I I Pyfhagoras wiskunde tijdschrift voor jongeren 'JM stichting ivio
jaargang 26 nummer 3 maart 1987
De maantjes van Hippokrates /J<^
Figuur 1
\ j /
.
\.y
Het vignet dat w e al jarenlang gebruiken bij de opgaven en antwoorden van de Pythagoras Olympiade bestaat uit een rechthoekige driehoek en drie halve cirkels, waarvan de middelpunten zijn: de middens van de zijden van die driehoek (figuur 1). Erwin Charlier uit Nederweert w a s geïnteresseerd geraakt in deze figuur, en vond een bewijs voor de eigenschap dat de oppervlakte van de t w e e donkere 'maansikkels' gelijk is aan die van de driehoek. We geven zijn bewijs hier niet, maar w e zullen wat vertellen over de achtergronden van deze heel speciale figuur. Andere lezers zullen het bewijs(je) ook wel kunnen vinden, zeker als w e er van zeggen dat er niets moeilijkers in voorkomt dan de formule voor de oppervlakte van de cirkel en - natuurlijk - de stelling van Pythagoras. Hippokrates De vignet-figuur heeft te maken met het beroemde klassieke probleem van de 'kwadratuur van de cirkel'. Meer dan tweeduizend jaar lang is er gezocht naar een met passer en liniaal te construeren figuur waarin zowel een vierkant ('kwadraat') als een ci'rifei voorkomt, met exact gelijke oppervlakte. Pas in de vorige e e u w is bewezen (door de Duitser Lindemann in 1882) dat dit vraagstuk géén oplossing heeft! De Griek Hippokrates van Chios (± 440 voor Chr.) meende op de goede w e g te zijn toen hij figuren vond met de volgende eigenschappen: - er komen een of meer gebieden in voor die uitsluitend door
cirkelbogen worden begrensd (de maantjes, sikkels, kromzwaarden en ook volledige cirkels), - er komen een of meer gebieden in voor die alleen door réchte lijnstukken worden begrensd (driehoeken, vierkanten, zeshoeken, enzovoorts), — de totale oppervlakte van de kromlijnige gebieden is exact gelijk aan die van de rechtlijnige gebieden. Men wist toen al wél hoe uit rechtlijnige figuren een even groot vierkant geconstrueerd kon worden. En men hoopte op een dergelijke manier uit de kromlijnige figuren een even grote cirkel te kunnen maken. Deze hoop bleek dus uiteindelijk ijdel te zijn. 1
Voorplaat en varianten In de figuren 1 tot en met 5, en ook in de omslag-figuur, zie je steeds donkere kromlijnige gebieden en lichtere veelhoeksgebieden. Al deze figuren zijn zó geconstrueerd dat de 'donkere' en de 'lichte' oppervlakte even groot zijn. Uit de ingetekende constructie-gegevens is dat niet zo moeilijk af te leiden. Met enig zoeken en prutsen zijn er nog wel méér van zulke (laten w e zeggen) Hippokrates-figuren te vinden. Stuur je eventuele vondsten graag naar ons op, misschien levert dat nog wel meer mooie voorplaten op?!
Figuur 3
Figuur 2
Figuur 4
7
Figuur 5
3
Möbius met driehoeken
Doorgaans wordt een möbiusband van e e n strook papier gemaakt. J e legt er een halve slag in en plakt de uiteinden aan elkaar (figuur hierboven). Uitgaande van een vlak stuk papier of karton geven w e hier twee varianten op de gewone, vloeiend gebogen möbiusband. Het zijn halve slag möbiusbanden, opgebouwd uit een aantal geüjke driehoeken.
\
A
Figuur 1. Bouwplaat voor een möbiusband opgebouwd uit zes gelijl(e gelijkbenige rechthoekige driehoeken.
/
yt y^iteéad^k
/
\
i
1>V
/ / u
Gelijlcbenige reclitlioeliige drielioeken Figuur 1 is een bouwplaat voor een (halve slag) möbiusband die bestaat uit zes gelijke gelijkbeni4
u
/
ge driehoeken. Er moet worden gevouwen langs d e lijnen met een u of een i. Bij een u moet de vouwlijn naar buiten komen; bij een i naar binnen. Door het lipje
met de letter A op de plek met de andere A te plakken maak je de band sluitend. Gelijkzijdige drielioeken Figuur 2 is een bouv\?plaat voor een (halve slag) möbiusband opgebouwd uit zeven congruente gelijkzijdige driehoeken. Je gaat daarbij net zo te werk als bij de bouwplaat van figuur 1. Met minder dan zeven gelijkzijdige driehoeken kun je ook een band van Möbius fabriceren. Met zes en zelfs vijf driehoeken lukt het ook (probeer het maar eens!). Alleen krijg je dan wat in elkaar gedrongen banden, die naar onze smaak minder fraai zijn dan het resultaat van de bouwplaat uit figuur 1. Dat de bouwplaten uit de figuren 1 en 2 inderdaad möbiusbanden opleveren, is gemakkelijk te controleren door ze te vergelijken met de 'gewone' möbiusband. Zelf ontwerpen? Wellicht vormen de bouwplaten die w e hier hebben gegeven, een aanzet om zelf andere te ontwerpen. Probeer dan steeds met zo min mogelijk gelijke (niet gebogen) driehoeken tot banden te komen die niet in elkaar gedrongen zijn. Er moet dus om zo te zeggen een gat in zitten waar je doorheen kunt kijken. Van fraaie resultaten worden w e graag op de hoogte gehouden.
Figuur2- Bouwplaat voor een möbiusband —» opgebou wd uit zeven gelijke gelijkzijdige driehoeken.
Dampaden Een damsteen wordt op een van de vier donkere velden op de eerste rij van een voor de rest leeg schaakbord gezet. Van daaruit kan de steen (volgens de normale regels van het dammen) langs verschillende paden naar elk van de vier donkere velden van de laatste, de achtste rij, worden geschoven. Er is een paar van begin- en eindvelden waarvoor het aantal paden maximaal is. Geef a a n welk paar velden dat is, en hoeveel verschillende paden daartussen mogelijk zijn. Dit probleem is te vinden in 'De mathematische kermis, eerlijke en oneerlijke wiskunde' van de Amerikaan Martin Gardner. Het boekje is enige tijd geleden als een keuze uit 'Mathematical carnival' bij Uitgeverij Contact te Amsterdam verschenen. Iedereen vindt daarin wel iets van zijn gading. Naast aUerlei andere problemen, puzzels en spelen bevat het een schat aan informatie over onderwerpen als Rekenw?onders, Trucs van snelrekenaars, Toevalscijfers, De driehoek van Pascal, enzovoorts. Dat aUes wordt zó behandeld, dat elke lezer van Pythagoras er mee uit de voeten kan. Oplossing Uiteraard worden de in de tekst opgeworpen vragen en problemen aan het einde van elk hoofdstuk behandeld. Zo wordt bovenstaand probleem tot klaarheid gebracht aan de hand van de gegeven figuur. Wanneer de damsteen op het derde donkere veld van de eerste (onderste) rij begint, kunnen de velden die van daaruit bereikbaar zijn, met getallen worden aangegeven. Elk getal geeft het aantal verschillende paden aan waarlangs de steen vanuit de begin-
positie dat veld kan bereiken. (Kun je daar een systeem in ontdekken?) De meeste paden lopen dus naar het t w e e d e donkere veld op de laatste (bovenste) rij: 35. Dit is tevens h e t gevraagde maximale aantal. Als je namelijk begint op elk van de drie andere donkere velden van de eerst e rij, dan levert dat telkens minder verschillende paden. Ga zelf maar na I Hoe groot is het maximale aantal verschillende paden op een normaal (tien bij tien) dambord, en tussen welk paar velden wordt dat bereikt?
w
Het boekje is in iedere boekhandel in Nederland en België te verkrijgen. Nadere gegevens: 'De mathematische kermis' door Martin Gardner, Uitgeverij Contact, Amsterdam (ISBN 90 254 6591 9; prijs ƒ 24,50). 6
De vier-cirkel-klok
Hierboven zie je een opgave van een soort dat in puzzelboeken regelmatig voorkomt. De vraag is om in de twaalf open rondjes de getallen 1, 2, . . ., 12 zó te plaatsen dat het totaal op elk van de vier cirkels gelijk wordt. Probeer eerst maar eens of je dat lukt. Het is een opgave van een heel ander soort dan w a t je in de schoolboeken tegenkomt. De kans is daarom groot dat je geen idee zult hebben hoe je dit aan kunt pakken. Met zo maar w a t in het wilde w e g proberen breng je het waarschijnlijk niet ver. Wij tenminste niet. Het duurde een hele poos vóór w e op het idee kwamen dat d e cirkels in de opgave-figuur niet echt belangrijk zijn voor het probleem. En dat de figuur dus vervormd mocht worden tot iets dat er w^at overzichtelijker uitziet. Een aantal resultaten van dat vervormen zie je in figuur 2. We h e b b e n letters bij de snijpunten
gezet die voorlopig de tvwaalf getallen vervangen. Die letters staan in alle figuren op overeenkomstige plaatsen; je kunt zo de manier van vervormen volgen aan de hand van de letters. Samenvallende snijpunten krijgen t w e e letters. De in de plaats komende getallen moeten worden opgeteld, maar voor de overzichtelijkheid van de figuur h e b b e n w e alle plustekens weggelaten. De laatste figuur (2h), de ribben van een viervlak in de ruimte, vonden w e het makkelijkst om verder te onderzoeken. Zo'n viervlak is nEtmelijk een bekende figuur, je kunt er makkelijk bij praten over hoekpunten, zijvlakken en ribben.
7
Figuur 2
a. Dezelfde vier cirkels als in figuur 1, met de snijpunten benoemd door letters.
b. Eén van de vier cirkels is naar het midden geschoven, en wat kleiner geworden. Het wisselen van de volgorde van de snijpunten heeft geen invloed op het totaal per cirkel.
Belangrijke o n t d e k k i n g Het w a s in deze hulpfiguur 2h dat w e (en laten w e het maar bekennen: na e e n lange omweg!) een belangrijke ontdekking deden. De eis van de gelijke totalen op de vier cirkels in figuur 1, is nu vervormd tot de eis d a t bij elk 8
c. De figu ur wordt overzich telijker als de cirkels elkaar maar weinig overlappen. En het is nergens voor nodig om volledige cirkels te tekenen, het gaat er alleen om bepaalde groepen punten met elkaar te verbinden. Ook mogen paren snijpunten samenvallen: de cirkels raken dan juist.
d. Het verbinden van punten kan evengoed met rechte als met gebogen lijnstukken. h o e k p u n t de samenkomende ribben gelijke totalen dragen. Kijk e e n s naar het gezamenlijke totaal v an de hoekpunten A en B van h et viervlak. Dit totaal b e s t a a t uit t w e e m a a l de voorste (omhooglopende) ribbe a p plus de vier
g. Deze figuur ontstaat als de bij f e. Ook de middelste cirkel is hier genoemde tussen-verbindingen helemaal vervangen door een rechte lijn, onder wegvallen. De eilandjes zijn lijnstukken verwisseling van de volgorde van de geworden. gemeenschappelijke punten op de De regelmaat is nóg niet optimaal, het rechter lijn. Helemaal mooi regelmatig is middelste punt is in een uitzonderingsdeze figuur echter nog steeds niet, positie. Dit kan alleen ondervangen daarom vervangen we d liever door f worden door . . . de ruimte in te gaan!
f. De raak- en snijpunten van vorm d vervangen we door langwerpige eilandjes: de verbindingen ertussen laten we h. In dit ruimtelijke viervlak hebben alle steeds korter worden. ribben een gelijkwaardige positie. schuin naar achter gaande ribben. Vergelijk dit met het gezamenlijk totaal bij de beide achterste hoekpunten C en D: dat totaal is tweemaal de achterste (horizontale) ribbe ds plus dezelfde vier van voor naar achter gaande ribben van daarnet.
Het gezamerüijk totaal van A en B moet gelijk zijn aan dat van C en D (want de totalen bij A, B, C en D zijn alle vier gelijk). En dus blijkt na het t e g en elkaar wegvallen van de vier voor-achter-verbindingen dat ribbe AB gelijk is aan ribbe CD.
9
Een dergelijke redenering kun je houden voor de beide andere paren overstaande ribben. Zo vinden w e als resultaat: bij overstaande ribben horen gelijke getal-totalen. Hiermee h e b b e n w e de sleutel tot de oplossing.
(ongeordende) getallen-drietal {a-\-p), (Jb-f-g), (c-l-r) dan vonden w e daar al 33 verschillende mogelijkheden voor. De m e e s t e daarvan zijn nog weer in meer varianten te spUtsen (zie het t w e e d e en derde voorbeeld hierboven).
De a l g e m e n e oplossing Het viervlak 2h heeft dus slechts drie verschUlende soorten ribben. In elk van z'n hoekpunten eindigt één ribbe van iedere soort. En dus zal het getal-totaal per hoekpunt constant zijn, mits de overstaande ribben gelijk te maken zijn. Geschreven op de 'gewone' manier, eds vergeüjkingen, ziet die laatste eis eruit als:
Simpele oplossinge n Een heel snelle (eigenlijk w a t flauwe) manier om figuur 1 volgens het voorschrift in te vullen werkt als volgt. Gebruik uitsluitend getallenparen met als som 13 (dus: 1-12, 2-11 6 - 7 ) , en gebruik zo'n getallenpaar steeds voor e e n snijpuntenpaar van t w e e cirkels. Per cirkel is het totaal dan automatisch steeds gelijk a a n 3 x 13 = 39.
a -\- p = d -i- s b-^ q = e + t c +r =f + u Aan dit stelsel moet voldaan worden door de getallen 1, 2,. . ., 12. Dit bUjkt erg gemakkelijk te zijn, met een heel klein beetje handigheid vind je al snel tientallen oplossingen. Bijvoorbeeld: 1 + 4=2-1-3, 54-8 = 6 + 7,
9 + 12 = 10 + 11
1 + 9 = 3 + 7, 2 + 11 = 5+8, 4 + 12 = 6 + 10 2 + 8=4 + 6, 1 + 12 = 3 + 10, 5+11 = 7 + 9 1 + 9 = 4 + 6, 2 + 12 = 3 + 10,5+10=7+8 1 + 12 = 6+7,2 + 11 = 5 + 8, 3 + 10=4 + 9
Als w e alleen kijken naar het
Deze 'truc' is heel makkelijk t e onthouden. Je kunt er misschien je vriendjes mee verbazen, e n . . . de truc werkt óók als je niet met vier (allemaal onderling snijdende) cirkels begint. Maar met bijvoorbeeld drie cirkels, en de getallen 1,2,. . .,6 op de snijpunten. Of met vi;/cirkels, en getallen 1, 2 20. Verder onderzoek leert dat in het geval van drie cirkels alleen de flauwe oplossing bestaat. Of dit bij vijf cirkels anders is, w e t e n w e (nog) niet.
De hemden van de vrijgezel Een vrijgezel trekt elke dag een schoon hemd aan. ledere maandag komt de wasserij hem zijn schone hemden thuisbezorgen, en neemt direct de vuile mee. Hoeveel hemden heeft hij minstens? 10
Driemaal breuken delen VAN BROKEN GESPROKEN Een malligheid van breuken is, dat driekwart van tweederde een halve hele is. (Piet Hein, uit het Deens) Eenmaal Het meest bekende voorschrift voor het delen door een breuk luidt: 'vermenigvuldigen met het omgekeerde'. Voorbeelden:
1
1
£-1
i-~-^i •ó^i^i
2.
We vragen ons hier nu niet af hoe het komt dat deze methode altijd werkt. We willen alleen laten zien dat er ook nog andere manieren bestaan. Andermaal Een tweede voorschrift (lijkend op de gew^one regel voor vermenigvuldigen) is: 'deel teller door teller, en noemer door noemer'.
Ts ' ^ ~ 7
~ 2i{
8. . Li _ So . IA - £.
IS • 25 ~ Tfö ' t.") ~ 6 '
--h
i . 3 3
- (££. L - IL
8 ' 7 ~ 'ès ' j
_ 8
1 5-
J e hebt hier alleen maar w a t aan, als beide delingen precies opgaan. Met een kleine vóórbewerking kan daar echter altijd voor gezorgd worden.
Voor de derde maal De vorige regel w a s afgekeken van het vermenigvuldigen. Je kunt echter óók de regel voor het optellen van breuken w a t aanpassen: 'maak de breuken gelijknamig, en deel teller door teller'.
2'^ Ta'7
II' /i ~ 19^ IS
^•5' - ƒ 'J''^-1i:~Tf
Mogelijk b e n je wat verrast door de t w e e minder gewone methoden. De uitkomsten ervan bUjken toch echt altijd goed. Als je er over nadenkt, snap je misschien ook wel hoe dat komt. 11
Een sommetje van Archimedes Ons Russische zustertijdschrift KWANT - populair-wetenschappelijk maandblad voor wiskunde en natuurkunde - bracht van de zomer z'n 200-ste nummer uit. Het blad bestaat sinds 1970, en vanaf de oprichting kent het een vraagstukkenrubriek; net zo iets als onze Pythagoras Olympiade. In nummer 200 zou ook het 1000-ste vraagstuk komen, en de redactie had de lezers gevraagd voorstellen in t e zenden voor deze 1000-ste jubüeumopgave. Veel mooie sommetjes werden er ingestuurd, en die zullen in de toekomst ook geplaatst worden, maar er w a s niet een duidelijke uitschieter bij. Daarom besloot de redactie een zeer oud, maar tamelijk onbekend vraagstuk als 1000-ste opgave te plaatsen. Het is van niemand minder dan Archimedes, en h e t kan als schoolvoorbeeld dienen van een mooie, eenvoudige en intrigerende meetkundesom. Wie vindt er een mooie meetkundige oplossing voor? In het volgende nummer plaatsen w e een oplossing.
Opgave (zie figuur): Op een cirkel liggen vier p u n t e n A, M, BenC in deze volgorde, en gegeven is dat AM = MC. H is het voetpunt van d e loodlijn uit M o p AB. Bewijs: AH = HB + BC.
Nieuw ^--record Onlangs is er weer een nieuw n^-record gevestigd. Deze keer niet in Amerika, maar in Japan. En nog wel met een J a p a n s e NEC SX-2 supercomputer, die staat in Fuchu aan de rand van Tokio. Deze getallenkraker berekende n- in 133 miljoen decimalen. Hij deed daeur 'slechts' 37 uur over. Op zich heeft het vestigen van een dergelijk record natuurlijk g e e n enkel praktisch nut. Ook wetenschappelijk gezien is het nut ervan ver t e zoeken. Je kunt er echter wel mee laten zien wat een supercomputer kan. Zo blijkt uit dit TT-record dat Japan op het gebied van supercomputers een woordje mee kan spreken. Tot voor kort w a s dit het terrein van de t w e e Amerikaanse computerfirma's, Cray Research en ControlData Corporation (CDC). Die hebben nu dus gezelschap gekregen van de J a p a n s e fabrikant NEC. Naar verluidt zullen de Japanse bedrijven Fujitsu en Hitachi zich daar spoedig bijvoegen. Want ook deze firma's hebben inmiddels elk een supercomputer ontwikkeld. Meer over n is t e vinden in Pythagoras 25-4. Daarin hebben w e e e n aantal artikelen gewijd aan dit beroemdste getal uit de wiskunde. 12
Ruimte gekromd en n-dimensionaal
Voor het aanleggen van een voetbalveld en voor het bouwen van een huis h e b je meetkunde nodig. De meetkunde die nodig is voor het aanleggen van een voetbalveld is net even eenvoudiger dan die voor het bouwen van een huis. Een voetbalveld ügt immers in een 'plat' vlak. Twee alledaagse begrippen voor de meetkunde in het platte vlak zijn iengte en breedte. Bij het bouwen van een huis doe je meetkunde in de ruimte. Daar heb je het ook over lengte en breedte. Maar er is nu nog een derde begrip: hoogte. Dit verschil tussen het platte vlak en de ruimte kom j e ook tege n in de uitspraak: Het platte vlak heeft twee dimensies, en de ruimte heeft drie dimensies. Behalve het platte vlak heb je ook gekromde (opper)vlakken. Als je bijvoorbeeld in een voetbalveld een enorme kuil graaft, is het niet langer een plat vlak. Gekromde (gebogen) oppervlakken zijn niet minder belangrijk dan platte vlakken (figuur hierboven). Het artikel'Coördinaten' (Pythagoras 26-2) eindigde met de vraag: Kan een drie-dimensionale ruimte net als een twee-dimensionaal oppervlak gekromd zijn? Om daarop een zinnig antw^oord te kunnen geven, moeten w e eerst wat meer zeggen over wat er wordt bedoeld met ruimte en met dimensie van een ruimte. 13
Een eind o p w e g Iedereen voelt wel zo'n beetje aan w a t er onder ruimte en dimensie moet worden verstaan. Toch valt het niet mee om daar goede en exacte definities van te geven. Laten w e daarom eerst maar eens beginnen met een definitie van een twee-dimensionale ruimte. Voorbeelden van twee-dimensionale ruimten zijn het platte vlak en het oppervlak van een bol. Aan de hand van w a t daarover in het artikel 'Coördinaten' is gezegd, kunnen w e in eerste aanzet definiëren:
mee moeten houden. Zo'n situatie doet zich o.a. voor bij het stelsel van lengte- en b r e e d t e g r a d en op de aardbol (figuur 1). In dat stelsel is bij de Noordpool en de Zuidpool één van de coördinaten onbepaald. Door andere coördinaten te nemen (dat wil zeggen een andere afbeelding van de p u n t e n van het aardoppervlak op d e getaUenparen), kan dit probleem niet worden verholpen. Men heeft nameUjk kunnen bewijzen dat het steeds bij te n minste één punt mis gaat.
Een twee-dimensionale ruimte is een verzameling M w a a r op een coördinatenstelsel is gedefinieerd.
Dat een ruimte niet met é é n stel coördinaten is t e overdekken, is helemaal niet erg. In dat geval kun je namelijk meer dan één stel coördinaten gebruiken. Zo is in figuur 2A het stelsel van lengteen breedtegraden aangevuld met t w e e andere coördinatenstelsels. We hebben dan dus drie coördinatenstelsels voor het aardoppervlak: één voor U (het aardoppervlak min Noord- en Zuidpool), één voor Cjv (de Noordpool plus een gebied daar om h e e n ) , e n é é n voor Cz (de Zuidpool plus een gebied daar om heen). Er zijn dan ook drie afbeeldingen naar de R^, te w e t e n
Met een coördinatenstelsel bedoelen w e dat aan elk p u nt (element) p van M coördinaten (x\x^) zijn toegevoegd. Bij elk punt p van Mhoort dus een getallenpaar (x\x^). Je kunt dat ook uitdrukken door te zeggen dat er een afbeelding K moet zijn van Mnaar IR^ die aan elk p u nt p zijn coördinaten (x^x^) e R^ toevoegt. Coördinaten aan elkaar breien Soms bestaat er geen coördinatenstelsel dat voor de hele ruimte kan worden gebruikt. In onze definitie zullen we daar rekening
Figuur 1
14
K: X^
(U\U^)
voor XeU
Kjv: X - * {n\n^) voor XeC^ Kz'. X^(z^,z^) voor XE.CZ Daar waar deze gebieden elkaar overlappen heeft ieder p u n t coördinaten ten opzichte v a n t w e e stelsels. Dat is het geval in l/jv, de overlapping van U e n C^, en in Uz, de overlapping van [ƒ en Cz (figuur 2B). Voor U„ geldt t/jv = CjvO U (wat neerkomt op Cj^min de Noordpool N), en voor Uz geldt evenzo Uz= Cz^U (wat neerkomt op Cz min de Zuidpool Z).
Figuur 2A
Figuur 2B
Kaarten e n atlas Vaak wordt een coördinatenstelsel op (een gedeelte van) e e n ruimte e e n kaart genoemd. Een verzameling van kaarten die samen d e hele ruimte overdekken, noemt men dan e e n atlas. Vergelijking met een g e w o n e landkaart Ugt voor de h a n d : een atlas is e e n verzameling kaarten van delen v a n het aardoppervlak die samen het hele aardoppervlak bedekken (figuur 3). In figuur 2A hadden w e drie coördinatenstelsels voor h e t aardoppervlak. We h a d d e n ook kunnen zeggen: We h e b b e n een atlas voor h e t aardoppervlak bestaande uit drie kaarten die w e
aangeven met
(J/,K), (C„,%)
en
(Cz,Kz). Net als bij een gewone atlas zijn er punten die deel uitmaken van verschillende kaarten. In ons geval zijn dat de punten van de overlappingen C/j, en Uz. Nette formules Ieder punt X uit U^ heeft naast coördinaten (u^,u^), ook coördinaten (n^n^).Dus voorXuit üiy^geldt K: X^
{U\U^)
K„: X-^ {n\n^)
en omgekeerd K-i; ( u \ u 2 ) - X
K„-': {n\n^) ^ X
Figuur 3
15
precieze vorm van zo'n twee-dimensionale ruimte niet vastgelegd. We hoeven alleen maar een atlas van kaarten te maken, die de betreffende ruimte geheel overdekt. Dat de vorm van M niet wordt vastgelegd, wordt duidelijk als je bedenkt dat je aan een atlas niet kunt zien of hij betrekking heeft op het oppervlak van een bol of dat van bijvoorbeeld een aardappel. Hetzelfde geldt voor een vlak voetbalveld of een voetbalveld met een kuil. Om dat verschü aan te kunnen geven moet er een afstandsbegrip (metriek) op de ruimte worden ingevoerd. Toepassing: de möbiusban d De band van Möbius is te maken van een strook papier. Je legt er een halve slag in en plakt vervolgens de uiteinden aan elkaar (figuur 6). Het kan ook anders. Neem tvfee stroken papier waarop coördina-
tenstelsels U enV zijn aangebracht (figuur 7). Eerst plakken we de t w e e stroken met de gearceerde stukken aan elkaar. Daartoe laten w e het punt (u^,u^) met 98
u^ = v^.
We hebben dan één lange strook verkregen. Nu plakken w e de beide andere uiteinden aan elkaar, en wel zó dat er een slag in komt (figuur 8). Dat doen w e door het punt (u'^,u^) met 0 < u ' < 2 en 0
<100 en Q
u2 + v2 = 5.
Het resultaat is een band van Möbius voorzien van t w e e coördinatenstelsels die elkaar overlap-
wl
Figuur 6
u.» 5 4 3
Figuur 8
L u
V
1
V
O 1 2. 3
100
Figuur 7
17
tw^ee-dimensionale ruimte moeten de twee-dimensionale coördinatenstelsels worden vervangen door n-dimensionale. Dat levert dan:
Figuur 9
pen op de plaatsen waar de stroken aan elkaar werden geplakt (figuur 9). Ook dit is weer een voorbeeld van een twee-dimensionale ruimte. Uit de voorwaarden die w e bij het aan elkaar plakken stelden, zijn snel de coördinatentrans-formaties af te leiden voor de t w e e gebieden waar de coördinatenstelsels elkaar overlappen. Zo geldt voor het eerste gebied u' = v' + 98 of omgekeerd v^ = u^- 98 v^ = u^ Probeer die voor het t w e e d e gebied zelf eens af te leiden. n-dimensionale ruimte Een n-dimensionale ruimte is nu heel eenvoudig te omschrijven. In de laatste omschrijving voor een
Een n-dimensionale ruimte is een verzameling M m e t kaarten ([/i.K,), (172,K2), . . . zó dat M helemaal wordt overdekt door coördinaten-omgevingen C/i, [/2. . . . De kaarten geven afbeeldingen in R". Voor punten uit elkaar overlappende omgevingen ü, moeten de coördinaten-transformaties kunnen worden weergegeven door 'nette' functies. Ook hier wordt de precieze vorm van de n-dimensionale ruimte niet vastgelegd. We hoeven alleen maar een atlas van kaarten te maken die de betreffende ruimte geheel overdekt. De n-dimensionale ruimten zijn niet alleen van grote belang voor de wiskunde, maar ook voor de theoretische natuurkunde. Ze spelen vooral een belangrijke rol in de mecharuka. Ook op een n-dimensionale ruimte kan een afstandsbegrip (metriek) worden ingevoerd. Dat leidt tot de riemannse ruimten. Deze laatste spelen een belangrijke rol in de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein (18791955).
Zwart-wit-wissel Verwissel de zwarte en witte schijven, alleen door schuiven naar een vrij vakje. Wij kunnen het in achttien zetten, wie kan het in minder? (uit: Mathematical Pie) 18
# #
Tweeëndertig oplossingen Hier ons antwoord op d e vraag uit het artikel 'In vier gelijke stukken' (vorige nummer bladzijde 9).
\
\J
^
^
/—^ /—^
i
H
^ ^
z: 19
Hart-krommen
y = 1 0,6 \/25 - x ^
Figuur 1
1—
|x|+ 1
\/
De eerste reactie op onze vraag naar 'gekke' grafieken kwam van N. S. Hekster uit Amsterdam. Hij meldt een geval waarbij de taal van de wiskunde een rol speelde in . . . d e hef de!! Een w a t verlegen uitgevallen wiskundige durfde, uit angst voor afwijzing, z'n gevoelens niet al te openüjk op papier te zetten. In plaats daarvan schreef hij zijn geUefde alleen de bovenstaande formule. Hij rekende er daarbij op dat als ze echt in hem geïnteresseerd zou zijn, ze zich wel in de mogelijke betekenis ervan zou verdiepen, en ook op het idee zou komen er de grafiek van t e tekenen. Als je een stuk ruitjespapier en een rekendoosje in d e buurt hebt zal het je niet moeihjk vallen zelf ook die grafiek te tekenen. (Eigenlijk zijn het de grafieken van twee functies: é é n met het plus-teken en één met het min-teken.) Nader onderzoek Als je de breukvorm even uit de formule wegdenkt, hou je over: y = ± 0,6 V ' 2 5 - x 2 w a t gelijkwaardig is met (3x)2 + (5y)2 = 152. De grafiek hiervan is een ellips: (figuur 2). Om hieruit de hartvorm te krijgen moeten de Ujnen in het midden 20
w a t zakken. Dit wordt bewerkstelligd door de breuk aan het eind van de formule. Een stuk van de grafiek van d e ook op school bekende orthogonale hyperbool x-^ x"' ziet er na een geschikte verschuiving, vergroting en spiegeling in de lijn X = - 1 uit als getekend in figuur 3. Het 'optellen' van beide grafieken geeft juist de hartvorm.
-J
Figuur 4
Figuur 2
5
-5
\
\
Figuur 3
1 1 1 1
W +1
Variaties We proberen de hartformule nog iets eenvoudiger te maken door de ellips te vervangen door een parabool (met een horizontede as): 7= ± V 2 - x , w a t geUjkwaardig is met x = 2 - y2. Spiegeling in de y-as wordt verkregen door de absolutewaarde-functie te gebruiken: y= ±V2-|x| , waarvan figuur 4 de grafiek laat zien. Opgeteld bij net zo'n soort hyperbool-punt als in figuur 3 ontstaat het hart van figuur 5. Door het veranderen van de getallen (de 'parameters') in de formules kun je de vorm van het hart net krijgen zoals je het hebben wilt. Pas echter op voor onbedoelde vergissingen: als je in de formule van figuur 5 (of van figuur 1) de laatste plus in een min
verandert, krijg je:
en het hart breekt in drie stukken uiteen! Teken het maar. Voor taartspecialisten Voor w a t meer gevorderde liefhebbers is er aan de hartfiguren nog van aUes te onderzoeken, bijvoorbeeld: — hoe groot is het hart? - waar liggen de toppen? - waar zijn de buigpunten? — zijn er hartformules zonder wortels en absoluutstrepen? De grootte (de oppervlakte) is makkeUjker t e vinden dan het misschien lijkt. Bij het omvormen van de ellips van figuur 2 in de hartfiguur, verandert namehjk z'n oppervlakte niet. En de grootte van de ellips is makkelijk te vinden: vat hem maar op als een cirkel met straal 5 die verticaal 'in elkaar gedrukt' 21
is (vermenigvuldigdmet 3/5). Dus 3 opp(fig. 1) = TT-S^- = 7 5 TT.
5
Voor het hart van figuur 5 vind j e (via integreren van de tweede graads parabool-functie): 1 fi
de onderste tak van de functie tweemaal gedifferentieerd: hartfunctie (onderste tak): x ^ - (2-!x|)"^-2(|x|-H)-' I e afgeleide: X - . M [1/2(2-|x|)-"= +
opp(fig. 5) = opp(fig. 4) = — V2 De overige vragen behandelen w e alleen voor de hartformule van figuur 5. Voor de 'vleugeltippen' links en rechts vind je als coördinaten (2, - | ) en ( - 2 , - | ) . (Want bij grotere x bestaat de wortel niet.) De hoogste punten aan de bovenkant van het hart kun je vinden door met je rekendoosje de functieformule (met hetpJusteken) uit te cijferen voor x-waarden in de buurt van 1 en — 1. Zekerheid over de plaats van de maxima is pas te krijgen als je de functie differentieert. Z'n afgeleide is: X - . M [ _ 1/2(2-|x|)-"^ + 2(|x| + l)-2]. De-e 'heUings'-functie blijkt O te zijn voor x = -(-1 en - 1. Dit invullen in de formule van de hartfunctie zelf, laat zien dat de toppen juist raken aan de x-as van het coördinatenstelsel. Buigpunten (voor super-specialisten) Ergens in de neergaande zijden van het hart worden punten gepasseerd waar de 'boUing' overgaat in 'hoUing'. Om ook daarvan de plaats t e vinden moet 22
+ 2(|x| + l)-2] 2e afgeleide: x^^[V4(2-W)-='^- 4 ( | x | + l)-3l, met als positieve oplossing: |x| = - 1 - ^ 3 2 + 2V'(^108 +^16) = 1,2222509. Na invullen hiervan in de hartformule zelf, bhjken de coördinaten van de buigpunten: (± 1,22 , - 1 , 7 8 ). Fraaiere formules Bij het zoeken naar formules met een hartvormige grafiek, is het natuurUjk de sport om een zo eenvoudig mogelijke formule te vinden. In de hartformules die we tot nu toe gebruikten komt een wortelteken voor, en absolute-waardestrepen. Kunnen die er nog uit? Het antwoord is: ja, maar. . . De t w e e functie-relaties van figuur 5 kunnen worden omgeschreven tot:
Je kunt nu zeggen: een punt (x,y) Ugt op de hartrand als de coördinaten aan één van deze t w e e
vergeüjkingen voldoen. Deze uitspraak is gelijkwaardig met: (x,y) voldoet a a n de produktvergelijking:
Je krijgt alleen de rechterhelft van het g e w e n s t e hart, met daarbij een aantal extra 'takken'. De relatie-vergelijking ervan is: (x2y2+5;2+4y+2)-l-jc(x^+2y2+4y-3) = 0.
X [y -I- ^ -I- V 2 - | x | 1 xH-l
=O
^>'^RTT^^-^^-W^ = (x25^ + y2+4y+2)+|jt| (x2+2y2+4y-3) = 0.
De wortel is verdwenen, en ook de breuk is weggewerkt. Nu de absoluut-strepen nog. Als w e in de dubbele functie-formule van figuur 5, |x| (mét strepen) vervangen door x (zónder strepen), blijkt de grafiek er t e gaan uitzien als in figuur 6.
De andere helft van het hart (plus nog meer extra takken) krijg je door |x| te vervangen door -X. De grafiek zie je in figuur 7. De vergehjking ervan is: (x2y2+y2+4y+2)-x<ji2+2y2+4y-3) = 0.
De combinatie van beide grafieken wordt beschreven door het produkt van beide laatste vergelij kingen. Het resultaat (wegens: (a-l-jb) (a-b) = s^-iP-) zie je in figuur 8. Uitw^erken van de kwadraten, en sorteren naar machten van X geeft de t w e e d e formule. En sorteren naar machten van y levert de derde formule. Dit zijn nu vergelijkingen zónder absoluut-strepen. De grafiek bevat het volledige hart, plus een
(,(?/t/+4y+?) - x.(x2+2/ + 4y-3) = O
11/
\|i 23
aantal takken die naar het oneindige doorlopen (naderend tot de in figuur 6 en 7 gestippeld aangegeven parabolen en hyperbolen). Enerzijds zijn de formules nu fraaier omdat ze bestaan uit een zuivere 'algebraïsche veelterm', anderzijds heeft het hart zijtakken
gekregen die je Uever had wiUen vermijden. Hoewel. . . het 'voordeel' van de grafiek van de veelterm-relatie is, dat de t w e e scherpe, puntige knikken in het hart van figuur 5 nu verdwenen zijn: d e grafiek bestaat uitsluit e n d uit mooie, vloeiende Ujnen.
/
\ >^ - C/-4/-8y+6)-x^ + (2/+8y3-24y+9)-x2 - (/+4y+2)^ = O / \ (x2-i;ft/ - 8(x2-1)-yJ - 4(x<-5)-/ - 8(x''-3x^-2)-y - (x^-1)?()^-4)
= O
Figuur 8
Mina, O M i n a , . . . (-aO - a ) ( x - s )
(b-u)
al Hier zie je nog een andere manier om je gevoelens in een formule te verstoppen. In rebus-vorm. 24
Tentoonstelling Rekenen met raderen Op 11 februari 1986 bestonden de Stichting Mathematisch Centrum en haar instituut het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) veertig jaar. Naar aanleiding van dit veertigjarig bestaan is in Teylers Museum te Haarlem de tentoonstelling 'Rekenen met raderen' ingericht. De tentoonstelling geeft een beeld van 350 jaar mechanisch rekenen. In dit overzicht van de prehistorie van de computer worden aan de hand van een aantal panelen de beginselen uitgelegd van het mechanisch rekenen. Er zijn een aantal zeldzame, historisch belangrijke rekenmachines t e zien, en bovendien zijn er een paar modellen gemaakt waarmee je naar hartelust kunt experimenteren. De tentoonstelling 'Rekenen met raderen' in Teylers Museum, Spaarne 16, Haarlem loopt tot en met 3 mei 1987. Openingstijden: dinsdag tot en met zaterdag 10-17 uur, op zon- en feestdagen 13-17 uur. Informatie over het ontstaan van de eerste rekenmachine is te vinden in het artikel 'De eerste rekenmachine', Pythagoras 24-2.
Binnenwerk van de telmachine van Blaise Pascal (1623-1662), zoals afgebeeld in de Encyclopédie van Diderot en D'Alembert (1767). 25
Pythagoras Olympiade
OD
Nieuwe opgaven O p l o s s i n g e n vóór 30 april i n s t u r e n n a a r : Pythagoras Olympiade, Marinus de Jongstraat 12, 4904 PL OOSTERHOUT (NB). V e r m e l d o p elk (éénzijdig b e s c h r e v e n ) vel je n a a m , a d r e s , g e b o o r t e d a t u m , s c h o o l , s c h o o l t y p e e n k l a s . V e r d e r m o e t elke o p l o s s i n g o p e e n n i e u w v e l b e g i n n e n , w a n t w e c o r r i g e r e n z e afzonderlijk. W e b e k i j k e n a U e e n g o e d l e e s b a r e o p l o s s i n g e n d i e voUedig zijn u i t g e w e r k t , m e t v e r k l a r e n d e t e k s t in g o e d l o p e n d e z i n n e n . V e r d e r e i n f o r m a t i e o v e r d e w e d s t r i j d v i n d j e in n u m m e r 1 v a n d e z e j a a r g a n g o p b l a d z i j d e 24.
PO 96 In een gegeven driehoek ABCligt een punt Pzo, dat de hoeken PACen PBC gelijk zijn. Men laat loodlijnen PQ en PR neer op de zijden AC en BC. Het midden van AB noemen w e Af.
Bewijs dat driehoek PMQ gelijkbenig is. PO 97 Bewijs dat er geen gehele getallen n en m bestaan zo dat geldt n 2 - 3 nm + m^ = 3.
O p l o s s i n g e n prijswinnaar s v a n d e o p g a v e PO 91
u PO 91 Gegeven zijn een massieve kubus met ribben ter lengte 2, en een massief regelmatig viervlak met ribben ter lengte 3. Is het mogelijk ze zó in een bundel evenwijdige lichtstralen te houden (denk bijvoorbeeld aan zonnestralen) dat het viervlak geheel in de schaduw van de kubus verdwijnt? (Geef een volledig gemotiveerd antwoord!) Oplossing van ErikFledderus, 4 vwo, Nassau College, Wolvega (enigszins bekort): Het is mogehjk! Je kunt allereerst de kubus zó houden, dat er als schaduwfiguur (in een vlak loodrecht op de zonnestralen) een regelmatige zeshoek ontstaat (figuur 1). De zijden hebben lengte -1V6, en de diagonalen 26
Figuur 1 zoals PR hebben lengte 2V2. Helaas is 2V2 < 3, zodat het viervlak niet zonder meer op de zeshoek gelegd kan worden. We moeten het enigszins kantelen. Laat ABCDhet viervlak zijn, en stel dat Khet midden is van AB, en L dat van CD (figuur 2). Als je nu KL evenwijdig aan het projectievlak houdt, en het viervlak om de a s KL
Figuur 3 - Figuur 2 wentelt, dan zal de projectiefiguur steeds een gelijkbenig trapezium zijn. In de projectie behoudt KL dan z'n ware lengte (namelijk |-V2), terwijl verder geldt dat AB^ + CD^ = 3^ (want AB en CD zijn projecties van onderling loodrechte zijden van lengte 3). We houden het viervlak nu zó d a t AB = 2V2 wordt. Dan is dus CD2 = 32 - AB^ = 1, dus CD = 1. Met
een eenvoudige berekening zie je dan dat het viervlak geheel in de schaduw van de kubus verdwijnt als je zorgt dat de projectie van AB precies op de diagonaal PR van de zeshoek valt {figuur 3). De berekeningen (die Erik er netjes bij heeft gedaan) laten w e aan onze lezers over. Er waren verder geen correcte inzendingen bij deze opgave.
Boekje over Wiskunde Olympiaden In november 1986 is er bij de Universitaire Pers Leuven (België) onder de titel 'Wiskunde Olympiaden' een boekje verschenen. Het is bestemd voor allen die interesse hebben voor wiskundewedstrijden. AUes w a t je wilt w e t e n over Wiskunde Olympiaden staat erin. Het boekje bevat de volgende hoofdstukken: 1 De Internationale Wiskunde Olympiade. 2 Hoe verschillende landen zich voorbereiden. 3 De Wiskunde Olympiade in België. 4 Het nut van Wiskunde Olympiaden. 5 Voorbeelden Het boekje wordt onder het isBN-nummer 90 6186 225 6 in de handel gebracht door de firma PEETERS, Bondgenotenlaan 153, B-3000 Leuven (België). Het kost 500 BEF.
27
Nederlandse Wiskunde Olympiade
De Nederlandse Wiskunde Olympiade is een wedstrijd voor leerhngen van havo en vwo. Uit de winnaars wordt een team van zes scholieren samengesteld dat Nederland vertegenwoordigt bij de Internationale Wiskunde Olympiade. Die Olympiade wordt al sinds 1959 jaarlijks georganiseerd en Nederland deed in 1969 voor het eerst mee. Ónze landgenoten hebben daarbij al veel bronzen, zilveren en gouden medailles in de wacht gesleept. We hopen dat ze ook succes zullen hebben in Cuba, waar de Olympiade dit jaar wordt gehouden en in 1988 in Australië. Aan de Internationale Wiskunde Olympiade nemen teams uit zo'n veertig tot vijftig landen deel. Wie kan meedoen? De Nederlandse Wiskunde Olympiade is bestemd voor alle leerlingen van havo en vwo met belangstelling voor wiskunde. Omdat de Olympiadecyclus zich over anderhalf schooljaar uitstrekt, kunnen eindexamenklassers niet meer meedoen. De meeste deelnemers komen dus uit 4 of 5 vwo of uit 4 havo. Zitje in een lagere klas, dan zul je de opgaven meestal nog te moeüijk vinden, maar ben je enthousiast en heb je een wiskundeknobbel, dan mag je het ook al eerder proberen. Deelname van lagereklassers is dus toegestaan. Hoe kun je meedoen? Eerste Ronde Als je wilt meedoen, dan moet je dat tegen je wiskundeleraar zeggen. De eerste ronde vindt plaats op school op vrijdagmiddag 20 maart 1987. Je krijgt drie uur de tijd om de 28
antw^oorden te vinden bij een stukof twaalf opgaven. Sommige daarvan zijn gemakkelijk, andere lastig tot zeer lastig. Allemaal laten ze iets zien van ongebruikelijke, leuke, niet-ergschoolse wiskunde. Alle deelnemers uit het hele land krijgen dezelfde opgaven. J e leraar corrigeert het werk aan de hand van een correctieformulier en stuurt de uitslag op. De laatste jaren doen er telkens een kleine tweeduizend scholieren mee, maar we h e b b e n het idee dat er nog veel meer zijn die plezier aan de Olympiade zouden kunnen beleven. Probeer het eens! Scholenprijs De p u n t e n van de beste vijf leerlingen per school worden opgeteld e n de school die zo de hoogste score bereikt, krijgt een wisselprijs die door Shell beschikbaar is gesteld. In 1986
w a s dat de CSG 'Blaise Pascal' uit Spijkenisse. Tweede Ronde De beste honderd deelnemers van het hele land krijgen een uitnodiging voor de Tweede Ronde, die gehouden wordt in de Technische Universiteit Eindhoven op vrijdag 11 september 1987. Die ronde is natuurlijk een stuk moeilijker. Hij duurt eveneens drie uur, maar er zijn dan maar vier opgaven. Enige weken later zal de prijsuitreiking plaatsvinden. Er zijn prijzen voor de beste tien deelnemers. Australië Voor de meesten zal de Olympiade dan afgelopen zijn, maar niet voor aUemaal. Want zes scholieren mogen meedoen aan de Internationale Wiskunde Olympiade, een bijna t w e e weken durend evenement dat telkens in een ander land in de maand juli wordt georganiseerd. Dit jaar in Cuba, maar de deelnemers daarvoor zijn al in 1986 met de Olympiadecyclus en hun voorbereidingen begonnen. De nieuwe cyclus leidt naar 1988 en dan gaan w e naar Australië. Dat belooft een geweldig spektakel te worden, want de Olympiade wordt daar opgenomen in de viering van het 200-jarig bestaan van de staat Australië. Je zult je krachten daar kunnen meten met deelnemers uit de
Verenigde Staten, de Sovjet-Unie, China en nog tientallen andere landen uit de gehele wereld. Lesbrieven De vraagstukken bij de Internationale Wiskunde Olympiade zijn zo moeilijk, dat zelfs beroepswiskundigen er grote problemen mee hebben. Toch lukt het ons team elk jaar weer om prijzen in de wacht te slepen. En in de Internationale Ranglijst komen w e ook steeds op een behoorlijke plaats terecht. Vaak in de middenmoot, maar soms ook verrassend hoog, zoals in 1983, toen w e zevende werden in een veld van 32 landen. Dat kan alleen maar dank zij een goede voorbereiding. We doen het met lesbrieven die w e aan alle prijswinnaars van de Tweede Ronde toesturen. Als je er plezier in hebt, dan kun je daar een paar maanden aan werken en mede aan de hand van de reacties op de lesbrieven wordt in april 1988 de Nederlandse ploeg voor Australië gekozen. Jij kunt één van de gelukkigen zijn! Nadere inlichtingen bij de NEDERLANDSE ONDERWIJSCOMMISSIE VOOR WISKUNDE
Secretariaat: H. N. Schuring p/a CITO, postbus 1034, 6801 MG Arnhem (tel. 085-52 13 46).
Oplossingen T w e e d e Ronde 1986 12x + 9 , 86, 1 Men definieert een functie ƒ door: Ax) = — -— (x *: - TT;
Oplossing (i) Laat M het middelpunt van y zijn en C het snijpunt van MB en a. De loodrechte projectie van A op h noemen w e D en het snijpunt van de lijnen AD en BT n o e m e n w e P. We tonen aan dat d e hgging van P o p AD niet afhangt van y door te laten zien dat DP = AD. Bewijs: DB = AC = CT, L D = L C = 90°, L DBP = L CTB (want a / / b). d u s de driehoeken PDB en BCTzijn congruent. Bijgevolg is DP = CB = AD. (ii) Laat Qde loodrechte projectie zijn van P o p t en Bhet snijpunt van b en t. We tonen aan d a t PQ = PA. Daaruit volgt dan dat de cirkel ö met middelpunt P en straal AP (onafhankelijk van de keuze van y) altijd raakt aan t. Bewijs van PQ = PA: b en t zijn beide raaklijnen aan y, dus L RTB = L RBT. Verder is L RBT = L BTC (want al / b). Dus de lijn t is het spiegelbeeld van d e lijn a bij spiegeling in PT. Hieruit volgt PQ = PA.
31
Redactioneel Door problemen bij de drukker is het vorige nummer veel te laat verschenen. De opgegeven sluitingsdata van de 'Prijsvraag: 1987 in zo min mogelijk (gelijlie) cijfers') en d e Pythagoras Olympiade waren dan ook niet meer haalbaar. Velen begrepen dat en zonden ons hun oplossingen desondanks toe. Toch willen we iedereen een eerlijke kans geven. We verschuiven de sluitingsdata dan ook tot t w e e weken na het verschijnen van dit nummer. Met het artikel 'Hart-krommen' (bladzijde 20) komen w e , zoals beloofd, terug op 'de speurtocht naar gekke grafieken' uit het eerste nummer van deze jaargang. Verder vind je in het artikel 'Ruimte: gekromd en n-dimensionaal' (bladzijde 13) een voortzetting van h e t artikel 'Coördinaten: tekenen wordt rekenen' uit het vorige nummer.
De h e m d e n v a n de vrijgezel: o p l o s s i ng 7 + 7 + 1 = 15 hemden. Mina, O Mina, . . . : oplossing Mina, o Mina, ik bemin u bovenal.
Tekenvyerk: Armand Haye, Amsterdam. Foto's en andere illustraties: Hessel Pot, Woerden (omslag, blz. 1, 2, 3, 7, 8, 9, 19, 20, 21, 23, 24); Popke Bakker, Bergen aan Zee (blz. 4); Klaas Lakeman, Amsterdam (blz. 5); J a n van de Craats, Oosterhout (NB) (blz. 12, 26, 27, 31); Teylers Museum, Haarlem (blz. 25). © 1987 Redactie Pytiiagoras - ALLE RECHTEN VOORBEHOUDEN, NADRUK OF WEERGAVE, GEHEEL OF GEDEELTELIJK, IN WELKE VORH/I DAN OOK, ZONDER SCHRIFTELIJKE TOESTEIVin/IING VAN DE REDACTIE VERBODEN.
32
FV^hagoras wiskunde tijdschrift voor jongeren E e n uitgave onder auspiciën van de Stichting Christiaan H u y g e n s e n d e N e d e r l a n d s e O n d e r w i j s c o m m i s s i e voor W i s k u n d e . R e d a c t i e : J a n v a n d e C r a a t s , Klaas L a k e m a n , H e s s e l Pot, H a n s d e Rijk. R e d a c t i e s e c r e t a r i a a t : Klaas L a k e m a n , Cornells K r u s e m a n s t r a a t 60", 1075 NS A m s t e r d a m (NL).
Inhoud jaargang 26, nummer 3 De maantjes van Hippokrates / 1 Hessel Pot Möbius met driehoeken / 4 Klaas Lakeman/Popke Bakker Dampaden / 6 Klaas Lakeman D e vier-cirkel-klok / 7 Hessel Pot/Klaas Lakeman De h e m d e n v a n d e vrijgezel / 10, 3 2 Hessel Pot Driemaal breuken delen / 11 Martinus van Hoorn/Hessel Pot Een sommetje van A r c h i m e d e s / 12 Jan van de Craats N i e u w ^--record / 12 Klaas Lakeman Ruimte / 13 Klaas Lakeman/Gerard Bauerie
Zwart-wit-wissel / 18 Hessel Pot T w e e ë n d e r t i g o p l o s s i n g e n / 19 Hessel Pot Hart-krommen / 20 Hessel Pot M i n a , O Mina, . . . / 2 4 , 3 2 Hessel Pot Tentoonstelling Rekenen met raderen / 25 Klaas Lakeman Pythagoras Olympiade / 26 Jan van de Craats Boekje o v e r W i s k u n d e Olympiaden / 27 Klaas Lakeman Nederlandse Wiskunde Olympiade / 28 Jan van de Craats Redactioneel / 32
Pythagoras verschijnt zesmaal per schooljaar; opgave van abonnementen bij de uitgever (zie onder). Abonnementen zijn doorlopend, tenzij voor 1 september schriftelijk bij de uitgever is opgezegd. Bij tussentijdse abonnering ontvangt men ook de reeds verschenen
nummers. Betaüng per acceptgirokaart.
(p^
n (_f^_p n ƒ1 ^-"-^
Stichting ivio
I
Tarieven* NLG/BEF Abonnement Pythagoras 20,—/365 Inclusief Archimedes 36,—/660 Losse nummers 5,—/ 90 * Luchtpost-toeslag 15%
n Postbus 37, 8200 AA Lelystad (NL). Tel. 03200-26514 educatieve uitgeverij - instituut voor buitenschools onderwijs - wereldschool - AO-reeks - leerprojecten PostgiroNederland: 287934 PostcheckBelgië: 000-0130850-94
