Renormalizovan´e magnony v kvantov´em Heisenbergovˇe modelu Ilja Turek March 30, 2007
1 1.1
Korelaˇ cn´ı funkce Definice a z´ akladn´ı vlastnosti
• k hamiltoni´anu H, ˇcasov´e promˇenn´e t a dvˇema oper´ator˚ um A a B se korelaˇcn´ı funkce hA(t)Bi zav´ad´ı vztahem
hA(t)Bi = Z −1 Tr {exp(−βH)A(t)B} ,
(1)
kde Z = Tr {exp(−βH)} je stavov´a suma, β = 1/(kB T ) a (pˇri h ¯ = 1) A(t) = exp(iHt)A exp(−iHt) je ˇcasovˇe z´avisl´ y oper´ator A v Heisenbergovˇe reprezentaci • v b´azi vlastn´ıch vektor˚ u |mi hamiltoni´anu H s vlastn´ımi hodnotami Em a s maticov´ ymi elementy hm|A|ni = Amn a hm|B|ni = Bmn lze korelaˇcn´ı funkci
vyj´adˇrit explicitnˇe vztahem hA(t)Bi = Z −1
X
Amn Bnm exp(−iEn t) exp(−βEm ) exp(iEm t) .
(2)
mn
Podobn´e v´ yrazy plat´ı pro pˇr´ıbuznou korelaˇcn´ı funkci hBA(t)i: hBA(t)i = Z −1 Tr {exp(−βH)BA(t)} = Z −1
X
Amn Bnm exp(iEm t) exp(−βEn ) exp(−iEn t) .
mn
1
(3)
• Fourierovy transformace mezi ˇcasovou (t) a frekvenˇcn´ı (ω) promˇennou jsou
definov´any pomoc´ı f˜(ω) =
Z
∞
exp(iωt)f (t)dt ,
f (t) =
−∞
1 2π
Z
∞
exp(−iωt)f˜(ω)dω
(4)
−∞
• s vyuˇzit´ım zn´am´e reprezentace Diracovy δ-funkce, tj. Z
∞ −∞
exp(iωt)dt = 2π δ(ω) ,
jsou Fourierovy transformace korelaˇcn´ıch funkc´ı hA(t)Bi and hBA(t)i rovny hA(.)Bi(ω) ≡
Z
∞
exp(iωt)hA(t)Bidt −∞
= 2πZ −1
X mn
hBA(.)i(ω) ≡
Z
∞
Amn Bnm exp(−βEm ) δ(ω + Em − En ) ,
exp(iωt)hBA(t)idt −∞
= 2πZ −1
X mn
Amn Bnm exp(−βEn ) δ(ω + Em − En ) .
(5)
Protoˇze plat´ı identita exp(−βEn ) δ(ω + Em − En ) = exp(−βω) exp(−βEm ) δ(ω + Em − En ) , d´a se odvodit obecn´ y vztah mezi Fourierov´ ymi transformacemi v rov. (5): hBA(.)i(ω) = exp(−βω) hA(.)Bi(ω) .
(6)
Vztahy inverzn´ı k rov. (5) jsou: Z
1 ∞ hA(t)Bi = exp(−iωt) hA(.)Bi(ω) dω , 2π −∞ 1 Z∞ exp(−iωt) hA(.)Bi(ω) exp(−βω) dω . hBA(t)i = 2π −∞
(7)
• Pˇr´ıklad: pro line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator s frekvenc´ı Ω m´a hamiltoni´an tvar
1 , (8) 2 kde a+ a a je kreaˇcn´ı a anihilaˇcn´ı oper´ator; pˇr´ımo z rov. (5) (a ze zn´am´eho H = Ω a+ a +
spektra hamiltoni´anu H) se pak dostane: ha+ (.)ai(ω) = 2π
1 δ(ω + Ω) , exp(βΩ) − 1 #
"
1 δ(ω − Ω) . ha(.)a i(ω) = 2π 1 + exp(βΩ) − 1 +
2
(9)
Poznamenejme, ˇze frekvence oscil´atoru Ω (≡ dynamika syst´emu) je obsaˇzena v posuvech argument˚ u obou δ-funkc´ı, zat´ımco Bose-Einsteinova obsazovac´ı funkce [exp(βΩ) − 1]−1 (≡ statistika) vstupuje do obou vah. Uˇzit´ı rov. (7)
pro t = 0 vede ke zn´am´e termodynamick´e stˇredn´ı hodnotˇe ha+ ai =
1.2
1 . exp(βΩ) − 1
(10)
Metoda pohybov´ ych rovnic
• ˇcasov´ y v´ yvoj oper´atoru A(t) d A(t) = −i[A(t), H] dt vede k pohybov´e rovnici pro korelaˇcn´ı funkci d hA(t)Bi = −ih[A(t), H]Bi dt
(11)
• pohybov´a rovnice je obvykle aplikov´ana na nˇejakou sadu korelaˇcn´ıch funkc´ı;
vyˇsˇs´ı korelaˇcn´ı funkce vystupuj´ıc´ı na prav´e stranˇe rov. (11) je zpravidla nutno pˇribliˇznˇe vyj´adˇrit pomoc´ı p˚ uvodn´ıch korelaˇcn´ıch funkc´ı, aby se z´ıskala uzavˇren´a soustava rovnic • ˇcasovou derivaci v rov. (11) lze odstranit pˇrechodem k frekvenˇcnˇe z´avisl´ ym
veliˇcin´am hA(.)Bi(ω) pˇri vyuˇzit´ı trivi´aln´ıch vlastnost´ı Fourierovy transformace, rov. (4), pro dvojici funkc´ı f (t) and f˜(ω): −iω f˜(ω) =
Z
∞ −∞
exp(iωt)
df (t) dt . dt
To d´av´a: ω hA(.)Bi(ω) = h[A(.), H]Bi(ω) .
(12)
• Pouˇzit´ı: komutaˇcn´ı relace pro line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator, rov. (8), [a, a+ ] = 1
[a+ , H] = −Ωa+
=⇒
(13)
d´avaj´ı pro korelaˇcn´ı funkci ha+ (.)ai(ω) jednoduch´ y v´ ysledek [viz rov. (9)]: (ω + Ω) ha+ (.)ai(ω) = 0
ha+ (.)ai(ω) = 2π w δ(ω + Ω) ,
=⇒
kde w je nezn´am´a v´aha. Dosazen´ı tohoto v´ ysledku do rov. (7) pro t = 0 vede ke stˇredn´ım hodnot´am ha+ ai = w ,
haa+ i = w exp(βΩ) . 3
Kombinac´ı tˇechto vztah˚ u s termodynamickou stˇredn´ı hodnotou rov. (13), haa+ i − ha+ ai = 1
=⇒
w [exp(βΩ) − 1] = 1 ,
lze z´ıskat v´ahu w ve shodˇe s pˇredchoz´ım v´ ysledkem, rov. (9). Poznamenejme, ˇze uveden´e odvozen´ı korelaˇcn´ı funkce, rov. (9), a jej´ıho d˚ usledku, rov. (10), nevyˇzaduje znalost spektra hamiltoni´anu ani proveden´ı nekoneˇcn´ ych souˇct˚ u vystupuj´ıc´ıch napˇr. v rov. (5).
2
Heisenberg˚ uv hamiltoni´ an pro spiny S = 1/2
2.1
Vlastnosti spinov´ ych oper´ ator˚ u
• hamiltoni´an je definov´an vztahem H = −
X 1X bm szm , Jmn sm · sn − 2 mn m
(14)
kde indexy m, n znaˇc´ı uzly mˇr´ıˇzky, sm ≡ (sxm , sym , szm ) jsou spinov´e oper´atory (se spinov´ ym kvantov´ ym ˇc´ıslem S = 1/2) na m-t´em uzlu mˇr´ıˇzky, v´ ymˇenn´e
integr´aly Jmn popisuj´ı p´arovou interakci mezi lok´aln´ımi spiny (Jmm = 0, Jmn = Jnm ) a veliˇciny bm znaˇc´ı lok´aln´ı magnetick´a pole m´ıˇr´ıc´ı ve smˇeru z • spinov´e oper´atory sm mohou b´ yt realizov´any pomoc´ı Pauliho matic 2 × 2: sxm
1 x 1 0 1 = , σm = 2 2 1 0 m
sym =
1 y 1 0 −i σm = , 2 2 i 0 m
szm =
1 z 1 1 0 , σm = 2 2 0 −1
(15)
m
ı matic: zat´ımco pˇr´ıbuzn´e kreaˇcn´ı a anihilaˇcn´ı oper´atory s± m pomoc´ s+ m
≡
sxm
+
isym
=
x y s− m ≡ sm − ism =
4
0 1 0 0 0 0 1 0
,
m
(16) m
• tyto oper´atory splˇ nuj´ı n´asleduj´ıc´ı komutaˇcn´ı relace: [sxm , syn ] = iδmn szm ,
z − [s− m , sn ] = δmn sm ,
[sym , szn ] = iδmn sxm ,
x z [s− m , sn ] = −δmn sm ,
[szm , sxn ] = iδmn sym ,
2.2
y z [s− m , sn ] = iδmn sm
(17)
Korelaˇ cn´ı funkce spinov´ ych oper´ ator˚ u
• ˇcasov´ y v´ yvoj spinov´ ych oper´ator˚ u s− y hamiltoni´anem H, rov. (14), j dan´ plyne z rov. (17)
X d − z − Jjn (−szj sxn + iszj syn + s− sj = −i[s− j sn ) j , H] = ibj sj + i dt n
= ibj s− j + i
X n
z − Jjn (szn s− j − s j sn )
E
D
+ jsou • exaktn´ı pohybov´e rovnice pro korelaˇcn´ı funkce s− j (t)sr
E D E d D − − + sj (t)s+ = ib s (t)s j r j r dt nD E D Eo X + z − + +i Jjn szn (t)s− (t)s − s (t)s (t)s j r j n r
(18)
n
• pˇribliˇzn´e zjednoduˇsen´ı vyˇsˇs´ıch korelaˇcn´ıch funkc´ı se z´ısk´a uˇzit´ım ‘decouplingu’ (roztrˇzen´ı, pro n 6= j): D
+ szn (t)s− j (t)sr
E
D
E
+ , ≈ szn s− j (t)sr
(19)
kde szn = hszn i znaˇc´ı termodynamickou stˇredn´ı hodnotu; pohybov´e rovnice, rov. (18), spoleˇcnˇe s rov. (19) pˇredstavuj´ı nekoneˇcnou, avˇsak uzavˇrenou sous-
tavu rovnic. Decoupling, rov. (19), se t´eˇz naz´ yv´a pˇribl´ıˇzen´ım n´ahodn´ ych f´az´ı (random-phase approximation, RPA), viz napˇr. S. V. Tjablikov: Metody kvantovoj teorii magnetizma (Nauka, 1975). Tato aproximace je pˇresn´a pro feromagnety pˇri nulov´e teplotˇe.
2.3
ˇ sen´ı pro feromagnet Reˇ
• pro feromagnet na Bravaisovˇe mˇr´ıˇzce jsou vˇsechny uzly ekvivalentn´ı, szm = sz ,
bm = b , 5
a rov. (18) se proto zjednoduˇs´ı na nD E D Eo E D E X d D − − + − + − + z J s (t)s − s (t)s s sj (t)s+ = ib s (t)s + i jn j r n r r j r dt n
• zaveden´ım zkratky
J =
X
Jmn > 0 ,
n
dostanou pohybov´e rovnice v´ ysledn´ y tvar E E E D D X d D − + + = i (b + J sz ) s− sj (t)s+ − i sz Jjn s− r j (t)sr n (t)sr dt n
(20)
• transformace rov. (20) do frekvenˇcn´ı promˇenn´e ω je zaloˇzena na definici [srv. rov. (5)]:
E
D
+ Mjr (ω) = s− j (.)sr (ω) .
(21)
V´ ysledn´e rovnice pro Mjr (ω) jsou [viz rov. (12)]: −ωMjr (ω) = (b + J sz ) Mjr (ω) − sz
X n
Jjn Mnr (ω) .
(22)
• protoˇze feromagnet je translaˇcnˇe invariantn´ı, lze rov. (22) zjednoduˇsit zave-
den´ım mˇr´ıˇzkov´e Fourierovy transformace: ˜ J(k) =
X n
˜ M(k, ω) =
X n
exp(ik · Tn ) Jn0 , exp(ik · Tn ) Mn0 (ω) ,
(23)
kde k je vektor z prvn´ı Brillouinovy z´ony (BZ) mˇr´ıˇzky a Tn znaˇc´ı n-t´ y translaˇcn´ı vektor (vektor n-t´eho mˇr´ıˇzkov´eho uzlu). To d´av´a: ˜ ˜ ˜ M(k, ˜ −ω M(k, ω) = (b + J sz ) M(k, ω) − sz J(k) ω) .
(24)
• posledn´ı vztah, rov. (24), lze pˇrepsat do ˜ [ω + E(k)] M(k, ω) = 0 ,
(25)
kde h
E(k) = b + sz J − J˜(k)
i
(26)
ˇ sen´ı rov. (25) je d´ano znaˇc´ı excitaˇcn´ı energii syst´emu—energii magnonu. Reˇ vztahem
˜ M(k, ω) = 2π w(k) δ ω + E(k) , 6
(27)
kde w(k) oznaˇcuje nezn´amou v´ahu. Srovn´an´ı rov. (27) s v´ ysledkem pro line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator, rov. (9), a s mˇr´ıˇzkovou Fourierovou transformac´ı, rov. (23), napov´ıd´a, ˇze kreaˇcn´ı oper´ator pˇr´ısluˇsn´e excitace—magnon (spinov´a vlna)—s dan´ ym k-vektorem je u ´ mˇern´ y a+ (k) ∼
2.4 2.4.1
X n
exp(ik · Tn ) s− n .
(28)
Vlastnosti jedno-magnonov´ ych stav˚ u Z´ akladn´ı stav
• uvaˇzujme stav se vˇsemi spiny m´ıˇr´ıc´ımi nahoru: |0i =
Y n
⊗ | ↑in ;
(29)
jeho element´arn´ı vlastnosti jsou: szn |0i =
1 |0i , 2
s+ n |0i = 0 ,
(30)
a d´ale lze uk´azat, ˇze tento stav je vlastn´ım stavem dvou oper´ator˚ u, totiˇz z-tov´e sloˇzky celkov´eho spinu Sz =
X
szn
(31)
n
a hamiltoni´anu H0 bez vnˇejˇs´ıho pole [viz rov. (14)] H0 = −
1X 1X + z z Jmn sm · sn = − Jmn (s− m sn + s m sn ) . 2 mn 2 mn
(32)
Explicitnˇe:
NJ N |0i , H0 |0i = − |0i , (33) 2 8 kde N je poˇcet uzl˚ u (velk´eho koneˇcn´eho krystalu s periodick´ ymi hraniˇcn´ımi S z |0i =
podm´ınkami). • v pˇr´ıpadˇe feromagnetu je stav |0i z´akladn´ım stavem hamiltoni´anu H0 ,
ale pˇr´ısluˇsn´a vlastn´ı hodnota (−N J /8) je nekoneˇcnˇe degenerovan´a; |0i je nedegenerovan´ ym z´akladn´ım stavem hamiltoni´anu H, rov. (14), s kladn´ ym vnˇejˇs´ım polem (bn = b > 0)
7
2.4.2
Lok´ aln´ı pˇ reklopen´ı spin˚ u
• stavy (normalizovan´e na jednotku) s jedin´ ym spinem m´ıˇr´ıc´ım dol˚ u jsou |λn i = s− n |0i ;
(34)
jsou to vlastn´ı stavy oper´atoru celkov´eho spinu, z
S |λn i =
N − 1 |λn i , 2
(35)
ale nejsou to vlastn´ı stavy hamiltoni´anu H0 • stˇredn´ı hodnota H0 ve stavu |λn i je rovna hλn |H0 |λn i = −
NJ J + , 8 2
coˇz znamen´a, ˇze energie potˇrebn´a k pˇreklopen´ı jednoho spinu (ze z´akladn´ıho stavu) je rovna J /2 2.4.3
Jedno-magnonov´ e stavy
• definujme kreaˇcn´ı oper´ator magnonu pomoc´ı (k ∈ BZ) 1 X exp(ik · Tn ) s− a+ (k) = √ n , N n
(36)
coˇz se liˇs´ı od rov. (28) pouze normalizaˇcn´ım faktorem N −1/2 ; jeho p˚ usoben´ı na z´akladn´ı stav, rov. (29), d´av´a jedno-magnonov´ y stav (normovan´ y na jednotku) 1 X exp(ik · Tn ) s− |µ(k)i = a+ (k)|0i = √ n |0i N n 1 X = √ exp(ik · Tn ) |λn i , N n
(37)
takˇze jedno-magnonov´ y stav je kolektivn´ı excitac´ı, tj. je to line´arn´ı kombinace lok´aln´ıch spinov´ ych excitac´ı |λn i • lze dok´azat vztahy: h
z
+
i
+
S , a (k) = −a (k) ,
z
S |µ(k)i =
N − 1 |µ(k)i , 2
(38)
kter´e ukazuj´ı, ˇze jedno-magnonov´ y stav je vlastn´ım stavem oper´atoru celkov´eho spinu, rov. (31), a ˇze excitace jednoho magnonu sniˇzuje celkov´ y spin o jednotku podobnˇe jako lok´aln´ı spinov´e pˇreklopen´ı [viz rov. (35)] 8
• d´ale lze dok´azat vztahy: h
h
kter´e d´avaj´ı
h
H0 , s − j
i
=
m
i
H0 , s − j |0i = i
H0 , a+ (k) |0i =
H0 |µ(k)i = − kde se pouˇzilo zkratky
X
z − z Jjm (s− j sm − s m sj ) ,
1X J − sj |0i − Jjm s− m |0i , 2 2 m
i 1h ˜ J − J(k) a+ (k)|0i , 2
NJ + E0 (k) |µ(k)i , 8
(39)
i 1h ˜ J − J(k) . (40) 2 Tyto vztahy znamenaj´ı, ˇze jedno-magnonov´ y stav je vlastn´ım stavem hamil-
E0 (k) =
toni´anu, rov. (32), a ˇze excitace jednoho magnonu je spojena se vzr˚ ustem energie o E0 (k), rov. (40), coˇz je energie magnonu E(k), rov. (26), v nulov´em vnˇejˇs´ım poli (b = 0) a pˇri nulov´e teplotˇe (sz = 1/2), viz obr. 1.
E0(k) / J1
8
4
0 R
M
Γ
X
R
Γ
Figure 1: Magnonov´ y disperzn´ı z´akon, rov. (40), pro feromagnet na prost´e kubick´e mˇr´ıˇzce s v´ ymˇenn´ ymi interakcemi Jmn nenulov´ ymi jen mezi prvn´ımi (J1 > 0) a druh´ ymi (J2 = J1 /8) nejbliˇzˇs´ımi sousedy. Energie magnon˚ u E0 (k) je vynesena pod´el hran ireducibiln´ı Brillouinovy z´ony prost´e kubick´e mˇr´ıˇzky.
• pro dlouh´e vlnov´e d´elky lze magnonovou disperzn´ı z´avislost E0 (k) nahradit pˇribl´ıˇzen´ım (viz obr. 1)
E0 (k) ≈ Dk 2
pro |k| ≡ k → 0 , 9
(41)
kde D je konstanta tuhosti spinov´ ych vln. Excitace takov´ ych magnon˚ u je proto spojena s mnohem menˇs´ı energi´ı neˇz energie pˇreklopen´ı jednotliv´ ych spin˚ u (J /2), viz odst. 2.4.2. 2.4.4
Dvou-magnonov´ e stavy
• dvou-magnonov´e stavy (nenormalizovan´e) lze zadefinovat podobnˇe jako stavy jedno-magnonov´e, rov. (37):
|µ(2) (k1 , k2 )i = a+ (k1 )a+ (k2 )|0i 1 X − = exp(ik1 · Tm ) exp(ik2 · Tn ) s− m sn |0i N mn
(42)
• d´ale lze dok´azat vztahy analogick´e rov. (38): h
S z , a+ (k1 )a+ (k2 )
i
= −2a+ (k1 )a+ (k2 ) ,
N − 2 |µ(2) (k1 , k2 )i , (43) 2 kter´e ukazuj´ı, ˇze dvou-magnonov´ y stav je vlastn´ım stavem oper´atoru celkoS z |µ(2) (k1 , k2 )i =
v´eho spinu, rov. (31), s vlastn´ı hodnotou odpov´ıdaj´ıc´ı zmenˇsen´ı celkov´eho spinu o dvˇe, tj. vlivy obou z´ uˇcastnˇen´ ych magnon˚ u se pˇresnˇe sˇc´ıtaj´ı • dvou-magnonov´ y stav nen´ı vlastn´ım stavem hamiltoni´anu H0 ; lze dok´azat,
ˇze
h
h
− H0 , s − j sr
− H0 , s − j sr
i
i
= s− j
|0i =
X n
z − z − Jrn (s− r sn − s n sr ) + s r
+ δjr s− j s− j 2 +
X
J s− r δjr s− j
n
X n
z − z Jjn (s− j sn − s n sj )
− − Jjn s− n − Jjr sj sr ,
−
X
X
Jrn s− n
n
Jjn s− n
n
!
!
!
X s− Jjn s− |0i + r J s− j − n |0i 2 n
− |0i − Jjr s− j sr |0i .
Tento vztah je nutno nejprve n´asobit N −1 exp(ik1 · Tj ) exp(ik2 · Tr ) a potom vysˇc´ıtat pˇres j and r, viz rov. (42), abychom dostali vyj´adˇren´ı pro vektor [H0 , a+ (k1 )a+ (k2 )]|0i. To nakonec vede k v´ ysledku: NJ + E0 (k1 ) + E0 (k2 ) |µ(2) (k1 , k2 )i H0 |µ(2) (k1 , k2 )i = − 8 n o 1 X ˜ J(k) |µ(2) (k1 + k2 − k, k)i − |µ(2) (k1 − k, k2 + k)i , + N k∈BZ
(44)
kde prvn´ı ˇclen odpov´ıd´a neinteraguj´ıc´ım excitac´ım, zat´ımco druh´ y ˇclen popisuje magnon-magnonovou interakci. 10
2.5
Podm´ınka selfkonzistence
• z´ıskan´ y vztah pro korelaˇcn´ı funkci, rov. (27), nen´ı koneˇcn´ ym ˇreˇsen´ım prob-
l´emu, nebot’ v´ahy w(k) ani stˇredn´ı hodnota spinu sz a magnonov´e energie E(k) nejsou dosud jednoznaˇcnˇe urˇceny. K odstranˇen´ı t´eto nejednoznaˇcnosti je nutno vyuˇz´ıt algebru lok´aln´ıch spinov´ ych oper´ator˚ u, rov. (15, 16, 17). • inverzn´ı mˇr´ıˇzkov´a Fourierova transformace k rov. (23) d´av´a Mn0 (ω) =
1 X ˜ exp(−ik · Tn ) M(k, ω) , N k∈BZ
(45)
kde poˇcet k-bod˚ u v souˇctu je roven poˇctu uzl˚ u N ve velk´em (ale koneˇcn´em) krystalu s periodick´ ymi hraniˇcn´ımi podm´ınkami. Poznamenejme, ˇze pro N → ∞ pˇrejde souˇcet v rov. (45) na integr´al pˇres BZ: 1 Z 1 X F (k) = F (k) d3 k , lim N →∞ N VBZ BZ k∈BZ kde F (k) je libovoln´a funkce a VBZ je objem BZ. • inverzn´ı Fourierova transformace vzhledem k ˇcasov´e promˇenn´e d´av´a [viz
rov. (7)]:
Z
1 ∞ exp(−iωt)Mn0 (ω)dω , = 2π −∞ 1 Z∞ + − exp(−iωt)Mn0 (ω) exp(−βω)dω hs0 sn (t)i = 2π −∞ + hs− n (t)s0 i
• ve speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe t = 0 se to zredukuje na Z
1 ∞ Mn0 (ω)dω , = 2π −∞ Z 1 ∞ + − hs0 sn i = Mn0 (ω) exp(−βω)dω , 2π −∞ + hs− n s0 i
a uˇzit´ı rov. (27) a rov. (45) d´av´a + hs− n s0 i = − hs+ 0 sn i =
1 X exp(−ik · Tn ) w(k) , N k∈BZ
1 X exp(−ik · Tn ) w(k) exp[βE(k)] N k∈BZ
(46)
• vyuˇzijme komutaˇcn´ı relaci plynouc´ı z rov. (17), − z [s+ m , sn ] = 2δmn sm ,
11
(47)
kter´a po termodynamick´em vystˇredov´an´ı d´av´a − + − − + z h[s+ 0 , sn ]i = hs0 sn i − hsn s0 i = 2 s δn0 ,
a po substituci rov. (46) 1 X exp(−ik · Tn ) w(k) {exp[βE(k)] − 1} = 2 sz δn0 . | {z } N k∈BZ g(k)
Tento vztah plat´ı pro vˇsechny uzly n (pro vˇsechny translaˇcn´ı vektory T n ), coˇz znamen´a, ˇze funkce g(k) se redukuje na konstantu nez´avislou na k, tj. g(k) = 2 sz , a 2 sz . (48) exp[βE(k)] − 1 Poznamenejme, ˇze magnonov´e v´ahy w(k) jsou u ´ mˇern´e stˇredn´ı hodnotˇe spinu w(k) =
sz a Bose-Einsteinovˇe obsazovac´ı funkci pro magnonov´e energie E(k). Jedinou nezn´amou veliˇcinou ve v´ah´ach w(k), rov. (48), a v energi´ıch E(k), rov. (26), tak z˚ ust´av´a stˇredn´ı hodnota spinu sz ; pro danou teplotu T a vnˇejˇs´ı pole b jsou v´ahy a energie magnon˚ u renormalizov´any podle aktu´aln´ı hodnoty sz = sz (T, b). • dalˇs´ı postup vyuˇz´ıv´a algebraick´e vztahy pro spinov´e oper´atory na jedin´em
uzlu, viz rov. (15):
coˇz vede na
− s+ n sn =
1 0 0 0
+ s− n sn =
, n
0 0 0 1
, n
1 + − s− n sn . 2 Termodynamick´e stˇredov´an´ı prvn´ı z rov. (49) d´av´a − − + s+ n sn + s n sn = 1 ,
szn =
(49)
− − + hs+ 0 s0 i + hs0 s0 i = 1 ,
a po substituci rov. (46) a rov. (48) t´eˇz 1 X w(k) {exp[βE(k)] + 1} = 1 , N k∈BZ
"
βE(k) 1 X exp[βE(k)] + 1 1 X = 2 sz 2 sz coth N k∈BZ exp[βE(k)] − 1 N k∈BZ 2
#
= 1.
• posledn´ı rovnice spoleˇcnˇe s rov. (26) vedou k selfkonzistentn´ı podm´ınce pro sz :
1 1 = z 2s N
X
k∈BZ
coth
h n β b + J
12
i
o
˜ − J(k) sz 2
,
(50)
0.5
z
0.5
s
0.4
0.3 0 0
1 kBT/J1
2
0
1 3/2
(kBT/J1)
Figure 2: Teplotn´ı z´avislost spont´ann´ı magnetizace sz z´ıskan´a z rov. (50) pro b = 0 v modelu definovan´em v obr. 1 (pln´e ˇca´ry). Pˇreruˇsovan´e ˇca´ry znaˇc´ı z´avislost z´ıskanou v aproximaci stˇredn´ıho pole; prav´ y panel ukazuje n´ızkoteplotn´ı oblast a ilustruje Bloch˚ uv z´akon, rov. (55).
kter´a uzav´ır´a cel´ y postup a implicitnˇe definuje z´avislost sz = sz (T, b), viz pˇr´ıklad na obr. 2
2.6
Srovn´ an´ı s MFA
• selfkonzistentn´ı podm´ınka v aproximaci stˇredn´ıho pole (MFA) pro klasick´ y Ising˚ uv model zn´ı:
1 = coth[β(b + J s¯)] , s¯
s¯ = tanh[β(b + J s¯)] ,
zat´ımco v MFA pro kvantov´ y Heisenberg˚ uv model, rov. (14), je d´ana vztahem: "
#
"
β(b + J sz ) 2 sz = tanh , 2
#
β(b + J sz ) 1 = coth . 2 sz 2
Obˇe tyto podm´ınky jsou podobn´e s rov. (50), coˇz je zejm´ena patrn´e, pokud se vezme do u ´ vahy platnost vztahu 1 X ˜ J(k) = J00 = 0 , N k∈BZ ˜ kter´ y pˇredstavuje sumaˇcn´ı pravidlo pro veliˇcinu J(k). 13
(51)
2.7
Curieova teplota
• v limitˇe mal´ ych pol´ı b a vysok´ ych teplot T lze kl´ast coth(x) ≈ x−1 pro |x| 1, ˇc´ımˇz se rov. (50) zjednoduˇs´ı na
2 1 1 X n h i o. = z ˜ 2s N k∈BZ β b + J − J(k) sz
Curieova teplota je charakterizov´ana existenc´ı mal´e nenulov´e hodnoty s z v nepˇr´ıtomnosti vnˇejˇs´ıho pole (b = 0): 2 1 1 X h i , = ˜ 2 sz N k∈BZ β J − J(k) sz
coˇz d´av´a n´asleduj´ıc´ı v´ yraz pro Curieovu teplotu TCRM :
1 1 X 1 = 4 . RM ˜ k B TC N k∈BZ J − J(k)
(52)
Poznamenejme, ˇze v pˇr´ıpadˇe feromagnetu plat´ı pro vˇsechny vektory k ∈ BZ ˜ nerovnost J ≥ J(k) [tj. vˇsechny energie magnon˚ u E0 (k) jsou nez´aporn´e]. • Curieova teplota v MFA je explicitnˇe d´ana vztahem kB TCM F A =
i 1 1 1 X h ˜ J − J(k) , J = 4 4 N k∈BZ
(53)
kde druh´ y v´ yraz plat´ı d´ıky rov. (51). Ke srovn´an´ı obou Curieov´ ych teplot lze vyuˇz´ıt zn´am´ y teor´em o aritmetick´em a harmonick´em pr˚ umˇeru kladn´ ych ˇc´ısel; to d´av´a
1 X h i 1 X TCM F A 1 ˜ = > 1, J − J(k) N N ˜ TCRM k∈BZ k∈BZ J − J (k)
takˇze renormalizovan´e magnony vedou k niˇzˇs´ı Curieovˇe teplotˇe neˇz MFA (viz obr. 2).
2.8
Chov´ an´ı pˇ ri n´ızk´ ych teplot´ ach
• v limitˇe n´ızk´ ych teplot (T → 0) a pro nekoneˇcnˇe mal´e kladn´e vnˇejˇs´ı pole (b → 0+ ) se stˇredn´ı hodnota magnetizace bl´ıˇz´ı ke sv´e nasycen´e hod-
notˇe sz → 1/2. Odchylku sz od t´eto limitn´ı hodnoty, zp˚ usobenou malou
koneˇcnou teplotou T > 0, lze z´ıskat termodynamick´ ym vystˇredov´an´ım druh´e z rov. (49): sz =
1 1 X 1 + w(k) , − hs− − 0 s0 i = 2 2 N k∈BZ 14
kde se vyuˇzilo rov. (46). Substituce rov. (48) d´av´a sz = ≈
2 sz 1 X 1 − 2 N k∈BZ exp[βE(k)] − 1
1 X 1 1 − , 2 N k∈BZ exp[βE0 (k)] − 1
(54)
kde jsme v posledn´ım v´ yrazu nahradili hodnotu sz pˇri T > 0 jej´ı limitou pro T = 0 a vyuˇzili jsme magnonovou disperzn´ı z´avizlost pˇri nulov´e teplotˇe, rov. (40). Tvar rov. (54) ukazuje, ˇze poˇca´teˇcn´ı sn´ıˇzen´ı magnetizace je zp˚ usobeno teplotn´ı excitac´ı magnon˚ u. • dominantn´ı pˇr´ıspˇevek ke druh´emu ˇclenu rov. (54) je d´ıky n´ızkoenergetick´ ym
magnon˚ um s dlouh´ ymi vlnov´ ymi d´elkami, viz rov. (41). Pro 3-dimenzion´aln´ı
syst´emy tak m˚ uˇze b´ yt druh´ y ˇclen v rov. (54) aproximov´an v´ yrazem 1 X 1 1 Z 1 ≈ d3 k N k∈BZ exp[βE0 (k)] − 1 VBZ BZ exp(βDk 2 ) − 1
4π ≈ VBZ
Z
∞
0
2π k2 (βD)−3/2 dk = 2 exp(βDk ) − 1 VBZ
Z
∞
0
y 1/2 dy , exp(y) − 1
takˇze nakonec vyjde
1 − α T 3/2 , (55) 2 kde α je nˇejak´a konstanta. Rovnice (55) vyjadˇruje Bloch˚ uv tˇr´ıpolovinov´ y sz (T ) ≈
z´akon, viz obr. 2.
2.9
Renormalizovan´ e magnony – shrnut´ı
• teorie renormalizovan´ ych magnon˚ u pro kvantov´e izotropn´ı heisenbergovsk´e feromagnety je lepˇs´ı neˇz MFA v n´asleduj´ıc´ıch bodech:
+ d´av´a nulovou Curieovu teplotu pro 1- a 2-dimenzion´aln´ı syst´emy, ve shodˇe s Mermin-Wagnerov´ ym teor´emem + pro 3-dimenzion´aln´ı syst´emy reprodukuje Bloch˚ uv z´akon pro n´ızkoteplotn´ı chov´an´ı stˇredn´ı hodnoty magnetizace • v dalˇs´ıch bodech vˇsak teorie renormalizovan´ ych magnon˚ u selh´av´a: – kritick´e chov´an´ı se vyznaˇcuje kritick´ ymi exponenty shodn´ ymi s MFA
15
– magnetick´e uspoˇra´d´an´ı na kr´atkou vzd´alenost nad Curieovou teplotou je zcela zanedb´ano, podobnˇe jako v MFA – koneˇcn´a doba ˇzivota magnon˚ u (v d˚ usledku magnon-magnonov´e interakce) je zanedb´ana
16
