REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5. přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny jinými jevy nebo veličinami, se dá popsat pomocí funkce. Někdy je jednoduché takovou funkci sestavit. Snadno například dokážeme určit přírustek našich úspor ve spořitelně v závislosti na době spoření, pokud známe úrokovou míru. Nebo dokážeme zjistit, jakou dráhu urazí automobil jedoucí známou rychlostí v závislosti na tom jak dlouho jede. Jindy je naopak skoro nemožné přijít na to, jak taková funkce vypadá, neboť nemáme dostatek informací o parametrech, které do jejího zápisu vstupují. Závisí-li zkoumaný jev na jediné veličině, jejíž hodnoty jsou reálné, hovoříme o funkci jedné reálné proměnné. Funkce se užívají především v technických, přírodních, ekonomických i jiných (např. humanitních) vědách, občas i v běžném životě. POJEM FUNKCE
Nechť D a H jsou dvě neprázdné množiny. Je-li každému prvku x Î D přiřazen právě jeden prvek y Î H , je definováno zobrazení množiny D do množiny H . Jsou-li přitom vyčerpány všechny prvky množiny H , jde o zobrazení množiny D na množinu H . Nechť je dáno zobrazení f číselné množiny D Ì R na číselnou množinu H Ì R . Zobrazení f nazveme funkcí jedné reálné proměnné (ústřední pojem matematické analýzy), přičemž D nazýváme definičním oborem funkce f a H oborem hodnot funkce f. Proměnnou x nazýváme nezávisle proměnnou, případně argumentem funkce f , y pak závislou proměnnou. Způsoby zadávání funkce: a)výrokovou formou; b) tabulkou; c) grafem. Je - li funkce zadána výrokovou formou, pak výroková forma může mít tvar rovnice nebo slovního vyjádření. Většinou se používá zápisu: a) explicitního: y = f ( x) , x Î D; b) implicitního: F ( x, y ) = 0 , y ³ 0; c) parametrickými rovnicemi: x = f (t); y = j (t), t Î < t1; t2 >. Grafem funkce nazveme množinu všech uspořádaných dvojic [x, f ( x)] , kde xÎD a f(x)ÎH. U reálných funkcí jedné proměnné hraje grafické znázornění funkce velkou roli. To souvisí s geometrickou interpretací pojmu uspořádaná dvojice, kartézský součin atd. Geometricky lze uspořádanou dvojici (x,y) chápat jako bod o souřadnicích x a y. Libovolnou množinu uspořádaných dvojic lze pak geometricky chápat jako množinu bodů v rovině. Aby množina v rovině byla grafem funkce, nesmí množina obsahovat body tvaru (x, y1), (x, y2), y1≠ y2, tj. body, které leží nad sebou.
1
Definiční obor funkce D(f) Je-li určen jen funkční předpis bez definičního oboru (množina všech přípustných hodnot argumentu x), je definičním oborem maximální množina, pro kterou má předpis "smysl". Např. y = x + 2 .Tento výraz má smysl pro x + 2 ³ 0, tedy x ³ -2, tj. D(f) = < 2;¥). Při určování definičního oboru se řídíme vlastnostmi, které podmiňují reálnou hodnotu funkce. 1) Ve zlomku musí být jmenovatel různý od nuly. 2) Sudá odmocnina je definována jen pro nezáporná čísla. 3) Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla. 4) Cyklometrické funkce arcsin(x) a arccos(x) jsou definovány jen pro x Î< -1; 1>. Některé vlastnosti funkcí: Pro funkce monotónní v D platí pro "x1 Î D, "x2 Î D , že · f je rostoucí v D Û x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) , · f je klesající v D Û x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) , · f je neklesající v D Û x1 < x2 Þ f ( x1 ) £ f ( x2 ) , · f je nerostoucí v D Û x1 < x2 Þ f ( x1 ) ³ f ( x2 ) . Je-li funkce rostoucí nebo klesající, říkáme, že je ryze monotónní. Zřejmě každá rostoucí funkce je i neklesající a každá klesající je i nerostoucí. Opak ale neplatí (monotónní funkce mohou být na některém intervalu konstantní). Funkce f je shora resp. zdola ohraničená v D, existuje-li číslo K1 resp. K 2 takové, že pro všechna x Î D platí f ( x) £ K1 , resp. f ( x) ³ K 2 . Funkce je ohraničená, je-li současně ohraničená zdola i shora, tzn.
$K Î R, "x Î D : f ( x) < K . Nejmenší horní ohraničení f ( x) označíme sup f(x) na D (supremum), největší dolní ohraničení f ( x) označíme inf f(x) na D (infimum). Funkce f je prostá v D Û "( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) Î f :( x1 ¹ x 2 Þ y1 ¹ y 2 ) Všimněme si, že každá ryze monotónní funkce je prostá (nemůže mít v různých bodech stejnou funkční hodnotu), ale opak neplatí, tj. ne každá prostá funkce musí být nutně 1 monotónní. Např. funkce y = . x
2
· Funkce f je periodická, existuje-li číslo p takové, že pro "x Î D platí f ( x + p ) = f ( x ) . Nejmenší kladné číslo této vlastnosti nazýváme periodou funkce f. Jinými slovy, v bodech majících od sebe vzdálenost p jsou stejné funkční hodnoty. Tedy stačí znát graf funkce f na nějakém intervalu délky p a celý graf dostaneme ”kopírováním“ této části, kterou posouváme o p vpravo nebo vlevo (jen pokud to definiční obor připouští). Funkce periodická s periodou p je též periodická s periodou k·p, k Î N. Pokud existuje nejmenší perioda, nazývá se základní perioda. Nejznámější periodické funkce jsou funkce goniometrické. Např. sinus a kosinus mají základní periodu 2π. Funkce y = c, c Î R je periodická funkce, která nemá základní periodu. Funkce f se nazývá a) sudá, jestliže pro "x Î D je také (-x) Î D a platí f (- x) = f ( x) . Graf sudé funkce je souměrný podle osy y, b) lichá, jestliže pro "x Î D je také (-x) Î D a platí f (- x) = - f ( x) . Graf liché funkce je souměrný podle počátku.
Funkce inverzní Nechť f : y = f ( x), x Î A , je funkce prostá. Oborem funkčních hodnot je H(f) = B. K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení, které každému y Î B přiřazuje jediné 1 x Î A , pro které f ( x) = y . Toto zobrazení značíme f -1: x = f -1 ( y ) . Pozor na f -1 ¹ . f Zkrátka pokud původní funkce f zobrazuje prvky z množiny A do množiny B, pak inverzní funkce f -1 zobrazuje prvky z množiny B do množiny A. Grafy funkcí y = f ( x) a x = f -1 ( y ) jsou totožné, neboť u funkcí f a f -1 je vyměněna pouze závislost proměnných. Definiční obor D(f) = A funkce f bude oborem funkčních hodnot H(f -1) = A funkce f -1 a obor funkčních hodnot H(f) = B funkce f bude definičním oborem D(f -1) = B funkce f -1 .
navzájem inverzní funkce – LOGARITMUS a EXPONENCIÁLA
3
Jinak zapsáno:
D(f-1) = H(f) a
H(f -1) = D(f).
Grafy funkcí f a f -1 jsou souměrné podle přímky y = x, osy I. a III.kvadrantu. Není-li v celém definičním oboru funkce f prostá, musíme se omezit na tu jeho část, v níž je f prostá funkce. Postup při hledání funkce inverzní f –1: 1) pro danou funkci f určíme definiční obor D(f) a obor funkčních hodnot H(f); 2) vyměníme x za y; 3) vypočteme algebraickou cestou y jako funkci x. Zápis f -1 : y = f(x). 4) určíme D(f –1) a H(f –1) a upřesníme H(f) a D(f) tak, aby platily rovnosti D(f -1) = H(f)
a
H(f -1) = D(f).
Funkce složená Nechť f je zobrazení množiny A do množiny B, g je zobrazení množiny B do množiny C. Potom zobrazení h definované předpisem h( x) = ( g o f )( x) = g [ f ( x)] zobrazuje množinu A do množiny C a nazývá se zobrazení složené. Jsou-li A, B, C číselné množiny, pak h je funkce složená z funkcí f a g a její definiční obor je D(h) = AÇB.
Poznámka: 1) Ve složené funkci h( x) = g[ f ( x)] nazýváme f funkcí vnitřní a g funkcí vnější. Funkce
(
)
3
může být i několikrát složená. Např. y = sin x 2 + 1 . 2) Lze dokázat, že složením dvou prostých funkcí dostaneme prostou funkci. Složením dvou rostoucích (klesajících) funkcí dostáváme rostoucí funkci a složením funkce rostoucí a klesající v libovolném pořadí dostáváme funkci klesající. 3) Složením dvou sudých (lichých) funkcí dostáváme sudou (lichou) funkci a složíme-li sudou a lichou v libovolném pořadí, dostaneme sudou funkci.
4
5
