2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b)

Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25.

Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

1

A változók szétválasztásának módszere (5) Az Y(t)-re vonakozó megoldás:

Így:

A probléma megoldása n-re összegzés után:


A peremfeltételeknek a sor összes tagja eleget tesz.

2

A változók szétválasztásának módszere (6) A kezdeti feltételeknek is teljesülniük kell:

Azaz a


-ek a

függvény Fourier-együtthatói:

3

A forrásfüggvény (1) A hőmérséklet időbeli változása az l hosszúságú rúdon a kezdeti feltétel mellett:


4

A forrásfüggvény (2) Innen a pillanatnyi pontszerű forrás forrásfüggvénye /pillanatnyi pontszerű forrás hőmérsékleti hatásfüggvénye/:

Ezzel:


5

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (1) A

-t az írjuk át a intervallum helyett a

Az új változók:

Ekkor:


képzése miatt intervallumra.

6

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (2) A szinuszok szorzata, ha n páros:

Ha n páratlan:


7

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (3) Így:


8

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (4) Az összegek kiszámolása az

határátmenetben:

Amelyekkel az első összeg a következő integrállal fejezhető ki:


9

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (5) Hasonlóképpen a második összegre:


10

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (6) Összefoglalva tehát:


11

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (7) Az integrál kiszámolásához tekintsük az

helyettesítésekkel nyert integrált:

Vegyük ennek


szerinti deriváltját

12

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (8) A megjelölt u és v függvényekkel végrehajtva egy parciális integrálást adódik:

Az I-re vonatkozó megoldása:


szerinti

13

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (9) A C értéke a

Így:


helyettesítéssel kapható a

14

Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (10) Az

helyettesítésekkel:


15

Két fél-végtelen rúd hőmérsékletének kiegyenlítődése (1) A fizikai probléma: adott két azonos anyagi minőségű rúd a

kezdeti feltételek

mellett.


16

Két fél-végtelen rúd hőmérsékletének kiegyenlítődése (2) Alkalmazva a

helyettesítést


17

Két fél-végtelen rúd hőmérsékletének kiegyenlítődése (3) A hőmérséklet eloszlás időbeli változása:

Ha

és

Itt

a hibafüggvény. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

18

Peremérték problémák félegyenes mentén (1) A feladat általában: a hővezetési egyenlet a kezdeti feltétellel, valamint a peremfeltétellel. A megoldás előállítható

alakban, ahol


csak a kezdeti csak a peremfeltételektől függ, továbbá

19

Peremérték problémák félegyenes mentén (2) I.: II.: feltételeket elégíti ki. A feladat megoldásához szükséges a következő két segédtétel:

esetén, 1. ha akkor az Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

páratlan függvény, azaz helyen a

zérussá válik, azaz

20

Peremérték problémák félegyenes mentén (3) 2. Ha akkor a

páros függvény, azaz függvény

differenciálhányadosa az

helyen zérus, azaz

A

amelyre


függvény meghatározásához vezessük be az

21

Peremérték problémák félegyenes mentén (4) Az függvény meghatározható egy olyan segítségével, amely

Így az


tartományban

függvény

22

Peremérték problémák félegyenes mentén (5) Az első integrálban a véve, hogy


helyettesítéssel és figyelembe

23

Peremérték problémák félegyenes mentén (6) Így

Alkalmazzuk ezt a formulát a

kezdeti és peremfeltételű fél-végtelen rúdra. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

24

Peremérték problémák félegyenes mentén (7) A hőmérséklet:

Alkalmazva a helyettesítéseket:


25

Peremérték problémák félegyenes mentén (8)

Így:


26

Peremérték problémák félegyenes mentén (9) A

meghatározása:

Legyen a határponti hőmérséklet

Ekkor az

függvény a hővezetési egyenletnek olyan megoldása, amely kielégíti az és Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

feltételeket.

27

Peremérték problémák félegyenes mentén (10) Ebből következik, hogy a

eleget tesz a

feltételeknek. Így


28

A földkéreg hőmérsékletéről (1) A hőmérsékletnövekedés a mélységgel 100 m-ként 3℃. Tételezzük fel, hogy a Föld kezdeti hőmérséklete: 1200℃, a felületi hőmérséklet 0℃. Hány év alatt állhatott be a mostani hőmérséklet-gradiens? A leíró egyenlet:

A kezdeti és peremfeltételek:

A hőmérséklet eloszlás: Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

29

A földkéreg hőmérsékletéről (2) A felszíni hőmérséklet-gradiens:

A diffúziós együttható: A lehűlés ideje:

Hm!? Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

30

A földkéreg hőmérsékletéről (3) Hőforrás (f) feltételezése szükséges:

Vulkánkitörés során felszínre kerülő radioaktív kőzetekben:

teljesítménysűrűség mérhető. Egyenletes forráseloszlást feltételezve a teljes teljesítmény


31

A földkéreg hőmérsékletéről (4) A hőáram-sűrűség nagysága a felszínen:

Így:

ami kétszerese a tapasztaltnak. → Csak egy belső magban történik radioaktív hasadás. (A számolásban Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

)

32

A földkéreg hőmérsékletéről (5)


33

A földkéreg hőmérsékletéről (6)

Forrás: National Geographic


34

Egy közbevetett nagyon egyszerű kérdés Mekkora a Nap fúziós tartományának teljesítménysűrűsége?

Sugár: R=700000 km Fúziós tartomány: 0,25R Napállandó: 1370 W Összteljesítmény: P = Teljesítménysűrűség:

W

!!! Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Recommend Documents