M´ ody syst´ emu Teorie dynamick´ ych syst´em˚ u
Obsah ´ 1 Uvod
1
2 Pˇ r´ıklady
2
3 Dom´ ac´ı u ´ lohy
8
Reference
1
10
´ Uvod
ˇ sen´ı stavov´ Reˇ ych rovnic Pˇredpokl´adejme stavov´ y popis spojit´eho, respektive diskr´etn´ıho syst´emu x(t) ˙ = Ax(t)+Bu(t) x(t0 ) = x0
x(k+1) = M x(k)+N u(k) x(k0 ) = x0
y(t) = Cx(t)+Du(t) ,
y(k) = Cx(k)+ Du(k) ,
(1)
kde vektor u m´a rozmˇer r, x m´a rozmˇer n, y m´a rozmˇer m, matice A respektive M m´a rozmˇer (n × n), B respektive N m´a rozmˇer (n × r), C m´a rozmˇer (m × n) a D m´a rozmˇer (m × r). ˇ sen´ı stavov´ych rovnic – spojit´eho syst´emu (1) ? Reˇ x(t) = eA(t − t0 ) x(t0 ) + eAt
Zt
e−Aτ Bu(τ )dτ .
(2)
t0
Pr˚ ubˇeh v´ ystupu z´ısk´ame dosazen´ım ˇreˇsen´ı stavov´e rovnice (2) do v´ ystupn´ı rovnice spojit´eho syst´emu (1). ? M´ ody spojit´eho syst´emu – ˇreˇs´ıme-li nejprve homogenn´ı maticovou diferenci´aln´ı rovnici x(t) ˙ = Ax(t) s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou x(t0 ) = x0 , pak m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı zapsat ve tvaru x(t) =
n X
αi r i eλi t ,
(3)
i=1
kde λi jsou vlastn´ı ˇc´ısla matice A a r i jsou prav´e vlastn´ı vektory matice A odpov´ıdaj´ıc´ı ˇ vlastn´ım ˇc´ısl˚ um λi . Cleny r i eλi t v souˇctu (3) se naz´ yvaj´ı m´ody syst´emu. 1
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
2
? Dominantn´ı m´od spojit´eho syst´emu – je takov´ y m´od r i eλi t , jehoˇz vlastn´ı ˇc´ıslo m´a nejvˇetˇs´ı re´alnou ˇca´st. Je zˇrejm´e, ˇze pro t → ∞ se ˇreˇsen´ı stavov´e rovnice syst´emu bl´ıˇz´ı dominantn´ımu m´odu. ˇ sen´ı stavov´ych rovnic – diskr´etn´ıho syst´emu (1) ? Reˇ x(k) = M
k−k0
x(k0 ) +
k−1 X
M k−i−1 N u(i) .
(4)
i=k0
Pr˚ ubˇeh v´ ystupu z´ısk´ame dosazen´ım ˇreˇsen´ı stavov´e rovnice (4) do v´ ystupn´ı rovnice diskr´etn´ıho syst´emu (1). ? M´ ody diskr´etn´ıho syst´emu – ˇreˇs´ıme-li nejprve homogenn´ı maticovou diferenˇcn´ı rovnici syst´emu x(k + 1) = M x(k) s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou x(k0 ) = x0 , pak m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı zapsat ve tvaru x(k) =
n X
αi r i λki ,
(5)
i=1
kde λi jsou vlastn´ı ˇc´ısla matice M a r i jsou prav´e vlastn´ı vektory matice M odpov´ıdaj´ıc´ı ˇ vlastn´ım ˇc´ısl˚ um λi . Cleny r i λki v souˇctu (5) se naz´ yvaj´ı m´ody syst´emu. ? Dominantn´ı m´od diskr´etn´ıho syst´emu – je takov´ y m´od r i λki , jehoˇz vlastn´ı ˇc´ıslo m´a nejvˇetˇs´ı absolutn´ı hodnotu. Je opˇet zˇrejm´e, ˇze pro t → ∞ se ˇreˇsen´ı stavov´e rovnice syst´emu bl´ıˇz´ı dominantn´ımu m´odu. Matice impulsn´ıch funkc´ı a matice impulsn´ıch posloupnost´ı G(t) = CeAt B + Dδ(t) = L−1 {G(s)} G(k) = CM k−1 N 1(k − 1) + Dδ(k) = Z −1 {G(z)}
2
(6)
Pˇ r´ıklady
Pˇ r´ıklad 2.1: Naleznˇete ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice popisuj´ıc´ı spojit´ y line´arn´ı stacion´arn´ı syst´em x(t) ˙ = a x(t) + b u(t) s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou x(t0 ) = x0 , kde a, b jsou re´aln´e konstanty a u(t) je libovoln´ y vstup syst´emu. Pot´e uvaˇzujte vstup u(t) = h
1
pro
t ≥ 0,
0
pro
t < 0.
a urˇcete x(t) pro t → ∞. Diskutujte zda je nutn´e zn´at poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku x0 , pokud chcete urˇcit x(t) pro t → ∞.
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
3
ˇ sen´ı: Budeme nejprve ˇreˇsit homogenn´ı rovnici syst´emu x(t) Reˇ ˙ = a x(t) s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou x(t0 ) = x0 . Obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto homogenn´ı rovnice lze zapsat ve tvaru x(t) = k e at , kde k je zat´ım bl´ıˇze neurˇcen´a konstanta. Toto ˇreˇsen´ı mus´ı b´ yt samozˇrejmˇe splnˇeno i pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou x(t0 ) = x0 x(t0 ) = k e at0 . Vyj´adˇreme-li pod´ıl x(t) a x(t0 ), z´ısk´ame ˇreˇsen´ı pro x(t) ve tvaru x(t) k e at = = e a(t − t0 ) at 0 x(t0 ) ke
x(t) = x0 e a(t − t0 ) .
=⇒
Nyn´ı budeme ˇreˇsit nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnici x(t) ˙ = a x(t) + b u(t). Pouˇzijeme metodu variac´ı konstant a m˚ uˇzeme ps´at x(t) = k(t) e a(t − t0 )
=⇒
˙ e a(t − t0 ) + k(t) a e a(t − t0 ) . x(t) ˙ = k(t)
Dosad´ıme-li do diferenci´aln´ı rovnice x(t) ˙ = a x(t) + b u(t), dostaneme ˙ e a(t − t0 ) + k(t) a e a(t − t0 ) = a k(t) e a(t − t0 ) + b u(t) . x(t) ˙ = k(t) Odtud plat´ı ˙ k(t) = e −a(t − t0 ) b u(t)
Zt =⇒
k(t) = k(t0 ) +
e −a(τ − t0 ) b u(τ ) dτ .
t0
Dosad´ıme-li vztah pro k(t) do rovnice pro x(t), z´ısk´ame Zt
x(t) = k(t0 ) e a(t − t0 ) + e a(t − t0 )
e −a(τ − t0 ) b u(τ ) dτ .
t0
Po dosazen´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku x(t0 ) = x0 do t´eto rovnice, dostaneme ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı diferenci´aln´ı rovnice x(t) = x0 e a(t − t0 ) + e at
Zt
e −aτ b u(τ ) dτ .
t0
Uvaˇzujeme-li vstup u podle zad´an´ı a poˇca´teˇcn´ı podm´ınku x0 v ˇcase t = 0, m˚ uˇzeme d´ale ps´at x(t) = x0 e at + e at
Zt 0
· ¸t ´ b ³ b −aτ at −aτ at at at = x0 e − . e dτ b = x0 e + e − e 1−e a a 0
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
4
Nyn´ı vyˇsetˇr´ıme ust´alenou hodnotu stavu x pro t → ∞. Pod´ıv´ame-li se na pˇredchoz´ı rovnici, zjist´ıme, ˇze pro a > 0 budou exponenciely divergovat. Naopak pro a < 0 budou exponenciely pro t → ∞ konvergovat k nule z ˇcehoˇz vypl´ yv´a, ˇze stav x bude konvergovat k hodnotˇe
b b x −→ − , pro a < 0 =⇒ x −→ . a |a| Protoˇze se jedn´a o line´arn´ı syst´em, plat´ı princip separace. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka tedy odezn´ı a nepotˇrebujeme ji pro urˇcen´ı ust´alen´e hodnoty stavu x zn´at. Jin´ ymi slovy, ust´alen´a hodnota stavu x na poˇca´teˇcn´ı podm´ınce nez´avis´ı. Pozdˇeji aˇz se budeme zab´ yvat stabilitou syst´emu, zjist´ıme, ˇze je zadan´ y syst´em asymptoticky stabiln´ı pr´avˇe pro a < 0. Pak m˚ uˇzeme pouˇz´ıt k urˇcen´ı ust´alen´e hodnoty x u ´vahu, ˇze v ust´alen´em stavu plat´ı x˙ = 0. Potom plat´ı 0 = a x(t)+ b u(t) pro t → ∞. Odtud opˇet vid´ıme k jak´e hodnotˇe stav x konverguje. Rozmyslete si jak to bude s ust´alenou hodnotou stavu x v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz bude a = 0. 2 Pˇ r´ıklad 2.2: Uvaˇzujte syst´em z pˇr´ıkladu 2.1. Naleznˇete ˇreˇsen´ı pro x(t) pomoc´ı Laplaceovy
transformace pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku x0 a pro stejn´ y vstupn´ı sign´al u(t) (jednotkov´ y skok) jehoˇz Laplace˚ uv obraz je
1 . s ˇ sen´ı: Nejprve provedeme Laplaceovu transofmaci zadan´e diferenci´aln´ı rovnice s poˇca´teˇcn´ı Reˇ U (s) =
podm´ınkou x0 s X(s) − x0 = a X(s) + b U (s) . Po vyj´adˇren´ı X(s) a dosazen´ı za U (s) z´ısk´ame 1 . s Provedeme-li zpˇetnou Laplaceovu transformaci tohoto v´ yrazu, obdrˇz´ıme samozˇrejmˇe stejn´e X(s) = (s − a)−1 x0 + (s − a)−1 b
ˇreˇsen´ı jako v pˇr´ıkladˇe 2.1
´ b ³ 1 − e at . a Nyn´ı vyˇsetˇr´ıme ust´alenou hodnotu stavu x pro t → ∞. Uvaˇzujeme pouze pˇr´ıpad, kdy x(t) = x0 e at −
a < 0. Z vˇet o limitˇe Laplaceovy transformace plat´ı ½ · ¸¾ b −1 −1 1 lim x(t) = lim s X(s) = lim s (s − a) x0 + (s − a) b =− . t→∞ s→0 s→0 s a 2 Pˇ r´ıklad 2.3: Uvaˇzujte syst´em z pˇr´ıkladu 2.1. Zvolte dvˇe kombinace konstant [a, b ] a vykreslete pr˚ ubˇehy x(t) pro r˚ uzn´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky x0 a pro vstup u(t) = h
1
pro
t ≥ 0,
0
pro
t < 0.
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
5
Ovˇeˇrte hodnoty x(t) pro t → ∞ s teoretick´ ym v´ ypoˇctem. ˇ sen´ı: Zvol´ıme konstanty Reˇ [ a; b ] = [−1; 1],
[ a; b ] = [−2; 1],
a vykresl´ıme pr˚ ubˇehy stavu x pro r˚ uzn´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky. Na obr. 1 jsou vykresleny pr˚ ubˇehy pro obˇe kombinace konstant a nulovou poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku. Na obr. 2 jsou tyto pr˚ ubˇehy vykresleny pro r˚ uzn´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky. Z tˇechto obr´azk˚ u vid´ıme, ˇze ust´alen´ y stav skuteˇcnˇe nez´avis´ı na poˇca´teˇcn´ı podm´ınce a ˇze odpov´ıd´a teoretick´ ym v´ ypoˇct˚ um. Stav systemu 1
0.8
x
0.6
0.4
0.2
a = −1, b = 1 a = −2, b = 1
0 0
1
2
3
4 Cas (s)
5
6
7
8
Obr´azek 1: Pr˚ ubˇeh stavu x pro [ a, b ] = [−1, 1], [ a, b ] = [−2, 1] a x0 = 0
Stav systemu
Stav systemu
1.2
0.6
1
0.5
0.8
0.4 x
0.7
x
1.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
x0 = 0 x =1 0 x = 1.4
x0 = 0 x = 0.5 0 x = 0.7
0
0 0
1
2
3
4 Cas (s)
5
6
(a) Konstanty a = −1, b = 1
7
0
8
0 0
1
2
3 Cas (s)
4
5
6
(b) Konstanty a = −2, b = 1
Obr´azek 2: Pr˚ ubˇeh stavu x pro r˚ uzn´e konstanty a, b a pro r˚ uzn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky 2
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
6
Pˇ r´ıklad 2.4: Uvaˇzujte spojit´ y line´arn´ı stacion´arn´ı autonomn´ı syst´em popsan´ y diferenci´aln´ı rovnic´ı
" x(t) ˙ =
#
−1
0
0
−4
x(t)
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou x(t0 ) = x0 . Urˇcete hodnotu x(t) pro t → ∞ a naˇcrtnˇete stavov´ y portr´et tohoto syst´emu. ˇ sen´ı: Pod´ıvejme se nejprve bl´ıˇze na rovnici x(t) Reˇ ˙ = Ax(t). Matice A reprezentuje line´arn´ı oper´ator, kter´ y kaˇzd´emu vektoru x(t) pˇriˇrazuje teˇcn´ y vektor, tj. vektor, kter´ y ukazuje smˇer pˇr´ıˇst´ıho v´ yvoje stavov´e trajektorie. Pro prvn´ı odhad pr˚ ubˇehu stavov´e trajektorie pouˇzijeme spektrum matice (oper´atoru) A A = [-1, 0; 0 -4]; [lambda,r] = eig(A)
" λ1 = −4,
r1 =
0 1
#
" ,
λ2 = −1,
r2 =
1 0
# .
V´ıme, ˇze ve smˇeru vlastn´ıch vektor˚ u m´a oper´ator A pouze u ´ˇcinek zmˇeny velikosti (smˇer z˚ ust´av´a stejn´ y). Zvol´ıme-li poˇc´ateˇcn´ı vektor x(0) nˇekde ve smˇeru vlastn´ıch vektor˚ u, bude ve stejn´em smˇeru leˇzet i x(t) ˙ = Ax(t) pro vˇsechna t. Zaˇcneme tedy nakreslen´ım invariantn´ıch podprostor˚ u (pˇr´ımek) odpov´ıdaj´ıc´ım vlastn´ım vektor˚ um matice A. Protoˇze jsou obˇe vlastn´ı ˇc´ısla z´aporn´a, v´ıme, ˇze vˇsechny trajektorie p˚ ujdou s rostouc´ım ˇcasem k poˇc´atku souˇradnic. Pro mal´e ˇcasy se bude nejprve projevovat rychlejˇs´ı m´od (s vlastn´ım ˇc´ıslem λ1 = −4 a r 1 = [0 1]T ). S rostouc´ım ˇcasem bude pˇrevaˇzovat vliv dominantn´ıho m´odu (s vlastn´ım ˇc´ıslem λ2 = −1 a r 2 = [1 0]T ). Toto je patrn´e ze stavov´eho portr´etu na obr. 3. V Matlabu m˚ uˇzeme stavov´ y portr´et vykreslit takto stateportrait(’model stateportrait.mdl’);
kde ’model stateportrait.mdl’ je n´azev souboru se simulinkov´ ym modelem zadan´eho syst´emu. Funkci stateportrait.m si m˚ uˇzete st´ahnout na [2]. Tuto funkci lze vyuˇz´ıt i pro vykreslen´ı stavov´eho portr´etu neline´arn´ıho syst´emu. Na obr. 3 je tak´e zvl´aˇst’ vykreslena trajektorie stavu pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku " # 2 x(0) = . −2
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
7
Stavovy portret systemu 2.5 Procatecni podminka xinit = [2,−2] Prubeh stavu pro x = [2,−2] init
2 1.5 1
2
0.5 x
0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
2.5
1
Obr´azek 3: Stavov´ y portr´et syst´emu 2 Pˇ r´ıklad 2.5: Naleznˇete ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice na intervalu t ∈ h0, 1i popisuj´ıc´ı spojit´ y autonomn´ı line´arn´ı stacion´arn´ı syst´em
−3 −64 x(t) , x(t) ˙ = 1 − 3 4 kde x = [x1 , x2 ]T . Urˇcete poˇca´teˇcn´ı podm´ınku stavu x1 (0) tak, aby ˇreˇsen´ı vyhovovalo poˇca´teˇcn´ı, respektive koncov´e podm´ınce x2 (0) = 5, x2 (1) = 0. ˇ sen´ı: Vlastn´ı ˇc´ısla matice syst´emu jsou λ1,2 = ±5. Reˇ ˇ sen´ı m˚ Reˇ uˇzeme zapsat ve tvaru " # " # 32 −8 e5t + c2 e−5t x(t) = c1 1 1 Konstanty c1 a c2 urˇc´ıme z okrajov´ ych podm´ınek na stav x2 x2 (0) = 5 = c1 + c2 x2 (1) = 0 = c1 e5 + c2 e−5 . Odtud dostaneme c1 = −
5 , 10 e −1
c2 =
5 e10 . e10 − 1
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
8
Obecn´e ˇreˇsen´ı syst´emu tedy je 10 40 5t + 160 e e−5t , e e10 − 1 e10 − 1 5 5 e10 −5t x2 (t) = − 10 e5t + 10 e . e −1 e −1
x1 (t) =
Dosazen´ım do prvn´ı rovnice t = 0 urˇc´ıme poˇca´teˇcn´ı hodnotu stavu x1 (0) x1 (0) =
40 + 160e10 . e10 − 1
Ovˇeˇrte tento v´ ysledek simulac´ı syst´emu v Matlabu.
3
2
Dom´ ac´ı u ´ lohy
Pˇ r´ıklad 3.1: Urˇcete analytick´e ˇreˇsen´ı spojit´eho line´arn´ıho stacion´arn´ıho syst´emu x(t) ˙ = a x(t) + b u(t) s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou x(t0 ) = x0 , kde a, b jsou re´aln´e konstanty a u(t) je nez´avisl´ y vstup syst´emu. D´ale urˇcete odezvu syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky x(0) a pro vstupn´ı sign´al u typu skok v ˇcase t = 5s u(t) = h
2
pro
t ≥ 5,
0
pro
t < 5.
Vypoˇc´ıtejte ust´alenou hodnotu stavu x pro t → ∞ (pokud v˚ ubec existuje). Zvolte konstanty a, b a vykreslete pr˚ ubˇeh stavu x. Porovnejte v´ ysledky simulace s analytick´ ym ˇreˇsen´ım. D´ale urˇcete pˇrenos syst´emu a urˇcete jeho statick´e zes´ılen´ı. Diskutujte jeho souvislost s ust´alenou hodnotou stavu x. ˇ ste pˇr´ıklad 3.1 s uvaˇzov´an´ım vstupn´ıho sign´alu definovan´ Pˇ r´ıklad 3.2: Reˇ ym u(t) = h
1
pro
0
0 ≥ t ≥ 1, jinde .
Pˇ r´ıklad 3.3: U syst´emu z pˇr´ıkladu 3.1 zvolte dvˇe kombinace konstant [a, b ]. Proved’te diskretizaci tohoto syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e vhodnˇe zvolen´e periody vzorkov´an´ı a urˇcete odezvu syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky x0 a pro vstupn´ı sign´al u typu jednotkov´ y skok u(t) = h
1
pro
t ≥ 0,
0
pro
t < 0.
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
9
Pˇ r´ıklad 3.4: U syst´emu z pˇr´ıkladu 3.1 zvolte dvˇe kombinace konstant [a, b ]. Proved’te diskretizaci tohoto syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e vhodnˇe zvolen´e periody vzorkov´an´ı a urˇcete odezvu syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x0 a pro vstupn´ı sign´al u typu skok u(t) = h
2
pro
t ≥ 5,
0
pro
t < 5.
Pˇ r´ıklad 3.5: U syst´emu z pˇr´ıkladu 3.1 zvolte dvˇe kombinace konstant [a, b ]. Proved’te diskretizaci tohoto syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e vhodnˇe zvolen´e periody vzorkov´an´ı a urˇcete odezvu syst´emu pro dvˇe r˚ uzn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x0 a pro vstupn´ı sign´al u definovan´ y u(t) = h
1
pro
0
0 ≥ t ≥ 1, jinde .
Pˇ r´ıklad 3.6: Uvaˇzujte syst´em popsan´ y pˇrenosem G(s) =
Y (s) 1 = 2 . U (s) s + 3s + 2
Naleznˇete stavov´ y popis tohoto syst´emu a urˇcete jeho m´ody. Urˇcete kter´ y m´od je dominantn´ı. Naleznˇete analytick´ y vztah pro y(t) pomoc´ı ˇreˇsen´ı stavov´ ych rovnic. Vykreslete odezvu tohoto syst´emu na jednotkov´ y skok u(t) = h
1
pro
t ≥ 0,
0
pro
t<0
a porovnejte ji s analytick´ ym ˇreˇsen´ım. Pˇ r´ıklad 3.7: Urˇcete m´ody autonomn´ıch syst´em˚ u popsan´ ych stavov´ ymi rovnicemi " # " # −2 −1 −2 0 x(t) ˙ = x(t) , x(t) ˙ = x(t) −2 −3 0 1 a naˇcrtnˇete jeho stavov´ y portr´et. Diskutujte jak se jednotliv´e m´ody projevuj´ı v ˇcase. Pˇ r´ıklad 3.8: Urˇcete m´ody autonomn´ıch syst´em˚ u popsan´ ych stavov´ ymi rovnicemi " # " # −3 −2 −1 1 x(t) ˙ = x(t) , x(t) ˙ = x(t) 2 −2 −1 −3 a naˇcrtnˇete jeho stavov´ y portr´et. Diskutujte jak se jednotliv´e m´ody projevuj´ı v ˇcase. Pˇ r´ıklad 3.9: Urˇcete m´ody autonomn´ıch syst´em˚ u popsan´ ych stavov´ ymi rovnicemi # # " " 2 −3 −2 1 x(t) x(t) , x(t) ˙ = x(t) ˙ = 6 −4 0 −2 a naˇcrtnˇete jeho stavov´ y portr´et. Diskutujte jak se jednotliv´e m´ody projevuj´ı v ˇcase.
´ ´ U ˚ – M´ody syst´emu TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
10
Pˇ r´ıklad 3.10: Naˇcrtnˇete stavov´ y portr´et neline´arn´ıho syst´emu (popisoj´ıc´ıho v´ yvoj populace dravc˚ u x1 a obˇet´ı x2 v uzavˇren´em prostoru) x˙ 1 (t) = −x1 + 0,01 x1 x2 , x˙ 2 (t) =
x2 − 0,01 x1 x2 .
Naleznˇete rovnov´aˇzn´e body tohoto syst´emu a proved’te v nich linearizaci. Porovnejte stavov´e portr´ety neline´arn´ıho a linearizovan´eho syst´emu.
Reference ˇ [1] Stecha, J. a Havlena, V.; Teorie dynamick´ych syst´em˚ u. Praha: Vydavatelstn´ı ˇ CVUT, 1999. ´k, Z. a Hromc ˇ´ık, M.; Teorie dynamick´ych syst´em˚ [2] Roubal, J., Hura u [online]. Posledn´ı revize 2006-03-01 [cit. 2006-03-01], hhttp://dce.felk.cvut.cz/tds/i.
