taal en rekenen
4
Rekenen op taal vaktaal en schooltaal in de reken-wiskundeles Er zit meer taal in de rekenles dan je op het eerste gezicht zou denken. Leerlingen hebben taal nodig bij het lezen en begrijpen van teksten in de methode of toetsen en om te begrijpen wat de leraar en andere leerlingen zeggen. Leerlingen hebben ook taal nodig om mee te kunnen praten in de rekenles en bij het oplossen van opgaven. Dolly van Eerde wijst op de noodzaak van het ontwikkelen van de benodigde taal voor rekenen-wiskunde. Tekst Dolly van Eerde De auteur is verbonden aan het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht
aandacht voor taal in de rekenwiskundeles? Taal is het belangrijkste middel bij onderwijzen en leren, ook in het reken-wiskundeonderwijs. Rekenen-wiskunde heeft een eigen vaktaal die in de loop der tijd in samenhang met het vak is ontwikkeld. Vak en taal horen onlosmakelijk bij elkaar. Maar besteden we wel voldoende aandacht aan het ontwikkelen van die taal? Uit onderzoek blijkt dat daar nog een taak ligt. Sara begrijpt niet wat haar meester bedoelt als hij zegt dat de verhouding van limonadesiroop en water 1 staat tot 5 is.
De juf van Stef legt uit dat je het antwoord van een deelsom kunt afleiden uit een keersom. Stef denkt eraan dat de juf soms zegt dat hij andere kinderen niet mag afleiden, maar begrijpt niet wat de juf nu met afleiden bedoelt. Leraren en leerlingen zijn zich vaak niet bewust van de aard van taalproblemen bij rekenenwiskunde en onderschatten de problematiek (Van den Boer, 2003). Verder wordt er weinig aandacht besteed aan de ontwikkeling van vaktaal, waardoor leerlingen moeite hebben om teksten in de methode te begrijpen en in de reken-wiskundeles te formuleren (Prenger, 2005). Bovendien gebruiken leraren zelf weinig vaktaal en ondersteunen ze hun leerlingen niet om vaktaal te ontwikkelen (Van Eerde, 2009). Deze onderzoeken laten zien dat het nodig is om aandacht te besteden aan taal in de rekenles.
Onderzoek laat zien dat: • leerlingen meer ondersteuning nodig hebben bij het verkennen en begrijpen van teksten en contexten in methoden; • leerlingen meer gelegenheid moeten krijgen om te praten en schrijven in de rekenwiskundeles • meer aandacht nodig is voor de ontwikkeling van de voor reken-wiskundeonderwijs vereiste taalvaardigheden. 1. Conclusies van onderzoek naar aandacht voor taal in de reken-wiskundeles
welke taal hebben leerlingen nodig in de reken-wiskundeles? Op school wordt een andere taal gebruikt dan buiten school. Schooltaal is formeler, complexer en abstracter. Binnen deze schooltaal kunnen we specifieke vaktaal en algemene schooltaal onderscheiden. Vaktaal omvat specifieke begrippen en formuleringen die bij een bepaald vak horen. Schooltaal is taal die bij verschillende vakken wordt gebruikt. Die schoolse taal omvat niet alleen andere woorden dan onze dagelijkse taal, maar ook andere formuleringen. Daarnaast komen in contexten allerlei begrippen uit de dagelijkse taal voor. • Voorbeelden van begrippen: • Vaktaal: evenveel, honderdtallen, tabel, noemer. • Schooltaal: toename, geleidelijk, weergeven, verband. • Dagelijkse taal: parket, ingrediënten, goederen, kratten.
• Voorbeelden van formuleringen: • Bij tijd: Om de drie uur. Elke drie uur. Tussen de middag. Om middernacht. • Bij vermenigvuldigen: Als je het ene getal verdubbelt, moet je het andere halveren. • Bij verhoudingen: Eén op de vier. Eén per vier. Eén staat tot vier.
Leerlingen hebben zowel specifieke vaktaal als algemene schooltaal nodig in de reken-wiskundeles. © 2015 Koninklijke Van Gorcum
Volgens Bartjens jaargang 35 2015/2016 Nummer 1
In reken-wiskundemethoden zien we vaak een combinatie van tekst, wiskundige symbolen, modellen en diagrammen. Het vraagt heel wat van leerlingen om deze gegevens in samenhang met elkaar te interpreteren.
2. Een combinatie van taal, symbolen en model. Bron: Alles telt! 8a. blz. 96 opgave 3
In de opgave in afbeelding 2 zien we bijvoorbeeld: • Tekst: Vaktaal: per km², × 1000, hoeveel? Schooltaal: vestiging, vertrek, bevolking, bevolkingsaantal, dichtstbevolkt, provincie, neemt toe/af. • Wiskundige symbolen: km², 14,1 (diverse kommagetallen), in 1 jaar, × 1000. • Een wiskundig model: een tabel
Kortom, leerlingen hebben zowel specifieke vaktaal als algemene schooltaal nodig in de rekenwiskundeles. Waarvoor hebben leerlingen taal nodig in de reken-wiskundeles? Leerlingen hebben taal nodig voor het begrijpen van: • Geschreven taal in methoden, toetsen en op websites. • Mondelinge taal; begrijpen wat de leraar zegt en wat de andere leerlingen zeggen.
Leerlingen hebben taal nodig om te kunnen spreken en schrijven: • Spreken: meepraten in de reken-wiskundeles. • Schrijven: bijvoorbeeld hoe de leerling een opgave heeft opgelost.
begrijpen van schriftelijke taal Laten we eens door de ogen van leerlingen naar het probleem kijken in afbeelding 2. Wat moeten
Volgens Bartjens jaargang 35 2015/2016 Nummer 1
© 2015 Koninklijke Van Gorcum
leerlingen hier allemaal begrijpen en wat vinden ze mogelijk lastig? In de tekst van de opgave in afbeelding 2 zien we vaktaal: per km², het woordje ‘per’ kan lastig zijn. Het is de vraag of alle leerlingen de schooltaal begrippen zoals: vestiging en het bevolkingsaantal kennen. En begrijpen ze wat met ‘× 1000’ wordt bedoeld? Verder is de formulering van vraag D lastig: ‘In welke provincie is het bevolkingsaantal in 1 jaar het sterkst gedaald?’ Deze zin omvat veel informatie die compact is geformuleerd. Naast het juist interpreteren van deze talige gegevens moeten de leerlingen ook de informatie in de tabel begrijpen om de vragen te kunnen beantwoorden. Kortom, we verwachten dat leerlingen heel wat taal begrijpen en deze in samenhang met andere gegevens interpreteren, zonder dat we controleren of dit daadwerkelijk het geval is. Iedere leraar weet dat leerlingen meestal snel aan het rekenen gaan zonder precies te lezen wat er staat. Het is echter mogelijk om leerlingen te leren om eerst alle gegevens in een probleem te lezen en te interpreteren voordat ze gaan rekenen (zie Boonen, 2014; Borghouts, 2011 en zie ook het artikel op pagina 27 van deze Volgens Bartjens).
begrijpen van mondelinge taal Mondelinge taal kan net als schriftelijke taal moeilijk te begrijpen zijn voor leerlingen. De volgende voorbeelden van vragen van de leraar zijn mogelijk niet direct te begrijpen door iedere leerling. Probeer er eens naar te kijken door de ogen van een leerling.
‘Hoe vaak gaat 15 op de 345?’ ‘Maak de getallen twee keer zo klein en controleer je antwoord’. ‘Hoeveel schelen de prijzen? ‘Procenten kun je uitdrukken in een breuk’. Realiseren we ons voldoende dat het nodig is om te controleren of leerlingen dergelijke formuleringen begrijpen? Het kan leerzaam zijn om eens een stukje van een eigen les op te nemen. Bij het afluisteren worden we ons ervan bewust wat we zeggen, welke vaktaal en schooltaal we gebruiken en in hoeverre onze formuleringen helder zijn.
spreken en schrijven in de rekenles Taal is ook nodig om te spreken en schrijven in de reken/wiskundeles. Leerlingen hebben bijvoorbeeld specifieke vaktaal en algemene schooltaal nodig om uit te kunnen leggen hoe ze een bepaalde opgave hebben opgelost. Leerlingen hebben vaak moeite om hun denken helder te verwoorden.
LK: Vertel eens hoe je 24-16 hebt uitgerekend?’ LL: ‘Doe ik 24 eraf 10. Die 6 van die 4 is 2, dan nog van die 10, is 8.’
5
6
De leerkracht begrijpt vermoedelijk wel wat de leerling bedoelt, maar begrijpen de andere leerlingen het ook?
Spreken in heldere taal, vinden veel leerlingen al moeilijk, maar schrijven is nog veel lastiger. Een paar voorbeelden van wat kinderen opschrijven bij de opdracht ‘ Schrijf op, hoe bereken je 25% van iets? • ‘Eerst door honderd en dan keer doen.’ • ‘Doe ik eerste van de helft. Dan nog eens. Dan een kwartier, dat is het antwoord.’ • ‘Eerst honderd in twee stukjes en dan weer.’ Als leraar begrijp je wel wat de leerlingen bedoelen maar deze formuleringen zijn voor verbetering vatbaar.
hoe kunnen leerlingen de benodigde taal ontwikkelen? In taalgericht vakonderwijs (Hajer & Meestringa, 2015) wordt tijdens de vakles de taal ontwikkeld die nodig is om de vakinhoud te leren. In taalgericht vakonderwijs gaat het erom dat leraren:
• Contexten en teksten begrijpelijk maken: taalaanbod begrijpelijk maken. • Mogelijkheden geven om te praten en te schrijven: taalproductie stimuleren • De ontwikkeling van relevante taal ondersteunen: taalsteun geven.
fragment laat zien wat een leraar doet om het begrip korting voor de leerlingen te verhelderen. Lk Hier zie je aanbiedingen van ETOS. Je krijgt 25% korting. Wat betekent korting? L1. Korting op spulletjes….. L2 Reclame…. Korting. Lk. En 25% korting wat betekent dat? L3 Een vierde van het product dat een aanbieding is. Moet je een vierde deel betalen. L4 Korting betekent minder geld. Lk Ja heel geel goed als je korting krijgt, betaal je minder Het is goedkoper. Dus als je 25% korting hebt hoeveel betaal je dan minder? L5 Een kwart is 25%. Lk En wat doe je met die kwart? L6 Die gaat eraf en dan houd je drie kwart over. Lk Ja, je betaalt 25% minder, dat is een kwart. En je betaalt dus drie kwart van de prijs. Zo’n kort gesprek voorkomt onnodige fouten en maakt leerlingen ervan bewust dat het belangrijk is om te begrijpen wat er in een opgave staat. De leraar kan het gebruik van vaktaal en schooltaal ondersteunen door relevante begrippen tijdens de les op het smartboard te noteren. Door tijdens de les naar de lijst te wijzen kan de leerkracht leerlingen ondersteunen om vaktaal en schooltaal te gebruiken.
3. Relevante woorden tijdens de les op het smartboard noteren.
Deze algemene principes zijn de afgelopen jaren uitgewerkt voor diverse onderwerpen uit het reken-wiskundeonderwijs (zie bijvoorbeeld Wisbaak; van Eerde, 2009, 2013). Recent onderzoek van Smit (2013, 2014) laat onder meer zien hoe leerkrachten hun leerlingen kunnen ondersteunen om de voor rekenen-wiskunde benodigde taal te ontwikkelen (zie ook het artikel op pagina 34 van deze Volgens Bartjens).
contexten en teksten begrijpelijk maken Voor het ontwikkelen van nieuwe begrippen volstaat het niet om alleen de betekenis van zo’n begrip te geven. Beter is het om op een interactieve manier de betekenis van een begrip te verkennen. Dit kan eenvoudig met een woordspin, door bijvoorbeeld het woord procent in het midden van het smartboard te schrijven en te vragen ‘Wat weet je al van procenten?’ Of: ‘Waar denk je aan bij procenten?’ Noteer rond het woord procenten alle woorden die de leerlingen noemen en laat ze daarover vertellen. Zo krijgt het woord betekenis en wordt ook zichtbaar wat de kinderen al van het begrip weten. Deze activiteit kan ook individueel of in groepjes gedaan worden. Een korte bespreking van een woord in een context kan soms nuttig zijn. Het volgende
Als leraar begrijp je wel wat de leerlingen bedoelen, maar hun formuleringen zijn vaak voor verbetering vatbaar © 2015 Koninklijke Van Gorcum
Volgens Bartjens jaargang 35 2015/2016 Nummer 1
stimuleren en ondersteunen van mondeling taalgebruik Het is belangrijk dat leerlingen praten en schrijven in de reken-wiskundeles om nieuwe woorden, begrippen en formuleringen te leren gebruiken. Een voorwaarde hiervoor is een veilig pedagogisch klimaat. Het gaat erom dat ook leerlingen die liever hun mond houden omdat ze onzeker zijn over hun eigen taalvaardigheid meepraten. Het geven van denktijd kan leerlingen helpen hun gedachten te formuleren. En groepswerk biedt leerlingen de kans te oefenen hoe ze iets onder woorden kunnen brengen. Net als bij rekenen-wiskunde is het ook bij het leren van begrippen niet verstandig deze direct op een formeel niveau aan te bieden. Het is beter om aan te sluiten bij de informele taal van leerlingen en niet af te keuren of direct te verbeteren wat zij zeggen. Geef hen taalsteun om een brug te slaan naar de meer formele taal. Technieken voor taalsteun bij mondeling formuleren zijn:
• Non verbaal reageren. Door bijvoorbeeld te ‘ hummen’ of te knikken bied je de leerling de ruimte om zijn verhaal te doen. • Letterlijk herhalen wat de leerling heeft gezegd. Het herhalen van een goede formulering zorgt ervoor dat ook de andere leerlingen dit horen. Het herhalen van een minder goede formulering kan de leerling bewust maken van wat hij gezegd heeft en biedt hem de kans dit te herformuleren. • Herformuleren: Vaak zeggen leerlingen iets dat al een eindje in de goede richting is. Door dit enigszins te herformuleren kan men verbeteren wat de leerling heeft gezegd. • Een leerling laten herhalen wat een andere leerling heeft gezegd. Dit bevordert dat leerlingen actief naar elkaar luisteren en daagt hen uit om zelf goed te formuleren. • Leerlingen eraan herinneren om rekentaal te gebruiken.
stimuleren en ondersteunen van schriftelijk taalgebruik In Nederland hebben we geen schrijfcultuur in de rekenles, het schrijven beperkt zich vaak tot het noteren van de antwoorden op opgaven in cijfers. Maar schrijven ondersteunt de taalontwikkeling. Mondelinge taal is vluchtig maar geschreven taal is concreet, je kunt erover praten. De leerkracht kan leerlingen bijvoorbeeld de oplossing van een opgave ook in woorden op laten opschrijven. Leerlingen kunnen hun eigen tekst lezen, nagaan of het duidelijk is wat er staat en deze zo nodig verbeteren. De volgende schrijfopdracht is eenvoudig en voor alle leerjaren geschikt: Schrijf drie woorden op die belangrijk waren in de les. Leg uit wat ieder woord betekent. Geef je uitleg in woorden. Je mag er ook een schema of tekening Volgens Bartjens jaargang 35 2015/2016 Nummer 1
bij maken. Een alternatief is om zelf drie woorden aan te bieden die omschreven moeten worden.
De leerkracht kan leerlingen een verhaaltje laten schrijven bij een som en andersom. Of de leerlingen zelf een verhaaltje laten bedenken en de goede som erbij laten zetten. Bij schrijfopdrachten kunnen we kinderen op allerlei manieren taalsteun geven om ze op weg te helpen. Dit kan bijvoorbeeld door: • De structuur te geven voor het schrijven over een oplossing.. Eerst… daarna… daarna… daarna… • Het begin van een zin te formuleren: Ik heb op de getallenlijn eerst de … opgeteld door een sprong te maken van … Daarna heb ik …. • Het geven van argumenten kan worden ondersteund door de volgende formulering: Ik denk dat… omdat…
Ook kan men opdrachten ontwerpen waarin leerlingen ontbrekende woorden in zinnen moeten invullen zoals het voorbeeld in afbeelding 4. Zelf de juiste woorden invullen. 25 % van de mensen heeft krullend haar. Dat is … … van de mensen. Op een verkeersbord staat Utrecht 8,5 km. Dit betekent: … Als je verf met water moet mengen in een verhouding van 1: 4 bedoelen ze … Als je een pizza in vier stukken verdeelt, noem je één stuk … Antonia is 1.68 m lang . Dan zeg je is Antonia is … (Uit: Wisbaak)
4. Voorbeeld van een schrijfkader
Geschreven teksten hebben ook een diagnostische functie. Uit wat leerlingen schrijven wordt snel zichtbaar wat elke leerling individueel al weet en hoe hij/zij dit kan verwoorden. Geschreven teksten kunnen ook besproken en zo nodig herschreven worden. Dit kost veel tijd kost maar blijkt zeer leerzaam (Smit, 2014).
tot slot Aandacht voor de ontwikkeling van relevante taal in de reken-wiskundeles is nodig voor alle leerlingen. Dat geldt des temeer voor taalzwakke leerlingen. Leraren die tijdens de rekenles aandacht besteden aan de ontwikkeling van de relevante (vak)taal, bieden hun leerlingen daadwerkelijk toegang tot het vak en meer kans om inzichtelijk te leren rekenen. Daarbij kunnen sociale normen over taal worden ontwikkeld, zoals bijvoorbeeld: we stellen vragen over woorden die we niet begrijpen, we luisteren naar hoe iemand iets verwoordt en we proberen rekentaal te gebruiken. Een veilig pedagogisch klimaat waarin © 2015 Koninklijke Van Gorcum
7
8
Bij het introduceren van nieuwe begrippen volstaat het niet om alleen de betekenis van zo’n begrip te geven. leerlingen durven te praten en te schrijven is natuurlijk een voorwaarde voor dit alles.
Voor een schoolbrede aanpak is het nodig om met het team taalbeleid te ontwikkelen. Door te werken aan bewustwording bij leraren en leerlingen van de rol van taal en te starten met een paar eenvoudige talige activiteiten dichtbij de methode, kan er al een omslag in gang gezet worden.
Literatuur Boer, C.J.E.M. van den (2003). Als je begrijpt wat ik bedoel: Een zoektocht naar verklaringen voor achterblijvende prestaties van allochtone leerlingen in het Wiskundeonderwijs. Utrecht: CDBeta Press. Boonen, A. (2014). Begrijpen, verbeelden en berekenen. Volgens Bartjens, 33, (3), 25-27. Borghouts, C. (2011). De vertaalcirkel. Werken aan begrip en inzicht bij (zwakke) rekenaars. Volgens Bartjens, 31, (2), 8-11. Eerde, H.A.A. van (2009). Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo. Panamapost. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 28(3), 19-32. Eerde, H.A.A. van (2013). Lesmateriaal ontwikkelen voor taalontwikkeling in de reken-wiskundeles. M. van Zanten (Ed), Rekenen-wiskunde op Niveau (pp 137-151), Utrecht: Freudenthal Instituut. Hajer, M. & T. Meestringa (2015). Handboek Taalgericht Vakonderwijs (3de druk). Bussum: Coutinho. Prenger, J. (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskundeonderwijs. Groningen: Dissertations in Linguistics. Den Haag: Textcetera). Zie: http://www.let.rug.nl/~prenger/proefschrift. Smit, J. (2013). Scaffolding language in multilingual mathematics classrooms. Utrecht: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education, Faculty of Science, Utrecht University. Smit, J. (2014). En nu in rekentaal! -Talige ondersteuning bieden in een meertalige klas. Panamapost. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling en praktijk, (33), 18-123. Wisbaak, www.fisme.science.uu.nl/wisbaak.
Bewijs uit het Reken-taalbegrip gerijmde Jaap van Lakerveld
Er zijn er die niet naar rekenen talen Er zijn er die juist voor taal zouden tekenen Er zijn er die niet op taal kunnen rekenen En daardoor helaas in het rekenen falen Ze begrijpen niet wat sommen betekenen Zodat ze steeds slechte cijfers halen En de tol voor hun taaltekorten betalen. Omdat ze zich telkens deerlijk misrekenen
En reken maar dat die kinderen balen Hun rekenwerk levert hun geen resultaten Zodat ze het rekenen langzaam gaan haten En steeds meer gaan voelen voor tekst en voor talen Maar zo leren ze vraagstukken beter doorzien, Met alle gewenste gevolgen van dien
© 2015 Koninklijke Van Gorcum
Volgens Bartjens jaargang 35 2015/2016 Nummer 1
