6 0 −50 −60 0 Vˇ eta 7.1 Pro sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı matic konstantou plat´ı n´asleduj´ıc´ı vztahy (pˇredpokladem je, ˇze matice A,B a C maj´ı stejn´e rozmˇery, r, s jsou re´aln´a (resp. komplexn´ı) ˇc´ısla): • A + B = B + A komutativn´ı z´akon • (A + B) + C = A + (B + C) asociativn´ı z´akon • (A + B)T = AT + B T • A+0=0+A=A • r A + sA = (r + s) A distributivn´ı z´akon • r (A + B) = r A + r B distributivn´ı z´akon • (r A)T = r AT • (−1)A = −A Definice 7.4 Necht’ matice A je matice s rozmˇery m × n a matice B je matice s rozmˇery n × p, pak n X aik bkj . souˇcinem matic A · B nazveme matici C s prvky cij = k=1
V´ysledn´a matice C = A · B m´a rozmˇery m × p
N´asobek matic vznikne tak, ˇze prvek ci j matice souˇcinu je roven skal´arn´ımu souˇcin i− t´eho ˇra´dku prvn´ matice. ı matice aj− t´eho sloupce druh´e 3 2 1 21 + 12 + 0 24 + 2 + 1 33 27 7 8 0 8 5 · 6 1 = 0 + 48 + 0 0 + 8 + 5 = 48 13 1 −1 0 7−6+0 8−1+0 1 7 0 1 0 0 1 0+0+0 0+0+1 0 1
ˇ ´ POKUD NESOUHLAS´I ROZMERY MATIC, NELZE MATICE NASOBIT ! 63
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
3 2 1
!
7 8 1
·
0 8 5
64
! =
6 1 0
neexistuje
´ ´I MATIC NEN´I KOMUTATIVN´I A · B 6= B · A NASOBEN
1 0
! ·
2 1
1 3
1 3
1 0
·
3 6
!
2 1
!
1 3
=
1 0
!
1 0
!
!
7 3
=
1 0
Vˇ eta 7.2 Pro n´asoben´ı matic plat´ı n´asleduj´ıc´ı vztahy (pˇredpokladem je, ˇze matice A,B a C maj´ı pˇr´ısluˇsn´e rozmˇery takov´e, ˇze n´asobky matic existuj´ı): • A · (B · C) = (A · B) · C asociativn´ı z´akon • (A + B) · C = A · C + B · C distributivn´ı z´akon • (A · B)T = B T · AT !! • A·0=0·A=0 • r(A · B) = (r · A) · B • A · B = 0 6⇒ A = 0 ∨ B = 0 Definice 7.5 Necht’ n ∈ N je pˇrirozen´e ˇc´ıslo a matice A je ˇctvercov´a matice, pak mocninu matice definuji indukˇcn´ım postupem: • A2 = A · A • An = A · An−1 Matici A, pro kterou existuje pˇrirozen´e ˇc´ıslo n takov´e, ˇze plat´ı An = 0 nazveme nilpotentn´ı matic´ı. Pˇr´ıklady netrivi´aln´ıch nilpotentn´ı matic:
0 1
3
0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0
2 0 0 0 1 3 0 0 0 2 4 0
1
1
!
−1 −1
64
1
1
1
1 −2 −2 −2 1
1
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
7.2
65
Determinant maticemi
P´ ar pozn´ amek na zaˇ c´ atku Determinant je ˇc´ıslo, kter´e pˇriˇrad´ıme ˇctvercov´e matici determinant matice A spoˇctu podle vztahu ! a a11 a12 11 a12 det = a21 a22 a21 a22
A. Pokud A je ˇctvercov´a matice 2 × 2, pak = a11 a22 − a12 a21
a absolutn´ı hodnota determinant matice A ud´av´a obsah rovnobˇeˇzn´ıku urˇcen´eho ˇra´dkov´ ymi (sloupcov´ ymi) vektory matice A. ! ! v1 1 1 = Uvaˇzujme vektor v1 = (1, 1) a vektor v2 = (−2, 2), sestav´ıme matici A = v2 −2 2 Determinant t´eto matice je roven Determinant m´a vˇsak i ˇradu dalˇs´ıch pouˇzit´ı, jak uvid´ıme pozdˇeji. ! 1 1 = 1 · 2 − 1 · (−2) = 4 det(A) = det −2 2 Pokud zakresl´ıme vektory do obr´azku a√vykresl´ıme y tˇemito vektory, vid´ıme, ˇze √ rovnobˇ √ eˇzn´ık urˇc√en´ 2 2 se jedn´ √ a o√obdeln´ık se stranami d´elky 1 + 1 = 2 a 2 + 2 = 8. Obsah tohoto obdeln´ıku je S = 2 · 8 = 4.
Definice 7.6 Definice determinantu indukc´ı Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n, pak determinant matice nazvu ˇc´ıslo det A, kter´e dostanu • pro n = 1 je det (a11 ) = a11 • pro n = 2 je det
a11 a12 a21 a22
!
a 11 a12 = a21 a22
= a11 a22 − a12 a21 65
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
66
• pro n > 2 det A rozvojem podle zvolen´eho ˇr´adku nebo sloupce det A = ai1 · (−1)i+1 · det Ai1 + + ai2 · (−1)i+2 · det Ai2 + + ai3 · (−1)i+3 · det Ai3 + kde det Aij je subdeterminant matice Aij , kter´a vznikne +
...
+
i+n
+ ain · (−1) · det Ain vynech´an´ım i-t´eho ˇr´adku a k-t´eho sloupce matice A. Pˇ ypoˇcet determinantu matice rozvojem podle prvn´ıho ˇr´adku: r´ıklad na v´ ! ! ! 1 2 3 5 6 4 6 4 5 4 5 6 = 1 · det − 2 · det + 3 · det = 1 · (−3) − 2 · (−6) + 3 · (−3) = 0 8 9 7 9 7 8 7 8 9 Nedostatkem t´eto definice je jej´ı nejednoznaˇcnost, nen´ı urˇceno podle kter´eho ˇra´dku dˇel´am rozvoj. Lze dok´azat, ˇze v´ ysledek v´ ypoˇctu nez´avis´ı na zvolen´em ˇra´dku a nav´ıc lze determinant matice poˇc´ıtat stejn´ ym postupem rozvojem podle libovolnˇe zvolen´eho sloupce.
Pˇ ri v´ ypoˇ ctu determinantu rozvojem je jedno podle kter´ eho sloupce nebo ˇ r´ adku rozvoj provedu. ˇ ADEK ´ ˇ S ˇ´IM POCTEM ˇ Obvykle VOL´IM SLOUPEC nebo R s NEJVET NUL !
66
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
67
Vˇ eta 7.3 Vlastnosti determinant˚ u • det A = det AT . 1 2 1 3 2 4 5 1 3 6 7 5 = 4 8 3 7
1 2 3 4 2 4 6 8 1 5 7 3 3 1 5 7
• M´a-li matice jeden ˇr´adek nebo sloupec nulov´y, pak je jej´ı determinant roven nule. • M´a-li matice dva shodn´e ˇr´adky nebo dva shodn´e sloupce, pak je jej´ı determinant roven nule. • Pokud matice A je diagon´aln´ı nebo troj´ uheln´ıkov´a, pak det je souˇcin prvk˚ u na diagon´ ale. Tj. n det A = Πi=1 aii = a11 · a22 · · · · · ann • pro matici typu 3 × 3 plat´ı Sarrusovo pravidlo. −
−
−
%
%
%
a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 &
&
&
+
+
+
´ ˇ AD ´ U ˚ PODOBNE ´ PRAVIDLO NEPLATI´ !! PRO MATICE VYSˇSˇICH R
67
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
68
Element´ arn´ı u ´ pravy matice a determinant
• Vznikne-li matice B z matice A v´ ymˇenou dvou ˇr´adk˚ u (nebo dvou sloupc˚ u), pak det B = − det A. • Vznikne-li matice B z matice A vyn´asoben´ım a a 11 a12 . . . 11 a12 . . . a1n ... ... kai1 kai2 . . . kain = k · ai1 ai2 . . . ... ... an1 an2 . . . an1 an2 . . . ann • Vznikne-li matice B z matice A pˇriˇc ten´ım a a a12 ... 11 11 ... ... ai1 + b1 ai2 + b2 . . . ain + bn = ai1 ... ... an1 an1 an2 ...
jednoho ˇr´adku ˇc´ıslem k, pak det B = k det A. a1n ain ann
vektoru (b1 , b 2 , . . . , bn ) k i− t´emu ˇra´dku, pak plat´ı a12 . . . a11 a12 . . . ... + ai2 . . . ain b1 b2 . . . bn ... an2 ... an1 an2 . . .
• Vznikne-li matice B z matice A pˇriˇcten´ım jin´eho ˇra´dku nebo pˇriˇcten´ım pak det B = det A a a a . . . a a . . . 11 12 11 12 11 ... ... . . . a a . . . a a a . . . a ak1 k1 k2 kn k1 k2 kn = ... + t ... . . . ak1 ai1 + tak1 ai2 + tak2 . . . ain + takn ai1 ai2 . . . ain ... . . . . . . an1 an1 an2 ... an1 an2 ...
68
n´asobku jin´eho ˇra´dku, a12
...
ak2 . . . akn ak2 . . . akn an2
...
.
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice =
a11 a12
...
... ak1 ak2 . . . akn ... ai1
ai2
. . . ain
... an1 an2
...
69
+ t · 0.
Pˇ ri v´ ypoˇ ctu sloˇ zitˇ ejˇ s´ıch determinant˚ u nejprve matici uprav´ım pomoc´ı element´ arn´ıch u ´ prav s c´ılem z´ıskat sloupec nebo ˇ r´ adek s velk´ ym“ poˇ ctem nul a d´ ale provedu rozk” lad podle sloupce nebo ˇ r´ adku. Pˇ ypoˇcet determinantu ych u ´prav a rozvojem maticov´ s pouˇzit´ım element´arn´ıch r´ıklad na v´ −3 −1 −3 2 0 7 0 2 4 −3 2 7 0 2 −2 0 −7 −1 −10 0 1 3 5 −2 −2 0 1 3 = 4 4 0 6 −4 −1 = 1 · 0 6 −4 −1 = 4 6 −4 −1 5 5 1 10 −4 5 1 10 −4 5 −10 −26 8 −12 5 8 −12 3 4 −4 3 −10 0 −26
2 7 0 2 0 0 1 0 −4 6 −4 11 6 −26 8 −36
7 2 2 = 1· −4 6 11 6 −26 −36
7 2 2 = 0 20 15 0 −47 −42
= 2·20·(−42)−2·15·(−47) = 270
ˇ Definice 7.7 Ctvercov´ a matice se naz´yv´a regul´arn´ı matice pr´avˇe tehdy, kdyˇz det(A) 6= 0. ˇ Ctvercov´ a matice se naz´yv´a singul´arn´ı matice pr´avˇe tehdy, kdyˇz det(A) = 0. Vˇ eta 7.4 Necht’ A a B jsou ˇctvercov´e matice stejn´eho stupnˇe a R je regul´arn´ı matice, pak plat´ı • det(A · B) = det(A) · det(B). • det(R−1 ) = det(R)−1 =
1 det(R)
Pro determinant souˇctu matic podobn´ y vztah neplat´ı ! 69
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
7.3
70
Inverzn´ı matice
Definice 7.8 Necht’ A je regul´arn´ı matice, I je jednotkov´a matice. Inverzn´ı matic´ı k matici A naz´yv´ame matici A−1 , pro kterou plat´ı A−1 A = AA−1 = I.
7.4
V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice pomoc´ı Jordanovy eliminace
ˇ sen´ı soustavy rovnic Jordanovou eliminac´ı Reˇ
2 −3
1 0
1
2 −1
2 −1 3 ∼ 0 −7 1 0 3 0 1
1 2 −1
0 1 0 0
1 0
3
1
2 −1
3 −6 1 ∼ 0 0 3 0 −7
1 2 −1 3
3 ∼ 0 1 3 15 0 0 0
3
1 2 0 8
3
3 ∼ 3 −6
0
0 1 0 3 ∼ ∼ 0 3 1 5 0 0 1 5
1 0 0 2 x=2 0 1 0 3 ⇒ y=3 z=5 0 0 1 5 Jordanova metoda v´ ypoˇ ctu inverzn´ı matice AA−1 = I Rozep´ıˇseme v´ yˇse uvedenou rovnost pro matici 3 × 3
a11 a12 a13
x11 x12 x13
1 0 0
a21 a22 a23 x21 x22 x23 = 0 1 0 a31 a32 a33 x31 x32 x33 0 0 1
Hled´ ı matice an´ı inverzn´ tedy odpov´ıd´a ˇreˇsen´ı tˇr´ı soustav line´arn´ıch rovnic x11 1 a11 x11 + a12 x21 + a13 x31 = 1 A· x21 = 0 ⇒ a21 x11 + a22 x21 + a23 x31 = 0 x31 0 a31 x11 + a32 x21 + a33 x31 = 0
70
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
Maticov´ y z´apis tˇr´ı soustav rovnic 1 0 A 0 1 A 0 0
0
1 1
Urˇcete inverzn´ı matici k matici A =
0 1
A
Vˇsechny tˇri soustavy ˇreˇs´ıme najednou (A|I) 1 0 0 1 0 0 A 0 1 0 ∼ ··· ∼ ··· ∼ ··· ∼ 0 1 0 0 0 1 0 0 1
Pˇr´ıklad:
71
A−1
! :
1 2
1 0 1 Urˇcete inverzn´ı matici k matici B = 0 1 0 : 1 1 2 Urˇcen´ı inverzn´ı matice pomoc´ı determinant˚ u Vˇ eta 7.5 Necht’ A je regul´arn´ı matice, pak pro inverzn´ı matici plat´ı
A−1
D11 D12
1 D21 D22 = det A ... ... ...
...
T
...
D12 D22 . . . ... 1 = ... ... det A Dnn . . . . . . Dnn
...
D11 D21
ˇc´ıslo Dij = (−1)i+j · det Aij je algebraick´y doplnˇek prvku aij Znovu pˇr´ıklady Urˇcete inverzn´ı matici k matici A =
1 1 1 2
! : 71
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 7 Matice - z´akladn´ı pojmy a definice
1 0 1
72
: Urˇcete inverzn´ı matici k matici B = 0 1 0 1 1 2 Vˇ eta 7.6 Vlastnosti inverzn´ı matice 1. (A−1 )−1 2. (A · B)−1 = B −1 · A−1 3. (AT )−1 = (A−1 )T 4. det A−1 =
1 det A
5. Ke kaˇzd´e regul´arn´ı matici existuje pr´avˇe jedna inverzn´ı matice.
72
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
8
73
Soustava line´ arn´ıch rovnic
Definice 8.1 Necht’ aij , bi , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n jsou re´aln´a (nebo komplexn´ı) ˇc´ısla. Soustavu a11 x1 + a12 x2 + . . . +a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . +a2n xn
= b2
... am1 x1 + am2 x2 + . . . +amn xn = bm naz´yv´ame soustavou m line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych. Rovnici ˇcasto zapisujeme v maticov´em tvaru Ax = b
a11
a12 . . . a1n
b1
b x a22 . . . a2n 2 1 ... x2 ... , x = . . . , b = . . . ... ... x ... n bm am1 am2 . . . amn Matice A se naz´yv´a matice soustavy, vektor b se naz´yv´a vektor vektor nezn´am´ych. Matice a11 a12 . . . a1n | a21 a22 . . . a2n | (A|b) = ... ... ... ... | am1 am2 . . . amn |
kde A =
a21
prav´ych stran a vektor x se naz´yv´ a
b1
b2 bm
se naz´yv´a rozˇs´ıˇren´a matice soustavy.
Jestliˇze b = 0 ˇr´ık´ame, ˇze soustava je homogenn´ı, jestliˇze B 6= 0 jedn´a se o soustavu nehomogenn´ı. • (Obecn´e) ˇreˇsen´ı soustavy je kaˇzd´a n-tice ˇc´ısel v1 , v2 , . . . , vn takov´a, ˇze po dosazen´ı za x1 , x2 , . . . , xn budou vˇsechny rovnice splnˇeny. ˇ sit soustavu znamen´a naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı (vˇsechny n-tice, kter´e vyhovuj´ı soustavˇe) • Reˇ • metody ˇreˇsen´ı: graficky, dosazen´ım, Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou, Cram´erov´ ym pravidlem, inverzn´ı matic´ı, speci´aln´ımi numerick´ ymi postupy, . . .
73
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
8.1
74
Grafick´ eˇ reˇ sen´ı soustavy dvou line´ arn´ıch rovnic o dvou nezn´ am´ ych
ˇ ste graficky soustavu 2 rovnic o dvou nezn´am´ Reˇ ych. Co to znamen´a graficky? x − 2y = 2 x + 2y = −4 2x + 4y = 0 x+y =5
2x + 4y
=8
x + 2y = 0
Grafick´e ˇreˇsen´ı soustavy tˇr´ı rovnic o tˇrech nezn´am´ ych
74
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
8.2
75
Element´ arn´ı u ´ pravy matic a hodnost matice
Definice 8.2 Element´arn´ı ˇr´adkov´e (sloupcov´e) u ´pravy matic jsou operace 1. Zmˇena poˇrad´ı ˇr´adk˚ u (sloupc˚ u). 2. Vyn´asoben´ı ˇr´adku (sloupce) nenulov´ym ˇc´ıslem. 3. Pˇriˇcten´ı n´asobku nˇekter´eho ˇr´adku k jin´emu ˇr´adku (tot´eˇz pro sloupce). Definice 8.3 Hodnost matice A typu m × n je poˇcet nenulov´ych ˇr´adk˚ u troj´ uheln´ıkov´e matice B, kter´ a vznikne z matice A pomoc´ı element´arn´ıch ˇr´adkov´ych a sloupcov´ych u ´prav. Pˇrevod matice na troj´ uheln´ıkovou matici se naz´yv´a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda. Vznikne-li matice C z matice A pomoc´ı element´arn´ıch u ´prav, ˇr´ık´ame, ˇze C je ekvivalentn´ı s A. • Hodnost matice je tedy ˇc´ıslo h(A), hodnost nenulov´e matice je v rozmez´ı hodnot 1 aˇz m • Hodnost matice nez´avis´ı na poˇrad´ı element´arn´ıch u ´prav, kaˇzdou nenulovou matici lze pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody upravit na horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici. • Hodnost matice A je ˇr´ad nejvˇetˇs´ıho nenulov´eho subdeterminantu matice. Subdeterminantem ˇr´adu k rozum´ıme determinant matice vznikl´e z matice A v´ ybˇerem prvk˚ u ve zvolen´ ych k ˇra´dc´ıch a k sloupc´ıch. • Ekvivalentn´ı matice maj´ı stejnou hodnost. Pˇr´ıklad: Urˇcetehodnost n´asleduj´ ıc´ıch matice 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A1 = 3 5 1 ∼ 0 −1 −8 ∼ 0 −1 −8 0 −1 −8 2 3 −2 2 3 −2
1 4 5 2
1
4
5
2
1 2 3 ∼ 0 −1 −8 ⇒ h(A1 ) = 2 0 0 0
1 4
5 2
∼ 0 ∼ 0 7 ⇒ h(A2 ) = 3 A2 = 7 7 3 7 3 −1 3 2 1 0 0 −3 0 2 1 0 1 0 −7 −10 −3
3
1 1 1
⇒ h(A3 ) = 3 A3 = 5 4 6 3 2 −1 0 0
75
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
8.3
76
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
8.3.1
Graficky
8.3.2
Substituˇ cn´ı metoda
Z prvn´ı rovnice vyj´adˇr´ım prvn´ı nezn´amou a dosad´ım do dalˇs´ıch rovnic, t´ım zmenˇs´ım poˇcet rovnic na m − 1, postup opakuji dokud nem´am pouze jednu line´arn´ı rovnici. 8.3.3
Gaussovou eliminaˇ cn´ı metodou
Upravuji rozˇs´ıˇrenou matici soustavy na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar. Vˇ eta 8.1 Frobeniova vˇ eta. Soustava m line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´ych m´a alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, pr´ avˇe kdyˇz hodnost matice soustavy se rovn´a hodnosti rozˇs´ıˇren´e matice soustavy. Pro soustavu Ax = b s n nezn´am´ymi plat´ı: • h(A) = h(A|B) = n ⇒ soustava m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n . 0 0 .. . . . 0
0 0
amn
| b1
| b2 | | bm
• h(A) = h(A|B) < n ⇒ m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı
a11 a12 . . . a1n | b1
0 a22 . . . a2n | b2 ... 0 0 ... | 0 0 0 0 | 0
• h(A) 6= h(A|B) ⇒ soustava nem´a ˇreˇsen´ı a a 11 12 0 a22 0 0 0 0
. . . a1n | b1
. . . a2n | b2 ... ... |
0
0
| bm
ˇ ste soustavy lin. rovnic Pˇr´ıklad: Reˇ
76
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
77
3x1 − 5x2 + 6x3 = −20 −x1 + 2x2 + 5x3
=1
7x1 − 10x2 − 19x3
= −7
ˇreˇsen´ı Gauss. eliminaˇcn´ı metodou ⇒ x1 = 2, x2 = 4, x3 = −1
x1 − 2x2 + x3 = 0 ⇒ x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1
3x1 − 5x2 − 2x3 = −3 7x1 − 3x2 + x3 = 16
2x − 3y + 4z = 8 nem´a ˇreˇsen´ı
3x + 5y − z = 10 7x − y + 7z = 15
x + y + 2z = 1 2x
+ 2z = 0
⇒ nekoneˇcnˇe ˇreˇsen´ı x = t, y = 1 − t, z = t kde parametr t ∈ R
⇒ (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(−1, −1, 1) Algoritmus: a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 A|b = ... am1 am2 . . . amn bm 8.3.4
,
Cramerov´ ym pravidlem
Vˇ eta 8.2 Necht’ soustava Ax = b zahrnuj´ıc´ı n rovnic o n nezn´am´ych m´a regul´arn´ı matici (det A 6= 0). Pak tato soustava m´a jedin´e ˇreˇsen´ı: x1 =
det A1 det A2 det An , x2 = , . . . , xn = , det A det A det A 77
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
78
kde Ai je matice, kter´a vznikne z matice A nahrazen´ım i-t´eho sloupce sloupcem prav´ych stran. Pozn´amka: Pouˇzit´ı Cramerova pravidla je velmi n´aroˇcn´e na poˇcet operac´ı, pokud rozsah matice je n . . . potˇrebujeme (n − 1)n! n´asoben´ı, n! − 1 sˇc´ıt´an´ı, m´ame n + 1 determinant˚ u ⇒ (n + 1)[(n − 1)n! + n!] = (n + 1)!n pro n = 30 ⇒ 2.5 · 1035 operac´ı
Pˇr´ıklad: 2x − 3y =
4
5x + 7y = −9
2 −3 6 0 lze pouˇz´ıt Cramerovo pravidlo |A| = = 2 · 7 − (−3) · 5 = 14 + 15 = 29 ⇒ |A| = 5 7 4 −3 det A1 1 = |A1 | = = 4 · 7 − (−3) · (−9) = 28 − 27 = 1 ⇒ x = −9 det A 29 7 2 4 det A2 −38 = |A2 | = = 2 · (−9) − 4 · 5 = −18 − 20 = −38 ⇒ y = 5 −9 det A 29 Vyuˇ zit´ı Cramerova pravidla pro ˇ reˇ sen´ı rovnic s parametrem x + 3y = z = 1 2x − y − 3z =
0
3x + (3a − 1) − 2z = a + 3
3 1 1 |A| = 2 −1 −3 = 15a − 15 ⇒ lze pouˇz´ıt Cramerovo pravidlo pro a 6= 1 3 3a − 1 −2 1 3 1 det Ax a − 25 |Ax | = = 0 −1 −3 = a − 25 ⇒ x = det A 15a − 15 a + 3 3a − 1 −2 1 1 1 det Ay 5a + 10 |Ay | = 2 = 0 −3 = 5a + 10 ⇒ y = det A 15a − 15 3 a + 3 −2
78
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic 3 1 1 |Az | = 2 −1 0 3 3a − 1 a + 3
79
= −a − 20 ⇒ z = det Az = −a − 20 det A 15a − 15
ˇ s´ım soustavu Gaussovou eliminac´ı Pro a = 1 Reˇ
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 (A|b) = 2 −1 −3 0 ∼ 0 −7 −5 −2 ∼ 0 −7 −5 −2 ⇒ 3 2 −2 1 0 −7 −5 1 0 0 0 3
soustava nem´a ˇreˇsen´ı pro hodnotu parametru a = 1 8.3.5
Nalezen´ım inverzn´ı matice
Vˇ eta 8.3 Necht’ soustava Ax = b zahrnuj´ıc´ı n rovnic o n nezn´am´ych m´a regul´arn´ı matici (det A 6= 0). Pak existuje inverzn´ı matice k matici A a soustava m´a jedin´e ˇreˇsen´ı x = A−1 b Maticovˇe plat´ı A·x=b
79
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n ... an1 an2 . . . ann
x1
x2 · ... xn
x1
x2 ... xn
x1
b1
80
b2 = ... bn
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n = ... an1 an2 . . . ann
c11 c12 . . . c1n
x2 c21 c22 . . . c2n ... = ... xn cn1 cn2 . . . cnn kde prvky cij , i, j = 1, 2 . . . n jsou prvky inverzn´ı matice A−1 .
80
−1
b1
b2 · ... bn
b1
b2 · ... bn
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
8.4
81
Homogenn´ı a nehomogenn´ı soustavy
Soustava s nulov´ ym sloupcem prav´ ych stran se a a12 . . . a1n 11 a 21 a22 . . . a2n ... ... ...
am1 am2 . . . amn
naz´ yv´a homogenn´ı soustava. 0 0 x 1 x2 ... · ... = ... x . . . n 0
• Pro homogenn´ı soustavy vˇzdy plat´ı: h(A) = h(A|B) • Jedno ˇreˇsen´ı je vˇzdy x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0. Toto ˇreˇsen´ı naz´ yv´ame trivi´aln´ı (nebo nulov´e). • Pokud h(A) = n ⇒ existuje pouze jedno ˇreˇsen´ı (nulov´e) homogenn´ı soustavy. • Pokud h(A) < n ⇒ existuje nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı (jedno nulov´e) homogenn´ı soustavy. Vˇ eta 8.4 Homogenn´ı soustava A · x = b se ˇctvercovou matic´ı A m´a nenulov´e ˇreˇsen´ı ⇔ det A = 0. Nehomogenn´ı soustava je soustava s nenulovou a a12 . . . a1n 11 a 21 a22 . . . a2n ... ... ...
am1 am2 . . . amn
pravou stranou. ·
x1
x2 ... xn
=
b1
b2 ... ... ... bm
(Obecn´ e)ˇ reˇ sen´ı nehomogenn´ı soustavy dostaneme tak, ˇ ze seˇ cteme (obecn´ e) ˇ reˇ sen´ı pˇ r´ısluˇ sn´ e homogenn´ı soustavy a jedno ˇ reˇ sen´ı zadan´ e nehomogenn´ı soustavy. ˇ ste nehomogenn´ı soustavu pomoc´ı homogenn´ı a porovnejte toto ˇreˇsen´ı s ˇreˇsen´ım pomoc´ı Pˇr´ıklad: Reˇ Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. 1 2 1 1 1 0 1 2
! ∼
1
2 1 1
0 −2 0 1
! ⇒
x +
2y + z = 1 −2y 81
1 ⇒ (x, y, z) = (0, − , 2) 2 = 1 10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 8 Soustava line´arn´ıch rovnic
1 2 1 0 1 0 1 0
! ∼
1
2 1 0
0 −2 0 0
! ⇒
x +
82
2y + z = 0 −2y +
= 1
⇒ (x, y, z) = (t, 0, −t)
1 Celkov´e ˇreˇsen´ı (x, y, z) = (0, − , 2) + (t, 0, −t) 2
82
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
9 9.1
83
Analytick´ a geometrie Analytick´ a geometrie v rovinˇ e
Pohybujeme se v prostoru R2 a pˇredpokl´ad´ame, ˇze pracujeme s bazick´ ymi vektory e1 = (1, 0) a e2 = (0, 1). Graficky tˇemto bazick´ ym vektor˚ um odpov´ıdaj´ı souˇradn´e osy. Vzhledem k tomu, ˇze bazick´e vektory e1 a e2 jsou kolm´e (jejich skal´arn´ı souˇcin je roven nule) tvoˇr´ı tento syst´em tzv. kart´ezsk´ y syst´em souˇradnic. Souˇradnice se prot´ınaj´ı v bodˇe 0. Kaˇzd´ y bod z prostoru R2 charakterizujeme tedy jejich souˇradnicemi, kter´e vyjadˇruj´ı koeficienty line´arn´ı kombinace bazick´ ych vektor˚ u (x, y) = v1 · e1 + v2 · e2 . Vzd´alenost dvou bod˚ u a = (ax , ay ) a b = (bx , by )v prostoru R2 odpov´ıd´a odpov´ıd´a normˇe vektoru dan´eho tˇemito body. q d(a, b) = kb − ak =
(bx − ax )2 + (by − ay )2
Pomoc´ı vektorov´eho a maticov´eho poˇctu m˚ uˇzeme napˇr´ıklad spoˇc´ıtat obsah mnohouheln´ıka. Pro obsah mnoho´ uheln´ıky s vrcholy (ax , ay ), (bx , by ), (cx , cy ), . . . (zx , zy ) plat´ı ! ! ! ax b x b x cx zx ax 1 P = det + det + · · · + det 2 ay b y by c y zy ay Obsah troj´ uheln´ıka s vrcholy (ax , ay ), (bx , by ) a (cx , cy ) ax 1 P4 = det bx 2 cx 9.1.1
je roven ay 1 by 1 cy 1
Smˇ ernicov´ a, u ´ sekov´ a, obecn´ a a vektorov´ a rovnice pˇ r´ımky
83
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
84
Rovnice pˇr´ımky je mnoˇzina bod˚ u p = (x, y) ∈ R2 ; . . . splˇ nuj´ıc´ı pˇredpis: Smˇ ernicov´ a rovnice pˇ r´ımky y = k x + q; x y ´ Usekov´ a rovnice + = 1, kde p 6= 0 a q 6= 0; p q Obecn´ a rovnice pˇ r´ımky ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0 (alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a, b je nenulov´e); Vektorov´ a rovnice x = A + t(B − A) kde t ∈ R, kde m = (x, y) a A, B jsou dva body, kter´ ymi pˇr´ımka proch´az´ı; Parametrick´ a rovnice x = ax + (bx − ax )t y = ay + (by − ay )t
84
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
85
Vlastnosti koeficient˚ u: 1. obecn´e rovnice: • koeficienty a, b urˇcuj´ı souˇradnice norm´alov´eho vektoru n = (a, b) a smˇerov´eho vektoru s = (−b, a) • pokud a = 0 je pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou x • pokud b = 0 je pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou y • pokud c = 0 proch´az´ı pˇr´ımka poˇc´atkem (0, 0) 2. smˇernicov´e rovnice: • tento tvar nezahrnuje pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s osou y • koeficient k se naz´ yv´a smˇernice pˇr´ımky, • koeficient q je u ´sek, kter´ y vyt´ın´a pˇr´ımky na ose y Rovnice pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı dvˇema body A = (ax , ay ) a B = (bx , by ) je x − ax y − ay = b x − ax b y − ay neboli y − ay = 9.1.2
b y − ay (x − ax ) b x − ax
Odchylka dvou pˇ r´ımek a vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky
Pro ostr´ yu ´hel ϕ pˇr´ımek y = k1 x + q1 a y = k2 x + q2 plat´ı k1 − k2 . tgϕ = 1 + k1 · k2 Jsou-li d´any pˇr´ımky ve tvaru a1 x + b1 y + c1 = 0 a a2 x + b2 y + c2 = 0, je a1 b 2 − a2 b 1 . tgϕ = a1 a2 + b 1 b 2 Pokud pouˇzijeme smˇerov´e vektory pˇr´ımek s1 = (−b1 , a1 ) a s2 = (−b2 , a2 ) lze odchylku dvou pˇr´ımek zapsat t´eˇz |s1 · s2 | cos ϕ = , ks1 k · ks2 k kde v ˇcitateli je absolutn´ı hodnota skal´arn´ıho souˇcinu vektor˚ u s1 a s2 . Vzd´alenost bodu x0 , y0 od pˇr´ımky ax + by + c = 0 je ax0 + by0 + c . d= √ a2 + b 2
85
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
9.1.3
86
Vz´ ajemn´ a poloha dvou pˇ r´ımek v rovinˇ e
Pˇr´ımky v rovinˇe mohou b´ yt: • rovnobˇeˇzn´e spl´ yvaj´ıc´ı • rovnobˇeˇzn´e nespl´ yvaj´ıc´ı • r˚ uznobˇeˇzn´e kolm´e • r˚ uznobˇeˇzn´e (nekolm´e) Vˇ eta 9.1 Mˇejme dvˇe pˇr´ımky dan´e ve smˇernicov´em tvaru y = k1 x+q2 a y = k2 x+q2 resp. v obecn´em tvaru a1 x + b1 y + c1 = 0 a a2 x + b2 y + c2 = 0. Pak • pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzn´e spl´yvaj´ıc´ı, jestliˇze je jedna rovnice n´asobkem druh´e; • pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzn´e, jestliˇze k1 = k2 resp. a1 b2 + a2 b1 = 0 (norm´alov´e, resp. smˇerov´e vektory jsou z´avisl´e); 1 resp. a1 a2 + b1 b2 = 0 k1 (skal´arn´ı souˇcin norm´alov´ych, resp. smˇerov´ych vektor˚ u je roven nule).
• pˇr´ımky jsou kolm´e, jestliˇze k2 = −
9.1.4
Transformace kart´ ezsk´ ych souˇ radnic
Pˇri pˇrechodu (transformaci) od jedn´e kart´ezsk´e (ortonorm´aln´ı) soustavy k druh´e kart´ezsk´e soustavˇe pouˇzijeme pouze operace posun a otoˇcen´ı (rotace) o u ´hel α. Vˇ eta 9.2 Pˇri pˇrechodu od kart´ezsk´ych (0; x; y) ke stejnˇe orientovan´e kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic (00 ; x0 ; y 0 ) se souˇradnice transformuj´ı podle vztah˚ u x0 = x cos α + y sin α − m0 y 0 = −x sin α + y cos α − n0
resp. x = x0 cos α − y 0 sin α + m y = x0 sin α + y 0 cos α + n
kde m, n jsou souˇradnice nov´eho poˇc´atku 00 v soustavˇe (0; x; y), m0 = m cos α+n sin α a n0 = −m sin α+ n cos α a α je u ´hel otoˇcen´ı os souˇradnic.
86
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
Z´ apis v maticov´em tvaru ! ! x0 cos α sin α = · y0 − sin α cos α
x y x
!
x
! −
y
!
m0
!
n0
sin α x0
=
− sin α cos α
cos α
!
a x0 = , A = y y0 transformace jednoduˇse v maticov´em tvaru Oznaˇcme x =
cos α sin α
cos α − sin α
=
87
! ·
x0
!
y0
cos α sin α − sin α cos α
+
! ·
m
x y
!
cos α sin α
−
− sin α cos α
! ·
!
n
! a m =
m n
! . Pak zap´ıˇseme
x0 = A · (x − m) A−1 · x0 + m = x
87
10. z´aˇr´ı 2010
m n
!
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
9.2
88
Analytick´ a geometrie v prostoru
Pohybujeme se v prostoru R2 a pˇredpokl´ad´ame, ˇze pracujeme s bazick´ ymi vektory e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) a e3 = (0, 0, 1). Graficky tˇemto bazick´ ym vektor˚ um odpov´ıdaj´ı souˇradn´e osy. Vzhledem k tomu, ˇze bazick´e vektory e1 , e2 a e3 jsou kolm´e (jejich skal´arn´ı souˇciny jsou rovny nule) tvoˇr´ı tento syst´em tzv. kart´ezsk´ y syst´em souˇradnic. Souˇradnice se prot´ınaj´ı v bodˇe 0 = (0, 0, 0). Kaˇzd´ y bod z prostoru R3 charakterizujeme tedy jejich souˇradnicemi, kter´e vyjadˇruj´ı koeficienty line´arn´ı kombinace bazick´ ych vektor˚ u (x, y, z) = v1 · e1 + v2 · e2 + v3 · e3 . Vzd´alenost dvou bod˚ u a = (ax , ay , az ) a b = (bx , by , bz )v prostoru R3 odpov´ıd´a odpov´ıd´a normˇe vektoru dan´eho tˇemito body. q d(a, b) = kb − ak = (bx − ax )2 + (by − ay )2 + +(bz − az )2 Obsah ˇctyˇrstˇenu s vrcholy (ax , ay , az ), (bx , by , bz ), (cx , cy , cz ) ax ay az bx by bz 1 P = det c c c 6 x y z dx dy dz
a (dx , dy , dz )je roven 1 1 1 1
Objem ˇctyˇrstˇenu je roven nule pr´avˇe tehdy, kdyˇz leˇz´ı vˇsechny ˇctyˇri body v jedn´e rovinˇe. 9.2.1
Obecn´ a, u ´ sekov´ a a parametrick´ a rovnice roviny Rovnice roviny je mnoˇzina bod˚ u ρ = (x, y, z) ∈ R3 ; . . . splˇ nuj´ıc´ı pˇredpis: Obecn´ a rovnice roviny Ax + By + Cz + D = 0, kde alespoˇ n jedno z ˇc´ısel A, B, C je r˚ uzn´e od nuly x y z ´ Usekov´ a rovnice + + = 1, p q r Parametrick´ a rovnice x = ax + s1 t1 + r1 t2 y = ay + s2 t1 + r2 t2 z = az + s3 t1 + r3 t2 ,
kde t1 , t2 ∈ R a rovina proch´az´ı bodem A = (ax , ay , az ) a s = (s1 , s2 , s3 ), r = (r1 , r2 , r3 ) jsou jej´ı smˇerov´e vektory. Vlastnosti koeficient˚ u: 88
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
89
1. obecn´ y tvar: • koeficienty a, b, c urˇcuj´ı souˇradnice norm´alov´eho vektoru n = (a, b, c), pozor smˇerov´ y vektor nen´ı urˇcen jednoznaˇcnˇe, rovina m´a DVA smˇerov´e vektory (vektory kolm´e na norm´alov´ y); • pokud a = 0 je rovina rovnobˇeˇzn´a s osou x • pokud b = 0 je rovina rovnobˇeˇzn´a s osou y • pokud c = 0 je rovina rovnobˇeˇzn´a s osou z • pokud d = 0 proch´az´ı rovina poˇca´tkem (0, 0) • pokud a = b = 0 je rovina rovnobˇeˇzn´a se souˇradnou rovinou urˇcenou osami x, y 2. u ´sekov´ y tvar: p, q, r jsou u ´seky, kter´e vyt´ın´a rovina na os´ach souˇradnic s pˇrihl´ednut´ım k jejich orientaci - napˇr´ıklad p = −3 znamen´a, ˇze rovina prot´ın´a z´apornou poloosu −x ve vzd´alenosti 3, tj. rovina proch´az´ı bodem (−3, 0, 0) Rovina v prostoru je jednoznaˇcnˇe urˇcena: • tˇremi r˚ uzn´ ymi body, kter´e neleˇz´ı na jedn´e pˇr´ımce; • dvˇema r˚ uznobˇeˇzn´ ymi pˇr´ımkami; • dvˇema r˚ uzn´ ymi rovnobˇeˇzn´ ymi pˇr´ımkami; • bodem a pˇr´ımkou, kter´a dan´ ym bodem neproch´az´ı. 9.2.2
Odchylka dvou rovin, vzd´ alenost bodu od roviny, poloha dvou rovin
Jsou-li n1 a n2 norm´alov´e vektory dvou rovin ρ a σ, potom pro odchylku ϕ tˇechto dvou rovin plat´ı cos ϕ =
|n1 · n2 | , kn1 k · kn2 k
kde v ˇcitateli je absolutn´ı hodnota skal´arn´ıho souˇcinu vektor˚ u n1 a n2 . Vzd´alenost bodu x0 , y0 , z0 od roviny ax + by + cz + d = 0 je ax0 + by0 + cz0 + d . d = √ a2 + b 2 + c 2 Vz´ajemn´a poloha dvou rovin je analogick´a vz´ajemn´ ym poloh´am pˇr´ımek v prostoru 9.2.3
Pˇ r´ımka v prostoru
Rovnice pˇr´ımky v prostoru je mnoˇzina bod˚ u ρ = (x, y, z) ∈ R3 ; . . . splˇ nuj´ıc´ı pˇredpis:
89
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 9 Analytick´a geometrie
90
Parametrick´ a rovnice x = ax + s 1 t y = ay + s 2 t z = az + s3 t,
kde t ∈ R a pˇr´ımky proch´az´ı bodem A = (ax , ay , az ) a jej´ı smˇerov´ y vektor je s = (s1 , s2 , s3 ). Kanonick´ y tvar rovnice
x − ax y − ay z − az = = s1 s2 s3
Obecn´ y tvar rovnice (pr˚ useˇcnice dvou r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin) A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 a A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Pˇr´ımky v prostoru mohou b´ yt: • rovnobˇeˇzn´e spl´ yvaj´ıc´ı - smˇerov´e vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e a pˇr´ımky maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho spoleˇcn´ ych bod˚ u; • rovnobˇeˇzn´e nespl´ yvaj´ıc´ı - smˇerov´e vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e a pˇr´ımky nemaj´ı spoleˇcn´ y bod; • r˚ uznobˇeˇzn´e - smˇerov´e vektory jsou line´arnˇe nez´avisl´e a pˇr´ımky maj´ı pr´avˇe jeden spoleˇcn´ y bod; • r˚ uznobˇeˇzn´e kolm´e - r˚ uznobˇeˇzn´e a skal´arn´ı souˇcin smˇerov´ ych vektor˚ u je roven nule; • mimobˇeˇzn´e - smˇerov´e vektory jsou line´arnˇe nez´avisl´e a pˇr´ımky nemaj´ı spoleˇcn´ y bod.
90
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
10 10.1
91
Limita funkce v bodˇ e x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞} Definice limity funkce
Definice 10.1 Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e lim f (x) = A. x→x0
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 ∈ R vlastn´ı limitu, pokud existuje ˇc´ıslo A ∈ R, tak, ˇze Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ δ > 0 tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze n=1 ∈ D(f ) takov´
lim xn = x0 , plat´ı lim f (xn ) = A
n→+∞
n→+∞
Pozn´amky: 1. Obˇe definice limit jsou ekvivalentn´ı. Rozd´ıl v pˇr´ıstupu uk´aˇzema na pˇr´ıkladu, kdy funkce f (x) m´a ve vlastn´ım bodˇe x0 vlastn´ı limitu A. • Cauchyova definice pracuje s okol´ım: Vlastn´ı limita A ve vlastn´ım bodˇe x0 existuje, pokud kdyˇz zvol´ım libovoln´e okol´ı bodu A - oznaˇc´ıme (U (A, )), pak vˇzdy existuje okol´ı bodu x0 oznaˇc´ım (U (x0 , δ)) takov´e, ˇze pro vˇsechny body z tohoto okol´ı (U (x0 , δ)) plat´ı, ˇze f (x) leˇz´ı v okol´ı bodu A, tj. v okol´ı U (A, ). • Heinova definice pracuje s hromadn´ ym bodem (bod, ke kter´emu se bl´ıˇz´ı nˇejak´a posloupnost bod˚ u xn ) a limitou funkˇcn´ıch hodnot posloupnosti f (xn ). Vlastn´ı limita A ve vlastn´ım bodˇe x0 existuje, pokud pro kaˇzdou posloupnost bod˚ u limitnˇe smˇeˇruj´ıc´ıch do x0 plat´ı, ˇze jejich funkˇcn´ı hodnoty f (xn ) limitnˇe smˇeˇruj´ı do A.
91
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
92
• Existuj´ı funkce, kter´e nemaj´ı limitu ve sledovan´em bodˇe x0 . Napˇr´ıklad funkce sgn x nem´a limitu v bodˇe x0 = 0.
Vyberu posloupnost n 1 1 1 1 1 xn = − = − ,+ ,− ,+ ,... , 2 2 4 8 16 tato posloupnost se limitnˇe bl´ıˇz´ı k nule, lim xn = 0, ale posloupnost funkˇcn´ıch hodnot n→+∞
m´a tvar f (xn ) = {−1, +1, −1, +1, . . . } a tato posloupnost nem´a limitu. Proto m´a nˇekdy smysl zkoumat chov´an´ı funkce zvl´aˇst’ pro body bl´ıˇz´ıc´ı se k bodu x0 zleva a zvl´aˇst’ pro body bl´ıˇz´ıc´ı se k bodu x0 zprava.
92
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
93
Definice 10.2 Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe zprava lim f (x) = A. x→x0+
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 ∈ R vlastn´ı limitu zprava, pokud existuje ˇc´ıslo A ∈ R, tak, ˇze Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ δ > 0 tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (x0 , x0 + δ), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze xn ≥ x0 a n=1 ∈ D(f ) takov´
lim xn = x0 , plat´ı lim f (xn ) = A
n→+∞
n→+∞
Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe zleva lim f (x) = A. Definuji analogicky. x→x0−
Definice 10.3 Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e lim f (x) = +∞ nebo lim f (x) = −∞ x→x0
x→x0
Cauchyova definice ∀K, ∃ δ > 0 tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), plat´ı f (x) ∈ (K, +∞) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze n=1 ∈ D(f ) takov´
lim xn = x0 , plat´ı lim f (xn ) = +∞
n→+∞
n→+∞
Nevlastn´ı limity zleva a zprava definuji analogicky. Limita je v bodˇe x0 je +∞ a limita je v bodˇe x0 je −∞
93
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
94
Limita je v bodˇe x0 neexistuje, ale limita zprava je −∞ a limita zleva je +∞
Limita je v bodˇe x0 neexistuje, ale limita zprava je −∞ a limita zleva je vlastn´ı (koneˇcn´a) A
94
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
95
Definice 10.4 Vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇ e lim f (x) = A x→+∞
Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ M tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (M, +∞), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze xn ≥ x0 a n=1 ∈ D(f ) takov´
lim xn = +∞, plat´ı lim f (xn ) = A
n→+∞
n→+∞
Vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe −∞ definuji analogicky lim f (x) = A x→−∞
Limity zleva a zprava nem´a smysl definovat, protoˇze do nevlastn´ıho bodu se lze limitnˇe dostat pouze z jedn´e strany. Do bodu +∞ se limitnˇe bl´ıˇz´ıme zleva a do bodu −∞ se limitnˇe bl´ıˇz´ıme zleva. Pˇr´ıklad funkc´ı lim f (x) = A a funkce, kter´a nem´a limitu v bodˇe +∞ x→+∞
95
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
96
Definice 10.5 Nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇ e lim f (x) = +∞ x→+∞
Cauchyova definice ∀ > 0, ∃ M tak, ˇze pro ∀x : x ∈ (M, +∞), plat´ı f (x) ∈ (A − , A + ) Heinova definice ∀ {xn }+∞ e, ˇze xn ≥ x0 a n=1 ∈ D(f ) takov´
lim xn = +∞, plat´ı lim f (xn ) = A
n→+∞
n→+∞
Nevlastn´ı limity ve nevlastn´ıch bodech definuji analogicky. lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, x→−∞
x→+∞
lim f (x) = −∞.
x→−∞
Pˇr´ıklad funkc´ı s nevlastn´ı limitou v nevlastn´ım bodˇe
96
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
10.2
97
Vlastnosti limit funkc´ı
Vˇ eta 10.1 Funkce f m´a v bodˇe x0 nejv´yˇse jednu limitu. Vˇ eta 10.2 Funkce f m´a v bodˇe limitu pr´avˇe tehdy, kdyˇz limita zleva se rovn´a limitˇe zprava. lim f (x) = lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A
x→+x0
x→−x0
x→x0
Vˇ eta 10.3 Algebra vlastn´ıch limit Jestliˇze funkce f, g maj´ı vlastn´ı limity lim f (x) = A a x→x0
lim g(x) = B v bodˇe x0 (bod m˚ uˇze b´yt vlastn´ı i nevlastn´ı), pak plat´ı
x→x0
1. lim (f (x) ± g(x)) = A ± B x→x0
2. lim (f (x) · g(x)) = A · B x→x0
3. lim
x→x0
f (x) g(x)
=
A B
pro B 6= 0
Vˇ eta 10.4 O limitˇ e sevˇ ren´ e funkce Jestliˇze, v okol´ı bodu x0 plat´ı d(x) ≤ f (x) ≤ h(x) a plat´ı lim d(x) = lim h(x) = A, pak x→x0
x→x0
lim f (x) = A.
x→x0
Vˇ eta 10.5 O limitˇ e sloˇ zen´ e funkce Jsou d´any dvˇe funkce f : Df → Hf a g : Dg → Hg . Jestliˇze plat´ı Dg ⊂ Hf a lim f (x) = y0 a lim g(y) = A, pak x→x0
y→y0
lim g (f (x)) = A
x→x0
Pˇr´ıklady vyuˇzit´ı t´eto vˇety: 1 • lim f (x) = lim f x→+∞ y→+0 y n n • lim (f (x)) = lim f (x) x→x0
• lim
x→x0
pro f (x) ≥ 0, n ∈ N
x→x0
q p n f (x) = n lim f (x)
pro f (x) ≥ 0, n ∈ N
x→x0
lim f (x)
• lim αf (x) = αx→x0
pro α > 0
x→x0
• jestliˇze, lim |f (x)| = 0, pak lim f (x) = 0 x→x0
x→x0
97
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
10.3
98
Nˇ ekter´ e limity vybran´ ych funkc´ı
• lim
x→±∞
1+
1 a x = lim (1 + ax) x = ea x→±0 x
• lim ax = 0, lim ax = +∞ x→+∞
pro 0 < a < 1
x→−∞
• lim ax = +∞, lim ax = 0 x→+∞
pro a > 1
x→−∞
sin x =1 x→0 x
• lim
sin x =0 x→+∞ x
• lim
sin ax =a x→0 x
• lim
tgax =a x→0 x
• lim
ex − 1 • lim =1 x→0 x ax − 1 = ln a x→0 x
• lim
pro a > 0
ln(x + 1) =1 x→0 x
• lim
xa =0 x→+∞ ebx
• lim
pro a ∈ R, b > 0
98
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 10 Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}
10.4
99
Neurˇ cit´ e v´ yrazy - speci´ aln´ı typy limit
Pro neurˇcit´e v´ yrazy, tj. limity pod´ılu, rozd´ılu, n´asobku a pod. dvou funkc´ı, kdy jedna nebo obˇe z limit jsou nekoneˇcno, lze vypoˇc´ıtat s pouˇzit´ım derivac´ı (viz. kapitola 13.). • limita typu 0/0 nebo ∞/∞ (l’Hospitalova pravidla) Jestliˇze lim f (x) = lim g(x) = 0 a existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) a plat´ı x→a
x→a
x→a 0
x→a
f (x) f (x) lim 0 = lim x→a g (x) x→a g(x) Jestliˇze lim |g(x)| = +∞ a existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) a plat´ı x→a
x→a
x→a
f (x) f 0 (x) = lim lim 0 x→a g(x) x→a g (x)
• limita typu 0 · ∞ pˇrevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x) · g(x) = lim
x→a
f (x)
x→a
1 g(x)
• limity typu 0∞ , ∞0 a 1∞ pˇrevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x)g(x) = lim eg(x)·ln(f (x)) x→a
x→a
• limity typu ∞ − ∞ pˇrevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x) − g(x) = lim
x→a
x→a
1 g(x)
−
1 f (x)
1 f (x)·g(x)
a2 − b 2 a dost´av´ame • nebo u limit typu ∞ − ∞ vyuˇzijeme vztah a − b = a+b f 2 (x) − g 2 (x) lim f (x) − g(x) = lim x→a x→a f (x) + g(x)
99
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 11 Spojitost re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
11 11.1
100
Spojitost re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e Spojitost v bodˇ e x0 .
Definice 11.1 Necht’ f : D ⊂ R → R je re´aln´a funkce a bod x0 je hromadn´y bod Df . Pak ˇrekneme, ˇze funkce f je spojit´a funkce v bodˇe x0 , pokud limita funkce f v bodˇe x0 je rovna funkˇcn´ı hodnotˇe v dobˇe x0 . def f je spojit´a v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0
Obdobnˇe definujeme spojitost zleva a spojitost zprava v bodˇe x0 def
f je spojit´a zleva v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0−
def
f je spojit´a zprava v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0+
Hromadn´ y bod je takov´ y bod mnoˇziny, ke kter´emu existuje konvergentn´ı posloupnost. Pokud bod nen´ı hromadn´ y, ˇr´ık´ame, ˇze se jedn´a o izolovan´ y bod. ˇ Rekneme, ˇze funkce je spojit´a v izolovan´em bodˇe, pokud je v tomto bodˇe definov´ana. Funkce je spojit´a v bodˇe x0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz je spojit´e zleva a z´aroveˇ n zprava v dan´em bodˇe x0 . Funkce nen´ı spojit´a v hromadn´em bodˇe x0 , pokud limita v tomto bodˇe neexistuje nebo nen´ı koneˇcn´a. Vˇ eta 11.1 (Lok´aln´ı vlastnosti spojit´ych funkc´ı) Necht’ funkce f je spojit´a v bodˇe x0 , pak (A) existuje okol´ı bodu x0 , ve kter´em je funkce omezen´a (B) pokud f (x0 ) 6= 0, existuje okol´ı, ve kter´em funkce f zachov´av´a znam´enko. Vˇ eta 11.2 (Algebraick´e vlastnosti spojit´ych funkc´ı a spojitost sloˇzen´e funkce). • Jsou-li funkce f a g spojit´e v bodˇe x0 , pak funkce f ± g, f · g , |f | a
f , g(x) 6= 0 jsou spojit´e g
v bodˇe x0 . • Je-li funkce f spojit´a v bodˇe x0 a funkce g spojit´a v bodˇe f (x0 ), pak funkce g(f (x)) je spojit´ a v bodˇe x0 .
100
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 11 Spojitost re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
11.2
101
Body nespojitosti
Definice 11.2 Necht’ funkce f nen´ı spojit´a v hromadn´em dobˇe x0 , pak bod x0 je bodem nespojitosti. Bod nespojitosti m˚ uˇze b´yt n´asleduj´ıc´ıho druhu. (A) Odstraniteln´a nespojitost, pokud lim f (x) a lim f (x) jsou koneˇcn´e a shodn´e. x→x0−
x→x0+
(B) Bod nespojitosti prvn´ıho druhu - skok, pokud lim f (x) a lim f (x) jsou koneˇcn´e a r˚ uzn´e. x→x0−
x→x0+
(C) Bod nespojitosti druh´eho druhu, pokud alespoˇ n jedna z limit lim f (x) a lim f (x) je nekoneˇcn´ a x→x0−
x→x0+
nebo neexistuje. Body nespojitosti prvn´ıho druhu a druh´eho druhu jsou neodstraniteln´e body nespojitosti. Odstraniteln´a nespojitost
Nespojitost I. druhu
101
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 11 Spojitost re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
102
Nespojitost II. druhu
11.3
Spojitost funkce v uzavˇ ren´ em intervalu I = ha; bi
Definice 11.3 Funkce f je spojit´a v uzavˇren´em intervalu I = ha; bi, pr´avˇe tehdy kdyˇz je spojit´ a v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe intervalu a v krajn´ıch bodech je spojit´a zleva resp. zprava. def
f je spojit´a v I = ha; bi ←→ f je spojit´a v kaˇzd´em x ∈ (a, b) a je spojit´a zleva v a a zprava v b Vˇ eta 11.3 Necht’ funkce f je spojit´a na intervalu ha; bi a plat´ı f (a) · f (b) < 0, pak existuje bod c ∈ ha; bi takov´y, ˇze f (c) = 0. ˇ sitelnost nelin´arn´ıch rovnic) Necht’ funkce f je spojit´a ha; bi a necht’ f (a) 6= f (b), pak D˚ usledek: (Reˇ pro libovoln´e y0 ∈ hf (a); f (b)i, existuje alespoˇ n jedno x0 takov´e, ˇze y0 = f (x0 ). Vˇ eta 11.4 Weiestrassova vˇeta. Je-li funkce f spojit´a na intervalu ha; bi, pak je funkce f na tomto intervalu omezen´a. POZOR: Implikace naopak neplat´ı. Funkce omezen´a na intervalu ; funkce spojit´a na intervalu. Vˇ eta 11.5 Glob´aln´ı vlastnosti 1. Je-li funkce f spojit´a na intervalu ha; bi, pak je f (ha; bi) opˇet interval nebo jednobodov´a mnoˇzina. 2. Je-li f ostˇre monot´onn´ı na intervalu I a f (I) je opˇet interval, pak f je spojit´a. 3. Je-li f spojit´a a prost´a na intervalu I, pak existuje funkce inverzn´ı a je tak´e spojit´a na f (I).
102
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 12 Derivace re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
12 12.1
103
Derivace re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e Definice diferenˇ cn´ıho pod´ılu a derivace a jejich geometrick´ a interpretace
Definice 12.1 Diferenˇcn´ı pod´ıl funkce f v bodˇe x0 . Pomˇer pˇr´ır˚ ustk˚ u (diferenc´ı) ∆f funkce f a pˇr´ır˚ ustku (diference) ∆x argumentu x. ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = ∆x x − x0 Diferenˇcn´ı pod´ıl ud´av´a smˇernici seˇcny P0 P , kde bod P0 = [x0 , f (x0 )] a bod P = [x, f (x)]. Definice 12.2 Existuje-li vlastn´ı, resp. nevlastn´ı limita ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim = lim x→x0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x − x0 lim
ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 vlastn´ı, resp. nevlastn´ ı derivaci. df df ∂f ∂f 0 Tuto limitu oznaˇcujeme f (x0 ) nebo (x0 ) nebo x0 nebo (x0 ) nebo x0 nebo f˙(x0 ). dx dx ∂x ∂x M´ısto o vlastn´ı derivaci mluv´ıme tak´e o koneˇcn´e derivaci nebo jenom o derivaci v bodˇe x0 . Derivace funkce f v bodˇe x0 ud´av´a smˇernici teˇcny kˇrivky dan´e rovnic´ı y = f (x) v bodˇe P0 = [x0 , f (x0 )]. Existuje-li vlastn´ı limita f (x) − f (x0 ) lim x→x0− x − x0 resp. f (x) − f (x0 ) lim x→x0+ x − x0 v bodˇe x0 , naz´ yv´ame ji vlastn´ı derivac´ı zleva resp. zprava. Obdobnˇe definujeme nevlastn´ı derivaci v bodˇe zleva a zprava. Diference a derivace funkce
103
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 12 Derivace re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
104
Definice 12.3 Funkce f je diferencovateln´a v uzavˇren´em intervalu ha; bi pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´ a vlastn´ı derivaci v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe intervalu a v krajn´ıch bodech m´a derivaci zleva resp. zprava. Funkce, jej´ıˇz funkˇcn´ı hodnota v kaˇzd´em bodˇe x ∈ (a, b) je f 0 (x) se naz´yv´a derivace funkce f na intervalu (a, b). Pro uzavˇren´ y interval dodefinujeme funkˇcn´ı hodnoty f 0 (x) v krajn´ıch bodech zleva a zprava. Funkce, kter´a m´a na intervalu ha; bi spojitou derivaci se naz´ yv´a spojitˇe diferencovateln´a funkce (hladk´e funkce) na intervalu ha; bi. Znaˇc´ıme C(ha; bi) nebo C 1 (ha; bi). Vˇ eta 12.1 (Souvislost existence vlastn´ı derivace a spojitosti) Jestliˇze funkce f m´a vlastn´ı derivaci v bodˇe x0 , pak je funkce v bodˇe x0 spojit´a. POZOR: Obr´acen´a implikace neplat´ı. Funkce spojit´a v bodˇe x0 ; funkce m´a v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci. Napˇr´ıklad funkce f (x) = |x| v bodˇe x0 = 0. Pˇr´ıklad spojit´e funkce, kter´a m´a derivaci v bodˇe a nem´a derivaci v bodˇe
Definice 12.4 (Derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u) Existuje-li vlastn´ı, resp. nevlastn´ı limita lim
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) x − x0
ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 vlastn´ı, resp. nevlastn´ı druhou derivaci. d2 f ∂ 2f ∂ 2 f d2 f 00 Tuto limitu oznaˇcujeme f (x0 ) nebo (x0 ) nebo x0 nebo (x0 ) nebo x0 nebo f¨(x0 ). dx2 dx2 ∂x2 ∂x2 Obdobnˇe definujeme derivace n−t´eho ˇr´adu f
(n)
dn f ((x0 ), resp. (x0 ) dxn
104
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 12 Derivace re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
12.2
105
Pravidla pro derivov´ an´ı
Vˇ eta 12.2 Pravidla pro derivov´an´ı. Necht’ u, v, f, g, u1 , u2 , . . . jsou diferencovateln´e funkce promˇenn´e x. 1. (konst)0 = 0 2. (u1 + u2 + . . .)0 = u01 + u02 + . . . 3. (u · v)0 = u0 · v + u · v 0 u0 v − uv 0 u 4. ( )0 = v v2
pro v(x) 6= 0
5. (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
(derivace sloˇzen´e fce)
f 0 (x) 6. (ln f (x)) = f (x) 0
g 0
g·ln(f ) 0
7. (f ) = e
pro f (x) > 0
1 0 0 = f g ln (f ) + g f f g
pro f (x) > 0
8. jestliˇze x = g(y) je inverzn´ı funkce k funkci y = f (x) a existuje-li v bodˇe c derivace f 0 (c) 6= 0, pak v bodˇe d = f (c) existuje g 0 (d) a plat´ı 1 g 0 (d) = 0 f (c)
105
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 12 Derivace re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
12.3
106
Pˇ rehled derivac´ı element´ arn´ıch funkc´ı
• (xn )0 = nxn−1
pro n ∈ N
• (x−n )0 = −nx−n−1
pro n ∈ N, x 6= 0
• (xa )0 = axa−1
pro a ∈ R, x > 0
• (ax )0 = ax ln a
pro a > 0
•
speci´alnˇe (ex )0 = ex
• (loga x)0 = •
1 x ln a
speci´alnˇe (ln x)0 =
pro x > 0, a > 0, a 6= 1 1 x
• (sin x)0 = cos x • (cos x)0 = − sin x • (tgx)0 =
1 cos2 x
• (cotgx)0 = −
π pro x 6= (2k + 1) ; k ∈ Z 2
1 sin2 x
pro x 6= kπ; k ∈ Z
1 • (arcsin x)0 = √ 1 − x2
pro |x| < 1
1 • (arccos x)0 = − √ 1 − x2
pro |x| < 1
• (arctgx)0 =
1 1 + x2
• (arccotgx)0 = −
1 1 + x2
• (sinh x)0 = cosh x • (cosh x)0 = sinh x • (tghx)0 =
1 cosh2 x
• (cotghx)0 = −
1 sinh2 x
pro x 6= 0
106
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 12 Derivace re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e
107
1 • (argsinhx)0 = √ 1 + x2 • (argcoshx)0 = √ • (argtghx)0 =
1 x2
pro x > 1
−1
1 1 − x2
• (argcotghx)0 =
pro |x| < 1
1 1 − x2
pro |x| > 1
107
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
13 13.1
108
Vyuˇ zit´ı derivace Stacion´ arn´ı body a vztah k lok´ aln´ım maxim˚ um a minim˚ um
Definice 13.1 Bod x0 je stacion´arn´ım bodem funkce f pokud f 0 (x0 ) = 0. Vˇ eta 13.1 (Nutn´ a podm´ınka lok´ aln´ıho extr´ emu) Necht’ bod x0 je bodem lok´aln´ıho extr´emu (minimum nebo maximum) funkce f a necht’ existuje f 0 (x0 ), pak f 0 (x0 ) = 0. ´ POZNAMKY: • Funkce f m´a lok´aln´ı extr´em pouze ve stacion´arn´ıch bodech (f 0 (x) = 0) nebo v bodech, kde prvn´ı derivace neexistuje. • Existuj´ı stacion´arn´ı body, ve kter´ ych nem´a funkce extr´em. Pˇr´ıklad f (x) = x3 , stacion´arn´ı bod je bod 0 (f 0 (x0 ) = 3x20 = 0 ⇒ x0 = 0), ale funkce nem´a v tomto bodˇe lok´aln´ı extr´em. • Existuj´ı body, ve kter´ ych neexistuje derivace funkce a funkce m´a v tomto bodˇe extr´em. Pˇr´ıklad f (x) = |x−1| m´a lok´aln´ı minimum v bodˇe x0 = 1 a nem´a v tomto bodˇe derivaci, resp f−0 (1) = −1 a f+0 (1) = 1. Vˇ eta 13.2 Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka lok´ aln´ıho extr´ emu Necht’ funkce f je diferencovateln´ a na 0 prstencov´em okol´ı bodu x0 a spojit´e v bodˇe x0 . Necht’ pro kaˇzd´e x z intervalu (x0 − δ; x0 ) je f (x) > 0 a pro kaˇzd´e x y intervalu (x0 ; x0 + δ) je f 0 (x) < 0, pak m´a funkce f v bodˇe x0 lok´aln´ı maximum. Vˇ eta 13.3 O stacion´ arn´ıch bodech • Jestliˇze f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) > 0, pak m´a funkce v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı minimum. • Jestliˇze f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) < 0, pak m´a funkce v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı maximum. • Jestliˇze f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 a f 000 (x0 ) > 0, pak m´a funkce v bodˇe x0 inflexn´ı bod (graf pˇrech´ az´ı z polohy pod teˇcnou na polohu nad teˇcnou). • Jestliˇze f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 a f 000 (x0 ) < 0, pak m´a funkce v bodˇe x0 inflexn´ı bod (graf pˇrech´ az´ı z polohy nad teˇcnou na polohu pod teˇcnou). Obecnˇe necht’ plat´ı f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f m−1 (x0 ) = 0 a f m (x0 ) 6= 0 • Je-li m lich´e a f m (x0 ) > 0, pak je funkce v bodˇe x0 rostouc´ı, bod x0 je inflexn´ı bod: pˇrechod z kok´avn´ıho na konvexn´ı. • Je-li m lich´e a f m (x0 ) < 0, pak je funkce v bodˇe x0 klesaj´ıc´ı, bod x0 je inflexn´ı bod: pˇrechod z kovexn´ıho na konk´avn´ı. • Je-li m sud´e a f m (x0 ) > 0, pak m´a funkce v bodˇe x0 minimum. 108
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
109
• Je-li m sud´e a f m (x0 ) < 0, pak m´a funkce v bodˇe x0 maximum. Uk´azku pr˚ ubˇehu funkce
• funkce je spojit´a v Df = (−∞; +∞) • funkce m´a derivaci v Df − {x4 } • prvn´ı derivace funkce je rovna nule (f 0 (x) = 0) v bodech x1 , x2 a x3 • funkce m´a lok´aln´ı extr´em v bodech x1 , x2 , x3 a x4 • funkce je rostouc´ı v intervalu (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; x3 ) ∪ (x4 , +∞) • funkce je klesaj´ıc´ı v intervalu (x1 ; x2 ) ∪ (x3 ; x4 ) • druh´a derivace funkce je rovna nule (f 00 (x) = 0) v bodech x5 a x6 , toto jsou inflexn´ı body funkce
109
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
13.2
110
Vˇ ety o stˇ redn´ı hodnotˇ e - nab´ yv´ an´ı hodnot na uzavˇ ren´ em intervalu
Vˇ eta 13.4 Rollova vˇ eta Jestliˇze funkce y = f (x) je spojit´a na uzavˇren´em intervalu ha; bi a m´ av kaˇzd´em bodˇe otevˇren´eho intervalu (a; b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı prvn´ı derivaci a plat´ı f (a) = f (b), pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a; b) takov´y, ˇze plat´ı f 0 (c) = 0. Vˇ eta 13.5 Lagrangeova vˇ eta Jestliˇze funkce y = f (x) je spojit´a na uzavˇren´em intervalu ha; bi a m´ a v kaˇzd´em bodˇe otevˇren´eho intervalu (a; b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı prvn´ı derivaci, pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a; b) takov´y, ˇze plat´ı f (b) − f (a) . f 0 (c) = b−a ´ POZNAMKA: Geometrick´a interpretace uveden´ ych vˇet.
110
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
13.3
111
Vyuˇ zit´ı derivac´ı pro v´ ypoˇ cet limit - l´Hospitalovo pravidlo
Vˇ eta 13.6 l´Hospitalovo pravidlo Jestliˇze bud’ lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim |g(x)| = +∞ x→a
x→a
x→a
(o funkci f nemus´ım nic pˇredpokl´adat) a jestliˇze existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) x→a x→a a plat´ı f 0 (x) f (x) = lim 0 x→a g (x) x→a g(x) lim
∞ 0 nebo . ∞ 0 Jestliˇze hled´am limitu funkce f (x) · g(x), kter´a je typu 0 · ∞ pˇrevedu probl´em na hled´an´ı limity typu ∞ podle pravidla ∞ g(x) lim f (x) · g(x) = lim 1 Toto pravidlo vyuˇz´ıv´ame pˇri urˇcov´an´ı limit typu
x→a
x→a
f (x)
Jestliˇze hled´am limitu funkce f (x) − g(x), kter´a je typu ∞ − ∞ pˇrevedu probl´em na hled´an´ı limity 0 typu podle pravidla 0 1 1 − f (x) g(x) lim (f (x) − g(x)) = lim 1 x→a x→a · 1 f (x) g(x) Jestliˇze hled´am limitu funkce f (x)g(x) , kter´a je typu 00 nebo ∞0 nebo 1∞ pˇrevedu probl´em na hled´an´ı limity typu e0·∞ podle pravidla lim f (x)g(x) = lim eg(x)·ln[f (x)]
x→a
x→a
111
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
13.4
112
Vyuˇ zit´ı derivac´ı pro urˇ cov´ an´ı rovnice teˇ cen a rovnice norm´ aly
Vˇ eta 13.7 Teˇ cny a norm´ aly Necht’ funkce f ∈ C(ha; bi) a necht’ x0 ∈ (a; b), pak pro rovnici teˇcny τ funkce f v bodˇe x0 plat´ı τ : y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) a pro rovnici norm´aly η funkce f v bodˇe x0 plat´ı η : y = f (x0 ) −
1 f 0 (x
112
0)
(x − x0 )
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
13.5
113
Vyuˇ zit´ı derivac´ı pro aproximaci funkce polynomem - Taylor˚ uv polynom
Vˇ eta 13.8 Taylor˚ uv rozvoj funkce v bodˇ e Necht’ funkce f (x) m´a na intervalu ha, xi (x > a) spojit´e derivace aˇz do n-t´eho ˇr´adu a na intervalu (a, x) m´a spojitou derivaci n + 1-n´ıho ˇr´adu, pak lze funkci rozv´est v mocninou ˇradu Taylorova typu: f 00 (a) f (n) (a) f 0 (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n + Rn+1 1! 2! n! lze vyj´adˇrit napˇr´ıklad ve tvaru
f (x) = f (a) + kde zbytek Rn+1
Rn+1 =
f (n+1) (a + ϑ(x − a)) (x − a)n+1 , (n + 1)!
ϑ ∈ (0, 1)
Speci´alnˇe pro x = a + h plat´ı f 0 (a) f (n) (a) n f 00 (a) 2 h+ h + ... + h + Rn+1 . 1! 2! n! Speci´alnˇe pro a = 0 dostaneme Maclaurin˚ uv vzorec f (a + h) = f (a) +
f (x) = f (0) +
f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n (x) + (x) + . . . + (x) + Rn+1 1! 2! n!
Pˇr´ıklady Taylorov´ ych ˇrad x x2 • ex = 1 + + + . . ., 1! 2! • ax = 1 + • ln x =
pro |x| < +∞
x ln a (x ln a)2 + + . . ., 1! 2!
pro |x| < ∞, a > 0
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 − + − . . ., 1! 2! 3!
• ln (1 + x) = x −
pro 0 < x ≤ 2
x2 x 3 + − . . ., 2! 3!
pro −1 < x ≤ 1
x3 x5 + − . . ., 3! 5!
pro |x| < +∞
x2 x4 • cos x = 1 − + − . . ., 2! 4!
pro |x| < +∞
• sin x = x −
1 x3 1 3 x5 + + . . ., 2 3 24 5
pro |x| < 1
π 1 x3 1 3 x5 −x− − − . . ., 2 2 3 24 5
pro |x| < 1
• arcsin x = x + • arccos x =
• arctgx = x − • arccotgx =
x3 x5 + − . . ., 3 5
pro |x| ≤ 1
π x3 x5 −x+ − + . . ., 2 3 5
pro |x| ≤ 1
113
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 13 Vyuˇzit´ı derivace
114
Pˇr´ıklad: Taylor˚ uv rozvoj funkce f (x) = sin(x) v bodˇe x0 = 0 • f (x) = sin(x) • T1 (x) = x • T3 (x) = x −
1 3 x 3!
• T5 (x) = x −
1 3 1 5 x + x 3! 5!
114
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 14 Vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce
14 14.1
115
Vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce Z´ akladn´ı pojmy d˚ uleˇ zit´ e pro pr˚ ubˇ eh re´ aln´ e funkce f
Rostouc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≤ f (x2 ) Ostˇ re rostouc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) < f (x2 ) Klesaj´ıc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≥ f (x2 ) Ostˇ re klesaj´ıc´ı funkce , pokud pro x1 < x2 plat´ı f (x1 ) > f (x2 ) Konvexn´ı (ostˇ re konvexn´ı) funkce , pokud pro x1 < x < x2 plat´ı f (x) < Y , kde bod [x, Y ] je bod, kter´ y leˇz´ı na u ´seˇcce spojuj´ıc´ı body [x1 , f (x1 )] a [x2 , f (x2 )]. Tj. plat´ı Y = f (x1 ) +
f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) x2 − x1
Konk´ avn´ı (ostˇ re konk´ avn´ı) funkce , pokud pro x1 < x < x2 plat´ı f (x) > Y , kde bod [x, Y ] je bod, kter´ y leˇz´ı na u ´seˇcce spojuj´ıc´ı body [x1 , f (x1 )] a [x2 , f (x2 )]. Tj. plat´ı Y = f (x1 ) +
f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) x2 − x1
A - lok´ aln´ı maximum A = [xA ; yA = f (xA )] ∈ R2 - bod, ve kter´em je funkˇcn´ı hodnoty maxim´aln´ı. Funkce nab´ yv´a maximum v bodˇe xA a hodnota maxima (funkˇcn´ı hodnota v bodˇe maxima) je yA = f (xA ) Bod xA je bodem lok´aln´ıho maxima funkce f . B - lok´ aln´ı minimum B = [xB ; yB = f (xB )] ∈ R2 - bod, ve kter´em je funkˇcn´ı hodnoty minim´aln´ı. Funkce nab´ yv´a minima v bodˇe xB a hodnota minima (funkˇcn´ı hodnota v bodˇe minima) je yB = f (xB ) Bod xB je bodem lok´aln´ıho minima funkce f . C - inflexn´ı bod C = [xC ; yC = f (xC )] ∈ R2 - bod, kdy doch´az´ı ke zmˇenˇe chov´an´ı funkce z konvexn´ı funkce se stane funkce konk´avn´ı (nebo naopak). Bod xC je inflexn´ım bodem funkce f . D - nulov´ y bod D = [xD ; 0] ∈ R2 - bod, kdy graf funkce prot´ın´a osu x. Bod xD je nulov´ ym bodem funkce f , pokud f (xD ) = 0. E - p´ ol E = [xE ; ±∞] ∈ R2 - bod, kdy graf funkce diverguje do ±∞. Bod xE je p´olem funkce f , pokud lim f (x) = ∞ nebo lim f (x) = −∞. x→xE
x→xE
115
10. z´aˇr´ı 2010
ˇ KMA/ZM1 (Blanka Sediv´ a): 14 Vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce
14.2
116
Postup pˇ ri vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce
1. Najdu definiˇcn´ı obor funkce, pˇr´ıpadnˇe obor hodnot. 2. Rozhodnu, zda funkce nen´ı sud´a, lich´a nebo periodick´a. V takov´emto pˇr´ıpadˇe se omez´ıme pouze na ˇca´st definiˇcn´ıho oboru. 3. Urˇc´ım limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru (ve vlastn´ıch bodech urˇcuji limity zleva a zprava). 4. Urˇc´ım intervaly spojitosti a najdu body nespojitosti funkce a rozhodnu o druhu nespojitosti v dan´ ych bodech. 5. Urˇc´ım body, ve kter´ ych neexistuje prvn´ı derivace funkce a stacion´arn´ı body (body, ve kter´ ych je prvn´ı derivace rovna nule). 6. Najdu lok´aln´ı extr´emy funkce a urˇc´ım intervaly monot´onie: • pokud f 0 (x) > 0 pak funkce je rostouc´ı • pokud f 0 (x) < 0 pak je funkce klesaj´ıc´ı v dan´em intervalu 7. Urˇc´ım body, ve kter´ ych je druh´a derivace (a pˇr´ıpadn´e dalˇs´ı derivace) funkce rovny nula. Najdu inflexn´ı body a urˇc´ım intervaly konvexity a konk´avnosti. • pokud f 00 (x) > 0 pak funkce je konk´avn´ı • pokud f 00 (x) < 0 pak je funkce konvexn´ı v dan´em intervalu 8. Urˇc´ım rovnice asymptot. • Pokud v bodˇe x0 je alespoˇ n jedna z jednostrann´ ych limit nevlastn´ı, je pˇr´ımka x = x0 asymptota funkce f . • Pokud pro x → ∞ existuje pˇr´ımky y = kx + q takov´a, ˇze plat´ı f (x) =1 x→∞ kx + q
lim f (x) − (kx + q) = 0 a lim
x→∞
je pˇr´ımky y = kx + q asymptota funkce f v dobˇe ∞. f (x) =ka x→∞ x
Asymptota v bodˇe x0 = ∞ existuje pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı koneˇcn´e limity lim lim f (x) − kx = q
x→∞
9. Najdu funkˇcn´ı hodnoty ve vybran´ ych v´ yznamn´ ych bodech (lok´aln´ı extr´emy, inflexn´ı body, pr˚ useˇc´ıky s osou x a osou y, bode,ve kter´ ych neexistuje derivace) 10. Na z´akladˇe z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u naˇcrtnu graf
116
10. z´aˇr´ı 2010