Realisasi khusus dari sistem ini menghasilkan berikut: (a) Berapa nilai K untuk feedback kekeliruan dari bentuk. U(s) = K[R(s) - 8 (s)]

Pengaturan Feedback Output

285

(d) Tentukan persamaan differensial10 yang ekuivalendengan menggambarkan sistem terkontrol menyeluruh,dengan output y (t)dan input r(t). (e) Tentukan nilaiuntuk K, 'te,'tosehingga sistem terkontrol menyeluruh memiliki persamaan ciri dengan akar A = -5, -2 :t i.

6.6-14 Sistem pendulum terbalik yang linier yang dikontrol oleh motor dc induktansi rendah diaproksimasikan dalam Contoh 2.3-3 dengan sistem 10 dalam bentuk

Realisasi khusus dari sistem ini menghasilkan himpumm parameter berikut: Po

=

- 17.627/sec2,

PI = 0.187/sec,

qo = 0.6455 rad/sec2-V.

(a) Berapa nilai K untuk feedback kekeliruan dari bentuk U(s)

= K[R(s) -

8 (s)]

membuat sistem ini stabil? (b) Tentukan nilai K sehingga sistem lingkar tertutup akan memiliki frekuensi dasar tak teredam dari 21t rad/sec. 6.6-15

Sistem 10 pendulum terbalik yang ditetapkan dalam Latihan 6.6-14 akan dikontrol seperti dalam Gambar 6.5-7. Tentukan (a) Fungsi transfer untuk sistem keseluruhan. (b) Persamaan ciri untuk sistem keseluruhan. (c) Nilai K, 'te, dan 'to sehingga persamaan ciri keseluruhan ditunjukkan dengan (,.\

+

10)("\

+

7T

- i5.44) (,.\ +

7T

+ i5.44) = O.

Apakah H(s) = (1 + 'tes)/(l + 'to)merupakan peralatan phase lead atau phase lag?

Dab

7

Analisis Stabilitas dalam Sistem Feedback Output

7.1 ROOT LOCUS Diberikan persamaan ciri untuk suatu sistem, maka prosedur analisis RouthHurwitz dalam Bagian 3.5 hanya memberikan informasi mengenai jumlah akar ciri (eigenvalues) dengan bagian nyata positif. Root locus tidak memberitahukan kepada kita mengenai letak eigenvalues, walaupun beberapa informasi tambahan dapat dipelajari dengan menggeser titik asal bidang kompleks pada saat menggunakan prosedur Routh. Dalam bagian ini kita akan membahas mengenai pencarian dan penge-plotan (plotting) lokasi aktual eigenvalues sebagai suatu fungsi parameter dalam sistem dinamik. Seperti telah kita pelajari dalam contoh sebelumnya, pada saat kita mengubah-ubah parameter, eigenvalues akan bergerak, dalam bidang kompleks, sepanjang kurve yang ingin kita temukan. Plot seperti itu diberi istilah root locus (Evans, 1984), dan merupakan perangkat yang efektif dalam mendesain sistem pengaturan feedback. Kita akan memusatkan pada masalah pengubahan parameter satu demi satu, walaupun hasil dasamya juga dapat digunakan untuk menyelidiki lokasi akar untuk berbagai parameter lebih dari satu setiap waktu. Misalkan jika kita mengubah dua parameter, kita akan memperoleh permukaan dua dimensi, sedangkan tiga parameter menghasilkan permukaan tiga dimensi, dan seterusnya. . 286


287

Penamaan elrl dalam Bentuk Root Locus Sebagai pendorong untuk pendekatan yang akan kita lakukandan sebagai alat untuk memperkenalkan beberapa terminologi, pertimbangkan sistem pengaturan umpanbalik yang diilustrisikanpada Gambar 7.1-1. Fungsi transfer Ungkar tertutup (Closed-loopTransfer Function)G(s)adalah G(s) ~ yes) = Gc(s)GpCs) = Q(s) R(s) I + Gc(s)Gp(s)H(s) pes)

(7.1-1)

dan persamaan ciri polinomiaIP(s) = 0 yang sesuai untuk menetapkan denominator menjadi nol

o = I + F(s).

(7.1-2)

dimana 6

F(s)

= GC<s)Gp(s)H(s).

(7.1-3)

Fungsi F(s) sering disebut fungsi transfer Ungkar terbuka (open-loop transfer function) untuk sistem pengaturan dalam Gambar 7.1-1, adalah dengan sistem yang diperoleh dengan memisahkan feedback dari summing junction dan mempertimbangkan tanda feedback sebagai output dari sistem lingkar terbuka yang dihasilkan. Sekarang perhatikan problem umum dari penge-plot-an lokasi, dalam bidang kompleks, akar-akar persamaan polinomial tingkat ke-n o = pes) = s" + P,,_IS,,-I + Pn_2S,,-2+ . . . + PIS + Po. (7.1-4) dimana koefisien-kefisien Po, PI,"'Pn-l (diasumsikan nyata) bergantung pada beberapa parameter. Ini hendaknya ditekankan bahwa hasil yang akan kita sajikan adalah bersifat umum dan tidak terbatas pada persamaan ciri yqng dihasilkan dari sistem pengaturan feedback. Kita akan membahas masalah efek parameter K (biasanya positif) pada lokasi dari akar-akar persamaan polinomial (7.1-4). Perhatikan bahwa K bisa

288

Pengantar Sistem Pengaturan

Primary system

Controller R(s)

Y(s)

+

Gambar 7.1-1 Diagramblok untuk pengaturan feedbackoutput.

merupakan parameter yang menarik perhatian kita dan tidak terbatas pada gain K yang digunakan dalam banyak diagram blok. Menurut konvensi ungkapan (frasa)root locus mengacu tidak hanya pada problem umum penge-plotan akar sebagai fungsi K tetapi juga mengacu pada kasus tertentu dimana K ~ O. Pada kasus di mana K ~ 0 disebut complimentary root locus, dan complete root locus menyangkut kedua kasus itu, yakni, - 00 < K < 00. Kecualijika dinyatakan, kita akan berurusan dengan kasus K ~ O. Untuk menyusun root locus bagi parameter K, kita melakukantransformasi terhadap persamaan polinomial(7.1-4) menjadibentuk (7.1-2), yang menghasilkan root locus equation o=

=

I + F(s)

.

Uh')

I + K~. 7J(s)

(7.1-5)

dimana fungsi transfer lingkar tebuka adalah N.

~ K -Q(s) F(s) -

n _- K i~ Nf.I n

7-l(:~')

j=1

(s

-

z;>

(7.1-6)

(s

_ p)

ditulis sebagai hasil kali parameter K, yang disebut gain lingkar (open-loop gain), dikalikan rasio terhadap dua polinomial 2,(5)dan tingkat Nz dan Np berturut-turut. Kita tidak perlu menganggap bahwa walaupun ini biasanya benar untuk sistem pengaturan feedback.

terbuka .0/(5)dari Nz ~ Np, Bilangan

Ana/isis Stabilitas da/am Sistem Feedback Output

289

kompleks Pj [akar-akar g(s) = 0 disebutsebagai pole dari fungsitransfer lingkar terbuka, karena besaran F(s) menjadi tak terhingga pada s = Pj. Sarna halnya, bilangan kompleks z, [akar-akar I!.(s)= 0] dinamakan zeros dari fungsi transfer

lingkar terbuka. Pole dan zero dari fungsi transfer lingkarterbuka F(s)merupakan bilangan tetap, tidak bergantung pada parameter K. Dalam sistem pengaturan feedback kedua hal tersebut sering dapat ditentukan dengan mudah dari diagram blok sistem pengaturan, sebab keduanya sering munculdari jaringan elemen tingkat pertama atau kedua. Bagaimanapun juga, sekalipun pole dan zero lingkar terbuka harus ditentukan dengan memecahkan persamaan polinomial tingkat yang lebih °tinggisecara numerik, prosedur seperti ini hanya perlu dikerjakan dua kali [kita juga membutuhankan akar-akar F(s) = 0] dalam proses pembuatan sketsa untuk plot yang akurat dari root locus untuk parameter K.

CONTOH

7.1-1

Persamaan Root Locus Parametrlk

Parameter K, yang digunakan untuk menghasilkan root locus, sering merupakan parameter gain di dalam sistem pengaturan feedback, tetapi hal itu tidak perIu. Misalkan, pertimbangkan sistem pengaturan dalam Gambar 7.1-2, yang mungkin merupakan pengatur untuk mengatur kecepatan obyek yang berputar, dengan menggunakan motor medan dc yang terkontrol sebagai aktuator (penggerak). Jika kita tertarik pada gain k, dengan konstan waktu motor 't yang tetap, maka kita dapat menulis persamaan ciri dalam bentuk root locus secara Ingsung, dengan menggunakan (7.1-3), seperti

~Q-(

~

1 +1.0

Gambar 7.1-2 Sistem Kontrolkecepatano

290


1

o = I + K s( 7S +

1)'

(7.1-7)

dengan K = k. Jika kita ingin mempelajari efek dari berbagai parameter t dengan k tetap konstan, kita dapat mentransformasikan bentuk persamaan ciri

o = 7S2

+

S

+k

(7.1-8)

kedalam bentuk (7.1-5), yang salah satunya sebagai S2

o = I + K s + k'

(7.1-9)

dengan parameter K = t, atau sebagai O=I+Ks+k

S2

'

(7.1-10)

dengan parameter K = lit. Contoh ini memperjelas fakta bahwa penyajian root locus pada persamaan ciri tidaklah unik, walaupun persamaan ciri polinominal itu sendiri unik. Penyajian root locus bergantung pada pemilihan parameter root locus K, dan kemungkinan bisa lebih dari satu penyajian untuk menyelidiki efek berbagai parameter sistem tertentu dalam persamaan ciri. Untuk kasus parameter t di atas, penyajian root locus dalam (7. i -10) memiliki sifat yang diinginkan dimana numerator F(s) merupakan polinomial tingkat yang lebih rendah daripada denomirlator, sehingga F(s) merupakan fungsi transfer yang dapat direalisasikan secara fisik. Namun, interpretasi seperti ini tidak diperlukan untuk menganlisis root locus.

Syaral-syaral Rool Locus Dalam persamaan root locus (7.1-5), F(s) merupakan fungsi variabel kompleks s. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.1-3, jika s = 8 + ;0)dipandang sebagai


iw

291

iv s=a+iw

.

Fl')

F=J!+iv

a

-1

s plane

F plane

Gambar 7.1-3 Fungsi variabel kompleks.

titik dalam bidqng kompleks s, maka F(s) = Jl + iv adalah titik dalam bidang kompleks F yang sesuai. Dalam bentuk polar titik dalam bidang s memiliki penyajian

s=

CT

+ iw

= r (cos

(J + i sin (J)

(7.1-11 )

dimana r merupakan modulus (atau magnitude) dari s, yang ditentukan oleh (7.1-12) dengan ( )* menunjukkan konjugasi kompleks (i digantikan dengan -i), dan 9 merupakan sudut s yang diukur dari sumbu nyata positif, yang ditentukan oleh fungsi arctangen dua argumen ~

(J = Ls

= tan - I

Im{S} Re{s}

w

( ) = tan - (~).

(7.1-13)

I

yakni, cos 9 = air dan sin 9 = wr. Titikyang sesuai dalam bidang F ditentukan oleh

F(s) = J.L+ ill

292


= p (cos

(7.1-14)

cp + i sin cp)

dimana p merupakan modulusF(s),yang ditentukan oleh p = IF(s)1 to YF*(s)F(s)

= YJL2 + Jl2,

(7.1-15)

dan
cp = LF(s)

= tan-J

Im{F(S)} Re{F(s) }

(

JI

) = tan-J (JL- ).

(7.1-16)

Jika kita memandang F(s) sebagai fungsi varaiabel kompleks s, maka bentuk root locus daTi persamaan ciTidapat dituIis sebagai

o + iO= ) + F(s) = 1 +. KQ(s) :P(s).

(7.1-17)

Jadi, titik s berada pada root locus jika dan hanya jika syarat beTikut ini terpenuhi: LF(s) = 180°+ N x 360°,

N = 0, :t],

...

IF(s)I = ].

(7.1-18) (7.1-19)

Untuk F(s)daTibentuk (7.1-6), root locus dapat disusundengan mencaTititik s yang memenuhi (7.1-18), dimana N:

LF(s) = LK +

L L(s

i-I

Np

-

z;)

-

L

j= I

L(s

- p),

(7.1-20)

dan kemudian menentukan parameter root locusK, daTi(7.1-19), dengan

Ana/isis Stabi/itas dalam Sistem Feedback Output

293

;00 S =0+1(1)

a

Gambar 7.1-4 Besaran clan suclut Root Locus

Np

II Is- pjl IKI= j-I N.

(7.1-21)

It Is- zil

i= I

Untuk mengilustrasikanhasil cliatas, pertimbangkan biclangs yang clinyata. kan clalarnGambar 7.1-4, clenganpole clanzero F(s)yang clitunjukkanclengan "x" clan "0", berturut-turut. Jika kita menganggap bahwa sumbu nyata clan imajiner ,memilikiskala yang sarna, maka Is - Pi I merupakanjarak claripole paclaPi ke titik s clan L(s - Pi)merupakan suclutclariarah surnbu nyata positif ke garis clarititik Pi ke titik s. Untuk situasi yang cliilustrasikanclalarnGarnbar 7.1-4, kita menclapatkannyaclari(7.1-20)

climanaLK = 00 jikaK ~ 0 clanLK = 1800 jika K < O. Silat-silat Root Locus Kriteria suclutclalam(7.1-18) clapat cligunakanuntuk memplot root locus secara numerik, misalnya,clenganmenggunakan metode Newton untuk mencari

294


bagian s nyata dan imajiner untuk memenuhi (7.1-18) ketika mengubah K dengan beberapa ukuran langkah untuk bergerak sepanjang root locus. Dalam bagian berikutnya, kita akan mempertimbangkan algoritma numerik ini. Untuk sekarang kita akan mengembangkan beberapa sifat yang memungkinkan kita membuat sketsa terhadap root locus aproksimasi. Disamping itu, sifat ini akan berguna dalam kaitannya dengan skema numerik (Ash dan Ash, 1968) yang akan kita lakukan. Untuk menggambarkan berbagai sifat root locus, perhatikan sistem yang

ditunjukkan dalam Gambar 7.1-5. Sebagai acuan, root locus untuk K ~ 0 dihinjukkan dalam Gambar 7.1-6, tetapi untuk keperluan diskusi, kita akan menganggap bahwa root locus disusun seperti yang kita bahas dalam di dalam pembahasan berikut. Dalam bentuk root locus persamaan ciri untuk sistem lingkar tertutup dapat ditulis sebagai berikut o = I + F(s).

(7.1-22)

dimana fungsi transfer lingkar terbuka I F(s)

=

K s(s + 4)(5 + 5)

tidak memiliki zero (Nz = 0) dan Np = 3 pole, yang terletak pada s = -4, -5 seperti ditunjukkan dengan titik-titik yang ditandai dengan "x" dalam Gambar 7.1-6. Dari F(s) kita menyusun root locus untuk K ~ 0 dengan menggunakan sifat-sifat yang disajikan dalam pembahasan berikut ini.

R(.,) + ..

y(.,)

Gambar 7.1-5 Contoh sistem untuk sifat-sifat root locus.

Ana/isis Stabi/itas da/am Sistem Feedback Output

295

;w

I. I

K= 180

I / I / / I / /

;2

/ /"

x-x -5 . -4

2

.

a

Gambar 7.1-6 Root locusuntuk sistem pada gambar 7.1-5, K ~ O.

1. Simetri Root locus adalah simetris terhadap sumbu nyata, kalau akar-akar ada di dalam pasangan konjugasi. Dengan alasan ini kita hanya menunjukkan separuh atas dari root locus, bersama-sama dengan bagian sumbu nyata. Secara lebih umum, root locus adalah simetris terhadap setiap garis simetri yang terkait dengan pole dan zero F(s).

2. Segmen Sumbu-Nyata

UntukK ~ 0 (K::;;0), bagian dari sumbu nyata ini merupakan bagian dari root locus jika bilangan pole dan zero nyata dari F(s) ke arah kanan.(kiri) dari titik yang bersangkutan adalah ganjil (genap). Hasil ini mengikuti secara langsung dari kriteria sudut (7.1-18), sebab pole dan zero yang nyata ke sebelah kiri dari s dalam (7.1-20) memberikan 0°, maka pole yang nyata ke arah kanan memberikan -180°, dan zero yang nyata ke arah kanan memberikan 180°. Perhatikan bahwa pasangan kompleks dari pole atau zero tidak mempengaruhi hasil, karena pemberian sudut terhadap F(s) batal pada sumbu nyata.

296


Untuk problem contoh kita, dengan mencari jumlah-jumlahriil yang memenuhi (7.1-18), kita melihat bahwa segemen-segemen sumbu riil-oo< a <-5

dan -4 < a < 0 terletakpada root locusuntukK ~ O.

3. Cabang Root locus berisi N = maks{Nz,Np} cabang. Untuk kasus yang biasa dimana Np ~ Nz, jurnlah cabang adalah sarna dengan jumlah pole Np dari F(s), yang ekuivalen dengan jumlah eigenvalues dari persamaan ciri lingkar tertutup dan tingkat dari polinomial ciri. Untuk contoh kita, ada tiga cabang, seperti ditunjukkan pada Garnbar 7.1-6.

4. Titik Awal dan Akhir Setiap cabang memulai (K = 0) pada pole dari F(s) dan mengakhiri (K = :t 00) pada zero dari F(s).Jika Np > Nz (kasusbiasa), maka ada Np-Nz'cabang yang berakhir secara tidak terbatas. Jika Np < Nz" maka ada Nz - Np cabang yang memulai secara tidak terbatas. Hasilnya mengikutidari (7.1-22), yang dituliskembalisebagai berikut K = -7J(s) Q(s)

,

(7.1-24)

dimana F(s) = K£!XsY&{s).Pada K = 0, akar ciri (misalnya titik-titik pada root locus) juga harus merupakan akar &(s).Untuk K = :t 00 titik-titik pada root locus harus sesuai dengan akar £!Xs),yang merupakan zero F(s). Untuk contoh ilustrasi kita, dengan tiga pole dan tanpa zero, terdapat tiga cabang (semua dari cabang-cabang itu, dalam hal ini) yang menuju ke tak terhingga.

5. Asimtot Pada nilai s yang besar, cabang P,Np-Nz I yang menuju ke atau berasal dari tak terhingga adalah asimtot terhadap garis lurus yang berpotongan pada titik umum spada sumbu nyata, yang disebut sentroid asimtot (centroid of the asymptotes), ditentukan dengan


297

(7.1-25)

Dengan menggunakan identitas Newton (3.5-2), hasil ini mengikuti dari observasi (7.1-24), dengan (7.1-6), dapat ditulis sebagai

_ K = (05- PI) (05- P2). . . = o5Np- (PI + P2 + . . .)o5N,,-1+ . . . (05- z.) (05- Z2). . .

o5N:. - (ZI + Z2+ . . .)o5N:.I+ ....

dari teorema binomial (1 + x)-

I

=

1 - x + x2 - x3 + . .. (Ixl < I),

dengan x = -(z} + Z2+ . . .)/5 + ... dan Is Iyang besar, kita dapa~

Sekarang untuk Is I yang besar s-

Pi

=S -

S

dan

dimana 5 merupakan perpotongan dapat juga menulis

S

-

ZI

= 05-

S,

asimtot dengan sumbu nyata. Jadi, kita

= S/l.'p-Nl.- (Np - N:.)So5Np-N:.-1+ . . . .

Membandingkan dua ekspresi terakhir di atas untuk -K menghasilkan (7.1-25). Sudut asimtot yang berkaitan dengan sumbu nyata positif ditentukan dengan ifK ~o M

= 0,

I,

. . . , INp -

Nzi

- I.

if K :s 0 (7.1-26)

298


Hasil ini mengikuti dari memperluas F(s) untuk s yang besar, sebagaimana dilakukan untuk s, tetapi kita mengacu pada buku Kuo (1982) untuk pembuktian. Untuk problem ilustrasikita, kita memilikiNp - Nz = 3 asimtot. Sentroidnya adalah pada _ s

=

(0 - 4- 5) - 0 = -3 3 - 0

dan sudut-sudutnya adalah

(J M

= 2M

+ I 1800 3 '

M = 0, 1,2

= 60°, 180°,300°,

Hasil terakhir ini dapat dibuktikan dengan memperhatikan (7.1-24), pada nilai s yang besar, berlaku

- K = s(s

+ 4) (s + 5)

=

S3,

Kemudian untuk K ~ 0, kriteria sudut (7.1-18) mensyaratkan bahwa Ls3

=

3Ls = - 180'":!: N x 360°,

N = 0, I,.",

yang hanya menghasilkan tiga nilai Ls yang berbeda = -600, 600, 1800, 6. Breakpoints Breakpoints (dimana cabang-cabang root locus saling berpotongan, yang sesuai dengan akar-akar berganda) mungkin terjadi pada titik-titik pada root locus dimana

dK(s) = 0, ds

(7.1-27)


299

dimana K(s) ditentukan oleh (7.1-24). Jika cabang N mendekati atau meninggalkan breakpoint, maka sudut-dudutkedatangan dan keberangkatannya harus terpisah 180o/N (Kuo, 1982). Syarat (7.1-27) diterapkan tidak hanya pada sumbu nyata, dimana s dan kedua sisi dari (7.1-27) adalah bemilai nyata, tetapi juga pada titik kompleks, dengan menetapkan bagian nyata dan imajiner dari dKids menjadi nal. Juga, (7.1-27) hanya merupakan syarat yang diperlukan (tidakmemadai) untuk titik pada root locus menjadi breakpoint. Breakpoints berkaitan dengan titik-titikminima, maksima atau saddle lokal pada nilai K sepanjang root locus. Ini paling mudah dilihat untuk kasus breakpoint pada sumbu nyata. Untuk contoh ilustrasikita, kita memecahkan persamaan ciri untuk K(s),yang menghasilkan K(s) = -s(s + 4) (s + 5) = -(s).+ 9s2 + 20s).

(7.1-28)

Kemudian dK

o = -ds = - (3s2 +

18s + 20)

menghasilkan breakpoint yang mungkin s = - 1.472 + iO,

- 4.528 + iO.

Pemeriksaansegmensumbunyata pada root locusuntukK ~ 0, kita mengamati bahwa titik pertama brada pada root locus, dan oleh karena itu merupakan breakpoint kandidat, tetapi titik kedua tidak berada pada root locus. Lebih lanjut, dari Gambar 7.1-6, kita melihat bahwa kedua cabang memwai (pada K = 0) dari s = 0 dan s = .-4 harus bertemu pada suatu titik antara, yang sesuai dengan maksimum lokalK(s) sepanjang sumbu nyata, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.1-7. Jadi, kita menyimpulkan bahwa breakpoint terjadi pada s = -1,472. NilaiK pada breakpoint ditentukan dengan (7.1-28) sebagai K

=

-s(s + 4) (s + 5) = 13.128.

300


I.'(al 14 12 10 8 6 4 2 I

-6

-3

-2

-1

1

2

a

-2

Gambar 7.1-7) K(s)padcisumbu nyata untuk sistemdalam Gambar 7.1-5, K ~ 0

Juga, kita perhatikan bahwa, oleh karena dua cabang mendekati breakpoint, maka masing-masing akan berbelok melalui 90° pada saat meninggalkan sumbu nyata. Yakni, dalam contoh ini, root locus meninggalkan garis tegak lurus menuju sumbu nyata. Ini merupakan kasus yang sangat sering mengenai breakpoints pada sumbu nyata, tetapi tidak selalu(lihatlatihan 7.5-3). 7. PerpotonganSumbu Imajiner Perpotongan root locus dengan sumbu imajiner dapat ditemukan dengan menggunakan kriteria stabilitas Routh-Hurwitz pada bagian 3.5. Untuk sistem ilustrasikita, persamaan root locus (7.1-22), dengan F(s) ditentukan oleh (7.1-23), menghasilkan persamaan ciri polinomial

o = 53 dan array Routh

+ 9s2 + 2005+ K


53:

, s-:

Sl: so:

I 9 180 - K

301

20 K 0

9 K.

Pada K = 180, kita dapatkan baris zero. Dari baris sebelumnya kita memperoleh persamaan bantu o = 9s2 + 180 yang akar-akamya 5

=

::!:

iV20 =

::!:i4.4'Z2

juga merupakan akar-akar dari persamaan ciri original, dimana root locus memotong sumbu imajiner. Untuk contoh ilustrasi kita, informasi yang dikumpulkan sejauh ini adalah cukup untuk membuat sketsa root locus yang agak akurat. Namun, secara umum, terdapat satu sifat lagi yang penting untuk sistem yang memiliki pole atau zero kompleks dalam fungsi transfer lingkar terbuka F(s). 8. Sudut

pada Pole atau Zero Kompleks

Jika kita mempertimbangkan

titik spada root locus dan sangat de kat dengan

pole kompleks (s ~ Pk),maka sudut keberangkatan (angle of departure) ad dari root locus dari pole kompleks pada Pk adalah L(s - Pk)' Oleh karena s dekat dengan Pb dengan menggunakan (7.1-20), LF(s) ditentukan secara aproksimasi dengan ~':

LF(s)

=

LK +

2:

;= I

~~

L(p~ - z;! -

2: L(p~ - p) - e".

j= I j"~

Dari syarat (7.1-18) dan dengan memilih LF9s) = -180°, kita mendapatkan IV:

Np

e" = 1800 + LK + 2: L(p~ - z) - 2: L(p~ - p). ;= I j= I j..~

(7.1-29)

302


Begitu pula, jika kita memilih LF(s)

= 180° dalam (7.1-18), maka sudut

kedatangan (angle of arrival)9adari root locus terhadap zero kompleks pada s = Zk ditentukan

dengan Np

8u = 1800

-

LK +

L j=1

N,.

L(Zk

- p) - i-IL

L(Zk

- zJ.

(7.1-30)

i..k

Misalnya, pertimbangkan sistem dengan persamaan ciri berikut

0=1+

K S(S2+ 2s + 2) = I + F(s),

memiliki pole lingkar terbuka pada s s

s

= PI = 0 = P2 = - I + = PJ = - I-i.

i

Untuk K ~'-O(LK = 0°), sudut kedatangan dart pole pada pz = - 1 + i ditentukan dengan

sebagaimana diilustrasikandalan Gambar 7.1-8. Komputasi Mumerik Root Locus

Kita sajikan di sini algoritma numerik untuk pengEi-plot-anroot locus. Algoritmanya merupakan modifikasi dari algoritma dalam Ash dan Ash (1968). Dalam bentuk variabel kompleks s = x + iy, algoritma tersebut melangkah sepanjang cabang-cabang root locus pada ukuran langkah yang tetap I~s I = o dan menggunakan metode pencarian akar Newton untuk memenuhi kriteria sudut root locus yang ditentukan oleh (7.1-18) dan (7.1-20). Untuk fungsitransfer lingkarterbuka


303

j(iJ

a

\ \ \ \ \

90°

-j

P3 x

Gambar 7.1-8

0 = 1+ 1Vfs(s2+ 25 + 2)), K ~ o.

Sudut kedatangan dari pole kompleks untuk

N:

O(s)

n (s -

z,.,)

,., .. J

K -- = K F(s) = 7-'(s)

N

j

ii- (s _ p)

(7.1-31)

J

misal pj = PRj + iPlj dan zm= ZRm + iZlm menunjukkan ole dan zero lingkar terbuka. berturut-turut. Kriteria sudut root locus dapat ditulis sebagai LJ;(s) = /l1T.

(7.1-32)

di mana

/l

:t

= {

I. :t3, :t5

untuk K >"{)

0, :t2,

untuk

\

:t4

K < o.

(7.1-33)

304


Kita menentukan fungsi sudut N. J(s)

= f(x,y) ~ L: ATAN2(y - Zlm, x - ZRm) "'= I

Np

-

L

ATAN2(y

j=1

- PIj, x - PR) - n7T,

(7.1-34)

dimana ATAN2(y,x) = tan-1(y/x)merupakan fungsi arctangen dua argumen Fortran dan n dipilihmenurut (7.1-33) sehingga -1t
+

~x, y

+ ~y)

= f(x,y)

+ fX<x,y)~x + fv(x,y)Lly + O(I~sl),

dimana 0 ( I~s I)/ I~s I ~ 0 sebiib ~s ~O dan tulisan dibawah garis menunjukkan derivatif parsial. Slope tersebut ditentukan dengan tan () =

~y lim = -- fx(x ,y) I~."I-OLlx fy(x,y)

dan sudut slope, searah dengan meningkatnya besaran gain IK I, adalah ()(x,y) = ATAN2[ - f.,(x,y), fx(x,y)].

(7.1-35)

Untuk sudut searah dengan menurunnya besaran gain, balik tanda argumen dalam (7.1-35). Darivatif parsial dapat ditentukan dengan mendiferensialkan f(x,y), menghasilkan

fx(x,y) =

N..

Y _ Llm

- ,,!:. (x - LR"i Nt.

+ (y - ZI"i

y _ Plj

+ j~ (x - PRY + (y - PI)~

(7.1-36)

Ana/isis Stabilitas do/am Sistem Feedback Output

f,.(x,y) = .

LN;.

.

'" = I (.., y

-

305

. X - ZR",

_ ZR '"f + (y - Zimf

LNp

j= I (x

.

-PRY

X J

PRj

(7.1-37)

+ (y - PlY'

Biasanya penge-plot-an algoritma dimulai pada pole lingkar terbuka dan bergerak searah dengan meningkatnya besaran gain, meskipun gain lingkar terbuka K mungkin positif mungkin juga negatif. Jika terdapat lebih banyak zero lingkar terbuka daripada pole, maka kita dapat memulai pada zero dan bergeral< searah dengan menurunnya besamya gain. Untuk memungkinkan penge-plot-an algoritma meningkat (zoom in) terhadap bagian root locus, batas plot harus diteliti karena tanda berubah dalam f(s). Apabila ini terjadi, misalkan, antara s = S1 dan s = S2, skema pencarian akar satu dimensi seperti regula falsi dapat digunakan untuk mencari a sedemikian rupa sehingga 0 = l-(a) ~ [(1 - a)s1 + a52]' Jika titikyang dihasilkan s = (1 - a)s1 + aS2 sesuai dengan titik dimana root locus memasuki daerah penge-plot-an (plotting) (yakni, jika titik e(x,y) yang tepat masuk ke dalam daerah plotting), kemudian titik entri ini harus ditambahkG.ilpada daftar titik awal (mulai). Jika bagian batas plot bertepatan dengan sumbu nyata, pencarian. perubahan tanda harus dilakukan sedikit di atas atau di bawah sumbu nyata, s~bab Its) tidak diskontinyu melintasi sumbu nyata negatif. Dari titik tertentu s = x + iy pada root locus, suatu langkah dari ukuran IM I = 0 dilakukan searah dengan e, yang menghasilkan titik

t

of

+ ds

= (x

+ Dcos 0) + i(y + Dsin 0).

(7.1-38)

yang secara aproksimasi berada dalam root locus. Kemudian metode Newton digunakan untuk mencari sudut e untuk memenuhi kriteria sudut secara tepat. Dengan menentukan 11(0)~ I(x + 8 cos O.y + c5sin 0).

kita mendapatkan 11(lJ+ dO)

= h(o)

+ ho((J)!10+ G(ldOI).

306


Dengan rnenetapkan sisi sebelah kiri sarna dengan nol dan rnengabaikan batas tingkat yang lebih tinggi, kita rnernperoleh iterasi Newton 8~

8 + A8,

(7.1-39)

dirnana

Ae =

(7.1-40)

dan

ho(8) = af dx + af dy ax d8 ay de

-

fAx + l) cos 8, y + l)sin 8)l)sin 8

(7.1-41)

+ f.v<x+ l)cos 8, y + l)sin 8)l)cos 8.

Iterasi diulangi sarnpai I h(9)I lebih kedl daripada beberapa toleransi tertentu. Untuk rnelacak breakpoints, sudut slope dari root locus dihitung pada titik terakhir s dan pada titik berikutnya s + ~s. Apabila sudut slope berubah dalarn jumlah yang terlalu besar, katakan,

I()(s + As)

-

8(s)1> min {

~,3IN" ~

N,I}'

(7.1-42)

ukuran langkah dibagi ernpat dan langkah .~s dihitung ulang. Jika perubahan besar dalarn sudut slope tetap berlangsung setelah ukuran langkah dibagi ernpat sebanyak ernpat kali (8/4, 8/16, 8/64, 8/256), rnaka breakpoint yang ada didekatnya telah terlacak. Metode Newton kernudian digunakan untuk rnenetukan lokasi breakpoint yang tepat. Kernudian plotting berlanjut diluar breakpoint dengan cara rnernulihkan ukuran langkah original dan rnengarnbil cabang keberangkatan yang sesuai dengan belokan bagian kanan yang pertarna. Kedua prosedur itu akan dijelaskan secara lebih terind.

Analisis Stabilitas da/am Sistem Feedback Output

307

Pada breakpoint, dengan gain K(s) yang diekspresikan dalam bentuk rasio dari dua polinomial ?(s) K(s)

=

(7.1-4~)

-Q(s) ,

kita dapatkan .

0+,0=-=

dK(s)

?(s).fI'(s)

ds

- .fI(S) P'(s) "

,

Y(s)"

dim ana 0' .= d(Yds. Untuk menentukan lokasi breakpoint yang tepat, kita menerapkan metode Newton yang bemilai kompleks untuk mencari titik diseki. tar s sedemikian rupa sehingga

o+

iO = g(s) ~ 7.1(s)fj'(s) - .~.I(s)Y'(s).

(7.1-44)

Iretasinya ditentukan dengan s~

s + 6..1',

(7.1-45)

dim ana (7.1-46)

Oleh karena .'1(s}dan :!l(s)merupakan polinomial, yang ditentukan dalam (7.1-31), derivatif tingkat pertama dan kedua yang muncul dalam (7.1-46) dapat dihitung dengan mudah, dengan mendiferensialkan kedua polinomial tersebut secara analitis. Prosedur ini berbeda dengan pendekatan Ash dan Ash (1968), dimana titik yang tak bergerak (seimbang) dicari fungsi sudutnya fts) sebagai pengganti K(s). Kita memilih gain K(s) sebab fungsi sudut tidak peka terhadap perubahan dalam s yang jauh dari pole dan zero lingkar terbuka. Segera sesudah breakpoint telah tercapai, pada s = Sb, maka plotting dilanjutkan dengan mengambil cabang keberangkatan yang sesuai dengan belokan bagian kanan yang pertama. Gagasan ini didasarkan pada fakta bahwa

308

Pengantar Sisfem Pengaturan

cabang N bertemu pada breakpoint, kemudian cabang tersebut meninggalkan breakpoint pada sudut yang terpisah sebesar 1t/N rad. Oleh karena tingkat N dari breakpoint tidak diketahui, maka rangkaian titik pengujian adalah 8(cos CPk + i sin !PJ,) 5k

= 51>+

100

dalam lingkaran kecil yang berpusat pada Sb diperiksa untuk mencari nilai k yang menghasilkan kecocokan yang paling mendekati antara sudut slope ek pada Sk dan sudut L(Sk - Sb),dimana .

CPk

= (Jb

1T

-

1T

+-

k = 1,2,3,.

k'

..

merupakan percobaan ke-k arah keberangkatan dari breakpoint pada Sb, dan eb merupakan arah kedatangan pada breakpoint.

7.2 DESAIM ROOT LOCUS Desain PID unluk Sislem Tingkal Kedua Sebagai aplikasi desain root locus, kita akan mempertimbangkan problem mendesain sebuah pengatur untuk sistem bandul terbalik balok dan motor yang dibahas dalam Bagian 1.3 dan dalam Contoh 2.3-3. Kita akan menganggap bahwa induktansi angker dinamo (armature inductance) adalah kedl, sehingga alat itu bertindak seperti sistem tingkat kedua, yang memiliki fungsi transfer (/0

VIs) O(.y)

=

GI'(s)

=

S~

+

PIS

(7.2-] ) + Po

dimana e(t) adalah sudut balok dari vertikalke atas dan u(t) merupakan voltase yang diterapkan terhadap motor. Untuk implementasi tertentu, parameter dalam fungsi transfer telah ditentukan secara eksperimental dan mempunyai nilai berikut ini:


= - 17.627/sec~ PI = 0.187/sec qo = 0.6455 rad/sec~- V.

309

Po

(7.2-2)

Kita tahu bahwa sistem tersebut tidak stabil, dan kita ingin mendesain suatu pengatur yang tid~ hanya akan menstabilkan sistem itu tetapi juga menghasilkan kekeliruan output tetap nol dalam respon terhadap input langkah. Lebih lanjut, kita menginginkan eigenvalues dari sistem lingkar tertutup mempunyai bagian nyata kurang dari beberapa nilai tertentu, katakan saja, Re{A.}< - 2. Kita akan memulai dengan pengatur feedback kekeliruan PI, seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 7.2-1, dimana 0[= l/(Ktj)] adalah konstan. Tetapi, pengatur ini mungkin tidak memadai, sebab kita telah mengamati bahwa ia tidak memberikan pengaturan yang l~ngkap terhadap eigenvalues lingkar tertutup apabila diterapkan terhadap sistem tingkat kedua. Misalkan R = Kqo ;:::O. Kemudian bentuk root locus dari persamaan ciri adalah ~

o= I+

F(s)

=

I +

+

K .I"(.I"~ ~ PIS

(/

+

(7.2-3) Po)'

dimana fungsi transfer lingkar terbuka F(s)memilikipole pada s = -4.293, 0, 4.106, dan satu zero pada s = -0. Sebagaimana ditunjukkanoleh plot dal:1mGambar 7.2-2, untuk s = cr+ ;00, segmen sumbu nyata 0 ::;;cr ::;;4.106 dan -4.293 ::;;cr ::;;- 0 berada pada root locus jika kita menganggap bahwa parameter positif 0 tidak lebih besar dari pada 4.293. Asimtot root locus terjadi pada sudut

R C.)

;0-

Gambar 7.2-1 KontrolerPI untuk pendulumterbalik

310


OJ

8 6 4

-14

-12

-10

-8

-6

xJ -4

x--l 2

-2

4

6 c;

-4

-6 -S"

Gambar

7.2-2

Root locus PI untuk pendulumterbalik

2M + I 1800, 8M = 3 _ I

M = 0, I

dan perpotongan asimtot pad a _ _ "i.p- LZ -_ (-4.293 + ° + 4.106) - (-a) _-- -0.187 + (I sNp - N, 3- I 2

(7.2-4)

Dengan memeriksa Gambar 7.2-2, kita mengamati bahwa tentunya terdapat suatu breakpoint pada sumbu nyata antara cr = 0 dan cr = 4.106, yang memiliki dua root locus yang meninggalkan garis tegak lurus menuju sumbu nyata sebab, untuk N = 2, setiap cabang akan berbelok melalui 180°/2 = 90°. Dari (7.2-4) kita melihat bahwa untuk sistem yang harus stabil untuk suatu nilai yang cukup besar dari R, kita harus memiliki a < 0.187. Disamping itu, pengaturan integral memerlukan a ~ 0, untuk yang lainnya, sistem tersebut tidak stabil untuk semua nilai R. Akhimya, kita memperhatikan bahwa semakin kedl a kita buat, maka semakin besar asimtot bergerak ke kiri. Tetapi, kita


311

dapat menggerakkan asimtot tidak lebih jauh ke sebelah kiri dari pada s = -0.0935, yang tidak akan menghasilkan eigenvalues lingkar tertutup yang diinginkan dengan bagian nyata kurang dari -2. Jelaslah bahwa kita memerlukan beberapa imbangan (compensation) tambahan dalam pengatur feedback. Tentunya juga jelas dari pengamatan kita sebelumnya bahwa feedback derivatif akan memecahkan problem. Feedback derivatif diperkenalkan dengan menggunakan phase lead feedback circuit, misalnya proporsional + derivatif-pseudo atau lead circuit yang dibahas dalam Bagian 6.5. Dengan menggabungkannya dengan pengaturan PI, maka ini akan menghasilkan pengimbang pengaturan PID yang ditunjukkan dalam Gambar 6.5-14, dengan 1iri = Ka. Kita telah mempelajari bahwa pengatur seperti itu, yang diterapkan untuk sistem tingkat kedua umum, akan memungkinkan kita memilih eigenvalues lingkar tertutup yang diinginkan. Untuk melihat efek dari imbangan PID dalam root locus terhadap sistem pendulum terbalik, kita perhatikan bahwa fungsi transfer lingkar terbuka yang baru F(s)

= K qo

s + a

,

(

I +

T"S

)

+ PIS + Po) I + T"S

S(S-

(7.2-5)

memiliJ 'tountuk lead circuit Untuk root locus yang baru sudut asimtot akan tetap seperti sebelumnya, pada :t90°, karena jumlah dari pole lingkar terbuka dikurangi zero-zero tidak berubah. Sentroid baru pada asimtot ditentukan oleh

_S --

LP - LZ -- (-4.293

- I/T" + 0 + 4.106) - (-0

Np - Nz

- liTe)

4 - 2

= -0.187 +! 2

2

(a+~-~) T,.

(7.2-6) T",

dan sentroid tersebut dapat digeser ke sebelah kiri sejauh yang kita inginkan dengan memilih 'to > 0 cukup kecil. Menggeser asimtot ke sebelah kiri s = -2 tidak akan memenuhi syarat desain secara lengkap. Untuk memiliki semua eigenvalues berpindah ke sebelah kiri s = -2, kita tidak perlu memperkenalkan

.

312


pole atau zero didalam interval -2

0; untuk yang lainnya, bagian yang

::s:;s ::s:;

sesuai dari daerah itu pada sumbu nyata akan terletak pada root locus. Sebuah desain yang cocok diberikan oleh nilai parameter a = 3 7,.= 0.2

(7.2-7)

7" = 0.08, yang menghasilkan fungsi transfer lingkar terbuka F(s)=K

s+3

'

s(.52 + PIS + po)

dimana sekarang Gambar 7.2-3.

-x..L

-12

R = 2.5Kqo'

-10

-8

-6

(

s+5

s + 12.5

).

(7.2-8)

Root locus yang dihasilkan ditunjukkan dalam

0-x -4

O

", 4

1 6

a

Gambar 7.2-3 Root locus untuk pendulum terbalik yang memiliki pengaturan feedback


313

7.3 STABILITAS PARAMETRIKROBUST Pada berbagai bagian dalam \ teks ini, kita telah mempertimbangkan sistem mang keadaan (state-space system)dan sistem 10 yang menjadi sasaran input tak tentu v(t). Dalam bagian ini, kita akan mempertimbangkan sistem yang memilikiparameter tak tentu. Jenis parameter tak tentu ini di dalam input tak tentu v(t) berbeda dalam dua cara. Pertama parameter tak tentu dalam sistem adalah konstan, daripada fungsi waktu yang tidak diketahui. Tetapi, kita akan menganggap bahwa parameter yang tidak diketahuidibatasidan batas atas dan bawah diketahui. Kedua, parameter yang tidak diketahuidianggap mempakan satu elemen matriks atau lebih di dalam penyajian mang keadaan (state-space representation). x = Ax + Bu )' = Cx + Du

atau koefisien Pi atau % dalam suatu penyajian 10

d"y . d"u - + P,,-. d"-'y. , + ,. . + PlY + PoY = C/oll+ C/.Il + . , , + q,,-. dl"

dl" -

dl"

Perhatikan bahwa parameter yang tidak diketahui mempakan koefisien multiplikatif, daripada input tak tentu aditif, yang sebelumnya telah kita pertimbangkan. Tentu saja, ketidaktentuan dalam parameter dapat dikonversikan ke penyajian ekuivalen yang melibatkan jenis input tak tentu yang kita bahas dalam hubungannya dengan (6.3-11). Juga perhatikanlah bahwa, tanpa mempertimbangkan penyajian sistem, parameter tak tentu tampak linear, walaupun parameter itu sendiri mungkin mempakan fungsi non-linear dari berbagai parameter sistem, seperti gain subsistem, waktu konstan, rasio peredaman, frekuensi dasar, dan sebagainya. Asumsi linearitas ini membuahkan hasHyang sangat baik sekali yang menyangkut jaminan stabHitas asimtot.

314


Sislem yang Memiliki Parameler lak Yenlu Seperti yang kita telah pelajari pada Bagian 4.4, apabila suatu sistem dibatasi tetapi apabila sebaliknya input bervariasi waktu v(t) tidak tepat diketahui, maka kita tidak dapat menjamin bahwa titik asal (atau titik keseimbangan lainnya) dapat dibuat stabil secara asimtot dengan memilih pengaturan u(.) yang tepat. Biasanya, hal terbaik yang dapat dilakukan adalah mencapai quaranteed ultimate boundedness, yakni, mencari pengaturan u(.) yang akan mempertahankan keadaan (state) mendekati keseimbangan mencari pengaturan. Untuk hasil-hasil dalam bidang ini, termasuk sistem yang memiliki parameter tak tentu, lihat Gutman (1979); Leitmann (1981); Corless dan Leitmann (1981); Barmish dan Lietmann (1982); Ryan et all. (1985). Apabila ketidaktentuan dalam suatu sistem bersifat konstan daripada input bervariasi dengan waktu yang tidak diketahui, maka masih memungkinkan sebuah pengatur dapat didesain yang mencapai tidak hanya keterikatan terakhir yang terjamin (guaranted ultimate boundedness) tetapi juga stabilitas asimtotik yang terjamin, yakni stabilitas asimtot tanpa memperhatikan parameter tak tentu. Misalnya, dalam sistem 10 tingkat kedua yang tidak mempunyai gaya dalam bentuk standar.

titik asalnya stabil secara asimtot untuk semua rasio peredaman l; > O. Dalam bagian ini kita akan mempertimbangkan stabilitas sistem pengaturan feedba.ck yang memiliki parameter tak tentu terbatas. Parameter tak tentu ini mungkin terjadi dalam sistem primer, sistem pengukuran, atau dalam pengatur. Tanpa memperhatikan dim ana parameter tak tentu itu terjadi dan apakah sistem itu dianggap dalam bentuk ruang keadaan (state-space) atau 10, maka stabilitas ditentukan oleh akar-akar dari persamaan ciri, polinomial tingkat ke-n dengan koefisien nyata dari bentuk umum (7.3-1)

dengan koefisien yang tidak diketahuil kecuali untuk batas i = O. . . .

, II.

(7.3-2)


315

Empat Polinomial Stabilitas Kharitonov

Untuk himpunan nilai koefisien tertentu, polinomial dari bentuk (7.3-1) akan dikatakan (secara asimtotis)stabU jika semua akar-akar dari (7.3-1) memiliki bagian nyata negatif. Problem stabilitas asimtotikterjamin adalah untuk menentukan syarat di mana semua polinomial (7.3-1)-(7.3-2) adalah stabil, dalam batas yang ditentukan untuk koefisien-koefisientak tentu., Jika salah satu koefisiendalam (7.3-1) tidak tentu, maka terdapat bUangan polinomialtak terhinggayang terbentuk oleh (7.3-1)-{7.3-2).Jadi, tidakmungkin untuk memeriksa secara langsung stabilitasdari semua polinomial tak tentu. Untunglah,ini tidak disyaratkan.Walaupunkoefisien-koefisienmungkinmerupakan fungsinonlinear yang tinggidari berbagaiparaffietersistem,temyata bahwa syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk semua polinomial(7.3-1H7 .3-2) menjadistabilsehinggahimpunandari semua polinomialyang memilikikoefisienkoefisienpada batas atas dan bawah menjadi stabil. Syarat yang diperlukanini adalah jelas. Untuk pembuktianmencukupi(yangdidasarkanpada koefisienyang tampak lineardan keadaan cembungyangdihasilkandari rumpunpolinomialciri), lihat Kharitonov(1978). Untuk sistem tingkat ke-n dengan semua koefisientak tentu, periksa gayakasar terhadap semua polinomialyang memilikikoefisien-koefisienpada batas atas dan bawah akan berisi 2n+1 polinomial.Misalnya,sistemtingkatkedua akan berisi 8 polinomial, dan sistem tingkat ketiga 16, dan seterusnya. Hasil yang benar-banar sangat baik dalam Kharitonov (1978) adalah bahwa seseorang hanya perlu memeriksa empat po:inomial yang berisikoefisien-koefisienpada batas atas dan bawah. Keempat polinomialitu merupakan sebagian dari bentuk (7.3-1), dan koefisien-koefisiennyaditentukan dalam polapairwise, CZk,CZk+l,k = 0, 1, , ~, ~ = n/2 jika n = genap, ~ = (n - lY2 jika n = ganjil. Berdasarkan pada penetapan pairwisw(pairwi'5eassigment)dari koefisien-koefisien pada batas atas dan bawah, kita menetapkan masing-masingdari empat polinominal Kharitonov dengan menemonik {k = genap; k = ganjil}yakni: /1(')..){maks, maks; mio. min}

k genap k ganjil

316


{32~+1 C2k+I=

{ a2k+1

k genap k ganjil

12(A){min,min; maks, maks} k genap k ganjil

a2~

= { {32k

C2~

a2~ + I Cu + I

",){min, maks;maks,

=

{ {3u+

I

k genap k ganjil

min}

k genap k ganjil

a2k C2k

= { {3u {3u + I

C2k+J = { aU+1

k genap k ganjil

14(A) {maks, min; min, maks}

C2k

=

aU C2k+ J =

k genap k ganjil

{32k { au

+ I

{ {3u+

I

k genap k ganjil

Himpunan polinomial f(A) dalam (7.3-1) dengan koefisien-koefisien terbatas (7.3-2) tidak memiliki akar-akar Adengan Re(A)~ 0 jika dan hanya jika keempat polinomial /i{A), i = 1, ..., 4, tidak memiliki akar-akar A dengan Re(A)~'O. Pembuktian teorema ini dapat ditemukan dalam Kharitonov (1978) dan Bose (1985). Sebagai contoh, yang menggambarkan penamaan konvensi, pertimbangkan persamaan ciri tingkat ketiga


317

dengan batas-batas koefisien a.j::;cj:$;l3j,i=O, ,3. Kita memilikin = 3 sehingga ~ = 1, dan polinomial Kharitonov adalah k=O I f.U..) = {3o+ f2(A) = ao + fJ(A) = ao + J4(A) = {3o+

I {3/\ + a,A + {3.A+ alA +

k=\ I a2A2 + {32A2+ {32A2+ a2A2 +

I aJAJ {3JAJ aJAJ {3JAJ

Untuk fAJ...)koefisien-koefisienmuncul dalam urutan {maks,maks; min, min}. Untuk sistem tingkat yang lebih tinggi, yang memerlukan koefisien tambahan, urutan ini atau urutan parsial ini secara sederhana akan diulangi sampai semua koefisien telah ditentukan. Urutan batas atas dan bawah koefisien yang sarna terjadi untuk polinomial Kharitonov, yang menghasilkan nama-nama mnemonic yang dipilih untuk polinomial tersebut. Kriteria Routh-Hurwitz

Stabilitas polinomial Kharitonov dapat diuji dengan menggunakan Routh-Hurwitz.

CONTOH

7.3-1

kriteria

Pengaturan Gun Turret

Motor dc medan-terkontrol mengimplementasikan pengaturan feedback kekeliruan pada posisi sudut 8(t) dari rotasi peredaman gun turret, sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 7.3-1. Parameter sistem nominal dan rentang

K 1+H

e (s)

Gambar 7.3-1 Contoh sistem untuk polinomial Kharitonov.

318


ketidaktentuan adalah a = 4 :t 1, t = 0.15 :t 0.1, dan K = 2.5 :t 0.5. Persamaan chi untuk sistem ini adalah

dimana, daTi rentang parameter, kita dapatkan

Co =

K

-'T

E [8,

60]

.a

c,

= - E [12,

C2

=-.I +

'T

'T

'TO

100]

E [7, 25]

Keempat polinomial KhaTitonovadalah flU") = 60 + IOOA.+

7A.2+ A.3

f2(A.)

=

8 +

f3(A.)

=

8 + 100A.+ 25A.2+ A.3

12A.+ 25A.2+ A.3

Untuk masing-masing itA.), membaca koefisien-koefisien bolak-balik daTi kanan ke kiTi,kita menentukan array Routh beTikut ini:

1 100 7

60

1 12 25

8

25

100

12

8

7 60


640 7

292 25

o

o

24 7

o

o

60

8

8

60

2492 25

319

Oleh karena kolom 1 untuk setiap polinomial Kharitonov tidak berisi perubahan tanda, maka kita menyimpulkan bahwa semua akar untuk masing-masing Jp...)= 0 memiliki bagian nyata negatif. Jadi, sistem pengaturan tersebut stabil untuk semua nilai parameter dalam rentang tertentu. Yakni, sistem pengaturan dijamin stabil secara asimtot.

Kriteria Root Locus Root locus merupakan plot lokasi akar-akar persamaan ciri dalam bentuk

parameter tunggal k

;;::

O. Dengan mempertimbangkan K sebagaiparameter

yang tidak diketahui, dengan Kmin ::; K ::; Kmaks,teknik Kharitonov dapat digunakan untuk menentukan jika sistem tersebut stabil secara asimtot untuk rentang nilai-nilai K. Untuk sistem tingkat ke-n persamaan ciri dalam bentuk root locus dapat ditulis sebagai

o= I

+ K (fo + (/i-S + . . . + (f"S" Po -;-PIS + . . . + p"s'"

yang menghasilkan penyajian polinomial ekuivalen

o = J(A) = Cu +

cIA + . . . + c"A" ,

dimana i = 0, I,...,

n.

Karena C; ~alah linear dalam K, maka batas atas dan bawah dari masingmasing ci.-lIkan terjadi pada batas-batas K yang ses~ai jika qj > 0, atau pada batas yang berlawanan jika q; < O. Perhatikan bahwa Cjadalah tetap jika qj = 0

320


(atau jika K tetap). Dalam sUatu kejadian, keempat polinomial Kharitonov merupakan fungsi dari satu parameter tak tentu K saja, oleh karena itu, keempatnya berkurang sampai hanya dua polinomial, yang sesuai dengan f('A.) itu sendiri, dievaluasi pada K = Kmindan K = Kmaks.Jadi, dalam hal parameter tunggal prosedur root locus yang biasa untuk persilangan sumbu imajiner, dengan menggunakan array Routh untuk f('A.)dengan parameter K, sepenuhnya menentukan rentang nilai K untuk stabilitas asimtotik terjamin. Untuk kasus yang lebih umum, dimana terdapat lebih dari satu parameter tak tentu, empat polinomial Kharitonov bersama dengan kriteria Routh Hurwitz dapat menentukan batas-batas stabilitas terhadap -parameter secara lebih mudah daripada memplot beberapa root locus. Tentu saja, kriteria stabilitas Routh-Hurwitz sendiri dapat digunakan, tetapi dengan kemungkinan adanya kerumitan, biasanya nonlinear, fungsi-fungsi parameter muncul dalam kolom satu dari array Routh.

CONTOH

7.3-2

Sistem Turret yang Memlllki Gain K yang Tak Tentu

Pertimbangkan sistem yang sarna dengan yang ada dalam Contoh 7.3-1, tetapi dengan a = 4, 't = 0.2, dan 0 < Kmin~ K ~ Kmaks.Persamaan ciri adalah o = f(A) = 5K + 20A + 9A2+ A3 dan polinomial Kharitonov adalah f.(A)

= fiA)

fiA)

= f3(A) = 5Kmin + 20A + 9,\2 + ,\3.

= 5Kmax + 20A + 9A2 + ,\3

Jadi, untuk contoh ini kita hanya perlu memeriksa stabilitas f('A.)itu sendiri pada batas atas dan bawah dalam K, sebagai pengganti dari penge-plot-an root locus keseluruhan. yakni, kita dijamin dalam hal ini bahwa jika 1(1..)adalah stabil baik pada K = Kminmaupun K = Kmaks,maka root locus tidak akan melintasi (atau menyimpang melintasi ke sana kemari) Re(A)sumbu imajiner = O. Array Routh untuk 1(1..)ditentukan oleh


I 9

321

20 5K

180 - 5K 9 5K

o

dan kita lihat bahwa akar-akar f(t..)= 0 memilikibagian nyata negatif untuk 0 < K < 36. Sistem ini memiliki root locus yang sarna dengan yang ada dalam Garnbar 7.1-6, dengan K dalarn Gambar 7.1-6 menjadi 5K di sini.

7.4 METODERESPONFREKUENSI Sampai sekarang semua hasil stabilitas kita berkenaan dengan domain waktu dan eigenvalue yang sesuai dengan respon bebas dari suatu sistem. Tetapi, kita mempelajari dalam Bagian 5.2 bahwa fungsi transfer G(s) untuk sistem 10, untuk dievaluasi, sebagai suatu fungsi frekuensi, pada s = iro, dapat juga bertindak menentukan respon residual terhadap input sinusoidal. Dalam bagain ini kita akan melihat bahwa metode respon frekuensi yang mirip dapat juga menghasilkan infonnasi mengenai stabilitas suatu sistem. Secara historis, metode respon frekuensi ini dikembangkan untuk analisis sistem listrik ac, karena metode itu secara khusus berkenaan dengan input sinusoidal. Tetapi, metode respon frekuensi juga secara langsung dapat diterapkan terhadap sistem mekanik getaran. Sebenamya, teknik-teknik analisis juga dapat diterapkan terhadap analisis stabilitas umum untuk sistem linear koefisien konstan, walaupun input aktual yang direncanakan bukan sinusoidal. Seperti dalam analisis root locus, adalah tepat sekali menulis persamaan ciri, misalkan, untuk sistem dalam Gambar 7.1-1, dalam bentuk o = '1'(05)~ I + F(s).

(7.4-1)

dimana 'P(s) bersesuaian dengan polinomial ciri lingkar tertutup, dan F(s) merupakan

fungsi transfer lingkar terbuka, dari bentuk !\':.

F(s)

f)(s )

~ K~

7>(s)

n

(s -

zJ

= K'~'

'v..I'

II (s

/-

I

. -

PI)

(7..t-21

322


dimana s

= Pi merupakan

pole lingkar terbuka (open-loop pole) dan s

= z/

merupakan zero lingkarterbuka (open-loopzero). Perhatikan bahwa pole F(s),s= Pj,j = 1, ..., Np, merupakan pole dari fungsi 'I'(s)= [.0/(s) + K9.{s)Y.o/(s) dan zero 'I'(s), s = Ak, k = 1, ..., n ~maks{Np,Nz}, merupakan eigenvalues n dari sistem lingkar tertutup. Fungsi 'I'(s) dapat juga dituIisdalam bentuk pole dan zero dalam bentuk yang mirip dengan (7.4-'2). Namun, semua informasi yang berhubungan tercakup dalam fungsi transfer lingkarterbuka F(s)dan kita akan bekerja dengan persamaan ciridalam bentuk F(s)

=-

I + iO.

(7.4-3)

Plot Polar Metode respon frekuensi berkaitan dengan input sinusoidal. jadi kita akan

berurusan dengan F(s) yang dievaluasipada s = iro. Secara khusus, akan menjadi informatif untuk menyusun plot polar F(iro)dalam bidang yang kompleks, dengan memplot (p,
= p (cos Ip + i sin Ip)

-dimana p merupakan modulus F(i(O),yang ditentukan dengan (7.4-5)

clan
ip

.

A

= LF(u.,)= tan- J

Iffi{F(;W)}

(

Re{F(iw)}

)

= tan- I

V (J.L).

(7.4-6)


CONTOH 7.4-1

323

Iistem IIngkaa.Pmama

Pertimbangkan sistem tingkat-pertama yang memiliki fungsi trahsfer lingkar terbuka F(s)

= 1 +I Ts ~

F(iw) =

!

.

I + iwT

(7.4-7)

Kemudian I

(7.4-8)

IF(iw)1= . /1 + (wT)2

LF(iw)

= tan- I( - wT).

(7.4-9)

1m 1

0.5

-1

-0.5

o

1.5

-0.5

-1

-

Gamber 7.4.1 Rot polar ftko) untuk Frs) 1/(1 + Ts)

2 Ro:

324


Plot polar F(iro)ditunjukkandalam Gambar 7.4-1 untuk 0 :5ro< codan T> O. Plot untuk ro negatif adalah simetris terhadap sumbu nyata dan tidak ditunjukkandalam gambar.

CONTOH

7.4-2

SistemTlngkatKedua

Pertimbangkan sistem tingkat kedua yang memiliki fungsi transfer lingkar terbuka w2

n ,. F(s) = ' + ?TW .\'-!:to'" s + W;,

(7.4-10)

Kemudian 1 IF(;w)1

= V[l -

(wlwnff

(7.4-11) + (2 (wlwY'

dan LF(iw) = tan - I

. - 2(wlw" [ I - (wIW")2] .

(7.4-12)

Plot polar F(iro),0:5 ro < co,ditunjukkan dalam Gambar 7.4-2 untuk berbagai nilai rasio peredaman ~.. Ini dapat ditunjukkan bahwa (1) puncak resonan dalam F(iro), ditentukan dengan (5.2-10)-(5.2-11), yang sesuai dengan maks IF(iro)I , dan (2) intercept sumbu imajiner negatif dalam Gambar 7.4-2 yang sesuai dengan ro = ron0Kita tinggalkan bukti tersebut sebagai latihan untuk para pembaca.

CONTOH

7.4-3

SystemPhaseLeadatauLag

Sistem lead dan lag yang sebelumnya dibahas dalam Bagian 6.5 memiliki fungsi transfer dalam bentuk

325


1m 1

2

-2

-3

3 Rc

~= 0.2 -3

Gambar 7.4-2 Plot Polar F(iro)untuk F(s) = ro~/(S2+2l;rons+ro~). F(s)

dimana

"te

>

=

I + TeS I + T".'..'

"to untuk sistem phase lead dan "te < "tountuk sistem phase lag.

Untuk plot polar I + iWTe F(iw) = I + iWT,,'

kita mendapatkan

IF(iw) I = (l+(wTe): y 1+(w1.,J-

rp~ LF(iw) = tan - I(WTe)- tan - I(WT,,). Karena

(7.4-13)

326


tan a tan (a

-

-

tan {3

{3) = 1 + tan a tan {3'

kita mendapatkan

Nilai maksimal atau minimal
o = d~ = dw

!!. 1 + (WT.Y

yang menghasilkan 1

(7.4-14)

Wm= v:;:::;:: dan

~m

= tan -I

~

-r -

tan -I

Ta

~ a

-.

Tr

tiasil ini dapat dimasukkan dalam bentuk yang lebih berguna a-I sin ~m = a + I'

(7.4-15)

dimana a > 1 dan 0 untuk p2ralatan phase lead dan a < 1 dan
iv dan menunjukkanbahwa

(J.'-

, a + I , , (a - 1)- 2 + = 4

-

)

/1"

-

(7.4-16)


1m

a-I 2

00:::00

Re

Gambar 7.4-3 Plot polar untuk peralatan phase lead: F(s)= (1 + .e$)/(1 + .05),a = ../'to

1m

a

(.(+1 2" 00=0

Re

a-I

-r

Gamber 7.4-4 Plot polar untuk peralatan phase lag: F(s)

- (1 + ..,)/(1

+ tQS).a - t..'ra

327

328


Perhatikan bahwa, dari (7.4-15), kemungkinan.nilai maksimum untuk
logJO(wm) = ~ [IOgIO

(~) +

loglo

CJ J.

(7.4-17)

Jadi, pada plot Bode, fase maksimum (minimum) dari peralatan lead (lag) terjadi pada frekuensi yang sesuai dengan titik tengah geometrik antara kedua frekuensi sudut, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.4-5 dan 7.4-6.

Pemetaan (ontour Untuk mengembangkan kriteria stabilitas dalam domain frekuensi, kita akan tertarik terhadap apa yang terjadi terhadap closed contour rs dalam bidang kompleks s jika titik-titik pada rs, dipetakan terhadap titik-titik yang sesuai r'l' dalam bidang kompleks 'I' dengan fungsi 'I' (s) = Jl + iv ditentukari dengan (7.4-1). Situasinya diilustrasikan dalam Gambar 7.4-7. Untuk memulai, kita pertama-tama menyajikan beberapa defjnisi dari teori tentang variabel kompleks. Penyajiannya dalam bentuk fungsi lingkar /tertutup 'I'(s), meskipun hasil terakhir akan diterapkan dengan menggunakan fungsi transfer lingkar terbuka F(s). Fungsi 'I'(s) merupakan analitik pada titik So dalam bidang kompleks jika dan hanya jika

t.

d'I'(s)

-

ds

'

= 11m I

S='O

.

':',-0

'I'(so + ~.I")- 'V(.I"o) ~.I'

ada secara unik bila ~s ~ 0 dari arah di dalam bidang kompleks. Untuk menguji fungsi analitik, misalkan s = x + iy dan 'I'(s) = Jl(x,y)+ iv(x,y), Kemudian 'I'(s) adalah analitik pada s jika dan hanyj:).jika '1'(5) memenuhi persamaanCauchy-Reimann


20

20 loglO(a)

101.D ." ] L;:: 0

-10

1 "i; (0) Magnitude

90

0

1 "i;

w.,

I

w

(b) Phase

Gambar 7.4-5 Plot Bode untuk phase lead device: F(s) = (1 + 't"s)/(1 + 'taS).a= 'te/T:a> 1.

329

330


10

0 .J:J .",

I

]

20

log10

(a)

ii: -10

-20 ...l.. 't,

wm

...l.. 'to

w

(a) Magnitude

...l.. 't,

wm

...l.. 'to

0

... '"

"C

g -45

ii: 'J

-90 (I» Phase

Gambar 7.4-6 Plot Bode untuk phase lag device: F(s)= (1 + t.,s)/(l + taS). a = te/ta < 1.


;w

331

iv

(h)

(a) s-plane

'I'(.f) plane

Gambar 7.4-7 Pemetaan Contour

aIL

ax

= all ay

dan

aIL =

ay

all

ax

(7.4-18)

Jika '¥(s) adalah analitik pada s, maka semua aturan yang biasa untuk diferensial berlaku dan semua derivatif '¥(s) dari semua tingkat ada dan kontinyu di sekitar s. Misalnya, '¥{s)=l/s adalah analitik disemua tempat kecuali pad a s = 0 + iO.Jadi, kecualipada titik asal, '¥'(s}= -1/s2. Fungsi Rasional~ yang ditentukan oleh rasio dua polinomial '¥(s) = N(sYf)(s), adalah analitik kecuali dimana D(s} = o. Pada titik seperti ini, '¥(s) mempunyai pole. Lebih tepat lagi, fungsi '¥(s) memiliki pole dari tingkat k pada s = p, jikadan hanya jika "P(s) ~ (s-p)k'¥(s) adalah analitik pada s = p dan k adalah integer positlf terkecil dimana hal ini benar. Fungsi '¥(s) merupakan pemetaan conformal pada daerah 9' dalam bidang s jika dan hanya jika fungsi itu mempertahankan sudut-sudut baik dalam besaran maupun orientasi, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.4-? Hal ini dapat ditunjukkan (Kreyszig, 1983) bahwa '¥(s) adalah conformal pada daerah .~jika (l)'¥(s) merupakan anaHtik pada 9'dan (2)'¥'(s) "# 0 pada 9'.

332


1m

1m

Re

(a) s-plane

Gambar 7.4-8 arah.

Pemetaaan

Re

(b) '1'(5) plane

Conformal mempertahankan

sudut-sudut, baik dalam besaran maupun

Pertimbangkan contour rs dalam bidang s, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.4-9. Kita ambil garis melintang searah jarum jam mengitari rs sebagai arah positif. Semua titik di sebelah kanan rs seperti yang dilewati

1m

'"'

I

Re

EnCI~'-:':'

Gambar 7.4-9 Titik-titik enclosed dengan contour dalam bidang s.


333

dalam arah positif dikatakan sebagai enclosed dengan rs, yang ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dalam Gambar 7.4-9. Fungsi lingkar tertutup '1'(5)akan menjadi fungsi rasional bemilai tunggal dari bentuk n

II (s 'I'(s)

Ak)

= K k=Np I

II (s -

p)

j=1

Misalkan rs merupakan jalur tertutup (closed path) arbitrer dalam bidang 5 yang tidak melewati pole atau zero '1'(5).Misalkan pula r'l' merupakan jalur tertutup yang sesuai pada titik '1'(5)sebab garis lintang 5 rs dalam arah (arah jarum jam) positif. Jalur r'l' dalam bidang 'I's membuat pengitaran positif N pada titik a jika phasor (garis dari a ke titik bergerak 'I's pada r'l') berputar melalui N x 3600

searah jarum jam sebagai5 garis melintangr s dalam arah Garumjam) yang positif. Seperti diilustrasikan dalam Gambar 7.4.10 dengan a sebagai titik asal,

1m

1m

(u) 2 encirclements of the origin

(bl 1 encirclement of the origin

Gambar 7.4-10 Pengitaran titik asal dalam bidang 'I'(s).

334


jumlah N dari pengitaran
(7.4-19)

Hasil ini mengikuti fakta bahwa

Np

L'I'(s)

= LK -t'

L

k=1

L(s

-

AA)

-

L

L(s - p).

}=I

Untuk zero,s - Akoterdapat + 1 pengitaran titik asal dengan r'l' jika Akberada di dalam rs dan 0 pengitaran titik asal jika Akberada diluar rs. Untuk pola, 1/(5Pj), akan ada -1 titik asal dengan r'l' jika Pj ada di dalam rs dan 0 pengitaran titik asal jika Pj berada diluar rs. Gambar 7.4-11 menggambarkan beberapa aplikasi dari (7.4-19).

Kriteria Stabilitas Nyquist Untuk menterjemahkan hasH dalam (7.4-19) ke dalam kriteria stabilitas, kita menggunakan suatu jalur yang mengelilingi separuh kanan dari bidang kompleks s. Jalur Nyquist rs, yang diilustrasikan dalam Gambar 7.4-12a (yang digunakan dalam Contoh 7.4-4 yang akan kita bahas secara singkat), terdiri dari sumbu imajiner s = :!:irodan setengah lingkaran dari radius tak terhingga yang mencakup separuh kanan bidang s. Jika terdapat pole atau zero 'P(s) pada sumbu imajiner, maka jalur rs menjadi sedikit terganggu untuk me~gitari titik-titik ini ke sebelah kanan yakni dari titik-ti'tikitu, sehingga titik-titik itu tidak "terkitari" dengan Is. Kita dapat menentukan jumlah Z dari zero 'P(s) dalam separuh kanan bidang 5, yakni, jumlah eigenvalues lingkar tertutup yang memiliki bagian nyata positif, dengan cara melintasi jalur Nyquist searah jarum jam dan menentukan jumlah


1m

1m

-x-x

Re

N=3-1=2

1m

1m

a -x

x

x-a Re

a N=1-2=-1

1m

1m

a -x-x

Re

a N=l-l=O (a) s.plane

Gambar 7.4-11

(h)

Cantah-cantah

'I' (J) plane

aplikasi(7.4-19).

335

336


1m

-5

R.

-4

(o) Nyquist path

'01

~...

... "

I

I

/

/

IV'

,

/ /

/ /

1/

~

'

m

!

,,/"

,\ \

rL-O

-1

\

I

L.

_L36

I sit-O ,

0_21t)

Rc

I I I / /

(II c 0+

(h) Ft.) contour

Gambar 7.4-12

Kriteria stabilitas Nyquist untuk Contoh 7.4.-4.


337

N kali yang menghasilkan 'P(s)contour f'l' mengelilingititik asal searah jarum jam dalam bidang 'P(s). KemudianZ dapat dihitung dari (7.4-19). Oleh karena 'P(s)= 1 + F(s),maka titik asal dalam bidang 'P( s) bersesuaian dengan titik F(s)= -1 + iOdalam bidang F(s).MisalkanfF merupakan contour yang dihasilkan dalam bidang F(s)sebagai suatu titik s bergerak searah jarum jam di sekitar jalur Nyquist fs dalam bidang s. Kriteria stabilitas Nyquist adalah kriteria dimana suatu sistem secara asimtot stabil asalkan N + P = O.

(7.4-20)

di mana P = jumlah pole p pada F(s) dengan Re(p) > 0, dan N = jumlah dari pengitaran (arah jarum jam = positif,berlawanan arah jarum jam = negatif)dari titik F(s) = -1 +' iO dengan contour f F dalam bidang F(s). Bilangan N dapat ditentukan, dengan menggunakan suatu sinar dari titik F(s)= -1 +iO, sebagai jumlah waktu dimana contour f Fmelintasi sinar, dengan arah jarum jam positif dan berlawanan jarum jam negatif.

C:()1V1r()ll 7.4-4

Sistem Pengaturan Turret

Sistem pengaturan dalam Contoh 7.3-2 memilikifungsi transfer lingkar terbuka F(s)

=

K s(.\' + 4)( I + 0.2s)

.

Sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.4-12a, jalur Nyquist untuk sistem ini terdiri dari empat segmen: dua segmen pada sumbu s = :tico, dengan o < co< 00 , dan dua setengah lingkaran s = Rei!fl,dengan R -+ 0 atau R -+ 00 dan -1t/2 ::;
.

F(IW)

=

K iw(4 + iw) (I + iO.2w)

338


. IF(IW)1= LF(iw)

=

K wY(l6 + w2) (1 + O.04w2)

-[¥ +

(~)

tan-I

+ tan-l(o.2W)].

Contour F(s) yang sesuai untuk s = irodiplotkansebagai segmen I dalam Gambar 7.4-12b. Contour untuk s = - iroadalah simetristerhadap sumbu nyata dan ditunjukkansebagai segmen IIIdalam Gambar 7.4-12b. Sebagai pengganti dari penge-plot-an yang sebenamya contour f(iro) I,

sebuah sketsa tentang hal tersebut dapat disusun sebagai berikut. Awalcontour F(iro),yang sesuai dengan ro = 0 +, terjadi pada IF(iro)I ~ 00 dan L F(iro) ~ -1t/2, yakni, bergerak ke atas dari - 00 sepanjang sumbu imajiner negatif dalam bidang F(s). Sarna halnya, ujung contour F(iro), yang sesuai dengan ro ~ + 00, terjadi pada IRiro) I ~ 0 dan L F(iro)~ -31t/2, yakni, ke arah bawah pada titik asal sepanjang sumbu imajiner positif dalam bidang F(s). Satu titik tambahan, dimana contour F(iro)melintasi sumbu nyata, adalah penting tidak hanya untuk membuat sketsa F(iro) tetapi juga, seperti yang akan kita pelajari, sebab ini menentukan apakah sistem itu stabil ataukah tidak. Intercept sumbu nyata dapat ditentukan dengan mengkalikan numerator dan denominator F(iro) dengan konjugasi denominator, untuk menulis F(iro)dalam bentuk

Dengan menetapkan v = 0 menghasilkan ro2=20, yang akhimya memberikan Jl = - K/36. Oleh karena titik intercept ini unik, maka contour F(iro)hanya melintasi sumbu nyata sekali dalam bidang F(s). Untuk kedua segemen setengah lingkaran jalur Nyquist, yang sesuai dengan s = Reicp,kita mendapatkan F(s) =.

Untuk R ~ 00

K

. . . Re'''(4 + Re''') (I + O.2Re'

339

K /

Hs)I---O

O.2R3

dan untuk R ~ 0 K

IF(s)l- 4R - - 00. Jadi, contours F(s) yang sesuai dengan, ditunjukkan oleh segmen II dan IV dalam Gambar 7.4-12b, merupakan setengah lingkaran dari radius IF(s) I = konstan -~ 0 dan 00,berturut-turut. Setengah lingkaran II dan IV dalam Gambar 7.4-12b merupakan tipikal untuk kebanyakan fungsi transfer lingkar terbuka dan sering tidak digambarkan secara eksplisit pada plot F(s). Selain itu, contour F(-iro)sering tidak digambarkan, karena simetris dengan F(iro) di sekitar sumbu nyata. Jadi, plot F(s) sepanjang jalur Nyquist mungkin hanya menunjukkan bagian F(iro). Tetapi, untuk menerapkan kriteria stabilitas Nyquist, bagian yang tersirat dari keseluruhan plot F(s) diperlukan, sekalipun bagian itu tidak diplotkan secara eksplisit. Untuk menguji stabilitas sistem ini dengan menggunakan kriteria Nyquist (7.4-20), kita pertama-tama memperhatikan bahwa fungsi transfer lingkar terbuka F(s) tidak memiliki pole dalam separuh kanan bidang s. Jadi, P = 0 dan kriteria Nyquist berkurang menjadi N= O. Yakni, contour F(s) tentunya memiliki pengitaran bersih zero terhadap titik -l+iO dalam bidang F(s). Dari Gambar 7.4-12b kita menyimpulkan bahwa sistem tersebut akan stabil secara asimtot jika K < 36, agak stabil (eigenvalues yang memiliki bagian nyata no!) jika K = 36, dan tidak stabil jika K > 36. Hasil-hasil ini sesuai dengan yang ada pada Contoh 7.3-2.

Margin Gain dan Phase Kriteria stabilitas Nyquist dapat disederhanakan untuk kelompok yang besar

dari sistem pengaturan lingkartertutup. Jika fungsitransfer lingkarterbuka F(s) tidak memiliki pole dalam separuh kanan bidang s, dimana kita akan mengasumsikannya untuk sisa dari bagian ini, maka P = 0 dalam (7.4-20). Untuk

340


kasus ini, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.4-12b untuk Contoh 7.4-4, stabilitas dapat ditentukan secara sederhana dari contour F(iO))dengan 0 < 0) < 00. Sistem lingkar tertutup akan stabil secara asimtot (N= 0) jika titik F(s) = -1 + iO ke arah kiri dari contour F(iO))kalau contour tersebut ke arah meningkatnya 0). Yakni, contour F(iO))tidak boleh "enclose" titik -l+iO. Kedekatan F(iO))dengan titik -l+iO merupakan ukuran stabilitas relatif tentang suatu sistem. Situasinya diilustrasikan dalam Gambar 7.4-13, yang menunjukkan jalur bidang s dan contour F(s) yang sesuai untuk s = a + iO), dengan jalur bidang s yang merupakan garis konstan a atau 0). Untuk jalur konstan a tertentu, contour F(s) yang sesuai akan melewati melalui titik -1 + iO),pada frekuensi 0) tertentu. Kasus ini sesuai dengan s = a :t iO) yang merupakan eigenvalue sistem lingkar tertutup. Nilai a untuk contour F(s) ini menentukan lokasi horizontal dari eigenvalue lingkar tertutup dalam bidang s. Jadi, seperti diilustrasikan dalam Gambar 7.4-14, jarak antara titik F(s) = -1 + iO dan contour F(iO))menunjukkan seberapa dekat eigenvalue lingkar tertutup dengan sumbu imajiner. 1m

1m I I I

nn

I I I

- _:_ - n I

+n I

s

= CJ+ ;00

- -I ioo)

- - - - n:_ - - - ~- - - -I i~)2 -n-n:-n-in--I

I I

I I

I

I

ioo1 Re

Re

(ll) I-plane

Gamba!: 7.4-13

(1))Fe,) plane

Pemetaan contour sepanjang garis konstan CJclan konstan OJ.


y

341

Step response 1m

Irn Clo~.,rJ.loop cigcnv.1lucs >'

F plane

s plane

Rc

Rc

F(iw) (a) Relatively more stable

y

Step response 1m

1m

Closcd-Ioop eigcnvalues x F plane

s plane Rc

Rc

x F(iw)

(bl Relatively less stable

Gambar 7.4-14

Plot Polar clan stabilitas relatif.

Gambar 7.4-15 menunjukkan tipikal plot F(iro)(dan plot Bode yang sesuai) untuk sistem lingkar tertutup stabil yang memiliki fungsi transfer lingkar terbuka F(s) dari bentuk (7.4- 2). Frekuensi ro = roO)di mana F(iro)melintasi sumbu nyata negatif disebut lrekuensi lintas lase (phase cross-over frequency). Frekuensi ro = rok dimana F(iro)melintasi lingkaran unit disebut frekuensi lintas tambahan (gain cross-over frequency).

342


Oleh karena gain K dalam (7.4-2) merupakan multiplier, yang menambah (mengurangi) K pada frekuensi ro tertentu akan mengubah F(iro)dan memindahkan F(iro)menjauhi (menuju) titik asal sepanjang sinar dari titik asal. Secara khusus, terdapat nilai tertentu Kg di mana gain K dapat dikalikan dengannya, ditentukan dengan I Kg = IF(iw
(7.4-21)

sehingga contour F(iro) akan lewat melalui titik -1 + iO. Seandainya gain itu dikalikan dengan lebih dari nilai ini, maka sistem lingkar tertutup tentunya menjadi tidak stabil. Margin gain GM didefinisikan sebagai Kg dalam desibel. Yakni

(7.4-22) Sudut y dari sumbu nyata negatif yang berlawanan arah dengan jarum jam ke titik dimana F(iro)melintasi lingkaran unit dinamakan margin phase PM. Jika phase lag y ditambahkan pada F(s) padaK yang tetap, maka contour F(iro) tentu akan lewat melalui titik -1 + iO, dan jika phase lag tambahan ditambahkan, maka sistem lingkar tertutup tentu akan menjadi tidak stabil. Kriteria stabilitas Nyquist yang disederhanakan, untuk sistem yang tidak memiliki pole lingkar terbuka dalam bidang separuh-kanan, adalah bahwa baik margin gain GM dan margin phase PM harus positi! untuk sistem lingkar tertutup yang stabil secara asimtot. Persyaratan desain tipikal adalah GM~ 8 db dan PM ~ 30°. Dalam prakteknya, margin gain dan margin phase biasanya ditentukan .dari plot Bode F(iro), bukannya dari plot polar. Sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 7.4-15 untuk sistem yang stabil dan Gambar 7.4-16 untuk sistem yang tidak stabil, margin gain diukur pada frekuensi lintas fase ro
-180° .


1m 01'1>

Phase cross-over F-plane

Rc 01. Gain cross-over

F(iw)

+

.CJ "tJ

-

:=

t:

0

Positive gain margin

-90'

Positive phase margin

]-180' :;::

')'" Phase cross-over

"J

-270'

.-

Gambar 7.4-15

Margin gain clan margin phase untuk sistem yang stabiJ.

343

344

Pengantar

Sistem Pengaturan

1m

F-plane

Re

F(iw) +

.J:>

-0

]

Ii::

°1

:

;

.......

w

w

-270°

Gambar 7.4-16

Margin gain clan margin phase untuk sistem yang ticlak stabil


345

Pengimbangan Lead atau Lag Apabila spesifikasi kinerja pada sistem pengaturan feedback ditentukan dalam batasan kriteria domain frekuensi, seperti margin gain atau margin phase, maka plot Bode memberikan perangkat analisis yang berguna; pengimbang phase lead atau lag (phase lead or lag compensators) sering dapat digunakan secara efektif, sebab mereka memberikan alat untuk mengubah phase fungsi transfer lingkar terbuka F(s) dan, begitu pula margin phase dan gain. Secara khusus, mereka memberikan kemampuan untuk memutar contour F(iro) sehingga titik -l+iO ke arah kiri pada saat ro meningkat, dengan demikian menstabilkan sistem yang tidak stabil, atau hanya mengubah margin phase atau gain untuk memenuhi persyaratan stabilitas Nyquist tertentu. Kita mengilustrasikan proses desain tipikal dengan sebuah contoh.

(:()1V1r()1l 7.4-5

Kompensasl Phase Lead

Pertimbangkan sistem yang diilustrasikan dalam Gambar 7.4-17, dengan K Gp(s) = s(1 + s) (1 + O.Ols)' Kita ingin mendesain pengimbang lead atau lag (lead or lag compensator) 1+

TO'S

Gc(S) = 1 + T"S'

dimana fungsi transfer lingkar terbuka menjadi

R (s)

.+,..."

E (s)

Gambar 7.4" 17 Sistem pengaturan feedbackkekeliruan.

(7.4-23)

346


F(s)

=

K

s(l + s) (I + O.Ols)

I +

T..S

(1 + TaS)'

(7.4-24)

untuk menghasilkan sistem lingkar tertutup yang stabil secara asimtot dengan (1) kekeliruan keadaan-tetap (steady-state error), dalam memberikan respon terhadap input ramp unit r(t) = t, e"":$;0.001 dan (2) margin phase ~ 25°. 1. Steady Error dan Nominal Gain. Untuk fungsi transfer lingkar tertutup yes) R(s) steady error output eft)

Gc(s)Gp(s)

(7.4-25)

1 + Gc(s)Gp(s)'

~ r(t) - y(t) memenuhi = 1+

£(s)

1 Res). Gc(s)Gp(s)

(7.4-26)

1/s2, teorema nilai akhir transformasi

Untuk input ramp unit, R(s) Laplace (2.2-5) menghasilkan 0.001 === ex = lim

s-os [I

2.

=

I = .!. ~ K + Gc(s)G pes)] K

===

1000.

Uncompensated System. Untuk Gcfs) = 1 dan K = 1000, plot Bode dalam Gambar 7.4-18 menghasilkan GM = - 20 db PM = - 14', yang sesuai dengan sistem yang tidak stabil, yang memiliki frekunesi lintas tambahan dan lintas fase dari

= 32 rad/see w", = 10 radlsee. w~


347

30 20 :g 10 "" 0 .~ ; -10 -20 -30 . -40 -50 -60 -70 -80 10-1

10.

101

102

103

(d, rad/see (a) Magnitude

180

-90

~ 1-180 ,."

-. - ..

-270

101

10.1

102

(d, ,ad/see (b) Phase

Gambar 7.4-18

Plot Bode untuk Contoh 7.4-5, dengan Gp(s) = K/[s(1 + s)(1 + O,Ols)], Gds)

0.055sYU + 0.00073s), dan F(s)= Gcfs)Gp(s).

= (1 +

348

Pengantar 5istem Pengaturan

3.

Jadi, beberapa bentuk pengimbangan (compensation) diperlukan. Untuk contoh ini kita akan menggunakan pengimbangan phase lead, untuk meningkatkan margin phase menjadi nilai positif. Estimasi Kebutuhan Phase Lead (estimate phase lead required). Kita perlu menyesuaikan phase fungsi transfer lingkar terbuka dengan jumlah t:..cp= 25 - PM

= 25

- (- 14) = 39°,

yang menyatakan bahwa kita memerlukan pengimbang phase lead di sekitar frekuensi lintas tambahan OJk= 32 rad/sec. Tetapi, pengimbang phase lead akan menggeser lintas tambahan ke frekuensi yang lebih tinggi OJ'k, dimana phase lebih kec~l daripada lintas tambahan original; dalam kasus ini, dianggap kurang..Jadi, kita mencoba alat phase lead dengan nilai phase maksimum

50°. Dari (7.4-15)

'1 + sincpm = 7.449, a = 1 - sin CPm

4.

dimana ex= 'te/ta. Tempatkan frekuensi sudut phase lead. Kita ingin menempatkan frekuensi sudut phase lead OJe= 1he dan OJa= 1ha sehingga
Dari Gambar 7.4-18,

besaran ini terjadi pada OJm~ 50 rad/sec.

(b) Untuk frekuensi sudut dari (7.4-14)

~

1'..= -

Wm

I = 0.055 ~ w.. = - = 18.2 rad/sec.

Tf'


349

Kemudian

T(I =

Te

I

ex

To

- = 0.0073::;' W(I= - = 137.0 rad/sec.

Jadi, pengimbang phase lead ditentukan oleh I + 0.0555 Gc(5)

= I + 0.00735'

Sistem pengaturan feedback yang dihasilkan memiliki fungsi transfer lingkar terbuka F(s) = Gls)Gls), plot Bodenya ditunjukkan dalam Gambar 7.4-18. Dari plot Bode ini kita memiliki margin gain yang terimbangi GM'=10 db dan margin phase yang terimbangi PM' = 24°. Oleh karena kedua margin itu positif, maka sistem lingkar tertutup stabil secara asimtot. Gambar 7.4-19 menunjukkan plot polar dari fungsi transfer lingkar terbuka dan tanpa pengimbang phase lead. Gambar ini secara jelas menggambarkan 11m

-~

-5

-4

-3

~

-2

-I

/

1°

1 Re

-I

-2

-3

Gambar 7.4-19 Plot polar untuk Contoh 7.4-5, dengan Gp(s)= KAs(l + s) ( 1+ O.Ols)], Ge(s) = (1 + 0.055s)/(1 + 0.00073s), dan F(s) = Gds)Gp(s).

350


efek peralatan phase lead, seperti putaran yang berlawanan dengan jarum jam pada plot polar untuk fungsi transfer lingkar terbuka.

7.5 LATIHAN 7.5-1

Sistem 10 tertentu digambarkan dengan fungsi transfer

Pengatur feedback kekeliruan yang akan digunakan dalam bentuk U(s)

= K[R(s) -

Yes)].

(a) Gambarkan diagram blok untuk sistem lingkar tertutup. (b) Tentukan fungsi transfer 'untuk sistem lingkar tertutup menyelu ruh. (c) Tentukan akar-akar persamaan ciri dalam batas K. (d) Untuk nilai K berapa sistem lingkar tertutup stabil ? 7.5-2

Suatu sistem yang memiliki fungsi transfer I GI'(s) = 05(52+ 45 + 5)

akan dikontrol dengan alat feedback kekeliruan output, seperti dalam 6.3-1, dengan Ks = 1 dan Gc(s)= K. Untuk K > 0, buktikan root locus yang ditunjukkan dalam Gambar 7.5-1. Secara khusus, tentuk~m nilai-nilai untuk (a) Sudut-sudut asimtot (b) Perpotongan titik asimtot (c) Sudut keberangkatan (d) Perpotongan dengan sumbu imajiner (e) Titik break-out (f) titik break-in


351

Re

Gambar 7.5-1 Root locusuntuk Latihan 7.5-2.

7.5-3

Gambarlah root locus untuk K > 0, dan tentukan kuantitas yang dapat diterapkan yang terdaftar dalam Latrihan 7.5-2, untuk masing-masing dari persamaan ciri berikut ini: (a) s(s + 4)(s2 + 4s + 5) + K = 0 (b) s(s + 4)(s2 + 4s + 8) + K = 0 (c) s(s + 4)(l + 4s + 13) + K = 0

7.5-4

Gambarlah root locus untuk persamaan ciri menyeluruh untuk sistem yang ditunjukkan dalam Gambar 6.1-3 apabila (a) Gp(sJ= l/[s(s2 + 6s + 13)],H(s)= 1, Gis) = K, Ks = 1 (b) Gp(s) = l/[(s + 1 )(s2 + 6s + 13)], H(s) = s + 4, Gis) = K, Ks = 1 dan tentukan nilai K untuk sistem yang stabil.

7.5-5

Buatlah sketsa untuk root locus untuk sistem yang digambarkan dalam Gambar 6.1-3 dimana Gp(s) = 1/[s(s2 + 4s + 5)], H(s) = 1 + s, Gc(s) = K, Ks = 1.

7.5-6

pertimbangkan balok terbalik (Contoh 2.3-3) sebagai sistem 10 tingkat kedua dari bentuk

o-

PI()

+

[J"U

=

C/o/l.

352

Pengantar

Sistem Pengaturan

dimanapo = -17.627/sec, PI = 0.187/sec2, qo = 0.6455 rad/sec2-

V. Untuk sistem pengaturan yang ditunjukkandalam Gambar 7.5-2, gambarlah root locus untuk (a) K > 0 dengan Gis) = 1 dan H(s)= 0 (b) K > 0 dengan Gis) = 0.3/s dan H(s) = 1 (c) 1hi > 0 dengan Gc(s)= l/('tiS), H(s) = 1, dan K = 62.17 (d)K > 0 denganGis) = ('tiS + l)/('tis), H(s) = 0, dan 'ti = 0.1

e (s)

Gambar 7.5-2 Sistem pengaturan untuk Latihan 7.5-6.

7.5-7

Buatlah sketsa root locus secara akurat (K ~ 0) untuk sistem yang ditunjukkan dalam Gambar 7.5-3. Tentukan kuantitas berikut ini: (a) Asimtot (b) Breakpoint (c) Sudut keberangkatan dan kedatangan (d) Intercept Imajiner (e) Rentang nilai K untuk stabilitas.

)'(d

Gambar 7.5-3 Sistem Kontrol untuk Latihan 7.5-7.


7.5-8

353

Sebuah sistem meinilikipersamaan ciri s~

+ Ks + 2K = O.

Tunjukkanlah bahwa titik kompleks pada root locus (K ~ 0) terletak pada suatu lingkaran dan tentukanlah pusat dan radius lingkaran itu. 7.5-9

Suatu sistem memilikipersamaan ciri

0=1+

K(S2

+ 4s + a)

s(s + T) (S2 +

2.5

+ 2)

.

Buatlah sketa root locussecara akuratuntuk K ~ 0 dengan a = 20 clan T = 8. Tentukanlah lokasi dan nilai K untuk masing- masing pelintasan sumbu imajiner. 7.5-10

Untuk sistem dalam Latihan 7.5-9, gunakan teknik Kharitonovuntuk menentukan rentang .nilai parameter untuk K untuk memperoleh stabilitasasimtot terjamin (guaranteed asymptotic stability)dengan 10

~ a ~ 20 dan 5 ~

7.5-11

T ~ 8.

Untuk sistem tingkat pertama dalam Contoh 7.4-1 dan plot polar yang sesuai dalam Gambar 7.4-1, tui1jukkanbahwa . (a) Plot merupakan bagian dari lingkaran. (b) Titik bawah pada lingkaran sesuai dengan co= liT.

'7.5-12 Untuk sistem tingkat kedua dalam Contoh 7.4-2 dan plot polar yang sesuai dalam Gambar 7.4-2, tunjukkan bahwa rasio peredaman l; tertentu dan frekuensidasar COn merupakan (a) Frekuensi Resonan, yang diteritukanoleh (5.2-10), sesuai dengan maks IF(ico)I..

(b) Interceptsumbuimajinersesuaidenganco= COn. 7.5-13 Untuk sistem lead atau lag dalam Contoh 7.4-3, buktikan persamaan (7.4-16). 7.5-14 Dari plot polar dalam Gambar 7.4-2, tentukan rasio peredaman l; untuk k~dua plot yang tidak diberi label.

354


7.6-15 Susunlah plot polar dan Bode F(im)yang akurat, dan masing-masing tunjukkan lokasidan nilai untuk margin gain dan margin gain, untuk sistem lingkartertutup yang memilikifungsitransfer lingkarterbuka F(s)

=

.

10 . (I + s) (I + 0.5s) (I + O.ls)

Apakah sistem lingkartertutup tersebut stabil? 7.5-16 Susunlah plot polar dan Bode F(m)yang akurat, dan masing-masing tunjukkan lokasidan nilai untuk margin gain dan phase, untuk sistem lingkar tertutup yang memilikifungsitransfer lingkarterbuka c:.

c's( )

=

100(s + 10) ?

?

.

(s + 1)- (s- + Ss + 100)

Apakah sistem lingkartertutup tersebtu stabil? 7.5-17 Pertimbangkan sistem pengaturan feedback daTibentuk yang ditunjukkan dalam Gambar 7.4-17 dengan K Gp(s)

= m.

Buatlah desain pengimbang lead atau lag

sehingga spesifikasikinerjabeTikutini terpenuhi: (1)kekeliruanoutput tetap (steadyoutput error) ecos;0.02 dalam respon input langkah unit dan (2) margin phase yang kira-kira60°. SUsunlahplot Bode seperti dalam Gambar 7.4-18, yang menunjukkan amplitudo dan plot phase clan margin gain dan phase sebelum dan setelah pengimbangan (compensation).


355

(J)

100 -70

20

-80

o

-90 -100

-20

-110

.a

-120

[

+--.

"

011

~ -40

-130

~

"... '§

ii: -140 .1

-60

'\I

-150 -160

-80'

-

fo.[ : ~

t- ..~_ :;

,

-170

,

-180 -190

-100

Gambar 7.5-4 Plot Bode untuk Latihan 7.5-18.

7.5-18

Sistem feedback kesatuan, yang memiliki fungsi transfer lingkar terbuka phase minimum F(s), memiliki ploy Bode yang ditunjukkan dalam Gambar 7.5-4. (a) Tentukalllah margin gain GM (dalam db) dan margin phase PM (dalam derajat). Apakah sistem lingkar tertutup tersebut stabil? (b) Tentukanlah F(s)

7.5-19

Pertimbangkan sistem feedback kesatuan yang memiliki fungsi transfer lingkar terbuka

356


190' -170'

200' -160'

210' -150'

270' -90'

280' -80'

290' -70'

Gambar 7.5-5 Plot Polar untuk latihan 7.5-19.

K Hs)

=

s(s + I)(s + 2)'

Untuk K= 2 sistem tersebut memiliki plot polar yang ditunjukkan dalam Gambar 7.5-5. (a) Tentukanlah margin gain GM (dalam db) dan margin phase PM (dalam derajat) untuk K = 2. Apakah sistem lingkar tertutup tersebut stabil? (b) Tentukanlah nilaiK sehingga sistem lingkartertutup memilikimargin phase PM = 20°. Tentukanlah margin gain GM yang sesuai (dalam db).

Realisasi khusus dari sistem ini menghasilkan berikut: (a) Berapa nilai K untuk feedback kekeliruan dari bentuk. U(s) = K[R(s) - 8 (s)]

Recommend Documents