Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant

Voorjaar 2007

Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda) E. Lambeck (Newmancollege, Breda) H. Sterk (Technische Universiteit Eindhoven) J. Verschuren (Mgr. Frencken College, Oosterhout) H. Voorn (Mgr. Frencken College, Oosterhout)

2

Een oefenreeks algebraïsche vaardigheden voor VWO Inleiding Algebraïsche vaardigheden vormen een onmisbaar onderdeel van de wiskundige vorming van leerlingen in het voortgezet onderwijs. De afgelopen jaren is echter op diverse plaatsen geconstateerd dat de algebraïsche vaardigheden merkbaar zijn afgenomen. De aansluiting met vervolgopleidingen in het hoger onderwijs is mede hierdoor in gevaar gekomen. Met de documenten `Rekenvaardigheden voor de bovenbouw VWO’ en ‘Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO’ beoogt de productgroep Wiskunde (VWO) uit het Netwerk West-Brabant de docenten wiskunde een handvat te bieden om algebraïsche vaardigheden gedurende de leerjaren 3 tot en met 6 VWO voldoende aan bod te laten komen. Zo krijgen zij de mogelijkheid een serieus aansluitingsprobleem in een vroeg stadium gericht het hoofd te bieden, terwijl in de huidige situatie de rekenvaardigheidsproblematiek voornamelijk door instellingen voor hoger onderwijs wordt aangepakt, (te) laat dus. Op termijn zullen de methoden die in het voortgezet onderwijs gebruikt worden ongetwijfeld de lacunes opvullen. Het is zaak ons tot die tijd zelf actief met (dit aspect van) de aansluitingsproblematiek bezig te houden. Gunstig neveneffect van het project is ook dat samenstellers en gebruikers van het materiaal met de door hen opgedane ervaring een nuttige bijdrage zullen kunnen leveren aan de inrichting van het toekomstige wiskundeonderwijs, met oog voor aansluiting. De inrichting van het materiaal Algebraïsche vaardigheden vormen met nadruk een onderdeel van het wiskundeonderwijs. Wiskunde en wiskundeonderwijs behelzen uiteraard veel meer, en we willen niet de indruk wekken dat algebraïsche vaardigheden het centrale onderdeel van de wiskunde zijn. De door de productgroep samengestelde materialen moeten gezien worden als een coherente aanvulling bij het bestaande curriculum, waarmee een majeur aansluitingsprobleem in een vroeg stadium aangepakt kan worden. Bij de samenstelling van het materiaal hebben we ons laten leiden door de volgende uitgangspunten. 9 Een oefenlijn voor meerdere jaren Het is van belang rekenvaardigheden gedurende langere tijd te trainen. Om die reden is materiaal samengesteld dat geschikt is om te gebruiken in de klassen 3 tot en met 6 VWO. 9

Korte aanduidingen van de betekenis Voor de hogere klassen is ervoor gekozen, waar mogelijk, een korte indicatie te geven waarom een techniek nuttig is. Doorgaans gebeurt dit aan de hand van een concreet voorbeeld. Hiermee hopen we leerlingen te motiveren, maar ook docenten aan te zetten op dezelfde weg verder te gaan en materiaal te verzamelen waarmee zij hun leerlingen kunnen stimuleren zich een techniek eigen te maken.

9

Kriskrasopgaven Naast opgaven per onderwerp is ook een opgavenreeks opgenomen waarvan elk item een willekeurig rekenvaardigheidsaspect belicht. Leerlingen kunnen op deze manier uiteindelijk vaststellen of zij in een onbekende' situatie adequaat het standaardarsenaal aan technieken weten in te zetten.

Maurice Alberts (Markenhage College) Ingrid van de Bliek (Mencia de Mendozalyceum) Ernst Lambeck (Newmancollege) Hans Sterk (Technische Universiteit Eindhoven) José Verschuren en Hans Voorn (Mgr. Frencken College) 3

4

Inhoudsopgave 1.

Breuken

blz. 7

2.

Gelijksoortige termen samennemen

8

3.

Rekenen met machten

9

4.

Rekenen met wortels

10

5.

Breuken met letters

11

6.

Algebraïsche producten

12

7.

Ontbinden in factoren

13

8.

Eerstegraads vergelijkingen

14

9.

Eerstegraads ongelijkheden

15

10. Tweedegraads vergelijkingen

16

11. Vervolg tweedegraads vergelijkingen

17

12. Tweedegraads ongelijkheden

18

Oefening 1

19

Oefening 2

21

Oefening 3

23

Oefening 4

25

Oefening 5

27

Kris Kras Opgaven

29

Antwoorden oefening 1 t/m 5

33

5

6

1. Breuken Hier komen gewone breuken aan de orde zoals

Vereenvoudigen van breuken : vb.

12 4⋅3 4 = = 45 15 ⋅ 3 15 48 12 2 = =2 20 5 5

a c a+c + = b b b

3 1 4 1 + = = 8 8 8 2 2 3 10 9 1 − = − = 3 5 15 15 15 1 1 2 1 2 1 3 3 + 5 = (3 + ) + (5 + ) = 3 + + 5 + = 8 2 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 4 1 5 1 4 2 − 1 = (2 + ) − (1 + ) = 2 + − 1 − = 1 − = − = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 13 9 4 (een andere manier) = − = 5 5 5

Vermenigvuldigen van breuken : vb.

Let op : 4½ betekent 4 + ½.

k ⋅a a = (teller en noemer delen door k) k ⋅b b

Optellen van gelijknamige breuken : vb

1 3 en . 3 7

a c ac ⋅ = b d bd

4 21 4 ⋅ 21 1⋅ 3 3 1 = = =1 ⋅ = 7 8 7 ⋅ 8 1⋅ 2 2 2 5 4⋅5 5 1 4⋅ = = =2 8 8 2 2 1 5 22 35 22 ⋅ 35 11⋅ 5 55 1 3 ⋅5 = = = 18 ⋅ = = 7 6 7 6 7⋅6 1⋅ 3 3 3

a c a d ad : = ⋅ = b d b c bc Algemeen: delen door een getal is vermenigvuldigen met de omgekeerde

Delen van breuken :

vb.

1 15 12 15 37 15 5 : = ⋅ = = =1 37 37 37 12 12 4 4 1 7 7 3 7:2 = 7: = ⋅ = 3 3 3 1 7

7

2. Gelijksoortige termen samennemen Een onderdeel van een optelling of aftrekking noemt men een term; een vorm met meerdere termen wordt een veelterm genoemd. Een onderdeel van een vermenigvuldiging of een deling noemt men een factor. vb.

in de veelterm 5x + 7y zijn de termen 5x en 7y, in 5x zijn 5 en x factoren.

Men onderscheidt gelijksoortige termen en niet-gelijksoortige termen. vb.

5x en 7x zijn gelijksoortige termen (van het soort x), 4x2 en −18x2 zijn gelijksoortige termen (van het soort x2), 3a2b en 7a2b zijn gelijksoortige termen (van het soort a2b), 4x2y en 7xy2 zijn niet-gelijksoortig.

2 Gelijksoortige termen neemt men samen tot één term. vb.

5x + 7x = 12x 4x2 − 18x2 = −14x2 −3a2b − 7a2b = −10a2b 4x2y + 6xy kan je niet korter schrijven 4a2 − 3a + 6a2 + 7a − 24a2 − 8a = 4a2 + 6a2 − 24a2 + −3a + 7a − 8a = −14a2 − 4a

8

3. Rekenen met machten Een macht is een kortere schrijfwijze voor een herhaalde vermenigvuldiging van dezelfde factoren. vb.

a3 = a⋅a⋅a 72 = 7⋅7 (−p)4 = (−p)⋅(−p)⋅(−p)⋅(−p) (x + 3y)2 = (x + 3y)⋅(x + 3y)

Let op het verschil tussen −32 = − 3⋅3 = −9 en (−3)2 = (−3)⋅(−3) = 9 Voor het rekenen met machten zijn enkele regels afgeleid a. Optellen en aftrekken van machten Alleen gelijksoortige machten kunnen samen worden genomen (zie gelijksoortige termen) vb.

4x2 + 9x2 = 13x2 6x2 − 8x : kan je niet korter schrijven

b. Vermenigvuldigen van machten : ap ⋅ aq = ap + q vb.

a7 ⋅ a3 = a10 4x2 ⋅ 7x6 = 4 ⋅ 7 ⋅ x2 ⋅ x6 = 28x8 x ⋅ x3 = x1 ⋅ x3 = x4 9x2y ⋅ 3xy2 = 27x3y3

ap

c. Delen van machten :

vb.

6x 5 y 3

9 xy

d.

vb.

5

p

6 x5 y3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2x 2 y 3 x y

=

4 3y

( )

Macht van een macht : a p

(x )

5 7

q

ap a

q

= a p − q als p > q en

= a p⋅q

= x 35

(ab )p

e. Macht van een product :

vb.

= 1 en

=

3x 3 y 2

12xy 4

a

(bij het rekenen met machten is x1 = x)

= apbp

(2x )3 = 2 3 x 3 = 8 x 3 (− x )6 = (− 1)6 x 6 = x 6

(3a ) ⋅ 3(a ) = 27a ⋅ 3a (5p q) = 25p q = 25p q (pq ) p q 2 3 2

3 2

2

2 3

6

4

3

6

= 81a12

2

6

4

9

ap a

q

=

1 a

q −p

als p < q

4. Rekenen met wortels a is het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan a. vb.

16 = 4 want 4 2 = 16 1 1 = 9 3

2

1 ⎛ 1⎞ want ⎜ ⎟ = 9 ⎝3⎠

Wortels zijn te benaderen met decimale getallen, daarvoor kun je je rekenmachine gebruiken. Het is gebruikelijk in de wiskunde en ook vaak nuttig om de wortels waar mogelijk te vereenvoudigen. Hieronder bespreken we hoe je dat aanpakt. a. Optellen en aftrekken van wortels

Alleen 2 gelijksoortige wortels kunnen worden samen genomen tot één wortel (zie gelijksoortige termen) vb.

4 7 + 6 7 = 10 7 41 + 14 dit kan je niet eenvoudiger schrijven

b. Vermenigvuldigen van wortels :

vb.

a ⋅ b = ab

2 ⋅ 18 = 36 = 6 3 ⋅ 5 = 15

c. Delen van wortels :

vb.

18 2 24 12

a b

=

a b

= 9 =3 = 2

d. Vereenvoudigen van wortels

Als er een wortel in het antwoord voorkomt en er wordt niet gevraagd naar een benadering, is het gebruikelijk de wortels zover mogelijk te vereenvoudigen. Dit betekent dat je zoveel mogelijk kwadraten buiten de wortel brengt. vb.

24 = 4 ⋅ 6 = 4 ⋅ 6 = 2 6 27 = 9 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 3 3 24 + 54 = 2 6 + 3 6 = 5 6

10

5. Breuken met letters a. Vereenvoudigen van breuken

vb.

8a + 4b 8a 4b = + = 4a + 2b 2 2 2 10ab 2 + 5b 3 10ab 2 5b 3 = + = 2ab + b 2 5b 5b 5b

b. Optellen van breuken :

vb.

a c a+c + = b b b

x 3z x + 3 z + = 2 y 2y 2y

Vaak moeten eerst de breuken gelijknamig gemaakt worden. vb.

2a 3b 2a 2a + 3b = + = b b b b 4r 5 4r 5 ⋅ 7 x 4r + 35 x + = + = 2 2 7x y x 7x y 7x 2 y 7x 2 y

3+

c. Vermenigvuldigen van breuken :

vb.

a c ac ⋅ = b d bd

x − r − rx ⋅ = y 2s 2sy 3u x 3u 3ux x⋅ = ⋅ = v 1 v v

a c a d ad : = ⋅ = b d b c bc Algemeen: delen door een getal is vermenigvuldigen met de omgekeerde.

d. Delen van breuken :

vb.

xy y 3 xy x x2y x2 : = ⋅ = = z2 x z2 y3 y3z2 y2z2

11

6. Algebraïsche producten Een techniek die veel wordt toegepast op algebraïsche vormen is het herleiden van producten tot een som of een verschil. We herkennen daarbij een aantal veel voorkomende technieken. 1. 1e Algemeen product : a(b + c) = ab + ac

vb.

3x(2x − 6) = 6x2 − 18x

2. 2e Algemeen product : (a + b)⋅(c + d) = ac + ad + bc + bd

vb.

(2x + 3)(3x − 6) = 6x2 − 12x + 9x − 18 = 6x2 − 3x − 18

vb.

(x − 4)(x + 9) = x2 + 5x − 36

vb.

de 2e term ontstaat uit de som van –4 en 9 en de 3e term uit het produkt van –4 en 9

(p − 6)(p −5) = p2 − 11p + 30

3. 1e Bijzondere product : (a − b)(a + b) = a2 − b2

vb.

(3x − 4)(3x + 4) = 9x2 − 16

4. 2e Bijzondere product : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

De middelste term, 2ab, noemt men het dubbelproduct. vb. vb.

(x + 7)2 = x2 + 14x + 49 (2x − 3)2 = 4x2 − 12x + 9

12

7. Ontbinden in factoren Dit betekent dat een som van termen wordt geschreven als product. We kennen daarvoor een aantal methoden. De methoden zijn afgeleid van de algebraïsche producten. a. Gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen

vb. vb. vb.

4x2 − 8x = 4x(x − 2) 6a2b − 3ab2 = 3ab(a − b) −14x3 + 21x2 − 7x = −7x(x2 − 3x + 1)

(neem het min-teken mee naar buiten)

b. Som-product methode

vb. vb.

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) p2 − 3p − 10 = (p − 5)(p + 2)

want

3 + 2 = 5 en 3 x 2 = 6

want

−5 + 2 = −3 en −5 x 2 = −10

c. Verschil van 2 kwadraten

vb. vb. vb.

x2 − y2 = (x − y)(x + y) a2 − 16 = (a − 4)(a + 4) 9a2 − 25b2 = (3a −5b)(3a + 5b)

13

8. Eerstegraads vergelijkingen Een eerstegraads vergelijking is een vergelijking die te herleiden is tot ax + b = c. Het oplossen van de vergelijking is het zoeken naar een getal dat, na invulling voor de onbekende, een ware bewering oplevert. vb.

2x + 7 = 3x + 2 heeft als oplossing x = 5 want 2⋅5 + 7 = 3⋅5 + 2 (17 = 17)

De methode die we hier gebruiken is de balans-methode. Je mag aan beide kanten van het "=" teken met hetzelfde getal vermeerderen, verminderen, vermenigvuldigen en delen, zonder dat de oplossing verandert. vb.

vb.

2x + 7 = 3x + 2 −x + 7 = 2 −x = −5 x=5 1 /2x − 3 = 12/3x + 3 3x − 18 = 10x + 18 −7x −18 = 18 −7x = 36 36 1 = −5 x=− 7 7

[ −3x] [−7] [⋅ -1] [ ⋅ 6] [−10x] (+18] [:-7]

Eerstegraads vergelijkingen hebben precies één oplossing.

14

9. Eerstegraads ongelijkheden Het oplossen van de ongelijkheid is het zoeken naar alle getallen die, na invulling voor de onbekende, ware beweringen opleveren. De methode die we hier gebruiken lijkt sterk op de balans-methode van de eerstegraads vergelijkingen, maar er is een belangrijk verschil. Je mag aan beide kanten van het ">" en “<” teken met hetzelfde getal vermeerderen, verminderen, met een positief getal vermenigvuldigen en door een positief getal delen, zonder dat de oplossing verandert. Echter vermenigvuldig je met of deel je door een negatief getal, dan slaat het teken om. vb.

vb.

4x + 7 > x + 1 3x + 7 > 1 3x > −6 x > −2 2(x −1) < 3(2x +5) 2x − 2 < 6x + 15 −4x − 2 < 15 −4x < 17 x > −41/4

[−x] [−7] [ : 3] [haakjes wegwerken] [−6x] [+2] [:-4]

15

10. Tweedegraads vergelijkingen Het oplossen van de vergelijking is het zoeken naar getallen die, na invulling voor de onbekende, ware beweringen opleveren. vb.

x2 + x = 12 heeft twee oplossingen, nl. −4 en 3, want (−4)2 + (−4) = 12 en 32 + 3 = 12

De methode om deze vergelijkingen op te lossen berust op het volgende principe: Een product is gelijk aan nul als een van de factoren gelijk aan nul is. In formule: als a ⋅ b = 0 dan moet gelden a = 0 of b = 0

De methode: • werk eventuele haakjes weg, • herleid de vergelijking op nul, • ontbind het linkerlid in factoren (zie ontbinden in factoren), • pas toe: ab = 0 d.w.z. a = 0 of b = 0, • werk de twee eerstegraads vergelijkingen verder uit. vb.

vb.

vb.

nb.

(op nul herleiden) x2 + x = 12 x2 + x − 12 = 0 (ontbinden in factoren; som-product-methode) (x + 4)(x − 3) = 0 x + 4 = 0 of x − 3 = 0 x = −4 of x = 3 −½x2 + 3x = 0 (ontbinden in factoren: gemeenschappelijke factor) −½x(x − 6) = 0 −½x = 0 of x − 6 = 0 x = 0 of x = 6 x2 = 16 (op nul herleiden) x2 − 16 = 0 (ontbinden in factoren: verschil van 2 kwadraten) (x − 4)(x + 4) = 0 x − 4 = 0 of x + 4 = 0 x = 4 of x = −4 vaak zal je bij dit type het antwoord snel kunnen geven en kan je alle stappen overslaan. x2 = 16 x = 4 of x = −4

16

11. Vervolg tweedegraads vergelijkingen Als het linkerlid van de vergelijking niet eenvoudig is te ontbinden, dan is er nog een alternatieve methode, de abc-formule. We gaan uit van de algemene vorm: ax2 + bx + c = 0 We berekenen eerst de Discriminant D = b2 − 4ac Daarna kunnen we de oplossingen berekenen met:

x=

vb.

−b− D 2a

en x =

−b+ D 2a

2x2 − 3x − 4 = 0 a = 2, b = −3 en c = 4 ⇒ D = (−3)2 − 4⋅2⋅(−4) = 9 + 32 = 41

3 − 41 3 1 3 + 41 3 1 = − 41 of x = = + 41 4 4 4 4 4 4 (controleer met je rekenmachine dat het antwoord goed is!)

x=

vb.

8x2 + 6x + 2 = 1 8x2 + 6x + 1 = 0

[−1]

dan a = 8, b = 6 en c = +1 ⇒ D = 62 − 4⋅8⋅1 = 36 − 32 = 4 x=

−6− 4 −6−2 8 1 −6+ 4 −6+2 −4 1 = =− =− = = =− of x = 16 16 16 2 16 16 16 4

17

12. Tweedegraads ongelijkheden Om de ongelijkheid f(x) > g(x) op te lossen, vraag je je af: “Voor welke x of x’en ligt het punt (x,f(x)) van de grafiek van f ‘boven’ het punt (x,g(x)) van de grafiek van g?”. Vergelijkbaar is natuurlijk de ongelijkheid f(x) < g(x). Het is daarvoor nodig de grafieken van f en g te tekenen. Daarna moeten de coördinaten van het snijpunt (of de snijpunten) berekend worden. Oplosmethode: het 4-stappen-plan 1. voer in op je GR y1 = linkerlid y2 = rechterlid 2. schrijf het venster op en schets de grafiek 3. bereken de coördinaten van het snijpunt (de snijpunten) door de vergelijking f(x) = g(x) op te lossen: hetzij algebraïsch, hetzij met je GR 4. lees het antwoord af uit de grafiek vb.

Los algebraïsch op

–x2 + 2x + 4 > x – 2

1.

y1 = –x2 + 2x + 4 y2 = x – 2

2.

[–5,5] x [–7,7]

3.

snijden: f(x) = g(x) –x2 + 2x + 4 = x – 2 –x2 + x + 6 = 0 x2 – x – 6 = 0 (x + 2)(x – 3) = 0 x = –2 v x = 3

4.

–x2 + 2x + 4 > x – 2 geeft –2 < x < 3

18

Oefening 1 Opgave 1.1 a. b. c. d.

5a3 + 7a2 − 9a3 + 10a2 −12ab − 19a2b + 4ab + 2a2b 4a3b2 −8a2b3 −4a3b2 + 9a2b3 9x − 8x2 − 10x3 + 6x − 15x2 + 7x3

Opgave 1.2 a. b. c. d.

Schrijf zo kort mogelijk:

Herleid de volgende machten:

4x2y ⋅ (−6x3y) (5a2)3 (−3x2y)⋅(−6xy2) (4x5y6)2

Opgave 1.3

Herleid de volgende wortels:

a.

7 3 ⋅ ( −6 12 )

b.

4 5 − 7 2 + 9 2 − 10 5

c.

9 3 ⋅ −2 2

d.

(− 2 7 )

2


3x(2x − 5) (7x + 3)(9x − 6) (x + 5)( x − 5) (x + 4)(x − 7)


Herleid tot een som of een verschil: e. −3xy(2x + 3y − 6) f. (x + 9)(x + 11) g. (p − 3q)(p + 3q) h. (x + 20)2 Ontbind in factoren:

3x2 − 12x −½ p3 + 3p2 − p x2 − 16 a2b − 4ab2

Opgave 1.6

x2 + 12x + 35 8p2q − 4pq a2 − 2a − 24 k3 + 3k2 − 10k

e. f. g. h.

Los de volgende vergelijkingen op:

a. 4(x − 6) + 5x = 2(3x − 8) + 2 b. ¼ x + 7 = 2x − 8 c. 1/3 x − 5 = ½ (x − 4) d. 1/5 x − 2(x − 1) = 1/3 (4x − 1) + 3(x − 2)

19


x2 = 4x x2 = 16 x2 + 3x + 2 = 0 a2 = 1


b.

Herleid tot één breuk: 2 5 ⋅ 7 8 1 −7 3 ⋅ 2 12 1 1 4 ⋅2 11 9 4 13 : 5 30

e. f. g. h.

Herleid:

4 xy 8x 12abc − 4ac

Opgave 1.10

p(p+ 2) = 4 − p ½ x2 = 5x x2 = 7 3x2 = ½ x

e. f. g. h.

1 5 + 3 7 5 1 −1 9 4 5 1 7 +3 8 3 1 5 −4 + 6 6

Opgave 1.9 a.


c. d.

Los algebraïsch op:

a. x2 – 15x > 0 b. x2 < 6x

20

2pq + 3ps p 5p + 5q p+q

Oefening 2 Opgave 2.1

a.

Herleid:

i.

e.

2 11 1 7 c. 2 − 3 5 8 4 1 d. − 8 − 3 9 3

b. 14 − 5

Opgave 2.2

6 8 : 7 15 2 j 4 :5 3

3 −5 . 10 12 34 51 f. : 75 100 2 g. 7 ⋅ 5 3 8 1 h. ⋅4 13 3

1 5 − 3 12


a. 4x2 − (3x + 7x2 ) + 6x b. 2x(4x − 8) − 9x(x + 2) c. 4x − (5 − 9x) − ½(2x + 5) d. 1/3(x − 2) − ½(2x + 5) Opgave 2.3

Herleid:

a. (5x3y)2 · (−3xy2)2 · 2xy3 b. −(a6b4)3 ⋅ (−ab2)5 c. d.

30a 5 b 7 5ab 4

9 xy 5

f.

15 x 4 y 3

Opgave 2.4 a.

e.

( − xy 2 )3 − ( x 2 y)2

x5y3 xy 2

:


45 + 20

b. 4 2 ⋅ 2 10 c. 2 3 − 6 7 + 63 − 9 12 d. (5 10 )3 e. ( −2 3 )4

21

xy 3 x2y


Herleid:

4x(2x − 8) − 3(x2 − x + 5) (2x − 4)(½ x + 5) (x + 10)(x − 10) (5x2 − 4)(3x2 + 10x + 2)

Opgave 2.6

a. b.

/3 x − 4 = ½ (x − 2) + 5 /4 (2x − 9) − ½ (5 + x) = x − 10

1

a. 5x2 = 20 b. 3x2 = 2x c. ½ x2 + 3 = 3(x + 1) Opgave 2.9 a. b.

5a + 10b 5 2 3a + 6a P= 3a T=

Opgave 2.10

e. f. g. h.

x2 − 14x + 49 x3 − 16x ½ p2q3 − 4p5q7 t3 + 3t2 + 2t

Los op:

1

Opgave 2.8

(x − 3)2 (2x + 7)2 x(x − 5)(x + 7) (½ x − 6)2

Ontbind in factoren:

a. −4x2 − 28x b. x2 + 3x – 40 c. 1/3 x3 − 2x2 + 6x d. x2 + 20 Opgave 2.7

e. f. g. h.

c. 9x − 20(x + 5) > 8(3x − 6) d. ¼ x − 1/5 (x + 10) < ½ (x − 6)

Los op: d. x2 = 2x + 8 e. 2x2 = 10 f. x(x + 5) = 24 Herleid de volgende formules: c.

y=

d.

A=

3 x 2 − 60 x 30 x p 2 + 2p p 2 + 5p + 6

Los op, rond je antwoord af op één decimaal:

a. –0,5x2 + 2x + 6 > 0 b. x2 – 4x + 5 > –2

22


Herleid:

1 1 −1 3 2 2 3 b. 5 − 6 7 4 4 3 c. ⋅ 3 9 5

1 2 ⋅5 2 3 1 e. 7 : 2 5 1 2 f. 4 : 2 2 5

a. 4

d. 2


Opgave 3.2

c. (x − 4)2 + (2x + 1)(x − 2) d. 1/3 (x − 2) − ½ (2x + 5)

a. x(2x − 5) − (x −2 )(x − 1) b. (x − 1)(x + 2)(x + 1) Opgave 3.3 a. 2xy 3 ⋅ b.

Herleid: 3

c.

x2y

4x 2 y 3 ( −2xy )

1 2

24

d.

5 21 2 28


½a2 − 2a x2 + 3x − 28 p2 − 25 x3 − 4x

Opgave 3.6

75ab 3

c. ( −2 5 )3

b. 2 12 ⋅ 32 6

a. b. c. d.

a 3b


a. 4 20 − 6 54 − 2 80 -

Opgave 3.5

5ab 2

:

d. ( 2a ) 3 ⋅ ( −2a ) 3

2 3

Opgave 3.4

a 2b

e. f. g. h.

x2 − 10x + 25 −x2 + 15x − 54 x(x − 1) + 2(x − 1) 4ab3 − 2ab

Los op: b. ¼(2x + 3) x − 1/5(x + 10) < ½ x(x − 6)

a. 2(2x + 3) − (x − 1) > 3(4x + 1) − 2x

23

Opgave 3.7

Los op:

a. x2 = 24 b. ½x2 = 6x Opgave 3.8 a. b. c.

Herleid:

3a 2a + c c − x 3 x − x 10 x 9x 3x + + = = 2y 2y 3 y 3 y 3y y 3 22 − x y


c. x2 + x = 6 d. 2x −x2 = 9 − 4x

d. e. f.


–x2 + 2x > –24 x2 > 9 4x2 + 3x > 0 4x2 – 9 < 0

24

3 1 + 21a a 3 7 ⋅ 2x 5 y 2a 4c : 7b 21b

−

Oefening 4 Opgave 4.1 a.

Herleid de volgende breuken:

1 3 − 4 16

3 13 1 5 c. − 3 5 6 4 1 d. − + 3 9 11

b. 10 − 3



2ab − 23a2b + ab − 2a2b 4a2b2 −8a2b −3a2b2 + 9a2b 9x + 6x − 15x2 + 7x − 8x2 − 10x3 5p3 + 7p2 − 9p3 + 10p2

Opgave 4.3

Herleid:

a. (5x2y)3 ⋅ (−3xy2)2 ⋅ xy3 b. −(p6q4)3 ⋅ (−pq2)3 c. d.

a 5b 7 5ab 4 6x 4 y 2 18 x 4 y 3

Opgave 4.4 a.


c. ( −2 7 ) 2

20 − 8 72 − 2 45 + 32

d.

b. 2 18 ⋅ 2 2

Opgave 4.5

8 24 3 32

Herleid:

a. (7p − 9)(9p − 1) b. (x + 6)( x − 6) c. 5x(2x − 2)

d. e. f.

25

(a + 4)(a + 15) (x − 7)(x + 8) −6xy(2x + y − 5)

Opgave 4.6


a. 4a2 − 12a b. −2x3 + 2x2 + 3x c. p2 − 2p − 24 Opgave 4.7

d. e. f. Los op:

a. x2 = 35 b. ½x2 = 8x Opgave 4.8 a. b. c.

c. x2 = 5 − x d. 16 − 4x = 2x + x2 Herleid:

5 3 − xy y 9 1 − 2x x 9p 15p ⋅ 5q 2q 2

Opgave 4.9

x2 + 12x + 36 9p2q − 3pq 2a2b − 4ab2

d. e. f.

−

12x 4x3 :− 4 7y y

3ab 2 2a ⋅ 7c 9bc 4 x 5 2x − 3 : 7 y 3y

Los op, rond je antwoord zo nodig af op één decimaal:

a. x2 – 3x < 14 b. x2 – 3x < (x – 1)(x + 3)

26


Herleid:

1 1 −1 2 5 3 2 b. 5 − 5 8 3

c. 1: 3

a.

Opgave 5.2

d. 2

1 5

3 2 :3 5 3


a. −(2p + 5p2 ) + 6p + 3p2 b. −(15 − 6x) − 3(2x + 5) c. −½ (2a + 5) − 1/3(a − 2) Opgave 5.3

Herleid tot een som of een verschil:

a. 2a(3a − 5) b. (5p + 4)(5p − 6) c. (−x + 6)( x − 6) Opgave 5.4 a.

d. −xy(x + y − 6) e. (a − 12)(a + 1) f. (p − 7q)(p + 7q) Herleid de volgende wortels:

63 + 28

b. 2 3 − 6 27 + 64 + 5 12 c. (2 3 )3 d. ( −3 5 )4

Opgave 5.5


a. −7x2 − 28x b. a2 + 6a − 40 c. ½ x3 − 3½ x2 + 9x Opgave 5.6

d. x2 − 16x + 64 e. x3 − 25x f. a2b3 − 4a5b7 Los op:

a. 1/3 x − 4 = ½ (x − 2) + 5 b. ¼ (4x − 9) − ½ (5 + x) = x − 10

c. 9x − 20(x + 5) > 8(3x − 6) d. ¼ x − 1/5 (x + 10) < ½ (x − 6)

27

Opgave 5.7


a. x2 = 4x b. x2 +12= 28 c. x2 + 3x = −2 Opgave 5.8 a. b. c.

x(x + 2) = 2(2 − ½ x) ½ a2 = 15a p2 = 117

Herleid

2 x + x+2 x+2 1 2 − x x +1 3 2 − x −1 x


d. e. f.

d. e. f.

Los op:

–(x – 2)(x – 3) < –20 (x + 6)2 < 25 ½ x2 > 2x + 9 –3x + 1 < –2x2

exact exact op 1 decimaal exact

28

4 4 + x +1 x −1 10 y 2y 2 : 2x + 1 x 5 3x + 6 . 6x + 9 7x

Kris Kras Opgaven 3 +6 4

1.

−2

2.

3

3.

4−9

4.

2

5.

10

6.

10 : 2

7.

2

8.

5:3

1 3 −5 7 7

5 1 + 9 18

2 ⋅5 3

1 :4 4

1 2

7 8 ⋅3 10 9

3 7

1 4 7

2 9.

( )

10. ab 2

3

: 5a

( )

11. 2 4a 3

12.

13.

1 − 5a ⋅ a 5 2

2

(− 3xy)2 5x 5a5b6

(3ab)3

14. 3 7 − 2 28

1 11 3

15. 15 11 ⋅

(

16. − 3 2

)

2

29

(

17. 3 + 5

)

2

(

18. 4 5 − 5 32

)

19. 6 ⋅ −5 ⋅ 2 7 20.

( )

1 3 7 2

2

(

21. − 10 5 − 45

(

22. 5 − 2 6

)

)

2

(

)

1 ⎞ ⎛ 23. − 3 2 + 12 − ⎜ 16 + 27 ⎟ 2 ⎠ ⎝

(

)(

24. 2 5 + 2 7 5 − 2 7 25.

12a + 18b 4

26.

12a ⋅ 18b 4

27.

t2 v 2 + v t

28.

2 5 − 3p 2p

29.

5 1 2 − + 3ab 5a b

30.

5x + 2xy 3y

31. 5 −

2x y

32. 2ab ⋅

2

+

)

3 2y

a b

1 a 33. 2 a ⋅ 5 ⋅ 7 b

30

34.

35.

5x 7y 2

⋅ 21xy

x 1 : x 2y 2

1 2 a2 ⋅ 5b 36. 4 4ab 37.

38.

2 3p 4

: 2p

2p 5 5p : 3q 9q

(− 5a )

3 2

39.

2b

:

12a 5b

(

)

40. (2x + 6 )2 − 3 x 2 − 1

41. 3(3 x − 5 )2 − (x − 4 ) 42. ( x 2 − 6 )( x 2 + 6 ) 43. Ontbind in zoveel mogelijk factoren:

2a2b − 4ab + 7b3

44. Ontbind in zoveel mogelijk factoren:

− 3x 2 + 3x + 6


2x 3 − 6 x 2 + 2x


25a 4 − 100b 2


− 14x 2 − 2x 3 + 16x


x 3 − 9x 1 3

49. Los algebraïsch op:

5( x − 1) = 7


3 − ( x + 5) > 2x − 2


(2x + 10 )2 = 25


x (x − 2 ) = 3 x − 4


(2x + 10)2 〈 25 31

1 2


3 x − 1 ≤ 2x 2


3 x 2 + 4 x > 7(2x − 3 ) 7

56. Gegeven is de functie f ( x ) = x 2 − 2x 1 5 ), f(p), f(2p), Bereken f(7), f( 2 1 57. Gegeven is de functie f ( x ) = x 2 − 5 x + 2 3 1 5 ), f(p), f(2p), Bereken f(7), f( 2

f(

1 ), p

f(

2 ) p

f(

1 ), p

f(

2 ) p

32

Antwoorden oefening 1 Opgave 1.1


a. 5a3 + 7a2 − 9a3 + 10a2 –4a3 + 17a2 b. −12ab − 19a2b + 4ab + 2a2b −8ab − 17a2b c. 4a3b2 −8a2b3 −4a3b2 + 9a2b3 a2b3 d. 9x − 8x2 − 10x3 + 6x − 15x2 + 7x3 –3x3 − 23x2 + 15x Opgave 1.2

Herleid de volgende machten :

a. 4x2y ⋅ (−6x3y) –24x5y2 b. (5a2)3 125a6 c. (−3x2y)⋅(−6xy2) 18x3y3 d. (4x5y6)2 16x10y12 Opgave 1.3


a.

7 3 ⋅ ( −6 12 ) –252

b.

4 5 − 7 2 + 9 2 − 10 5 −6 5 +2 2

c.

9 3 ⋅ −2 2 − 18 6

d.

(− 2 7 )

2

28 Opgave 1.4 a. 3x(2x − 5) 6x2 – 15x b. (7x + 3)(9x − 6) 63x2 – 15x – 18 c. (x + 5)( x − 5) x2 – 25 d. (x + 4)(x − 7) x2 – 3x – 28

Herleid tot een som of een verschil: −3xy(2x + 3y − 6) –6x2y – 9xy2 + 18xy (x + 9)(x + 11) x2 + 20x + 99 (p − 3q)(p + 3q) p2 – 9q2 (x + 20)2 x2 + 40x + 400

e. f. g. h.

33

Opgave 1.5

Ontbind in factoren :

a. 3x2 − 12x 3x(x – 4) b. −½p3 + 3p2 − p – ½p(p2 – 6p + 2) c. x2 − 16 (x + 4)(x – 4) d. a2b − 4ab2 ab(a – 4b) Opgave 1.6

x2 + 12x + 35 (x + 7)(x + 5) 8p2q − 4pq 4pq(2p – 1) a2 − 2a − 24 (a – 6)(a + 4) k3 + 3k2 − 10k k(k – 2)(k + 5)

e. f. g. h.

Los de volgende vergelijkingen op :

a. 4(x − 6) + 5x = 2(3x − 8) + 2 3x = 10 x = 31/3 b. ¼x + 7 = 2x − 8 –3/4x = – 15 x = 20 c. 1/3x − 5 = ½(x − 4) –1/6x = 3 x = – 18 d. 1/5x − 2(x − 1) = 1/3(4x − 1) + 3(x − 2) –62/15x = –81/3 x = 133/92 Opgave 1.7


a. x2 = 4x x(x − 4) = 0 x=0vx=4

e.

p(p+ 2) = 4 − p (p − 4)(p + 1) = 0 p = 4 v p = −1

b. x2 = 16 x = 4 v x = −4

f.

c. x2 + 3x + 2 = 0

g.

½x2 = 5x x(x − 10) = 0 x = 0 v x = 10 x2 = 7

(x + 2)(x + 1) = 0 x = −1 v x = −2 d. a2 = 1 a = 1 v a = −1

x= 7∨x=− 7 3x2 = ½x x(6x − 1) = 0 x = 0 v x = 1/6

h.

34

Opgave 1.8

Herleid tot één breuk:

1 5 + 3 7 1 1 21 5 1 −1 b. 9 4 25 − 36 5 1 c. 7 + 3 8 3 23 10 24 1 5 d. − 4 + 6 6 1 −3 3

2 5 ⋅ 7 8 10 56 1 −7 3 ⋅ 2 12 1 −2 24 1 1 4 ⋅2 11 9 7 8 11 4 13 : 5 30 11 1 13

e.

a.

f.

g.

h.

Opgave 1.9 a.

4 xy 1 = y 8x 2

12abc = − 3b − 4ac

b.

c.

2pq + 3ps = 2q + 3s p

d.

5p + 5q 5(p + q) = =5 p+q p+q

Opgave 1.10 a. x2 – 15x > 0 1)

y1 = x2 – 15x y2 = 0

2)

[–5,20] x [–60,20]

3)

snijden:

4)

x2 – 15x > 0 y1 > y2 geeft

x2 – 15x = 0 x(x – 15) = 0 x = 0 of x = 15 x < 0 v x > 15

35

b. x2 < 6x 1)

y1 = x2 y2 = 6x

2)

[–5,10] x [–10,50]

3)

snijden:

4)

x2 < 6x y1 < y2

x2 = 6x x2 – 6x = 0 x(x – 6) = 0 x = 0 of x = 6 geeft

0<x<6

36

Antwoorden oefening 2 Opgave 2.1 a.

Herleid: 3 −5 . 10 12 1 − 8 34 51 f. : 75 100 8 9 2 g. 7 ⋅ 5 3 2 39 3 8 1 ⋅4 h. 13 3 2 2 3

1 5 − 3 12 1 − 12

b. 14 − 5

e.

2 11

9 11 1 7 c. 2 − 3 5 8 27 −1 40 4 1 d. − 8 − 3 9 3 7 − 11 9 8

Opgave 2.2

6 8 : 7 15 17 1 28 2 j 4 :5 3 14 15

i.


a. 4x2 − (3x + 7x2 ) + 6x 4x2 − 3x − 7x2 + 6x −3x2 + 3x b. 2x(4x − 8) − 9x(x + 2) 8x2 − 16x − 9x2 + 18x −x2 + 2x c. 4x − (5 − 9x) − ½(2x + 5) 4x − 5 + 9x − x − 2½ 12x − 7½ d. 1/3(x − 2) − ½(2x + 5) 1 /3x − 2/3 − x − 2½ − 2/3x − 31/6

37

Opgave 2.3

Herleid:

a. (5x3y)2 (−3xy2)2 2xy3 450x9y9 b. −(a6b4)3 ⋅ (−ab2)5 a23b22 30a 5 b 7 c. 5ab 4

d.

6a 4 b 3 1 9 xy 5

f.

15 x 4 y 3 5x 3

a.

( − xy 2 ) 3 − ( x 2 y) 2 y4 x x5 y3

xy 2

:

xy 3 x2y

x5 y

3y 2

Opgave 2.4

e.


45 + 20

5 5 b. 4 2 .2 10 16 5 c. 2 3 − 6 7 + 63 − 9 12 − 16 3 − 3 7 d. (5 10 )3 1250 10 e. ( −2 3 )4 144

Opgave 2.5

Herleid:

a. 4x(2x − 8) − 3(x2 − x + 5) 5x2 – 29x – 15 b. (2x − 4)(½x + 5) x2 +8x –20 c. (x + 10)(x − 10) x2 – 100 d. (5x2 − 4)(3x2 + 10x + 2) 15x4 + 50x3 – 2x2 – 40x – 8

(x −3)2 x2 – 6x +9 (2x + 7)2 4x2 + 28x +49 x(x − 5)(x + 7) x3 +2x2 –35x (½ x − 6)2 1 /4x2 – 6x + 36

e. f. g. h.

38

Opgave 2.6


a. −4x2 − 28x –4x(x + 7) b. x2 + 3x − 40 (x + 8)(x – 5) c. 1/3x3 − 2x2 + 6x 1 /3x(x2 – 6x + 18) d. x2 + 20 K.N. Opgave 2.7

f. g. h.

Los op:

1

/3x − 4 = ½ (x − 2) + 5 –1/6x = 8 x = –48 b. 1/4 (2x − 9) − ½ (5 + x) = x − 10 –43/4 = x – 10 x = 51/4 a.

Opgave 2.8

x2 − 14x + 49 (x – 7)2 x3 − 16x x(x + 4)(x – 4) ½ p2q3 − 4p5q7 ½ p2q3(1 – 8p3q4) t3 + 3t2 + 2t t(t + 1)(t + 2)

e.

9x − 20(x + 5) > 8(3x − 6) – 35x > 52 x < –52/35 ¼ x − 1/5(x + 10) < ½ (x − 6) –9/20x < –1 x > 22/9

c. d.

Los op:

a. 5x2 = 20 x2 = 4 x = 2 v x = –2

d.

b. 3x2 = 2x 3x2 – 2x = 0 x(3x – 2) = 0 x = 0 v x = 2/3 c. ½ x2 + 3 = 3(x + 1) ½ x2 – 3x = 0 ½ x(x – 6) = 0 x=0vx=6

e.

x2 = 2x + 8 x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x = 4 v x = –2 2x2 = 10 x2 = 5 x= 5∨x=− 5

f.

x(x + 5) = 24 (x + 8)(x – 3) = 0 x = –8 v x = 3


5a + 10b 5(a + 2b) = = a + 2b 5 5 3a2 + 6a 3a(a + 2) P= = =a+2 3a 3a 3 x 2 − 60 x 3x(x − 20) 1 1 y= = = (x − 20) = x−2 30 x 30 x 10 10 p2 + 2p p(p + 2) p A= 2 = = p + 5p + 6 (p + 2)(p + 3) p + 3 T=

39

Opgave 2.10 a. –0,5x2 + 2x + 6 > 0 1)

y1 = –0,5x2 + 2x + 6 y2 = 0

2)

[–5,10] x [–10,10]

3)

snijden:

4)

–0,5x2 + 2x + 6 > 0 y1 > y2 geeft

–0,5x2 + 2x + 6 = 0 x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 x = 6 of x = –2

[x –2]

x < –2 v x > 6

b. x2 – 4x + 5 > –2 1)

y1 = x2 – 4x + 5 y2 = 0

2)

[–5,10] x [–5,10]

3)

snijden:

4)

x2 – 4x + 5 > –2 y1 > y2 geldt voor alle waarden van x

x2 – 4x + 5 = –2 x2 – 4x + 7 = 0 a = 1, b = –4, c = 7 dus D = (–4)2 – 4 · 1 · 7 = 16 – 28 = –12 < 0 geen snijpunten

40

Antwoorden oefening 3 Opgave 3.1 1 1 a. 4 − 1 3 2 26 9 − 6 6 17 6

Herleid:

1 2 ⋅5 2 3 5 17 ⋅ 2 3 85 6 1 14 6 1 e. 7 : 2 5 7 5 ⋅ 1 11 35 11 2 3 11 1 2 f. 4 : 2 2 5 9 5 ⋅ 2 12 45 24 7 1 8 d. 2

5 6 3 2 b. 5 − 6 7 4 148 189 − 28 28 41 − 28 13 −1 28 4 3 c. ⋅ 3 9 5 4 18 ⋅ 9 5 72 45 3 1 5 2

Opgave 3.2


a. x(2x − 5) − (x − 2 )(x − 1) 2x2 – 5x – x2 + 3x – 2 x2 – 2x – 2 b. (x − 1)(x + 2)(x + 1) (x2 + x – 2)(x + 1) x3 + 2x2 – x – 2

(x − 4)2 + (2x + 1)(x − 2) x2 – 8x + 16 + 2x2 – 3x – 2 3x2 – 11x +14 1 /3(x − 2) − ½(2x + 5) 1 /3x – 2/3 – x – 2½ – 2/3x – 31/6

c. d.

41

Opgave 3.3 a. 2xy 3 ⋅

Herleid: 3

a 2b

c.

x2y

a 3b

5ab 2 75ab 3 15b a

6y 2 x

b.

:

4x 2 y 3 ( −2xy ) 1 − 2xy 3

Opgave 3.4

(2a) 3 ⋅ ( −2a) 3

d.

2 3

−64a6


a. 4 20 − 6 54 − 2 80 -

1 2

24

c. ( −2 5 )3 − 40 5

− 19 6 b. 2 12 ⋅ 32 6

d.

128 18

5 21 2 28

5 3 4 Opgave 3.5


a. ½a2 − 2a ½a(a – 4) b. x2 + 3x − 28 (x + 7)(x – 4) c. p2 − 25 (p + 5)(p – 9) d. x3 − 4x x(x – 2)(x + 2) Opgave 3.6

x2 − 10x + 25 (x – 5)2 −x2 + 15x − 54 –(x – 6)(x – 9) x(x − 1) + 2(x − 1) (x + 2)(x – 1) 4ab3 − 2ab 2ab(2b2 – 1)

e. f. g. h.

Los op:

a. 2(2x + 3) − (x − 1) > 3(4x + 1) − 2x 3x + 7 > 10x + 3 x < 4/7

¼(2x + 3) x − 1/5(x + 10) < ½ x(x − 6) 11 /20x – 2 < –3x x < 40/71

b.

42

Opgave 3.7

Los op:

a. x2 = 24 x=

x2 + x = 6 (x – 2)(x + 3)=0 x = 2 v x = −3 2x − x2 = 9 − 4x (x – 3)2 = 0 x=3

c.

24 ∨ x = − 24

b. ½x2 = 6x ½x(x – 12)=0 x = 0 v x = 12

d.

Opgave 3.8 a. b. c. d. e. f.

3a 2a 5a + = c c c − x 10 x 9x 3x + = = 3y 3 y 3y y 3 22 3y 22x 3y − 22x − = − = x y xy xy xy 6 18 21 3 1 −3 − + = + = = 21a a 21a 21a 21a 7a 3 7 21 ⋅ = 2x 5 y 10xy 42ab 3a 2a 4c 2a 21b a 3 3a of : = ⋅ = ⋅ = = 28bc 2c 7b 21b 7b 4c 1 2c 2c

Opgave 3.9


a. –x2 + 2x > –24 1)

y1 = –x2 + 2x y2 = –24

2)

[–5,8] x [–30,2]

3)

snijden:

4)

–x2 + 2x > –24 y1 > y2 geeft

–x2 + 2x = –24 –x2 + 2x + 24 = 0 x2 – 2x – 24 = 0 (x – 6)(x + 4) = 0 x = 6 v x = –4 –4 < x < 6

43

b. x2 > 9

c.

1)

y1 = x2 y2 = 9

2)

[–4,4] x [–3,15]

3)

snijden:

4)

x2 > 9 y1 > y2

x2 = 9 x = –3 v x = 3 geeft

x < –3 v x > 3

4x2 + 3x > 0 1)

y1 = 4x2 + 3x y2 = 0

2)

[–3,3] x [–2,6]

3)

snijden:

4x2 + 3x = 0 x(4x + 3) = 0 x=0 v x= −

4)

3 4

4x2 + 3x > 0 y1 > y2

geeft

x< −

3 v x>0 4

d. 4x2 – 9 < 0 1)

y1 = 4x2 – 9 y2 = 0

2)

[–3,3] x [–10,6]

3)

snijden:

4)

4x2 – 9 < 0 y1 < y2

4x2 – 9 = 0 4x2 = 9 9 x2 = 4 3 3 v x= x= − 2 2

geeft

−

3 3 <x< 2 2

44

Antwoorden oefening 4 Opgave 4.1

Herleid de volgende breuken:

1 3 − = 4 16 4 3 − = 16 16 1 16 3 b. 10 − 3 = 13 130 42 − = 13 13 88 = 13 10 6 13 1 5 c. − 3 = 5 6 6 115 − = 30 30 109 − = 30 19 −3 30 4 1 d. − + 3 = 9 11 44 306 − + = 99 99 262 = 99 64 2 99 a.

Opgave 4.2


a. 2ab − 23a2b + ab − 2a2b 3ab − 25a2b b. 4a2b2 − 8a2b − 3a2b2 + 9a2b a2b2 + a2b c. 9x + 6x − 15x2 + 7x − 8x2 − 10x3 − 10x3 – 23x2 + 22x d. 5p3 + 7p2 − 9p3 + 10p2 –4p3 + 17p2 45

Opgave 4.3

Herleid:

a. (5x2y)3 ⋅ (−3xy2)2 ⋅ xy3 125x6y3 ⋅ 9x2y4 ⋅ xy3 1125x9y10 b. −(p6q4)3 ⋅ (−pq2)3 −p18 ⋅ q12 ⋅ −p3q6 p21q18 c.

a 5b 7 5ab 4 a 4b 3

d.

5 6x 4 y 2 18 x 4 y 3 1 3y

Opgave 4.4 a.


20 − 8 72 − 2 45 + 32

c. (-2 7 ) 2 28

2 5 − 48 2 − 6 5 + 4 2 − 4 5 − 44 2

d.

b. 2 18 ⋅ 2 2

8 24 3 32 4 6

6 2 ⋅2 2 24

3 2 4 2 3

Opgave 4.5 a. (7p − 9)(9p − 1) 63p2 − 88p + 9 b. (x + 6)(x − 6) x2 − 36 c. 5x(2x − 2) 10x2 − 10x

Herleid: d.

(a + 4)(a + 15) a2 + 19a + 60 (x − 7)(x + 8) x2 + x − 56 −6xy(2x + y − 5) −12x2y − 6xy2 + 30xy

e. f.

46

Opgave 4.6

Ontbind in factoren :

a. 4a2 − 12a 4a(a − 3) b. −2x3 + 2x2 + 3x −x(x2 − 2x − 3) −x(x − 3)(x + 1) c. p2 − 2p − 24 (p − 6)(p + 4) Opgave 4.7

x2 + 12x + 36 (x + 6)2 9p2q − 3pq 3pq(3p − 1)

d. e.

f.

2a2b − 4ab2 2ab(a − 2b)

c.

x2 = 5 − x x2 + x − 5=0 (abc-formule) a = 1 b = 1 c = –5

Los op:

a. x2 = 35 x = 35 v x = − 35

x= b. ½x2 = 8x ½x2 − 8x = 0 ½x(x – 16) = 0 x = 16 v x = 0

− 1 + 21 − 1 − 21 v x= 2 2

16 − 4x = 2x + x2 x2 + 6x − 16 = 0 (x − 2)(x + 8) = 0 x = 2 v x = −8

d.

Opgave 4.8 a. b. c.

5 3 5 3x 5 − 3x − = − = xy y xy xy xy 9 1 9 2 7 − = − = 2x x 2x 2x 2x 9p 15p 9p 3p 27p2 ⋅ 2 = ⋅ 2 = 5q 2q q 2q 2q3 4x3 12x 4x3 y4 x2 y3 x 2 y3 1 2 3 :− 4 =− ⋅− = ⋅ = = x y 7y 7y 12x 7 3 21 21 y

d.

−

e.

3ab 2 2a 6a 2b2 2a2b ⋅ = = 7c 9bc 63bc 2 21c 2

f.

−

4x5 3y3

:

2x y7

=−

4x5 y7 4x5 y7 2x 4 y 4 2 ⋅ = − = − = − x4y4 3 2x 3 3 3 3y 6 xy

47

Opgave 4.9 a. x2 – 3x < 14 1)

y1 = x2 – 3x y2 = 14

2)

[–5,10] x [–5,20]

3)

snijden:

4)

x2 – 3x < 14 y1 < y2 geeft

x2 – 3x = 14 Calc intersect x ≈ –2,4 en y = 14 x ≈ 5,5 en y = 14 –2,4 < x < 5,5

b. x2 – 3x < (x – 1)(x + 3) 1)

y1 = x2 – 3x y2 = (x – 1)(x + 3)

2)

[–5,5] x [–10,10]

3)

snijden:

4)

x2 – 3x < (x – 1)(x + 3) y1 < y2

x2 – 3x = (x – 1)(x + 3) x2 – 3x = x2 + 3x – x – 3 –5x = –3 3 x= 5

geeft

x>

3 5

48

Antwoorden oefening 5 Opgave 5.1 1 1 a. − 1 = 2 5 2 15 − = 10 10 13 − = 10 3 −1 10 3 2 b. 5 − 5 = 8 3 129 136 − = 24 24 7 − 24

Herleid:

Opgave 5.2


1 = 5 5 1⋅ = 16 5 16 3 2 d. 2 : 3 5 3 13 3 ⋅ = 5 11 39 55

c. 1: 3

a. − (2p + 5p2 ) + 6p + 3p2 −2p − 5p2 + 6p + 3p2 − 2p2 +4p b. − (15 − 6x) − 3(2x + 5) − 15 + 6x − 6x − 15 0 c. − ½(2a + 5) − 1/3(a − 2) a − 2½ − 1/3a − 2/3 Opgave 5.3 a. 2a(3a − 5) 6a2 − 10a b. (5p + 4)(5p − 6) 25p2 − 10p − 24 c. (−x + 6)( x − 6) −x2 + 12x − 36

Herleid tot een som of een verschil: −xy(x + y − 6) −x2y + −xy2 + 6xy (a − 12)(a + 1) a2 − 11a − 12 (p − 7q)(p + 7q) p2 − 49q2

d. e. f.

49

Opgave 5.4


a. 63 + 28 = 5 7 b. 2 3 − 6 27 + 64 + 5 12 = − 16 3 + 8 + 15 3 c. ( 2 3 )3 = 24 3 d. ( −3 5 )4 = 81 ⋅ 25 = 2025 Opgave 5.5


a. −7x2 − 28x −7x(x+4) b. a2 + 6a − 40 (a – 4)(a + 10)

d.

c. ½ x3 − 3½ x2 + 9x ½ x(x2 – 7x + 18)

f.

Opgave 5.6

e.

Los op:

a.

1

/3x − 4 = ½ (x − 2) + 5 −1/6 x = 8 x = − 48

c.

b.

1

d.

/4 (4x − 9) − ½ (5 + x) = x − 10 /2 x − 43/4 = x – 10 − ½ x = 51/4 x = −10½ 1

x2− 16x + 64 (x – 8)2 x3 − 25x x(x2 – 25) x(x + 5)(x – 5) a2b3 − 4a5b7 a2b3(1 – 4a3b4)

9x − 20(x + 5) > 8(3x − 6) −11x – 100 > 24x – 48 –35x > 52 x < − 52/35 x < −117/35 ¼ x − 1/5(x + 10) < ½ (x − 6) 1 /20 x –2 < ½ x – 3 –9/20 x < – 1 x > 22/9

50

Opgave 5.7


a. x2 = 4x x2 − 4x = 0 x(x − 4) = 0 x=0vx=4

e.

b. x2 +12= 28 x2 = 16 x = 4 v x = −4

f.

c. x2 + 3x = −2 x2 + 3x + 2 = 0 (x + 1)(x + 2) = 0 x = −1 v x = −2

g.

x(x+ 2) = 2(2 − ½ x) x2 + 2x = 4 − x x2 + 3x − 4 = 0 (x + 4)(x − 1) = 0 x = −4 v x = 1 ½a2 = 15a a2 = 30a a2 − 30a = 0 a(a − 30) = 0 a = 0 v a = 30 p2 = 117 p = 117 ∨ p = − 117

Opgave 5.8 a. b. c. d. e. f.

2 x 2+x =1 + = x+2 x+2 x+2 1 2 x +1 2x x + 1 − 2x − x +1 − = − = = x x + 1 x( x + 1) x( x + 1) x( x + 1) x( x + 1) 3 2 3x 2( x − 1) 3 x − 2x + 2 x+2 − = − = = x − 1 x x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) 4 4 4( x − 1) 4( x − 1) 4x − 4 + 4x + 4 8x + = + = = x + 1 x − 1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) 10 y 2y 2 10 y x 10 xy 5x = ⋅ 2 = = : 2 2x + 1 x 2x + 1 2y 2y (2x + 1) y(2x + 1) 5 3x + 6 5(3 x + 6) 15( x + 2) 5( x + 2) = = = . 6x + 9 7x 7 x( 6 x + 9 ) 21( 2x + 3) 7( 2x + 3 )

51

Opgave 5.9 a. –(x – 2)(x – 3) < –20 1)

y1 = –(x – 2)(x – 3) y2 = –20

2)

[–5,10] x [–25,10]

3)

snijden:

4)

–(x – 2)(x – 3) < –20 geeft x < –2 v x > 7 y1 < y2

–(x – 2)(x – 3) = –20 –(x2 – 3x – 2x + 6) = –20 –x2 + 3x + 2x – 6 = –20 –x2 + 5x + 14 = 0 x2 – 5x – 14 = 0 (x – 7)(x + 2) = 0 x = 7 v x = –2

b. (x + 6)2 < 25

c.

exact

exact

1)

y1 = (x + 6)2 y2 = 25

2)

[–15,5] x [0,30]

3)

snijden

4)

(x + 6)2 < 25 geeft y1 < y2

(x + 6)2 = 25 x + 6 = –5 v x + 6 = 5 x = –11 v x = –1

½ x2 > 2x + 9

–11 < x < –1 op 1 decimaal

1)

y1 = ½ x2 y2 = 2x + 9

2)

[–5,10] x [0,30]

3)

snijden

4)

½ x2 > 2x + 9 geeft y1 > y2

½ x2 > 2x + 9 Calc intersect x ≈ –2,7 en y ≈ 3,6 x ≈ 6,7 en y ≈ 22,4 x < –2,7 v x > 6,7

52

d. –3x + 1 < –2x2

exact

1)

y1 = –3x + 1 y2 = –2x2

2)

[–0,5 ; 1,5] x [–2,5 ; 0,5]

3)

snijden

4)

–3x + 1 < –2x2 y1 < y2

–3x + 1 = –2x2 2x2 – 3x + 1 = 0 a = 2 b = –3 c = 1 D=9–4·2·1=1 3 −1 1 3 +1 = =1 v x= x= 4 2 4

geeft

1 <x<1 2

53

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Recommend Documents