RISIKO LINGKUNGAN, JUDGMENT-PROOF DAN TANGGUNG JAWAB KEUANGAN
FITRIANI KUSUMAWARDHANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
2
ABSTRACT FITRIANI KUSUMAWARDHANI. Environmental Risks, Judgment-Proof and Financial Responsibility. Under the direction of EFFENDI SYAHRIL and RETNO BUDIARTI. This paper studies about a condition where a firm must pay the environmental damages caused by its activities on production, but firm does not have sufficient wealth to maintain the damages. This is called the judgment-proof problem. Financial responsibility is one way to remedy the judgment-proof problem by taking financial guarantee which another party does it for the firm where both of guarantor and firm make a contract. Judgment-proof condition causes the firm may not take socially optimal level of prevention. In such case, in choosing a level of prevention without financial responsibility, the firm will take the lower level of prevention. Financial responsibility may achieve the social optimum and when it is attainable, then particular contract of the form reward or maximal penalty can be given to the firm.
3
ABSTRAK FITRIANI KUSUMAWARDHANI. Risiko Lingkungan, Judgment-Proof dan Tanggung Jawab Keuangan. Dibimbing oleh EFFENDI SYAHRIL dan RETNO BUDIARTI. Karya ilmiah ini mempelajari suatu kondisi dimana sebuah perusahaan diwajibkan membayar kerusakan lingkungan yang disebabkan aktivitas produksi yang dilakukan, namun perusahaan tidak memiliki kekayaan yang cukup untuk memperbaiki kerusakan tersebut. Hal ini disebut masalah judgment-proof. Tanggung jawab keuangan merupakan salah satu penyelesaian masalah judgment-proof dengan mengambil bentuk jaminan keuangan yang dilakukan pihak lain untuk perusahaan dimana perusahaan dan penjamin melakukan perjanjian. Kondisi judgment-proof menyebabkan perusahaan tidak dapat mengambil suatu tingkat pencegahan optimal sosial. Sehingga, dalam memilih tingkat pencegahan tanpa tanggung jawab keuangan, perusahaan akan mengambil tingkat pencegahan yang lebih rendah. Tanggung jawab keuangan dapat mencapai tingkat pencegahan optimal sosial dan ketika tingkat pencegahan tersebut dapat tercapai, maka bentuk kontrak khusus yakni pemberian penghargaan atau hukuman maksimal dapat diberikan kepada perusahaan.
4
RISIKO LINGKUNGAN, JUDGMENT-PROOF DAN TANGGUNG JAWAB KEUANGAN
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: FITRIANI KUSUMAWARDHANI G54104058
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS METEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
5
Judul
:
Nama NRP
: :
Risiko Lingkungan, Judgment-Proof dan Tanggung Jawab Keuangan Fitriani Kusumawardhani G54104058
Menyetujui: Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. NIP. 131 804 163
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 131 842 409
Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Drh. Hasim, DEA. NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus:
6
KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas karunia yang tak pernah terputus sehingga karya ilmiah yang berjudul Risiko Lingkungan, Judgment-Proof dan Tanggung Jawab Keuangan dapat penulis selesaikan. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah untuk suri tauladan kita nabi besar Muhammad SAW, keluarga, sahabat, dan para pengikutnya sampai akhir zaman. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Bapak Effendi Syahril, dan Ibu Retno Budiarti atas ilmu, kesabaran, arahan, dan saran selama penulis melakukan bimbingan tugas akhir, serta kepada Bapak Donny Citra Lesmana yang telah bersedia menjadi dosen penguji pada sidang tugas akhir. Terima kasih pula untuk seluruh dosen Departemen Matematika atas ilmu yang telah diberikan, staf dan karyawan Departemen Matematika atas bantuannya selama ini. Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk Ayah, Mama, dan kedua adik, Uthie dan Agam. Terima kasih untuk Mama dan Ayah, karena telah memberikan cinta dan kasih sayang dari penulis kecil hingga hari-hari berikutnya; terima kasih atas ilmu tentang hidup dan semua kisah berharga juga doa dan motivasi; terima kasih atas segala hal yang tidak mungkin terbalaskan oleh anak nakal ini. Terima kasih untuk Uthie dan Agam yang telah menjadi salah satu inspirasi penulis. Terima kasih untuk keluarga besar penulis: eyang, pak de dan bu de, om dan tante juga sepupusepupu. Terima kasih atas doa dan dukungannya. Jane, Idhun, dan Dika, terima kasih telah menjadi pembahas di seminar penulis, semoga bermanfaat. Teman-teman di Pondok Kemuning: Ety, Tupingho, Putri, Tia, Rina, Yeyen, Tities, terima kasih untuk kebersamaan yang berharga. Teman-teman Matematika 41: Echi – teman seperjuangan penulis yang sangat gigih, Rome, Kurenz, More, Fariz, Fredo, Adjie, Ria, Udin, Iboy, Great, Enny, Rite, Inyonk, Endit, Sita, Penoy, Ayu, Deedee, Ani, Armi, LiaY, Enje, Mukti, Ika, Syifa, Mahar, Jali, Nidia, Enyon, Uwie, Eeph, Roro, Iyank, LiaM, Elly, Maryam, Darwisah, Rizul, Yeni, Amin, Chumy, Racil, Mabox, Idris, Yaya, Triyadi, Denny, Chubby, Mimin, Mazid, Yos, Hendri. Kalian membuat hari-hari penulis di Bogor menjadi penuh warna dan bermakna. Terima kasih banyak! Terima kasih penulis untuk Eyyi dan Niken (math 42) atas bantuannya dalam memecahkan rumus dan pinjaman bukunya, Kak Gianto (FE UI) yang telah membagi pengetahuannya seputar istilah-istilah ekonomi dan akuntansi. Kak Nunung, Si Laki-laki Drama, terima kasih telah menjadi sosok sahabat sekaligus kakak bagi penulis. Nasihat-nasihatmu akan sangat berguna dan semoga kakak selalu tersenyum lepas. Terima kasih juga untuk Kejogja: Yola, Ismi, Esty, Pandha, Lele, Pipa, Pempem, dan yang menemani penulis di IPB, Oechi dan Dina. Kalian tempat berbagi banyak hal yang berharga. Inez, Dewi, Dini, Bawon, Pute, Indra, Iqbal, Gerry, Anggoy, Ican, terima kasih banyak, semangat selalu! Wuland, terima kasih telah mendengarkan cerita-cerita penulis dari tingkat satu. Terima kasih untuk Tuan Poetry atas tulisan-tulisannya yang indah, semoga suatu hari bertemu lagi. Terima kasih untuk kakak-kakak kelas dan adik-adik matematika angkatan 42 dan 43, serta semua pihak yang turut membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhirnya.
Bogor, Juni 2008
Fitriani Kusumawardhani
7
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 24 November 1986 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara. Orang tua penulis adalah Bapak Yuzar Yusuf dan Ibu Endang Kusuma Dewi. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN Joglo 01 Pagi pada tahun 1998. Kemudian, penulis melanjutkan pendidikan ke SLTPN 75 Jakarta Barat hingga tahun 2001. Tahun 2004, penulis berhasil menyelesaikan pendidikan di SMUN 65 Jakarta Barat dan di tahun yang sama diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Selama di bangku perkuliahan, penulis aktif mengikuti berbagai organisasi dan kegiatan mahasiswa. Organisasi yang pernah penulis ikuti antara lain: Badan Eksekutif Mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (BEM TPB) periode 2004/2005 sebagai staf Departemen Informasi dan Komunikasi, Dewan Perwakilan Mahasiswa FMIPA (DPM FMIPA) periode 2005/2006 sebagai sekretaris Komisi Minat dan Bakat (KMB), Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) periode 2006/2007 sebagai sekretaris Departemen Pengembangan Sumberdaya Mahasiswa (PSDM). Penulis juga aktif di berbagai kepanitiaan kegiatan mahasiswa, antara lain: Liga Futsal dan Bola Basket tahun 2005, Seminar Sains tahun 2006, Welcome Ceremony Mathematics tahun 2007, Ramah Tamah Civitas Matematika 2007.
8
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................. viii PENDAHULUAN ......................................................................................................................... Latar Belakang ......................................................................................................................... Tujuan ...................................................................................................................................... Sistematika Penulisan ..............................................................................................................
1 1 2 2
LANDASAN TEORI ..................................................................................................................... Peluang ..................................................................................................................................... Kalkulus ................................................................................................................................... Pengoptimuman .......................................................................................................................
2 2 3 4
PEMBAHASAN ............................................................................................................................ Pilihan Optimal Perusahaan tanpa Tanggung Jawab Keuangan .............................................. Tanggung Jawab Keuangan .....................................................................................................
4 5 6
SIMPULAN ...................................................................................................................................
9
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................... 10
9
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Tingkat Pencegahan Optimal Sosial ......................................................................... 12 Lampiran 2. Tingkat Pencegahan Optimal Perusahaan ................................................................. 13 Lampiran 3. Bukti Lema 3 ............................................................................................................. 15 Lampiran 4. Bukti Lema 4 ............................................................................................................. 16 Lampiran 5. Bukti Lema 5 ............................................................................................................. 19 Lampiran 6. Bukti Lema 6 ............................................................................................................. 20 Lampiran 7. Bukti Proposisi 1 ....................................................................................................... 24 Lampiran 8. Bukti Proposisi 2 ....................................................................................................... 25 Lampiran 9. Bukti Lema 7 ............................................................................................................. 26 Lampiran 10. Bukti Proposisi 3 ..................................................................................................... 27
viii
10
PENDAHULUAN perusahaan, maka perusahaan yang tidak memiliki kekayaan cukup untuk mengganti kerusakan disebut perusahaan judgment-proof dan perusahaan ini menjadi perusahaan yang berisiko menimbulkan kerusakan atau pencemaran. Pada kasus kerusakan lingkungan, hal yang mungkin terjadi adalah ketika kekayaan perusahaan ini lebih sedikit daripada biaya ganti rugi dan biaya pembersihan kerusakan. Terdapat banyak kebijakan untuk mengurangi masalah judgment-proof. Salah satunya adalah perpanjangan liabilitas bagi kelompok-kelompok yang memiliki hubungan kontraktual dengan perusahaan berisiko. Kelompok-kelompok ini adalah pihak yang memberikan pinjaman bagi perusahaan. Tanggung jawab keuangan merupakan cara lain memperbaiki masalah judgment-proof. Rezim tanggung jawab keuangan mengharuskan perusahaan menunjukkan bahwa biaya atas kerusakan yang timbul dapat ditutupi oleh perusahaan. Salah satu elemen tanggung jawab keuangan adalah kontrak asuransi. Asuransi liabilitas yang diwajibkan menyebabkan tingkat pencegahan yang efisien hanya jika pengasuransi mampu mengamati tingkat pencegahan yang dilakukan perusahaan. Dalam tulisan ini diperiksa bagaimana alokasi optimal secara sosial dapat dilakukan melalui tanggung jawab keuangan ex ante dan undang-undang liabilitas ex post. Tulisan ini tidak membatasi analisis pada kontrak asuransi, tapi pada analisis kontrak garansi keuangan. Kemudian dilakukan analisis konsekuensi tanggung jawab keuangan pada dorongan untuk melakukan pencegahan dalam konteks informasi asimetris dimana tingkat pencegahan yang dilakukan perusahaan tidak teramati oleh pengasuransi dan menunjukkan bahwa alokasi terbaik mungkin dapat tercapai. Hal ini mengikuti fakta bahwa tingkat kerusakan menandakan tingkat pencegahan yang diambil perusahaan dan dapat digunakan untuk menyusun kontrak optimal. Namun dalam pembahasan ini tindakan-tindakan pencegahan tidak hanya menyangkut disutilitas bagi perusahaan tapi juga mengurangi dana yang tersedia untuk biaya ganti rugi dan pembersihan. Karya ilmiah ini adalah rekonstruksi dari jurnal Bidénam Kambia-Chopin (2007) yang
Latar Belakang Kasus pencemaran dan kerusakan lingkungan hidup saat ini sebagian besar bersumber dari perilaku manusia yang melakukan eksploitasi lingkungan demi mendapatkan keuntungan ekonomis. Pencemaran dan kerusakan yang terjadi di laut, hutan, atmosfer, air, dan tanah merupakan akibat dari perbuatan manusia yang mementingkan diri sendiri. Contoh konkret di Indonesia adalah pencemaran yang ditimbulkan PT Freeport di Papua. Pencemaran tersebut disebabkan perilaku perusahaan yang tidak bertanggung jawab. (Keraf 2002) Kegiatan perekonomian sering melupakan eksistensi lingkungan. Para pelaku ekonomi menjalankan aktivitas perekonomian mereka tanpa mengimbanginya dengan kesadaran menjaga lingkungan. Kenyataan melupakan kelestarian lingkungan ini telah menyebabkan banyak kerugian. Tentu saja yang akan merasakan dampaknya adalah manusia itu sendiri. Karya ilmiah ini mengaitkan masalah kerusakan lingkungan dengan perusahaan yang memiliki kemungkinan menyebabkan kerusakan akibat kegiatan produksi yang dilakukan. Perusahaan harus bertanggung jawab atas kerusakan tersebut. Namun untuk membayar ganti rugi kerusakan yang terjadi, perusahaan tidak memiliki kekayaan yang cukup. Oleh karena itu, perusahaan membutuhkan pihak lain untuk membantu menyelesaikan masalah ganti rugi tersebut. Pihak ini dapat kita sebut sebagai penjamin. Di negara-negara industri seperti Kanada, Amerika, dan Eropa, undang-undang liabilitas (kewajiban) merupakan alat penting bagi manajemen risiko. Undang-undang liabilitas akan menimbulkan insentif yang tepat bagi pencegahan risiko jika dan hanya jika informasi yang ada bersifat simetris (diketahui secara umum) dan pihak yang berpotensi menyebabkan kerusakan memiliki kekayaan yang cukup untuk membayar liabilitasnya. Ketika kekayaan pihak perusak tidak cukup untuk membayar liabilitas ex post (setelah kejadian), hal ini akan mengakibatkan keterbatasan perawatan ex ante (sebelum kejadian). Dalam hal ini, pihak perusak yang tidak memiliki kekayaan cukup untuk mengganti kerusakan disebut judgment-proof. Kita anggap pihak perusak adalah suatu
2
berjudul Environmental Risks, JudgmentProof Problem and Financial Responsibility.
Sistematika Penulisan Tulisan ini terdiri atas empat bab. Pada bab pertama dijelaskan latar belakang masalah dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang digunakan sebagai alat bantu penyelesaian masalah dalam pembahasan. Bab ketiga adalah pembahasan masalah yang berupa pilihan optimal perusahaan tanpa tanggung jawab keuangan dan pilihan optimal dengan tanggung jawab keuangan itu sendiri sebagai fokus permasalahan. Bab keempat berisi kesimpulan dari karya tulis ini.
Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk memperlihatkan rezim tanggung jawab keuangan dapat mencapai tingkat optimal sosial dan menunjukkan saat hasil optimal secara sosial tercapai, bentuk kontrak khusus dapat diberikan kepada perusahaan.
LANDASAN TEORI (Hogg & Craig 1995)
Dalam bagian ini dijelaskan konsepkonsep dasar matematis yang digunakan untuk membantu penyelesaian masalah dalam pembahasan.
Definisi 5 [Ukuran Peluang] Jika P ( A ) adalah peluang dari kejadian A ,
dan jika: 1. P ( A ) ≥ 0 ,
Peluang
2. P ( A1 ∪ A2 ∪ ...) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ...
Definisi 1 [Percobaan Acak] Dalam suatu percobaan seringkali terjadi pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. (Hogg & Craig 1995)
dimana Ai , i = 1, 2,3,... dan Ai ∩ Aj = ∅ ,
i≠ j, 3. P ( Ω ) = 1 , maka P disebut ukuran peluang dari himpunan A. (Hogg & Craig 1995)
Definisi 6 [Peubah Acak] Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω . Suatu peubah acak X adalah suatu X :Ω → R dengan sifat fungsi {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈F untuk setiap x ∈ R .
Definisi 2 [Ruang Contoh dan Kejadian] Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . (Grimmett & Stirzaker 1992)
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 3 [Medan- σ ] Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω , yang memenuhi kondisi berikut: 1. ∅ ∈F , 2. Jika A1 , A2 ,... ∈F , maka
Definisi 7 [Fungsi Sebaran] Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi F : R → [ 0,1] dinyatakan oleh
F ( x) = P ( X ≤ x) (Grimmett & Stirzaker 1992)
∞
∪ A ∈F , i
Lema 1 [Sifat-sifat Fungsi Sebaran] Fungsi sebaran memiliki sifat-sifat berikut: 1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 karena 0 ≤ P ( X ≤ x ) ≤ 1 ,
i =1
3. Jika A ∈ F , maka A ∈F . (Grimmett & Stirzaker 1992) c
2. Jika x < y , maka F ( x ) ≤ F ( y ) ,
Definisi 4 [Peluang suatu Kejadian] Misalkan Ω adalah ruang contoh. Suatu kejadian A merupakan himpunan bagian dari Ω , maka P ( A ) disebut peluang dari suatu
3.
lim F ( x ) disimbolkan oleh F ( −∞ ) dan
x →−∞
lim F ( x ) x →∞
disimbolkan
F ( −∞ ) = 0 dan F ( ∞ ) = 1 .
kejadian A .
oleh
F (∞) .
3
4. F ( x ) kontinu kanan.
Kalkulus
(bukti lihat Hogg & Craig 1995)
Definisi 13 [Kemonotonan] Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I, maka: 1. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I,
Definisi 8 [Fungsi Kepekatan Peluang] Suatu peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebaran F ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat
dinyatakan sebagai
F ( x) = ∫
x
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
f ( u ) du
f : R → [ 0,1] fungsi yang
2. f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan dan dalam I, x1 x2
terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X. (Grimmett & Stirzaker 1992)
3. f tak turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I,
−∞
x ∈ R , dengan
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .
Definisi 9 [Fungsi Sebaran Kumulatif] Jika F ( x ) merupakan akumulasi dari semua
nilai peluang
{ X ≤ x} ,
4. f tak naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I,
maka F ( x ) disebut
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .
fungsi sebaran kumulatif dari X . Jika X adalah peubah acak kontinu, maka FX ( x ) = ∫
x
−∞
(Purcell & Varberg 1987)
f X ( u ) du .
Lema 2 [Lema Kemonotonan] Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. 1. Jika f ' ( x ) > 0 untuk semua titik dalam x
(Ghahramani 2005) Definisi 10 [Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu] Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f, maka nilai harapan dari X adalah
dalam I, maka f naik pada I. 2. Jika f ' ( x ) < 0 untuk semua titik dalam x dalam I, maka f turun pada I. Namun, 1. Jika f ' ( x ) ≥ 0 untuk semua titik dalam x
∞
E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx . −∞
Asalkan integral tersebut ada. (Grimmett & Stirzaker 1992)
dalam I, maka f tak turun pada I. 2. jika f ' ( x ) ≤ 0 untuk semua titik dalam x
Definisi 11 [Fungsi Sebaran Bersyarat] Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f ( x y ) adalah fungsi kepekatan peluang
dalam I, maka f tak naik pada I. (Purcell & Varberg 1987) Definisi 14 [Fungsi Konveks] Fungsi f dikatakan fungsi konveks pada selang I jika dan hanya jika f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
bersyarat dari X dengan syarat Y = y, maka fungsi sebaran bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah F ( x y) = P ( X ≤ x Y = y) = ∫
x
−∞
f ( t y ) dt
untuk setiap x1 , x2 ∈ I dan 0 ≤ λ ≤ 1 . Jika f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) < λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
(Ghahramani 2005) Definisi 12 [Nilai Harapan Bersyarat] Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f ( x y ) adalah fungsi kepekatan peluang
untuk setiap x1 , x2 ∈ I , x1 ≠ x2 dan 0 < λ < 1 , maka f dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly convex). (Peressini et al 1988)
bersyarat dari X dengan syarat Y = y, maka nilai harapan bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah ∞
E ( X Y = y ) = ∫ xf ( x y ) dx
Definisi 15 [Fungsi Konkaf] Fungsi f dikatakan fungsi konkaf pada selang I jika dan hanya jika f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≥ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
−∞
(Ghahramani 2005)
untuk setiap x1 , x2 ∈ I dan 0 ≤ λ ≤ 1 .
4
a) Mencari semua nilai x, y, z, dan λ sedemikian sehingga ∇f ( x, y , z ) = λ ∇ g ( x, y , z ) dan
Jika f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) > λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) untuk setiap x1 , x2 ∈ I , x1 ≠ x2 dan 0 < λ < 1 , maka f dikatakan fungsi konkaf sempurna (strictly concave). (Peressini et al 1988)
g ( x, y , z ) = k .
b) Menghitung f di semua titik ( x, y, z ) yang dihasilkan dari a). Yang terbesar di antara nilai-nilai ini adalah nilai maksimum f, yang terkecil adalah nilai minimum f. Jika kita menuliskan persamaan vektor ∇f = λ∇g dalam bentuk komponennya, maka persamaan dalam langkah a) menjadi: f x = λ g x , f y = λ g y , f z = λ g z , g ( x, y , z ) = k .
Pengoptimuman Metode Pengali Lagrange Untuk mencari nilai maksimum atau minimum f ( x, y , z ) terhadap kendala g ( x, y, z ) = k (dengan anggapan bahwa nilai
(Stewart 1999)
ekstrim ada):
PEMBAHASAN Pertumbuhan ekonomi meningkat karena adanya kegiatan industri, namun di satu sisi industri juga merupakan salah satu sumber pencemaran lingkungan. Pencemaran dan kegiatan lainnya dapat menjadi ancaman bagi kesehatan masyarakat. Masalah pencemaran akan semakin banyak terjadi di masa depan, sehingga diperlukan upaya-upaya untuk mencegah atau meminimisasi dampak yang timbul. Strategi pembangunan yang berkonsentrasi di sektor industri perlu didukung oleh perangkat kebijakan lingkungan yang memadai, sehingga tidak akan menimbulkan biaya tinggi terhadap kelanjutan pertumbuhan ekonomi maupun sosial. Salah satu cara untuk dapat terus mendukung strategi pertumbuhan ekonomi tersebut adalah dengan menerapkan konsep asuransi lingkungan. Pada prinsipnya, asuransi lingkungan sama dengan asuransi umum, yaitu suatu pengalihan risiko dari seseorang atau badan usaha ke jasa asuransi. Asuransi ini akan dapat berjalan apabila badan usaha yang berpotensi mengalami risiko mencemari lingkungan mau mentransfer risiko dan mengumpulkan risiko (risk pooling) tersebut kepada usaha jasa asuransi yang bergerak di bidang asuransi lingkungan. Mekanisme pelaksanaannya adalah dengan menyerahkan sejumlah uang sebagai premi, sehingga risiko kerugian secara moneter yang mungkin mereka alami akan lebih kecil. Salah satu pelaksanaan asuransi lingkungan ini adalah dengan cara menerapkan konsep pemindahan risiko (risk transfer), dimana suatu usaha jasa asuransi menjamin beberapa atau semua risiko yang
mungkin dihadapi oleh suatu industri sesuai dengan premi yang dibayarkan. Pada praktiknya, dapat dianalogikan dengan asuransi kerugian, akan tetapi dalam hal ini yang diasuransikan adalah risiko tercemar atau rusaknya lingkungan yang diakibatkan oleh suatu industri. Konsep asuransi lingkungan lain yang mungkin diterapkan adalah menyisihkan dana sebagai simpanan apabila terjadi suatu risiko, seperti misalnya pencemaran yang sudah diketahui risiko serta upaya pembersihan dan pertanggungjawabannya. Secara umum, prinsip ini dikenal sebagai konsep pembiayaan risiko (risk funding). Cara ini memungkinkan jaminan pada industri untuk menangani risiko yang tidak dapat ditangani program pemindahan risiko. Konsep asurasi lingkungan ini memberikan manfaat bagi kegiatan industri. Dengan mengeluarkan dana (premi) yang relatif kecil, suatu industri dapat menangani pengelolaan maupun penanganan risiko kerusakan lingkungan yang membutuhkan dana tidak sedikit. Dengan terkumpulnya dana untuk pengelolaan lingkungan pada suatu usaha jasa asuransi, suatu industri dapat membangun unit pengelolaan limbah, sehingga upaya pengelolaan limbah dapat lebih ditingkatkan. Asuransi lingkungan akan dapat membantu pihak industri dalam menyediakan dana yang dapat digunakan untuk menghadapi risiko pencemaran atau kerusakan lingkungan serta tuntutan ganti rugi dari pihak atau masyarakat yang dicemari. (Elviera Putri 2002) Karya ilmiah ini berupaya memodelkan suatu masalah yang berkaitan dengan asuransi
5
lingkungan tersebut. Beberapa asumsi digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah ini. Misalkan perusahaan menghasilkan laba kotor tak acak dan menimbulkan kerusakan lingkungan acak. Perusahaan tersebut dapat memperbaiki sebaran kerusakannya dengan melakukan investasi pada tindakan pencegahan di awal periode dan langkahlangkah keselamatan selama proses produksi berlangsung. Di akhir periode, hanya kerusakan dan sumber daya bersih perusahaan atas biaya pencegahan yang dapat teramati. Tambahan pula, kekayaan perusahaan diasumsikan lebih rendah daripada jumlah kerusakan tertinggi yang ditimbulkan aktivitas perusahaan. Syarat perlu dan cukup disusun sebagai implementasi alokasi optimal sosial meskipun terjadi moral hazard ketika perusahaan diminta untuk menutupi jumlah kerusakan tertinggi. Bagian ini juga memperlihatkan kumpulan kontrak yang mengimplementasikan tingkat pencegahan optimal secara sosial termasuk kontrak khusus, yaitu pemberian penghargaan (reward) atau hukuman maksimal (maximal penalty) yang dekat dengan alternative risk transfer product yang menunjuk ke spread loss treaty.
pada tingkat kerusakan yang lebih rendah relatif lebih mungkin terjadi jika tingkat pencegahan yang lebih tinggi telah dilakukan. Asumsi ini menyatakan stochastic dominance orde pertama: ∀ ∈ [ 0, L ] , Fe ( e ) > 0 . Selain itu Fe ( 0 e ) = Fe ( L e ) = 0 .
Biaya pencegahan strictly convex terhadap e. Asumsi 4: Jika jumlah kerusakan sangat tinggi, aset-aset perusahaan mungkin tidak cukup untuk biaya ganti rugi kerusakan; maka perusahaan akan mengalami kebangkrutan. Asumsikan bahwa tidak ada tingkat diskonto sehingga nilai bersih perusahaan tanpa melakukan investasi pada pencegahan yang dinotasikan dengan π adalah R + P . Asumsi liabilitas terbatas ini dapat ditulis sebagai: L >π (1) Tingkat pencegahan optimal dari sudut pandang perusahaan diberikan oleh penjelasan berikut. Kriteria kesejahteraan sosial diasumsikan sebagai minimisasi dari biaya sosial total yang merupakan jumlah kerusakan yang diharapkan dan biaya pencegahan. Diasumsikan bahwa pemerintah (regulator) mengamati tingkat pencegahan. Tingkat pencegahan optimal sosial dinotasikan dengan e∗ . Sehingga, e∗ merupakan tingkat pencegahan yang meminimumkan biaya sosial total, dengan kata lain hal tersebut merupakan solusi dari masalah berikut:
Pilihan Optimal Perusahaan tanpa Tanggung Jawab Keuangan Misalkan suatu perusahaan yang netral terhadap risiko menghasilkan laba tetap P dan menimbulkan kemungkinan kerusakan lingkungan ∈ [0, L] . Perusahaan tersebut dapat memperbaiki sebaran kerusakan dengan melakukan investasi pada pencegahan di awal periode dan langkah-langkah keselamatan selama proses produksi berlangsung; dua ukuran ini dinotasikan oleh variabel pencegahan tunggal e. Akan tetapi, ketika perusahaan melakukan tingkat pencegahan e maka terjadi pengurangan risiko yang membutuhkan biaya c(e). Asumsikan perusahaan memiliki kekayaan awal (ekuitas) R. Kekayaan tersebut digunakan sebagian untuk menutupi biaya yang dikeluarkan karena melaksanakan langkah-langkah pencegahan. Diberikan f ( e ) dan F ( e ) sebagai fungsi kepekatan
Min ∫ e
L
0
f
(
e) d + c (e)
Masalah minimisasi tersebut diturunkan terhadap e dan dengan tingkat pencegahan sosial e∗ , diperoleh: ce ( e∗ ) = − ∫
L
0
fe
(
∗
)
e d
Kemudian integralkan ruas kanan terhadap dan dengan Fe ( 0 e ) = Fe ( L e ) = 0 dari Asumsi 1, akan diperoleh: ce ( e∗ ) = ∫ Fe L
0
(
∗
)
e d
(2)
(bukti lihat Lampiran 1)
dan fungsi sebaran dari kerusakan dan diasumsikan hal-hal berikut: f ( e) Asumsi 1: ∀e, f ( e ) > 0, e fungsi f ( e) turun terhadap
∀ ∈ [ 0, L ] , Fee ( e ) < 0 .
2:
Asumsi
Fungsi sebaran strictly concave terhadap e. Asumsi 3: ce ( e ) > 0 dan cee ( e ) > 0 .
Ruas kiri menggambarkan biaya marjinal sosial yang diharapkan untuk tindakan pencegahan. Sedangkan ruas kanan adalah keuntungan marjinal sosial yang diharapkan dalam hubungannya dengan perbaikan sebaran kerusakan. Sehingga dapat dikatakan
. Hal ini berarti pengamatan
6
bahwa pada tingkat pencegahan optimal sosial e∗ , biaya marjinal pencegahan yang diharapkan sama dengan keuntungan marjinal pencegahan yang diharapkan. Untuk masalah minimisasi ini, kondisi orde kedua juga dipenuhi. Kondisi orde kedua diperoleh dari penurunan kondisi orde pertama terhadap tingkat pencegahan e dan dengan memperhitungkan Fee ( e ) < 0 dan
ce ( eP ) F ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦ = ∫
0
L
Lema 3 Sebuah perusahaan judgment-proof tidak selalu memilih tingkat pencegahan suboptimal. (bukti lihat Lampiran 3)
∗
0
Sehingga e∗ merupakan tingkat pencegahan optimal yang meminimumkan masalah minimisasi tersebut. Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan pendapatan bersih yang sama dengan jumlah laba dan ekuitas dikurangi pembayaran liabilitas yang diharapkan (biaya ganti rugi dan pembersihan). Perusahaan hanya mampu membayar penuh atas aset-aset yang dimilikinya. Karena itu, perusahaan memilih menyelesaikan masalah berikut: Maks π − c ( e ) − ∫
π −c(e)
0
e
(
f
Pada tingkat pencegahan optimal perusahaan, keuntungan marjinal pencegahan yang diharapkan sama dengan biaya marjinal yang diharapkan. Keuntungan marjinal perusahaan yang diharapkan lebih rendah daripada keuntungan marjinal sosial yang diharapkan. Hal ini disebabkan oleh internalisasi sebagian kerusakan lingkungan yang dilakukan perusahaan. Selain itu, biaya marjinal pencegahan perusahaan juga lebih rendah daripada sosial karena dana yang diinvestasikan pada pencegahan tidak tersedia untuk membayar ganti rugi dan pembersihan. Sebagai akibatnya, tingkat pencegahan optimal perusahaan bisa menjadi lebih rendah atau lebih tinggi daripada tingkat pencegahan optimal sosial, tergantung dari efek mana yang dominan. Bagaimanapun, kondisi judgment-proof suatu perusahaan akan menghasilkan perbaikan sebagian kerusakan.
e) d
− ⎣⎡1 − F (π − c ( e ) ) ⎦⎤ ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦
⇔ Maks F (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ e
−∫
π −c(e)
0
⇔ Maks ∫ e
f
(
π −c(e)
0
e) d
F ( e) d
Jika solusi tingkat pencegahan optimal perusahaan untuk masalah di atas dinotasikan dengan e P , maka e P akan menyelesaikan kondisi orde pertama. Masalah maksimisasi tersebut diturunkan terhadap e dan dengan tingkat pencegahan optimal e P akan diperoleh hasil sebagai berikut: −ce ( eP ) F ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦ + Fe ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦ ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦ −∫
( )
π −c eP
0
Tanggung Jawab Keuangan Dalam subbab ini, akan dilakukan analisis rezim hybrid (rezim campuran) dari regulasi ex ante melalui ketentuan-ketentuan tanggung jawab keuangan dan liabilitas ex post. Tanggung jawab keuangan menggunakan bantuk jaminan yang diberikan oleh kelompok yang memiliki “deep-pockets” atau kelompok yang memiliki kekayaan lebih banyak. Sehingga rezim hybrid dapat dipandang sebagai rezim liabilitas yang dilakukan penjamin untuk perusahaan dimana keduanya bekerja sama. Biasanya, para korban kerusakan lingkungan meminta ganti rugi pada penjamin karena memiliki kekayaan lebih banyak. Diasumsikan perusahaan yang netral terhadap risiko (agent) dan penjaminnya yang juga netral terhadap risiko (principal) bertanggung jawab bersama dan penjamin
fe ( eP ) d = 0
⇔ ce ( eP ) F ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦ = −∫
( )
π −c eP
0
(3)
Oleh karena itu, syarat perlu dipenuhi dan diketahui bahwa fungsi sebaran adalah strictly concave. Sehingga e P merupakan tingkat pencegahan optimal yang memaksimumkan masalah maksimisasi di atas. Maka, diperoleh hasil berikut:
cee ( e ) − ∫ Fee ( e ) d > 0 ∗
Fe ( eP ) d
(bukti lihat Lampiran 2)
cee ( e ) > 0 dari asumsi 2 dan asumsi 3,
maka:
( )
π − c eP
fe ( eP ) d
+ Fe ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦ ⎡⎣π − c ( eP ) ⎤⎦
Kemudian integralkan bagian pertama dari . Dari asumsi 1 ruas kanan terhadap Fe ( 0 e ) = Fe ( L e ) = 0 , maka diketahui menghasilkan:
7
akan membayar ganti rugi kerusakan yang ditimbulkan perusahaan. Agent akan memilih tingkat pencegahan, oleh karena itu biaya yang dikeluarkan oleh agent atas pencegahan yang diambil tak teramati oleh principal. Tetapi, jumlah kerusakan dan sumber daya bersih perusahaan pada akhir waktu akan teramati. Urutan model yang berlaku adalah sebagai berikut. Pertama, perusahaan dan penjaminnya menandatangani kontrak dengan state-contingent-payments mencantumkan dimana perusahaan harus melakukan pembayaran tersebut kepada penjaminnya. Kedua, perusahaan memilih tingkat pencegahan dan menanggung biaya tingkat pencegahan yang tak teramati oleh penjamin. Kemudian, laba tercapai dan kerusakan timbul dan akhirnya pembayaran dilakukan kepada penjamin. Diasumsikan pula bahwa penjamin memiliki seluruh kekuasaan kesepakatan dan tujuan penjamin adalah memaksimumkan labanya. Jika t ( ) merupakan pembayaran yang
Setiap tingkat utilitas dinyatakan seperti di bawah ini: L
u = π − c (e) − ∫ t (
L
t ( ); e
0
)− ) f (
L
∫ t( ) f ( 0
L
0
t(
) ≤ π − c (e) t( ) ≥ B ∀ L
−ce ( e ) − ∫ t ( 0
)f(
adalah
∀
) fe (
∫ (t ( ) − ) f ( e) d L
(8.1)
. Fungsi tujuan
0
L
∫ t( ) f ( 0
Dari (8.1) penjamin:
/ e) d − ∫
L
f
0
diperoleh L
π − c (e) − u − ∫ f 0
(
/ e) d
fungsi
(
objektif
/ e) d
Dari (5) dan (6), didapatkan: L
π − c (e) ≥ ∫ t (
) f ( / e) d 0 ≤ u ≤ π − c (e) − B . 0
sehingga
≥ B,
Sebagai akibatnya, eksistensi skema transfer yang memeriksa (4), (5), dan (6) menyatakan bahwa utilitas perusahaan terbatas pada: u ∈ ⎡⎣ u , π − c ( e ) − B ⎤⎦ . Fungsi objektif principal hanya bergantung pada transfer yang diharapkan (oleh u). Oleh karena itu, semua solusi yang memenuhi kendala insentif agent dan memiliki nilai harapan yang sama ekivalen dari sudut pandang principal. Namun, eksistensi solusi seperti itu tidak dijamin. Jika masalah tersebut tidak memuat solusi, maka tidak mungkin melaksanakan tingkat pencegahan e dan tingkat utilitas u. Sehingga diperlukan penggolongan kondisikondisi dimana P1 memuat solusi untuk u dan e. Asumsikan u ∈ ⎡⎣ u , π − c ( e ) − B ⎤⎦ .
(4) (5) (6)
/ e) d = 0
/ e) d = π − c (e) − u
tersebut jika diuraikan menjadi:
e) d ,
/ e) d ≥ u , u ≥ 0
(8)
Diketahui bahwa fungsi tujuan penjamin
dengan kendala:
π − c (e) − ∫ t (
/ e) d
Maka,
dibuat perusahaan saat kerusakan adalah (transfer), maka problem penjamin (P1) dapat ditulis sebagai berikut: Maks ∫ ( t (
)f(
0
perusahaan
(7)
Diasumsikan laba penjamin bernilai positif sebagai solusi untuk masalah P1. u adalah utilitas perusahaan tanpa melakukan kontrak dengan penjamin. B adalah bonus bagi perusahaan. Kendala (4) menyatakan kendala keikutsertaan perusahaan dan menggambarkan jaminan keuangan harus menghasilkan pendapatan yang diharapkan sekurangkurangnya sama dengan utilitas perusahaan tanpa melakukan kontrak. Kendala (5) menyatakan kendala liabilitas perusahaan yang terbatas. Kendala (6) menggambarkan kenyataan bahwa transfer terbatas di bawah dan kemungkinan apabila suatu perusahaan dapat diberi penghargaan. Kendala (7) adalah kendala kesesuaian insentif yang menggambarkan perilaku optimal perusahaan dalam memilih tingkat pencegahan.
Langkah pertama analisis yang kita lakukan adalah menyusun kondisi dimana kendala (7) terpenuhi. Misalkan himpunan transfer yang dapat diterima ℑ = {t ( ) | B ≤ t ( ) ≤ π − c ( e ) ∀ } . Definisikan: L
G ⎡⎣t (.) ⎤⎦ = ∫ t ( 0
L
m = min ∫ t ( t ( )∈ℑ 0
L
M = maks ∫ t ( t ( )∈ℑ
0
) fe (
/ e) d
) fe (
/ e) d
) fe (
/ e) d
Sehingga dapat disusun hasil berikut: Lema 4 Dari fungsi G ⎡⎣t (.) ⎤⎦ , m adalah strictly negatif dan M adalah strictly positif. (bukti lihat Lampiran 4)
8
L
G ⎣⎡t (.) ⎦⎤ = ∫ t (
Fungsi
0
) fe (
/ e) d
terbatas pada himpunan transfer yang dapat diterima, sehingga keabsahan kendala insentif bergantung pada nilai minimum fungsi G ⎡⎣t (.) ⎤⎦ . Lema 5 Kendala insentif terpenuhi untuk e dan u jika dan hanya jika m ≤ −ce ( e ) .
Maks π − c (e) − u − ∫ ˆ
(bukti lihat Lampiran 5)
Skema
6
G ⎡⎣t (.) ⎤⎦
meminimumkan
tˆ (
transfer
yang
∀ <ˆ ∀ >ˆ
⎧B ⎪⎩π − c ( e )
( ) ( )
Hal yang mendasari Proposisi 1 adalah sebagai berikut. Untuk e, tidak mungkin menentukan skema transfer yang memberikan u bagi perusahaan jika biaya marjinal tingkat pencegahan e lebih tinggi dari keuntungan marjinalnya. Katakanlah keuntungan marjinal pencegahan tergambar dari reduksi transfer yang diharapkan dimana perusahaan harus membayarkannya kepada penjamin. Hal Dari
Lema
6
diketahui
skema
tˆ (
)
(13)
kanannya menggambarkan rate of change biaya marjinal pencegahan pada titik yang sama. Sebagai akibatnya, jika terdapat tingkat kerusakan ˆ sehingga rate of change keuntungan marjinal pencegahan tersebut paling sedikit akan sama dengan rate of change biaya marjinal pencegahan, maka tingkat optimal sosial dapat terlaksana. Langkah terakhir analisis adalah penggolongan skema transfer yang mengimplementasikan tingkat pencegahan terbaik. Untuk tujuan ini, akan disusun lema berikut:
⎡ ⎤ u dengan ˆ = F −1 ⎢ ⎥. ⎣⎢ π − c ( e ) − B ⎦⎥ (bukti lihat Lampiran 7)
0
∗
Ruas kiri dari (12) menggambarkan rate of change keuntungan marjinal pencegahan e∗ dengan skema transfer tˆ ( ) . Sedangkan ruas
( )
/ e) d .
(
dengan ⎡⎣π − c ( e∗ ) − B ⎤⎦ F ˆ e∗ = u (bukti lihat Lampiran 8)
Proposisi 1 Masalah P1 memuat solusi yakni, e dan u dapat terlaksana jika dan hanya jika: ⎧ u ∈ ⎡⎣ u , π − c ( e ) − B ⎤⎦ (1.1) ⎪ ⎨ (1.2) ⎪⎩ ⎡⎣π − c ( e ) − B ⎤⎦ Fe ˆ e ≥ ce ( e )
) fe (
( u, e )
dapat terlaksana melalui tanggung jawab keuangan jika dan hanya jika: Fe ˆ e∗ ce ( e∗ ) (12) ≥ u F ˆ e∗
Dari Lema 6 di atas, diperoleh proposisi berikut:
L
(9)
Proposisi 2 Kondisi optimal sosial
⎡ ⎤ u dengan ˆ = F −1 ⎢ ⎥. ⎢⎣ π − c ( e ) − B ⎥⎦ (bukti lihat Lampiran 6)
tersebut diberikan oleh − ∫ t (
e) d
( ) ( )
memiliki bentuk
) = ⎨⎪
(
ˆ (10) ⎣⎡π − c ( e ) − B ⎦⎤ F e = u ⎡⎣π − c ( e ) − B ⎤⎦ Fe ˆ e ≥ ce ( e ) (11) Maka, hasil optimal sosial dapat terlaksana jika u dan e∗ merupakan solusi dari masalah P1bis. Karena itu, dapat kita susun suatu proposisi berikut:
berikut: tˆ (
f
dengan kendala: u ≤ u ≤ π − c (e) − B
adalah yang
)
L
0
u ;e;
Langkah kedua analisis ini penggolongan skema transfer meminimumkan fungsi G ⎡⎣t (.) ⎤⎦ . Lema
( )
ˆ ⎣⎡π − c ( e ) − B ⎦⎤ Fe e . Untuk tingkat pencegahan e, jika batas atas keuntungan marjinal lebih rendah daripada biaya marjinalnya, maka tidak ada skema transfer yang mengimplementasikan e. Dari analisis di atas, diperoleh jika masalah P1 memuat paling sedikit satu solusi, maka akan ekivalen dengan masalah (P1bis) berikut:
maksimal:
Lema 7 Fungsi
)
Fe ( e∗ ) F ( e∗ )
. (bukti lihat Lampiran 9)
memberikan keuntungan marjinal pencegahan
tak naik terhadap
9
kontrak seperti ini, tanggung jawab perusahaan dialihkan ke penjaminnya. Di awal kontrak, perusahaan membayar baik premi tahunan maupun premi tunggal kepada apa yang dinamakan experience account. Kemudian, sesuai dengan kontrak, kedua belah pihak menyetujui sebuah imbal hasil. Dana tersebut digunakan untuk membayar ganti rugi. Jika dana tersebut berlebih, sisanya dikembalikan ke klien (perusahaan). Namun, jika pembayaran klaim melebihi ketersediaan dana, klien harus membayar sisanya. Dalam tulisan ini, digunakan model satu periode sehingga model tersebut dapat dipandang seperti jika kita telah menjumlahkan periode-periode dari perjanjian kerugian yang menyebar. Tetapi, jika kerusakan yang sebenarnya rendah, dana-dana ke dalam experience account cukup untuk membayar ganti rugi dan pembersihan kerusakan. Sedangkan dalam keadaan kerusakan yang sebenarnya terjadi tinggi, perusahaan tidak dapat mengembalikan pembayaran klaim penjaminnya, maka penjamin melakukan hukuman untuk perusahaan dalam keadaan dimana jumlah kerusakan berada di antara target tingkat ˆ kerusakan ˆ dan π − c ( e∗ ) . Sehingga, suatu
Dua hasil di atas menghasilkan proposisi berikut: Proposisi 3 Himpunan skema transfer yang mengimplementasi tingkat pencegahan optimal sosial mengandung skema transfer berikut: ˆ ⎧B ∀ <ˆ ⎪ tˆˆ ( ) = ⎨ ˆ ⎪π − c ( e∗ ) ∀ >ˆ ⎩
(bukti lihat Lampiran 10) Skema transfer tˆˆ (
)
adalah seperti ini.
Jika di akhir periode jumlah kerusakan yang sebenarnya lebih rendah daripada tingkat yang ˆ ditargetkan, yakni ˆ ; maka perusahaan diberi penghargaan berupa pembayaran bonus B, sehingga pendapatan bersihnya di akhir periode adalah π − c ( e∗ ) − B . Sebaliknya, jika jumlah kerusakan sebenarnya lebih tinggi dari target yang ditentukan, maka perusahaan melakukan pembayaran sebesar π − c ( e∗ ) kepada penjaminnya dan pendapatan bersih perusahaan di akhir periode tidak ada. Bentuk kontrak ini dapat didekati kepada spread loss treaty. Hal tersebut merupakan solusi alternative risk transfer, atau lebih tepatnya produk risiko terbatas. Dengan
penghargaan bagi sebagai insentif.
perusahaan
digunakan
SIMPULAN Perusahaan judgment-proof tidak mungkin menginternalisasi biaya sosial dari aktivitas yang dilakukannya dan tidak memiliki insentif yang cukup untuk memilih tingkat pencegahan optimal sosial, sehingga dalam memilih tingkat pencegahan optimal tanpa tanggung jawab keuangan, perusahaan akan memilih tingkat pencegahan yang lebih rendah. Tulisan ini telah memperlihatkan bahwa tanggung jawab keuangan sesuai dengan tingkat pencegahan optimal sosial dan juga memperlihatkan kondisi perlu dan kondisi cukup yang telah disusun dan tercapai.
Telah ditunjukkan bahwa saat hasil optimal secara sosial tercapai, kesepakatan “penghargaan atau hukuman maksimal” terdapat dalam kumpulan solusi terbaik. Sesuai perjanjian, perusahaan akan diberikan penghargaan jika kerusakan yang sebenarnya lebih rendah dari target yang ditentukan. Sebaliknya, jika kerusakan yang terjadi lebih tinggi dari target, perusahaan akan diberikan hukuman maksimal. Kesepakatan khusus ini dapat didekati kepada alternative risk transfer product yang menunjuk ke spread loss treaty. Oleh sebab itu, solusi alternative risk transfer sesuai tidak hanya untuk mengurangi risiko lingkungan, tapi juga untuk tujuan insentif.
DAFTAR PUSTAKA Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Edisi Ke-3. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ Jr. 1998. Mathematics of Nonlinear Programming. New York: Springer-Verlag. Purcell EJ, Varberg D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Edisi Ke-1. Susila IN, Kartasasmita B, Rawuh, penerjemah. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Terjemahan dari: Calculus with Analytic Geometry, Fifth Edition.
Grimmet GR dan Strizaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Edisi Ke-2. New York: Clarendon Press Oxford. Hogg RV dan Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi Ke-5. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Putri E. 2002. Manfaat dan Kegunaan Asuransi Lingkungan. http://www.iatpi.org/isi.php?item=artikel& rec=1. [8 Mei 2008].
Kambia-Chopin, B. 2007. Environmental Risks, the Judgment-Proof Problem and Financial Responsibility. Working Paper Series. HEC Montreal. http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abs tract_id=984943. [12 Juli 2007].
Smith WK. 1969. Calculus with Analytic Geometry. Toronto: The Macmillan Company.
Keraf AS. 2002. Etika Lingkungan. Jakarta: Penerbit Buku Kompas.
Stewart J. 1999. Kalkulus Jilid 2. Edisi Ke-4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah; Mahanani N, Safitri A, editor. A Division of International Thomson Publishing Inc. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.
Kunarjo. 2003. Glosarium Ekonomi, Keuangan, dan Pembangunan. Jakarta: Penerbit UI. Pass C, Bryan L, Davies L. 1988. Kamus Lengkap Ekonomi. Edisi Ke-2. Rumapea T, Haloho P, penerjemah; Sihombing D, editor. New York: HarperCollins Publishing. Terjemahan dari: Dictionary of Economics, Second Edition.
Wikipedia. 2007-2008. Encyclopedia. http://www.wikipedia.org/
The
Free
11
LAMPIRAN
12
Lampiran 1
Minimisasi biaya sosial total merupakan kriteria kesejahteraan sosial. Asumsikan tingkat pencegahan sosial e∗ . Tingkat pencegahan ini yang akan meminimisasi biaya sosial total. Sehingga kita dapat mengatakan bahwa e∗ merupakan solusi dari masalah yang diberikan berikut: Min ∫
L
0
e
f
(
e) d + c (e)
Masalah minimisasi tersebut diturunkan terhadap e , maka diperoleh kondisi orde pertama sebagai berikut: d L f ( e) d + c (e) = 0 de ∫0
)
(
∫
L
0
f e ( e ) d + ce ( e ) = 0
ce ( e ) = − ∫
L
fe ( e ) d
0
Tingkat pencegahan sosial diberikan oleh e∗ , maka hasilnya menjadi: ce ( e∗ ) = − ∫
L
0
f e ( e∗ ) d
, dimana Fe ( 0 e ) = Fe ( L e ) = 0 , dengan menggunakan
Ruas kanan diintegralkan terhadap
pengintegralan parsial. Misalkan: u = ⇒ du = d dan dv = − f e ( e∗ ) d ⇒ v = − ∫ f e ( e∗ ) d = − Fe ( e∗ ) . Maka: − ∫
L
0
f e ( e∗ ) d = ⎡⎣ − Fe ( e∗ ) ⎤⎦ − ∫ − Fe ( e∗ ) d 0 0 L
L
= ⎡⎣ − Fe ( e∗ ) ⎤⎦ + ∫ Fe ( e∗ ) d 0 0 L
L
= ⎡⎣ − Fe ( L e∗ ) + Fe ( 0 e∗ ) ⎤⎦ + ∫ Fe ( e∗ ) d 0 L
= ∫ Fe ( e∗ ) d L
0
Sehingga, dapat kita tulis: ce ( e∗ ) = ∫ Fe ( e∗ ) d L
(2)
0
Kondisi orde kedua diperoleh dengan menurunkan (2) terhadap e . cee ( e∗ ) = ∫ Fee ( e∗ ) d L
0
Diketahui bahwa Fee ( e ) < 0 dan cee ( e ) > 0 , maka cee ( e∗ ) − ∫ Fee ( e∗ ) d > 0 . L
0
■
13
Lampiran 2
Perusahaan bertujuan memaksimumkan pendapatan bersih, sehingga dia memilih tingkat pencegahan yang menyelesaikan masalah berikut: Maks π − c ( e ) − ∫
π − c( e)
0
e
e ) d − ⎡⎣1 − F (π − c ( e ) ) ⎤⎦ ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦
(
f
⇔ Maks π − c ( e ) − ⎡⎣1 − F (π − c ( e ) ) ⎤⎦ ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ − ∫
π −c(e)
(
f
0
e
⇔ Maks π − c ( e ) − ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ + F (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ − ∫
e) d
π −c (e)
0
e
⇔ Maks F (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ − ∫
π −c(e)
(
f
0
e
(
f
e) d
e) d
( ⊗)
( ⊗) diintegralkan terhadap
dengan menggunakan pengintegralan parsial.
Misalkan: u = ⇒ du = d dan dv = f Maka:
∫
π −c(e)
0
f
(
(
π − c( e)
e ) d = ⎡⎣ F ( e ) ⎤⎦ 0
e) d ⇒ v = ∫ f −∫
π −c(e)
0
(
e) d = F ( e) .
F ( e) d
(
)
π −c (e)
= ⎡ (π − c ( e ) ) F (π − c ( e ) ) − 0 ⎤ − ∫ ⎣ ⎦ 0 = F (π − c ( e ) ) (π − c ( e ) ) − ∫
π −c(e)
0
F ( e) d
F ( e) d
Sehingga, π −c(e)
⇔ Maks F (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ − ⎡ F (π − c ( e ) ) (π − c ( e ) ) − ∫ 0 e ⎣⎢ ⇔ Maks ∫
π −c(e)
0
e
F ( e) d ⎤ ⎦⎥
F ( e) d
Fungsi sebaran strictly concave. Masalah maksimisasi tersebut diturunkan terhadap e , maka diperoleh kondisi orde pertama sebagai berikut: π −c(e) d F (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ − ∫ f ( e) d = 0 0 de
(
)
Fe (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ + F (π − c ( e ) ) ( −ce ( e ) ) − ∫
π − c( e)
0
−ce ( e ) F (π − c ( e ) ) + Fe (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦ − ∫
π −c(e)
0
⇔ ce ( e ) F (π − c ( e ) ) = − ∫
π −c(e)
0
fe ( e ) d = 0
fe ( e ) d = 0
f e ( e ) d + Fe (π − c ( e ) ) ⎡⎣π − c ( e ) ⎤⎦
Tingkat pencegahan optimal perusahaan diberikan oleh e P , maka hasilnya menjadi:
(
)
ce ( e P ) F π − c ( e P ) = − ∫
( )
(
)
f e ( e P ) d + Fe π − c ( e P ) ⎡⎣π − c ( e P ) ⎤⎦ Bagian pertama ruas kanan diintegralkan terhadap , dimana Fe ( 0 e ) = Fe ( L e ) = 0 , dengan π − c eP
0
menggunakan pengintegralan parsial. Misalkan: u = ⇒ du = d dan dv = − f e ( e P ) d ⇒ v = − ∫ f e ( e P ) d = − Fe ( e P ) . Maka: −∫
π −c( e)
0
π −c ( e)
fe ( eP ) d = ⎡⎣− Fe ( eP ) ⎤⎦ 0 = ⎡⎣− Fe ( eP ) ⎤⎦ 0
−∫
π −c ( e)
0
( )
π −c eP
+∫
− Fe ( eP ) d
( )
π − c eP
0
Fe ( eP ) d
( ) (( ) ) ( ) ( ) F ( e )d = ⎡⎢− (π − c ( e ) ) F ( (π − c ( e ) ) e ) + 0⎤⎥ + ∫ ⎣ ⎦ ( ) F ( e )d = − F ( (π − c ( e ) ) e ) (π − c ( e ) ) + ∫
π −c ( eP ) Fe ( eP ) d = ⎡⎢− π − c ( eP ) Fe π − c ( eP ) eP + π − c ( eP ) Fe ( 0 eP ) ⎤⎥ + ∫ ⎣ ⎦ 0 P
P
π − c eP
P
e
P
P
P
e
π − c eP
0
P
e
0
P
e
14
Sehingga,
( ) ( ( c ( e ) F (π − c ( e ) ) = ∫
)(
)
ce ( e P ) F π − c ( e P ) = − Fe π − c ( e P ) π − c ( e P ) + ∫ P
e
P
π −c e
0
P
)
Fe ( e P ) d
( )
π − c eP
0
(3)
■
(
)(
Fe ( e P ) d + Fe π − c ( e P ) π − c ( e P )
)
15
Lampiran 3 (Bukti Lema 3)
Persamaan (2) dan (3) menyatakan: (2) ce ( e∗ ) = ∫ Fe ( e∗ ) d L
0
(3) ce ( e P ) F ⎡⎣π − c ( e P ) ⎤⎦ = ∫
( )
π − c eP
0
ce
(e ) = ∫ P
( )
π − c eP
0
∫
0
Fe ( e P ) d
F ⎡⎣π − c ( e P ) ⎤⎦
Internalisasi L
Fe ( e P ) d
Fe ( e∗ ) d >
sebagian
∫
( )
π − c eP
0
kerusakan
Fe ( e P ) d
F ⎡⎣π − c ( e P ) ⎤⎦
yang
dilakukan
perusahaan
menyebabkan
.
Karena investasi dana pencegahan yang dilakukan perusahaan tidak tersedia untuk ganti rugi dan pembersihan, maka ce ( e∗ ) > ce ( e P ) . Keadaan tersebut membuat tingkat pencegahan optimal perusahaan bisa menjadi lebih rendah atau lebih tinggi. Jumlah kerusakan tertinggi adalah L , sedangkan perusahaan hanya mampu memperbaiki kerusakan sebanyak aset-aset yang dimilikinya, yaitu π − c ( e P ) . Jika jumlah kerusakan yang harus diperbaiki dilihat dari sudut pandang sosial, maka perusahaan akan melakukan tingkat pencegahan yang lebih tinggi. Sedangkan dari pihak perusahaan sendiri, tidak mungkin mengambil suatu tingkat pencegahan yang melebihi kekayaannya, oleh karena itu perusahaan akan memilih tingkat pencegahan yang lebih rendah. ■
16
Lampiran 4 (Bukti Lema 4)
Asumsi 1 menyatakan bahwa ∀e, f fe ( e )
Karena Fe ( L e ) = 0 , ∀ >
∗
fe ( e )
,
f
(
e)
f
(
e)
(
e ) > 0,
fe ( e ) f
(
e)
fungsi turun terhadap
.
tidak dapat bernilai positif atau negatif dimanapun, maka ada tingkat kerusakan
<0.
Misalkan interval I = ⎡⎣ , ⎤⎦ tepat berada di [ 0, L ] dan diberikan skema transfer sebagai berikut: ∀ ∉I ⎧⎪π − c ( e ) t( ) = ⎨ ∀ ∈I ⎪⎩π − c ( e ) − k , k > 0 Jika I tepat berada di ⎡⎣ 0, ∗ ⎤⎦ , maka: L
∫ t ( ) f ( e) d 0
e
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) − k ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ ( − k ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= ∫ ( π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ ( π − c ( e ) ) f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d L
0
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d L
0
= (π − c ( e ) ) ∫ f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d L
0
= (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( e ) ⎤⎦ 0 − k ∫ f e ( e ) d L
= (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( L e ) − Fe ( 0 e ) ⎤⎦ − k ∫ f e ( e ) d
∗
sedemikian sehingga ∀ ≤
∗
,
fe ( e ) f
(
e)
≥ 0 dan
17
= 0 − k ∫ fe ( e ) d = −k ∫ fe ( e ) d
Karena ∀ ≤
∗
,
L
∫ t ( ) f ( e) d 0
e
fe ( e ) f
(
e)
≥ 0 , sehingga:
= −k ∫ f e ( e ) d < 0
(4.1)
Jika I tepat berada di ⎡⎣ ∗ , L ⎤⎦ , maka: L
∫ t ( ) f ( e) d 0
e
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) − k ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ ( − k ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= ∫ ( π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ ( π − c ( e ) ) f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d + ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d L
0
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d L
0
= (π − c ( e ) ) ∫ f e ( e ) d − k ∫ f e ( e ) d L
0
= (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( e ) ⎤⎦ 0 − k ∫ f e ( e ) d L
= (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( L e ) − Fe ( 0 e ) ⎤⎦ − k ∫ f e ( e ) d = 0 − k ∫ fe ( e ) d = −k ∫ f e ( e ) d
18
Karena ∀ >
∗
,
L
∫ t ( ) f ( e) d e
0
fe ( e ) f
(
e)
< 0 , sehingga:
= −k ∫ f e ( e ) d > 0
Persamaan (4.1) dan (4.2) menyatakan L
m ≤ ∫ t( 0
L
M ≥ ∫ t( 0
) fe ( ) fe (
e) d e) d
L
(4.2) L
∫ t ( ) f ( e) d 0
∫ t ( ) f ( e) d dan ∫ t ( ) f ( e ) d
dan
e
0
L
0
e
e
< 0 dan
L
L
∫ t ( ) f ( e) d 0
> 0 , sedangkan dari definisi ∀t ( ) , m ≤ ∫ t (
e
0
< 0 , sehingga m < 0 > 0 , sehingga M > 0
■
) fe (
e ) d ≤ M , maka:
19
Lampiran 5 (Bukti Lema 5)
Syarat perlu: Asumsikan m > −ce ( e ) . Maka, semua skema transfernya adalah: L
−ce ( e ) < m ≤ ∫ t ( 0
L
∫ t ( ) f ( e) d 0
e
) fe (
e) d
> −ce ( e )
Karena tidak ada skema transfer yang memenuhi kendala insentif (7) dalam kasus ini, sebagai akibatnya, himpunan penyelesaian dari masalah (P1) tidak ada. Sehingga haruslah m ≤ −ce ( e ) . Syarat cukup: Sebagaimana M > 0 > −ce ( e ) dan m ≤ −ce ( e ) , maka terdapat skema transfer t ( sehingga
L
∫ t ( ) f ( e) d 0
e
= −ce ( e ) . ■
)
sedemikian
20
Lampiran 6 (Bukti Lema 6)
Misalkan kita mempunyai masalah berikut: L
t ( ) f ( e) d ( )∫
Min
B ≤ t ( ) ≤π − c e
e
0
dengan kendala: t(
) ≤ π − c (e) t( ) ≥ B ∀
L
Misalkan ω (
∫ t ( ) f ( e) d 0
∀
(14) (15)
= π − c (e) − u
(16)
) , η ( ) , dan λ pengali lagrangian positif yang terhubung berturut-turut dengan kendala (14), (15), dan (16).
Lagrangian dari masalah ini adalah: £ (t (
) , ω ( ) ,η ( ) , λ ) = − ∫0 t ( ) f e ( L
Pada keadaan optimal, diketahui: ∂£ ω( ) =ω( ∂ω ( )
η(
)
∂£ ∂η (
)
=η (
e) d + ω (
) ⎣⎡π − c ( e ) − t ( ) ⎦⎤ + η ( ) ⎣⎡t ( ) − B ⎦⎤ − λ ⎡⎣⎢π − c ( e ) − u − ∫0 t ( ) f ( L
) ⎡⎣π − c ( e ) − t ( ) ⎤⎦ = 0 ) ⎣⎡t ( ) − B ⎦⎤ = 0
L ∂£ = −λ ⎡π − c ( e ) − u − ∫ t ( ) f ( e ) d ⎤ = 0 ⎢ 0 ⎣ ⎦⎥ ∂λ ∂£ = − fe ( e ) − ω ( ) + η ( ) + λ f ( e ) = 0 ∂t ( )
λ
Kondisi optimal terakhir dikalikan dengan − fe ( e ) f
(
e)
+ λ −ω (
)
f
(
1
f
(
e)
1
e)
+η (
, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
)
f
(
1
e)
=0
(17)
e) d ⎤ ⎦⎥
21
∗
Pada bukti Lema 4, terdapat tingkat kerusakan memiliki
− fe ( e ) f
(
Akan diperiksa
e)
(
Maka dari (17):
(
f
e)
− fe ( e )
(
e)
−ω (
)
−ω (
)
f
f
(
∗ ∗
e)
e)
≥ 0 untuk
≤
∗
dan
f e ( e∗ ) f
(
e∗ )
+ λ > 0 terdapat di sepanjang interval [ 0, L ] .
e)
− fe ( e )
Asumsikan bahwa
fe (
+λ > 0.
− fe ( e ) f
sedemikian sehingga
+ λ > 0 di sepanjang interval [ 0, L ] .
+ λ −ω (
f f
( (
1 1
e) e)
)
f
+η (
)
+η (
)
(
1
f f
e)
( (
1 1
+η (
e) e)
=
)
f
(
1
e)
fe ( e ) f
(
e)
=0
− λ < 0, karena
− fe ( e ) f
(
e)
+λ > 0
<0
−ω (
) +η ( ) < 0 η ( ) −ω ( ) < 0 ∀ ω( ) >η ( ) ≥ 0 ∀ Pada keadaan optimal, diketahui ω ( ) ⎡⎣π − c ( e ) − t ( ) ⎤⎦ = 0 L
∫ t ( ) f ( e) d 0
e
∀ , hal ini menyatakan t (
= ∫ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d L
0
= (π − c ( e ) ) ∫ f e ( e ) d L
0
= (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( e ) ⎤⎦ 0 = (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( L e ) − ⎡⎣ Fe ( 0 e ) ⎤⎦ ⎤⎦ =0 L
) = π − c ( e ) . Sehingga:
< 0 untuk
>
∗
. Sebagai akibatnya, ∀ >
∗
kita
22
Jadi, tidak mungkin
Selain itu
− fe ( e ) f
(
e)
− fe ( e ) f
(
e)
+ λ > 0 terdapat di sepanjang interval [ 0, L ] .
+ λ fungsi naik terhadap
ˆ sedemikian sehingga − f e ( e ) + λ ≤ 0 untuk f ( e)
Dari (17) dan fakta ∀ ≤ ˆ ,
− fe ( e ) f
(
e)
fe ( e )
karena Asumsi 1 menyatakan bahwa − fe ( e )
≤ ˆ dan
+ λ < 0 diperoleh :
f
(
e)
− fe ( e ) f
(
e)
−ω (
)
−ω (
)
f f
( (
1 1
e) e)
)
f
+η (
)
+η (
)
( f f
) +η ( ) > 0 η ( ) −ω ( ) > 0 η( ) >ω( ) ≥ 0 Keadaan optimal memberikan η ( ) ⎡⎣t ( ) − B ⎤⎦ = 0 , hal ini menyatakan t ( ) = B
1
( (
fungsi turun terhadap
)
1
>ˆ.
+ λ > 0 untuk
+ λ −ω (
e)
(
f
e)
1
+η ( =
e)
1
f
(
fe ( e ) f
(
e)
e)
=0
−λ > 0
>0
e)
−ω (
Dari (17) dan fakta
− fe ( e ) f
(
e)
+ λ > 0 untuk
> ˆ , diperoleh:
− fe ( e ) f
(
e)
−ω (
)
−ω (
)
f f
+ λ −ω (
( (
1 1
e) e)
<ˆ .
untuk
)
f
+η (
)
+η (
)
( f f
1
( (
e) 1 1
+η (
e) e)
=
)
f
(
1
fe ( e ) f
<0
(
e)
e)
=0
−λ < 0
. Sebagai akibatnya, terdapat tingkat kerusakan
23
−ω (
) +η ( ) < 0 η ( ) −ω ( ) < 0 ω( ) >η ( ) ≥ 0 Keadaan optimal memberikan ω ( ) ⎡⎣π − c ( e ) − t ( ) ⎤⎦ = 0 , hal ini menyatakan t ( ) = π − c ( e )
untuk
>ˆ.
Akhirnya, dari (16), tingkat utilitas agent dapat ditulis sebagai berikut: L
u = π − c (e) − ∫ t ( 0
)f(
ˆ
e ) d ⇔ u = π − c ( e ) − ∫ Bf 0
ˆ
⇔ u = π − c (e) − B∫ f 0
(
e ) d − ∫ˆ (π − c ( e ) ) f
(
e) d
(
e ) d − (π − c ( e ) ) ∫ˆ f
(
e) d
L
L
⇔ u = π − c ( e ) − B ⎡⎣ F ( e ) ⎤⎦ 0 − (π − c ( e ) ) ⎡⎣ F ( e ) ⎤⎦ ˆ ⇔ u = π − c ( e ) − B ⎡ F ˆ e − F ( 0 e ) ⎤ − (π − c ( e ) ) ⎡ F ( L e ) − F ˆ e ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇔ u = π − c ( e ) − BF ˆ e + BF ( 0 e ) − (π − c ( e ) ) F ( L e ) + (π − c ( e ) ) F ˆ e ˆ
L
( ) ( ) ⇔ u = ⎡⎣π − c ( e ) − B ⎤⎦ F ( ˆ e ) u ⇔ F ( ˆ e) = π − c (e) − B
( )
( )
⎡ ⎤ u ⇔ ˆ = F −1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ π − c ( e ) − B ⎥⎦
■
24
Lampiran 7 (Bukti Proposisi 1)
(1.1) dinyatakan oleh kendala (4), (5), dan (6). Sedangkan (1.2) mengikuti Lema 5 dan Lema 6. ¾ Bukti (1.1) L
π − c (e) − ∫ t (
)f(
0
t(
e) d ≥ u , u ≥ 0
) ≤ π − c (e) ∀ t ( ) ≥ B ∀ dengan B ≤ t ( ) ≤ π − c (e)
∫
L
0
L
0
B<0
e) d ≤ ∫ t ( 0
e ) d ≤ ∫ (π − c ( e ) ) f
(
e) d
)f(
e ) d ≤ (π − c ( e ) ) ∫ f
(
e) d
e) d ≤ ∫ t ( 0
L
B ⎡⎣ F ( e ) ⎤⎦ 0 ≤ ∫ t ( 0 L
(6)
)f(
L
(
B∫ f
(5)
L
(
Bf
L
0
L
0
e ) d ≤ (π − c ( e ) ) ⎡⎣ F ( e ) ⎤⎦ 0
)f(
L
L
B ⎡⎣ F ( L e ) − F ( 0 e ) ⎤⎦ ≤ ∫ t ( 0 L
B ≤ ∫ t( 0
−B ≥ −∫ t (
e ) d ≤ (π − c ( e ) ) ⎡⎣ F ( L e ) − F ( 0 e ) ⎤⎦
e ) d ≥ − (π − c ( e ) )
)f(
0
)f(
e ) d ≤ (π − c ( e ) )
)f(
L
(4)
L
π − c (e) − B ≥ π − c (e) − ∫ t ( 0
L
0 ≤ π − c (e) − ∫ t (
)f(
0
L
0 ≤ u ≤ π − c (e) − ∫ t ( 0
)f(
e) d ≥ 0
e) d ≤ π − c (e) − B
)f(
e) d ≤ π − c (e) − B
u ≤ u ≤ π − c (e) − B
Jadi, u ∈ ⎣⎡ u , π − c ( e ) − B ⎦⎤ . ■ ¾ Bukti (1.2) Dari Lema 5 dan Lema 6. m ≤ −ce ( e ) Min
L
∫ t ( ) f ( e) d e
B ≤ t ( ) ≤π − c ( e ) 0
∫
ˆ
0
≤ −ce ( e )
Bf e ( e ) d + ∫ˆ (π − c ( e ) ) f e ( e ) d ≤ −ce ( e ) L
ˆ
B ∫ f e ( e ) d + (π − c ( e ) ) ∫ˆ f e ( e ) d ≤ −ce ( e ) L
0
B ⎡⎣ Fe ( e ) ⎤⎦ 0 + (π − c ( e ) ) ⎡⎣ Fe ( e ) ⎤⎦ ˆ ≤ −ce ( e ) B ⎡ Fe ˆ e − Fe ( 0 e ) ⎤ + (π − c ( e ) ) ⎡ Fe ( L e ) − Fe ˆ e ⎤ ≤ −ce ( e ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Karena Fe ( 0 e ) = Fe ( L e ) = 0 , maka: ˆ
L
( )
( )
( )
( )
BFe ˆ e − (π − c ( e ) ) Fe ˆ e ≤ −ce ( e )
( B − π − c (e)) F ( ˆ
e ≤ −ce ( e )
(π − c ( e ) − B ) F ( ˆ
⎡ ⎤ u e ≥ ce ( e ) dengan ˆ = F −1 ⎢ ⎥ (dari Lema 6). ■ ⎣⎢ π − c ( e ) − B ⎦⎥
e
e
)
)
25
Lampiran 8 (Bukti Proposisi 2)
( )
(10) menyatakan: ⎡⎣π − c ( e ) − B ⎤⎦ F ˆ e = u ⎡⎣π − c ( e ) − B ⎤⎦ =
u F ˆ e
( ) ( ) F ( ˆ e) ≥ c (e)
(11) menyatakan: ⎡⎣π − c ( e ) − B ⎤⎦ Fe ˆ e ≥ ce ( e ) Sehingga diperoleh:
u F ˆ e
( ) F ( ˆ e) c (e) ≥ u F ( ˆ e) e
e
e
e
Tingkat pencegahan optimal diberikan oleh e∗ . Sebagai akibatnya
( ) ≥ c (e ) . ■ u F (ˆ e )
Fe ˆ e∗ ∗
∗
e
26
Lampiran 9 (Bukti Lema 7) Fe ( e∗ )
Didefinisikan H ( e∗ ) = Maka,
F ( e∗ )
dH ( e∗ )
≤0 d f e ( e∗ ) F ( e∗ ) − Fe ( e∗ ) f
⎡ F ( e∗ ) ⎤ ⎣ ⎦
(
e∗ )
2
f e ( e∗ ) F ( e∗ ) − Fe ( e∗ ) f
( f ( e )F ( e ) ≤ F ( e ) f ( f ( e ) F ( e ) ⇔ ≤ f ( e ) F( e ) f ( e ) F( e ) . Akan dibuktikan: ≤ f ( e ) F( e ) ∗
∗
∗
∗
e
∗
∗
∗
∗
e
e
∗
∗
Asumsikan terdapat tingkat kerusakan
Diketahui
e∗ )
e
e
fungsi H ( e
e∗ ) ≤ 0
∗
e
≤0
∗
)
naik di ⎡⎣ 0,
f e ( 0 e∗ ) f ( 0 e∗ )
Sebagai akibatnya,
>
fe ( f
(
o 0
f e ( 0 e∗ ) f ( 0 e∗ )
o
o
sehingga
⎤⎦ . Hal ini menyebabkan
e∗ )
Tapi, f e ( 0 e∗ ) = Fe ( 0 e∗ ) dan
( F( F(
e∗ )
f
o
e
o
>
e∗ )
e∗ )
Fe ( e∗ )
pada ⎡⎣ 0,
F ( e∗ )
>
Fe ( 0 e∗ ) F ( 0 e∗ )
o
⎤⎦ , maka
.
dari Asumsi 1.
e∗ )
>
f e ( e∗ )
fe (
o
e∗ )
>
Fe (
o
e∗ )
>
Fe ( 0 e∗ )
⇔
f e ( 0 e∗ )
>
Fe ( 0 e∗ )
( e ) F ( e ) F (0 e ) f (0 e ) F (0 e ) f ( 0 e ) = F ( 0 e ) . Sebab itu, hal ini kontradiksi! ■
f
0
∗
∗
∗
o
∗
∗
∗
∗
.
27
Lampiran 10 (Bukti Proposisi 3)
Diketahui dari Proposisi 2 bahwa tingkat pencegahan sosial dapat dicapai saat kondisi (12) Fe ( e∗ ) berlaku. Lema 7 menyatakan bahwa fungsi tak naik terhadap . Sebagai akibatnya, saat F ( e∗ ) ˆ kondisi (12) berlaku, terdapat tingkat kerusakan ˆ ≥ ˆ , sedemikian sehingga
ˆ Fe ⎛⎜ ˆ e∗ ⎞⎟ c e∗ ⎝ ⎠ = e( ). ˆ u F ⎛⎜ ˆ e∗ ⎞⎟ ⎝ ⎠
