——————————————————————– XVIII.k¨ ot., 1.sz., 2009. okt.
RavaszN´ egyzet – egy kombinatorikai j´ at´ ek ´ ka ´ny B´ ˝ g´ ´n Csa ela, Makay G´ eza, Nyo er Istva A j´ at´ ek le´ır´ asa; jel¨ ol´ esek. A RavaszN´egyzet v´edett nev˝ u t´ abl´ as j´at´ekot id. Incze Attila szegedi fam˝ uves 1999-ben kezdte gy´ artani ´es ´arus´ıtani. Esetleges el˝ozm´enyeir˝ol nem tudunk; Richard K. Guy, a diszkr´et matematikai j´at´ekok egyik legnagyobb szak´ert˝ o je nemr´eg u ´ gy nyilatkozott, hogy eddig nem ismerte ezt a j´at´ekot [2]. A gy´ art´ o fia, ifj. Incze Attila a j´ at´ekra eleg´ans programot ´ırt, amellyel 2004ben d´ıjat nyert a <19 Szabadfog´ as´ u Sz´ am´ıt´ og´ep ifj´ us´agi programoz´ asi versenyen (l´asd: http://verseny.c3.hu/2004/nyertesek/). E cikk tov´abbi r´esz´eben a j´at´ek nev´et csupa kisbet˝ uvel ´ırjuk. T´ abl´ a ja hat sorban ´es oszlopban elhelyezked˝o 36 mez˝ ob˝ol ´all, szab´alya pedig a k¨ovetkez˝o: K´et j´at´ekos felv´altva helyez el egy-egy saj´at sz´ın˝ u b´ abot a t´ abla m´eg el nem foglalt mez˝oinek b´ armelyik´en. A lerakott b´ abok t¨ obb´e nem mozdulnak. Az nyer, aki n´egyzetet csin´al; r´eszletesebben, akinek a b´ abjai elfoglalnak n´egy olyan mez˝ot, amelyek k¨oz´eppontjai valamely n´egyzet n´egy cs´ ucspontj´ at alkotj´ak. Nem k¨ovetelj¨ uk meg, hogy ennek a n´egyzetnek az oldalai p´ arhuzamosak legyenek a t´ abla oldalaival. Szemmel l´athat´oan, a ravaszn´egyzetet j´atszhatjuk sz´amtanf¨ uzet lapj´an is az am˝ oba (m´ as n´even ¨ ot¨od¨ ol˝ o) j´ at´ekhoz hasonl´ oan (k¨ ul¨onb¨ oz˝o sz´ın˝ u b´ abok lerak´asa helyett kereszteket ´es k¨or¨ ocsk´eket ´ırva a r´acsn´egyzetekbe), vagy sakkt´abla alkalmasan elrekesztett hatszor hatos m´eret˝ u r´esz´en, vil´agos ´es s¨ot´et sakkfigur´akkal, ahogyan ´ abr´ aink mutatj´ ak.
A k¨ovetkez˝okben mindig a j´ at´ek ez ut´obbi megval´os´ıt´as´ara gondolunk. ´Igy a mez˝oket ´es a j´ atszm´akat a sakkban szok´ asos m´odon jel¨olhetj¨ uk, ill. ´ırhatjuk le. Meg´allapodunk, hogy a j´ at´ekot a vil´ agos b´ abokkal j´atsz´o f´el kezdi. Az ´abr´ akon ugyanazt a ravaszn´egyzet-feladv´anyt l´atjuk: vil´agos indul ´es harmadik l´ep´es´eben n´egyzetet csin´al. A megold´as: 1. b5+ – d6 2. d1+ +
2
Cs´ ak´ any B´ela, Makay G´eza, Ny˝ og´er Istv´ an
´es a k¨ovetkez˝o l´ep´esben vil´ agos vagy az a2, vagy az f 2 mez˝on n´egyzetet csin´al. Itt + a fenyeget´es jele: ha egy – a t´ abl´ an a fenti ´ertelemben lehets´eges – n´egyzet k´et cs´ ucs´ aban egysz´ın˝ u, pl. vil´ agos b´ ab ´ all, ´es vil´agos elfoglalja ennek a n´egyzetnek egy harmadik cs´ ucs´ at is, mik¨ ozben a negyedik cs´ ucs m´eg u ¨ res, akkor vil´agos l´ep´ese fenyeget´es. Ha s¨ot´et v´alaszl´ep´es´eben n´egyzetet tud csin´alni, akkor a fenyeget´es haszontalan volt, m´ask¨ ul¨onben pedig vil´ agos fenyeget´es´et s¨ot´et egyetlen m´odon v´edheti, ti. az´altal, hogy elfoglalja a negyedik cs´ ucsot. Ha ezzel s¨ot´et egy m´asik n´egyzetnek m´ar ¨ osszesen h´ arom cs´ ucs´ at foglalja el ´es annak a n´egyzetnek a negyedik cs´ ucsa m´eg u ¨ res, akkor s¨ot´et l´ep´ese ellenfenyeget´es. V´eg¨ ul, ha valamelyik j´at´ekos, pl. vil´agos a l´ep´es´evel elfoglalja k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝o olyan n´egyzetnek egy k¨oz¨os cs´ ucs´ at, amelyeknek k´et-k´et cs´ ucs´ an m´ar vil´ agos b´ ab ´allt, negyedik cs´ ucsuk pedig k¨ ul¨onb¨ oz˝o ´es u ¨ res, akkor vil´ agos l´ep´ese kett˝ os fenyeget´es; jele + + . Ha s¨ot´et v´alaszk´ent nem tud n´egyzetet csin´alni, akkor a kett˝ os fenyeget´est egyetlen b´ ab lerak´as´aval nem tudja v´edeni, ´es vil´ agos a k¨ovetkez˝o l´ep´es´evel n´egyzetet csin´al. A bevezetett fogalmak tov´abbi szeml´eltet´es´ere ´ıme egy teljes j´ atszma (javasoljuk, hogy az olvas´o az ´abr´ an l´athat´o m´odon, n´egyzetr´ acsos pap´ıron vagy sakkt´abl´ an j´atssza le): 1. c2 – e3 2. b3 – d1 3. d3+ – c4+ 4. b2+ – c3 5. [a2, b1]+ + (Itt [a2, b1]-et ´ırtunk a2 vagy b1” helyett; ilyen r¨ovid´ıt´est a k¨ovetkez˝okben ” gyakran fogunk haszn´alni.) Most s¨ot´et az a3-on ´es b1-en, vagy a2-n ´es c1-en egyidej˝ uleg fenyeget˝o n´egyzetet nem tudja v´edeni. A ravaszn´ egyzet-t´ etel. Tapasztalataink szerint a ravaszn´egyzet kisiskol´ast´ ol kezdve matematik´ aban is j´ artas feln˝ ottig minden ´erdekl˝od˝ o sz´am´ ara gondolkodtat´ o, ´erdekes j´ at´ek. Gyors j´ atszm´akban rendszerint megmutatkozik a kezd˝ol´ep´es el˝onye, de ez nem t˝ unik ´ altal´ anos ´erv´eny˝ unek, hiszen p´eld´ aul ifj. Incze Attila professzion´ alis ki´ all´ıt´ as´ u programj´ at le lehet gy˝ ozni s¨ot´et b´ abokkal is. Ann´al ink´abb meglep˝o, hogy bebizony´ıthat´ o a k¨ovetkez˝o t´etel: A ravaszn´egyzet j´ at´ekban vil´ agos legfeljebb o ¨t l´ep´esben n´egyzetet csin´ alhat, b´ arhogyan is j´ atszik s¨ ot´et. Az el˝oz˝o mondatot joggal nevezt¨ uk t´etelnek, hiszen matematikai ´all´ıt´as. Ez szembet˝ un˝ obb, ha ´ıgy fogalmazzuk meg: A ravaszn´egyzet nev˝ u kombinatorikai j´ at´ekban vil´ agosnak l´etezik olyan strat´egi´ aja, amely s¨ ot´et b´ armely strat´egi´ aja ellen legfeljebb o ¨t l´ep´esben biztos´ıtja a nyer´est. (L´asd [3], 43-50. o.; a fogalmakra vonatkoz´oan l. [1], 16, 19, 21. o.)
3 Egy k¨onnyedebb ´ atfogalmaz´ as: Megoldhat´ o az a ravaszn´egyzet-feladv´ any, amelynek a ´br´ aja az u ¨res t´ abla, k¨ ovetelm´enye pedig vil´ agos indul ´es o ¨t l´ep´esben n´egyzetet csin´ al”. ” A bizony´ıt´ as el˝ ott gondoljuk meg, milyen — a t´eteln´el gyeng´ebb — ´all´ıt´asok k¨ovetkeznek ismert ´ altal´ anosabb t´enyekb˝ ol. Neumann J´anos kombinatorikai j´at´ekokra vonatkoz´o alapt´etele szerint a ravaszn´egyzetben is h´ arom lehet˝os´eg van: vagy vil´agosnak, vagy s¨ot´etnek van nyer˝ o strat´egi´ a ja, vagy pedig mindk´et j´at´ekosnak van biztons´agos strat´egi´ a ja ([1], 28. o.). A ravaszn´egyzet malomszer˝ u j´at´ek, ez´ert alkalmazhat´o r´a a strat´egialop´ as gondolatmenete ([1], 106. o.), amely mutatja, hogy a ravaszn´egyzetben s¨ot´etnek nem l´etezhet nyer˝o strat´egi´ a ja. Ha a ravaszn´egyzet ´eles j´ at´ek lenne — azaz nem l´etezne d¨ ontetlen eredm´eny˝ u ravaszn´egyzet-j´ atszma —, akkor az eddigiekb˝ol m´ar k¨ovetkezn´ek, hogy benne vi´ nem ez a helyzet: sz´am´ıt´og´epes vizsg´alattal l´agosnak van nyer˝ o strat´egi´ a ja. Am kider¨ ult, hogy a t´ abla telerakhat´o 18 vil´ agos ´es 18 s¨ot´et b´ abbal an´elk¨ ul, hogy ak´ ar vil´agos, ak´ ar s¨ot´et n´egyzet kialakulna. A t´ abla h´ arom ilyen kit¨olt´es´et mutatja a k¨ovetkez˝o ´abra.
A vizsg´alat (amellyel a szegedi Bolyai Int´ezet szervere b˝ o 100 percet t¨ olt¨ ott) azt is megmutatta, hogy nem l´etezik ezekt˝ ol l´enyegesen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o d¨ ontetlen v´eg´all´as, abban az ´ertelemben, hogy minden tov´abbi d¨ ontetlen v´eg´all´as e h´ arom ´all´as valamelyik´eb˝ol elforgat´ as, t¨ ukr¨oz´es ´es sz´ınv´alt´ as u ´ tj´an keletkezik. Annak a bel´at´as´ahoz, hogy a h´ arom ´ all´as l´enyegesen k¨ ul¨onb¨ oz˝o, vegy¨ uk ´eszre, hogy a) n´egy sz´ele k¨oz¨ ul egyiken sincs pontosan h´ arom vil´ agos b´ ab, b) mindegyik sz´el´en pontosan h´ arom vil´agos b´ ab van, m´ıg c)-nek van pontosan h´ arom vil´agos b´ abot tartalmaz´ o sz´ele ´es h´ aromt´ ol k¨ ul¨onb¨ oz˝o sz´ am´ u vil´ agos b´ abot tartalmaz´ o sz´ele is. Ezeket a tulajdons´ agokat azonban az elforgat´ as, t¨ ukr¨oz´es ´es sz´ınv´alt´ as v´altozatlanul hagyja. A t´etel bizony´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eg¨ unk lesz a k¨ovetkez˝o fogalomra: a t´ abla k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝o mez˝o je n-edfok´ u mez˝ op´ art alkot, ha a t´ abl´ an pontosan n olyan n´egyzet van, amely mindk´et tekintett mez˝ot cs´ ucsk´ent tartalmazza. L´ atjuk, hogy mez˝op´ar foksz´ ama 0, 1, 2 ´es 3 lehet; harmadfok´ u p´ ar p´eld´ aul {c1, c3}, m´asodfok´ u {a2, b1}, els˝ofok´ u {a1, f 6}, nulla foksz´ am´ u {a1, f 5}. J´atszma k¨ozben egy n-edfok´ u mez˝op´ar szabad, ha azoknak a n´egyzeteknek, amelyeknek cs´ ucsa a tekintett k´et mez˝o, egyetlen tov´abbi cs´ ucsa sincs m´eg b´ abbal elfoglalva.
4
Cs´ ak´ any B´ela, Makay G´eza, Ny˝ og´er Istv´ an
A t´ etel bizony´ıt´ asa. Azt mutatjuk meg, hogy ha vil´agos els˝o l´ep´es´evel a n´egy k¨oz´eps˝ o mez˝o (c3, c4, d3, d4) valamelyik´et foglalja el, akkor vil´agosnak (1) van olyan m´asodik l´ep´ese, amellyel szabad harmadfok´ u mez˝op´art foglal el, (2) van olyan harmadik l´ep´ese, amely fenyeget´es, ´es s¨ot´etnek az ezt v´ed˝o l´ep´ese nem ellenfenyeget´es, (3) van olyan negyedik l´ep´ese, amely kett˝ os fenyeget´es, b´ armelyik mez˝oket is foglalja el s¨ot´et els˝o, m´asodik ´es harmadik l´ep´es´evel. Legyen vil´ agos els˝o l´ep´ese c3. A k¨ovetkez˝o gondolatmenet szimmetriaokokb´ ol alkalmazhat´o a c4, d3, d4 kezd˝ ol´ep´esekre is. R´eszletesen le´ırjuk vil´agosnak az (1), (2), (3) pontokban le´ırt tulajdons´ ag´ u l´ep´essorozat´ at s¨ot´et minden (v´ alasz)l´ep´essorozat´ ara, a j´ atszm´ak le´ır´ as´ anak az els˝o fejezetben bemutatott m´odj´at haszn´alva. R¨ ovids´eg kedv´e´ert xn fogja jel¨olni a t´ abla n-edik sor´at, teh´at az an, bn, cn, dn, en, f n mez˝ok halmaz´at; hasonl´ oan, ny jel¨oli a t´ abla n jel˝ u oszlop´at, vagyis az {n1, n2, n3, n4, n5, n6} halmazt; tov´abb´a mm jelent´ese: minden m´as l´ep´es”, mmnmf jelent´ese: minden m´as, nem mell´ek´ atl´ o f¨ol¨otti ” ” l´ep´es”. (A t´ abla sorair´ ol, oszlopair´ ol, f˝ o- ´es mell´ek´ atl´ o j´ar´ol a determin´ansokn´al szok´ asos ´ertelemben besz´el¨ unk.) ´Igy 1. c3 – d4 2. c1 – [x5, x6, ay, d1, ey, f 1, f 3] 3. b2+ – d2 4. c2+ + azt mutatja be, hogy s¨ot´et d4 els˝o l´ep´es´ere vil´agos a {c3, c1} harmadfok´ u szabad mez˝op´art foglalja el, ´es ha s¨ot´et erre az 5. vagy 6. sorba, az a vagy e jel˝ u oszlopba, vagy pedig d1-re, f 1-re vagy f 3-ra helyezi b´ abj´at, akkor vil´agos b2 l´ep´ese fenyeget´es, amelyet s¨ot´et csak d2-vel v´edhet, erre pedig a c2 kett˝ os fenyeget´es k¨ovetkezik. A tov´abbi lehet˝ os´egek 1. c3 – d4, 2. c1 ut´an: 2. – [b1, b2, b3.b4, c2, c4, d2, d3, f 2, f 4] 3. a3+ – a1 4. c5+ + Itt s¨ot´et m´asodik l´ep´es´ere m´ar haszn´alhattuk volna az mm jel¨ol´est. Ha s¨ot´et 1. c3 ut´an a mell´ek´ atl´ o valamely tov´abbi mez˝o j´ere (a1, b2, e5, f 6) l´ep, vil´agos ´ıgy folytatja: 1. – a1 2. d4 – [b2, d2] 3. b4+ – c5 4. c4+ +
2. – mmnmf 3. b4+ – c5 4. b2+ +
A szimmetria miatt elegend˝o volt s¨ot´et nem mell´ek´ atl´o f¨ol¨otti l´ep´eseit vizsg´alnunk. M´ asr´eszt a f˝oa´tl´ ora vonatkoz´o szimmetria miatt s¨ot´et f 6 els˝o v´alaszl´ep´es´evel sem
5 kell k¨ ul¨on foglalkoznunk. Ugyanilyen a helyzet s¨ot´et b2 ´es e5 els˝o v´alaszl´ep´esei eset´en, ez´ert k¨oz¨ ul¨ uk itt csak b2-re adjuk meg vil´agos nyer˝o l´ep´essorozatait: 1. 2. 3. 4.
c3 – b2 d4 – [d2, e3, e5, f 4] c4+ – d3 c5+ +
2. – e3 3. c5+ – b4 4. c4+ +
2. – mmnmf 3. c5+ – b4 4. e5+ +
H´ atravannak s¨ot´etnek azok a v´alaszl´ep´esei 1. c3-ra, amelyek nem a mell´ek´ atl´ora esnek. Csak a mell´ek´ atl´ o alatti l´ep´eseket vizsg´aljuk. Megmutatjuk, hogy s¨ot´et d2, d3 vagy e3 l´ep´es´ere b4, minden m´as l´ep´es´ere d4 lesz vil´agos (¨ ot¨odik l´ep´es´eben) nyer˝o folytat´asa: 1. 2. 3. 4.
c3 – [d2] b4 – [a3, a5, b2] c5 – d4 c4+ + 1. 2. 3. 4.
1. 2. 3. 4.
c3 – [d3] b4 – [a3, a5, b2] c5 – d4 c4+ +
c3 – [e3] b4 – [a3, b2, c1, c2] c5+ – d4 c4+ +
2. – [c5, d4] 3. a3+ – b2 4. b3+ +
2. – mm 3. a3+ – b2 4. c5+ +
2. – [c5, d4] 3. b2+ – a3 4. b3+ + 2. – [b3, c4] 3. b2+ – a3 4. d4+ +
2. – mm 3. a3+ – b2 4. c5+ +
2. – [c5] 3. a3+ – b2 4. b3+ +
2. – mm 3. b2+ – a3 4. b3+ +
S¨ ot´et tov´abbi 12 lehets´eges els˝o v´alaszl´ep´ese k¨oz¨ ul csak a b1, c1, c2, d1, e1, e2, f1 l´ep´esekkel kell foglalkoznunk, ez´ uttal a f˝ oa´tl´ ora vonatkoz´o szimmetria miatt: 1. 2. 3. 4.
c3 – [b1, c1, d1, e1, f1] d4 – [b2, b3, b4, c5, f 4] 2. – [c4, d3] 2. – [a3, e3] 2. –mm d2+ – e3 3. d2+ – e3 3. c5+ – b4 3. b4+ – c5 d3+ + 4. b4+ + 4. c4+ + 4. c4+ +
1. 2. 3. 4.
c3 – [c2, e2] d4 – [b3, b4, c5] e3+ – d2 d3+ +
2. – [c4, d3] 3. d2+ – e3 4. b4+ +
2. – [f 2, f 5] 3. c5+ – b4 4. c4+ +
2. – mm 3. b4+ – c5 4. c4+ +
Ezzel a bizony´ıt´ as k´esz. Nem meglep˝o, hogy a t´etel nem ´eles´ıthet˝o: ¨otn´el kevesebb l´ep´esben vil´agos csak s¨ot´et t´ amogat´as´ aval” nyerhet. Ez abb´ol k¨ovetkezik, hogy n´egyzetet az ellenf´el ” korrekt j´at´eka mellett csak kett˝ os fenyeget´es ut´an lehet csin´alni.
6
Cs´ ak´ any B´ela, Makay G´eza, Ny˝ og´er Istv´ an
Sz´ am´ıt´ og´ ep — m´ eg egyszer. Az el˝ oz˝o r´eszben le´ırt strat´egia annyiban egyszer˝ u, hogy vil´agos m´asodik l´ep´ese csak a d4, a c1 ´es a b4 mez˝ok valamelyike lehet, ha s¨ot´et els˝o l´ep´ese nem mell´ek´ atl´ o feletti. A mell´ek´ atl´ ora val´o t¨ ukr¨oz´es miatt b4-b˝ ol ´ c1 t¨ megkapjuk m´eg d2-t is, mint vil´ agos lehets´eges m´asodik l´ep´es´et. Am uk¨ork´epe, az a3 mez˝o nem sz¨ uks´eges a nyer˝ o strat´egi´ ahoz: azt kiz´ar´olag a s¨ot´et d4 l´ep´es´ere adott vil´agos v´alaszn´al haszn´aljuk, ´es akkor a t´ abla mell´ek´ atl´ ora val´o szimmetri´ a ja miatt mind a c1, mind az a3 mez˝o – s˝ot b2 is – megfelel˝o l´ep´es. ´Igy vil´agosnak mind¨ossze n´egy lehets´eges m´asodik l´ep´ese van a fenti bizony´ıt´asban, mindazon´ altal vil´agos ott megadott strat´egi´ a j´ anak memoriz´al´asa f´arads´ agos. Sz´am´ıt´og´ep seg´ıts´eg´evel azonban tal´ alunk olyan, ugyancsak ¨ot l´ep´esben nyer˝o strat´egi´ at, amely ugyanazon az elven alapul, ´es k¨onnyebben megtanulhat´o. Ebben vil´agosnak szint´en n´egyf´ele m´asodik l´ep´ese lehets´eges (hogy melyik sz¨ uks´eges, azt nem neh´ez megjegyezni), viszont harmadik l´ep´es´eben csup´ an n´egy lehet˝os´eg k¨oz¨ ul kell kiv´ alasztania a megfelel˝ot. Ehhez el˝ osz¨ or gondoljuk meg – sz´am´ıt´og´ep n´elk¨ ul sem neh´ez –, hogy els˝o h´ arom b´ abj´ at vil´ agos mindig (azaz s¨ot´et b´ armely els˝o ´es m´asodik l´ep´ese eset´en) lerakhatja az al´ abbi ´abr´ an l´athat´o valamelyik m´odon:
Nevezz¨ uk minim´ alis ferde der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ ognek (r¨oviden mfd-h´ aromsz¨ ognek az (a1, b2, c1) h´ aromsz¨ oggel egybev´ ag´o h´ aromsz¨ ogeket. L´ atjuk, hogy ´abr´ ank a c3 mez˝ot tartalmaz´ o¨ osszes mfd-h´aromsz¨ oget ´es csak ezeket tartalmazza. A sz´am´ıt´ og´epes elemz´es megadta, hogy s¨ot´etnek a kezd˝ol´ep´es ut´ani v´alaszl´ep´eseire hogyan v´alaszoljon vil´ agos ahhoz, hogy harmadik l´ep´ese ut´an b´ abjai a most
7 l´atott tizenk´et helyzet valamelyik´et foglalhass´ ak el, m´egpedig u ´ gy, hogy negyedik l´ep´ese m´ar kett˝ os fenyeget´es lehessen (´es v´edje s¨ot´et esetleges ellenfenyeget´es´et is). Ezt a k¨ovetkez˝o n´egy r´eszes ´ abra mutatja. Vastag kerettel jelezz¨ uk a g´ep strat´egi´a j´anak m´asodik l´ep´es´et s¨ot´et (ugyanott l´athat´o) els˝o l´ep´eseinek b´ armelyike ut´an:
Vil´agos m´asodik l´ep´es´et ´ abra helyett egyetlen k¨onnyen ´eszben tarthat´o mondatban is megadhatjuk: vil´ agosnak a d4, d2, b4 ´es b2 (vagyis c3-mal cs´ ucsszomsz´edos) mez˝ok k¨oz¨ ul azt kell kiv´ alasztania, amelyik a c3 mez˝ovel egy¨ utt szabad harmadfok´ u mez˝op´art alkot. A szabad harmadfok´ us´ag ellen˝ orz´ese egyszer˝ u: a k´et mez˝o alkothatja a leend˝o n´egyzet ´ atl´ o j´ at (egy ilyen n´egyzet van) vagy egy oldal´ at (k´et ilyen n´egyzet van). Az ´ abr´ ar´ ol k¨onnyen leolvashat´o, hogy a n´egy mez˝o k¨oz¨ ul legal´ abb az egyik mindig megfelel˝o lesz, ´es a sz´am´ıt´og´ep megmutatta, hogy vil´agos b´ armelyik ilyen mez˝ot v´alaszthatja. Harmadik l´ep´es´eben pedig vil´agosnak az addig elfoglalt k´et mez˝ovel egy¨ utt mfd-h´aromsz¨ oget alkot´o n´egy mez˝o k¨oz¨ ul kell elfoglalnia a megfelel˝ot. M´ as sz´ oval, egy olyan h´ arom l´ep´eses ravaszn´egyzet-feladv´anyt kell megoldania, amely k¨onny˝ u, mert a kulcsl´ep´esre” legfeljebb n´egy lehet˝os´eg van. ” A sz´am´ıt´ og´epes elemz´es azt is megmutatta, hogy nem lehets´eges h´ arom olyan mez˝ot mondani, mint vil´ agos lehets´eges m´asodik l´ep´es´et, amelyek valamelyik´evel vil´agos minden esetben 5 l´ep´esen bel¨ ul megnyern´e a j´atszm´at. Az itt bemutatott, sz´am´ıt´og´eppel nyert strat´egia helyess´eg´et k´ezi er˝ovel” is ellen˝ orizhetj¨ uk; ez ” hosszadalmas munka. A gyorsan nyer˝ o strat´egia l´etez´ese nem teszi ´erdektelenn´e a j´at´ekot. Amikor di´akjainkkal, kis rokonainkkal ravaszn´egyzetet j´atszunk (persze, lehet˝oleg s¨ot´ettel :-), geometriai ´erz´ek¨ uk, a n´egyzetekr˝ol alkotott intuit´ıv k´ep¨ uk, kombinat´ıv k´eszs´eg¨ uk fejl˝ odik; els˝o, k´es˝ obb sorozatos nyer´es¨ uket ¨or¨ommel konstat´ alhatjuk. A 20. sz´azad nagy gyermekpszichol´ ogusa, Jean Piaget megfigyelte, hogy a gyermek ¨ot´eves kor´at´ol kezdve egyre biztosabban ismeri fel a n´egysz¨ogek k¨ ul¨onb¨ oz˝os´eg´et ([4], 111-122. oldal). Eszerint ilyen kor´ u gyermekkel m´ar lehet ravaszn´egyzetet j´atszani, ´es ezt szem´elyes tapasztalatunk is al´at´amasztja. Az ebben a cikkben le´ırt strat´egi´ at ismer˝ ok is tal´ alhatnak u ´ j kih´ıv´ asokat a ravaszn´egyzetben. P´eld´ aul meg´allapodhatnak abban, hogy els˝o k´et l´ep´es¨ ukben nem raknak b´ abot a k¨oz´eps˝ o mez˝okre; vagy abban, hogy els˝o k´et l´ep´es´eben egyik j´ at´ekos sem alak´ıthat ki harmadfok´ u p´ art. V´eg¨ ul, de nem utols´ osorban, ´erdekes lehet a betli-ravaszn´egyzet,
8
Cs´ ak´ any B´ela, Makay G´eza, Ny˝ og´er Istv´ an
amelyben az vesz´ıt, aki n´egyzetet csin´al. Az ´erdekl˝ od˝ o olvas´ o a j´ at´ekr´ol ´es a jelen cikk el˝ozm´enyeir˝ol tov´abbi inform´aci´okat szerezhet a [3] dolgozatb´ ol. Irodalom [1] Cs´ak´ any B´ela, Diszkr´et matematikai j´ at´ekok, 2. kiad´as. Polygon, 2005. [2] Fodor Ferenc sz´ıves k¨ozl´ese, 2010. j´ unius 16. [3] Ny˝ og´er Istv´an, A RavaszN´egyzet nev˝ u diszkr´et matematikai j´ at´ek elm´eletben ´es gyakorlatban. Szakdolgozat, SZTE Bolyai Int´ezet, 2010. [4] Jean Piaget, V´ alogatott tanulm´ anyok. Gondolat Kiad´ o, 1969.
