PENENTU UAN BES SARNYA P PREMI UNTUK U SE EBARAN RISIKO Y YANG BE EREKOR GEMUK (FATT-TAILED RISK DIS STRIBUTIION)
RINA LON NY ADR
SE EKOLAH H PASCAS SARJANA A INS STITUT PERTANIA AN BOGO OR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penentuan Besarnya Premi untuk Sebaran Risiko yang Berekor Gemuk (Fat-Tailed Risk Distribution) adalah karya saya dengan arahan komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Juli 2009 Adrina Lony NRP G551070321
ABSTRACT ADRINA LONY. Premium Calculation for Fat-Tailed Risk Distribution. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and DONNY CITRA LESMANA. This thesis is concerned with premium calculation when insurance claims are governed by fat-tailed distribution. First, using the theory of risk aversion, a new premium principle, i.e. the power principle, is discussed, analogous to the exponential principle for thin-tailed. Thin-tailed claims premium are determined largely by the first two moments of the claim distribution. Second, applied to claims arising from Pareto distributions, the total premium is shown to be the ratio of the two largest expected claims, for which the ratio of the actual claims is an unbiased as well as a consistent estimator. Third, considering uncertainty about the value of the tail-fatness index, premium calculation when insurance claims are governed by fat-tailed distribution is determined by tail index models with Beta family transformation. Finally, to illustrate the theory, the calculation of possible premium for US hurricane data is applied using Mathematica Software. Keywords: exponential principle, power principle, risk aversion, tail-fatness index uncertainty, expected value of extremes
RINGKASAN ADRINA LONY. Penentuan Besarnya Premi untuk Sebaran Risiko yang Berekor Gemuk (Fat-Tailed Risk Distribution). Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA Penentuan besarnya premi merupakan bagian yang penting. Jika besarnya premi terlalu rendah, maka akan mengakibatkan kerugian bagi perusahaan asuransi. Sebaliknya, jika terlalu tinggi maka akan kalah dalam persaingan antar perusahaan asuransi dalam mencari nasabah. Asumsi sementara bahwa perusahaan asuransi dihadapkan pada terjadinya klaim dalam periode waktu tertentu yang besarnya tidak dapat ditentukan. Klaim yang nilainya lebih kecil dari suatu nilai yang ditetapkan sebagai nilai risiko (value-at-risk) tidak akan menjadi masalah untuk perusahaan asuransi, tetapi yang akan menjadi masalah adalah jika muncul klaim yang besar di mana nilainya melebihi nilai yang ditetapkan dan dapat mengakibatkan kebangkrutan pada perusahaan asuransi. Klaim yang besar teridentifikasi pada ekor sebaran. Ekor sebaran mempunyai beberapa karakteristik, misalnya dapat digunakan untuk menentukan besarnya premi pada perusahaan asuransi. Permasalahan berikutnya adalah jika sebaran klaim memiliki ekor sebaran yang gemuk (fat-tailed), yaitu ekor sebaran turun secara lambat konvergen ke nol. Implikasinya adalah peluang terjadinya nilai ekstrem akan lebih besar daripada pemodelan dengan sebaran normal. Contohnya pada asuransi hidup, jika pada suatu saat terjadi bencana alam dengan peluang kematian yang tinggi mengakibatkan meningkatnya klaim yang besar diajukan nasabah ke perusahaan asuransi, sehingga perusahaan asuransi mengalami kerugian. Dalam hal ini penentuan besarnya premi perlu mempertimbangkan sebaran klaim. Dalam penelitian ini difokuskan pada penentuan besarnya premi yang memiliki sebaran berekor gemuk dengan indeks ekor yang tidak pasti. Sebagai perbandingan ditentukan besarnya premi dari sebaran yang berekor kurus dengan menggunakan besarnya klaim untuk individu dan akumulasi klaim tahunan. Selanjutnya ditentukan besarnya premi yang memiliki sebaran berekor gemuk dengan menggunakan sebaran Pareto. Pada penentuan besarnya premi dari sebaran Pareto terlebih dahulu ditentukan model untuk klaim yang besar dengan indeks ekor yang tidak pasti. Kemudian ditentukan besarnya premi dengan indeks ekor yang tidak pasti. Pada tahap akhir, dengan menggunakan Software Mathematica dilakukan penghitungan besarnya premi sebagai contoh hasil penghitungan numerik dari data badai di Amerika Serikat pada tahun 1970-2002. Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh hasil bahwa prinsip eksponensial merupakan prinsip yang dapat digunakan dalam penentuan besarnya premi dari klaim yang sebarannya berekor kurus untuk klaim individu dan untuk akumulasi klaim tahunan. Sedangkan prinsip kuasa dapat digunakan dalam penentuan besarnya premi untuk klaim yang sebarannya berekor gemuk, khususnya sebaran Pareto. Pendugaan indeks ekor yang tidak pasti ditentukan dengan menggunakan fungsi kepekatan peluang transformasi beta yang dimodelkan, kemudian besarnya premi dari klaim yang sebarannya berekor gemuk dengan indeks yang tidak pasti ditentukan dengan model tersebut. Berdasarkan simulasi dari data badai diperoleh dugaan rho 0,7203 untuk
menentukan besarnya premi yang akan datang dengan cara memilih nilai penjamin asuransi 0,70 0,74. Dan besarnya premi yang dapat digunakan perusahaan asuransi untuk klaim terbesar adalah berkisar antara 20.290 sampai dengan 23.412 agar perusahaan tidak mengalami kerugian karena klaim terbesar adalah 19.875. Kata kunci: prinsip eksponensial, prinsip kuasa, risiko yang dihindari, indeks ekor gemuk yang tidak pasti, nilai harapan dari ekstrem
PENENTUAN BESARNYA PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO YANG BEREKOR GEMUK (FAT-TAILED RISK DISTRIBUTION)
ADRINA LONY
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
@ Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc.
Judul Tesis Nama NRP
: Penentuan Besarnya Premi untuk Sebaran Risiko yang Berekor Gemuk (Fat-Tailed Risk Distribution) : Adrina Lony : G551070321
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Ketua
Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Tanggal Ujian: 6 Juli 2009
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2009 ini ialah besarnya premi, dengan judul Penentuan Besarnya Premi untuk Sebaran Risiko Berekor Gemuk (Fat-Tailed Risk Distribution). Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing serta Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku penguji yang banyak memberikan saran. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan kelompok belajar penulis: Ayu Tsurayya, Deliana Hastuti Chaniago, Dwianti Marthalena, Eviliyanida serta Santiarini Hidayah yang telah banyak membantu selama proses belajar hingga terselesaikannya tesis ini. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa pendidikan pascasarjana. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada suami, anak-anak, ibu-bapak juga umi serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga tesis ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2009 Adrina Lony
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pangkalan Brandan pada tanggal 8 November 1970 dari bapak Nazahar Abdullah dan ibu Asra Darimi. Penulis merupakan puteri ketiga dari enam bersaudara. Tahun 1989 penulis lulus dari SMA IV Angkat Candung Bukittinggi Sumatera Barat, dan pada tahun yang sama masuk Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1994. Kesempatan untuk melanjutkan ke program magister pada program studi Matematika Terapan Departemen Matematika IPB diperoleh pada tahun 2007. Beasiswa pendidikan pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia. Penulis bekerja sebagai Guru Mata Pelajaran Matematika di Madrasah Aliyah Negeri Sipirok Sumatera Utara sejak tahun 1997-1998. Dan pada tahun 1998 sampai sekarang penulis mengajar sebagai Guru Mata Pelajaran Matematika di Madrasah Aliyah Negeri Binjai Sumatera Utara.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ………………………………………………………...
xi
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………...
xii
DAFTAR LAMPIRAN …………………………………………………...
xiii
I
PENDAHULUAN ……………………………………………………
1
1.1. Latar Belakang Masalah …………….……………………...……
1
1.2. Tujuan Penelitian …………………………………………….......
2
1.3. Ruang Lingkup Penelitian ……………………………………….
2
1.4. Sistematika Pembahasan …………………………………………
3
II LANDASAN TEORI …………………………………………………
4
2.1. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang …………………………...
4
2.2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ……………………………….
5
2.3. Momen dan Momen Pusat ……………………………………….
8
2.4. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak …..…………………….
11
2.5. Fungsi Utilitas (Utility Function) ………………………………..
12
2.6. Ukuran Risiko ……………………………………………………
13
2.7. Akumulasi Klaim Tahunan ………………………………………
13
2.8. Statistik Tataan (Order Statistics) ……………………………….
14
III
PENENTUAN PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO BEREKOR KURUS DAN SEBARAN RISIKO BEREKOR GEMUK …………. 3.1. Penentuan Besarnya Premi dari Sebaran Risiko Berekor Kurus (Thin-Tailed Risk) ……………………………………………….. 3.2. Risiko dari Sebaran Berekor Gemuk (Fat-Tailed Risk) …………
16 16 19
3.3. Penentuan Premi dari Sebaran Berekor Gemuk …………………
24
IV PENENTUAN BESARNYA PREMI KETIKA INDEKS EKOR GEMUK TIDAK PASTI ……………………………………………. 4.1. Besarnya Indeks ሺߩሻ pada Sebaran Berekor Gemuk …………….
28 28
4.2. Model untuk Klaim yang Besar dengan Indeks Ekor yang Tidak Pasti ……………………………………………………………… 4.3. Besarnya Premi dengan Indeks Ekor yang Tidak Pasti ………….
30 30
4.4. Pendugaan terhadap Indeks Ekor dari Perbandingan Nilai Ekstrem ………………………………………………………….. 4.5. Bentuk Perbandingan dari Besarnya Premi yang Tidak Pasti ...….
37
V PENGHITUNGAN PREMI ………………..…………………………
39
5.1. Pendugaan Indeks Ekor dari Perbandingan Nilai Ekstrem ………
40
5.2. Perbandingan dari Nilai Ekstrem Aktual dan Rho Penduga ሺߩොሻ ...
41
5.3. Premi untuk Nilai Ekstrem ………………………………………
43
5.4.Analisis Hasil Penghitungan ……………………………….…..…
47
VI SIMPULAN DAN SARAN …..…………………………………... 5.1. Simpulan ……………………………………..………………..
31
49 49
5.2. Saran ……………………………………………………………..
50
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………... LAMPIRAN ………………………………………………………….
51 52
DAFTAR TABEL Halaman 1 Tabel data badai ……………..……………………….…………...…….
39
2 Tabel rho aktual
……………………………………..........………..
40
3 Tabel perbandingan nilai ekstrem aktual ……………………….…........
41
0,72 .
42
4 Tabel perbandingan nilai harapan untuk nilai ekstrem dengan
5 Tabel premi untuk nilai ekstrem yang terbesar menggunakan nilai ekstrem kedua …………………………………………………………..
43
6 Tabel bentuk perbandingan besarnya premi untuk indeks ekor yang pasti ………………………………………………………………….......
44
7 Tabel premi real untuk nilai ekstrem yang lain ……….…………….......
44
8 Tabel premi aktual untuk nilai ekstrem yang terbesar ………..…………
45
9 Tabel bentuk perbandingan besarnya premi aktual dari indeks ekor yang tidak pasti ………………………………....…………………….....
45
10 Tabel premi real untuk nilai ekstrem yang lain ……….…………...........
46
11 Tabel total premi aktual dan premi dengan
0,70
0,74
kenaikan 0,01 ………………….…………………………………...…...
47
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak Pareto ………………......
21
2 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak Pareto ..................................
21
3 Grafik histogram dari data badai U.S pada tahun 1970-2002 ..................
40
4 Grafik histogram dari perbandingan nilai ekstrem aktual dan nilai harapan untuk nilai ekstrem
dengan
0,72 ............................
42
5 Grafik histogram dari premi dengan indeks ekor untuk 0,70
0,74 kenaikan 0,01 dan nilai aktual fungsi kepekatan peluang
peubah acak Poisson .................................................................................
46
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pembuktian fungsi pembangkit momen untuk sebaran normal ~ ,
52
2 Program grafik fungsi kepekatan peluang dan fungsi sebaran peluang .....
54
3 Program Penentuan Besarnya Premi ……………………….……...….….
55
3.1. Program grafik histogram dari data ……..………...…………...…...
55
3.2. Program penentuan rho aktual
56
, pendugaan
dan MAD …….
3.3. Program perbandingan dari nilai ekstrem aktual dan rho penduga ………………………………………………………………….
57
3.4. Program grafik histogram dari nilai aktual dan perbandingan nilai harapan ………………………………………………………….....
57
3.5. Program penentuan besarnya premi untuk nilai ekstrem dengan 0,70
0,74 ……………………………………...............…...
58
3.6. Program penentuan besarnya premi aktual untuk nilai ekstrem ……
59
3.7. Program grafik histogram besarnya premi ……………………........
60
3.8. Program total premi ………………………..………………….........
61
