Respons Dinamik Perkerasan Kaku Akibat Beban Kendaraan yang Bergerak dengan KecepatanTidak Konstan
4000 2000 0 Shear qy N
3
-2000 -4000 2
0
y m
1 2 1 x m
3
4
5
Prof. Ir. Sofia W. Alisjahbana M.Sc., Ph.D.
0
Jenis Perkerasan Kaku 1. Jointed Plain Concrete Pavements (JPCP)
2. Jointed Reinforced Concrete Pavements (JRCP)
3. Continuously Reinforced Concrete Pavements (CRCP)
AASHTO, “Integrated Material and Construction Practices for Concrete Pavement”, Design Guide, 2004
Masalah Penelitian • Idealisasi pelat beton perkerasan kaku • Syarat batas tepi pelat : • Simply supported atau fixed supported • Menjadi fleksible supported (dowel : kekakuan tahanan vertikal, kekakuan rotasi) • Sifat bahan pelat beton : Isotropik → Orthotropik • Model tanah di bawah pelat: Pondasi Winkler → Pasternak → Kerr • Beban kendaraan : statik diam → harmonik bergerak • Bidang pelat horizontal
Pembatasan Masalah Penelitian 1. Pelat beton memiliki sifat bahan linier elastis homogen orthotropik
Batas Plastis
Batas Elastis
2. Jenis Pondasi Pasternak, pegas elastis dapat menerima gaya aksial tarik dan tekan secara menerus dengan syarat batas tahanan tepi sembarang. Pelat beton kaku orthotropik tebal h
Batang pengikat/ tie-bar
X
a Dowel / ruji
ksy1, kry1 ksx1, krx1
ksx2, krx2
b Vx+Acc.t
ksy2, kry2
Tahanan vetikal tepi pelat
Pz(x,y,t)=Po(1+d.Cos[ .t]) Tahanan rotasi tepi pelat
Y
3. Dukungan tepi berupa dowel atau tie bar pada keempat sisi pelat terpasang di tengah tebal pelat dan diasumsikan tidak berubah tempat.
Batasan Lain • Teori Lendutan kecil pada pelat lentur • Kehilangan energi hanya akibat adanya redaman • Bentuk dinamik berupa beban roda truk berupa beban terpusat ekivalen as tunggal (Equivalent Single Axle Load, ESAL) • Beban bergerak mempunyai kecepatan dan percepatan positif di arah sumbu x dan bergerak di tengah lebar pelat. • Gaya traksi horizontal akibat percepatan tidak diperhitungkan dalam penelitian • Pengaruh suhu, perbedaan suhu pelat dan pengaruh suhu lingkungan diabaikan 0.0001
0
3
-0.0001
2
0
1
2
1
3
4
5
0
•
Pelat perkerasan kaku yang ditinjau adalah di jalur tengah dari 3 jalur pelat beton
•
Penyelesaian persamaan gerak pelat menggunakan Modified Bolotin Method (MBM)
Tujuan Penelitian •
Menganalisis respons dinamik pelat beton orthotropik yang berupa perkerasan kaku jalan raya didukung oleh pondasi elastis Pasternak. 1. Hubungan matematis parameter-parameter sistem yang secara langsung berinteraksi dengan pelat beton, pondasi pelat dan beban dinamik yang bergerak dengan kecepatan tidak konstan. 2. Studi parametrik • Pengaruh variasi dari kekakuan pegas pondasi (k) dan koefisien geser pondasi (Gs) terhadap respons dinamik pelat. • Analisis respons dinamik pelat akibat perubahan bermacam ukuran dowel.
Tujuan Pertama • Hubungan Matematis Parameter Sistem
Jenis Pondasi Pendukung Pelat
Pondasi Winkler (Winkler Foundation)
Pondasi Pasternak (Pasternak Foundation) p(x,y)
p(x,y)
Pelat Lentur
Pelat Lentur
Lapisan Geser
Lapisan Pegas Linier
Lapisan Pegas Linier
Pondasi Jenis Kerr (Kerr Foundation)
p(x,y) Pelat Lentur Lapisan Pegas Linier 1 Lapisan Geser Lapisan Pegas Linier 2
Penyelesaian Persamaan Pelat Jenis Pondasi Pasternak
Persamaan Umum Diferensial Pelat
4w 4w 4w D x 4 + 2.B. 2 2 + D y 4 = p z (x,y) x x y y
Persamaan Diferensial Jenis Pondasi Winkler p(x,y) Pelat Lentur
Lapisan Pegas Linier
4w 4w 4w D x 4 + 2.B. 2 2 + D y 4 + r1 = p z (x,y) x x y y
r1 = k . w
Persamaan Gerak Diferensial Jenis Pondasi Pasternak p(x,y) Pelat Lentur Lapisan Geser Lapisan Pegas Linier
r1 = k . w
4 w(x,y,t) 4 w(x,y,t) 4 w(x,y,t) 2 w(x,y,t) Dx + Dy + 2.B. + ρ.h. 4 2 2 4 x x y y t 2 2 w(x,y,t) 2 w(x,y,t) w(x,y,t) + γ.h. + k . w(x,y,t) G s . + = p z (x,y,t) 2 2 t x y
Solusi total persamaan gerak diferensial (wt) • wt = wH + wP • wH = Solusi homogen • wP = Solusi partikuler • Metode Pemisahan variabel • w(x,y,t) = W(x,y) . T(t) Fungsi Spatial
Fungsi Temporal
Solusi Fungsi Spatial w(x,y,t) = W(x,y) . T(t)
Penyelesaian Persamaan Auxiliary Pertama q.π.y W(x,y) = X(x) . Sin b
Asumsi Solusi Spatial :
Syarat batas di arah x
X(x) = Fungsi posisi di arah sumbu x p.π p.π π π X(x) = A1.Cos .x + A 2 .Sin .x + A 3 .Cosh β.x + A 4 .Sinh β.x a a ab ab
X x=0
Kondisi Momen M (x=0)
2w 2w w = D x 2 ν y . 2 = krx1. y x x
M (x=a)
2w 2w w = D x 2 ν y . 2 = krx2 . y x x
x=a
A
ES-R
ES-R
A
Kondisi Geser Vertikal B
Y
B
3w B + 2.D t 3w V(x=0) = D x 3 + . 2 x D x xy
= ks x1.w
3w B + 2.D t 3w = Dx 3 + . 2 x D x xy
= ks x2 .w
V(x=a)
Matrix Syarat Batas di arah X x11 x X = x 21 31 x 41
x13
x 22
x 23
x 32
x 33
x 42
x 43
x14 A1 0 x 24 A 2 0 . = 0 x 34 A3 x 44 A 4 0
x12
x13
x 22
x 23
x 32
x 33
x 42
x 43
Syarat batas
=0
x12
x11 x 21 Pers1 = Det x 31 x 41
x14 x 24 =0 x 34 x 44
Persamaan Transendental Pertama
Penyelesaian Persamaan Auxiliary Kedua Asumsi Solusi Spatial :
p.π.x W(x,y) = Y(y) . Sin a
Syarat batas di arah y
Y(y) = Fungsi posisi di arah sumbu y q.π q.π π π Y(y) = B1.Cos .y + B 2 .Sin .y + B 3 .Cosh θ.y + B 4 .Sinh θ.y b b ab ab
X
y=0
ES-R
B
A
Kondisi Momen M (y=0)
2w 2w w = D y 2 ν x . 2 = kry1. x y y
M (y=b)
2w 2w w = D y 2 ν x . 2 = kry2 . x y y
Kondisi Geser Vertikal ES-R
V(y=0)
3w B + 2.D t 3w = Dy 3 + . 2 y D y yx
= ks y1.w
V(y=b)
3w B + 2.D t 3w = Dy 3 + . 2 y D yx y
= ks y2 .w
y=b
A Y
B
Matrix Syarat Batas di arah Y y11 y Y = y 21 31 y 41
y12
y13
y 22
y 23
y 32
y 33
y 42
y 43
y14 B1 0 y 24 B2 0 . = y 34 B3 0 y 44 B4 0
Syarat batas
=0
y11 y 21 Pers2 = Det y 31 y 41
y12
y13
y 22
y 23
y 32
y 33
y 42
y 43
y14 y 24 =0 y 34 y 44
Persamaan Transendental Kedua
Nilai p dan q x11 x 21 Pers1 = Det x 31 x 41
x12
x13
x 22
x 23
x 32
x 33
x 42
x 43
x14 x 24 =0 x 34 x 44
Persamaan Transendental 1 roots
y11 y 21 Pers2 = Det y 31 y 41
y12
y13
y 22
y 23
y 32
y 33
y 42
y 43
Persamaan Transendental 2
y14 y 24 =0 y 34 y 44
p dan q
Koefisien Ai dan Bi A4 =
x x11 x A1 12 A 2 13 A 3 = α11.A1 + α12 .A 2 + α13 .A 3 x14 x14 x14
A3 =
x 21 + α11.x 24 x + α12 .x 24 A1 22 A 2 = α 21.A1 + α 22 .A 2 x 23 + α13 .x 24 x 23 + α13 .x 24
A2 = =
x 31 + α11.x 34 + α 21. x 33 + α13 .x 34
x 32 + α11.x 34 + α 22 . x 33 + α13 .x 34
A1
x 42 + α11.x 44 + α 22 . x 43 + α13 .x 44
A1
x 41 + α11.x 44 + α 21. x 43 + α13 .x 44
Koefisien A1, A2, A3, A4
A1 = 1
W(x,y)=X(x).Y(y) B4 =
y y11 y B1 12 B 2 13 B3 = γ11.B1 + γ12 .B 2 + γ13 .B3 y14 y14 y14
B3 =
y 21 + γ11 .y 24 y + γ12 .y 24 B1 22 B 2 = γ 21 .B1 + γ 22 .B 2 y 23 + γ13 .y 24 y 23 + γ13 .y 24
B2 = =
y31 + γ11.y34 + γ 21. y 33 + γ13 .y 34
y32 + γ11.y34 + γ 22 . y 33 + γ13 .y 34
B1
y 42 + γ11.y 44 + γ 22 . y 43 + γ13 .y 44
B1
y 41 + γ11.y 44 + γ 21. y 43 + γ13 .y 44
B1 = 1
Koefisien B1, B2, B3, B4
Frekuensi Alami Sistem ω pq 2
4 2 2 4 pπ 2 qπ 2 1 pπ pπ qπ qπ = k + G s + + D x + 2.B . + D y ρh b a a b b a
a
= Panjang pelat di arah sumbu x
b
= Lebar pelat di arah sumbu y
h
= Ketebalan pelat
k
= Kekakuan lapisan pegas
Gs
= Modulus geser lapisan geser pondasi Pasternak
Dx , Dy
= Kekakuan lentur pelat secara berturut-turut di arah x dan di arah y
B
= Kekakuan relatif puntir pelat
ρ
= Massa jenis pelat
νx
= Poisson rasio bahan pelat di arah sumbu x
νy
= Poisson rasio bahan pelat di arah sumbu y
p
= Bilangan riil positif di arah x
q
= Bilangan riil positif di arah y
Solusi Fungsi Temporal w(x,y,t) = W(x,y) . T(t)
Fungsi Temporal Tpq (t) = Tˆ pq (t) + T *pq (t)
• Solusi Total
Solusi homogen fungsi waktu
Solusi partikuler fungsi waktu
-ζ.ω pq .t ˆ Tpq (t) = e a 0[p,q] .Cos[ω pq 1-ζ 2 ].t + b 0[p,q] .Sin[ω pq 1-ζ 2 ].t
t
T
* pq
(t) =
0
b P (x,y,t) a e -ζ.ωpq .(t-τ) z X pq (x) dx Ypq (y) dy Sin 2 ρ.h.Q pq x=0 y=0 1-ζ ω pq
1-ζ ω pq (t-τ) dτ 2
Solusi Homogen wH
wH =
X pq (x).Ypq (y) .e p=1 q=1
-ζ.ωpq .t
a
0[p,q]
.Cos[ω pq 1-ζ 2 ].t + b 0[p,q] .Sin[ω pq 1-ζ 2 ].t
Solusi Partikuler wP
wP
= X pq (x).Ypq (y). p=1 q=1
t 0
b P (x,y,t) a e -ζ.ωpq .(t-τ) z X pq (x) dx Ypq (y) dy Sin 2 1-ζ ω ρ.h.Q pq x=0 y=0 pq
1-ζ ω pq (t-τ) dτ 2
Fungsi Beban Dinamik • Fungsi beban dinamik dinyatakan dalam fungsi Dirac’s Delta
Pz (x,y,t) = p[x(t),y(t),t] = P(t).δ[x-x(t)].δ[y-y(t)]
1 P(t) = P0 1 + Cos[ωt] 2
Dengan adanya percepatan (+) di arah x, fungsi beban dinyatakan :
1 1 P(x,y,t) = P0 1 + Cos[ωt] δ x x Vo.t + .Acc.t 2 .δ y y 0 2 2
Respons Dinamik Sistem Solusi Total wt = wH + wP
i.ω pq -ζ.ωpq .(t-t 0 ) w(x,y,t) = X pq (x).Ypq (y) . e a 0pq .e p=1 q=1
1-ζ 2 (t-t 0 )
+b 0pq
-i.ω .e
pq
1-ζ 2 (t-t 0 )
1 P 1 + Cos[ωτ] t a 0 2 X (x) .δ x x Vo.τ + 1 .Acc.τ 2 dx . x=0 pq ρ.h.Q pq 2 0 e ζ.ωpq .τ y=0 Ypq (y) . y y 0 dy. 1-ζ 2 ω Sin pq b
1-ζ ω pq (t-τ) dτ 2
-ζ.ωpq .t +e
Respons Dinamik Pelat 0
t0
Interval 0 < t < t0
w(x,y,t) =
X
pq
p=1 q=1
t 0 e
(x).Ypq (y) +e
-ζ.ω pq .t
1 P 1 + Cos[ωτ] .Y(y 0 ) 0 1 2 .X pq Vo.τ + .Acc.τ 2 . ρ.h.Q pq 2 ζ.ω pq .τ
1-ζ ω pq 2
Sin
1-ζ ω pq (t-τ) dτ
2
>t0
Interval t > t0
w(x,y,t) =
X
pq
p=1 q=1
ζ.ω .w pq
13
(x).Ypq (y) .e
0pq
+ v 0pq
ω pq . 1-ζ 2
-ζ.ω pq .t
w
0pq
.Cos[ω pq . 1-ζ 2 .t] +
.Sin[ω pq . 1-ζ 2 .t]
Tujuan Kedua • Studi Parametrik
Parameter Pelat Beton Notasi
Nama
Nilai
Satuan
5
m
a
Panjang pelat (sejajar sumbu x)
b
Lebar pelat (sejajar sumbu y)
3.5
m
h
Tebal pelat
0.25
m
ρ
Massa jenis beton
2500
Kg/m3
γ
Berat jenis beton
2450
N/m3
Ex
Modulus elastisitas beton di arah sumbu x
27.0 x 109
N/m2
Ey
Modulus elastisitas beton di arah sumbu y
22.5 x 109
N/m2
νx
Poisson rasio beton di arah sumbu x
0.18
νy
Poisson rasio beton di arah sumbu y
0.15
G
Modulus geser beton
K
Modulus dukungan beton pada dowel
98.789 x 108
N/m2
2.71 x 1011
N/m2
Studi Kasus Perkerasan Kaku Case
Case 1
Case 2
Case 3
a
b
h
k
Gs
Dowel
kr1
ks1
P0
Acc
m
m
m
MN/m3
MN/m
mm
N/rad/m
MN/m/m
KN
m/det2
5
3.5
0.25
27.2
9.52
22
1
150
80
2
Soft
b
25
1
200
80
2
Soil
c
28
1
250
80
2
d
32
1
300
80
2
e
36
1
400
80
2
22
1
150
80
2
Medium
b
25
1
200
80
2
Soil
c
28
1
250
80
2
d
32
1
300
80
2
e
36
1
400
80
2
22
1
150
80
2
Hard
b
25
1
200
80
2
Soil
c
28
1
250
80
2
d
32
1
300
80
2
e
36
1
400
80
2
a
a
a
5
5
3.5
3.5
0.25
0.25
54.4
108.8
19.04
38.08
Ket
Frekuensi Alami Sistem Frekuensi Alami Sistem Case1a 25000.00
m=1 20000.00
m=2
ω (rad/det)
m=3 15000.00
m=4 m=5 m=6
10000.00
m=7 m=8
5000.00
m=9 0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mode ragam - n
Frekuensi alami sistem untuk Case1a. Parameter beban P0=80kN, ωbeban=100rad/det, v=90km/jam, rasio redaman ζ=5%, Acc=2m/det2
Kecepatan Kritis Case 1, Case 2, Case 3 Kecepatan Kritis Case 1
Kecepatan Kritis Case 2
Kecepatan vs Lendutan
Kecepatan vs Lendutan 0.00035
0.00050 0.00045
0.00030
[ 1a] D=5% [ 1a] D=10%
0.00035
[ 1b] D=0% [ 1b] D=5%
0.00030
[ 1b] D=10% [ 1c ] D=0%
0.00025
[ 1c ] D=5% [ 1c ] D=10% [ 1d] D=0%
0.00020
[ 1d] D=5% [ 1d] D=10%
0.00015
[ 1e] D=0% [ 1e] D=5%
0.00010
[ 1e] D=10%
[ 2a] D=0% [ 2a] D=5%
0.00025
[ 2a] D=10% [ 2b] D=0% [ 2b] D=5% [ 2b] D=10%
0.00020
[ 2c ] D=0% [ 2c ] D=5% [ 2c ] D=10%
0.00015
[ 2d] D=0% [ 2d] D=5% [ 2d] D=10%
0.00010
[ 2e] D=0% [ 2e] D=5% [ 2e] D=10%
0.00005
0.00005 0.00000 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
0.00000
200
0
10
20
30
40
50
60
Kecepatan (km/jam)
70
80
90
Kecepatan vs Lendutan 0.00025
Parameter:
P0 = 80kN ωbeban = 100rad/det Acc = 2m/det2
100
110
120
Velocity (km/h)
Kecepatan Kritis Case 3
[ 3a] D=0%
0.00020
Lendutan Absolut (m)
Lendutan Absolut (m)
Absolute Displacement (m)
[ 1a] D=0%
0.00040
[ 3a] D=5% [ 3a] D=10% [ 3b] D=0% [ 3b] D=5%
0.00015
[ 3b] D=10% [ 3c ] D=0% [ 3c ] D=5% [ 3c ] D=10% [ 3d] D=0%
0.00010
[ 3d] D=5% [ 3d] D=10% [ 3e] D=0% [ 3e] D=5%
0.00005
[ 3e] D=10%
0.00000 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Kecepatan (km/jam)
140
150
160
170
180
190
200
130
140
150
160
170
180
190 200
Respons Spektra Lendutan Pelat Dynamic Deflection m 0.0002 0.00015 0.0001 Dynamic Deflection 0.00005 0.0002
m
Time sec 0.00015 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.00005 0.0001 Dynamic Deflection m -0.0001 0.00005 0.0002 -0.00015 Time sec 0.00015 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.0002 -0.00005 0.0001 Dynamic Deflection m -0.0001 0.00005 0.0002 -0.00015 Time sec 0.00015 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.0002 -0.00005 0.0001 -0.0001 0.00005 -0.00015 Time sec 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.0002 -0.00005 -0.0001 -0.00015 -0.0002
Parameter: P0 = 80kN V = 90km/jam Acc = 2m/det2
Momen dan Gaya Geser Case 1a Parameter : y P0 V Acc T
= b/2 = 80kN = 90km/jam = 2m/det2 = 0.0996det
Parameter : x P0 V Acc T
= a/2 = 80kN = 90km/jam = 2m/det2 = 0.0996det
Analisis Frekuensi Alami vs Variasi Dowel k(v)
k(r)
dowel
Case 1 w(1,1) (rad/det)
Case 2 (%)
w(1,1) (rad/det)
Case 3 w(1,1) (rad/det)
(MN/m/m)
(N/rad/m)
(mm)
(%)
150
1
22
363.632
200
1
25
365.576
0.53
441.151
0.51
562.387
0.52
250
1
28
366.529
0.80
442.264
0.77
563.844
0.78
300
1
32
367.063
0.94
442.890
0.91
564.668
0.93
400
1
36
367.605
1.09
443.527
1.05
565.512
1.08
438.900
(%)
559.478
Keterangan : Case: 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras Frekuensi Alami Pelat Konstanta Pondasi vs
Frekuensi Alami Case2 (Tanah Sedang)
600.000
444.00 443.00 442.00 441.00 440.00 439.00 438.00
Case 2
(rad/det)
(rad/det)
diam eter dow el vs
550.000
d=22
500.000
d=25
450.000
d=28
400.000
d=32
350.000
d=36
300.000
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Diam eter dowel (m m )
1
2
3
Konstanta Pondasi (k dan Gs) 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras
Lendutan Dinamik di Pusat Pelat vs Variasi Dowel
ζ=0%
Dowel (mm)
22 - 36
Lendutan Maksimum Dowel vs Lendutan
25
28
32
36
k & Gs
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
%
0.05000
1
0.044693500
0.045802300
0.046556600
0.047504200
0.048427400
8.35
0.04500
2
0.041914000
0.042558600
0.043791000
0.044526300
0.045394300
8.30
3
0.038855200
0.039188100
0.040557700
0.041696900
0.042523300
9.44
ζ=5%
Dowel (mm)
Lendutan (m)
22
22 - 36
22
25
28
32
36
k & Gs
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
%
1
0.000841906
0.000848098
0.000848435
0.000848452
0.000848976
0.84
2
0.000614175
0.000637335
0.000647410
0.000650208
0.000659990
7.46
3
0.000414355
0.000421717
0.000423710
0.000424787
0.000425287
2.64
C1 D=0% 0.04000
C2 D=0% C3 D=0%
0.03500 0.03000 20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
Diameter dowel (mm)
Lendutan Maksimum Dowel vs Lendutan 0.00090
k & Gs
Dowel (mm)
22 - 36
22
25
28
32
36
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
%
1
0.000557413
0.000572765
0.000579132
0.000582324
0.000585784
5.09
2
0.000394273
0.000405781
0.000411017
0.000414037
0.000417679
5.94
3
0.000256740
0.000263946
0.000267535
0.000270034
0.000272006
5.95
0.00080
Lendutan (m)
ζ=10%
0.00070
C1 D=5%
0.00060
C2 D=5%
0.00050
C3 D=5%
0.00040 0.00030 20.00
Keterangan : k & Gs, 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras
25.00
30.00
35.00
Diameter dowel (mm)
40.00
Lendutan Dinamik di Pusat Pelat vs Variasi k & Gs (ζ=0%) k & Gs
D=22 (m)
%
D=25 (m)
%
D=32 (m)
%
2
0.041914000
-6.22
0.042558600
-7.08
0.043791000
-5.94
0.044526300
-6.27
0.045394300
-6.26
3
0.038855200
-13.06
0.039188100
-14.44
0.040557700
-12.89
0.041696900
-12.22
0.042523300
-12.19
%
D=25 (m)
%
D=28 (m)
0.048427400
D=32 (m)
%
2
0.000614175
-27.05
0.000637335
-24.85
0.000647410
-23.69
0.000650208
-23.37
0.000659990
-22.26
3
0.000414355
-50.78
0.000421717
-50.27
0.000423710
-50.06
0.000424787
-49.93
0.000425287
-49.91
%
D=25 (m)
%
0.000572765
0.000848452
%
0.000841906
D=22 (m)
0.000848435
D=36 (m)
%
1
(ζ=10%) k & Gs
0.000848098
0.047504200
%
0.044693500
D=22 (m)
0.046556600
D=36 (m)
%
1
(ζ=5%) k & Gs
0.045802300
D=28 (m)
D=28 (m)
0.000848976
D=32 (m)
%
0.000579132
D=36 (m)
%
0.000582324
%
1
0.000557413
0.000585784
2
0.000394273
-29.27
0.000405781
-29.15
0.000411017
-29.03
0.000414037
-28.90
0.000417679
-28.70
3
0.000256740
-53.94
0.000263946
-53.92
0.000267535
-53.80
0.000270034
-53.63
0.000272006
-53.57
Keterangan : k & Gs, 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras Lendutan Pelat Redaman 5%, Variasi k da G s dan variasi Dowel
Lendutan Pelat Redaman 0%, Variasi k da G s dan variasi Dowel 0.06000
0.00090 0.00080
0.05000
D=25 0.03000
D=28 D=32
0.02000
D=36
Lendutan (m)
Lendutan (m)
0.00070 D=22
0.04000
D=22
0.00060
D=25
0.00050
D=28
0.00040
D=32
0.00030
D=36
0.00020 0.01000
0.00010 0.00000
0.00000 1
2
3
Konstanta Pondasi (k dan Gs) 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras
1
2
3
Konstanta Pondasi (k dan Gs) 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras
Momen dan Geser vs Variasi Dowel Case1 (ζ=5%)
Gaya dalam
Momen y redaman 5% variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi
mx (Nm)
my (Nm)
qx (N)
qy (N)
22
3877.22
5003.70
9581.93
999.01
25
3908.70
5235.37
10602.10
882.59
28
3925.13
5018.85
10135.10
1056.77
32
3950.76
5095.54
10687.80
1344.86
36
3967.30
5156.73
11341.00
1772.87
6000 5000 my (Nm)
Dowel (mm)
4000
C1 my
3000
C2 my
2000
C3 my
1000 0 20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
Ukuran dowel (mm)
Momen x redaman 5%
Geser y redaman 5% variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi
5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
2500 2000 C2 mx
qy (N)
C1 mx
Geser x redaman 5%
C3 mx
variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi
20
22
24
26
28
30
32
34
36
C3 qy
20
8000
Ukuran dowel (mm)
C2 qy 1000
0
10000
38
C1 qy
1500
500
12000
qx (N)
mx (Nm)
variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi
C1 qx
6000
C2 qx
4000
C3 qx
2000 0 20
22
24
26
28
30
32
Ukuran dowel (mm)
34
36
38
22
24
26
28
30
32
Ukuran dowel (mm)
34
36
38
Mode Shape Pelat
Ragam getar mode (1,1) sampai (3,3) akibat beban dinamik P0 = 80kN, V = 90 km/jam, Acc = 2 m/det2, ωbeban = 100 rad/det, ζ = 5%
Animasi 3D Lendutan Pelat Akibat Beban Bergerak
Defleksi total pelat beton persegi panjang orthotropik, akibat beban P0=80.0kN, V=90km/jam, Acc=2m/det2, ωbeban =100 rad/det, ζ=5%, interval waktu 0 < t < t0 18
Kesimpulan 1.
Syarat batas tepi pelat yang sembarang atau memiliki kondisi jepit elastis di setiap sisi tepi
pelat, sudah mendekati keadaan sebenarnya di lapangan di mana kondisi tepi pelat yang ditinjau tersebut memiliki ruji (dowel) sebagai alat transfer beban yang memberikan tahanan vertikal dan tahanan rotasi pada tepi pelat. 2.
Kontribusi dari masing-masing ragam (mode) terhadap defleksi dinamik maksimum berkurang sejalan dengan meningkatnya ragam sistem. Mengikutsertakan enam buah ragam getar di arah x dan empat buah ragam getar di arah y untuk menghitung defleksi maksimum sistem adalah lebih dari cukup hingga diperoleh defleksi dinamik sistem yang akurat.
3.
Beban roda kendaraan yang dimodelkan sebagai beban terpusat harmonik yang bergerak dengan kecepatan tidak konstan menyebabkan fungsi beban menjadi lebih kompleks, sehingga integrasi Duhamel dari fungsi beban yang melibatkan perkalian pangkat dua dari fungsi waktu (t) dengan fungsi cosinus dan sinus, menyebabkan penyelesaiannya menjadi
rumit.
4.
Sejalan dengan peningkatan konstanta tahanan vertikal dari 150 MN/m/m sampai 400 MN/m/m (penggunaan dowel diameter 22 mm sampai dengan diameter 36 mm) pada tepi pelat, terjadi peningkatan frekuensi alami sistem besarnya peningkatan mulai 1.05% sampai dengan 1.09 %. Peningkatan frekuensi alami ini terjadi akibat meningkatnya kekakuan pelat.
5.
Akibat peningkatan kekakuan vertikal tepi pelat seperti Butir 4 membuat lendutan dinamik di pusat pelat bertambah besar mulai dari 0.84% sampai 9.44%.
6.
Peningkatan konstanta pondasi pendukung pelat k dan Gs sebesar 100% sampai 300% untuk 3 jenis tanah pendukung mulai dari tanah lunak k=27.2 MN/m3, Gs=9.52 MN/m (soft soil), tanah sedang k=54.4 MN/m3, Gs=19.04 MN/m (medium soil) dan tanah keras k=108.8 MN/m3, Gs=38.08 MN/m (hard soil) mengakibatkan meningkatnya frekuensi alami sistem sebesar 23.65% sampai 53.85%. Hal ini menunjukkan bahwa sistem yang ditinjau semakin kaku.
7.
Peningkatan konstanta pondasi seperti pada Butir 6 mengakibatkan lendutan dinamik di pusat pelat menurun mulai sebesar 5.94% sampai dengan 53.94%.
8.
Besarnya gaya dalam : momen x, momen y, geser x dan geser y meningkat seiring dengan meningkatnya kekakuan vertikal tepi pelat yaitu dengan memperbesar ukuran dowel dari 22 mm sampai dengan 36 mm.
9.
Lendutan dinamik maksimum yang terjadi di pusat pelat untuk parameter beban yang dipilih yaitu : P0=80kN, ωbeban=100 rad/det, Acc=2 m/det2 terjadi pada saat kecepatan beban berada di antara 140 km/jam sampai dengan 160 km/jam. Kecepatan ini merupakan kecepatan kritis untuk sistem yang ditinjau. Namun demikian kecepatan kritis ini sukar dicapai oleh sebuah truk yang bergerak di jalan raya.
10.
Kecepatan beban yang bergerak di antara 80 km/jam sampai dengan 100 km/jam sesuai dengan grafik-grafik pada butir no. 9 akan diperoleh lendutan dinamik pelat minimum untuk parameter beban seperti pada butir no. 9. Kecepatan ini adalah kecepatan aman dan sesuai dengan kecepatan ijin maksimum yang diperbolehkan oleh PT. Jasa Marga pada jalan bebas hambatan.
100
80
Partisipasi Ragam Getar dan Frekuensi Alami p
q
ω
m
n
1
1
0.993124237892174
0.987588125424007
363.6320
2.35774E-05
0.000023577400000
64.6679
2
0.977445054980775
1.832805186441810
747.8850
2.33431E-06
0.000002334310000
6.4025
3
0.961678832559288
2.609078347947640
1341.9400
1.77312E-07
0.000000177312000
0.4863
4
0.948905064558359
3.535725899046670
2339.8400
1.13433E-09
0.000000001134330
0.0031
5
0.939021782940294
4.517007199813200
3732.1100
1.41406E-15
0.000000000000001
0.0000
6
0.928668070973378
5.510125872372250
5489.4600
-3.41364E-21
0.000000000000000
0.0000
7
0.964282352491649
6.507574146726710
7614.5700
-4.11584E-31
0.000000000000000
0.0000
8
0.971757964116181
7.505694428920750
10088.7000
-1.30202E-33
0.000000000000000
0.0000
9
0.978099143396060
8.504469784602050
12917.2000
2.24784E-44
0.000000000000000
0.0000
rad/det
Lendutan m
Lendutan absolut m
Mode Participation
Total
%
%
71.5599 2
1
1.926481680924760
0.970473012625088
588.7150
3.4587E-06
0.000003458700000
9.4865
2
1.908302629449990
3
1.923287135808500
1.827545721639390
991.4920
2.81363E-06
0.000002813630000
7.7172
2.677976961922620
1666.1300
1.90114E-07
0.000000190114000
0.5214
4
1.937011438252960
3.601821052164530
2692.4700
2.82448E-09
0.000000002824480
0.0077
5
1.943665707384260
4.564936443407250
4083.3000
8.37831E-17
0.000000000000000
0.0000
6
1.945864867673220
5.544790260768830
5834.4100
3.37909E-20
0.000000000000000
0.0000
7
1.974617196229730
6.533592846151350
7956.2000
1.23551E-28
0.000000000000000
0.0000
8
1.986438971890140
7.525856985552600
10427.1000
-4.6075E-33
0.000000000000000
0.0000
9
1.989387065456070
8.520369741832050
13249.8000
3.7368E-43
0.000000000000000
0.0000
89.2928 3
1
2.759039613554540
0.956870942284890
939.5990
1.15961E-06
0.000001159610000
3.1806
2
2.812946550174770
1.856801504215910
1408.9400
3.01162E-07
0.000000301162000
0.8260
3
2.873035672325930
2.754601685609480
2168.7200
1.9657E-09
0.000000001965700
0.0054
4
2.908971479717480
3.678571324573730
3236.6900
3.60145E-13
0.000000000000360
0.0000
5
2.928147122886150
4.627361561333910
4639.1500
1.63407E-20
0.000000000000000
0.0000
6
2.937316037490850
5.593435632390870
6389.2600
-5.83911E-25
0.000000000000000
0.0000
7
2.973333480544710
6.571994379211580
8513.9300
-3.1159E-33
0.000000000000000
0.0000
8
2.991281721338680
7.556552128351290
10983.5000
-1.02623E-34
0.000000000000000
0.0000
9
2.993120339630810
8.545101999149650
13799.0000
-1.01322E-44
0.000000000000000
0.0000
93.3048
4
1
3.622991592556220
0.950363712515848
1452.3900
8.003E-07
0.000000800300000
2.1951
2
3.731145378967500
1.889513732388480
1996.1200
1.58315E-06
0.000001583150000
4.3423
3
3.818845320516280
2.815752985789950
2827.0700
9.61211E-09
0.000000009612110
0.0264
4
3.872593200767250
3.746536116288470
3944.7100
4.88811E-13
0.000000000000489
0.0000
5
3.903764072955750
4.690062876133430
5374.2400
1.61111E-20
0.000000000000000
0.0000
6
3.930163020578590
5.672051760427780
7192.4900
-8.76328E-25
0.000000000000000
0.0000
7
3.965932881185520
6.616952982288850
9272.2100
-1.03481E-32
0.000000000000000
0.0000
8
3.993743496721250
7.594161282904860
11748.6000
-1.02122E-34
0.000000000000000
0.0000
9
3.995015492531130
8.576385615391110
14558.1000
-8.65114E-46
0.000000000000000
0.0000
99.8684 5
1
4.564485607152160
0.947864394593201
2178.2000
3.28356E-09
0.000000003283560
0.0090
2
4.671539769517830
1.912645405019040
2758.5200
7.05228E-09
0.000000007052280
0.0193
3
4.767168447893750
2.858551143424510
3640.9000
6.64016E-15
0.000000000000007
0.0000
4
4.832683251023160
3.799697978318070
4807.7300
3.47969E-17
0.000000000000000
0.0000
5
4.874512242189510
4.745061459973930
6274.0400
1.2357E-26
0.000000000000000
0.0000
6
4.951344080897720
5.701285823285880
8111.6100
4.69016E-28
0.000000000000000
0.0000
7
4.965989948980200
6.663678771993960
10229.4000
4.45366E-36
0.000000000000000
0.0000
8
4.995245673951160
7.634885706926680
12712.5000
7.90247E-39
0.000000000000000
0.0000
9
4.996172797547500
8.611860789426550
15520.1000
-8.79541E-48
0.000000000000000
0.0000
1
5.539796366047500
0.946065798372545
3110.0300
3.56518E-08
0.000000035651800
0.0978
2
5.629687531739060
1.927157547075820
3703.1100
1.98368E-09
0.000000001983680
0.0054
3
5.721655311120240
2.887357652104440
4619.0000
3.23289E-15
0.000000000000003
0.0000
4
5.792810565026470
3.839097381391990
5828.3000
1.62279E-17
0.000000000000000
0.0000
5
5.839229970884960
4.789743013101090
7329.7300
1.21063E-22
0.000000000000000
0.0000
6
5.938401955747980
5.747121213952870
9224.1500
1.17012E-26
0.000000000000000
0.0000
7
5.937904061714210
6.706676195033000
11336.6000
1.77251E-37
0.000000000000000
0.0000
8
5.996257903043170
7.675064723041820
13865.4000
-2.33342E-40
0.000000000000000
0.0000
9
5.996957007654070
8.651260585385120
16684.4000
4.31751E-48
0.000000000000000
0.0000
99.8968 6
100.0000
Daftar Pustaka Alisjahbana, S.W. and Wangsadinata, W. (2008), “Dynamic response of rigid concrete pavements under dynamic traffic loads”, proceeding of the EASEC-11, Taipei, November. Alisjahbana, S.W. and Wangsadinata, W. (2012), “Dynamic analysis of rigid roadway pavement under moving traffic loads with variable velocity”, Interaction and Multiscale Mechanics, Vol. 5, No.2 (2012), 105-114. Are E. B., Idowu A. S., Gbadeyan J. A. (2013), “Vibration of damped simply supported rectangular plates resting on elastic Winkler foundation, subjected to moving loads”, Advances in Applied Science Research, 2013, 4(5), 387-393. Gbadeyan, J.A. and Oni, S.T. (1992), “Dynamic response to moving concentrated masses of elastic plates on a non-Winkler elastic foundation”, J. Sound Vib., 154(2), 343-358.
Mingliang Li, Tao Qian, Yang Zhong, Hua Zhong (2014), “Dynamic response of the rectangular plate subjected to moving loads with variable velocity”, J. of Eng. Mech., 140(4), 1-7. Mohamed Gibigaye, Crespin Prudence Yabi, I. Ezechiel Alloba (2016), “Dynamic response of a rigid pavement plate based on an inertial soil”, International Scholarly Research Notices Volume
2016, Article ID 4975345, 9 pages. Paliwal, D. N., Siddharth K. Ghosh (2000), “Stability of orthotropic plates on a Kerr foundation”, AIAA J., 38(10), 1994-1997. Pevzner, P. (2000), “Further modification of Bolotin method in vibration analysis of rectangular plates”, AIAA J., 38(9), 1725-1729. Syed Oliur Rahman, Iftekhar Anam. (2005), “Dynamic analysis of concrete pavement under moving loads”, UAP Journal of Civil and Environmental Engineering., Vol 1, No 1, 1-6.
Nama Parameter
Notasi
Nama Satuan
Dimensi Satuan
Gaya
N
Newton (N)
[kgm-m/det2]
Tegangan
P
Pascal (Pa)
[N/m2]
Lendutan
w
Meter (m)
[m]
Kecepatan
v
[m/det]
Massa Jenis
ρ
[kgm-N/m3]
Berat Jenis
γ
[N/m3]
Kekakuan translasi/meter
ks
N/m/m
Kekakuan rotasi/m
kr
N-m/rad/m
Frekuensi sudut
ω
rad/det
Konstanta pegas Winkler
k
N/m3
Konstanta geser Pasternak
Gs
N/m
