K O S Á D L O G ME
Részletes megoldások Csajági Sándor és Dr. Fülöp Ferenc
Fizika 9 című tankönyvéhez
R.sz.: RE 16105
1
Tartalomjegyzék: 1. lecke
A mechanikai mozgás
2. lecke
Egyenes vonalú egyenletes mozgás
3. lecke
Átlagsebesség, pillanatnyi sebesség
4. lecke
Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás
5. lecke
Kezdősebességgel rendelkező egyenletesen változó mozgások
6. lecke
Szabadesés, függőleges és vízszintes hajítások
7. lecke
Newton I. törvénye
8. lecke
Tömeg, sűrűség
9. lecke
Lendület
10. lecke
Newton II. törvénye
11. lecke
Newton III. törvénye
12. lecke
A dinamika alapegyenlete
13. lecke
Nehézségi erő, súly és súlytalanság
14. lecke
A rugóerő
15. lecke
Súrlódás
16. lecke
Közegellenállás
17. lecke
Pontrendszerek (Kiegészítő anyag)
18. lecke
Az egyenletes körmozgás kinematikai leírása
19. lecke
Az egyenletes körmozgás dinamikai leírása
20. lecke
A Newton-féle gravitációs (tömegvonzási) törvény
21. lecke
A bolygók mozgása, Kepler-törvények
22. lecke
Forgatónyomaték, merev testekre ható erőrendszerek
23. lecke
Merev testek egyensúlya
24. lecke
Egyszerű gépek
25. lecke
A munka
26. lecke
Gyorsítási munka és a mozgási energia
27. lecke
A rugalmassági energia
28. lecke
Emelési munka, helyzeti energia és a mechanikai energia megmaradása
29. lecke
A súrlódási erő munkája
30. lecke
Az energia fajtái és előállításuk
31. lecke
Teljesítmény, hatásfok
2
1.lecke
A mechanikai mozgás
1.
Mondjunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyből a folyón lévő csónak nyugalomban látszik! Megoldás: A vonatkoztatási rendszerünket bármely másik folyón úszó tárgyhoz kell rögzítenünk. Ekkor a csónak állni látszik.
2.
Válaszolj a következő kérdésekre: a) Földön állva egy helikoptert látunk elhaladni felettünk. Milyen mozgást végez a helikopter légcsavarjának egy pontja a helikopterhez és hozzánk képest? Megoldás: A helikopterhez képest egyenletes körmozgást végez, míg hozzánk képest összetett mozgást: egy egyenes vonalú egyenletes mozgást és egy egyenletes körmozgást végez. b) Lehetséges-e, hogy az Egyenlítőn álló megfigyelő nyugalomban lát egy mesterséges holdat? Megoldás: Igen, azt a mesterséges holdat látja nyugalomban, amelyik a Földdel együtt forog. Ezek a stacionárius pályán lévő műholdak. c) Egy mozgó járműben leejtünk egy pénzérmét. Vajon álló járműben is ugyanannyi idő alatt esik le a pénzérme? Megoldás: Igen, mert a mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanúgy értelmezzük a mozgást.
3.
Keress az interneten néhány olyan mértékegységet, amelyet ma már nem használunk. Milyen területen használták ezeket? Megoldás: Pl. Bibliában: Hosszmértékek: ujj, tenyér, arasz (1 ujj = 18,75 mm, 1 tenyér = 4 ujj, 1 arasz = 3 tenyér). Területmérték: egy iga (1 iga = 0,25 ha). Térfogatmérték: egy sea (véka) (1 sea = 7,3 l). Görögöknél: Hosszmértékek: egy olümpiai stadion = 192,27 m. Területmérték: arura (egy arura = 2760 m2). Térfogatmérték: medimnosz (egy medimnosz = 78,79 l). Középkori Magyarországon: Hosszmértékek: rőf (egy rőf = 2 láb = 24 hüvelyk = 32 ujj = kb. 60-65 cm). Területmérték: négyszögöl (1 négyszögöl = 3,6 m2). Súlymérték: obulus (1 obulus = 1/48 uncia = 1/24 lat = 0,57 g)
4.
Nagymaros és Visegrád között komppal lehet átkelni a Dunán. Nyáron, munkanapokon Nagymaros és Visegrád között az első kompjárat Visegrádról indul 5 óra 25 perckor. A következő Visegrádról induló járat a 6 óra 25 perces, majd ezt követően 7 óra 45 perctől 20 óra 45 percig óránként megy a komp Visegrádról Nagymarosra. Az utolsó járat Nagymarosról indul 21 órakor. A két révkikötő közötti távolság 500 m. Milyen hosszú utat tesz meg a komp egy nap alatt? 3
Megoldás: A komp naponta 16-szor indul Nagymarosról Visegrád felé. A komp által megtett út: 16⋅1000 m = 16 000 m= 16 km. 5.
A Börzsönyben lévő Nagy-Hideg-hegy magassága 864 m, a Csóványos magassága 938 m. A két csúcs távolsága légvonalban 2,4 km. Becsüljük meg a térképrészlet alapján, hogy legalább hány km utat teszünk meg, ha Nagy-Hideg-hegyről az országos kéktúra útvonalán átmegyünk Csóványosra! (A becslésnél azt is figyelembe kell venni, hogy nem mindig felfelé haladunk.) Mekkora az ugyanehhez az úthoz tartozó elmozdulás? Megoldás: A turista útvonalakon a barna szintvonalak 50 m emelkedést vagy süllyedést jelent. Összesen lefele kb. 10, felfelé kb. 11 szintvonalat keresztezünk. Ezenkívül a légvonaltól is eltér az utunk, így összesen több, mint 3 km-t kell megtennünk. Az elmozdulásvektor Nagyhideghegyről Csóványosra mutat. A függőleges irányú elmozdulás 938m – 865 m = 73 m, míg a vízszintes irányú elmozdulás 2,4 km. A függőleges irányú elmozdulás elhanyagolható a vízszintes irányú elmozdulás nagyságához képest, így a teljes elmozdulás hossza 2,4 km. Az elmozdulásvektort az ábra mutatja.
1. ábra: Nagyhideghegyről Csóványosra mutató elmozdulásvektor
4
2. lecke
Egyenes vonalú egyenletes mozgás
1.
A budavári sikló eredetileg 3 m/s sebességűre építették ki; de a tempót 1988-ban az utasok kérésére a felére csökkentették. A pálya hosszúsága közel 100 méter. Az alsó és felső állomás közti szintkülönbség mintegy 50 méter. a) Mennyi idő alatt ér a sikló a célállomásra? b) Készítsük el a budavári sikló út-idő és sebesség-idő grafikonját! Megoldás: m Adatok: v = 1,5 , s s = 100 m. t=?
a) Az alsó és a felső állomás közti út megtételéhez szükséges idő: 2 s 100m t= = =66 s. m v 3 1,5 s 200 s alatt ér a célállomásra. A budavári sikló 3 b)
2. ábra: Milyen arányosság áll fenn az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a megtett út és az eltelt idő között?
3. ábra: Az egyenes vonalú egyenletes mozgás sebesség-idő grafikonja az idő tengellyel párhuzamos egyenes.
Egyenletesen haladó vonat ablakából kitekintve azt látjuk, hogy a vonat 2,5 perc alatt 45 db telefonoszlop mellett halad el. Mennyi idő alatt éri el a vonat a 600 mre lévő útkereszteződést, ha két telefonoszlop távolsága 50 m? Megoldás: Adatok: t1 = 2,5 min, s = 600 m. t2 = ?
2.
A 2,5 perc alatt megtett út: s = 45 ⋅ 50 m = 2250 m. m m 2250m A vonat sebessége: v = = 900 = 15 . 2,5 min min s
5
s 600m = = 40 s. m v 15 s A vonat 40 s alatt éri el az útkereszteződést.
Az útkereszteződésig visszalévő idő: t2 =
km km , majd 15 percen át 60 sebességgel halad. h h a) Mekkora utat tett meg 45 perc alatt? b) Ábrázoljuk a mozgását sebesség-idő, majd út- időgrafikonon! Megoldás: Adatok: km v1 = 40 , t1 = 30 min = 0,5 h, h km v2 = 60 , t2 = 15 min = 0,25 h. h a) s = ? 3.
Egy autó 30 percen át 40
a) Megtett utak: km s1 = v1⋅t1 = 40 ⋅ 0,5 h = 20 km, h km s2 = v2⋅t2 = 60 ⋅ 0,25 h = 15 km. h s = s1 + s2 = 35 km. Az autó 35 km utat tett meg 45 perc alatt. b) Grafikonok:
5. ábra: A sebesség-idő grafikon a alapján hogyan lehet a megtett utat kiszámolni?
4. ábra: A megtett út az idő függvényében
6
km km , ezután 2 óráig 60 sebességgel haladt. h h Hol van a gépkocsi az indulás után 4 óra múlva? Mikor van a gépkocsi az indulás helyétől 360 km-re? Mennyi utat tett meg összesen a gépkocsi? Ábrázoljuk a mozgást út-idő és sebesség-idő grafikonon!
Egy gépkocsi először 3 óráig 90
4.
a) b) c) d) Megoldás: Adatok: km v1 = 90 , h t1 = 3 h, km v2 = 60 , h t2 = 2 h. a) s=? b) t=? c) s=?
(t2’ = 1h) km b) 3 h alatt megtett 270 km-t, a vissza levő 90 km-t 60 sebességgel 1,5 h alatt h teszi meg. Az összes eltelt idő 4,5 h. a)
s= v1⋅t1 + v2⋅t2’ = 270 km + 60 km = 330 km
c)
Az összes megtett út: km km s = v1⋅t1 + v2⋅t2 = 90 ⋅ 3 h + 60 ⋅ 2 h = 270 km + 120 km = 390 km. h h d) A mozgás grafikonjai:
7. ábra: Hol van a gépkocsi az indulás után 4 óra múlva?
6. ábra: Egyenletes mozgást végzett a gépkocsi az út megtétele alatt?
A gépkocsi 4 óra alatt 330 km-t tett meg. A gépkocsi az indulási helyétől 360 km-re 4,5 h múlva ért, míg 5 óra alatt összesen 390 km-t tett meg.
7
Az ábra egy kerékpáros út-idő grafikonját mutatja. a) Határozd meg, hogy az egyes szakaszokhoz milyen mozgást tartozik! b) Mekkora a megtett út? c) Ábrázoljuk a kerékpáros mozgását sebesség-idő grafikonon!
5.
Megoldás: a) I. II. III.
8. ábra: Az egyes szakaszokon milyen típusú mozgás játszódik le?
egyenes vonalú egyenletes mozgás, áll, egyenes vonalú egyenletes mozgás (a test visszafele mozog).
Az egyes szakaszokon a sebességek: 40m m vI = =2 20s s m vII = 0 s − 40m m vIII = = -4 10s s b) c)
A megtett út 80 m.
9. ábra: A mozgás sebesség-idő grafikonján mit jelent, hogy a sebesség negatív előjelű?
8
3. lecke
Átlagsebesség, pillanatnyi sebesség
1.
Feltétlenül egyenletesen mozog az a kerékpáros, amely időegységenként egyenlő utakat tesz meg? Megoldás: Nem, mert időegységen belül változtathatja sebességét, csak a megtett utaknak kell megegyezniük. 2.
Magyarországon az ügetőverseny rekordját egy Hitelező nevű kanca tartja, ideje 1 min17,6 másodperc. A derbi távja 1900 méter, indítása autóstarttal történik. Mekkora volt a győztes ló átlagsebessége? Megoldás: s = 1900 m, t = 1 min 17,6 s = 77,6 s. vátl = ? vátl =
1900m m = 24,48 . 77,6s s
A győztes ló átlagsebessége 24,48
m volt. s
3.
Egy gépkocsi a Budapest – Pécs közötti 210 km-es utat 3 óra alatt teszi meg. Az út km első felében 60 átlagsebességgel haladt. h a) Mekkora az egész útra számított átlagsebesség? b) Mekkora az autó átlagsebessége az út második felében? Megoldás: km . Adatok: s = 210 km, t = 3 h, v1 = 60 h 210km km a) = 70 . vátl = 3h h km A gépkocsi egész útra számított átlagsebessége 70 . h s 105km b) t1 = 1 = = 1,75 h, t2 = 1,25 h km v1 60 h 105km km = 84 . v2,átl = 1,25h h km . Az autó átlagsebessége az út 2. felében 84 h
9
4.
Carlos Sastre Candill lett a 21 futamból álló 2008-as Tour de France győztese. A futam részeredményeit hetes bontásban az alábbi táblázatban találod. Számítsd ki, hogy mekkora átlagsebességgel nyerte meg a versenyt! 1. hét 2. hét 3. hét Út [km] 1186 1265 1108,5 Idő 28h 25min 14s 30h 31min 9s 28h 56min 29s 10. ábra: A győztes részeredményei hetes bontásban
Megoldás: Adatok: s1 = 1186 km = 1186000 m, s2 = 1265 km = 1265000 m, s3 = 1108,5 km = 1108500 m, t1 = 28h 25min 14s = 102 314 s, t1 = 30h 31min 9s = 109 869 s, t1 = 28h 56min 29s = 104 189 s.
vátl = s1 + s 2 + s3 1186000m + 1265000m + 1108,5 3559500m m km = = = 11,25 = 40,5 . 102314 s + 109869 s + 104189 s 316372 s t1 + t 2 + t 3 s h
Carlos Sastre Candill 40,5
km átlagsebességgel nyerte meg a versenyt. h
5.
Az ábrán egy személygépkocsi sebesség-idő grafikonja látható. Mekkora a teljes időre számított átlagsebesség? Megoldás: Adatok: km 1 v1 = 90 , t1 = h , h 2 km 1 v2 = 72 , t2 = h . h 4
km 1 ⋅ h = 45 km, h 2 km 1 s2 = v2⋅t2 = 72 ⋅ h = 18 km, h 4 45km + 18km km = 84 . vátl = 1 1 h h+ h 2 4 s1 = v1⋅t1 = 90
11. ábra: Meg tudná határozni a mozgás egyes szakaszain megtett utakat?
Az egész útra számított átlagsebesség 84
10
km . h
6.
Egy autós a 6-os főútvonalon 40 percig 90 72
km sebességgel halad, majd utolér egy h
km sebességgel haladó teherautót. 15 percig nem tudja megelőzni, így követi h
azt. a) Mekkora az összes megtett út? b) Mekkora az autó átlagsebessége a mozgás teljes ideje alatt? c) Rajzoljuk fel ugyanabban a koordinátarendszerben a sebesség-idő és az átlagsebesség-idő grafikont! d) Rajzoljuk fel az út-idő koordinátarendszerben mozgás grafikonját! Megoldás: km 2 , t1 = h , Adatok: v1 = 90 h 3 km 1 v2 = 72 , t2 = h. h 4 km 2 km 1 ⋅ h + 72 ⋅ h = 78 km. a) s = v1t1 + v2t2 + v1t’ = 90 h 3 h 4 Az összes megtett út 78 km. b) vátl =
km 60km + 18km . = 85,1 2 1 h h+ h 3 4
Az autó átlagsebessége a mozgás teljes ideje alatt 85,1
km . h
c) Grafikonok:
13. ábra: Megegyezik a sebesség-idő grafikonok alatti terület az átlagsebesség-idő grafikon alatti területtel?
12. ábra: A mozgás megtett út- idő grafikonja
11
4. lecke
Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás
1. Egy személygépkocsi a sebességét 15 s alatt 5
m m -ról 20 -ra növeli. s s
a) Mekkora a gyorsulása? b) Mekkora utat tesz meg a mozgás ezen időszakában? Megoldás: Adatok: m m v0 = 5 , v = 20 , s s t = 15s a) a = ? b) s = ? Δv m összefüggés alapján: a= 1 2 . a) A gépkocsi gyorsulása a = Δt s b) A feladatot kétféleképpen oldhatjuk meg. a I. s = v0t + t 2 , behelyettesítve s = 187,5 m. 2 v +v II. s = 0 t alapján: s = 187,5 m. 2 A személygépkocsi 187,5 m utat tesz meg. 2. Egy kezdősebesség nélkül induló, egyenletesen gyorsuló test 6 s alatt 9 m utat tesz meg. a) Mekkora a mozgó test gyorsulása? b) Mekkora a test sebessége 6 s eltelte után? c) Mekkora utat tett meg a test az ötödik másodperc végéig? d) Mekkora utat tett meg a mozgás ötödik és hatodik másodperce között? Megoldás: Adatok: t = 6 s, s = 9 m. a) a = ? b) v = ? c) s5 = ? d) ∆s = ? a) A test gyorsulása: 2s 18 m = 0,5 2 . a= 2 = 36 t s A test sebessége a 6. másodperc végén: b) m v = a⋅t = 0,5⋅6 = 3 . s c) Az ötödik másodperc végéig megtett út: a 0,5 25 = 6,25 m. s5 = t 2 = 2 2 A hatodik másodpercben megtett utat megkapjuk, ha az első hat másodperc d) alatti útból kivonjuk az első öt másodperc alatti utat:
12
∆s =
(
)
a 2 2 t6 − t5 = 2
m s 2 36s 2 − 25s 2 = 2,75 m. 2
0,5
(
)
3. Legalább milyen hosszú kifutópálya szükséges a MIG-29 katonai repülőgép felszállásához, hogy a repülőgép egyenletesen gyorsuló mozgással elérje a földön km sebességet, ha teljes terhelés esetén a maximális a felszálláshoz szükséges 225 h m gyorsulása 4 2 ? s Megoldás: Adatok: km m v = 225 = 62,5 , h s m a=4 2 . s A felszálláshoz szükséges idő: m 62,5 v s = 15,625 s. t= = m a 4 2 s A kifutópálya minimális hossza: m 4 2 a 2 2 s = t = s (15,625s ) = 488,25 m. 2 2 Biztonsági okokból a repülőtereken a kifutópályák hossza minimális a felszállási hossznál lényegesen hosszabb (min. kétszerese).
m állandó gyorsulással 75 m-es úton gyorsít. s2 Mennyi ideig gyorsított? Mekkora lett a végsebessége? Rajzold fel a mozgás út-idő és sebesség-idő grafikonjait!
4. Egy autó induláskor 1,5 e) f) g) Megoldás:
Adatok: a = 1,5
m , s = 75 m. s2
a) b) c)
t=? v=?
a)
Az autó az s =
a 2 ⋅ t összefüggés alapján, t = 2 t=
2s = a
13
2⋅s ideig gyorsít. a
2 ⋅ 75m = 10 s. m 1,5 2 s
b)
Az autó végsebessége: v = a ⋅ t = 15
c)
m . s
A mozgás grafikonjai:
15. ábra: Az egyenletesen gyorsuló mozgást végző gépkocsi grafikonja parabola.
14. ábra: Az egyenletesen gyorsuló mozgást végző gépkocsi sebessége egyenletesen nő.
5. Egy villamos két állomás között 3000 m utat tesz meg. Sebességének nagyságát az ábra mutatja. Mekkora volt a villamos sebessége a két állomás között?
16. ábra: Számold ki a grafikon alatti terület nagyságát!
Megoldás: A grafikon alatti terület a megtett úttal egyenlő. Egyenletesen változó mozgásnál a v grafikon alatti terület megegyezik a átlagsebességgel egyenletesen haladó jármű 2 sebességével. Így felírható: v v s = t1 + v⋅t2 + ⋅t3, 2 2 m km amelyből v = 10 = 36 . s h km . A villamos sebessége a két állomás között 36 h
14
5. lecke
Kezdősebességgel rendelkező egyenletesen változó mozgások
1. Egy teherautó 10
m m sebességről 20 másodpercen keresztül 0,6 2 gyorsulással s s
gyorsít. a. Mekkora sebességre tesz szert a teherautó? b. Mennyi utat fut be az idő alatt? Megoldás: Adatok: m v0 = 10 s t = 20 s m a = 0,6 2 s a) v = ? b) s= ? a)
b)
A teherautó sebességét a v = v0 + a ⋅ t összefüggéssel számíthatjuk ki. m m v = 10 + 0,6 2 ⋅20 s = 22 . s s m A teherautó 22 sebességet ért el. s a A teherautó által befutott utat az s = v0⋅t + t 2 összefüggés alapján számítjuk 2
ki. m ⋅20 s + s A teherautó 320 m utat fut be. s = 10
m s 2 (20s) 2 = 320 m. 2
0,6
km sebességről 6 másodperc alatt lassult le, és állt meg. Egy h m motorkerékpáros álló helyzetből indulva 6 s alatt érte el a 18 sebességet. s Melyiknek volt nagyobb a gyorsulása? Megoldás: Adatok: km v1 = 54 h t=6s m v = 18 s aautó = ?, amotor = ?
2. Egy autó 54
15
m s = -2,5 m . Az autó gyorsulása: aautó = 6s − 0s s2 m m 18 − 0 s =3 m s A motorkerékpáros gyorsulása: amotor = 6s − 0s s2 0 − 15
A motorkerékpáros gyorsulása volt a nagyobb: ⎟aautó⎢< amotor.
km sebességről 8 s alatt fékezett le, egyenletesen változó mozgással. h h) Mekkora a fékút? i) Rajzold fel a mozgás út-idő és sebesség-idő grafikonjait! Megoldás: km m Adatok: v = 72 = 20 , t = 8 s. h s a) A fékút kiszámításához először a gyorsulást kell meghatároznunk: m m 0 − 20 Δv s = −2,5 m . = s a= Δt 8s s2 A fékút: m 2,5 2 a s 64 s 2 = 80m . s = t2 = 2 2
3. Egy gépkocsi 72
b)
A mozgás út-idő és sebesség-idő grafikonjai:
17. ábra: Egyenletesen lassuló mozgásnál a gépkocsi egyre lassabban halad. Az egyes időtartamokra eső megtett utakról mit mondhatunk?
18. ábra: A Sebesség egyenletesen csökken?
16
4. Egy álló helyzetből induló autó 12 másodperc alatt 108
km sebességre gyorsult fel. h
Mekkora utat tett meg eközben? Megoldás: Adatok: t = 12s km v = 108 h s=? Első lépésben az álló helyzetből induló autó gyorsulását számítjuk ki. m 30 v s = 2,5 m . a= = t 12s s2 Az autó által megtett út: m 2,5 2 a s 144s 2 = 180 m. s = t2 = 2 2 Az autó által 12 másodperc alatt megtett út 180 m. 5. Az ábrán egy kerékpáros sebesség-idő grafikonja látható. a) Milyen mozgást végez a kerékpáros az egyes időközökben? b) Mekkora a gyorsulása, és mennyi utat tesz meg az egyes időközökben? 19. ábra: Melyszakaszokon nő, csökken ill. állandó a mozgás sebessége?
Megoldás: a) Az egyes időközök alatti mozgások: I. egyenletesen gyorsuló mozgás II. egyenletes mozgás (v=állandó) III. egyenletesen lassuló mozgás Δv b) A gyorsulást az a = összefüggéssel számítjuk ki. A megtett utat Δt a egyenletesen változó mozgásnál az s = t 2 , míg egyenletes mozgásnál s = 2 v ⋅ t felhasználásával számítjuk ki. m m 3 −0 s = 1,5 m , ⇒ s = 3 m. a1 = s 1 2s − 0s s2 m m 3 −3 s = 0 m , ⇒ s = 6 m. a2 = s 1 4s − 2s s2
17
0 a3 =
m m −3 s s = −3 m , ⇒ s = 1,5 m. 1 5s − 4 s s2
A kerékpáros az egyes szakaszokon rendre 3 m-t, 6 m-t és 1,5 m-t tesz meg. 6.
Álló helyzetből induló jármű 20 másodpercen keresztül egyenletesen gyorsít. m Gyorsulása 1 2 , majd a megszerzett sebességgel egyenletesen mozog. s c) Mekkora utat tesz meg a jármű az indulástól számított 60 s alatt? d) Mennyi idő alatt tesz meg 300 m utat? Megoldás: m Adatok: t1 = 20 s, a = 1 2 , t2 = 60 s, s2 = 300 m. s a) A mozgás egy egyenletesen gyorsuló és egy egyenletes mozgásból áll. a Az egyenletesen gyorsuló szakasz: s1 = t 2 = 200 m. 2 Az egyenletesen gyorsuló mozgás alatt elért végsebességgel halad a test az egyenletes mozgás alatt: m v = a ⋅ t = 20 , s2 = v(t2-t1) = 800 m. s A összes megtett út: s = s1 + s2 = 1000 m. Az indulástól számított 20 s alatt 1 km-t tett meg a jármű. m b) Az első 200 m-t 20 s alatt teszi meg, a további 100 m-en 20 sebességgel s halad. Így az összes eltelt idő: t = 25 s.
7. Egyenletesen gyorsuló gépkocsi sebessége 12 s alatt a kezdeti érték háromszorosára nőtt, miközben a jármű 240 m utat tett meg. Mekkora volt a gépkocsi kezdeti sebessége és a gyorsulása? Megoldás: Adatok: t = 12 s s = 240 m v0 = ? a=? A gépkocsi kezdeti sebessége v0, végsebessége 3v0. v + 3v 0 A gépkocsi kezdősebességét az s = 0 t összefüggéssel számíthatjuk ki, amelyre 2 m v0 = 10 -ot kapunk. s m m 30 − 10 Δv s = 1,66 m . s A gépkocsi gyorsulása: a = = Δt 12s s2 18
A gépkocsi kezdeti sebessége 10
m m , a gyorsulása pedig 1,66 2 volt. s s
8. Az Anna-kolibrik testhossza csupán tíz centiméter, üzemanyaguk teljesen hétköznapi nektár, mégis ők tartják a zuhanórepülés világrekordját. A kolibri minden más gerinces állat repülési rekordját megdöntötte, még a fecskéét is, amely testhosszának csupán a 350-szeresét teszi meg másodpercenként. Az Anna-kolibri közel függőleges m irányú zuhanásban27,3 sebességre gyorsul fel, 4,2 m-es úton. A zuhanás végén s hirtelen széttárja szárnyait, és felröppen. Mekkora gyorsulással zuhan a kolibri? Megoldás: Adatok: m v = 27,3 s s = 4,2 m a=? A kolibri gyorsulása a v = 2as összefüggésből számítható ki, amely levezethető az s = a 2 t és a v = a⋅t összefüggésekből. 2 m (27,3 ) 2 m v2 s = 88,725 2 . = A gyorsulás: a = 2s 2 ⋅ 4,2m s m Az Anna-kolibrik 88,725 2 gyorsulással zuhan. s
19
6. lecke
Szabadesés, függőleges és vízszintes hajítások
1. Egy 12 m magas magasugró toronyból ugró versenyző mennyi idő alatt mutatja be gyakorlatát? Milyen sebességgel ér a vízbe? Megoldás: Adatok: h = 12 m v=?
2s összefüggésbe behelyettesítve t = 1,55 s. g A vízbeérés sebességét kétféleképpen számolhatjuk ki: m I. A v = g ⋅ t alapján v = 15,5 . s m II. A v = 2 ⋅ g ⋅ s alapján a sebesség: v = 15,5 . s A vízbeérés ideje: t =
A magasugró 1,55 s alatt, 15,5
m sebességgel ér a vízbe. s
2. A Pisai ferdetorony magassága legalacsonyabb oldalán 55,68 m, míg a legmagasabb oldalán 56,70 m. Amennyiben Galilei ejtési kísérleteket végzett volna a ferdetoronyból, mennyi idő alatt és milyen sebességgel értek volna le a vasgolyók? Mekkora lett volna az átlagsebességük? Megoldás: Adatok: h = 55,68 m t=? vátl = ?
g 2 t -ből számítható, ahonnan t = 3,34 s. 2 m A v = g⋅t összefüggésből: v = 33,4 . s
A szabadesés ideje a h =
A ferdetoronyból eső test átlagsebessége: vátl = A vasgolyók 3,34 s alatt 33,4
h m =16,67 . t s
m m sebességgel éretek volna a talajra 16,67 s s
átlagsebességgel.
20
3. A bungee jumpinggal mélybe ugró ember sebessége az egyik pontban 3
m , míg a s
m . Menyi idő telik el míg egyik pontból a másikba ér? Mekkora a s két pont közötti távolság? Megoldás: m m Adatok: v1 = 3 , v2 = 6 . s s ∆t = ? ∆s = ?
másik pontban 6
A szabadesés kezdetétől eltelt idő: v1 , melyből v1 = 0,3 s, g v t2 = 2 , melyből v2 = 0,6 s. g ∆t = t2 – t1 , ∆t = 0,3 s.
t1 =
A két pont közötti távolság:
g 2 g 2 t 2 − t1 , 2 2 behelyettesítve: ∆s = 1,35 m. ∆s = s2 – s1 =
A mélybe ugró ember 0,3 s alatt ér az egyik pontból a másikba, amelyek közötti távolság 1,35 m.
m sebességgel mozog lefelé. A felvonó mellett s kavicsot ejtünk el. Mikor és hol találkozik a kavics a felvonóval? Mekkora a találkozáskor a kavics sebessége? Rajzoljuk fel a felvonó és a kavics út-idő és sebesség-idő grafikonját! Megoldás: Adatok: m v = 12 s t=? s=? vk = ? 4. Egy személyfelvonó egyenletesen 12
A felvonó egyenletes mozgással mozog, míg az elejtett kavics szabadeséssel. A megtett útjaik egyenlők. g v ⋅t = t2 2 m 2v -ből t = 2,4 s. A megtett út s = v⋅t = 12 ⋅2,4 s = 28,8 m. At= g s
21
A kavics sebessége vk = g⋅t = 10
m m ⋅2,4 s = 24 . 2 s s
20. ábra: Hogyan változik a mozgás folyamán a személyfelvonó és a kavics sebessége?
21. ábra: A személyfelvonó egyenletes mozgást végez, míg a kavics szabadesést.
A kavics a felvonóval 2,4 s múlva találkozik, ez idő alatt mindkét test 28,8 m-t tett meg. m Találkozáskor a kavics sebessége 24 . s 5. Egy test h = 80 m magasról esik. Osszuk fel az utat kettő olyan részre, amelyet a test egyenlő időközök alatt tesz meg! Megoldás: Adatok: h = 80 m
A h magasságból az esés ideje: t = 4s. Mindkét útszakaszt 2 s alatt teszi meg, a megtett utak: h1 = 20 m, h2 = 60 m. A 80 m-es út első 20 m-ét és a további 60 m-t egyaránt 2 s alatt tette meg a szabadon eső test.
6. Egy helyben lebegő léghajóból kidobunk egy testet a föld felé irányuló v0 = 10
kezdősebességgel. a) Mekkora lesz a test sebessége 8 s múlva? b) Mekkora utat tesz meg a test 8 s alatt? c) Rajzold fel az út-, sebesség- és gyorsulás-idő grafikonokat! Megoldás: m Adatok: v0 = 10 , t = 8 s. s a)
A test pillanatnyi sebessége: v = v0 + g ⋅ t , behelyettesítve: v = 90
m . s 1 A megtett út a h = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t 2 alapján számítható. 2
A test sebessége 8 s múlva 90 b)
22
m . s
m s
h = 80m + 320 m = 400 m. A kidobott test 400 m utat tesz meg. c)
A léghajóból kidobott test mozgásának grafikonjai:
24. ábra: Az egyenletesen gyorsuló mozgást végző test megtett út - idő grafikonja parabola.
7.
22. ábra: A sebesség-idő grafikon alapján is kiszámítható a megtett út nagysága?
A földről függőlegesen fellőtt test sebessége v0 = 20
23. ábra: A gyorsulás- idő koordinátarendszerben a grafikon alatti terület a sebességváltozás előjeles nagyságával egyenlő.
m . s
a) Mekkora a test sebessége 1 s, 2 s, 4 s múlva? b) Mekkora magasságban van ezekben az időpontokban a test? Megoldás: Adatok: m v0 = 20 s a) v1 = ?, v2 = ?, v3 = ? b) h1 = ?, h2 = ?, h3 = ? a) A test függőleges hajítást végez függőlegesen felfelé. m m m - 10 2 ⋅ 1s = 10 , s s s m m m - 10 2 ⋅ 2s = 0 , v2 = v0 - g⋅t2 = 20 s s s m m m - 10 2 ⋅ 4s = - 20 . v3 = v0 - g⋅t3 = 20 s s s
v1 = v0 - g⋅t1 = 20
m s 2 (1s )2 = 15 m. 2 m 10 2 g m s (2 s )2 = 20 m. h2 = v0⋅t2 - t 22 = 20 2s2 2 s m 10 2 g 2 m s (4 s )2 = 0 m. h3 = v0⋅t - t 3 = 20 4s2 2 s
g m 1sh1 = v0⋅t1 - t 12 = 20 2 s
10
23
A földről függőleges hajítást végző test az elhajítás után 1 s múlva 15 m-es m sebességgel halad. Kettő másodperc múlva 20 m magasságban magasságban 10 s m a sebessége), vagyis ez a pálya legmagasabb pontja. A harmadik esetben megáll (0 s m sebességgel (a sebesség iránya lesz 4 s alatt visszatért a kiindulási helyzetébe – 20 s ellentétes az elhajítás sebességével). Mekkora vízszintes irányú sebességgel kell egy 45 m magas toronyház tetejéről eldobnunk egy kavicsot ahhoz, hogy a kavics a toronyháztól 60 m-re érjen földet? Megoldás: Adatok: h = 45 m, s = 60 m v0 = ? 8.
A kavics a mozgása folyamán vízszintes hajítást végez: függőlegesen szabadon esik, míg vízszintesen egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A szabadesésének ideje: 2⋅h = 3 s. g Ezen idő alatt a kavics vízszintesen egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, így a kezdősebessége: 60 m m s = 20 . v0 = = t 3s s m A kavicsot vízszintesen 20 sebességet kell elhajítani. s t=
24
7. lecke 6.
Newton I. törvénye Mi a magyarázata az alábbi jelenségeknek? a) A háziasszonyok az ablakon át ki szokták rázni a portörlő rongyot. Miért hullanak ki a rongyból a porrészecskék? Megoldás: A rázás következtében a tehetetlenségüknél fogva hullanak ki a részecskék a törlőrongyból. b)
Miért löttyen ki a leves a tányérunkból, ha hirtelen megmozdítjuk a tányért? Megoldás: A leves tehetetlenségénél fogva helyben marad, a tényár „kiszalad” alóla.
c)
A meglazult kalapácsnyelet szeretnénk a kalapács fejébe beleerősíteni. Melyik erősítési mód a jobb? Megoldás: A kalapács fejének nagyobb a tömege, mint a nyelének. Ezért a kalapács nyelét kell a talajhoz ütnünk. A kalapács feje jobban rászorul a nyélre, mintha fordítva tennénk.
25. ábra: Melyik esetben szorul rá jobban a nyélre a kalapács feje?
7.
Inerciarendszernek tekinthető-e a következő testekhez rögzített vonatkoztatási rendszer: a) az úttest mellett álló személygépkocsi; b) egyenes vonalú, egyenletes mozgást végző kerékpáros; c) kanyarodó autóbusz; d) fékező vonat? Megoldás: a) A személygépkocsi áll, inerciarendszernek tekinthető. b) A kerékpáros is inerciarendszernek tekinthető. c) Nem inerciarendszer. d) Nem inerciarendszer.
25
8.
Egy űrhajókabinból a Földre történő visszaérkezése közben vízszintes v sebességgel kilőnek az űrhajóból egy kis csomagot. Milyen mozgást végez a csomag a szabadesés alatt lévő kabinból figyelve? Megoldás: A szabadesést végző kabinhoz képest a csomag vízszintes irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (külső körülmények zavaró hatásától eltekintünk).
9.
Ha hirtelen mozdulattal kirántjuk a vízzel teli pohár alól a papírlapot, a pohár alig mozdul el, de a papírlapot ki tudjuk húzni. Ha lassan, óvatosan végezzük el a kísérletet, akkor nem sikerül kihúzni a lapot. Mi az oka? Megoldás: A pohár a tehetetlensége miatt az első esetben mozdulatlan marad a pohár. 26. ábra: Miért nem szakad el a vékony papírlap?
10.
Személygépkocsiban egy fonál végére egy kis vasgolyót rögzítünk. Mi történik a vasgolyóval, ha az autó elindul vagy fékez? Merre mozdul el a vasgolyó, amikor a gépkocsi elindul? Megoldás: Az autó elinduláskor a vasgolyó tehetetlenségénél fogva mozgásiránnyal ellentétesen mozdul el, míg fékezéskor az eredeti mozgásirányba lendül ki. 27. ábra: Gépkocsiban fonálon függő vasgolyó
26
8 lecke
Tömeg, sűrűség
Feladatok: 1. Nézzünk utána az interneten, hogy melyik a szárazföldön, illetve a vízben élő legnagyobb tömegű állat? Mekkora a tömegük? Megoldás: Szárazföldön: afrikai elefánt kb. 5 tonna, vízen: kékbálna 130 tonna. 2.
A higany sűrűsége ρHg = 13 546
kg . m3
a) Mekkora a tömege 1 dm3 higanynak? b) Mekkora a térfogata 1 kg higanynak? Megoldás: Adatok: V = 1 dm3 = 10-3 m3, ρHg = 13 546
kg . m3
m =? V=? a) Az 1 dm3 higany tömege: m = ρ⋅V = 13 546
kg ⋅ 10-3 m3 = 13,546 kg⋅ 3 m
b) Az 1 kg higany térfogata: V=
m
ρ
1kg
=
13546
kg m3
= 7,38⋅10-5 m3 (=73,8 cm3).
Az 1 dm3 higany tömege 13546 kg, míg az 1 kg térfogata 7,38⋅10-5 m3. 3.
Egy 225 tonnás jéghegy térfogata 250 m3. Mekkora a jéghegy sűrűsége? Megoldás: Adatok: m = 225 t = 2,25⋅105 kg, V = 250 m3 ρ =? A jéghegy sűrűsége: ρ =
A jéghegy 900
2,25 ⋅ 10 5 kg m kg = = 900 3 . 3 V 250 m m
kg sűrűségű. m3
27
4.
Mekkora annak a hordónak a térfogata, amelybe 180 kg tömegű gázolajat tudtunk tölteni, ha az gázolaj sűrűsége 840
kg ? m3
Megoldás: Adatok: ρ = 840
kg m3
m = 180 kg, V=? A hordó térfogata: V=
m
ρ
=
180 kg = 0,214 m3. kg 840 3 m
A gázolajat 0,214 m3 (=214 liter) térfogatú hordóba tudjuk beletölteni. 5.
Egy üzemanyagtöltő állomáson a föld alá helyezett henger alakú vastartály hossza 12,5 m, belső átmérője 2,9 m. A tartályt 90%-áig megtöltve hányszor lehet belőle 50 liter benzint tankolni? (ρbenzin = 740
kg ) m3
Megoldás: Adatok: h = 12,5 m, r = 1,45 m, ρbenzin = 740
kg , Va = 50 l = 0,05 m3. 3 m
A benzintartály térfogata: V = r2⋅π⋅m = (1,45 m)2 ⋅π ⋅12,5 m = 82,56 m3. Ennek 90%-a: V’ = 74,3 m3. A megtankolható autók száma: n =
6.
V ' 74,3m 3 = = 1486 db. Va 0,05m 3
A Négyjegyű Függvénytáblázat c. könyv magassága 23,5 cm, szélessége16,5 cm és vastagsága 2 cm, a tömege pedig 610 g. Egy ugyanekkora alumínium téglatest tömege 2,1 kg. Mekkora az egyes testek sűrűsége külön-külön? Megoldás: Adatok: a = 23,5 cm = 0,235 m, b = 16,5 cm = 0,165 m, c = 2 cm = 0,02 m, m1 = 610 g = 0,61 kg, m2 = 2,1 kg. ρ 1 = ?, ρ 2 = ? A Négyjegyű Függvénytáblázat térfogata és sűrűsége:
28
V1 = a⋅b⋅c = 0,235 m ⋅ 0,165 m ⋅ 0,02 m = 7,755⋅10-4 m3. ρ1 =
kg 0,61kg = 786,6 3 . −4 3 7,755 ⋅ 10 m m
Az alumínium téglatest térfogata és sűrűsége: V2 = V1 = 7,755⋅10-4 m3. ρ2 =
kg 2,1kg = 2 707,9 3 . −4 3 7,755 ⋅ 10 m m
A Négyjegyű Függvénytáblázat sűrűsége 786,6 2 707,9
kg . m3
29
kg , az alumínium sűrűsége m3
9. lecke
Lendület
Feladatok: 1. Lehet-e egyenlő egy futball- és egy kosárlabda lendülete? Miért? Mi a feltétele
ennek? Megoldás: Lehet, ekkor a két labdára a tömeg és sebesség szorzatának egyenlőnek kell lennie
(m1v1=m2v2).
2.
Mekkora sebességgel halad az a személygépkocsi, amelynek a tömege 1000 kg és lendülete 15000kg
m ? s
Megoldás:
Adatok: m=1000kg I=15000 kg
m s
v=? A lendületre vonatkozó összefüggésből: v=
A személygépkocsi sebessége 15
3.
I = m
m s = 15 m . 1000 kg s
15 000 kg
m . s
Egy eredetileg nyugvó 300 kg tömegű csónakból 2,5
m sebességgel vízbe ugrik s
egy 60 kg tömegű ember. Mekkora és milyen irányú lesz ezután a csónak sebessége? Megoldás:
Adatok: M = 300 kg M = 60 kg m v1 = 2,5 s 30
v2=? A csónak és az ember összes lendülete kiugrás előtt nulla. A csónak az ember sebességével ellentétes irányban indul el. A csónak sebességének nagyságát a lendület-megmaradás törvényéből számíthatjuk ki. 0=M·v2-m·v1, Ebből a csónak sebessége v2 =
m 60kg m m ·v1 = ⋅ 2,5 = 0,5 . M 300kg s s
A csónak sebességének a nagysága 0,5
m lesz, iránya a vízbe ugró ember sebességének s
irányával lesz ellentétes.
4. Egy álló 55 kg tömegű görkorcsolyázó gyermekhez hátulról közeledik egy 45 kg m sebességgel haladó másik görkorcsolyázó, aki találkozáskor hátulról tömegű, 4 s átkarolja az állót. Mekkora közös sebességgel haladnak tovább? Megoldás:
Adatok: m1=55kg m2=45kg m v2=4 s u=? A két görkorcsolyázó találkozásakor rugalmatlan ütközés játszódik le. A lendületmegmaradás törvényét felírva: m1·v1+m2·v2=(m1+m2)·u Mivel v1=0, ezért u=
m2 ⋅ v2 m1 + m2
Behelyettesítve: u= A görkorcsolyázók 1,8
45 kg m m ⋅ 4 = 1,8 55 kg + 45 kg s s
m közös sebességgel haladnak tovább. s
31
m sebességű, 6 kg-os medicinlabdát s dobunk. Mekkora sebességgel fog az 50 kg tömegű görkorcsolyázó haladni, miután elkapta a labdát? Megoldás: Adatok: m v1 = 3 , s M = 50 kg, m = 6 kg u=? Egy görkorcsolyán álló tanulónak szemből 3
5.
A medicinlabda eredeti mozgásirányát vesszük pozitívnak, ehhez viszonyítjuk a sebességek előjelét. A rugalmatlan ütközés játszódik le, így a lendületmegmaradás törvénye: M⋅v + m⋅v1 = (M+m)⋅u. m Az u értéke: u= 0,32 . s m sebességgel halad a medicinlabdával együtt. A görkorcsolyázó 0,32 s
Egy 0,2kg tömegű játékautó, amelynek sebessége 0,4
6.
irányban haladó, 0,15kg tömegű és 0,2 haladó kocsi sebessége 0,4
m , utolér egy vele egy s
m sebességű kocsit. Ütközés után az elöl s
m lesz. Mekkora hátsó játékautó sebessége? s
Megoldás:
Adatok: m1=0,2kg, m2=0,15kg, u 2 = 0,4
m s m v2=0,2 s
v1=0,4
m s
u1=?
28. ábra: Hogyan vesszük figyelembe a lendületek irányát, azaz vektor jellegét?
Az m1 tömegű test mozgásának irányát vegyük pozitív iránynak. Az ütközés tökéletesen rugalmasan játszódik le.
32
A lendület-megmaradás törvényét felírva: m1·v1+m2·v2=m1·u1+m2·u2 Behelyettesítve: 0,2 kg ⋅ 0,4 amelyből u1=0,25
m m m + 0,15 kg ⋅ 0,2 = 0,2 kg ⋅ μ1+ 0,15kg ⋅ 0,4 s s s
m . s
Az m1 tömegű játékautó az eredeti mozgásirányával ellentétesen u1=0,25
m sebességgel s
halad.
7.
Egy házbontáshoz 150 kg-os faltörő ingát használnak. Az ingára függesztett m sebességgel halad át a mozgása vasgolyó előttünk jobbról balra haladva 2,5 s legmélyebb pontján. Mennyi lesz lendületének megváltozása, míg balról jövet jobbra halad át a legmélyebb pontján?
Megoldás:
Adatok: M=150kg m v = 2,5 s ∆I=?
29. ábra: A lendület „visszafelé” jövet előjelet vált.
A lendületváltozás a sebesség irányának megváltozásából következik. r ΔI = v − (−v) = 2v .
r r m m Így ΔI = m ⋅ Δv = 150kg ⋅ 5 = 750kg . s s
r m A faltörő inga lendületváltozása ΔI =750 kg . s
33
10. lecke
Newton II. törvénye
Feladatok:
1.
Mekkora erő gyorsítja a 250kg tömegű motorkerékpárt, ha gyorsulása 2,5
m ? s2
Megoldás:
Adatok: m=250kg m a=2,5 2 s F=? Newton II. törvénye alapján: F=m·a=250kg·2,5
m =625N. s2
A motorkerékpárt 625 N nagyságú erő gyorsítja.
2.
Egy teherautó 4 500 N erő hatására 0,6
m gyorsulással mozgott. Mekkora a s2
tömege? Megoldás: Adatok: F= 4500 N m a=0,6 2 s m=? Newton II. törvényéből kifejezve: m=
F 4500 N = = 7500kg . a 0,6 m s2
A teherautó tömege 7 500 kg. 3.
Mekkora erő hat az 500 kg tömegű pótkocsira, ha sebességét 8 másodperc alatt m zérusról 10 -ra gyorsítja? Mekkora lendületre tesz szert a pótkocsi a gyorsítás s folyamán? Megoldás: Adatok: t = 8 s, m = 500 kg, m v = 10 s F=?
34
I=? A gépkocsira ható erő nagysága: ΔI mΔv F= = = 625 N. Δt Δt Lendület: m I = mv = 5000 kg . s
a)
b)
A pótkocsira 625 N nagyságú erő hat, miközben 5 000 kg
m nagyságú lendületre tesz s
szert. 4.
Mekkora állandó erőt kell az 50 kg tömegű kiskocsira kifejteni, hogy a kocsi az indulástól számított 5 s alatt 12,5 m utat tegyen meg? Megoldás: Adatok: m = 50 kg, t = 5 s, s = 12,5 m F=? a 2 t összefüggésből! 2 2s m a= 2 =1 2 . t s A kiskocsira ható gyorsító erő nagysága: m F = m⋅a = 50 kg ⋅1 2 = 50 N. s A kiskocsira 50 N állandó erő hat a 12,5 m-es úton.
Számítsuk ki a kiskocsi gyorsulását az s =
5.
Mennyi idő alatt gyorsul fel az 1200 kg tömegű gépkocsi 54 72
km sebességre, ha 3000N állandó nagyságú erő gyorsítja? h
Megoldás:
Adatok: m=1200kg F=3000N km m v1=54 = 15 h s km m v2=72 = 20 h s s=? A gyorsulás az F=m·a alapján:
35
km sebességről h
a= A gyorsulás ideje az a=
F 3000 N m = = 2,5 2 . m 1200kg s
Δv -ből: Δt t=
Δv = a
20
m m − 15 s s = 2s . m 2,5 2 s
A megtett utat kétféleképpen számolhatjuk ki. I. A grafikon alatti terület adja a megtett utat: v + v2 s= 1 ⋅t , 2 m m 15 + 20 s ⋅ 2s = 35m . s= s 2
II.
30. ábra: A sebesség-idő koordinátarendszerben a grafikon alatti terület a megtett úttal egyenlő.
a Az s= v 0 ⋅ t + ⋅ t 2 képlettel számolunk. 2 m 2,5 2 m s ⋅ 4s 2 = 35m . s=15 ⋅ 2s + s 2
A gépkocsi 2 s alatt gyorsul fel, ezalatt 35 m utat tesz meg. 6.
A grafikon egy 800 kg tömegű személygépkocsi mozgásáról készült. A grafikon alapján határozzuk meg, hogy mekkora volt a személygépkocsi gyorsulása! Egy irányban haladt-e, vagy menet közben megfordult a gépkocsi? Megoldás: Adatok: m = 800kg a=? Jelöljük rendre a1, a2 és a3-mal az egyes szakaszok gyorsulását. F 1000 N m a1 = 1 = = 1,25 2 , m 800kg s m a2=0 2 , mert F = 0 N. s F3 − 600 N m = −0,75 2 , a3= = m 800kg s tehát a személygépkocsi lassult a 3. szakaszban.
36
31. ábra: A mozgás folyamán egy irányban haladt vagy megfordult a gépkocsi?
A személygépkocsi gyorsulása az egyes szakaszokon: 1,25
m m m , 0 2 , -0,75 2 . 2 s s s
A gépkocsi sebessége az 1. szakasz végén: v1 = a1t1 = 1,25
m m 5 s = 6,25 . 2 s s
A 2. szakaszon a személygépkocsi sebessége nem változik (v2 = v1). A 3. szakasz végén a sebessége: v3 = v2 – a3t3 = 6,25
m m m - 0,75 2 15 s = -5 . s s s
m , mivel a 3. szakasz alatt a sebessége s nullára csökken, majd a sebesség iránya ellentétesre fordul. Tehát a személygépkocsi megfordul menet közben.
A személygépkocsi sebessége a 3. szakasz végére -5
7.
Mekkora állandó gyorsító erő szükséges ahhoz, hogy az m = 1260 kg tömegű km személyautó 100 m úton 54 sebességet érjen el? h
Megoldás: Adatok: m=1 260 kg s=100m km m v = 54 = 15 h s
F=? A test gyorsulását kell meghatároznunk, majd abból megkapjuk a gyorsító erő nagyságát. v t= , A v=a·t összefüggésből: a 2
amelyet az
a⎛v⎞ v2 v2 ⇒a= s= ⎜ ⎟ = . 2⎝ a ⎠ 2a 2s
Behelyettesítve: m2 225 2 s = 1,125 m . a= 2 ⋅100m s2
A testre ható gyorsító erő: m = 1417,5 N. s2 1417,5 N gyorsítóerő szükséges a személyautó felgyorsításához. F = m ⋅ a = 1260 kg ⋅ 1,125
37
11. lecke
Newton III. törvénye
Feladatok
1.
A lovas kocsit a ló ugyanakkora erővel húzza, mint amekkora erővel a kocsi hat a lóra. Miért nem marad a kocsi nyugalomban?
Megoldás:
A lovaskocsi és a ló között valóban Newton III. törvénye értelmében ugyanakkora nagyságú, de ellentétes irányú erő hat. A ló és a kocsi nem alkot zárt rendszert, mert ló lábával erőt fejt ki a talajra. Ez az erő a (un. tapadási súrlódási erő) fogja mozgatni a lovaskocsit a menetirányban.
Egy kötélhúzó versenyen két csapatban 5- 5 ember húzza ellentétes irányban a kötél két végét. Mindkét csapat a kötélre 2000-2000 N erőt fejt ki. Elszakad-e a kötél, ha 2400 N-nál nagyobb terhelést nem bír el? Megoldás: 2.
Az egyik csapat által kifejtett 2000 N erő hat a másik csapatra, míg a másik által kifejtett 2000 N erő hat az elsőre. Ezek a kölcsönhatásban fellépő erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak. A kötél bármely pontját is tekintjük, akkor arra 2000 N nagyságú erő hat, így a kötél nem szakadhat el.
3.
Egy fonállal összekötött rugó mindkét irányban 8 N nagyságú erőt fejt ki. Két oldalról egy 0,1kg és egy 0,4kg tömegű kiskocsihoz rögzítjük. A fonalat elégetve 0,1s-ig tartó állandó 8 N nagyságú erők gyorsítják a kocsikat. a) Mekkora az egyes kocsik gyorsulása? b) Mekkora végsebességet érnek el a kiskocsik? Megoldás:
Adatok: F=8N t=0,1s m1 = 0,1 kg m2 = 0,4 kg a) a1=?; a2=? b) v1=?; v2=? a) A fonal elégetése után mindkét kiskocsira 8 N nagyságú gyorsító erő hat. Newton II. törvénye értelmében a gyorsulások: F 8N m a1 = = = 80 2 , m1 0,1kg s
38
a2 =
F 8N m = = 20 2 . m 2 0,4kg s
Az egyes kocsik gyorsulása 80
m m , illetve 20 2 . 2 s s
A kiskocsikra t=0,1s-ig állandó gyorsító erő hat, így a végsebességek: m m v1 = a 1 ⋅ t = 80 2 ⋅ 0,1s = 8 , s s
b)
v 2 = a 2 ⋅ t = 20
A kiskocsik végsebessége 8
4.
m m ⋅ 0,1s = 2 . 2 s s
m m és 2 . s s
Egy összeszorított rugót fonállal összekötünk, majd egyik oldalára egy 0,5kg, míg a másik oldalára pedig egy ismeretlen tömegű golyót helyezünk. A fonál m m elégetésekor a 0,5kg-os golyót 6 sebességgel, míg a másikat 1,5 sebességgel s s löki el. Mekkora az ismeretlen golyó tömege? Ezt a módszert a lendület alapján történő tömegmérésnek nevezik.
Megoldás:
Adatok: m1=0,5kg m v1= 6 s m v2= 1,5 s m2=? A fonal elégetésekor a rugó mindkét golyóra ugyanakkora erővel hat. Így ∆t idő alatt mindkét golyó megegyező nagyságú lendületváltozást szenved. ∆I1=∆I2, m1·∆v1=m2·∆v2. Az m2-t kifejezve és behelyettesítve:
m Δv m2 = m1 ⋅ 1 = 0,5kg ⋅ s = 2kg. m Δv2 1,5 s Az ismeretlen tömegű golyó tömege 2 kg. 6
39
5.
Egy 57 kg tömegű nyugvó bomba három részre esik szét, amelyek közül kettő m egymásra merőlegesen 6 sebességgel távozik. Milyen irányban és mekkora s sebességgel repül el a harmadik darab?
Megoldás:
Adatok: M=57 kg,
v1 = 6
m m , v2 = 6 . s s
v3 = ? A lendületmegmaradás törvénye értelmében a robbanás előtti lendületek összege egyenlő a robbanás utáni lendületek összegével. A harmadik repeszdarab lendülete m egyenlő nagyságú és ellentétes irányú a két 6 sebességgel haladó test lendületének s összegével. A szétrepülő repeszek tömege egyenként m=19 kg, az ismert sebességűek lendülete: m m m I1=m1v1=19kg⋅6 =114 kg , I2=114 kg , I2 = I1. s s s 2
2
m m⎞ m⎞ ⎛ ⎛ Így I 3 = I + I = ⎜114 kg ⎟ + ⎜114 kg ⎟ = 161,22 kg . s⎠ s s⎠ ⎝ ⎝ A harmadik repeszdarab sebessége: m 161,22 kg I3 s ≈ 16,12 m . = v3 = s 10 kg m3 A harmadik darab iránya mindkét repeszdarabbal 135°-os szöget zár be. 2 1
2 2
32. ábra: A harmadik repeszdarab lendülete az első két repeszdarab lendületének összegével egyenlő.
40
12. lecke
A dinamika alapegyenlete
Feladatok: 1. Mekkora és milyen irányú a testre ható erők eredője az alábbi esetekben?
a) A teherautó egyenes vonalú pályán egyenletesen gyorsul, majd egyenletes mozgást végez, végül lassul. b) Ejtőernyős egyenletes sebességgel süllyed a Föld felé. Megoldás:
Adatok: a) Gyorsulás esetén az eredő erő a mozgás iránnyal megegyező. Egyenletes mozgásnál az eredő erő nagysága nulla. Lassulás esetén az eredő erő a mozgás irányával ellentétes. b)
2.
Az eredő nagysága nulla.
Lehet-e a testre ható erők eredőjének nagysága kisebb, valamelyik összetevőjének nagyságánál? Rajzoljuk le! Megoldás:
A két erő egymással tompaszöget zár be, akkor az eredő erő kisebb valamelyik összetevőnél. Ha a két erő egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, akkor az eredő nullvektor. 33. ábra: Az eredő nagysága kisebb is lehet, mint bármelyik összetevő nagysága.
3.
Egy megfeszített íj húrjai 120°-os szöget zárnak be egymással. Mindegyik húr 150N nagyságú erővel feszít. Mekkora gyorsulással indul el a 0,5 kg tömegű nyíl? Megoldás: Adatok: F1 = 150 N, F2 = 150 N, α = 120°, m = 150 kg. a=?
r r Az F1 és F2 nyíl húrjaiban ható erők, és α = 60°-os szöget zárnak be a kilövés irányával. A nyíl az eredő irányában gyorsul. Az ábra r látható szabályos háromszögekből következik, hogy Fe = 60° . 34. ábra: A nyílvesszőre F1 és F2 erők hatnak, mégis úgy gyorsul, mintha az eredő gyorsította volna.
41
4.
Egy labdát egyszerre ketten értek el, és egymásra merőleges irányú 100N és 300N nagyságú erővel rúgtak bele. Határozd meg az eredő nagyságát, és szerkeszd meg az eredő irányát! Megoldás:
Adatok: F1 = 100 N, F2 = 300 N Fe = ? Az eredő nagyságát Pitagorasz tétellel határozzuk meg.
Fe2 = F12 + F22 ⇒ Fe=316,2N. 35. ábra: Az eredő erő nagysága határozza meg a labda mozgásának irányát.
5.
Az 1200kg tömegű gépkocsink motorjának húzóerejét kívánjuk megmérni. km km Mérésünk szerint a jármű 36 sebességről 54 sebességre 8s alatt gyorsult h h fel, és a mozgást akadályozó összes erőt 350N erőre becsüljük. Mekkora húzóerőt fejtett ki a gépjármű motorja?
Megoldás:
Adatok: m=1200kg m km = 10 s h m km v2= 54 = 15 s h t=8s Fell = 350 N Fh=?
36. ábra: A gépjárműre a motor húzóereje és a mozgást akadályozó erő hat.
v1= 36
A dinamika alapegyenlete alapján felírható, hogy Fe=Fh-Fell Határozzuk meg a gépkocsi gyorsulását, majd a dinamika alapegyenletéből az eredő nagyságát. a=
Δv = Δt
15
m m − 10 s = 0,625 m , s s2 8s 42
Fe = m ⋅ a = 1200kg ⋅ 0,625
m = 750 N . s2
Fh=Fe+Fell.
A húzóerő: Behelyettesítve:
Fh=750N+350N=1100N. A gépjármű motorja 1 100 N húzóerőt fejt ki.
6.
Egy folyóban lévő csónakot két gyerek húz. Egyik dél felé 110 N, Míg a másik nyugat felé 100 N erővel. A víz északi irányban 80 N erőt, míg a szél kelet felé 60 N erőt fejt ki. Ezen erők hatására a csónak 0,5
m gyorsulással mozog. s2
a) Mekkora a csónak tömege? b) Szerkeszd meg az eredő irányát! Megoldás:
Adatok: FD = 110 N FNY = 100 N FÉ = 80 N FK = 60 N a = 0,5
m s2
a) m = ? b) Fe = ? a) Az eredő erő nagyságát az ábra felhasználásával határozhatjuk meg. Fe = 50 N.
A csónak tömegét a dinamika alapegyenletéből számíthatjuk ki. m=
Fe 50 N = = 100 kg. m a 0,5 2 s
A csónak 100 kg tömegű. b)
43
37. ábra: A csónak gyorsulását az eredő iránya határozza meg.
7.
Egy 500 000 kg tömegű Airbus 380-as utasszállító repülőgépre felszállás közben a négy hajtóműve egyenként 340 000 N tolóerőt fejt ki. A haladási iránnyal ellentétesen a repülőgépre 260 000 N erő hat. Mekkora úton és mennyi idő alatt éri el az álló helyzetből induló repülőgép a 70
m felszállási sebességet? s
Megoldás:
Adatok: m = 500 000 kg Ft = 340 000 N Fell = 260 000 N v = 70
m s
s=? t=? Az Airbusra ható tolóerő a négy hajtómű által kifejtett tolóerő összege: Ft = 4340 000 N = 1 360 000 N. A Airbusra ható erők eredője Fe = Ft – Fell = 1 360 000 N – 260 000 N = 1 100 000 N. A dinamika alapegyenletéből meghatározzuk az Airbus gyorsulását: a=
Fe m 1100 000 N = = 2,2 2 . m 500 000 N s
A felszálláshoz szükséges idő:
44
m v s = 31,8 s. t= = m a 2,2 2 s 70
A felszálláshoz szükséges úthossz:
a s = t2 = 2
2,2 2
m s 2 (31,8s )2 = 1 113,6 m.
Az álló helyzetből induló repülőgép 31,8 s alatt 1 113,6 m -es pályán éri el a felszálláshoz szükséges 70
m sebességet. s
45
13. lecke
Nehézségi erő, súly és súlytalanság
Feladatok: 8. Válaszoljunk a következő kérdésekre:
a) Mekkora a súlya az 1kg tömegű almának? b) A Citroen gépkocsi tömege 1320kg. Mekkora a súlya? c) Az osztályteremben elejtünk egy 0,5kg tömegű könyvet. Mekkora a könyvre ható nehézségi erő és mekkora a könyv súlya esés közben? Megoldás: a) G=10N.
b)
G=13 200N.
c)
A nehézségi erő mg = 5 N. A könyvnek nincs súlya (G = 0 N), mert
szabadeséssel esik.
9.
Válaszolj a következő kérdésekre: a) Milyen erő hat a Föld körül keringő űrhajóban az űrhajósra? Megoldás: Az űrhajósra csak a nehézségi erő hat. b) Mekkora erővel nyomja az űrhajóban a széket a rajta ülő 75 kg-os űrhajós? Megoldás: Az űrhajó szabad mozgásakor a székre és az űrhajósra is csak a nehézségi erő hat. Így mindannyian közös gyorsulással szabadon esnek a Föld felé. Tehát a szék és az űrhajós között semmilyen erő sem lép fel. c) Szabadon eső liftben egy vízzel teli poharat szájával lefele fordítunk. Mi történik a vízzel? Megoldás: A szabadon eső liftben a pohár és a víz is szabadon esik, így egymáshoz képest nem mozdulnak el. d) Érvényes-e Arkhimédész törvénye a súlytalanság állapotában? Megoldás: Nem, mert a súlytalanság állapotában nem hat felhajtóerő.
46
10.
m gyorsulással indul felfelé. Mekkora erőt mutat a liftben álló 50 kg s2 tömegű fiú lába alá helyezett szobamérleg? Egy lift 1,5
Megoldás:
Adatok: m , felfelé s2 m = 50kg Fn=? a = 1,5
A lift felfelé indul, a dinamika alaptörvénye alapján: m·a=Fnm·g. A szobamérleg által mutatott súly: Fn=m·g+ m·a=m·(g+a). Behelyettesítve: m⎞ ⎛ m Fn = 50kg ⋅ ⎜10 2 + 1,5 2 ⎟ = 575N . s ⎠ ⎝ s
38. ábra: Melyik erő a nagyobb: az Fn vagy az mg?
A szobamérleg 575 N nagyságú erőt mutat.
11.
Mekkora gyorsulással és merre indul az a lift, amely egy 120kg tömegű szekrény súlya 950N? Megoldás:
Adatok: m=120kg Fn = 900 N a=? A szekrény súly „normál” körülmények között 1200N. Mivel a liftben mért súly kisebb, mint a „normál”, ezért a lift lefele mozog. A dinamika alaptörvényét felírva: m·a=m·g- Fn. Behelyettesítve:
39. ábra: Milyen erők hatnak a bútorra?
47
a= A lift lefele mozog 2,5
12.
m 1200 N − 900 N = 2,5 2 . 120kg s
m gyorsulással. s2
Egy kötél maximális terhelése (szakítószilárdsága) 840N. Legfeljebb mekkora gyorsulással mászhat rajta felfelé egy 70kg tömegű ember? Megoldás:
Adatok: m=70kg K = 840 N a=? Az ember felfele gyorsul a kötélen, így az emberre ható erők eredője felfelé mutat. A dinamika alaptörvénye alapján: Fe=K-m·g. A gyorsulás:
m K − m ⋅ g 840 N − 700 N = =2 2 . a= m 70kg s
A kötélen legfeljebb 2
13.
40. ábra: A K erő mire fordítódik? Miért nagyobb, mint az mg?
m gyorsulással mászhat felfelé egy 70 kg tömegű ember. s2
Egy 800N súlyú ember összecsavart lepedőből font függőleges kötélen menekül az égő ház emeletéről. a) Hogyan kell leereszkednie anélkül, hogy a kötél elszakadna, ha a kötél maximális terhelése 700N? b) Mekkora sebességgel érkezik le, ha az emelet magassága 4m? Megoldás:
Adatok: mg=800N; h=4m K max = 700 N a) a=? b) v=? 48
a)
Az embernek egy minimális gyorsulással kell lefele
ereszkednie, hogy ne szakadjon el a kötél. A dinamika alaptörvénye alapján:
41. ábra: Függeszkedhet-e egy helyben ezen a kötélen az ember?
ma=m·g-Kmax. A gyorsulás nagysága: a min =
m ⋅ g − K max . m
Behelyettesítve: a= Az embernek legalább 1,25
m 800 N − 700 N = 1,25 2 . 80kg s
m gyorsulással kell süllyednie, hogy ne szakadjon el a s2
kötél. b)
amin = 1,25
m . s2
A mozgás egy kezdősebesség nélküli egyenletesen gyorsuló mozgás. v min = 2a ⋅ h = 2 ⋅1,25
A földet érés sebessége legalább 3,16
m . s
49
m m ⋅ 4m = 3,16 . 2 s s
14. lecke
A rugóerő
Feladatok: 1. Mekkora annak a rugónak a rugóállandója, amelyet egy 100 N súlyú test 5 cm-rel nyújt meg? Milyen irányú a fellépő rugóerő? Megoldás: Adatok: G = 100 N, ∆x = 5 cm = 0,05 m D = ?, Fr = ?
Newton II. törvénye értelmében a rugó megnyúlását okozó nehézségi erő a rugóerővel tart egyensúlyt: Fr – mg = 0. A rugóállandót az Fr = - D⋅∆x összefüggésből számíthatjuk ki: F 100 N N D= r = = 2 000 . Δx 0,05 m m A rugóerő a rugóra ható erővel ellentétes irányú, azaz a rugóerő a megnyúlással ellentétes irányban lép fel.
42. ábra: A rugóerő és a nehézségi erő hatására egyensúlyban van a felfüggesztett test.
2. Egy vasúti mozdony egy-egy lengéscsillapítójára 3 000 kg teher jut. Mekkora a lengéscsillapítóban használt rugó rugóállandója, ha a mozdony súlya miatt 3 cm-t nyomódik össze? Megoldás: Adatok: m = 3 000 kg ∆x = 3 cm = 0,03 m D=? A lengéscsillapítóra a mozdony Fn nyomóereje hat: Fn = 30 000 N. Az mg nehézségi erő tart egyensúlyt a rugó által kifejtett Fr rugóerővel. Fn = Fr A rugóállandó nagysága az Fr = -D⋅∆x lineáris erőtörvényből a következőképpen számítható ki: D=
F Fr = n . Δx Δx
43. ábra: A lengéscsillapítóra kifejtett nyomóerő egyensúlyt tart a rugóerővel.
Az adatokat behelyettesítve: 30000 N N D= . = 106 0,03 m m A lengéscsillapítóban használt rugóállandó 106
N . m
50
N rugóállandójú rugóra felfüggesztünk egy 2 kg tömegű testet. Mekkora lesz a m rugó megnyúlása, ha a ráakasztott test nyugalomban van? Megoldás: Adatok: N D = 200 m m = 2 kg ∆x = ? 3. Egy 200
Newton II. törvénye értelmében a rugóban ébredő erő tart egyensúlyt a 2 kg tömegű testre ható nehézségi erővel, vagyis mg - D⋅∆x = 0. A rugó megnyúlása: 20 N mg ∆x = = = 0,1 m. N D 200 m A rugó 0,1 m-re nyúlik meg, ha a test nyugalomban van. 4. Egy rugóra akasztott test a Földön 36 cm-rel nyújtja meg a rugót. Mennyire nyújtaná meg a rugót a Holdon ugyanez a test? Megoldás: Adatok: ∆xF = 36 cm = 0,36 m ∆xH = ? 1 A Holdon a testek súlya hatoda a Földön mértnek, vagyis GH = ⋅GF. Ez azt jelenti, hogy a 6 Holdon a rugót a rugóra akasztott test hatod annyira nyújtja meg, vagyis ∆xH = 6 cm-re. N N és egy 1000 rugóállandójú dinamométert összeakasztunk, majd m m széthúzzuk őket. A kisebb rugóállandójú erőmérő 10 N erőt mutat. Mekkora erőt mutat a másik? Mekkora az egyes rugók megnyúlása? Megoldás: Adatok: N D1 = 500 , m N D2 = 1000 , m F1 = 10 N 44. ábra: Az egyes rugókban fellépő F2 = ? rugóerők egyenlőek egymással.
5. Egy 500
Newton III. törvénye értelmében a nagyobb rugóállandójú erőmérő is 10 N nagyságú erőt mutat: (F = F1 = F2 ) Az egyes rugók megnyúlását az F = -D⋅∆x összefüggéssel számítjuk ki.
51
10 N F = 0,02 m, = N D1 500 m 10 N F ∆x2 = = 0,01 m. = N D2 1000 m A másik rugóban is 10 N nagyságú erő hat. A két rugó megnyúlása rendre 0,02 m és 0,01 m.
∆x1 =
N N és egy 200 rugóállandójú rugót párhuzamosan kötünk egymással. A m m végükre helyezett, mindvégig vízszintes pálcát 30 N erővel húzunk. a) Mekkora a rugók megnyúlása? Mekkora erőt fejtenek ki az egyes rugók? b) Mekkora rugóállandójú rugóval lehetne helyettesíteni a két rugót? Megoldás: Adatok: N D1 = 100 , m N D2 = 200 , m F = 30 N a) ∆x1 = ?, ∆x2 = ?, F1 = ?, F2 = ? b) De = ? a) A két rugó egyenlő mértékben nyúlik meg (∆x1 = ∆x2), mivel a pálca mindvégig vízszintes marad. Az F = 30 N húzóerő egyenlő a két rugó által kifejtett erő összegével: F = F1 + F2. Mivel F1 = D1⋅∆x és F2 = D2⋅∆x, így F = D1⋅∆x + D2⋅∆x = (D1 + D2)⋅∆x. A rugók megnyúlása az adatok behelyettesítése után: ∆x = 0,1 m. Az egyes rugók által kifejtett erők nagysága: N F1 = D1⋅∆x = 100 ⋅0,1 m = 10 N, m N F2 = D2⋅∆x = 200 ⋅0,1 m = 20 N. m A rugók 0,1 m-re nyúlnak meg a 30 N húzóerő 45. ábra: Az F húzóerővel a két hatására. Az egyes rugókban 10 N illetve 20 N rugóban ébredő erő eredője tart egyensúlyt. nagyságú erő ébred.
6. Egy 100
b) A két rugót olyan rugóállandójú rugóval lehet helyettesíteni, amelynek pontosan ugyanakkora a megnyúlást hoz létre, mint az előző kettő. A rugóerőre vonatkozó F = - D⋅∆x összefüggés alapján: 30 N N F De = = = 300 . Δx 0,1m m N rugóállandójú rugóval lehet helyettesíteni a két rugót. Egy 300 m
52
15. lecke
Súrlódás
Mekkora vízszintes irányú húzóerővel kell húznunk az egyenletes sebességgel mozgó szánkót a havon, ha az 5 kg tömegű szánkón egy 30 kg tömegű gyermek ül? A szánkó és a hó közötti csúszási súrlódási együttható 0,1.
1.
Megoldás:
Adatok: m1 = 5 kg, m2 = 30 kg μ = 0,15. A Fh húzóerővel az Fs csúszási súrlódási erő tart egyensúlyt.
46. ábra: Az egyenletes mozgatáshoz miért van szükség húzóerőre?
Fs=μ⋅(m1+m2)⋅g=52,5N. Tehát Fh=52,5N. A szánkót 52,5 N vízszintes irányú erővel kell húznunk.
Egy m = 80 kg tömegű össztömegű szánt 100 N vízszintes irányú erővel húzzuk. A szán talpa és havas út közötti csúszási súrlódási együttható 0,1.
2.
a) Mekkora gyorsulással mozog a szán a húzóerő hatására? b) Mekkora végsebességet ér el 8 másodperc alatt? Megoldás:
Adatok: m = 80 kg Fh = 100 N μ=0,1 t=8s a) a=? b) v=? a)
47. ábra: Mire fordítódik a húzóerő és a súrlódási erő nagyságának különbsége?
A testre vízszintes irányban az Fh húzóerő és az Fs súrlódási erő hat.
A súrlódási erő nagysága: Fs = μ ⋅ Fh = μ ⋅ mg = 0,1 ⋅ 80kg ⋅10 Az Fh és Fs eredője hozza létre a test gyorsulását: m·a=Fh-Fs. A gyorsulás: F −F a= h s . m Behelyettesítve: 53
m = 80 N . s2
a=
m 100 N − 80 N = 0,25 2 . 80kg s
m gyorsulással mozog 100 N erő hatására. s2 A végsebesség a v=a·t összefüggéssel számítható. b) m m v = a ⋅ t = 0,25 2 ⋅ 8s = 2 . s s m A szán 2 végsebességet ér el 8 s alatt. s A szán 0,25
3.
m sebességgel ellökött korong 4 másodperc s múlva áll meg. Mekkora csúszási súrlódási együttható? Azt vettük észre, hogy a sík jégen 3
Megoldás:
Adatok: m s t = 4s μ=? v=3
48. ábra: A jégkorongra ható súrlódási erő milyen irányú a sebesség irányához képest?
A korongot a súrlódási erő lassítja.
Fe=Fs ⇒m·a=μ·m·g ⇒a=μ·g.
(1)
A korong gyorsulása:
m m −3 Δv s = 0,75 m . a= = s Δt s2 4s 0
(1)-be helyettesítve:
m a s 2 = 0,075. μ= = m g 10 2 s 0,75
A korong és a jég közötti csúszási súrlódási együttható értéke 0,075.
54
4.
A kosárlabdázó cipőjének talpa és a sportcsarnok padlója közötti tapadási súrlódási együttható 1,1. Mekkora gyorsulással indulhat meg egy kosárlabdázó magcsúszás nélkül?
Megoldás:
Adatok: μ0 = 1,1 a=? A kosárlabdázó a tapadási súrlódási erő maximumát (Ft.max) fejheti ki induláskor, amely egyben az eredő is. Fe = Ft,max, m⋅a = μ0⋅m⋅g. Innét a = 11 A kosárlabdázó akár 11
5.
m . s2
m gyorsulással is indulhat megcsúszás nélkül. s2
Mekkora erővel lehet megmozdítani egy 120 kg tömegű szekrényt, amelynek tapadási súrlódási együtthatója 0,7?
Megoldás:
Adatok: m = 120 kg μ0 = 0,7 F=? A szekrény megmozdításához a tapadási súrlódási erő maximumánál nagyobb erőt kell kifejtenünk. Ft,max = μ0⋅m⋅g = 0,7⋅120 kg⋅10
m = 840 N. s2
A szekrény megmozdításához 840 N-nál nagyobb erőre van szükség.
55
6.
m sebességgel lövünk bele egy s fahasábba, amelyben 5 cm mélyen egyenletesen lassulva megáll. Mekkora a golyó lassulását okozó súrlódási erő nagysága? Egy 4 gramm tömegű revolvergolyót 280
Megoldás:
Adatok: m = 4 g = 4⋅10-3 kg, v = 280
m , s
d = 5 cm = 0,05 m μ=? Először kiszámítjuk a revolvergolyó lassulását az 5 cm-es úton a v = összefüggéssel.
2⋅a ⋅s
m (280 ) 2 m v2 s a= = = 7,84⋅105 2 . 2⋅s 2 ⋅ 0,05 m s A revolvergolyóra a fahasábban csak a súrlódási erő hat, amely egyben az eredő erő is, így m⋅a = Fs. A súrlódási erő nagysága: Fs = ma = 410-3 kg7,84105
m = 3136 N. s2
A golyó lassulását okozó súrlódási erő nagysága 3136 N.
7.
A teherautón bútorokat szállítanak. A bútorok és a teherautó platója között a tapadási súrlódási együttható 0,4. Mekkora maximális gyorsulással indulhat a teherautó? Mekkora az a minimális út, amely alatt a bútorok megcsúszása nélkül a km teherautó elérheti az 54 sebességet? h
Megoldás:
Adatok: m km = 15 s h μ t = 0,4 amax=? s=? A bútorokat a tapadási súrlódási erő gyorsítja. v = 54
56
49. ábra: Milyen irányú erő gyorsítja a bútorokat? Hogyan nevezzük ezt az erőt?
Így:
m·amax=μ0·mg.
A maximális gyorsulás:
a max = 4
m . s2
m 15 v s = 3,75s . A gyorsítás időtartama: t = = a 4m s2 A megtett út az s =
a 2 ⋅ t képlettel számítható. 2
Behelyettesítve:
m 2 s = s ⋅ (3,75s ) 2 = 28,125m. 2 4
A maximális úthossz 28,125 m. 8. Parafa és üveg között a tapadási súrlódási együttható 0,3. A dugót 60 N erővel sikerült kihúzni az üvegből. Mekkora erővel lépett fel az üveg és a parafa között? Megoldás: Adatok: μ0 = 0,3, Fh = 60 N. K=?
A parafa dugóra az üveg szájával párhuzamos irányban Fh erővel hatunk. Erre az Fh húzóerőre merőleges az üveg és a parafa között fellépő a parafát az üvegbe szorító K erő. Ez a K erő egyben a fellépő tapadási súrlódási erő is. A K erő körkörösen fellép az üveg és a parafa érintkezési határán, mi egyszerűsítés miatt az ábrán egy helyen az teljes parafára ható nyomóerőt jelöljük. Ezért az üveg és parafa közötti K erő az Fn felületre merőleges nyomóerő. F 60 N Fh = μ⋅K ⇒ K = h = = 200 N . μ 0,3 Az üveg és a parafa között 200 N nagyságú erő lépett fel.
9.
50. ábra: A húzóerő nagyságát az üveg oldalirányú nyomóereje határozza meg.
km sebességgel haladó személygépkocsi akadályt vesz észre maga előtt. h A gépkocsi nedves aszfalton fékez, a gépkocsik kerekei és az aszfalt közötti tapadási súrlódási együttható érétke 0,6. Egy 90
a) Mennyi idő alatt tud megállni, ha a kerekek nem csúsznak meg? b) Mekkora utat tesz meg a megállásig? c) Rajzold fel a megtett utat az idő, majd a sebesség függvényében is!
57
Megoldás:
Adatok: v = 90
m km = 25 s h
μ0=0,5 a) t=? b) s=? c) s-t grafikon a)
A gépkocsit kerekei megcsúszás nélkül maximális tapadást biztosítanak, így a tapadási
súrlódási erő lassítja a gépkocsit A dinamika alapegyenlete szerint: m·a=μ0·mg, a = 0,5 ⋅10
m m =5 2 . 2 s s
A megálláshoz szükséges idő a v=a·t képletből számítható. m v s = 5s . t= = a 5m s2 25
A gépkocsi 5 s alatt tud megállni, ha a kerekek nem csúsznak meg. b)
Az egyenletes lassulás az s =
a 2 ⋅ t összefüggéssel is számítható (mintha nyugalomból 2
indulva v sebességre gyorsulna): m 2 s = s ⋅ 25s 2 = 62,5m. 2 A gépkocsi a megállásig 62,5 m utat tesz meg. 5
c)
A gépkocsi egyenletesen lassul.
A megtett út a sebesség függése a v = 2a ⋅ s összefüggés alapján ábrázolható.
58
51. ábra: Egyenletesen lassuló gépkocsi megtett út- idő grafikonja
a=5 s=
m , s2
v2 1 ⇒ s = v2. 2a 10
A képlet grafikonja fél parabola. Látható, hogy pl. kétszeres sebesség esetén négyszeres 52. ábra: Kétszer akkora sebesség esetén a fékút hányszorosára nő?
útra van szükség a megállásig.
59
16. lecke
Közegellenállás
Feladatok: 1. Felgyorsulhat-e akármekkora sebességre egy levegőben eső test? Megoldás: Esés közben a közegellenállási erő addig nő, ameddig el nem éri az esőcseppre ható nehézségi erő nagyságát. Innen kezdve az esőcsepp egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
2.
Egy focilabdát és egy ugyanakkora méretű léggömböt ugyanolyan magasságból elejtünk. a) Hasonlítsuk össze a két testre ható közegellenállási erő nagyságát! b) Melyik ér előbb le a földre? Miért? Megoldás: a) A focilabda levegővel szembeni felülete gömb, így közegellenállási tényezője c=0,4. Hasonlóan a léggömb is közelíthető gömbfelszínnel, így c=0,4. b) A focilabda előbb ér földet, mert a focilabda szabadeséssel esik, a léggömb pedig egyenletes sebességgel. Ennek az az oka, hogy a léggömbre ható nehézségi erőt már kis sebességnél kiegyenlíti a vele ellentétes irányban fellépő közegellenállási erő.
3.
m s sebességgel ellőtt focilabdára? A levegő sűrűségét vedd a Négyjegyű Függvénytáblázatból! Megoldás: Adatok: r = 0,25 m, kg ρ = 1,29 3 (levegő sűrűsége), m m v = 15 . s Fk = ? Mekkora közegellenállási erő hat a levegőben egy 25 cm átmérőjű 15
A labda a közegellenállás szempontjából gömbnek tekinthető, így közegellenállási tényező értéke c = 0,225. A homlokfelület nagysága: A = r2⋅π. A közegellenállási erő: 1 kg 1 m2 F = k ⋅ ⋅ ρ ⋅ v 2 ⋅ A = 0,225⋅ ⋅1,29 3 ⋅225 2 ⋅0,0625⋅π m2 = 6,41 N. 2 s 2 m A focilabdára ható közegellenállási erő 6,41 N.
60
a
4.
m gyorsulással mozgó 1320 kg tömegű autóra ható közegs2 ellenállási erő, ha a motor által kifejtett húzóerő 2050 N? Megoldás: Adatok: Fh = 2100 N, m a = 1,5 2 s Fk = ? Mekkora az 1,5
Felírjuk a dinamika alapegyenletét: ma = Fh - Fk. A közegellenállási erő: m = 70 N. s2 Az autóra ható közeg-ellenállási erő nagysága 70 N. Fk = 2050 N – 1320 kg⋅ 1,5
61
17. lecke
Pontrendszerek (Kiegészítő anyag)
Feladatok: 1. Vízszintes asztallapra egymás mellé m = 2 kg és M = 6 kg tömegű téglatesteket helyezünk. A két téglatestet egy F = 40 N nagyságú, vízszintes irányú, az oldallapokra merőleges erővel megtoljuk. a) Mekkora a téglák gyorsulása, ha a súrlódástól eltekintünk? b) Mekkora erővel nyomja az egyik test a másikat? Megoldás: Adatok: 53. ábra: A két testet külön-külön vizsgáljuk meg, hogy milyen erők hatnak M = 6 kg, rájuk! m = 2 kg, F = 40 N a) a = ? b) K = ? I. megoldás: A két testre ható erőket az ábra mutatja. A dinamika alaptörvényét mindkét tesre felírva: M⋅a = K m⋅a = F – K
A gyorsulást a mozgásegyenletek összeadásával kapjuk: 54. ábra: Irjuk fel mindkét testre a mozgásegyenleteket! m a=5 2 . s A két test között fellépő erő nagysága: m K = M⋅a = 6 kg⋅5 2 = 30 N. s m A téglák gyorsulása a = 5 2 , közöttük 30 N nagyságú erő lép fel. s II. megoldás: A két testet egy testnek tekintjük. Ebben az esetben a M-m tömegű testre csak az F erő hat. A Newton II. törvényét felírva: (M+m)⋅a = F. A megadott adatokat behelyettesítve kapjuk: m a=5 2 . s Ebben az esetben a M és m test között fellépő K erő értékét nem tudjuk kiszámolni. A I. megoldásban ismertett módszert kell alkalmazni a K értékének meghatározásához.
62
Az ábrán látható módon egy vízszintes talajon húzunk három, kötéllel összekötött testet. A húzóerő nagysága 50 N, a testek tömege m1=10kg, m2=8kg, m3=4kg, a súrlódás a testek és az asztal között μ=0,2. a) Mekkora a testek gyorsulása? b) Mekkora erő ébred a kötélben? Megoldás: Adatok: 2.
Fh=50 N
55. ábra: Milyen erők hatnak az egyes testekre?
m1=10kg m2=8kg m3=4kg μ=0,2 a=? K=? A testre ható erőket az ábra mutatja. Az m1 tömegű test gyorsulását a Fh, Fs1 és K1 eredője határozza meg (függőleges irányú elmozdulás nincs, így Fh1 =m1·g). Hasonlóan m2
56. ábra: Melyik kötélben hat nagyobb erő? Miért?
gyorsulását K1, Fs 2 és K2, míg m3 tömegű test gyorsulását K2 és Fs 2 határozza meg. A fonal nyújthatatlanságából következik, hogy a test gyorsulása megegyezik. Ezeket az összefüggéseket és a dinamika alaptörvényét alkalmazva a mozgásegyenleteket felírjuk. Vegyük pozitív iránynak a mozgás irányát. m1 ⋅ a 1 = Fh − Fs1 − K 1 m 2 ⋅ a 2 = K 1 − Fs 2 − K 2 m 3 ⋅ a 3 = K 2 − Fs 3 a1 = a 2 = a 3 A súrlódási erők: Fs1 = μ ⋅ m1 ⋅ g = 20 N, Fs 2 = μ ⋅ m 2 ⋅ g = 16 N, Fs 3 = μ ⋅ m 3 ⋅ g = 8 N. A gyorsulást a mozgásegyenletek összeadásával kapjuk meg.
63
a=
Fh − Fs1 − Fs 2 − Fs 3 m1 + m 2 + m 3
Behelyettesítve: a = 0,25
m s2
A kötélerőket a mozgásegyenletekből számoljuk. K 2 = m 3 ⋅ a + Fs 3 , míg K 1 = Fh − m1 ⋅ a − Fs1 Behelyettesítés után: K1=27N K2=9N
3.
Vízszintes asztallapon m1 = 8 kg tömegű testhez, csigán átvetett fonállal, m2=4kg tömegű testet kötünk. Az asztallap és a rajta lévő test között a csúszási súrlódási együttható 0,2. A csiga és a fonál tömege, valamint a csiga tengelyénél fellépő súrlódás elhanyagolható. a) Mekkora gyorsulással mozog a rendszer? b) Mekkora erő feszíti a fonalat?
Megoldás:
Adatok:
57. ábra: Mely erők hatnak a rendszerre?
m1=8kg m2=4kg μ=0,2 a)
a=?
b)
K=?
Az ábra mutatja az egyes testre ható erőket. A csiga tömege elhanyagolható, ezért forgatásához nem szükséges, hogy a rá ható K1 és K2 erők közül valamelyik nagyobb legyen a másiknál. (A csiga szerepe ebben a feladatban az, hogy a fonal irányát, azaz a ható erők irányát megváltoztassa.) A K1 és K2 58. ábra: Az m1 tömegű testre ható
függőleges irányú erők részt vesznek-e a
nagysága megegyik. A fonal nyújthatatlan, ezért rendszer gyorsításának? a1=a2.
A rendszer mozgásirányát pozitív iránynak választjuk, és felírjuk a mozgásegyenleteket.
64
m1 ⋅ a 1 = K 2 − Fs1 m 2 ⋅ a 2 = m 2 ⋅ g − K1
a1=a2 K1 = K 2
Az egyenletrendszer megoldva: a=
m 2 ⋅ g − Fs1 m1 + m 2
A súrlódási erő: Fs1 = μ ⋅ m1 ⋅ g = 0,2 ⋅ 8kg ⋅10
m = 16 N s2
A gyorsulás: a=
40 N − 16 N m =2 2 12kg s
A kötélerő: K=m2·g-m2·a=m2·(g-a) m⎞ ⎛ m K = 4g ⋅ ⎜10 2 − 2 2 ⎟ = 32 N. s ⎠ ⎝ s
65
4.
Az ábrán látható elrendezésben m1=4kg, m2=12kg, m3=8kg. A testeket összekötő fonál és a csigák tömege elhanyagolható, a súrlódás értéke 0,15. Mekkora a testek gyorsulása?
Megoldás:
Adatok: m1=4kg m2=12kg m3=8kg μ=0,2 a=?
59. ábra: Merre indul a rendszer?
Az ábra mutatja az egyes testekre, illetve az egyes kötéldarabokban ható erőket. A csigák tömege elhanyagolható: K1=K2. A fonal nyújthatatlan: a1=a2=a3. Válasszuk
pozitívnak
az
m3
irányát.
A mozgásegyenleteket felírva: m1 ⋅ a 1 = K 1 − m1 ⋅ g
m 2 ⋅ a 2 = K 2 − K 1 − Fs m3 ⋅ a 3 = m3 ⋅ g − K 2 a 1= a 2 = a 3
60. ábra: Mi dönti el, hogy a rendszer elindul-e, illetve jobbra vagy balra gyorsul?
K1 = K 2
A súrlódási erő: Fs = μ ⋅ m 2 ⋅ g = 0,2 ⋅12kg ⋅10
m = 24 N. s2
Az egyenletrendszert megoldva: a=
m 3 ⋅ g − m1 ⋅ g − Fs m1 + m 2 + m 3
Behelyettesítve: a=
80 N − 40 N − 24 N 2 m = 24kg 3 s2
66
5.
Az m1=2kg és m2=4kg tömegű testeket zsineggel összekötünk és felfüggesztünk az ábra szerint. a) Mekkora F húzóerőt kell a felső zsinegre kifejteni ahhoz, hogy a két testet a földfelszín felett tartsuk? b) Mekkora erővel kell hatni a felső zsinegre, hogy a két test felfelé irányuló 1,4
m gyorsulással s2
61. ábra: Rajzoljuk be az egye testekre ható erőket!
mozogjon? c) A b)-beli feltételek mellett mekkora erő feszíti a két testet összekötő fonalat? Megoldás:
Adatok: m1=2kg m2 = 4kg
a)
a=?
b)
F=?, ha a = 1,4
c)
K=?
a)
Az ábrán látható az egyes testekre, illetve a kötélben ható erő. A fonal nyújthatatlan, így
m s2
62. ábra: Milyen erők hatnak a rendszerre? A belső erők is részt vesznek a rendszer mozgatásában?
a két test gyorsulása megegyezik (a1=a2). Midnkét test nyugalomban van, ezrt figyelembe véve a mozgásegyenletek (pozitív irány felfele mutat): 0=F-m1·g-K 0 = K − m2 ⋅ g
Az egyenletrendszer megoldása után: F=(m1+m2)·g, azaz F= 60 N. b)
Mindkét test felfele mozog, így a pozitív irány is felfelé mutat: m1·a1=F-m1·g-K m2·a2=K-m2·g a1 = a 2
Ebből: F=(m1+m2)·a+(m1+m2)·g=(m1+m2)·(g+a) F=68,4 N.
67
c)
A fonalat összekötő erő a b)-beli mozgásegyenletből számolhatjuk ki. K=m2·(g+a), K= 45,6 N.
6.
A teherautó M = 2000 kg tömegű pótkocsiján áll egy m = 150 kg tömegű szekrény. A pótkocsi és a szekrény közötti súrlódási együttható μ = 0,25. A pótkocsi és a talaj közötti súrlódás elhanyagolható. Határozzuk meg azt a legkisebb F erőt, amellyel a pótkocsira hatva a szekrény éppen megcsúszik a platón! Megoldás: Adatok: M = 2000 kg m = 150 kg μ = 0,25
63. ábra: Mitől függ, hogy megcsúszik-e a szekrény a pótkocsin?
Fmin = ? Az ábrán láthatóak a testekre ható erők: M tömegű pótkocsira az F húzóerő és az Ft,max tapadási súrlódási erőt, és a m tömegű szekrényre ható tapadási súrlódási erőt. Számítsuk ki a tapadási súrlódási erő maximumát! m 64. ábra: A szekrényt a tapadási Ft,max = μ⋅mg = 0,25⋅150 kg⋅10 2 = 375 N. súrlódási erő gyorsítja. s Azt az esetet nézzük meg, amikor a két test éppen együtt mozog. Ebben az esetben a két test gyorsulása (a1 = a2) megegyezik. Felírva a mozgásegyenletet: M⋅a = F – Ft, max m⋅a = Ft, max A gyorsulás nagysága: m a = 2,5 2 . s A pótkocsira ható húzóerő nagysága: m F= M⋅a + Ft, max = 2000 kg⋅2,5 2 +375 N = 5 375 N. s 5 375 N-nál nagyobb erő esetén a szekrény megcsúszik a pótkocsin: Fmin > 5 375 N.
68
7.
Vízszintes asztallapra egymás mellé m = 1 kg és M = 4 kg tömegű téglatesteket, közéjük pedig elhanyagolható tömegű papírlapot helyezünk. A m tömegű téglatestet F = 15 N erővel tolni kezdjük az oldallapjára 65. ábra: Rajzoljuk be a két testre és a papírlapra ható erőket! merőlegesen úgy, hogy az a M tömegű testet maga előtt tolja. A téglatestek és az asztallap közötti súrlódástól tekintsünk el. a. Mekkora a téglák gyorsulása, ha a súrlódástól eltekintünk? b. Mekkora erővel tudjuk kihúzni a téglák közül a papírlapot, ha a papír és a téglatestek közötti súrlódási együttható μ = 0,2? Megoldás: Adatok: m = 1 kg M = 4 kg F = 15 N a) a = ? b) Fh = ? a) Az ábrán látható két testre ható erő. Mindkét test azonos gyorulással mozog (a1=a2), ezt figyelembe véve a mozgásegyenletek (pozitív irány F erővel megegyező irányban mutat): m⋅a1 = F –K 66. ábra: Rajzoljuk be a testekre és a papírlapra fellépő erőket! M⋅a2 = K A két egyenletet összeadva és figyelembe véve, hogy a1 = a2 a két test közös gyorsulása: m a=3 2 . s b) Először számítsuk ki a két tégla között fellépő K nyomóerőt. K = M⋅a = 15 N. A téglák között lévő papírlap mindkét felületén fellép az Fs súrlódási erő, így a papírlapra ható Fh húzóerő nagysága kétszerese a papírlap egyik oldala és a téglák között fellépő súrlódási erőnek: Fh = 2⋅Fs. A súrlódási erő nagysága: Fs = μ⋅K = 0,2⋅15 N = 2,4 N. Így a húzóerő Fh = 2⋅Fs = 4,8 N. A papírlapot a téglák közül 4,8 N erővel tudjuk kihúzni.
69
8.
Egy 2500 kg tömegű kisméretű tehergépkocsira 300 kg tömegű ládát helyezünk. A test és a kocsi között a csúszási súrlódási együttható 0,25. Határozzuk meg a két test gyorsulását és a köztük fellépő súrlódási erőt, ha tehergépkocsi motorja a. F1 = 8000 N, b. F2 = 4000 N vízszintes irányú erőt fejt ki. Megoldás: Adatok: M = 2500 kg, m = 300 kg, μ = 0,25. a) a1 = ?, a2 = ?, ha F1 = 8000 N, b) a2 = ?, a2 = ?, ha F2 = 4000 N.
67. ábra: Vizsgáljuk meg mindkét esetben a ládára ható gyorsítóerő nagyságát!
a) Az ábrán láthatóak a két testre ható erők: a M tömegű tehergépkocsira F húzóerő és az Fs súrlódási erő hat, míg a m tömegű ládára az Fs súrlódási erő. Az Fs súrlódási erő legnagyobb értéke: m Fs,max = μ⋅mg = 0,25⋅300 kg⋅10 2 = 750 N. s Ha a két láda együtt mozog, akkor a mozgásegyenlet a következő: (M+m)⋅a = F, amelyből a gyorsulás: m a = 2,86 2 . s Ahhoz, hogy el tudjuk dönteni, hogy a két láda együtt mozogjon az szükséges, hogy a ládára ható Fe gyorsítóerő nagysága kisebb legyen, mint a súrlódási erő. Fe ≤ Fs,max. Az Fe = ma = 857,1 N, ami nagyobb, mint az Fs,max. Ez azt jelenti, hogy a láda megcsúszik a teherautón, így a két test külön mozog. A két testre felírva a mozgásegyenleteket: M⋅a1 = F - Fs m⋅a2 = Fs Az egyes egyenleteket megoldva a gyorsulások nagysága: m m a2 = 2,5 2 . a1 = 2,9 2 , s s
70
68. ábra: Ha a két test külön mozog, akkor a ládát a csúszási súrlódási erő gyorsítja.
b) Megvizsgáljuk, hogy a két test együtt vagy külön mozog. Ha a két test együtt mozog, akkor a mozgásegyenlet: (M+m)⋅a = F, amelyből m a = 1,42 2 . s A láda akkor mozog együtt a teherkocsival, ha a ládára ható Fe = m⋅a gyorsítóerő nagysága kisebb, mint a súrlódási erő maximuma. Fe ≤ Fs,max. A kapott értékek: Fe = m⋅a = 429 N, Fs,max = 750 N. Ez azt jelenti, hogy a láda együtt mozog a tehergépkocsival, vagyis nem csúszik meg a platón. 69. ábra: Ha a két test együtt mozog, akkor a ládát a tapadási súrlódási erő gyorsítja.
71
18. lecke
Az egyenletes körmozgás kinematikai leírása
Feladatok: 1. A lemezjátszó 18 teljes fordulatot tesz meg 40 s alatt. Mekkora a fordulatszáma és a periódusideje? Megoldás:
Adatok: n=18 ∆t=40s f=? T=? A fordulatszám: f =
n 18 1 = = 0,45 . Δt 40s s
T=
1 = f
A periódusidő:
A lemezjátszó fordulatszáma 0,45
2.
1 1 0,45 s
= 2,22s .
1 , a periódusideje 2,22 s. s
Egyenletes körmozgást végző körhinta egy kocsija 8 m sugarú körpályán 16 s alatt tesz meg egy kört. a) Mekkora körhinta kocsijának fordulatszáma? b) Mekkora a szögsebessége? c) Mekkora sebességgel halad a körhinta kocsijában ülő gyermek, ha a hinta külső felére ült?
Megoldás:
Adatok: r=4m T=8s a) f = ? b) ω = ? c) v = ? a)
A fordulatszám:
f =
1 1 1 = = 0,125 . T 8s s
72
ω=
b)
A szögsebesség:
c)
A gyermek kerületi sebessége: v=
A körhinta fordulatszáma 0,125
3.
2π 2π π 1 = = . T 8s 4 s
2r ⋅ π 2 ⋅ 4m ⋅ π m = =π . T 8s s
1 m π 1 , a szögsebessége , a kerületi sebessége pedig π . s 4 s s
A Föld 150 millió km sugarú körpályán 365,25 nap alatt járja körül a Napot. Mennyi a Föld középpontjának kerületi sebessége?
Megoldás:
Adatok: r=150 millió km=1,5·108km T=365,25 nap=3,156·107s v=? A Föld pályáját körpályával írjuk le, akkor a kerületi sebességet a v =
2 rπ összefüggésből T
számoljuk. v=
km 2rπ 2 ⋅1,5 ⋅10 8 Π km = = 29,86 . 7 T s 3,156 ⋅10 s
A Föld középpontjának Nap körüli kerületi sebessége 29,86
4.
km . s
Európa legnagyobb óriáskerekének átmérője 135 m. Mekkora az óriáskerék szögsebessége és kerületi sebessége, ha 30 perc alatt tesz meg egy teljes kört?
Megoldás:
Adatok: r = 67,5 m T =30 perc=1800s ω=? v=? A London Eye szögsebességét ω =
2π összefüggéssel számíthatjuk ki. T
73
ω=
2π 2π 1 = = 3,5 ⋅10 −3 , T 1800s s
m 1 v = ω ⋅ r = 3,5 ⋅ 10 −3 ⋅ 6,75m = 0,24 . s s Az óriáskerék szögsebessége 3,5⋅10-3
1 m , míg kerületi sebessége 0,24 . s s
m sebessége halad, kerekének átmérője 0,6 m. s a) Mekkora a kerekének periódusideje és fordulatszáma? b) Hány fordulatot tesz meg percenként? c) Mekkora utat fut be az autó egy perc alatt, és mennyi a kerék egy külső pontja által befutott ív hossza? Megoldás: Adatok: m v = 15 s d = 0,6 m, r = 0,3 m. a) T = ?, f = ? b) n = ? c) s = ? i = ? 5.
Egy autó 15
m . (Ha a kezemben lévő s m m kerék külső pontjainak kerületi sebessége 15 , akkor ha letesszük a földre az 15 s s sebességgel fog elindulni.) a) Az autókerék külső pontjainak kerületi sebessége vk = 15
A kerék periódusideje: vk =
A fordulatszám:
2 ⋅ r ⋅π összefüggésből: T 2 ⋅ r ⋅π 2 ⋅ 0,3 ⋅ π = 0,1256 s. T= = m vk 15 s
1 1 1 = = 7,95 . 0,126 s T s b) Egy perc alatt megtett fordulatok száma: 1 n = ft = 7,95 60 s = 477. s Az autó kereke egy perc alatt 477 fordulatot tesz meg. f=
c) A befutott út hossza és a befutott ívhossz megegyezik. s = 477 2r π = 900 m. Az autó 900 m-t tesz meg egy perc alatt.
74
6.
Egy egyenletes körmozgást végző kerék kettő ugyanazon a sugáron fekvő „A” m m pontjának 3 , míg a „B” pontjának 6 a kerületi sebessége. Mekkora a két s s 1 körpálya sugarának különbsége, ha a szögsebességük egyaránt 1,5 ? s
Megoldás:
Adatok: 1 s m vA = 3 s m vB = 6 s ∆r=? ω = 1,5
A két sugár különbsége ∆r = rB - rA. A sugarakat a v=ω·r összefüggésből határozzuk meg. m v rA = A = s = 2m, 1 ω 1,5 s 3
Így
m v rB = B = s = 4m. 1 ω 1,5 s 6
A sugarak különbsége ∆r = rB−rA = 4m - 2m = 2m.
75
19. lecke
Az egyenletes körmozgás dinamikai leírása
Feladatok: 1. A játékvasút mozdonya az 1,6m sugarú körpályán 6 perc alatt 18 teljes kört tesz meg. Mekkora a centripetális gyorsulása a mozdonynak? Megoldás:
Adatok: r=1,6m t=6 perc=360s n=18 acp=? f =
A fordulatszám:
n 18 1 = = 0,05 . Δt 360s s
A szögsebesség: 1 s
1 s
ω = 2π ⋅ f = 2Π ⋅ 0,05 = 0,314 . A centripetális gyorsulás: 2
1⎞ m ⎛ a cp = ω ⋅ r = ⎜ 0,314 ⎟ ⋅ 1,6m = 0,158 2 . s⎠ s ⎝ 1 1 A játékvasút mozdonyának fordulatszáma 0,05 , szögsebessége 0,314 , centripetális s s m gyorsulása 0,158 2 . s 2
2.
A Föld Nap körüli pályájának átlagos sugara 1,5⋅108 km, pálya menti sebessége 30 km . s a) Mekkora utat fut be a Föld egy nap alatt? b) Mekkora a Föld centripetális gyorsulása a Nap körüli pályán haladva?
Megoldás:
Adatok: r = 1,5 ⋅ 108 km = 1,5 ⋅ 1011 m, km m = 3⋅104 , v = 30 s s t = 24 h = 86400 s. a) s = ? b) acp = ? a) A Föld egy nap alatt befutott útjának hossza:
76
km ⋅86400s = 2 592 000 km. s b) A Föld centripetális gyorsulása: m (3 ⋅ 10 4 ) 2 2 m v s acp = = = 6 ⋅ 10 −3 2 . 11 r 1,5 ⋅ 10 m s A Föld a Nap körül 2 592 000 km utat fut be egy nap alatt. A centripetális m gyorsulása 6 ⋅ 10 −3 2 . s s = v⋅t = 30
3.
A francia SPOT műholdak körpályán keringenek, átlagos pályamagasságuk a Föld felszínétől 832 km. A Földet 101 percenként kerülik meg. a) Mekkora a SPOT műholdak kerületi sebessége? b) Mekkora a műholdak centripetális gyorsulása? c) Mekkora a műholdakra ható centripetális erő, ha a tömegük 720 kg?
Megoldás:
Adatok: d = 832 km= 8,32 ⋅ 105 m, RF = 6370 km =6,37 ⋅ 106 m, T = 101 min = 6060 s a) v=? b) acp =? c) Fcp = ? a) A műhold kerületi sebessége: vker =
2(R F + d )π . T
Behelyettesítve: km m . = 7,467 s s b) A műholdak centripetális gyorsulása: v2 acp = , RF + d amelyből m acp = 7,73 2 . s c) A SPOT műholdra ható centripetális erő nagysága: m Fcp = m⋅acp = 720 kg⋅7,73 2 = 5 565,6 N. s km m A Spot műholdak kerületi sebessége 7,467 , centripetális gyorsulásuk 7,73 2 , s s a műholdakra ható centripetális erő nagysága 5 565,6 N. v = 7467
77
4.
Egy 0,3 m sugarú fonálon megforgatom a 200 g tömegű tolltartómat. A tolltartó másodpercenként pontosan egy teljes kört tesz meg. Mekkora lesz a fonálban fellépő erők eredője, azaz a centripetális erő?
Megoldás:
Adatok: r = 0,3 m, T = 1 s, m = 200 g = 0,2 kg Fcp = ? A tolltartó kerületi sebessége:
2 ⋅ r ⋅π m 2 ⋅ 0,3 m ⋅ π = = 1,88 . 1 T s A centripetális gyorsulás nagysága: 2 m⎞ ⎛ ⎜1,88 ⎟ m v2 s⎠ acp = = ⎝ = 11,78 2 . r 0,3 m s A centripetális erő nagysága (eredő erő): m Fcp = m⋅acp = 0,2 kg⋅11,78 2 = 2,36 N. s A fonálban fellépő erők eredője, azaz a centripetális erő 2,36 N. v=
5.
1 A mosógép centrifugájának fordulatszáma 15 . Mekkora a centripetális s gyorsulása a 20 cm sugarú centrifugadobra tapadó ruhadarabnak? Mekkora a 2,5 kg tömegű ruhára ható erők eredője?
Megoldás:
Adatok: 1 s r=20cm=0,2m m = 2,5 kg acp=?
f= 15
A ruhadarab kerületi sebessége: 1 m v = ω ⋅ r = 2π ⋅ f ⋅ r = 2Π ⋅15 ⋅ 0,2m = 18,85 . s s A centripetális gyorsulás:
78
2
m⎞ ⎛ ⎜18,85 ⎟ 2 m v s⎠ =⎝ = 1776,6 2 . acp = 0,2m r s
A ruhára ható erők eredője:. Fcp = m⋅acp = 2,5 kg⋅1777
m = 4 441,5 N. s2
A mosógép centrifugájának centripetális gyorsulása 1776,6
m , a ruhára ható erők eredője s2
4 441,5 N.
6.
km sebességgel haladó Intercity egy 500m sugarú kanyarhoz h közeledik. A mozdony tömege 1,2⋅105kg. Mekkora oldalirányú erő terheli a külső sínszálat, ha a kanyarban sem csökkenti a sebességét?
Egyenes pályán 162
Megoldás:
Adatok: km m = 45 , h s r=500m, v = 162
m = 1,2 ⋅ 10 5 kg . K=? A körpályán tartáshoz szükséges centripetális erőt a sínszál által a kerék peremére kifejtett oldalirányú erő szolgáltatja.
70. ábra: A vonat kerekére csak a külső sínszál fejti ki a körpályán maradáshoz szükséges kényszererőt.
2
⎛ m⎞ ⎜ 45 ⎟ 2 v s⎠ 5 = 1,2 ⋅ 10 kg ⋅ ⎝ = 4,86 ⋅ 10 5 N. Fcp = m ⋅ r 500m Ugyanekkora erővel nyomja a kerék pereme oldalirányban a sínszálat.
7.
km sebességgel 100m sugarú kanyarhoz h közeledik. Mekkora súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a kanyarban a kisteherautó meg ne csússzon?
Egy 2500kg tömegű kisteherautó 54
Megoldás:
Adatok: 79
m=2500kg, v = 54
km m = 15 , h s
r=100m. μ=? Az autónak a körpályán tartásához Fcp = m ⋅
v2 centripetális erőre van szükség. Ezt a r
centripetális erőt a kerekekre oldalirányban ható a kerekek és a talaj között fellépő tapadási súrlódási erő szolgáltatja. A tapadási súrlódási erőre fennáll, hogy Ft max ≤ μ 0 mg , ezért
Fcp ≤ Ft max , m⋅
v2 ≤ μ 0 mg. r v2 ≤ μ0 . r ⋅g
Ebből: Az adatokat behelyettesítve:
2
⎛ m⎞ ⎜15 ⎟ 2 v s⎠ μ0 ≥ = ⎝ = 0,225. m r ⋅g 100m ⋅10 2 s A tapadási súrlódási együtthatónak legalább 0,225-nek kell lennie.
km sebességgel áthaladó h 1150kg tömegű Suzuki, ha a hídpálya egy 150m sugarú körívnek tekinthető?
8.
Mekkora erővel nyomja a híd közepét a hídon 90
Megoldás:
Adatok: v = 90
km h
m=1200kg r = 150m
K’=? A Suzukira az mg nehézségi erő és a híd által a járműre kifejtett K nyomóerő hat. A két erő eredője hozza létre a kör középpontja 80
71. ábra: Az autóra ható K kényszererő mikor kisebb, nagyobb vagy egyenlő a nehézségi erővel?
felé mutató centripetális erőt. Fcp=mg−K, ⎛ v2 v2 ⎞ K = mg − Fcp = mg − m = m⎜⎜ g − ⎟⎟. r r ⎠ ⎝
Behelyettesítve: 2 ⎛ ⎛ m ⎞ ⎞⎟ ⎜ ⎜15 ⎟ ⎜ m ⎝ s⎠ ⎟ = 10200 N. K = 1200kg ⋅ ⎜10 2 − 150m ⎟ s ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
A híd 10200N erővel nyomja az autót, ugyanekkora erővel nyomja az autó is a hidat: K’=10200N.
Egy Boeing 747-es kétszintes utasszállító repülőgép vízszintes síkú köríven fordul km délről nyugatra. A gép törzsének sebessége 720 , a szárnyvégek távolsága 70 h m. a) Mekkora a gép törzse által befutott körív sugara, ha a szárnyvégek kerületi sebességei úgy aránylanak egymáshoz, mint 9:10? b) Mennyi ideig fordul a gép? c) Mekkora a gép törzsének centripetális gyorsulása? d) Mekkora a gép törzsére ható erők eredője, azaz a centripetális erő, ha a tömege 3,6⋅105 kg? Megoldás: Adatok: km m v=720 = 200 h s 5 m = 3,6⋅10 kg d=70m a) r=? b) t=? c) acp=? 9.
a) A két szárnyvég pályasugara r1 és r2= r1+d, míg sebessége v1 és v2. A szárnyak szögsebessége egyenlő: v v (ω=) 1 = 2 . r1 r2 Ebből r1=630 m, míg r2 = 700 m. A géptörzs pályaívének sugara r = 665 m. 1 m körívet tesz meg, amelyhez 200 sebességgel t idő b) A gép a fordulás ideje alatt s 4 szükséges. A kerületi sebességre felírható:
81
2 ⋅ 665 ⋅ π 4 vk = , ahonnan t t = 5,22 s. 2 m v c) A centripetális gyorsulás acp = , amelybe behelyettesítve: acp = 60 2 . r s d) A centripetális erő nagysága: m Fcp = m⋅acp = 3,6⋅105 kg⋅60 2 = 2,16⋅107 N. s A géptörzs sugara 665 m, a gép fordulási ideje 5,22 s. m A gép centripetális gyorsulásának nagysága 60 2 , a centripetális erő nagysága 2,16⋅107 N. s
82
20. lecke
A Newton-féle gravitációs (tömegvonzási) törvény
Feladatok: 1. Mekkora gravitációs vonzóerő hat a Föld és a Nap között, ha tudjuk, hogy távolságuk 150 millió km, a Föld tömege 6⋅1024 kg, a Nap tömege 2⋅1030 kg? Megoldás:
Adatok: r=150 millió km=1,5·108km=1,5·1011m, m=6·1024kg, M=2·1030kg. F=? A gravitációs vonzóerő: F=γ
m⋅M m 2 6 ⋅10 24 kg ⋅ 2 ⋅10 30 kg −11 = 6 , 67 ⋅ 10 N ⋅ = 3,55 ⋅10 22 N . 2 2 2 11 r kg 1,5 ⋅10 m
(
)
A Nap és a Föld között a gravitációs erő nagysága 3,551022 N.
2.
A Hold 384 000km távolságra kering a Föld körül. Mekkora gravitációs erő hat: a) A Föld egy, a Hold helyére képzelt 1kg tömegű testre; b) A Föld és a Hold között? Megoldás:
Adatok: r=384000km=3,84·105km, m=1kg. F=? a) A gravitációs vonzóerő az 1kg tömegű test és a Föld között lép fel. F=γ
m⋅M m 2 1kg ⋅ 6 ⋅ 10 24 kg −11 = 6 , 67 ⋅ 10 N ⋅ = 2,71 ⋅ 10 −3 N . 2 2 2 8 r kg 3,84 ⋅ 10 m
(
)
A Hold helyére képzelt 1 kg tömegű testre a Föld 2,7110-3 N erővel hat. b) A Föld és a Hold között fellépő gravitációs erő: m⋅M m 2 7,347 ⋅10 22 kg ⋅ 6 ⋅10 24 kg −11 F = γ 2 = 6,67 ⋅10 N 2 ⋅ = 2 ⋅10 20 N . 2 8 r kg 3,84 ⋅10 m
(
)
A Föld és Hold között fellépő gravitációs erő nagysága 21020 N.
83
3.
Mekkora gyorsulással indul el egy 50 kg tömegű űrbéli tárgy a tőle 6 370 km-re lévő M = 61024 kg tömegű bolygó felé? Megoldás: Adatok: m = 50 kg M = 61024 kg R = 6 370 km acp = ?
Az űrbéli tárgy és a bolygó között a Newton-féle gravitációs vonzóerő lép fel m⋅M (Fg=γ 2 ), amelynek hatására fellépő gyorsulás nagysága: r M m 6 ⋅10 24 kg m2 g’ = γ 2 = 6,6710-11 N 2 = 9,86 2 . 6 2 r kg (6,37 ⋅10 m) s m Az űrbéli tárgy 9,86 2 gyorsulással indul el a bolygó felé. s
4.
A Hold tömege a Föld tömegének 0,0123-szerese, míg átmérője a Föld átmérőjének 0,273-szorosa. Mekkora g értéke a Hold felszínén? Megoldás:
Adatok: mH = 0,0123mF, rH = 0,273rF gH =? A Holdon a gravitációs gyorsulás a földivel kifejezve: 0,0123m F m m m = 0,165 γ 2F = 1,61 2 . gH = γ 2H = γ 2 rH (0,273rF ) s rF m A Hold felszínén a g értéke 1,61 2 . s
5.
A Nap sugara 700 000 km. Felszínén a gravitációs gyorsulás 274 Nap tömege és átlagos sűrűsége? Megoldás: Adatok: R = 700 000 km = 7105 km m gNap = 274 2 s MNap = ? ρNap = ?
84
m . Mekkora a s2
A Nap felszínén lévő képzeletbeli m tömegű testre ható nehézségi erő és a gravitációs erő egyenlő. m⋅M . mg = γ R2 Az adatokat behelyettesítve: 2 m 7 ⋅108 m ⋅ 274 2 R2 ⋅ g s = 21030 kg. M= = 2 γ m 6,67 ⋅10 −11 N 2 kg A Nap átlagos sűrűsége: M M kg 2 ⋅ 1030 kg ρ= = = = 1 392 3 . 3 4 4 V m ⋅ 7 ⋅ 108 m ⋅ π ⋅ R3 ⋅π 3 3 kg A Nap tömege 21030 kg, a Nap átlagos sűrűsége 1 392 3 . m
(
)
(
6.
)
A Mars tömege 0,1-szerese a Föld tömegének, sugara fele a Föld sugarának. Mekkora a nehézségi gyorsulás a Mars felszínén? Mekkora gravitációs erő hatott a 410 kg-os Phoenix űrszondára a Mars felszínén?
Megoldás:
Adatok: MFöld=6·1024kg, MMars=0,1·MFöld=6·1023kg, R Mars =
R Föld = 3185km = 3,185106 m. 2
gMars=? Egy bolygó felszínén lévő am tömegű testre ható mg nehézségi erő egyenlő a gravitációs erővel. mg = γ
m⋅M . R2
g=γ
Ebből
M . R2
A Mars felszínén a g értéke:
gM = γ ⋅
0,1M ⎛R⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2
= 0,4 γ ⋅
85
M = 0,4g Föld . R2
A Mars felszínén a gravitációs gyorsulás 0,4-szerese a földinek, értéke g Mars = 3,92 A gravitációs vonzóerő az űrszonda és a Mars között: m⋅M m 2 410kg ⋅ 6 ⋅ 10 23 kg −11 Fg = γ ⋅ 2 = 6,67 ⋅ 10 N 2 ⋅ = 1617 N . 2 r kg 3,185 ⋅ 10 6 m
(
A Mars felszínén a nehézségi gyorsulás 3,92
)
m , a gravitációs vonzóerő 1617 N. s2
86
m . s2
21. lecke
A bolygók mozgása, Kepler-törvények
Feladatok: 1. A Nap-Föld távolság 150 millió km, és a Nap tömege 2⋅1030 kg. Mekkora a Föld kerületi sebessége, ha feltételezzük, hogy a Föld közelítőleg körpályán kering a Nap körül? Megoldás:
Adatok: r=150 millió km=1,5·108km=1,5·1011m, M = 2 ⋅ 10 30 kg v=? A Föld és a Nap között fellépő F = γ
mM gravitációs erő adja a Nap felé mutató centripetális r2
erőt. v2 mM m =γ 2 , r r amelyből v= γ
M . r
Az adatokat behelyettesítve: v = 6,67 ⋅10
−11
m 2 2 ⋅10 30 kg m km N 2⋅ = 29822 = 29,8 . 11 s s kg 1,5 ⋅10 m
A Föld kerületi sebessége a Nap körüli pályán 29,8
2.
km . s
A Hold átmérője 3400 km, tömege 7,5 ⋅10 22 kg. Az Apollo-11 űrhajó a Hold felszíne felett 100 km magasságban keringett a Hold körül. Mennyi volt a keringési ideje?
Megoldás:
Adatok: dHold=3400 kg M Hold = 7,5 ⋅ 10 22 kg h=100km T=? Az űrhajó és a Hold között fellépő gravitációs vonzás a centripetális erőt adja R+h magasságban. 87
m
v2 mM =γ , R+h (R + h )2
v= γ
Az űrhajó kerületi sebessége v =
M . R+h
(1)
2(R + h )π , amelyből T
T=
2(R + h )π . v
(2)
Az (1) összefüggést a (2)-be helyettesítve:
2(R + h )π 4π 2 (R + h ) . T= = γM M γ R+h 3
Behelyettesítve:
(
)
3
4π 2 ⋅ 1,7 ⋅10 6 m + 10 5 m T= = 6784 s = 113 min 4s. m2 −11 22 6,67 ⋅10 N 2 ⋅ 7,5 ⋅10 kg kg
Az Apollo-11 űrhajó Hold körüli keringési ideje 113 min 4 s volt.
3.
A Mars holdja a Phobos 9,38 ⋅10 3 km átlagos távolságra 0,319 nap alatt kerüli meg a Marsot. Milyen távolságra kering a Deimos a Mars körül, ha a keringési ideje 1,262 nap?
Megoldás:
Adatok: RP = 9,38⋅103 km, TP = 0,319 nap, TD = 1,262 nap RD = ? A Deimos és a Phobos a Mars körül kering, így a keringési idejük és a pályasugaraik között fennáll: R 3D TD2 = . R 3P TP2 Behelyettesítve: RD = 2,346 ⋅10 4 km. 4 A Deimos 2,346⋅10 km távolságra kering a Mars körül. 88
4.
Az egyik Galilei–hold, az Io 424 000 km sugarú pályán kering a Jupiter körül. Mekkora a Jupiter tömege, ha az Io keringési ideje 1,77 nap?
Megoldás:
Adatok: rIo=424000km=4,24·105km=4,24·108m, TIo=1,77 nap=152928 s. MJupiter=? Az Io pályájának kerületi sebessége v = v Io =
2 rπ alapján számítható. T
m km 2rπ 2 ⋅ 4,24 ⋅108 m ⋅ π = = 17420 = 17,42 . T s s 152928s
Az Io és a Jupiter között fellépő gravitációs vonzás adja a körpályán tartáshoz szükséges centripetális erőt. m M=
amelyből
v2 m⋅M =γ 2 , r r v2 ⋅ r = 1,92 ⋅ 10 27 kg. γ
A Jupiter tömege 1,92⋅1027 kg, amely 318-szor nagyobb a Föld tömegénél.
5.
Egy másik Jupiter hold, a Callisto keringési ideje 16,7 nap. Milyen messze van a Jupitertől? A Jupiter tömegét vedd a Négyjegyű függvénytáblázatból! (1 882 000km)
Megoldás:
Adatok: T=16,7 nap=1,44·106s, M=318·6·1024kg=1,91·1027kg r=? 2 rπ összefüggéssel T számítható. A Callisto körpályán tartásához szükséges centripetális erőt a gravitációs erő biztosítja. A Callisto körpályán kering a Jupiter körül, kerületi sebessége v =
m Az (1) összefüggésbe a v =
v2 m⋅M =γ 2 r r
(1)
2 rπ -t behelyettesítve és egyszerűsítve: T 89
4π 2 ⋅ r 3 = γ ⋅ M. T2 A körpálya sugara: r =3
γ ⋅ MT 2 . 4π 2
Behelyettesítve:
r=
3
6,67 ⋅10
−11
(
m2 N 2 ⋅1,91 ⋅10 27 kg ⋅ 1,44 ⋅10 6 s kg 4π 2
)
2
= 1,88 ⋅10 9 m = 1,88 ⋅10 6 km.
A Callisto 1 888 000 km távolságra van a Jupitertől.
6.
A Mars pályájának sugara 1,524, míg a Vénuszé 0,723 csillagászati egység. Egy csillagászati egységnek nevezik a Nap-Föld távolságot, amely 150 millió km. Mekkora a Vénusz Nap körüli keringési ideje, ha a Mars 687 nap alatt kerüli meg a Napot?
Megoldás:
Adatok: rM=1,524 rV=0,723 TN=687 nap TV=? A bolygók Nap körüli mozgására érvényes Kepler 3. törvénye:
r13 T12 = . r23 T22
Az összefüggést felhasználva: 3
Tv =
⎛r ⎞ rV3 ⋅ TM2 = ⎜⎜ V ⎟⎟ ⋅ TM . 3 rM ⎝ rM ⎠
Behelyettesítve: 3
⎛ 0,723 ⎞ TV = ⎜ ⎟ ⋅ 687 = 224,5nap . ⎝ 1,524 ⎠ A Vénusz Nap körüli keringési ideje 224,5 nap.
90
91
22. lecke
Forgatónyomaték, merev testekre ható erőrendszerek
Feladatok: 1. Mekkora a forgatónyomatéka annak az 50N nagyságú erőt kifejtő szerelőkulcsnak, ha a szerelőkulcs hossza 30 cm és az erő hatásvonala merőleges rá? Mekkora lesz a forgatónyomaték, ha az erőkart a felére csökkentjük, de az erő nagyságát megháromszorozzuk? Megoldás:
Adatok: F=50N d=30cm=0,3m a) M=? b) M’=? a)
A forgatónyomaték definíciója alapján: M=F·d=50N·0,3m=15Nm, M ' = 3F ⋅
b)
d = 1,5F ⋅ d = 1,5M = 22,5Nm . 2
A szerelőkulcs által kifejtett forgatónyomaték első esetben 15 Nm, míg a szerelőkulcs hosszát felére csökkentve 22,5 Nm.
2.
Egy 50kg-os és egy 30kg-os gyermek mérleghintázik. Az 50kg-os fiú 1,5m-re ül a forgástengelytől. Hova üljön a másik gyermek, hogy egyensúlyban legyenek?
Megoldás:
Adatok: m1=50kg m2=30kg d1=1,5m d2=? A mérleghinta akkor lesz egyensúlyban, ha F1 ⋅ d 1 = F2 ⋅ d 2 . Ebből d 2 =
F1 mg 500 N ⋅ d1 = 1 ⋅ d1 = ⋅ 1,5m = 2,5m . F2 m2g 300 N
A másik gyermek a forgástengelytől 2,5 m-re üljön, az elsővel ellentétes oldalon.
92
3.
Egy 45 cm hosszúságú, elhanyagolható tömegű rúdra a forgástengelytől 30 cm-re egy m=0,3 kg tömegű testet akasztunk. Mekkora erővel kell az ábra szerint rúd másik végét emelnünk, hogy a rúd továbbra is vízszintes maradjon? (
Megoldás:
Adatok: l=45 cm= 0,45 m d1 = 30 cm = 0,3 m m = 0,3 kg d1=? A forgástengelyre a forgatónyomatékok egyenlőségét 72. ábra: A forgatónyomatékok felírva: egyenlőségét a forgástengelyre áll fenn. F l = mg d1. Innét: F = 2 N. A rúd végét 2 N erővel kell emelnünk. 4.
Két tanuló az iskolatáskáját egy 60cm hosszú rúdra szeretné felakasztani. Hol kell a rudat alátámasztaniuk, ha az egyik táska 5kg, míg a másik 8kg tömegű?
Megoldás:
Adatok: m1=5kg m2=8kg l = 60cm = 0,6m d1=? d2=?
73. ábra: A felfüggesztési pont a nagyobb tömegű táskához lesz közelebb.
A táskák közös tömegközéppontjára felírjuk a forgatónyomatékok egyenlőségét. (l=d1+d2) m1g·d1=m2g·(l−d1). A d1-et kifejezve: d1 =
m2 ⋅l . m1 + m 2
Behelyettesítve: d1 =
8kg ⋅ 0,6m = 0,37m . 5kg + 8kg d2=0,23m.
A rudat a nehezebb táskától 23 cm-re kell alátámasztani.
93
5.
Egy autót két párhuzamos hatásvonalú, megegyező irányú erővel tol két ember. Mekkora nagyságú erőt fejt ki az egyik ember, ha az eredő erejük 200 N nagyságú, és a másik ember 80 N nagyságú erővel tolja az autót? Milyen távolságra van az eredő hatásvonala a nagyobbik erő hatásvonalától, ha a két ember 120 cm-re áll egymástól? Rajzold le a ható erőket és az eredőt!
Megoldás:
Adatok: Fe = 200 N, F2 = 80 N, d = 120 cm = 1,2 m Az első ember által kifejtett erő nagysága F1 = 120 N. Az eredő hatásvonalára nézve a két összetevő forgatónyomatéka egyenlő: F1 x = F2⋅(d-x). Az egyenletbe az adatokat behelyettesítve x = 0,48 m. Az eredő hatásvonala a nagyobbik erő hatásvonalától 0,48 m-re van.
6.
74. ábra: Párhuzamos, megegyező irányú erők esetén az eredő a két hatásvonal közöt helyezkedik el.
Egy 4 m hosszúságú mérleghinta egyik végére ült Józsi, akinek tömege 40 kg. A másik végére Eszter ül, aki 30 kg-os. Hova ültessék Feri nevű kistestvérüket, akinek tömege 25 kg?
Megoldás:
Adatok: L = 4 m, m1 = 40 kg, m2 = 30 kg. m3 = 25kg. A mérleghinta forgástengelyére felírva a forgatónyomatékokat: m1g⋅
75. ábra: A forgástengelyre nézve a forgatónyomatékok egyenlőségének fenn kell állnia.
l l = m2g⋅ + m3g⋅x, 2 2
amelyből x= 0,8 m. Ferinek 0,8 m-re kell ülnie a mérleghinta forgástengelyétől Eszter oldalán.
94
7.
Egy testre egymástól 60 cm távolságban két párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú erő hat, amelynek nagysága 150 N és 60 N. Számítsuk ki az eredő nagyságát és határozzuk meg a hatásvonalának helyét!
Megoldás:
Adatok: F1 = 150 N, F2 = 60 N d = 60 cm = 0,6 m. Fe = ? Az eredő nagysága Fe = 90 N, hatásvonala párhuzamos az összetevőkkel. Hatásvonalának távolsága legyen az F1-től d1, F2-től d2. Az eredő hatásvonalára felírjuk a két összetevő forgatónyomatékát: F1⋅d1 = F2⋅d2. Az egyenletbe a megadott adatokat behelyettesítve: d1 = 0,4 m, d2 = 1 m. Az eredő nagysága 90 N. Az eredő hatásvonala a két összetevő hatásvonalán kívül, a nagyobbik összetevő oldalán helyezkedik el, tőle 0,4 m távolságra.
8.
76. ábra: Két párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú erő esetén az eredő a két hatásvonalon kívül, a nagyobbik oldalán helyezkedik el.
Egy erőpár forgatónyomatéka 12 Nm, a ható erők nagysága 8 N. Mekkora a hatásvonalaik távolsága?
Megoldás:
Adatok: M = 12 Nm, F=8N d=? Az erőpár forgatónyomatékát felírva: M = F⋅d, amelyből: d=
M 12 Nm = = 1,5 m. F 8N
Az erőpár két összetevőjének hatásvonala 1,5 m távolságra helyezkedik el egymástól.
95
23. lecke
Merev testek egyensúlya
Feladatok: 9.
Egy 600N súlyú terhet l hosszúságú rúdon ketten emelnek úgy, hogy a teher a rúd egyik végétől kétszer olyan távolságra van a rúdra függesztve, mint a másiktól. Mekkora erőket kell a teher felemeléséhez a rúd végére kifejteni?
Megoldás:
Adatok: mg=600N, l d1 = , 3 2 d2 = l. 3 F1=? F2=?
77. ábra: A teherhez közelebb, vagy távolabb kell nagyobb erőt kifejteni?
A rúdra a nehézségi erőn kívül az F1 és F2 erő hat. Legyen az F1 támadáspontja a forgástengely, akkor 0=F2·l−mg·d1. Az F2 nagysága: F2 = mg ⋅
d1 . l
Behelyettesítve: l F2 = 600 N ⋅ 3 = 200 N . l A testre ható erők eredője nulla, így 0=F1+F2−mg. F1=mg−F2=600N−200N=400N.
Ebből:
10. a) b)
Egy vándor 12kg terhet visz a vállán. A terhet a bot egyik végére akasztotta, míg a bot közepét vállával alátámasztotta. A bot másik végén kezében fogva vízszintesen tartja a botot. Mekkora erővel nyomja a bot a vándor vállát? Mekkora lenne a vállát nyomó erő, ha a botot a vállán a teher felöli egyharmad hosszban támasztaná alá?
Megoldás:
96
Adatok:
m = 12kg a) F1=? l ′ b) F1 = ?, ha d = 3 a)
A botra ható erők: a teher mg nehézségi ereje és az F1, F2 erők. A rúd vízszintes és egyensúlyban van, így F2=m·g. F1=F2+mg=2mg. Behelyettesítve: F1=240N,
78. ábra: A vándor vállának mely erőket kell kiegyensúlyoznia?
F2=120N.
A bot a vándor vállát 240N erővel nyomja. b)
′ Az F1 támadáspontját véve forgástengelynek: l ′ 2 0 = F2 ⋅ l − mg ⋅ , 3 3
′ mg F2 = = 60 N. 2 79. ábra: Hogyan tudná csökkenteni a vállára ható nyomóerőt?
Az erők eredője nulla, így
′ ′ 0 = F1 − F2 − mg ,
′ ′ F1 = F2 + mg . Behelyettesítve: ′ F1 = 60 N + 120 N = 180 N .
11.
Ásóval földdarabot emelünk. Egyik kezünkkel az ásó nyelét 100N nagyságú erővel emeljük, míg a másik kezünkkel az ásó nyelének végét 55N erővel lefelé nyomjuk. Mekkora földdarab tömege és milyen hosszú az ásó, ha a két kezünk távolsága 50cm.
Megoldás:
Adatok: F1=100N, F2=55N, d = 50cm = 0,5m . mg=? l=?
80. ábra: Milyen irányú erőt fejtünk ki kezünkkel az ásónyélre?
97
Az ásó rúdjára az erők merőlegesen hatnak. A rúd egyensúlyban van, ezért a rá ható erők eredője nulla. 0=F1−F2−mg. Ebből:
mg=F1−F2=45N.
A földdarab tömege 4,5kg. Az egyensúlyban lévő test forgatónyomatékainak előjeles összege is nulla. Legyen az mg támadáspontja a forgástengely: F1·(l−d)=F2·l. l=
Ebből
• F1 ⋅ d = 1,1m. F1 − F2
A földdarab tömege 4,5 kg, míg az ásó hossza 1,1 m.
12.
Egy előadáson az előadóművész egy 250kg tömegű, 10m hosszú, víz fölé lógó homogén tömegeloszlású gerendán játszik. A gerenda az egyik végén, és a másik végétől 2,5m-re van alátámasztva. Kisétálhat-e a gerenda végére a 70kg tömegű előadóművész? Mekkora erők hatnak ekkor az alátámasztási pontokban?
Megoldás:
Adatok: M=250kg, m=70kg, l=10m, d = 2,5m . F1=? F2=?
81. ábra: Sorolja fel a deszkára ható erőket, és írja fel az erők forgatónyomatékát!
A gerenda egyensúlyban van, tehát a testre ható erők eredője nulla és a forgatónyomatékok előjeles összege szintén nulla. A forgástengelyt az F1 támadáspontjában vegyük fel. 0=F1+F2−mg−Mg,
(1)
⎛l ⎞ 0 = F2 ⋅ (l − d ) − Mg ⋅ ⎜ − d ⎟ + mg ⋅ d . ⎝2 ⎠ A (2) összefüggés alapján F2 meghatározható. F2=600N.
98
(2)
Az (1) egyenlet alapján: F1=(M+m)·g−F2, Behelyettesítve: F1=2600N. Az előadóművész kisétálhat a deszka végére. Az alátámasztási pontokban fellépő erők: F1=2600N,
13.
F2=600N.
A 6m hosszú ugródeszka egyik végén és ettől 1,2m távolságban van megerősítve. A deszka szabad végén egy 60kg tömegű műugró áll. Mekkora és milyen irányú erők hatnak a deszka rögzítési pontjaiban?
Megoldás:
Adatok: l=6m, d=1,2m, m = 60kg . F1=? F2=? Az ugródeszkára a nehézségi erőn kívül az alátámasztási pontokban hat erő. Mivel a testre ható
82. ábra: A rögzítési pontokban milyen irányú erő hat? Melyik erő nagysága a nagyobb?
erők eredője nulla, ezért F1 lefelé, míg F2 felfelé hat. Az F1 támadáspontjában írjuk fel a forgatónyomatékokat: 0=F2·d−mg·l. Ebből:
Behelyettesítve:
l F2 = mg ⋅ . d F2 = 600 N ⋅
1,2m = 120 N . 6m
Az ugródeszkára ható erők eredője nulla, így: 0=F2−F1−mg, F1=F2−mg.
99
Az adatokat behelyettesítve: F1=120N−600N=−480N. Az F1 iránya ellentétes az F2 irányával. A deszkára az alátámasztásban felfelé 120 N erő hat, míg a deszka végén 480 N nagyságú erő hat lefelé.
100
24. lecke
Egyszerű gépek
Feladatok: 1. Egy talicskával egyszerre 80 kg földet szeretnénk eltolni. Mekkora erővel kell megemelnünk a talicskát, hogyha a talicska hossza 1,4 m, a teher tömegközéppontja pedig 0,3 m-re van a kerék középpontjától? Megoldás:
Adatok: M=80kg, d1=1,4m, d 2 = 0,3m . F=?
83. ábra: A talicska egy egykarú emelő
A talicska egykarú emelőként működik. A talicska kerekét választjuk forgástengelynek, így a forgatónyomatékok egyenlőségét felírva: F·d1=Mg·d2. A talicskát emelő erő: F = Mg ⋅
d2 . d1
Behelyettesítve: F = 800 N ⋅
0,3m = 171,4 N . 1,4m
A talicskát 171,4 n nagyságú erővel kell megemelnünk.
2.
Egy csípőfogó markolatának végére kezünkkel 20 N nagyságú erőt fejtünk ki. A csípőfogó vágóél felöli hossza 10 mm, míg a markolat hossza 8 cm. Mekkora erő éri elvágás közben a rézdrótot?
Megoldás:
Adatok: F1=20 N, d1=10mm=1cm, d 2 = 8cm . F2=?
101
A csípőfogó kétkarú emelőként működik. A forgatónyomatékok egyenlőségéből: F1·d1=F2·d2. Behelyettesítve: F2=25N. A rézdrótra vágás közben 25 N nagyságú erő hat.
3.
Egy építkezésen a 4 kg tömegű mozgócsigára egy 30 kg össztömegű téglával megrakott vödröt akasztanak. Mekkora erővel húzhatjuk felfelé egyenletesen a vödröt? Mekkora erővel húzhatjuk egyenletesen felfelé a vödröt? Mekkora erőt fejt ki egyenletes mozgatáskor a kötél a felfüggesztési pontra?
Megoldás:
Adatok: m =4kg, M = 30kg . F=? A mozgócsiga mindkét kötélszárban F = A vödröt felfelé
(M + m ) ⋅ g F=
(M + m ) ⋅ g 2
84. ábra: A
nagyságú erő hat. mozgócsigára
nagyságú erővel húzhatjuk. A kötél a 2 felfüggesztési pontra F erővel hat.
akasztott teher súlya a kötél két szárában egyenlő arányban oszlik meg?
Behelyettesítve: F=170N. A vödröt 170 N nagyságú erővel húzhatjuk egyenletesen felfelé. A felfüggesztési pontra a kötél 170 N nagyságú erőt fejt ki.
4.
Egy működő kerekes kút hengerének sugara 10cm, míg a hajtókar sugara 60cm. Mekkora erővel lehet a kútból felhúzni a 20kg tömegű, vízzel teli vödröt?
Megoldás:
Adatok: r=10cm, R=50cm, m = 20kg . F=?
102
A
hengerkerék
középpontjára
felírva
a
forgatónyomatékok 85. ábra: Milyen előjelű az mg és az F erő forgatónyomatéka?
egyenlőségét: 0=F·R - mg·r. Az F értéke: F=40N. A kerekes kúttal 40 N erővel lehet felhúzni a 20 kg tömegű vödröt.
5.
A gémeskút 200 kg-os kútgémének egyik fele 4m, míg a másik fele 6m hosszúságú. A kútgém hosszabbik végén vödör lóg, mely vízzel teli tömege 25kg. Mekkora tömegű fahasábot (koloncot) rögzítettek a gémeskút kútgémének szabad végéhez, hogy a gémeskút vízszintes helyzetben éppen egyensúlyi helyzetben van?
Megoldás:
Adatok: d1=4m, d2=6m, m1=25kg, M = 200kg . m2=?
86. ábra: Milyen irányú lesz a kútgémre ható erők forgatónyomatéka?
A kútgémre az Mg nehézségi erőn kívül a vödör m1g súlya, a fahasáb (kolonc) m2g súlya és a F erő hat. A testre ható forgatónyomatékok előjeles összege a kútgém bármely pontjára nulla. Írjuk fel a forgatónyomatékokat az F erő támadáspontjára. ⎛l ⎞ 0 = m 2 g ⋅ d1 − Mg⎜ − d 2 ⎟ − m1g ⋅ d 2 . ⎝2 ⎠ Behelyettesítve: m2=87,5kg. 87,5 kg tömegű fahasábot (koloncot) rögzítettek a gémeskút kútgémének szabad végéhez.
103
25. lecke
A munka
1. a. Igen ha az erőhatás merőleges az elmozdulásra. Például a kötéllel körpályán forgatott test esetén a kötélerő nem végez munkát. b. Ha ez erő az elmozdulással ellentétesen ha. Például a súrlódási erő vagy fékező erő munkája. 2. Nem végez munkát, mert a kötélre fejt ki erőt, de a kötélhez képest nem mozdul el. 3. Mivel azonos úton azonos erőt fejtettek ki, azonos munkát végeztek. F = 300 N s = 5m , W = ? Mindkét esetben W = 300 N ⋅ 5m = 1500 J a végzett munka. 4. F1 = 50 N F2 = 120 N s = 30m F1 + F2 50 N + 120 N ⋅s = ⋅ 30m = 2550 J , 2 2 az út második részén végzett munka: F + F2 50 N + 120 N félúton az erő nagysága: F3 = 1 = = 85 N , 2 2 F + F2 s 85 N + 120 N 30m a végzett munka: W2 = 3 ⋅ = ⋅ = 1537,5 J 2 2 2 2
a teljes úton végzett munka: W1 =
104
26. lecke Gyorsítási munka és a mozgási energia 1. a. Kinetikus energiává. 1 b. E kin = m ⋅ v 2 Nem, mert a tömeg és a sebesség négyzete sem lehet negatív. 2 2. v 2 = ? Gondolkodós megoldás számolás nélkül: Mivel a mozgási energia a sebesség négyzetével arányos, ezért a kétszeres energiához 2 m szeres sebesség, vagyis v 2 = 14,1 tartozik. (A kidolgozott feladatban megkaptuk, hogy a s m sebesség v = 10 ) s Számolós megoldás: A kétszeres mozgási energia: E 2 = 2 ⋅ E ker = 2 ⋅ 1kJ = 2kJ
E2 =
1 m 2 ⋅ v 22 , v 2 = 2
2 ⋅ E ker = m2
3. t = 8,7 s , m = 1500kg , v = 100
munkájából
származik.
2 ⋅ 2000 J m = 14,1 20kg s
km m = 27,7... . Az autó kinetikus energiája a gyorsító erő h s (a veszteségeket nem vesszük figyelembe): 2
1 1 ⎛ 100 m ⎞ E kin = m ⋅ v 2 = 1500kg ⋅ ⎜ ⎟ = 578,7 kJ Az autó által megtett utat kinematikai 2 2 ⎝ 3,6 s ⎠ meggondolás alapján számítjuk ki. Az autó gyorsulása (nincs kezdősebesség): 100 m m 3,19 v 3,6 s m a s ⋅ (8,7 s )2 = 120,83m a= = = 3,193 2 , a megtett út: s = t 2 = t 8,7 s 2 2 s A gyorsító erő munkája ( E kin = W ): W = F ⋅ s , W 578,7kJ A gyorsító erő: F = = = 4789 N s 120,7m
4. m = 70kg , F1 = 80 N , F2 = 20 N s = 6m .
1 m ⋅ v2 − 0 2 (F1 − F2 ) ⋅ s = (80 N − 20 N ) ⋅ 6m = 360 J , vagyis a kinetikus energianövekedés: ΔE kin = 360 J b. A kerékpáros munkavégzése: Wker = F1 ⋅ s = 80 N ⋅ 6m = 480 J c. A különbség a fékező erő munkája lett, végső soron hővé alakult.
a. A munkatételt alkalmazva: (F1 − F2 ) ⋅ s =
5. h = 4m , s = 8m A két távolságadatból elemi geometriai ismeretek alapján megállapítható, hogy a lejtó hajlásszöge 30 0 . Ebből merőleges szárú szögek egyenlősége miatt az következik, hogy a testre ható nehézségi erő nagyságának fele a lejtő irányú komponens, ami a testet gyorsítja.
105
mg A gyorsító erő munkája lesz a test kinetikus energiája, amiből a sebessége 2 m⋅g 1 1 ⋅ s = m ⋅ v2 , kiszámítható. Fgy ⋅ s = m ⋅ v 2 , 2 2 2 m m m v = g ⋅ s = 10 2 ⋅ 8m = 80 = 8,944 s s s m 6. v 0 = 600 , d 1 = 10cm , d 2 = 5cm s Megoldás gondolkodással, kevés számolással: Ha a fékezőerő állandó, akkor a fékezési út első felén a golyó kinetikus energiájának fele válik fékezési munkává, vagyis felére csökken a 1 mozgási energia. Fele mozgási energiához -szeres sebesség tartozik, vagyis félúton a 2 v 600 m = 424,3 golyó sebessége v f = 0 = s 2 2 Megoldás munkatétellel: A fal fékező erejének munkája okozza a golyó mozgási energiájának „eltűnését”. (A fékezőerő ellentétes a golyó mozgásával.) A munkatételből tehát a fékezőerő m ⋅ v 02 m ⋅ v 02 1 kifejezhető: − F fék ⋅ d 1 = 0 − m ⋅ v 02 , F fék = ⋅ d2 Ez a fékezőerő d 2 úton W = 2 2 ⋅ d1 2 ⋅ d1 munkát végez, vagyis ennyivel csökkenti a golyó mozgási energiáját. A maradék mozgási m ⋅ v 02 ⎛ d 2 ⎞ 1 1 2 ⎜⎜1 − ⎟⎟ = m ⋅ v 02 A mozgási energia tehát 5cm fékezés után: E mar = m ⋅ v 0 − W = 2 2 ⎝ d1 ⎠ 4 1 1 1 energia csökkenése: m ⋅ v 02 − m ⋅ v 02 = m ⋅ v 02 Ez a mennyiség egyenlő a fal 2 4 4 1 m ⋅ v 02 = munkavégzésével: 4 m 7. μ = 0,15 , v 0 = 3 , s1 = 1,82m , s = ? v = ? s a. Vízszintesen (az elmozdulás mentén) a testre csak a súrlódási erő hat, a munkatétel ezért 1 így alakul: (A súrlódási erő ellentétes a test mozgásával.) − Fs ⋅ s = 0 − m ⋅ v 02 , 2 2 ⎛ m⎞ ⎜3 ⎟ 2 v0 1 ⎝ s⎠ 2 = = 3m − μ ⋅ m ⋅ g = − m ⋅ v0 , s = m 2⋅μ ⋅ g 2 2 ⋅ 0.15 ⋅10 2 s Fgy =
b. A test mozgási energiája és abból a sebessége s1 út megtétele után a munkatétel alapján 1 1 1 1 számítható:: − Fs ⋅ s1 = m ⋅ v12 − m ⋅ v 02 , m ⋅ v12 = m ⋅ v 02 − μ ⋅ m ⋅ g ⋅ s1 , ebből a sebesség: 2 2 2 2 2
m ⎛ m⎞ v1 = v − 2 ⋅ μ ⋅ g ⋅ s1 = ⎜ 3 ⎟ − 2 ⋅ 0,15 ⋅ 10 2 ⋅ 1,82m =1,88 m/s s ⎝ s⎠ 2 0
106
27. lecke
A rugalmassági energia
1. A húzóerővel szemben a rugóerő, mint ellenerő, reakcióerő lép fel. 2. A két rugóban a rugalmas energia: E D1 D1 3 1 1 2 E D1 = D1 ⋅ (Δl ) , E D2 = D2 ⋅ (Δl ) A két energia aránya: = = 2 2 E D2 D2 2
A megnyújtásukhoz szükséges munka: W =
1 1 F ⋅ Δl = ⋅ 60 N ⋅ 0,15m = 4,5 J 2 2
3 2 E D1 = ⋅ 4,5 J = 2,7 J , E D2 = ⋅ 4,5 J = 1,8 J 5 5 3. Mindkét rugót F = 40 N erő húzza. F F Az egyes rugók megnyúlása: Δl1 = , Δl 2 = D1 D2
1 1 F 2 1 F 2 1 (40 N ) 2 D1 ⋅ (Δl ) = D1 ⋅ 2 = = = 0,8 J N 2 2 D1 2 D1 2 1000 m 2 2 2 1 1 F 1F 1 (40 N ) 2 = D2 ⋅ (Δl ) = D2 ⋅ 2 = = = 0,533 J N 2 2 D2 2 D2 2 1500 m 2
A rugalmas energiák: E D1 =
E D2
4. d = 5cm , Δd = 10cm W = ?
1 1 N 2 D ⋅ d 2 = ⋅ 2000 ⋅ (0,05m ) = 2,5 J 2 2 m 1 1 N 2 2 d + Δd megnyúlásnál: E d + Δd = D ⋅ (d + Δd ) = ⋅ 2000 (0,15m ) = 22.5 J 2 2 m A keresett munka a két energia különbsége: W = E d + Δd − E d = 22, J − 2,5 J = 20 J N A számolást egyszerűsíthetjük azzal, a -ben és cm-ben számolunk, de fel kell hívni a cm figyelmet lehetséges veszélyekre. d-re megnyújtott állapotban a rugó energiája: E d =
5. Δl ' = ? Számolás nélkül, gondolkozva: A rugalmas energia a megnyúlás négyzetével arányos, vagyis az eredeti megnyúlás 2 -szeresénél kétszereződik meg. Az eredeti megnyúláshoz képest tehát 2 − 1 szeres további megnyújtást kell végezni, vagyis Δl ' = Δl 2 − 1 Számolós megoldás: 1 2 Az eredeti megnyúláshoz tartozó rugalmas energia: E r = D ⋅ (Δl ) , 2 2 1 A kétszeres rugalmas energia: 2 ⋅ E r = D ⋅ Δl + Δl ' 2 ' A két egyenlet megoldása: Δl = Δl ⋅ 2 − 1
(
(
(
)
)
107
)
28. lecke Emelési munka, helyzeti energia és a mechanikai energia megmaradása 1. a. Azért, mert az elmozdulás (függőlegesen fel) ellentétes a nehézségi erő irányával (függőlegesen le). b. Fel tud emelni vagy mozgásba tud hozni egy másik testet. 2. a. A nehézségi erő − 1 -szeresével nőtt a test helyzeti energiája, vagyis 75 J -lal. b. A test mozgási energiája az emelőerő és a helyzet energia növekedésének különbségével egyezik meg, ami egyenlő az eredő erő munkájával is. E m = Wem − Wneh = We = 120 J − 75 J = 45 J 3. H = 3m , l = 60cm , m = 3kg , h = 75cm , E padló = ? , E asztal = ? , E mennyezet = ?
A padlótól H − l magasságban van, tehát a magassági energiája a padlóhoz képest: m E padló = m ⋅ g ⋅ (H − l ) = 3kg ⋅ 10 ⋅ (3m − 0,6m ) = 72 J s m E asztal = m ⋅ g ⋅ (H − h − l ) = 3kg ⋅ 10 2 ⋅ (3m − 0,75m − 0,6m ) = 49,5 J s m E mennyezet = m ⋅ g ⋅ (− l ) = 3kg ⋅ 10 2 (− 0,6m ) = −18 J s 4. l1 = 2m , l 2 = 1m
A kötél tömegközéppontja kezdetben a H magasságú asztal lapjától h =
l2 távolsággal lejjebb 4
3 van. Amikor a vége elhagyja az asztalt, akkor h ' = l 2 távolsággal van lejjebb. A kötél 4 3 potenciális energiájának csökkenése: ΔE p = m ⋅ g ⋅ l 2 Ez alakul mozgási energiává. 4 Feltesszük, hogy a kötél végig feszes marad, minden pontja azonos sebességgel, a 3 1 tömegközéppont sebességével halad. m ⋅ g ⋅ = m ⋅ v2 , 4 2 3 m 3 m m v = 2 ⋅ g ⋅ l 2 = 2 ⋅ 10 2 ⋅ m = 15 = 3,873 4 s s s 4 m v1 = ? , v 2 = ? s a. Mivel csak konzervatív erő végez munkát, alkalmazható a mechanikai energia megmaradás törvénye. A szánkózó magassági energiája h-val csökken, ez alakul át mozgási energiává. 1 m m m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ v12 , v1 = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 10 2 ⋅ 6m = 10,95 2 s s b. Most a kezdeti mozgási és helyzeti energia együttesen alakul mozgási energiává: 5. h = 6m , s = 20m , v 0 = 1
2
1 1 m m ⎛ m⎞ m ⋅ v 02 + m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ v 22 v 2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h = ⎜1 ⎟ + 2 ⋅ 10 2 ⋅ 6m = 11 2 2 s s ⎝ s⎠
108
29. lecke
A súrlódási erő munkája
1. A két esetben azonos munkavégzés történik. Mindkét súrlódási erő a munkavégzés folyamán a kezdeti mozgási energiát alakítja hővé. 2. A kenőanyagok optimális hatásukat általában szobahőmérséklet felett fejtik ki. A súrlódásból származó hő ezt biztosítja. Járművek fékezésénél a mozgási energia lecsökkentése, megszüntetése a cél. A súrlódási erő munkája hővé alakítja a mozgási energiát. Télen, hidegben összedörzsöléssel tudjuk melegíteni a kezünket. 3. s = 3m , W1−3 ? , W2 −5 ? ΔE kin ? a. A súrlódási erő: Fs = − μ ⋅ m ⋅ g , munkája az első három méteren: m W1−3 = −( μ ⋅ m ⋅ g ) ⋅ s = −0,1 ⋅ 4kg ⋅ 10 2 ⋅ 3m = −12 J s b. Ha a súrlódási erő állandó, akkor a végzett munka nem függ attól, hogy a pálya melyik szakaszát vizsgáljuk. Tehát W1−3 = W2 −5 = −12 J m c. A súrlódási erő munkája méterenként: W1 = −(0,1 ⋅ 4kg ⋅ 10 2 ) ⋅ 1m = −4 J Ez megegyezik a s kinetikus energia csökkenésével, tehát: ΔE kin = −4 J
m , m = 4kg , s = 5m , Ws = ? s2 m A ládára ható eredő erő: Fer = m ⋅ a = 4kg ⋅ 2 2 = 8 N , ez alapján a súrlódási erő: Fs = 2 N s A súrlódási erő munkája s úton: Ws = − Fs ⋅ s = 2 N ⋅ 5m = −10 J Tehát 10 J hő keletkezik. 4. Fgy = 10 N , a = 2
5. h = 5m , s = 25m , m = 55kg , Fer = ? , Ws = ? , Wneh ? , ΔE ö = ? a. Mivel egyenletes sebességgel csúszik le, ezért a testre ható lejtő irányú erők eredője nulla. Vagyis a nehézségi erő lejtő irányú komponense azonos nagyságú, mint a súrlódási erő. Fer = 0 b. Mivel a mozgás során a kinetikus energia nem változik, a magassági energia csökkenése m fedezi a súrlódási erő munkáját. W s = −(m ⋅ g ⋅ h) = 55kg ⋅10 2 ⋅ 5m = −2750 J s c. Wneh = m ⋅ g ⋅ h = 2750 J d. A test összenergiája annyival csökkent, amennyi munkát a nehézségi erő végzett: ΔE ö = −Wneh = −2750 J 6. F f = 40 N s = 10m , Ws = ?
A talaj és a láda közötti nyomóerő: Fny = mg − F f = 10kg ⋅ 10 A súrlódási erő: Fs = μ ⋅ Fny = 0,3 ⋅ 60 N = 18 N
m − 40 N = 60 N s2
A súrlódási erő munkája s úton: Ws = − Fs ⋅ s = 18 N ⋅ 10m = −180 J 7. v 0 = 2
m , m1 = 0,5kg , m 2 = 2kg , μ = 0,2 , s1 = ? , s 2 = ? s 109
A
s1 =
kinetikus v 02
⎛ m⎞ ⎜2 ⎟ ⎝ s⎠
válik
súrlódási
1 munkává: m1 ⋅ v 02 = μ ⋅ m1 ⋅ g ⋅ s1 , 2
2
= 1m m 2 ⋅ 0,2 ⋅ 10 2 s Látható, hogy a fékezési út nem függ a test tömegétől, tehát mindkét test 1m úton áll meg. 2⋅μ ⋅ g
=
energia
110
30. lecke
Az energia fajtái és előállításuk
A feladatok egyéni adatgyűjtést igényelnek, a számonkérésnél érdemes figyelni, mennyire reális számértékek hoznak a diákok.
111
31. lecke
Teljesítmény, hatásfok
1. Egyéni adatgyűjtést igényel. 2. A kWh az energia mértékegysége, de csak a villamos energia mérésére használják. 3. m = 85kg , t = 19 s , (A feladat kitűzésénél az idő hibásan szerepel!) h ' = 3m , n = 22 , P = ? A futó tömegközéppontjának emelkedése 21 emelet és a földszint, tehát h = 66m A nehézségi erővel szemben végzett munkája: W = m ⋅ g ⋅ h m 85kg ⋅ 10 2 ⋅ 66m W m⋅g ⋅h s A futó átlagteljesítménye: P = = = = 2,95kW t t 19 s 4. m1 = 2kg , m 2 = 10kg , h = 15m , t = 10 s , P = ? , η = ? a. A vízzel teli vödör felemeléséhez szükséges munka: m W = (m1 + m 2 ) ⋅ g ⋅ h = (2kg + 10kg ) ⋅ 10 2 ⋅ 15m = 1800 J s W 1800 J 180W A szükséges motorteljesítmény: P = = t 10s Mivel a villanymotorok hatásfoka mintegy 90% , a valóságban legalább 200W -os motorra
van szükség. b. Az emelés hatásfokát úgy értelmezzük, hogy csupán a víz felemelése a hasznos munka, ezért:
η=
Wvíz m , ahol Wvíz = m 2 ⋅ g ⋅ h = 10kg ⋅ 10 2 ⋅ 15m = 1500 J , vagyis W s
η=
1500 J = 0.833 = 83,3% 1800 J
5. M = 85kg , m1 = 2kg , m 2 = 25kg , h = 12m , η1 = ? , η 2 = ?
a. Gondolkodós megoldás: A munkavégzés a tömegekkel arányos, tehát a hatásfokot a hasznos és az összes tömeg aránya adja meg: η1 =
m1 2kg = = 0,023 = 2,3% M + m1 85kg + 2kg
Számolósabb megoldás: A postás és a kis csomag felviteléhez szükséges összes munka:
112
Wö = (M + m1 ) ⋅ g ⋅ h = (85kg + 2kg ) ⋅ 10
m ⋅ 12m = 10440 J s2
A hasznos munka: Wh = m1 ⋅ g ⋅ h = 2kg ⋅ 10 A hatásfok: η1 =
m ⋅ 12m = 240 J s2
Wh m1 ⋅ g ⋅ h m1 2kg = = = = 0,023 = 2,3% Wö (M + m1 ) ⋅ g ⋅ h M + m1 85kg + 2kg
b. A nagyobb csomag esetén a hatásfok: η 2 =
6. ρ = 2
kg , η' =? m
A kötél tömege: h' =
m2 25kg = = 0,227 = 22,7% M + m 2 85kg + 25kg
m k = ρ ⋅ h = 30kg
A kötél emelését úgy tekinthetjük, hogy a
h = 7,5m mélyen levő tömegközéppontját emeljük a földfelszínig. Ez az emelési munka: 2
Wköt = m k ⋅ g ⋅ h ' = 30kg ⋅ 10 módosult hatásfok: η ' =
7. m = 10kg , a = 2
m ⋅ 7,5m = 2250 J Ez az érték az összes munkát növeli, vagyis a s2
Wvíz 1500 J = = 0,37 = 37% W + Wköt 1800 J + 2250 J
m , P(t ) = ? , Pátlag = ? , Pt =5 = ? s2
a. A testet F = m ⋅ a = 10kg ⋅ 2
m = 20 N erő gyorsítja. s2
Állandó erő teljesítménye: P = F ⋅ v = F ⋅ a ⋅ t = m ⋅ a 2 ⋅ t = 40t (W ) b. Az erő teljesítménye lineárisan nő nulláról. Pt =0 = 0W , Pt =10 = 40 Az átlagteljesítmény: Pátlag : =
Pt =0 + Pt =10 0W + 400W = = 200W 2 2
113
J ⋅ 10s = 400W s2
8. m = 1500kg , P = 90kW , v 0 = 36
km km t =? , v = 90 h h
A felgyorsításhoz szükséges energia a végállapotbeli és a kezdeti
kinetikus energiák
különbsége: E = E vég − E kezd v 0 = 36
km m km m = 10 , v = 90 = 25 h s h s 2
E=
2
1 1 1 ⎛ m⎞ 1 ⎛ m⎞ m ⋅ v 2 − m ⋅ v02 = ⋅ 1500 kg ⋅ ⎜ 25 ⎟ − 1500 kg ⋅ ⎜10 ⎟ = 393750 J 2 2 2 ⎝ s⎠ 2 ⎝ s⎠
Ennyi munkát a motor t =
W 393750 J = = 4,375 s alatt végez. P 90000 W
114
