2006:32-37 5(2),Seytcmhn danTeftno{ogi luma[ Sains
RESPONSTRUKTURSISTEMDERAJATKEBEBASAN TUNGGAL AKIBAT BEBANDINAMIS DENGANPOLA PEMBEBANANSEGITIGA 'Dosen
Reni Surynnita., Mudjiotko., Henclra Sarfika
JurusanTeknik Sipil, FakultasTcknik, UnivcrsitosRiau,Pekanbaru28293 " Alumni JurusanTeknikSipil, FakultasTeknik, UniversitasRiau,Pekanbaru28293
ABSTRACT In engineeringfield, an approrchby simpliff nrodelis commonlyapplied.Somebuilding like home, building, tower and othcrs can be idealizedas Singie Degree of FreedomSystem (SDOF) rvith the assumptionthat rcsponse: causedby dynamicalload is only taken placein a horizontalmovement.To detectthe responseoccurscauseof clynamicalload, like displacement, velocity,and accelerationmaximum,so tlre responseof structureconceptcan be used. In this case,responsestructurecan be calculatednumericallyby using Duhamel'sIntegral. First, the externalforce put on the system,both on nlassand restrainand then calculatingthe rcsponsethat occurred.The calculationcan be repeat for any different parameters.The parametervariationare massand systemstiffiress.The responsestructureis calculatingrvith triangleloadingtypc for dumpingsystemand un-dumpingsystem.The studyresultsshowed that the maximumremovalrvill increaseat the massaddcdtwice and decrease at the reducing load a half, The rentovalis in proportionto nrassof systernand inverselyproportionto the stiffiressof systenr. Keyrvords:Duharnel'sIntegral,mass,responseo1'stru,;ture, stifliress,triangleloadingtype
PENDAIIUL,UAN Responstruktur merupakanriwayat rvaktudari perpindahan,kecepatandan percepatandari fungsi beban tertentu untuk struktur dengan derajat kebebasantunggal dan banyak.Pada permasalahan bebandinamis sepertibebanledakan,bebanangin, beban getaranmesin dan bebangempa,bebandan respon strukturnya merupakan fungsi dari waktu sehinggaanalisisyang dilakukanharusberdasarkan waktu (Lumantarna,I 999). padastrukturakibatbebandinamis Pembebanan dapat terjadi sewaktu-waktu, maka untuk perencanaan bangunan perlu diperhitungkan pengaruh beban ini. Adakalanya struktur yang direncanakanharus menerimabebantiba{iba yang tidak diperhitungkansebelumnya. Pola bebanseperti ini umumnya berbentuksegitiga. Salah satu pola beban segitiga yang diterima struktur bangunan adalah beban akibat ledakan. Struktur bangunar-r yang nrcngalamibebanini harusdievaluasiapakah rnasih aman untuk ditempati at:ru harus diperbaiki dan bahkanmungkin harusdibongkar.Untuk dapat memprediksi kemungkinan-kemungkinan tersebut maka perlu ditinjau bagairnanaresponyang terjadi pada struktur bangunanjika barrgunantersebut rnenerinu beban dinamik dengan pola beban segitiga. 32
.Umumnya beban dinarnis sr"rlitdinyatakan yangsederhana dalarnsuatubentukntatematis secara eksak, nrela dlperlukan analisis dinarnis secara numerik. Sirnulasi numerik ini menggunakan bantuan kornputer agar respon maksinrum dari sistemberderajatkebebasan tunggalyang diinginkan dapatdihitunglebih akuratdan rnembutuhkan waktu yangrelatiflebihsingkat. Pada dasarnya setiap struktur mempunyai derajat kebebasanyang tak terhinggajumlahnya. Menurut Widodo (2000) derajat kebebasan merupakan derajat independensiatau jumlah posisi koordinatyang diperlukanuntuk menyatakan suatu sistem pada setiap saat. Suatu struktur memiliki frekuensi natural sebanyak derajat yang dimilikinyadanjika bebandinarnik kebebasan yang diterima struktur memiliki frekuensi yang makaakan mendekatifi'ekuensinaturaldari struktr"rr terjadi resonansi yang akan mengakibatkan keruntuhanataucollapsepadastruktur. Sistemmassayang berpindahdalam satu arah saja yaitu arah horizontal dinarnakan sistem berderajat kebebasan tunggal (single degree of freedom, SDO\. Pada sistem SDOF, struktur dimodelkan dengan massa tunggal dan koordinat perpindahan tunggal(Lumantarna,I 999).
(Suryanitaer a/) Re'yon Strukur Siyem DeralarKebchasan
PerhitunganIntegral Duhamel memerlukan evaluasi integral A(t) dan B(/) secaranumerik. Metoda yang sering digunakanadalah Hukum Trapesiurn (trapezoidal rule) dan Hukum Simpson(Simpson's rule). Operasi dasar yang diperlukan untr.rkhukurri Trapesiurn adalah Gambar1.Beberapa bentuhsistemberderajat kebebasan tunggal.
A(t) : Dt% (10+21i2lz+.."+2lD_r+1,,), (1)
Persemaangerak sist.em derajat kebebasarr tunggaldisusunberdasarkan kesetirnbangan dinamis free-body:
o,G)=,rl=l'-,[.l-l' [/.]
\t-)
(l)
dengan lil, c dan k masing-masingadalah adalah massa,redamandan kekakuansistem,sedangkana, v dan y masing-masingadalahpercepatan, kecepatan dan perpindahansistem. Ruas kanan persamaan yaitu Ft merupakangaya luar yang bekerja pada sistemtersebut. Solusi Integral Duhamel digunakan untuk meughitungrespon struktur sistem elastis.Dalam beberapa keadaan, fungsi pembebanandiketahr"ri hanya dari data percobaansedangkartresponharus dievah"rasi secara numerik.,sehingga digunakan fungsitrigonometri: sin a; (t - t) = sin or aosor cosa)tsinatt dalamIntegralDuhamel.Dengananggapan kondisi awal nol perolehIntegralDuhamelsebagaiberikut: (Clough& Penzien, 1988), . y ( r )= s i nr o r I ' [ O ( r ) c o s rno i
danuntukhukumSimpsonadalah A(t) = Dr 1/3(10r-41i2l2+...-r-41,,-r*ln), (5) dimana Io, I ,, 12,.. ., I,, merupakan Integral Duhameluntuktiap r,vaktu. UntukhukumSimpsonn : t/Dt harusgenap. Menurut Clough & Penzien(1988) responyang didapat dari kedua hukum ini akan mendekati harga sebenarnya,sebab hukum ini didasarkan pada substitusi I(t) pada setiap selangwaktu. Pada FlukurnTrapesiumakan berbentuklinier dan hukurl Simpson berbentuk parabolis. Pendekatan yang lain untuk mengevaluasi padasolursi IntegralDuhamel,didasarkan analitis yang eksak dari integral f urngsibeban yang yang linier. dianggapmerupakanbagian-bagian Pada metode ini tidak diternukanpendekatan numerik dari integrasi melainkan proses pengecilan kesalahan, sehingga metode ini disebutmetodeeksak. Secara sederhana model sistern derajat kebebasan tunggaldapatdilihatpadaGambar2.
'[O(, t u ) t ( l T - c o s/ d r ) s i nr o r d r t n ( oi
atau y ( t ) - { A ( r ) s i n a i l - B ( t ) c o s a t t \L n a t
e)
dengan
Ganrbar2. ldealisasi strukturderajatkebebasan Tunggal.
I
A ( t )=
B ( r )=
I
t , r ) c o sr o t d r
(3) io,r
) s i na r d r
dimana y(t) merupakanperpindahanpada waktu t dalam satuan cffi, sedangkan olr merupakan frekuensis';dut terhadapperubahanrvaktu t dalam satuan racVdt. N4assa dalarn satuan kgdt2/cm dinvatakan dalamrn. 33
Analisis akan dilakr"rkanuntuk pola pembebanansegitigadimana beban ini terjadi tiba-tiba, ketnudianberangsur-angsLlr menLlrLtn sarnpaititik nol. Prosesberkurangriya bebanini dapatdianggapberkurangsecaralinier rnulaidari bebanmaksimurnpada saat/ = 0 sampaibeban sama clengan0 saat t - t1 Pola-polabeban segitigadapatdilihatpadaGarnbar3.
{anTchrc{ogi 5(2),Srytunhcr2006:32-37 luma( Sains
bebanmalsimumpada saat t = 0 sampaibeban samadengan0 saatt = td.Pola-pola bebansegitiga dapatdilihatpadaGambar3 di barvah ini.
Penulisan artikel ini bertujuan untuk menentukanrespon maksimum yang terjadi pada sistem derajat kebebasantunggal akibat beban dinamis denganpola pembebanan segitiga.Respon maksimumyang didapatkanbergunasebagaiacuan untuk merencanakan sistem sehingga bisa nrenrinirnalisir kemungkinan guncangan yang berlebihanpadabangunansederhana.
t
geva I I
rarI t\ t\ t\ r\ 0
|d
weltl
td
BAHAN DAN METODE Data-datayang dibutuhkandalam perhitungan adalah massa sistem (M), kekakuan sistem (K), rasio redaman(X;), waktu maksimumdari integrasi (Tn,u"),selangwaktu dari integrasi(DT), percepatan ga)'atarik bumi (GR), waktu padatitik | (T(l)) dan gayaataupercepatan padasaatT(l) (F(l)). Langkahperhitunganuntuk mendapatkan nilai responspektrumdari sistem berderajatkebebasan tunggaldapatdilihatpadaTabel1 dibawahini
mktu
Gambar 3. Pola-polabebansegitigayang mungkin terjadi (Widodo, 2000).
Tabel l. Langkah-langkahperhitungan ResponSpektrum.
Keterarrgan Inputdata: Nl-YPE, indekpengarulr | , 1 ,j u m l a h t i t r k y a n g pada firrrgsi pengaruh. M, massa K. kckakuan XI. rasror.crdarnan -l-rnax, uaktu maksimurndan integrasi D'f, sclarrgrvaktudari integrasi INT. inctekinterpolasi gravitasi G R. percepatan T(i), waktu padatitik i F(l), gayapadatitik i
lNT,GR, T(l), F(l),l:1,f'l
_r,r["rng el
y0 = -
moD
Perpindahan :
AD(li)sin(ttgl1 ) - BD(ti)cos(urDli Ymax= Y(i)max
HilungKecepatan : _crut. lr e - turAgtl)sin(urpt1 (D = L (rrrgAgl; + + r urBgr;)cos(ugl1 ) )] [t,,lpBgl; moD v'n6' = v(i)tt'
Perpindahan: y(i), perpindahan padatitik i y,,,o1. p€rpindalran maksirnurn tTl,massa e, redaman trl, liekuensi natural ti, waktu padatitik i op, frekuensinaturaltcredam Kecepatan: v(i), perpindahan padatitik i vnrrr,pcrpindahanmaksintrrnr m, massa e, redaman o, llekuensinatural ti, $,aktupadatitik i rop,liekucnsi naturalteredam Pcrcepatan: padatitik i ACC(i), percepatan ACC.o* percepatan maksimum C. koefisienredamanliat K, konstantapegas In. massa
34
(Sunlanitacr aQ IlesyonStrukrur SistcmDcr$at Kebebasan
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil responsriwayat waktu sistemakibat beban segitiga dengan berbagai variasi massa dan kekakuansepertiTabel 2. adalahsebagaiberikut:
Studi Kasus Suatu sistem derajat kebebasan tunggal mempunyai dimensi dan pembebanan seperti Gambar4. Modulus elastik beton Eu : 2,2.10t kd cm2clanpercepatangravitasig - 980 cm/dt2. Massa sistem diasumsikansebesar 12,775 kgdt2/cm clan kekakrransistemdiasumsikansebesar4027,2714kg cm. RedannnsistemsebesarSYo.
1. Perpindahan A. Sistem denganvariasi massadan kekakuan tetapsebesar4027,27kg/cm. Sistem dengan massa = 6,3875 kgdt2/cm menghasilkan perpindahan rnaksimum sebesar 12,775 kgdt'/cm 0,44294 cffi, massa = menghasilkan perpindahan maksimum sebesar 0,51648crn dan untuk massa= 25,550kgdt2/cm menghasilkan perpinclahan maksimum sebesar 0 . 5 2 1 5 c1m .
i i
t*"tti i i
{
{ffu -4* *'-*** Jro *****-4-
Glmbar 4. Contohstrukturdengarrsistemderajat kebebasan tunggal(Widodo,2000). Analisis sistem dilakukan dengan variasi massa dan kekakuan baik untuk sistem teredam maupun tak teredam dengan pola pembebanan segitiga. Variasi massa dan kekatnn yang akan dihitungdapatdilihat padaTabel2 berikut. Tabel2. Variasimnssfldan kekakuan.
No
llf:rsa
Kekahunn (kg/cm)
ItsOflcm)
I
12,775 4027.27t4 tcuan 12,775 2 0 l3 . 6 3 5 7rassl tetap,kekakuansetengahdari acuan
.'
t2.775 8054,5428nas$ tctap,ks-kakuan dua kali dari acuan
4
6,3875 4027,2714<ekakuantetop,rnassasctengahdari ucuan
J
Semakinbesar massamaka semakinbesar pula perpindahan rnaksimumyang dihasilkanatau lain nlassaberbandinglurus dengan dengankata perpindahan maksimum,secaravisualdapatdilihat padaGarnbar6.
Ketcrnngan
2
B. Sisterndenganvariasikekakuandan massatetap sebesar'12j75 kgdt2/cm Sistem dengan kekakuan = 2013,64 kg/cm menghasilkan perpindahan maksimum sebesar 4027,27 kg/cm 1,04302 cffi, kekakuan : menghasilkan perpindahan maksimum sebesar 0,51648cm dan untuk kekakuan: 8054,54kgicm rnenghasilkanperpindahan maksimum sebesar 0 , 2 2 1 4 7c m . Sernakinbesar kekakuanmaka semakinkecil perpindahan maksimum yang dihasilkan atau dengan keta lairr kekakuan berbanding terbalik maksinlum,secaravisual dapat deuganperpindahan dilihat padaGambar7. I{asil hitungandi atas memperlihatkanbahwa semakinbesarperiodegetar (T) maka perpindahan juga setnakinbesar.Hal maksimumyangdihasilkan ini terjadikarenaperiodegetalkecil.
4027,27t4
25,55
Untuk menentukannilai selang waktu (Dt) yang digunakan,maka sebelumnyaakan dihitung denganDt yaitu 0,01 detik. Fungsibebannyadapat dilihat padaCarnbar5 dibawalrini. 1500
g looo i I soo o o
o.2 w.Iru
Gambar6. Riwayat waktu vs perpindahandengan variasimassa.
0.4
l.Llakl
Garnbar 5. Grnfih firngsignya bebanscgitiga.
35
lunaf SttittsfanTcftnofogi5(2),Seytonher2006:32-37
ini terjadi karenaperiodegetarkecil menunjukkan bahwa sistem kaku dan periode getar besar menunjukkansistem lebih fleksibel, sehingga semakinbesar perioc'legetar semakinbesar pula yangdihasilkan. perpindahanmaksinrum
ambar 7. Riwayatwaktu vs pcrpindahandengan v ar ias ik e k n k u a n .
Hal ini menr.rnjukkan bahwa kecepatanmaksimum terjadi pada arah yang berlawanandengan arah beban. Nilai kecepatan untuk tiap penambahan massa awalnya cenderungbertarnbahbesar dulu seterusnya seiringpenarnbahan massahasilnyaakan mengecil.Nilai kecepatanuntuk tiap penambahan kekakuancenderung akansemakinkecil. Hitungan kecepatandengan variasi kekakuan menperlihatkan bahwa periode getar berbanding lurus dengan nilai kecepatan maksirnurn yang dihasilkan.Hal ini terjadi karenaperiodegetarkecil menunjukkanbalnvasistemkaku dan periodegetar besarmenuniukkansistemlebih fleksibel,sehingga semakin besar periode getar maka semakin besar pr"rla kecepatanmaksimumyang dihasilkan.
2. Kecepatan A. Sisterndenganvariasimassadan kekakuantetap sebesar4027,27ky'cm Sistern dengan massa = 6,3875 kgdt'/cm menghasilkarrkecepatan maksinrum sebesar 12,77 5 kgdt2icnr 4,gl423 crn/dt, rnassa : -6,3269 rnaksimumsebesar kecepatan menglrasilkan = 25,550 kgdtl/cm crn/dt dan untuk massa
e.. c0
€ G
o _ r c,
:
Garnbar 9. Riwayat rvaktu vs kccepatandengan variasikekakuan.
rnenghasilkankecepatan maksimum sebesar 5.78066crn/dt. -m -m +m
-10
: 6 , 3 8 7 5k g d l : 1 2 7 7 5k g o l :25,550kgdt
3. Percepatan A. Sistemdenganvariasimassadan kekakuantetap sebesar4027,27kg/cm Sistem dengan massa : 6,3875 kgdt'/cm menghasilkan percepatan maksimum sebesar 84,1396 cm/clt2, massa = 12,775 kgdt2/crn menghasilkan percepatan maksimum sebesar l0A,,l4l2 cm/s2clanuntukmassa:25,550 kgdt2/cm menghasilkan percepatan maksimum sebesar 67,28318cm/dt2.
w a k t u( d e t i k )
dengan Garnbar8. Riwayatwaktuvs kecepatan variasimassa. dan massatetap B. Sistemdenganvariasikekakrran scbesar12,715kgdt2lcrn Sistem dengan kekakuan = 2013,64 kg/cm rnenghasilkankecepatanmaksimum sebesar 4027,27 kg/crn 11,5613 cm/dt, kekakuan : -6,3269 rnaksimurn kecepatan sebesar menghasilkan = 8054,54 ky'cm crn/dt dan Lrntirk kekakuan
i-
120
Eou
€ $ e
-oo
o
o -120 - 18 C
menghasilkankecepatan maksimum sebesar 2,48712 crn/dt. dengan Gambar 10.R i w ayatw aktu vs percepatan variasi massa. Gambar' 8 dan Gambar 9 nrernperlihatkan bahr.r'avariasi massadan kekakuanmengasilkan kecepatanmaksimumyang scmuanilainyanegatif. 36
(Suryanitacr a/) ResyonStruktur SixemDer$at Kebebasan
B. Sistem dengan variasi kekakuan dan massa tetapsebesar 12,775kgdt2/cm Sistem dengan kekakuan = 2013,64 kg/cm menghasilkan percepatan maksimum sebesar 134,5664 cm/dt2, kekakuarr = 4027,27 kg/qn menghasilkan percepatan maksinrum sebesar 100,7412cwr/dt2 dan untuk kekakuan= 8054,521 kg/ cm menghasilkan percepatan maksimumsebesar42.0698cm/dt2.
r
2W t50
!tt 650
i o -so ta
E -lm
-,rso .200
GambarI l. Riwayatwaktuvspercepatan dengan variasikekakuan. Gambar l0 dan Gambar l I memperlihatkan percepatan nilai maksimumyang dihasilkandengan variasimassadan kekakuan.Nilai percepatan untuk tiap penambahan massa awalnya cenderung bertambahbesar,namunseiring penanrbahan massa hasilnyaakanmengecil.Nilai percepatan untuktiap penambahankekakuan cenderung akan semakin kecil. Hitungan percepatan dengan variasi kekakuan memperlihatkanbahwa periode getar berbanding lurus dengan nilai percepatan maksimumyang dihasilkan.Hal ini terjadi karena periodegetarkecil menunjukkanbahwasistenrkaku dan periodegetar besarmenunjukkansistemlebih fleksibel, sehingga semakin besar periode getar maka semakin besar pula percepatanmaksimum yang dihasilkan.Percepatan maksimumbesarakan mengakibatkan sistemmengalamikerusakan. KESIMPULAN Untuk kekakuantetap,sistemdenganmassa = 6,3875 kgdt2/cm menghasilkan perpindahan maksimrrmsebesar0,44294 ctx, massa= lZ,77S kgdt2/cm menghasilkanperpindahanmaksimum sebesar0,51648 cm dan untuk massa= 25.550
37
kgdt2/cm menghasilkan perpindahan maksimum sebesar0,52151cm. Dari hasil dan analisisrespon struktur SDOF pada penelitianini dapat diambil kesimpulan bahwa semakin besar massa maka semakinbesar pula perpindahanmaksimumyang dihasilkanatau dengankata lain massaberbanding lurusdenganperpindahan maksimum. Lain halnyadengankekakuandenganmassa tetap, sistem dengankekakuan= 2013,64 kg/cm menghasilkanperpindahanmaksimurn sebesar |,04302 cffi, kekakuan : 4021,27 ky'cm rnenghasilkanperpindahan maksimum sebesar 0,51648cm dan untuk kekakuan: 8054,54k{cm menghasilkan perpindahan maksimum sebesar 0,22147 cm. Semakin besar kekakuan maka semakin kecil perpindahan maksimum yang dihasilkan atau dengan kata lain kekakLran berbanding terbalikdenganperpindahan maksimum. Variasi massa dan kekakuan mengasilkan kecepatanmaksirnumyang selnuanilainyanegatif. Ilal ini menunjukkanbahwakecepatanmaksimum terjadi pada arah yang berlawanandengan arah beban.Nilai kecepatandan percepatanuntuk tiap penambahanmassa cenderung bertambah besar sedangkannilai kecepatanuntuk tiap penambahan kekakuancenderung akansemakinkecil. DAFTAR PUSTAKA Cfough,R.W. & Penzien,J. 1988.DinamikaStnrktur. Jakarta: Erlangga. Dervobroto,W. 2004. Aplikusi Rekuyctsct Konstruksi dengan5AP2000.Jakarta:PT Elex Komputindo Kelompok Gramedia. James, M.L. et al. 1994. Vibration o/ Mechanicaland Stnrctural Systemswith l4icrocomputerApplication. New York: HarperCollins. Jogiyanto. 1989. Teori dan Aplikasi Progrant Kompu.ter Bahasa Fortran. Yogyakarta: ANDI OFFSET Yogyallarta. Lumantarna, B. 1999.PengantarAnalisis Dinamis dan Gempa.Yogyakarta:ANDI OFFSETYogyakarta, Paz, M. 1990.DinamikaStruktur.Jakarta:Erlangga. Sediyono,D. 1997, Perilakudinamik dua buah model bangunanyang saling berbenturandi bawah beban gempa. TttgasAkhir Jrffusan Teknik Sipil. Bandung: InstitutTeknologiBandung. Widodo. 2000. Respotts Dinamik Struktur Elastik. Yogyakarta:UII Press.
