REZONANCIÁRA HANGOLVA Dr. Bagány Mihály1, Dr Kodácsy János2, Nagy Péter3, Dr. Pintér István4
Jelen tanulmányunkban egy igen fontos fizikai jelenséget a rezonanciát járjuk körül. Az elsı három részben saját munkáink során felmerült konkrét tapasztalatainkat ismertetjük, az utolsó részben pedig mintegy kitekintést adunk egyéb érdekes vonatkozásokra, alkalmazásokra.
1. „Öngerjesztı” rezonancia A rezonancia jelenségét mind a longitudinális, mind a transzverzális hullámok esetében meg lehet mutatni egy lényegében azonos elvő mérési elrendezéssel. A mérési elrendezés fı elemei a gerjesztı, a rezonanciára képes rúd, a rezgésérzékelı és egy erısítı a pozitív visszacsatolás megvalósításához. Például megfelelı hosszúságú fémrúd esetében különösen szemléletes a rezonancia fellépte, ha a rezonanciafrekvencia a hangfrekvenciás tartományba esik, mert ekkor hallható hang keletkezik. Ha emellett a fémrúd lágy mágneses anyagból készült, mind a gerjesztés, mind a rúd rezgésállapotának érzékelése megoldható elektromágneses elven. A rögzített helyzető gerjesztı elektromágnes légrésében a bemeneti villamos jel változásaitól függı mágneses tér jön létre, ami a fémrúd vonzását, taszítását eredményezi épp e jelváltozás ütemében. Emiatt longitudinális hullám indul meg a fémben, ami akkor lesz a legnagyobb amplitúdójú, ha a gerjesztés épp rezonancia frekvenciájú. Ám a betáplált energia egy része elveszik, azt pótolni kell. Erre szolgál az érzékelı tekercs: a rúd végén jelentkezı kis amplitúdójú longitudinális rezgést feszültségváltozássá alakítja, amit egy hangfrekvenciás teljesítményerısítı felerısít, majd ezzel az erısített, visszacsatolt jellel tápláljuk a gerjesztı tekercset. Ha ismerjük a rezonancia-frekvenciát (ez a fémrúd hosszának, anyagának és alakjának ismeretében kiszámítható), akkor annak megfelelı középfrekvenciájú keskeny sávú teljesítményerısítı szükséges – a kísérlet során a rezonancia jelensége hamar bekövetkezik. Amennyiben az erısítı kimeneti feszültségének amplitúdója egy érték fölé nem növelhetı ugyan, de szinuszos marad, a bevitt így adódó legnagyobb gerjesztési energiának megfelelı amplitúdójú longitudinális rezgés jön létre, ami a hangfrekvenciás tartomány miatt hallható (a kísérlet közben azt tapasztaljuk, hogy a fémrúd a gerjesztés hatására „megszólal). A meglepıen érdekes jelenség az, amikor nem tudjuk elıre a rúd rezonancia frekvenciájának értékét. Ám ekkor is megmutatható a jelenség – szélessávú hangfrekvenciás erısítıt alkalmazva, sıt, ekkor külön gerjesztı jelforrás sem szükséges! A kísérleti elrendezés ebben az esetben szélessávú, hangfrekvenciás teljesítményerısítıbıl, a gerjesztı vasmagos tekercsbıl, a rezonanciára képes, mágnesezhetı rúdból, a rúd másik végénél elhelyezett érzékelı tekercsbıl áll: ennek jelét pozitívan visszacsatoljuk a teljesítményerısítı bementére. A kísérlet során azt tapasztalhatjuk, hogy a fémrúd hamarosan „magától megszólal”. Mi ennek az oka? A fémrúd a környezetébıl óhatatlanul átvesz kis amplitúdójú rezgéseket, ami az érzékelı tekercsben feszültséggé alakul, az erısítı pedig felerısíti. Ez a kis jel, ha oszcilloszkópon megnézzük, sokféle frekvenciájú és amplitúdójú összetevı együttesének, zajnak mutatkozik. Ám ezek között ott van a rezonancia frekvenciának megfelelı komponens is. A szélessávú erısítı a többivel együtt ezt is felerısítve adja a
1
fıiskolai docens, KF Kalmár Sándor Informatikai Intézet Matematika és Fizika Tanszék
2
fıiskolai tanár, KF Gépgyártástecnológia Tanszék
3
fıiskolai adjunktus, KF Kalmár Sándor Informatikai Intézet Matematika és Fizika Tanszék
4
fıiskolai docens, KF Kalmár Sándor Informatikai Intézet Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék
gerjesztı tekercsre – vagyis igenis kap a fémrúd rezonanciafrekvenciás „ütéseket” is. A rezonanciafrekvenciás gerjesztésre a fémrúd nagyobb amplitúdójú mozgással válaszol, ez nagyobb amplitúdójú jelet jelent az érzékelı tekercs kimenetén a rezonanciafrekvencián - ám a többi komponens felerısödése meszsze kisebb mértékő. A pozitív visszacsatolás miatt így a visszacsatolt körben a rezonanciafrekvenciájú jel válik ki és erısödik fel oly mértékben, hogy a rúd rezgései által okozott longitudinális levegısőrősödés és ritkulás már elég nagy amplitúdójú lesz ahhoz is, hogy meghalljuk – a fémrúd látszólag „magától megszólal”. A fenti leírt vizsgálatok elızménye épp 10 évvel ezelıtti. Egy kutatás-fejlesztési megbízás alapján tanulmányozta munkacsoportunk a jelenséget transzverzális hullámok esetén [2], [3].
2. PETRA A PETRA egy komplex számítógépes rendszer, amelyet tetszıleges test, berendezés teljes rezgésanalízisére fejlesztettünk ki a néhány Hz-tıl néhány kHz-ig terjedı frekvenciatartományban több tanszék együttmőködésében (Gépgyártástechnológia Tanszék, Matematika és Fizika Tanszék, Informatika Tanszék). A PETRA rendszer elsı változata 1991 tavaszára készült el, majd az erre épülı PROTECTOR felügyeleti rendszer 1992 végére és 1993 februárjában a Zürichben SOFTCIM’93 kiállításon került bemutatásra. A mőszer rezonátoros, kompakt rezgésérzékelı fejbıl, optikai szállal csatolt fotodiódás mérıátalakítóból és mérıerısítıbıl, A/D-konverterbıl, mérésvezérlı és kiértékelı keretprogramból áll. A felmerült sokrétő méréstechnikai, elektronikai és számítástechnikai probléma közül e helyen csak azt a rendszerelméleti problémát tárgyaljuk röviden, amely abból ered, hogy a kompakt érzékelı fej nem közvetlenül a mérendı felület rezgését méri – hiszen ekkor külsı, független inerciapontra lenne szükség -, hanem egy csatolt rezgésen keresztül. A rendszer mőködési elvét az 1. ábrán szemlélhetjük: a fotodiódáról érkezı optikai intenzitásában modulálja az érzékelı fej dobozához nem mereven csatolt reflektor felület, majd a jel a spektrálisan illesztett fototranzisztorra jutva kerül feldolgozásra. Ezen mérési elv elınye, hogy kompakt (zárt) mérıfejjel valósítható meg, így nagyfokú zavarvédettséggel rendelkezik, probléma viszont, hogy a kimért rezonátor reflektor rezgésspektrumból vissza kell állítani a külsı, mérendı felület rezgésspektrumát.
1. ábra
Tetszıleges determinisztikus rendszer bemenetére adott x ( t ) jel egyértelmően meghatározza az y ( t ) kimeneti jelet, matematikailag megfogalmazva a rendszer az x ( t ) függvényt az y ( t ) függvénybe transzformálja: Lt x ( t ) = y ( t ) . Elsı feladatunk az Lt operátor konkrét alakjának megtalálása. Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a rezonátor reflektorra:
m⋅
d2y d 2x dy = − m ⋅ − c ⋅ − D ⋅ y (t ) 2 2 dt dt dt
alakú, ahol a baloldalon levı erı tagok rendre a tehetetlenségi erı, a közegellenállási erı és a direkciós (csatolási) erı; m a rezonátor tömege, c a közegellenállási együttható, D pedig a direkciós állandó.
Némi átalakítás után: d 2 y (t ) dt
2
dy ( t )
+ 2ξω0
dt
+ ω02 y ( t ) = −
d 2 x Fx ( t ) , = dt 2 m
ahol bevezettük az: D m jelöléseket. c ξ= 2mω0 ω0 =
Így a keresett Lt operátor inverze: L−t 1 =
d2 d + 2ξω0 + ω20 . 2 dt dt
L−t 1 láthatóan lineáris, ezért természetesen Lt is lineáris operátor, így második lépésben megkereshetjük a rendszer H ( ω) átviteli függvényét. Ehhez a Fourier-sorfejtéseket írjuk be az inverz operátoregyenletbe: ∞ ∞ L−t 1 ∫ Y ( ω) e jωt d ω = ∫ X ( ω ) ⋅ ω2 ⋅ e jωt d ω . −∞ −∞
Mivel L−t 1 idıoperátor, így csak az exponenciális tagra hat a baloldal integrandusában:
(
L−t 1 e jωt = −ω2 + j 2ξω0 ω + ω02
)
Ezt visszaírva a fenti spektrál-egyenletbe: Y ( ω) =
β2 ⋅ X ( ω) , 1 − β2 + j ( 2ξβ )
(
)
így a keresett átviteli függvény: H ( ω) =
β2 , ahol β = ω . ω0 1 − β + j ( 2ξβ )
(
2
)
Az amplitudóspektrumok: c ( ω) = Re 2 X ( ω) + Im 2 X ( ω) C ( ω) = Re2 Y ( ω) + Im 2 Y ( ω)
kapcsolata némi ügyeskedés után: 2 2
c ( ω) =
(1 − β ) + ( 2ξβ) β2
2
⋅ C ( ω) .
Ezzel a képlettel a közvetlenül mért C ( ω) rezonátor reflektor amplitudóspektrumából elıállíthatjuk a mérendı külsı felület c ( ω) amplitudóspektrumát.
3. Digitális rezonátor A rezonancia jelensége nemcsak a folytonos idejő rendszerekben léphet fel, hanem jellemzı bizonyos diszkrét idejő rendszerekre is. A továbbiakban a differenciaegyenletbıl kiindulva elemezzük a digitális rezonátor mőködését. Zárt alakban felírt és mintáról-mintára kiszámított eredményt adunk a digitális rezonátor kimenı sorozatára szinusz bemenı sorozat esetén. Ezután a standard normál eloszlást közelítı álvéletlen bemenı sorozat esetén számítjuk ki a kimenı sorozatot. Az eredményeket mindegyik esetben a frekvenciatartománybeli képpel is szemléltetjük. A digitális rezonátor viselkedése során a digitális frekvencia (körfrekvencia) fogalmát használjuk. Az f fD = ω D = 2π ⋅ f D összefüggések alapján azonban áttérhetünk a szokásos frekvencia- illetve f MV körfrekvencia-fogalomra (itt f D és ω D rendre a digitális frekvencia és körfrekvencia számértéke, f MV a mintavételi frekvencia Hz-ben, TMV = 1 a mintavételi idıköz másodpercben, f a fizikai frekvencia f MV Hz-ben). Például, ha olyan rezonátort szeretnénk, amelynek rezonancia frekvenciája f 0 adott f MV mintavételi frekvencia esetén, akkor ω 0 = 2π ⋅
f0 lesz a megfelelı digitális körfrekvencia érték. A bemenı f MV
sorozatokat tekintve az f G frekvenciájú szinusz jelhez tartozó gerjesztı sorozat matematikai alakja f x (n ) = sin 2π ⋅ G ⋅ n , míg a zaj jellegő gerjesztés mintasorozatának elıállításához [5] ad algoritmust. f MV
3.1. A digitális rezonátor differencia-egyenletének megoldása Tekintsük a következı differenciaegyenlettel megadott diszkrét idejő rendszert: y ( n ) = x ( n ) + 2 ⋅ a ⋅ cos ϕ ⋅ y ( n − 1) − a 2 ⋅ y ( n − 2 )
(3.1)
0 < a ≤1 0 < ϕ < π y ( −2 ) = −1
y ( − 1) = 0
x ( n ) = sin ( α ⋅ n ) n≥0
Célunk a nem nulla kezdeti feltételekkel rendelkezı, fenti diszkrét idejő rendszer esetén az, hogy a kimenı sorozat átmeneti szakaszát is pontosan kiszámítsuk. Az ilyen feladatok zárt alakban adott megoldásához az egyoldalas z-transzformációt célszerő alkalmazni [6]. A (3.1) egyenlet mindkét oldalának egyoldalas z-transzformáltját véve átrendezés után adódik: z2 ⋅ X ( z ) + 1 1 j ϕ − j ϕ 1 − ⋅ e ⋅ z ⋅ 1 − ⋅ e ⋅ z (3.2) a 1 a Y ( z) = 2 ⋅ a 2a cos ( ϕ ) ⋅ y ( −1) − a 2 ⋅ y ( −2 ) ⋅ z 2 − a 2 ⋅ y ( −1) ⋅ z + 1 jϕ 1 − j ϕ 1 − a ⋅ e ⋅ z ⋅ 1 − a ⋅ e ⋅ z
A zárt alakú megoldáshoz a (3.2) egyenlet egyoldalas inverz z-transzformáltját kell kiszámítani. Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldalának elsı tagja a zérus kezdeti feltételekrıl induló rendszer valamely bemenı sorozatra adott válaszának egyoldalas z-transzformáltja, míg a második tagban jelennek meg a nem-zérus kezdeti feltétel értékek! A második tag esetén az inverz egyoldalas z-transzformált felírásához bevezetve a p = 2a cos ( ϕ ) ⋅ y ( −1) − a 2 ⋅ y ( −2 ) , q = − a 2 ⋅ y ( −1) (3.3)
jelöléseket, a következı eredményt kapjuk a (3.1) egyenlet kezdeti feltételeivel és a=1 értéke mellett: y (n) =
sin ( n + 1) ⋅ ϕ sin ϕ
+ sin ( ϕ ) ⋅
+
(3.4)
n ⋅ sin ( n + 2 ) ⋅ ϕ − ( n + 2 ) ⋅ sin ( n ⋅ ϕ ) sin ( 3ϕ ) − 3sin ϕ
Tekintsük most a (3.2) egyenlet jobb oldalának elsı tagjából képezhetı H (z ) = Y(z ) átviteli függvényt! X(z )
Közvetlenül látható, hogy ennek alakja:
H(z ) =
1 (3.5) 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos ϕ ⋅ z −1 + a 2 ⋅ z − 2
A diszkrét idejő rendszerhez rendelt frekvencia-karakterisztika (3.5) alapján:
( )
H e jω =
1 (3.6) 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos ϕ ⋅ e − jω + a 2 ⋅ e −2 jω
ahol ω a digitális körfrekvencia ( −π < ω ≤ π ). Megjegyzés: a (3.6) egyenletben szereplı átviteli függvény inverz z-transzformáltját kiszámítva az is a n ⋅ sin[(n + 1) ⋅ ϕ] látható, hogy a rendszer impulzusválasz-függvénye épp h (n ) = . sin ϕ
3.2. A kimenı sorozat meghatározása iterációval A kimenı sorozat mintái meghatározhatók közvetlenül az (3.1) egyenlet szerinti iterációval is – ekkor a következı mintát rendre az elızıkbıl számítjuk ki. Ellenırzésképp az elızı pontban meghatározott zárt alakú megoldást hasonlíthatjuk össze az iterációval kapott megoldással. A MathCAD 2000 programmal [7] elvégzett számítások eredményét a 2. ábra mutatja.
Gerjesztés szinuszjellel
a minta értéke
100
y_iter i+ 2
50
y_szam i 0
50
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
ti idõ (másodperc)
a kimenõ sorozat iterációval a kimenõ sorozat analitikus alakban
2. ábra:
A számítógépi vizsgálatra alkalmasabb iterációs módszerrel még háromféle elemzést végeztünk el a digitális rezonátoron. Az elsı a T = 1 másodperc alatt elıálló mintasorozatra terjedt ki, ami 8000 minta elıállítását jelenti. A fizikai rezonancia-frekvencia f 0 = 2000 Hz, a gerjesztı jel fizikai frekvenciája
f G = 800 Hz volt. Mivel ebben az esetben az idıtartománybeli ábrázolásnál szemléletesebb a frekvenciatartománybeli kép, a kapott kimenı mintasorozat amplitúdó-spektrumának becslésére a Hahn-ablakot és 8000 pontos DFT-t alkalmazva felismerhetı, hogy a kimenı jelben mind a gerjesztés frekvenciájának, mind a rezonancia-frekvenciának megfelelı összetevı jelen van.
A rezonancia-frekvenciás gerjesztés esete is követhetı hasonló gondolatmenettel. Az iterációs módszerrel közvetlenül számolható a digitális rezonátor kimenı sorozata véletlen mintákkal történı gerjesztés esetén. A számítógépi szimuláció céljára a MathCAD program normál eloszlást közelítı ál-véletlenszám generátorát használtuk. Az eredményeket az 3. ábra foglalja össze. Látható, hogy a gerjesztı sorozatra számolt amplitúdó-spektrum a teljes vizsgált frekvenciasávban tartalmaz összetevıket, és a digitális rezonátor ebbıl a zajból emel ki a rezonancia frekvenciájának megfelelıen jelmintákat. Meghallgatva a mintákból készült hangállományokat, különösen élményszerő ez. Hasonlóan ahhoz, amikor a 2. részben leírt mérési elrendezésben a fémrúd látszólag magától megszólalt. Amplitúdóspektrum (zaj gerjesztés)
amplitúdó (dB)
50 20⋅ log( Y k 20⋅ log( Z k
) )
20 10 40 70 100
0
400
800
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 fk frekvencia (Hz)
kimenõ jel gerjesztés
3. ábra
4. Kitekintés 4.1. Gyakorlati alkalmazások A rezonancia alkalmazásának egyik leghétköznapibb példája a rádió hangolása. A rádiókészülékhez érkezı elektromágneses hullámok hatására az antennában (vasmagos tekercs) feszültség indukálódik. Az adók által kisugárzott szinusz rezgések, azaz a vivıhullámok elérik antennánkat, mi azonban egyszerre csak egy adót szeretnénk venni, ezért az antenna tekercsével egy változtatható kapacitású kondenzátort (forgókondenzátor) kapcsoltak párhuzamosan. A tekercs és a kondenzátor rezgıkört alkot, amely rendelkezik rezonancia frekvenciával. Ezt a tekercs induktivitása és a kondenzátor kapacitása határozza meg. Ha a rezgıkört különbözı frekvenciájú rezgések érik, akkor a rezonancia frekvenciájával megegyezı frekvenciával szemben igen nagy, a többivel szemben igen kis ellenállást tanúsít. Így a rezgıkör a rezonancia frekvenciájával nem egyezı frekvenciájú rezgéseket magán átengedi (kis ellenállás), míg az azzal megegyezı frekvenicát visszatartja (nagy ellenállás). Végül, az át nem engedett, azaz a rezonancia frekvenciával megegyezı rezgések a rezgıkörrıl tovább vezethetık, a többiek elvesznek. Jelen esetben a rezgıkörnek nem csak egy rezonancia frekvenciája van, hiszen a fix induktivitású tekerccsel egy változtatható kapacitású kondenzátort kapcsoltak párhuzamosan. A két alkatrész értékét úgy választották meg, hogy azzal a teljes középhullámú sáv (530- 1500 KHz) végig hangolható legyen. Ahogy tehát csavargatjuk a rádió "keresıjét", új és új rezonancia frekvenciákat képezünk, azaz mindig más adóra hangoljuk a készüléket. A rezonancia másik igen fontos alkalmazási területe az elektronspin-rezonancia (ESR), illetve a magmágneses-rezonancia (NMR), melyekkel hétköznapjaink során például az orvos-diagnosztikában találkozhatunk. Az elektronspin-rezonancia (ESR) spektroszkópiai módszer, alapja, hogy a mágneses térben az elektron energianívói felhasadnak (Zeeman-effektus). A mérendı anyagot változtatható erısségő, statikus mágneses és váltakozó, nagyfrekvenciás (mikrohullám tartományban) elektromágneses térbe helyezzük. A mágneses térerısség alkalmas választásával elérhetı, hogy az elektronokat alapállapotból GHz frekvenciájú elektromágneses sugárzással magasabb energiaállapotba gerjesszük és vizsgáljuk, hogy milyen frekvenciájú teret (annak is a mágneses komponensét) mennyire nyel el a minta. Gyakorlati okokból állandó frekvenciájú elektromágneses teret és változó erısségő mágneses teret szokás használni. A mérés során a rezonancia feltételének teljesülésekor átmenetek alakulnak ki a felhasadt nívók között, ez a
spektrumban csúcsként jelentkezik. A felhasadás mértéke, a jel intenzitása, szélessége alakja érzékeny a kémiai környezetre, illetve ennek rendkívül finom változásaira. A magmágneses-rezonancia (NMR) elve azonos az elıbbivel, csak az elektronok helyett az atommagok nívóit vizsgáljuk.
4.2. Sztochasztikus rezonancia A sztochasztikus rezonancia egy jól ismert és jelenleg intenzíven kutatott jelenség, melyben a véletlenszerő zaj segíti a rendszernek egy gyenge jelre adott válaszát. Pontosabban fogalmazva: ha egy adott folyamat valamilyen paraméterét kívánjuk becsülni a megfigyelt véges trajektória alapján, akkor alkalmasan választott zaj hozzáadásával a becslés jobb lesz, sıt esetleg olyan jelenségekrıl is információt nyerhetünk, amelyeket egyébként nem is tudnánk mérni. Lássunk néhány önkényesen kiragadott érdekes alkalmazási példát. A Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet kutatócsoportja a szaglás mechanizmusának néhány dinamikai problémáját vizsgálta [8]. A szagokra vonatkozó információ a szaglógumóban tér- és idıbeli mintázatok formájában egyaránt jelen van. Elektrofiziológiai mérések alapján jól ismert, hogy a szaglórendszer periodikus és kaotikus viselkedést mutat. A szaglógumó alapvetı sejtjei kétirányú serkentı-gátló kapcsolatai lokálisan oszcillátorokat hoznak létre, amelyeket az oldalirányú szinapszisok kapcsolnak össze. A szaglógumó így csatolt oszcillátorok rendszeréhez hasonlít. Modelljeikkel ezeknek a csatolt oszcillátoroknak a mőködését tudják vizsgálni. Újabb számításaik szerint a sztochasztikus rezonancia mechanizmusa, amely alkalmas gyenge periodikus jelek felerısítésére, felléphet a szaglógumó sejtjeiben. A mitrális és a szemcsesejt modelljein végzett kísérletek segítségével megállapították, hogy a rendszerek kimenetét akcióspotenciálok sorozatnak idealizálva meghatározható egy olyan optimális zajszint, amely mellett a sejtmodell a periodikus vezérlés frekvenciájához leginkább hasonlító tüzeléssorozatot produkál. Egy érdekes példát ad a sztochasztikus rezonancia alkalmazására a bostoni egyetem kutatócsoportjának találmánya, amely megoldást jelenthet az idısek egyensúlyproblémáira [9]. A stabil egyensúlyi helyzet alapvetıen egy idegi visszacsatolási folyamat eredménye: a talpból érkezı ingerek alapján az agy a testtartás apró kiigazításaira ad parancsot. Az életkor elırehaladtával azonban a talpból érkezı érzékszervi ingerek megritkulnak A kísérletek során egészséges, idıs embereket állítottak egy talapzatra, melyen sok száz kis lyuk volt, mindegyikbıl mőanyag rudacskák álltak ki éppen csak annyira, hogy a kísérleti alanyok talpát érintsék. Ezeket a rudacskákat egy számítógép véletlenszerő frekvenciákon rezgette ingerküszöb alatti amplitúdóval, így a résztvevık tudatosan nem érzékelhették a vibrációt. A kísérleti alanyoknak ennek ellenére automatikusan beállt az egyensúlyuk, és kevésbé imbolyogtak, éppen csak annyira, mint bármelyik fiatal. Azt találták, hogy a vibrációktól a fiatalabbaknak is javult az egyensúlyuk. A sztochasztikus rezonancia alapján ezt a kísérletet úgy értelmezhetjük, hogy a zaj a talp idegeit tettei érzékenyebbé, így azok könnyebben érzékelik a változásokat, mikor a test kimozdul egyensúlyi állapotából és így változik a talpon a súlyeloszlás. Különösen fontos, hogy a neuronok véletlenszerő impulzusokat kapjanak, a rendszeresen érkezı jelekhez ugyanis hamar hozzászoknak. A késıbbiek során egy zselés talpbetétet is terveztek, melyben apró beépített szerkezetek keltettek hasonló vibráló hatást. Ezekkel a betétekkel megismételt kísérletek még jobb eredményeket adtak. Úgy tőnik, hogy számos más területen is fel lehet használni a találmányt, például sportfelszerelések gyártásánál.
IRODALOM [1.] Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1965, 19.§ [2.] Nagy P.: Második típusú találkozás a Mátrában, Fıiskolai Matematika-, Fizika- és Informatikaoktatók XXIV. Országos Konferenciája, KE CsVM PFK, Kaposvár, 2000 [3.] dr. Bagány M., dr. Kodácsy J., Nagy P., Pintér I.: Kötési erısséget vizsgáló módszer minıségtanúsítási célokra. Tanulmány a MIKROMATIKA Robot- és Automatika kft. részére, 1991 [4.] Nagy P.: Az optikai szálas kompakt rezgés-analizátor rendszerelméleti leírása, GAMF Közlemények XI., 1993 – 1994., Kecskemét [5.] Pintér I.: Digitális jelfeldolgozás. Jegyzet. KF GAMF Kar, 2003. [6.] Simonyi E.: Digitális szőrık. Mőszaki Könyvkiadó, 1984. [7.] MathCAD 2000 User's Guide. Mathsoft Inc. 2001. [8.] http://www.rmki.kfki.hu/hirek/rmkibiof.htm [9.] Attila Priplata, James Niemi, Martin Salen, Jason Harry, Lewis A. Lipsitz, and J.J. Collins, ”Noise-Enhanced Human Balance Control,” Physical Review Letters, Vol. 89(23), December 2002.
