RENDEZVOUS SEARCH PADA G M S DENGAN TIGA PEMATN
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAElUAN AWM INSTlTUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2001
ABDUL LATIP. Rendezvous Search pada Garis dengan Tiga Petnain (Rendezvous Search on the Line with Three Players). Dibimbiug oleli FARDA HANUM dan TEDUH WULANDARI. Pada suatu lapangan luas de~iganlintasan kereta api melintasi seluruh daerah tersebut, tiga orang penerjun ditejunkan. Mereka telah menyepakati sebelu~nnyauntuk berte~nudi ILntasan kereta api tersebut, tetapi belum taliu letak yang sebenarnya untuk bettemu. P e n k a n dilakukan di sepanjang lintasan kereta api dan untuk memecalhn masalah ini diynakan re~zdezvoussearchpada garis. Tiap pe~naintidak mengetahui arah perjalanan pemain lainnya, hanya jarak di &tara dua pemain terdekat diketahui, yaitu 1. Mereka bergerak dengan kecepatan paling besar 1 untuk saling bertemu. Pertemuan yang tejadi lebih dahulu antara dua pemain akan mengakhiri permainan. Rangkaian permainan digambarkan &lam bidang Cartesius, dengan sumbu horisontal menyatakan waktu clan sumbu vertikal menyatakan posisi pemain pa& garis lurus. Penelitian ini dilakukan untuk membantu ketiga pemain menentukan strategi yang liarus diynakan agar mereka dapat bertemu dalam waMu yang minimum. Nilai randevu dapat diperoleh &lam dua bentuk yaitu bentuk simetrik dan asimettik. Bentuk simetrik membatasi pemain untuk mengynakan strategi pencarian p i g sama sedangkan bentuk asimetrik niemungkinkan pemain untuk membicarakan terlebih dahulu strategi yang akan mereka gunakan sehingga mereka boleh memilih strategi yang berbeda. Dalam tulisan ini yang dibicatakan adalah bentuk asimetrik. Terdapat strategi-drategi optimum sedemikian sehingga setiap lintasan strategi memiliki kemiringan +latau -1 pada semua waktu t dengan perubahan kemiringan dari a ke -a (a E {+I, -11) hanya tejadi pa& \Mktu t dengan 2t adalah suatu bilangan bulat. Apabila masing-masing pemain menggunakan strategi-strategi optimum, maka akan diperoleh nilai randevu asimetrik adalah 47/48.
RENDEZVOUS SEARCH PADA GARIS DENGAN TIGA PEMAIN
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
PA Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2001
Judul : Re~?dezvous Search pada Garis dengan Tiga Pemain Nama : Abdul Latip NRP : G31.0883
Menyetujui,
'I
-
Dra. ~ a h d Hanum, a M.Si. Pembimbing I
Tanggal Lulus: 14 Febmari 2001
Teduh Wulandari, S.Si. Pembimbing I1
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 16 September 1975 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, anak dari pasangan H. U. Zakaria dan Khopipah. Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri I Ciawi danpada tahun yang sama lulus Seleksi masuk IPB melalui jalur undangan seleksi masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis aktif pada salah satu lembaga pendidikan. Selain itu, penulis juga aktif pada kegiatan-kegiatan kemahasiswaan yang diadakan di lingknngan fakultas maupun jumsan.
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam tulisan ini adalah Rendezvous Search pada Garis dengan Tiga Pemain. Terima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Ibu Teduh Wulandari, S.Si. selaku pembimbing, serta Bapak Dr. Ir. D.S. Priyarsono sebagai penguji luar. Di samping itu terima kasih penulis sampaikan pada teman-teman angkatan 31 atas kebersamaannya selama ini, warga Cidangiang 30, khususnya Ahnled Hendra, yang tefah banyak membantu menyelesaikan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada bapak, umi, serta kakak-kakak dan adik tercinta, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2001
Abdul Latip
DAFTAR TABEL
................... .......................................................................
Halaman
.......
ix
. ....................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN..........................................................................................
ix
DAFTAR GAMBAR
1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Tujuan .......................
. .
. ...................................................... .
1 1
11. MODEL FORMAL
2.1 Notasi dan Asumsi ............................. . ................................................................. 2.2 Hubuugan Antara Kasus dan Tipe ................................................................... 2.3 Ruang Strategi .........:.........................................................................................
111. KELAS STRATEGI YANG BERHINGGA
1 3 3
...........................................................
7
.........................................................
9
IV. ALGORITMA UNTUK MENENTUKAN R& V. KESIMPULAN DAN SARAN
11
DAFTAR PUSTAKA
11
LAMPIRAN .....................................................................................................................
12
DAFTAR TABEL Halaman 1. Anggota-anggota 2 2. Anggota-anggota B ... .................................. 3 3. Himpunan image 4 ............................................................................... 4 4. Garis-garis untuk menentukan 7 n ~ ~ ~............................................................................... h.h~ 5 . . - - 5. Nilai-nlla~ T ( f , g , h ) untuk b E B .................... . ........................................ 6
*
. .
.
-
6. Nilai-nllal T C ( f, g ,h ) untuk c e C .................... . . ....... . ....................................
6
DAFTAR GAMBAR Halaman I. Posisi dan arah pemain untuk (0, I ,2,-,+,+) 2. Posisi dan arah pemain untuk (2,1,0,+,-,-) 3. Permainan yang dimulai dengan kasus cl . 4. Garis LI,, dan L , _ , untuk bl 5. Garis LJ,,dan Lz, untuk c, dengan a = I .......... 6. Garis LI,, dan L2,)untuk cl dan a = 1 dengan shategi f yang baru 7. Proses kemungkinan 1 dalam bentuk gambar
........................... . ......
6 7 8 22
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 13 I. Bidang Cartesius untuk b , b,, b,, ..., b,, ....................................................................... 2. Diagram alir algoritma untuk menentukan Ry,, ........................................................... 15 3. Tahap-tahap algoritma untuk menentukan R;,> . .......................... 4. Pembuktian Lema 2 dan Lema 5 ......................... . . ..................................................
17 21
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Rendezvous search adalah suatu kwrdinasi tanpa komunikasi dau mernpakan proses paralef. Masalah rendezvous search (Alpern, 1995) menjelaskan bagaimana para pemain yang ditempatkan secara acak dalam suatn daerah pencarian diketahui dapat bergerak dengan kecepatan maksimal 1 untuk saling bertemu dalam waktn harapan terkecil. Pada awal peuempatan dalam permainan, tiap pemain tahu posisinya masing-masing tapi tidak tahu posisi pemain lainnya. Masalah rendezvous search pertama kali secara formal didefinisikan oleh Alpern (1995). Untuk menyederhanakan masalah, apilih kasus pada garis lurns sebagai daerah pencarian. Cerita yang melatarbelakangi pennasalahan ini adalah sebagai berikut: Misalkan ada dua orang penejnn ingin. bertemu yang ditejunkan pada snatu lapangan luas dan terdapat lintasan kereta api yang melintasi daerah tersebut. Mereka telah menyepakati sebelumnya unhk bertemu, tetapi
belum tahu di mana letak yang sebenarnya pada lintasau kereta api tersebut. Masalahnya adalah bagaimana mereka hams bertindak agar memperoleh waktu harapan ya* minimum Cerita di atas tersebut kemudian dikembangkan untnk pemaiu yang terdiri atas tiga orang. Nilai randew dapat diperoleh dalam dua bentuk, yaitn benhlk simetrik dan b e n a asimetrik. Bentuk simetrik membatasi pemain untuk mengguuakan strategi pencarian yang Sam% sedangkan bentuk asimetrik memungkinkan pemain untuk memilih strategi yang berbeda. Pada tnlisan ini yang akan dipelajari adalah rendezvous search tiga pemain dengan bentuk asimetrik. 1.2 Tujnan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. mempelajari jaminan pertemuan antara tiga orang pemain, 2. mempelajari koudisi yang dibutuhkan untnk strategi optimal, dan 3. menentukan nilai randew asimetrik untuk tiga orang pemain.
II. MODEL FORMAL 2.1 Notasi dan Asnmsi
Permainan dimulai dengan menempatkan tiga orang pemain secara acak pada suatu daerah. Untnk menyederhanakan masalah, dipilih garis lurns sebagai daerah pencarian, setiap pemain tidak mengetahui posisi dari pemain lainnya, tetapijarak di antara 2 pemain terdekat diketahui, yaitn 1 satnan jarak. Mereka bergerak dengan kecepatan paling besar 1 satuan jaraklsatnan waktu untuk saling bertemu. Pertemuan yang tejadi lebih dahulu antara dua orang pemain akan mengakhiri permainan. Diasumsikan bahwa permainan ini asimetrik, artinya masing-masing pemain mengetahui sebelumnya strategi yang akan digunakan oleh pemain laiunya. Rangkaian permainan digambarkan dalam bidang Cartesius, dengan sumbn horizontal menyatakan waktn dan sumbu vertikal menyatakan posisi pemain pada garis lurns. Definisi 1 Orientasi awal w pada pemain adalah rangkap-3 (01,02.03) dengan
={
+
jika pemain i bergerak naik pa& awal permainan - jika pemain i bergerak t n m pada awal permainan
Definisi 2 Posisi awal p pada pemain adalah rangkap3 @I, p2, p3) dengan P adalah permumi himpunan {0, 1,2) danpl menyatakan posisi awal pemain i, i=l, 2,3. Definisi 3 Suatu permainan dengan tiga pemain dikatakan berakhirjika: a) pemain yang ditempatkan pada 0 bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 1, atau b) pemain yang ditempatkan pada 2 bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 1, atau c) ketiga pemain bertemu pada waMu yang Sam%
sedangkan pemain yang ditempatkan pada 0 bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 2 tidak dibahas karena sebelum kedua pemain tersebut bertemu, maka terlebih dahnlu saiah satu di antara mereka akan beitemu dengan pemain yang ditempatkan pada 1 sehingga menjadi bentuk a) atau b) pada pemyataan di atas. Misalkan himpunan C mempakan kumpulan semua anggota c = @, w ) yang menyatakan posisi dan arah saat permainan dimnlai. Perhatilotnbahwa suatu permainan yang dimnlai dengan @,,pz,p3, -,oz,w~)"berakl~irsama" dengan permainan yang dimulai dengan ( 2 - p ~ ,2-pz, 2-p3, +, -w2,-w3 ). Untuk menjelaskanhal ini, misalkandiambil contoh pl=O, ~ = lp3=2, , dengan arahpemain II danpemain 111 keduanya +. Contoh ini menghasilkan : ( P I .PZ,~ 3 . - . ma, a s ) = (0,1,2,-,+,+). Ddam bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 1 . ( Z-PI, 2-pz, 2-p3, + ,*z, -m3 )= (2,1,0,+,-,-I. Dalam bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 2.
Gatnbar 1. Posisi dan arah pemain untuk (0,1,2,-,+,+).
,l
0
III Gambar 2. Posisi dan arah pemain untuk (2,1,0,+,-,-).
Tanpa memperlliitikan a r d ~masing-masing pemain itu naik atau turun, dari kedua gambar tersebut terlihat bahwa pemain I1 dan pemain I11 sama-sama bergerak menjauhi pemain I, sehingga dapat dikatakan bahwa kedua permainan berakhir sama. Hal yang sama juga berlaku jika masingmasing nilai pl, n, p3, atau 02 dan 03 diubah. Ini berarti bal~waw, selalu dapat dibuat +. Jadi nntuk kasus ini diasumsikan bahwa wl = + sehingga himpunan C hanya mempunyai 24 anggota (=3!x2'). Semua anggota himpnnan C disebut kasus clan diperlihatkan pada Tabel 1.
pemain III), maka permainan akan berakhir jika pemain I dan I1 bertemu, ataujika pemain I1 dan 111 bertemu. Misalkan posisi awal pemain diberikan sebagai c, yang diperlihatkanpada bidang Cartesius dalam Gambar 3.
Misalkan (a,, a*) menyatakan pasangan tak teNNt dari pemain-pemain yang ditempatkan setelah pemain lain ditempatkan pada am1 permaiuan. Misalkan b, =-(al,a2,dl, d2), dengan di menyatakan arah relatif pemain a, terhadap pemain a,. (i#j), yaitu, to jika pemain a, bergerak kearah
pem$n a, pada awal permainan mujika @main a, bergerak menjauhi
pemain a) pada awal permainan dengan i, j = 1, 2 dan i # j. Misalkan B={b,l i=1, ...,12). Semua anggota B disebut tipe clan B mempunyai 12 anggota yang diperlihatkan pada Tabel 2.
Gambar 3. Permainan yang dimulai dengan kasus c,. Dalam Gamba~3 terlihat b a h m pemain I bergerak menuju pemain I1 sedangkan pemain II bergerak menjauhi pemain I dan pemain 11 bergerak menuju pemain 111 sedangkan pemain 111 bergerak menjauhi pemain 11, sehingga kasus cl &pat dihubungkan menjadi dua tipe, yaitu b2= (I, II, to, mu) dan blo = (II, III, to, mu). Suatu pertemuan antara dua pemain Cyang terjadi lebih dahulu) akan mengakhiri permainan.
Misalkan pemetaan 4 menyaantara kasus dan tipe, yaitu:
hubungan
4 : C-tBxB, Kc) = (b,, bJ),V c e C , i <j , maka himpnnan image dari 4 &pat dilihat dalam Tabel 3. 2 3 Ruang Strategi 2.2 Hubungau Antara Kasus dan Tipe
Sebelumnya telah diuraikan bahwa permainan berakhir jika dua pemain yang letaknya berdekatan pada awal permainan sudah bertemu. Misalkan suatu permainan dimulai dengan kasus cl ( pernain 11 terletak antara pemain I dan
.
Dalam pembahasan permainan ini, strategi adalah fungsi yang menyatakan arah dan jar& pergerakan pemain. Strategiyang digunakan hanya yang terdapat pada mang strategi yang didefinisikan sebagai berikut : P=~:w+ ~ ~ , P f o ~ = o . ~ P f t l ) - P f ~ 2-'21) )('~I
Contoh suatu strategi adalah: f(f) = t, t
E
[0,1/2].
Tabel 3. Himpunan image 4
kontinn b a d clan P adalah iumpunan kompak. (Alpern, 1995), maka nilai pa& ( 2 ) selalu dijamin ada (Goldberg, 1976). Misalkan p(fg,h) menyatakan waktu saat pemain dalam tipe b saling bertemu (6 E B). Untuk semua c E C, didefinisikan: T a g & = min plb~t;g,h) (3) bsrplc)
Diberikan tiga strategi Cfg,h) sembarang, dengan delapan garis lintasan berikut ini:
Definisi 4 Misalkan pemain I memilih strategi f; pemain I1 memilih srategi g dan pemain EI memilih strategi h, denganf; g, h E P. Misalkan TXf;g, h) menyatakan peamuan ~ a n gbetpadanan dengan kasus c, dengan c E C. Maka waktu pertemuan harapan ? a h ) dinyatakan sebagai :
dengan R:, adalah nilai randevu, yaihl waMu harapan pertemuan asimetrik dengan tiga pemain di mana dua pemain yang bertemu lebih dahulu akan mengakhiri permainan. Karena T" semi
Garis-garis di atas menyatakan lintasan masing-masing pemain. Lintasan Ll,,(f) menyatakan garis untuk pemain dengan strategif; lintasan &(t) menyatakan garis untuk pemain dengan strategi g, sedangkan lintasan LO,&) dan L3,,(f) menyatakan garis untuk pemain dengan strategi h. Untuk semua b E B, p(L g, h) &pat ditentukan dengan menggunakan garis Lk, dan L*+,,pdalam (4), sehingga p ~ ; g , h=) min { t : Lkdt) = L&l,p(f)}
(5)
dengan P = + I , k=0,1,2 dan k menyatakan letak pemain. Garis-garis untuk menentukan PV;g, h) dengan b E B diberikan dalam Tabel 4.
Tabel 4. Garis-garis untuk menentnkan mkh)
pemain I turun atau p =-I. Akhirnya diperoleh (k, a)=(0+1) dan (lctl,n = ( 1 ~ 1 )Demikianpula . dalam menentnkan garis-garis untuk bs, b? dan b, dilakukan dengan cara seperti untnk b5. 3) Untuk tipe bs, bla, b11 dan bl; Untuk tipe bg, ~ I O ,b11 dan b12 , garis yang diambil pemain 111 adalah L3,,karena garis tersebut letaknya lebih dekat terhadap garis strategi pemain 11 (L2,0)dibandingkan dengan Lo,,. Ilustrasi Diberikan contoh kasus berikut ini. Misalkan:
Penjelasan Tabel 4 1) Untnk tipe bl, b2, b3 dan b4 Contoh: Untuk tipe bl (I, 11, to, to), pemain I dan pemain I1 saling mendekat. Garis yang diambil adalah garis yang memuat strategi pemain I (f) dan pemain 11 (g), yaitn LI,, dan L%,.(jadi k 1 ) Letak pemain I berada di bawah pemain I1 (pemain I di 1 dan pemain I1 di 2), sehingga agar keduanya saling mendekat, maka pemain I naik atau a =+l dan pemain II tnrun atau p -1. Akhirnya diperoleh (k, a)=(l+l) dan (lctl, p) = (2;l). Demikian pula dalam menentukan garis-garis untuk b2, b3dan b4dilakukan dengan cara seperti untuk bl. 2) Untuk tipe b,, bs, b, dan b8 Contoh: Untuk tipe b5 (I, 111, to, to), pemain I clan pemain 111 saling mendekat, garis yang diambil adalah garis yang memuat strategi pemain I (f) dan pemain 111 (h). Garis yang memuat strategi pemain 111 ada dua yaitn Loaodan L,,,. Tetapi garis yang terdekat dengan garis untuk stmtegi pemain I (LIJ adalah Lo,, sehingga pada tipe b, ini, garis yang diambil pemain III adalah Lq, Dengan demikian , pemain 111 terletak di bawah pemain I (pemain 111 pada 0 sedaugkan pemain I pada 1) sehingga agar saling mendekat, pemain III naik atau a =+1 dan
dengan f,g, h berturut-turut merupakan strategi pemain I, pemain 11, dan pemain 111. B e r k k a n Tabel 4, untuk bl diambil garis L1.1 dan LZ-, Apabila strategi-strategi pemain I dan pemain U disubstitusikan ke (4) diperoleh : L1,1= f(t) +1 (ti-1, t€[O,l]
Jika digambarkan pa& bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 4, yaitu:
Tabel 6. Nilai-nilai T, @,g,h) untuk ceC
Gambar 4. Garis 4-1 dan LZ.-, untuk bl Dari Gambar 4 diperoleh bahwa titik potong kedua garis peitama kali tejadi pada t-112 sehingga diperoleh Tbl @,g,h)=112. Untuk bZ,b3,b4,...,b12 bidang Cartesiusnya diperlihatkan pada Lampiran 1. ~ilai-nilaiTb@, g. F) untuk semua b e B dituliskan dalam Tabel 5. Tabel 5. Nilai-nilai T * @, b € B.
c,h) untuk 21
Dengan demikian diperoleh
Dengan menggunakan persamaan (3), Tabel 3, dan Tabel 5, maka &pat diperoleh nilai T, 6 , g,h) untuk semua c E C, yang dituliskan dalam Tabel 6.
47
T, @,g,h)= 2 f=1
Lema 1 47
Nilai randevu R12 memenuhi R12 5 48
Bukti KarenaR& = min
f .g.heP
T"( f , g , h )
Karena (dari persamaan
f,g,l;~P, maka R:, sT(f,g,h). 47 48
.
Terbukti bahwa R,4, 5 -
2), makaR& 2 T"(f,g.h), V f , g , h E P.
III. KELAS STRATEGI YANG BEREWGGA Misalkan pemain I memilih strategg pemain I1 memilih strategig, dan pemain In memilih strategi E Dengan menggunakan h, dengan I; persamaan (4), maka misalkan Ll,,(,, dinamakan lintasan agen-agen pemain I; L2,,0, dinamakan lintasan agen-agen pemain 11; Lo,,fl dan L3,,(,, dinamakan lintasan agen-agen pemain In; dengan
g,
>.
4,
tE[~,;l
a=+l.
Lema 2 Misalkan x g , h ) adalah strategi-strategi pemain. Misalkanti < t 2 < ... < tk(k58)adalah waktu pertemuan pemain i dengan beberapa agen pemain terdekat untuk pertama kalinya. Maka strategi pemain i &pat d i m m i sehingga untuk setiap j, agen pemain i dapat bergerak dengan kecepatan 1 menuju agen pemain terdekat (dengan waktu pertemuan t = $+I ) dalam selang waktu ( 9 . $1) dengan menggrinakan strategi baru tersebut untuk semua j E {O, 1, ...,k-1) (to = O), dan waktu pertemuan harapan paling besar adalah T"(f,g, h).
Misalkan diambil cl, yaitu (0,1,2,+,+,+) dengan a=1, jika digambarkan pada bidang Cartesius untuk L1,, clan L2,1 &pat dilihat pada Gambar 5 berikut ini:
Bukti (Lihat Lampiran 4) llustrasi Lema 2 Misalkan strategi pemain I dengan kecepatan kurang dari 1 akan bertemu dengan pemain terdekatnya pada waktu (misalkan) t4 . Maka strategi pemain I ini dapat d i m m i dengan kecepatan 1 sehingga waktu pertemuan dengan pemain terdekatnya bisa kurang dari t4. Sebagai contoh misalkan g g , h ) adalah strategi-strategi pemain denganf adalah strategi pemain I. Strategi a w l :
Gambar 5. Garis
dan LZ,I untuk c, dengan
a=I. Dad Garnbar 5 terlihat bahm ti* p p t o n g a n 2512 sehinga waktu pertemnannya >512. Jika saategi pemain I, yaitu I; diubah &ngan keceptm 1, sehinga diperoleh strategi baru ,yaitu :
Lema 5 ldisalkan &g,l~)adalah strategi-strategi optimal maka T,&, h) < 4 untnk semua c G C.
Bukti (Lihat Lampiran 4)
IV.ALGORITMA UNTIK MENENTUKAN R:2 Akibat 4 dalam bahasan sebelumnya memungkinkan untuk mengkonstruksi sebuah atgoritma untuk menemukan selumh strategistrategi optimum dan nilai randevu R& .Misalkan s(k) menyatakan strategi-strategi yang didefinisikan sampai waktu (k+1)/2. Jika s(k) memennhi syarat yang diberikan dalam Lema 2, maka s(k) dapat dituliskan dalam bentuk mat* 3xk dengan elemen-elemennya: + 1, jika pemaini m e l a n j u h arahsebelumnppada t = j / 2 sv ( k ) = - 1, jikapemain i mengubah arahpada t = j / 2 untuk i=1,2,3 dan j = 1 2 ,...jc. Banyaknya matriks s(k) adalah 2)*.Berdasarkan Lema 5, maka strategi dapat dibatasi sampai waktu yang didefinisikan kurang dari 4. Tanpa menghilangkan keumuman dapat diasumsikan bahwa untuk interval waktu [0,1/2],semua pemain bergerak dengan amh asal yang diberikan oleh a. Pada saat j/Z fjkl), s&) akan menentukan apakah pemain i mengubah arah pa& setengah unit waktu berikutnya. Jika pemain menggunakan strategi s(@, ia dapat menentukan apakah pertemuan telah tejadi pada waktu (k+1)/2. Misalkan untuk semua c EC didefinisikan: t,jikapermainanberakhir pada t I;lk + l ) / 2 T ( c , s ( ~ )=) m, selaimya Artinya, T(c,s(k)) ada nilainya jika saat k diberikan maka pemain telah bertemu, tetapi jika tidak bertemu maka akan bemilai m. Misalkan: T'(c,s(k))=min (T(c,s(k)), (k+1)/2+1/2). T(c,s(k)) dapat diinterpretasikan sebagai waktu pertemuan aktual jika s(k) digunakan dengan asumsi bahwa posisi semna pemain pada waktu (k+1)/2 dan T (c,s(k)) sebagai waktu pertemuan paling mungkin yang menggunakan strategi s(W, karena jika pemain belum bertemu pada fk+1)/2, maka perkiraan waktu pertemuan paling optimis adalah (k+l)/2+1/2. Misalkan M(s(W adalah indikator apakah permainan telah berhenti pada W u (k+1)/2 dalam ke-24 kasus saat strategi s(kJ diguuakan, yaitu :
i
{
{
1, jika maksc,cT(c, s(k)J < m 0, selainnya Artinya, M(s(!$) bemilai 1 jika saat k diberikan, maka pemain telah bertemu nntuk tiap kasus tetapi bila a& satu atau lebih kasus yang menyebabkan pemain tidak bertemu saat k diberikan, maka M(s(k)) akan bemilai 0. Algoritma didefinisikan dalam tahaptahap sedemikian sehingga setiap tahap k (k=1,2,..., 7), hanya strategi-strategis(1) yang digunakan. Misalkan Ak menyatakan batas atas terkecil M(s(k,) =
untuk R& yang diperoleh pada tahap k, clan Ak mempakan barisan tak naik Lema 1 berakibat bahwa A. &ah 47/48 dan tiap strategi s(kJ berpotensi menjadi strategi optimal jika ET*(sO) SAk-1; 241
*
dengan EP(sfk)j= x - T (ci ,s(k)) . Misalkan i-I 24 Dl menyatakan himpunan selnruh matriks s(1) (bernilai sama terhadap permutasi baris) , Dk menyatakan himpunan matriks HOG-1) dengan tambahan satu kolom matriks s(l), dan didefinisikan: Hk=@(k) &. Ey(s(k)) ax-I clan M(s(kJJ=Ol, Rk=ls(k) E Dk: ~ET'lso>A*-11, E ~ = ( s (E~D ) ~ EETS(~JJ : I;A ~ - ,dan M ( s ( ~ J J = ~ ) .
Jadi Hk menyatakan himpunan strategi s(k) dengan dugaan paling mungkin ~T'(s(k)) Ak-1 yang berpotensi menghasilkan strategi optimal; Rk menyatakan himpunan strategi s(k) yang ditolak pada tahap k karena memilii waktu harapan lebih dari sehingga tidak optimal, Ek menyatakan himpunan strategi s(k) yang memiliki waktu pertemuan harapan ET6(k)J (paling besx &ah Arti dari bemilai sama terhadap permutasi 1 1 ) baris misalnya suatu matriks - 1 dianggap sama 11
J
artinya dengan ma&
karena apabila pada
salah satu matriks tersebut dilakukan permutasi baris, maka akan menghasilkan matriks yang sama dengan matriks yang lainnya. Begitu pula matriks
I::I -1
- 1 akan dianggap sama artinya dengan
matriks
[
Ma&
s(1) didefinisikan,
-1 -1
Perhatikan bahwa strategi-strategi dalam himpunan Ek optimal kecuali bila waktu pertemuan harapan yang lebih kecil diperoleh pada tahap tahap berikutnya pada algoritma, yaitu terdapat sebuah kf(k' > k) dan A , < ET(s(k)) ,dengan 24 1 ET(s(kJJ=x - - ~ ( c , ,s(k)) . Dengan kata lain, 24 1-1
hams diperoleh Ak = minaCk,,, ET(s(k)) untuk k=1,2, ...,7. Perhatikan bahwaAk=Ak-~kecuali bila terdapat s(k) dengan M(s(k.)=l dan ET(s(k))+lk-~. Ide utama algoritma ini adalah bahwa pada setiap tahap k, matriks s(k) dipartis1 menjadi stmtegi-strategi optimal potensial @aimhimpunan Ek uHk) dan selainnya (yaitu Rt). Partisi banyaknya matriks yang harus diperhatikan pada tahaptahap berikutnya dalam algoritma Untuk setiap s(kJ dalam H(kJ @emilai sama terhadap permutasi baris), s k ) diperluas sampai matriks 3x(k+I) dengan menambeMan kolom tambahan (k+1) sedemikian sehingga kesimpulan tentang waktu pertemuan harapan dapat diperoleh dari matriks pada tahap k' (k' > k). Tiap s(kJ dalam Hk meningkat paling tin@ 8 kemungkinan s(k+l) &lam tahap (k+l). Algoritma berhenti pada langkah k saat Hk merupakan himpunan kosong. Secara singkat, algoritma tersebut adalah sebagai berikut: Tahap inisialisasi :
Dimuiai dengan k=l I). Tentukan s(k) yang banyaknya z3*matriks 2). Apakah k=l? jika ya maka Dl=s(l) dan dilanjutkan ke 3) , tetapi jika k#l maka langsung ke 3) 3). Tentukan matriks anggota Dk 4). Apakah s(k)~Dk? jika ya maka dilanjutkan ke 5), tetapi jika tidak maka proses tidak dilanjutkan 6). ~entukans(k) yang menjadi anggota Hb Rk. dan Ek 7). Apakah Ek merupakan himpunan kosong? Jika ya maka dilanjutkan ke 8) sedangkan bila tidak maka langsung ke 9) 8). Ak-Ak-1 dan dilanjutkan ke 10) 9). Hitung ETfs(kU dan Ak = m(s(k)) kemudian dilanjutkan ke 10) lo). Apakah Hk merupakan himpunan kosong? Jika ya maka proses selesai dan tentukan nilai Ak, jika tidak maka proses dilanjutkan untuk k=k+l 11). Apakah k+1<81 J i i ya maka proses diteruskan jika tidak maka proses tidak usah dilanjutkan
Diagram alir algoritmauntuk menentukan R',2 dituliskan dalam Lampiran 2 sedangkan penjelasan tahaptahap algoritma untuk menentukan R& dituliskan dalam Lampiran 3. Teorema 6
Bukti Dengan menggunakan algoritma. untuk tne~~entukan R& ,maka proses berhenti pada saat
.
k=4, d e w A,=47/48. 47 R&=-. 48
Sehingga diprole11
V. KESIMPULAN DAN SARAN Pertexnuan antara ti@ pemain yang berada pada suatu garis &pat dihitung secara matematik cnengynakan Rendezvous search. pertemuan antara tiga pemain akan minimum jika strategi yang mereka gun&n merupakan yaitu skate@ yang memenuhi syarat kondisi optimal, D~~ orang pemain bertemu lebih dahulu yang kemudian akan
wah
mengakhiri permainan menghasilkan nilai randevu asimetrik R& 47,48, . Tulisan ini dapat dikembangkan nntuk pemain Ymg terdiri atas lebih dari tiga orang (n pemain). Selain itu jnga bisa dicari nilai randevu untuk simetrik baik untuk tiga pemain maupun nntuk pmain.
DAFTAR PUSTAKA Alpern, S. 1995. The rendezvous search problem. SIAM Journal of Control and optimization 33(3): 673683. Alpern, S. & A. Beck. 1997. Rendezvous search problem on the line with bounded resource: expected time minimization. European Journal of Operations Research 101: 558597. Alpern, S. & S. Gal. 1995. Rendezvous search on the liue with distinguishable players. SIAM Jozmial of Control and Optimization 33(4): 12701276. Anderson, E.J. & S. Essegaier. 1995. Rendezvous search problem on the line with indistinguishable players. SLAM Journal of Control and Optimization 33(3): 16371642.
Goldberg, RR. 1976. Methods ofReal Analysis. Ed2. John Willey, New York.
Lim, W.S. & S. Alpern. 1996. Minimax rendezvous search on the line. SIAMJournal of Control and Optimization 34(5): 16501665.
Lim, W.S.,S. Alpern & A. Beck. 1997. Rendezvous search on the line with more than two players. Operations Research 45(3): 357362. Salamah, R. 1999. Rendezvous search pada garis dengan sumber daya terbatas : peminimuman waktu harapan. Skripsi. Jnrusan Matematika FMIPA IPB, Bogor.
LAMPIRAN
Latnpiran 1. Bidang Cartesius untuk b.,, b3,b,, ...,b12
I Lo,,'
b 112
Diperoleh T
312
1 b2
2
I
512
b
-
1
Diperoleh T ( f ,g, h ) = 2
---
( f ,g , h ) = 1
L,-I
+
I
L4-I LI,-I
Diperoleh ~ * ~ ( j , g ,=h1 j
. I
Lo,,
112
Diperoleh T
1
312
2
512
t
5 (f,g,hjz2
LJ./
L ,I I
Lo,1 L1,-1
5
Diperoleh Tb7( j , g ,h ) = 2 LII,a
112
1
312
2
Diperoleli Tb4( 7 , g, hj = 2
512
Diperoleh
Diperoleh
Tb"(f.g,h)
=2
1
~ ~ ( f , g ,=h-2)
Diperoleh
Diperoleh Tho
5 (f.g , h ) > 5
3
T b k 2 ( f , gh, ) = -2
Lampiran 2. Diagram alir algoritma untuk menentukan R&
Tentukan matriks angora Dk Tidak
Untuk matriks yang bernila sama diambil salah satu saj
$. Tentukan anggota Hk, Rk,Ek
Ya Ak=Aa,
Ak = min ET(s(k)) r(k)e&
Selesai
Lampiran 3. Tahap-tahap algoritma untnk menentukan R$
Tahap inisialisasi :Ao=47/48 cia1 s(1) = [[l)2[;j,[;i)3[! 1 ~]7[-~]*[~]3[~~)7[~1)]
*
Tahap 1: Diketahui k = l sehingga s(k)
=
,
s(1). Banyaknya matriks s(1) adalah 2 * ' = ~ ~ = 8 ,
sfl)=[~),[~),[~l),[~~),[j],[~],[j~),[~l)] ,
yaitu:
1
-1
-1
-1
Karena k=l maka jelas bal~waDl =s(l). Dari kedelapau matriks itu akan ditentukan yang menjadi anggota HI ,RI,dan El. Karena matriks
d i d [:jnntnk
&;roses
bernilai sama dengan
selanjutnya. Begitu pula mat&
maka bisa diarnbil matriks
.
[:I
Untuk s(l)= 1 ;artinya pemain I, pemain 11, &II pemain 111melanjntkan arah sebelumnya .. pada t=1/2. T(cI,s(l)) menyatakau waktu pertemuan peltama kali dari dua pemain yang berdekatan dengan posisi awal pa& cl (0,1,2,+,1.+) untnk [0,1/2] dan dilanjutkan dengan s(1) untuk [112,1]. Apabila digambarkan pada bidang Cartesius diperolel~l~asilsebagai berikut:
Karena pada waktu t=l ,permainan belum berakhir, maka diperoleh T(cl,sl(l))=m. Dengall cara yang sama untuk ke-23 kasus yang lain diperoleh:
.makadiperoleh hasil ~ T * ( c ~ , s ( l ) )21 ,sehingga 24
=
i=l
Dari hasil ini, diperoleh bahwa ET'(~(I))
Apabila T(c,s(l))
digambarkan pada
sehingga T(c,s(l))=
m. Hal ini menghasilkan maksCecT(c,s(I)) =a,sehingga M(s(l))=O. / I \ Karena ET'(s(1)) 410dan M(s(l))=O ,maka s(1) = 1 mempakan anggota HI . Dengan
I-J [:] [IJ,
cara perhitungan yang sama seperti 1 dan
diperoleh :
-1
I-lj.
E
HI dan - 1
I-lj .
,
E R,.
maka untuk dua matriks yang lain
Pada tahap ini El tidak mempunyai anggota.
,
Karena El himpunan kosong, maka A1=A0=47/48. Pada tahap ini ada dua matriks anggota
-"
(1) 11) 1 dan -1 sehingga HI bukan himpunan kosong. Akibatnya proses
1-J 1-J
ditemskax pada tahap berikutnya untuk k=2. Tahap 2:Diketahui k=2 selungga s(k) = s(2). Pada tahap 2 ini, matriks s(2) yang diproses adalah anggota Dzyaitu matriks anggota HI dengan tambahan satu kolom matriks s(1). Pada tahap seklumnya .=I)
dipemleh
[_:j,[ii
.HI, sehingga anggotas(2) yang diproses adalah:
Lampiran 4. Pembuktian Lema 2 dan Leilia 5 Bukti Lema 2: Misalkan pemain terdekat dengan peinain i adalah pemain r dan s, dengan MS. Diasumsikan bahwa pemain i menggunakan strategi J dan mengikuti lintasan Ll,,(.), sehigkan pemain r dan s n~enggunakanstrategi g dan h dan mengikuti lintasan Lp(.) dan Lo,&), dengan fi y €{+I; -1). Bukti dibagi menjadi kemungkinan-kemungkinan berikut: Kemunglunan 1: Satu agen pemain i bertemu dengan agen pemain r pada fi,~sedangkan agen lain pemain i tidak bertemu dengan agen peinain manapun pa& tPl, Kemunglunan 2: Satu agen pemain i bertemu dengan agen penlain r pada tj,~,sedanagen lain pemain i bertemu agen pemain s pada t,,). Kemungkinan 3: Hanya satu agen pemain i yang bertemu dengan agen kedna pemain r dan s pada $+I, sedangkan agen pemain i yang lain tidak bertemu dengan agen pemain manapun. Kejadian dimana satu agen pemain i memenuhi kemungkinan 3 sedangkan agen pemain i lainnya bertemu agen pemain lain tak mungkin terjadi. Hal ini karena jika kemungkinan 3 berlaku, maka : af($+d + 1 = .Bg($+3 + 2 = yh ($+I) yang berakibat -aJ($+J+ 1 = -.Bgft,,J = -yh ($+3+ 2 sehi~iggadiperoleh -af ($+I) + 1 # -,13g($+I)+ 2 clan -aJ($+)) + 1 t -yh ($+I). Oleh karena itu lintasan pada Ll,., tidak berpotongan dengan lintasan agen-agen pemain lain pada ti,). Kemungkinan dimana agen pemain i bertemu dengan agen kedua pemain r ( atau s ,tapi bukan kednanya), &pat diperlakukan dengan cara yang sama seperti kemungkinan 1. Unmk keperluan pembuktian lema, maka tanpa mengurangi keumuman &pat diasumsikan bahwa satu agen pemain i yang dibahas adatall agen yang mengikuti lintasan strategi L1,1(1). Kemungkinan 1:
-f$< $+I - $. Misalkan 1J($+I) -J(tJ 1 < $+I - 4, maka $-$+~ 0, Vf
&p(f+l)-f+l + t j - J(tj)-l
< &p(tj+I)- t,+~+ tj + t j + -tj ~
-
- J(tj+1)-1
=0
Karena L2P(.) dan f (.) kontinu yang berakibat bahwa terdapat
Dari (6)
dan (7) dikroleh :
q+, (t, .tj+,) sedemikian sehingga E
)I
= [L2@ @,+1)-L2fl
= l ( k f t j + l) + 2 ) - (&(T+l) + 211 = ] k ( t j + I-&(<+, I
11
= l ~ { g ( t , )+- ~a < + , )>I
=\PI [ g ( t j + , ) - g K + l ) [ = Ig(t,+l)-g(<+l)[ karenap = +l
5 Itj+,
-<.+lI -
karenag E P
- tj+1 - f j + l
f
maka agen pemain i &pat bergerak pada kecepatan 1 menuju lintasan Lz8 sampai
<+,(menggunakan
) clan kemudian mengikuti lintasan L2dt) untuk t E ( T ~ + , , ~. ~Jadi + ~terdapat ] paling sedikit satu strategi sehingga waktu pertemuan &pat dikurangi. Akibatnya waktu harapan termodifikasi paling
T"(
besar adalah f ,g,h). Dalam bentuk gambat, untuk kemungkinan 1 ini &pat dilihat pa& Gambar 7.
4
Gambar 7. koses kemungkinan 1 dalanl bentuk gambar Kemungkinan 2: Karena pertemuan antara agen-agen tejadi pertamald pada waktu $+I ,maka L2/Xt)-J(t)-1 > 0 dan L d t ) +f(t) -1 < 0 ,untuk semua t < t j t l . Misalkan V(tj+,)-flvl<5+1-ti. dan t - t j + J ( t j ) untuk t E [t,, t j U ] selainnya
{
maka dillasilkan :
~,~(t)-f"(t)-l> 0 dan ~ o ~ ( t ) + ? ( t ) - l < o 2 (fj+l , )-7(tj+l)- 1< 0, Lor(fj+,)+7(fj+,)> 0.
Karena Lzd.), LO&.)dan f () kontinu yang menmbatkan terdapat <+j,i,+l E (tj,tj+j) . sedemikian ~
sehinga
+ 1 L,, (ij+,)= -7(ij+,) + 1. L,, (q+,)= Misalkan f' = maks(i;+,,Fit,), maka \f(t,+,)-7(t.)\ =lf(tj+,)-t. + t j -JV,)l =If(tj+,)-f(fj)-t.+fjl
- I
-t-1
1
= tJ+l. -t
Jadi f(tl+,)-7(t*4 < t l i l - t ' ,
-
maka satu agen pemain i dapat bergerak pada kecepatan 1 menuju lintasan Lzp sampai t j , (menggunakan ) dan kemudian mengikuti lintasan Lzdt) untuk t E ( ~ + l , t , + l sedangkan ], satn
7
agen yang lain bergerak menuju lintasan LO,,sampai
i1+, dan kemudian mengikuti lintasan Lo,#)
untuk t ~(i,+~,t,+,].Jadi terdapat paling sedikit satn strategi sehingga waktu pertemuan dapat dikurangi. Akibatnya waMu harapan temodifikasi paling besar adalah T"( f ,g,h).
Karena pertemuan antara satu agen pemain i dengan agen pemain r dan s terjadi pertamakali pa& waktuIi,~.maka Lzdf)-/It)-1 > 0 dan L d t ) -/It)-1 < 0 , untuk semua 1 < $+,. Misalkan Ifl$+~) -flII,l< $1 - r/, dan t-t,+j(t,) untuk t c [ t j , t j + , ] f (t) selainnya maka dihasilkan : Karena Lzd.), L d . ) dan sedemikian selungga L,#
-
f () kontinu yang mengahbatkan terdapat T+,E (t,. t,,)
(q+,)= 7(<+,)+1dan L o ,6,) = 7(<+,) + 1 , maka
dengan
<+,< t
,
-
1 1 2 3 m T ( f ; g , h ) = - ( a , x - + a , x - + a , x-+am x-) 24 2 2 2 2 1 1 2 3 m =-(12x-+6x-+5x-+-) 24 2 2 2 2 1 39 m =-(-+-) 24 2 2 1 = -(39+m). 48 Berdasarkan Lema 1, maka diperoleh: 47
1 47 -(39+m)<48 48 m < 8, sehingg T, O:g, h) 5 4 untuk semua c
E
C. E4
