´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
Extr´ emy funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych
6.
Pr˚ uvodce studiem Hled´an´ı extr´em˚ u je v praxi ˇcasto ˇreˇsen´a u ´loha. Napˇr. pˇri cestˇe z bodu A do bodu B se snaˇz´ıme naj´ıt nejkratˇs´ı cestu. Ve firm´ach je snaha minimalizovat n´aklady, maximalizovat zisk. Fyzik´aln´ı syst´emy se snaˇz´ı zaujmout stavy s nejniˇzˇs´ı energi´ı. V t´eto kapitole se budeme zab´ yvat hled´an´ım extrem´aln´ıch hodnot tzv. maxim resp. minim pro funkce v´ıce promˇenn´ ych, pˇredevˇs´ım se vˇsak soustˇred´ıme na funkce dvou promˇenn´ ych.
C´ıle Lok´aln´ı extr´emy funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych, v´azan´e extr´emy, glob´aln´ı extr´emy.
Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Lok´aln´ı a glob´aln´ı extr´emy funkc´ı jedn´e promˇenn´e.
6.1.
Lok´ aln´ı extr´ emy
V´ yklad Definice 6.1.1. ˇ Rekneme, ˇze funkce f : Rn ⊇ Df → R nab´ yv´a v bodˇe A ∈ Df lok´ aln´ıho maxima, jestliˇze existuje okol´ı O(A) ⊆ Df bodu A takov´e, ˇze ∀X ∈ O(A) plat´ı f (X) ≤ f (A). ˇ Rekneme, ˇze funkce f : Rn ⊇ Df → R nab´ yv´a v bodˇe A ∈ Df lok´ aln´ıho minima, jestliˇze existuje okol´ı O(A) ⊆ Df bodu A takov´e, ˇze ∀X ∈ O(A) plat´ı f (X) ≥ f (A).
- 295 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
Pozn´ amka V pˇr´ıpadˇe ostr´ych nerovnost´ı v pˇredch´ azej´ıc´ı definici hovoˇr´ıme o ostr´ em lok´ aln´ım maximu resp. o ostr´ em lok´ aln´ım minimu. Definice 6.1.2. ˇ Rekneme, ˇze bod A ∈ Rn je stacion´ arn´ım bodem funkce f : Rn ⊇ Df → R, jestliˇze ∂f (A) = 0, ∂xi
i = 1, 2, . . . , n.
N´asleduj´ıc´ı Fermatova vˇ eta vyjadˇruje nutnou podm´ınku pro existenci lok´aln´ıho extr´emu. Vˇ eta 6.1.1. Necht’ f : Rn ⊇ Df → R m´a v bodˇe A lok´aln´ı extr´em a necht’ v tomto bodˇe existuj´ı vˇsechny parci´aln´ı derivace funkce f . Pak bod A je stacion´arn´ım bodem funkce f .
Pozn´ amka 1. Fermatova vˇeta nevyluˇcuje moˇznost, ˇze lok´aln´ı extr´em existuje i v bodˇe A, kter´y nen´ı stacion´arn´ım bodem funkce f , protoˇze v nˇem nˇekter´a parci´ aln´ı derivace neexistuje. ∂f (A) = 0, je ekvivalentn´ı s podm´ınkou ∂xi df (A) = 0, tj. tot´aln´ı diferenci´ al funkce f v bodˇe A je roven nule. 2. Podm´ınka pro stacion´arn´ı bod, tj.
3. Rovnost df (A) = 0 je pouze nutnou podm´ınkou pro existenci lok´aln´ıho extr´emu, tj. z platnosti t´eto podm´ınky jeˇstˇe nevypl´yv´a existence lok´aln´ıho extr´emu. Plat´ı-li df (A) 6= 0, pak v bodˇe A lok´aln´ı extr´em neexistuje. Na Obr. 6.1.1 je funkce, kter´a m´a v bodˇe A ostr´e lok´aln´ı maximum, bod A je stacion´arn´ım bodem funkce f . V bodˇe A existuje parci´aln´ı derivace funkce f podle x i podle y a obˇe parci´aln´ı derivace v bodˇe A maj´ı hodnotu 0. V bodech kruˇznice k m´a funkce lok´aln´ı minima, i kdyˇz v tˇechto bodech neexistuje ˇz´adn´a
- 296 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
parci´aln´ı derivace.
z
x k y Obr. 6.1.1 Vˇ eta 6.1.2. Necht’ f : Rn ⊇ Df → R je alespoˇ n dvakr´at spojitˇe diferencovateln´a (tj. existuj´ı spojit´e parci´aln´ı derivace alespoˇ n druh´eho ˇr´adu) na okol´ı bodu A ∈ Rn . Pak je-li (a) d2 f (A) < 0, funkce f m´a v bodˇe A ostr´ e lok´ aln´ı maximum, (b) d2 f (A) > 0, funkce f m´a v bodˇe A ostr´ e lok´ aln´ı minimum. Uvaˇzujme funkci dvou promˇenn´ ych z = f (x, y), dvakr´at spojitˇe diferencovatelnou na okol´ı bodu A = [x0 , y0 ] ∈ R2 , bod A necht’ je stacion´arn´ım bodem ∂f ∂f funkce f , tj. (A) = 0 = (A). Podle pˇredchoz´ı vˇety o existenci lok´aln´ıho ∂x ∂y extr´emu rozhoduje hodnota tot´aln´ıho diferenci´alu druh´eho ˇr´adu funkce f v bodˇe A, tedy hodnota d2 f (A) =
∂2f ∂2f ∂2f 2 (A)dx + 2 (A)dxdy + (A)dy 2 . ∂x2 ∂x∂y ∂y 2
V´ yraz na prav´e stranˇe je kvadratick´a forma (tento pojem nebudeme definovat, teorii kvadratick´ ych forem se zab´ yv´a line´arn´ı a multiline´arn´ı algebra) pro promˇenn´e dx a dy. Mimo jin´e to znamen´a, ˇze d2 f (A) lze vyj´adˇrit jako souˇcin 2 ∂ f ∂ 2f ∂x2 (A) ∂x∂y (A) dx 2 · d f (A) = (dx dy) · ∂ 2f dy . ∂ 2f (A) (A) ∂x∂y ∂y 2
- 297 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
Oznaˇcme
D1 =
∂ 2f (A), ∂x2
2 ∂ f ∂2f (A) (A) ∂x2 ∂x∂y D2 = 2 2 ∂ f (A) ∂ f (A) ∂x∂y ∂y 2
hlavn´ı determinanty matice parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu. Pak pro stacion´arn´ı bod A funkce f plat´ı: 1. Je-li D1 > 0 ∧ D2 > 0, pak m´a funkce f v bodˇe A ostr´ e lok´ aln´ı minimum, 2. Je-li D1 < 0 ∧ D2 > 0, pak m´a funkce f v bodˇe A ostr´ e lok´ aln´ı maximum, 3. Je-li D2 < 0, pak pro funkci f v bodˇe A extr´ em neexistuje. Na z´akladˇe pˇredchoz´ıch u ´vah m˚ uˇzeme zformulovat vˇetu, kter´a vyjadˇruje postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro existenci ostr´eho lok´aln´ıho extr´emu. Vˇ eta 6.1.3. Necht’ funkce f : R2 ⊇ Df → R je na okol´ı bodu A = [x0 , y0 ] dvakr´at spojitˇe diferencovateln´a. Necht’ bod A je jej´ı stacion´arn´ı bod. Jestliˇze 2 2 ∂ 2f ∂ f ∂2f (A) 2 (A) − (A) > 0, D2 = ∂x2 ∂y ∂x∂y pak m´a funkce f v bodˇe A ostr´ y lok´aln´ı extr´em. Je-li nav´ıc D1 = jedn´a se o ostr´ e lok´ aln´ı minimum, je-li D1 =
∂2f (A) > 0, ∂x2
∂2f (A) < 0, jedn´a se o ostr´ e ∂x2
lok´ aln´ı maximum. Pozn´ amka V pˇr´ıpadˇe, ˇze D2 = 0, nelze o existenci lok´aln´ıho extr´emu rozhodnout. Tento probl´em lze v nˇekter´ych pˇr´ıpadech ˇreˇsit tak, ˇze vyˇsetˇr´ıme lok´aln´ı chov´an´ı funkce f na okol´ı bodu A. Uvaˇzujme funkci tˇr´ı promˇenn´ ych u = f (x, y, z), dvakr´at spojitˇe diferencovatelnou na okol´ı bodu A = [x0 , y0 , z0 ] ∈ R2 , bod A necht’ je stacion´arn´ım bodem ∂f ∂f ∂f (A) = 0, (A) = 0, (A) = 0. Analogicky, jako pro funkci funkce f , tj. ∂x ∂y ∂z
- 298 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
dvou promˇenn´ ych, m˚ uˇzeme sestavit matici druh´ ych 2 ∂2f ∂ f (A) (A) ∂x2 ∂x∂y 2 ∂2f ∂ f d2 f (A) = (dx dy dz) · (A) (A) ∂x∂y ∂y 2 2 ∂ f ∂2f (A) (A) ∂x∂z ∂y∂z Oznaˇcme D1 =
parci´aln´ı derivac´ı, resp. ∂2f (A) ∂x∂z dx ∂2f (A) · dy . ∂y∂z 2 dz ∂ f (A) ∂z 2
∂ 2f (A), ∂x2
D2 =
2 2 ∂ f ∂ f (A) (A) ∂x2 ∂x∂y , D3 = ∂ 2f ∂ 2f (A) (A) ∂x∂y ∂y 2
∂ 2f ∂ 2f ∂2f (A) (A) (A) ∂x2 ∂x∂y ∂x∂z ∂ 2f ∂2f ∂ 2f (A) (A) (A) 2 ∂x∂y ∂y ∂y∂z 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f (A) (A) (A) ∂x∂z ∂y∂z ∂z 2
hlavn´ı determinanty matice parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu. Pak pro stacion´arn´ı bod A funkce f plat´ı: 1. Je-li D1 > 0 ∧ D2 > 0 ∧ D3 > 0, pak m´a funkce f v bodˇe A ostr´ e lok´ aln´ı minimum, 2. Je-li D1 < 0 ∧ D2 > 0 ∧ D3 < 0, pak m´a funkce f v bodˇe A ostr´ e lok´ aln´ı maximum, 3. Je-li D2 < 0, pak pro funkci f v bodˇe A extr´ em neexistuje.
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad 6.1.1. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x3 − 3xy + 3y 2 . ˇ sen´ı: Reˇ
Funkce je definovan´a na cel´em R2 , Df = R2 . Postup ˇreˇsen´ı lze
rozdˇelit do n´asleduj´ıc´ıch krok˚ u: 1. Urˇc´ıme parci´aln´ı derivace funkce f prvn´ıho ˇr´adu: ∂f = 3x2 − 3y, ∂x
∂f = −3x + 6y. ∂y
- 299 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
∂f ∂f = 0, = 0. Dostaneme ∂x ∂y tak soustavu rovnic pro stacion´arn´ı body funkce f . 2. Parci´aln´ı derivace poloˇz´ıme rovny nule, tj.
3x2 − 3y = 0, −3x + 6y = 0. 3. Soustavu rovnic pro stacion´arn´ı body vyˇreˇs´ıme. Ze druh´e rovnice vyj´adˇr´ıme x a dosad´ıme do rovnice prvn´ı. x = 2y ⇒ 3(2y)2 − 3y = 0 ⇒ 12y 2 − 3y = 0 ⇒ y(4y − 1) = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 0 ⇒ A1 = [0, 0] y=
1 4
⇒ −3x +
6 4
=0 ⇒ x=
1 2
⇒ A2 =
1
1 , . 2 4
Naˇsli jsme dva stacion´arn´ı body, bod A1 = [0, 0] a A2 = 4. Urˇc´ıme matici 2 ∂ f ∂x2 Q= ∂ 2f ∂y∂x
1
,1 2 4
.
parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu funkce f , ∂2f 6x −3 ∂x∂y = . ∂2f −3 6 ∂y 2
5. Do matice Q postupnˇe dosad´ıme jednotliv´e stacion´arn´ı body (tzn. x-ovou souˇradnici stacion´arn´ıho bodu za x, y-ovou souˇradnici stacion´arn´ıho bodu za y). 0 −3 3 −3 Q(A1 ) = , Q(A2 ) = . −3 6 −3 6 6. Vypoˇc´ıt´ame determinanty D1 , D2 pro matice Q(A1 ), Q(A2 ). Hodnoty determinant˚ u rozhodnou o charakteru extr´em˚ u. Stac. bod Ai
D1
D2
extr´em z = f (Ai )
A1 = [0, 0] A2 = 12 , 41
0
−9 < 0
extr´em neexistuje
3>0
9>0
1 ostr´e lok´aln´ı minimum z = − 16
- 300 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
z
y
2
x Obr. 6.1.2 Pˇ r´ıklad 6.1.2. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = e−x
2 −y 2
(2y 2 + x2 ).
ˇ sen´ı: Funkce je definovan´a na cel´em R2 . Reˇ 1. Urˇc´ıme parci´aln´ı derivace prv´eho ˇr´adu: ∂f 2 2 2 2 2 2 = e−x −y (−2x)(2y 2 + x2 ) + e−x −y 2x = −2xe−x −y (2y 2 + x2 − 1), ∂x ∂f 2 2 2 2 2 2 = e−x −y (−2y)(2y 2 + x2 ) + e−x −y 4y = −2ye−x −y (2y 2 + x2 − 2). ∂y 2. Parci´aln´ı derivace poloˇz´ıme rovny nule, tj.
∂f ∂f = 0, = 0. Dostaneme ∂x ∂y
tak rovnice pro stacion´arn´ı body funkce f , −2xe−x −2ye−x
2 −y 2
(2y 2 + x2 − 1) = 0,
2 −y 2
(2y 2 + x2 − 2) = 0.
3. Rovnice pro stacion´arn´ı body vyˇreˇs´ıme. V´ yraz e−x
2 −y 2
pro libovoln´e x, y, m˚ uˇzeme j´ım proto obˇe rovnice vykr´atit, x(2y 2 + x2 − 1) = 0, y(2y 2 + x2 − 2) = 0.
- 301 -
je vˇzdy r˚ uzn´ y od nuly
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
Poloˇz´ıme-li v prvn´ı rovnici x = 0, dost´av´ame ze druh´e rovnice y(2y 2 − 2) = 0 ˇreˇsen´ı y = 0, y = ±1. Z´ıskali jsem tˇri stacion´arn´ı body A1 = [0, 0], A2 = [0, 1] a A3 = [0, −1]. Poloˇz´ıme-li ve druh´e rovnici y = 0, pak z prvn´ı rovnice x(x2 − 1) = 0 plyne ˇreˇsen´ı ve tvaru x = 0, x = ±1. Stacion´arn´ı bod A1 = [0, 0] jsme jiˇz vypoˇc´ıtali, takˇze na z´akladˇe pˇredpokladu y = 0 jsme z´ıskali dva nov´e stacion´arn´ı body, bod A4 = [1, 0] a A5 = [−1, 0]. Zb´ yv´a jeˇstˇe provˇeˇrit moˇznost, ˇze x 6= 0, y 6= 0. V tomto pˇr´ıpadˇe ˇreˇs´ıme soustavu 2y 2 + x2 − 1 = 0, 2y 2 + x2 − 2 = 0. Jestliˇze obˇe rovnice od sebe odeˇcteme, dost´av´ame rovnici 1 = 0, toto ale neˇ adn´ plat´ı pro ˇz´adn´e x, y. Soustava nem´a za tohoto pˇredpokladu ˇreˇsen´ı. Z´ y nov´ y stacion´arn´ı bod jsme nez´ıskali. Shrneme-li krok 3, v´ ysledkem naˇs´ı snahy bylo urˇcen´ı pˇeti stacion´arn´ıch bod˚ u: A1 = [0, 0], A2 = [0, 1], A3 = [0, −1], A4 = [1, 0], A5 = [−1, 0]. 4. Urˇc´ıme matici 2 ∂ f ∂x2 Q= ∂ 2f ∂y∂x ∂ 2f ∂x2 ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y∂x ∂ 2f ∂y 2
parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu. ∂2f ∂x∂y , kde ∂2f . ∂y 2
= ((−2 + 4x2 )(2y 2 + x2 − 1) − 4x2 )e−x = 4xye−x
2 −y 2
(2y 2 + x2 − 3),
= 4xye−x
2 −y 2
(2y 2 + x2 − 3),
= ((−2 + 4y 2 )(2y 2 + x2 − 2) − 8y 2 )e−x
- 302 -
2 −y 2
2 −y 2
,
.
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
5. Do matice parci´aln´ıch derivac´ı postupnˇe dosad´ıme stacion´arn´ı body (tzn. x-ovou souˇradnici stacion´arn´ıho bodu dosad´ıme za promˇenou x, y-ovou za y). 2 2 − − 2 0 0 0 , Q(A3 ) = e , , Q(A2 ) = e Q(A1 ) = 0 4 0 − 8e 0 − 8e 4 4 − 0 − 0 , Q(A5 ) = e . Q(A4 ) = e 0 2e 0 2e 6. Urˇc´ıme hodnoty D1 , D2 a rozhodneme o charakteru extr´em˚ u. Stac. bod Ai
D1
D2
extr´em z = f (Ai )
A1 = [0, 0]
2>0
8>0
ostr´e lok´aln´ı minimum z = 0
A2 = [0, 1]
− 2e < 0
16 e2
>0
ostr´e lok´aln´ı maximum z =
2 e
A3 = [0, −1] − 2e < 0
16 e2
>0
ostr´e lok´aln´ı maximum z =
2 e
− 4e < 0 − e82 < 0
extr´em neexistuje
A5 = [−1, 0] − 4e < 0 − e82 < 0
extr´em neexistuje
A4 = [1, 0]
V bodˇe A1 m´a funkce f ostr´e lok´aln´ı minimum. V bodech A2 , A3 m´a funkce f ostr´a lok´aln´ı maxima. V bodech A4 , A5 funkce f extr´em nem´a, Obr. 6.1.3.
z
z 3
x
2 1
y
x y Obr. 6.1.3
- 303 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
Pˇ r´ıklad 6.1.3. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x3 + y 3 . ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem funkce f je Df = R2 . Reˇ 1. Urˇc´ıme parci´aln´ı derivace funkce f . ∂f = 3x2 , ∂x
∂f = 3y 2 . ∂y
2. Parci´aln´ı derivace poloˇz´ıme rovny 0, dost´av´ame soustavu rovnic pro stacion´arn´ı body, 3x2 = 0, 3y 2 = 0. ˇ sen´ım soustavy je jedin´ 3. Reˇ y stacion´arn´ı bod A = [0, 0]. 4. Urˇc´ıme matici 2 ∂ f ∂x2 Q= ∂ 2f ∂y∂x
parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu, ∂2f ∂x∂y 6x 0 . = ∂2f 0 6x ∂y 2
5. Do matice Q dosad´ıme stacion´arn´ı bod, 0 0 . Q= 0 0 6. Determinant D1 = 0, D2 = 0. Nem˚ uˇzeme o existenci extr´emu rozhodnout. Ovˇsem jak´a bude funkˇcn´ı hodnota v bodˇe A? Dosad´ıme souˇradnice bodu A do funkˇcn´ıho pˇredpisu funkce f , tedy f (A) = 0. Jak se funkce chov´a na okol´ı bodu A = [0, 0]. Kdyˇz dosad´ıme za x a za y z´aporn´a ˇc´ısla, hodnota z bude z´aporn´a, tj. z < f (A). Pokud za x a y do funkˇcn´ıho pˇredpisu dosad´ıme kladn´a ˇc´ısla, hodnota z bude kladn´a, tj. z > f (A). Na libovoln´em okol´ı bodu [0, 0] existuj´ı body, jejichˇz funkˇcn´ı hodnota je vˇetˇs´ı neˇz f (A), ale z´aroveˇ n existuj´ı body, jejichˇz funkˇcn´ı hodnota je menˇs´ı neˇz f (A). V bodˇe A = [0, 0] extr´em neexistuje.
- 304 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
z
x
y
Obr. 6.1.4
Pˇ r´ıklad 6.1.4. Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + zy − z + y − 2x. ˇ sen´ı: Postupujeme analogicky jako v pˇr´ıpadˇe funkce dvou promˇenn´ Reˇ ych. Definiˇcn´ım oborem funkce f je cel´e R3 . 1. Urˇc´ıme parci´aln´ı derivace funkce f , ∂f = 2x − 2, ∂x
∂f = 2y + z + 1, ∂y
∂f = 2z + y − 1. ∂z
2. Sestav´ıme soustavu rovnic pro stacion´arn´ı body, 2x − 2 = 0, 2y + z + 1 = 0, 2z + y − 1 = 0. ˇ sen´ım soustavy je bod A = [1, −1, 1]. 3. Reˇ
- 305 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
4. Urˇc´ıme matici 2 ∂ f ∂x2 2 ∂ f Q= ∂x∂y 2 ∂ f ∂x∂z 5. Do matice Q 2 Q(A) = 0 0
parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇr´adu, ∂2f ∂2f ∂x∂y ∂x∂z 2 0 0 ∂2f ∂2f = . 0 2 1 2 ∂y ∂y∂z 2 2 0 1 2 ∂ f ∂ f ∂y∂z
∂z 2
dosad´ıme stacion´arn´ı bod A = [1, −1, 1], tedy 0 0 2 1 . 1 2
6. Determinant D1 = 2 > 0, D2 = 4 > 0, D3 = 6 > 0. V bodˇe A = [1, −1, 1] m´a funkce f ostr´e lok´aln´ı minimum z = −2.
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 + 6x + 3y 2 − 12y + 11. 2. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 3xy − x + 2y. 3. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 − xy + 3x + y + 3. 4. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x3 − 12x − 2y 2 − 4y. 5. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = − 21 x2 + 5x + 31 y 3 − 9y. 6. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x5 − 5x + y 3 − 3y. 7. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 + 3xy − 2x − 3y + 5y 2 + 3. 8. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 − 4xy + 4x + 29 y 2 − 15y. 9. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = (x2 + 4x)y + y 2 . 10. Naleznˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 13 x3 + 21 x2 −6x+ 13 y 3 + 21 y 2 −20y.
V´ ysledky u ´lohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Stacion´arn´ı bod: A = [−3, 2] - ostr´e lok´aln´ı minimum f (A) = −10. 2. Stacion´arn´ı bod: A = [− 23 , 31 ] - extr´em neexistuje.
- 306 -
´ ı extremy ´ 6.1. Lokaln´
Matematika II
3. Stacion´arn´ı bod: A = [1, 5] - extr´em neexistuje. 4. Stacion´arn´ı body: A1 = [2, −1] - extr´em neexistuje, A2 = [−2, −1] - ostr´e lok´aln´ı maximum f (A2 ) = 18. 5. Stacion´arn´ı body: A1 = [5, 3] - extr´em neexistuje, A2 = [5, −3] - ostr´e lok´aln´ı maximum f (A2 ) =
61 . 2
6. Stacion´arn´ı body: A1 = [−1, 1] - extr´em neexistuje, A2 = [1, 1] - ostr´e lok´aln´ı minimum f (A2 ) = −6, A3 = [1, −1] - extr´em neexistuje, A4 = [−1, −1] ostr´e lok´aln´ı maximum f (A4 ) = 6. 7. Stacion´arn´ım bod: A = [1, 0] - ostr´e lok´aln´ı minimum f (A) = 2. . 8. Stacion´arn´ım bod: A = [12, 7] - ostr´e lok´aln´ı minimum f (A) = − 57 2 9. Stacion´arn´ı body: A1 = [0, 0] - extr´em neexistuje, A2 = [−4, 0] - extr´em neexistuje, A3 = [−2, 2] - ostr´e lok´aln´ı minimum f (A3 ) = −4. 10. Stacion´arn´ı body: A1 = [2, 4] - ostr´e lok´aln´ı minimum f (A1 ) = −58, A2 = [2, −5] - extr´em neexistuje, A3 = [−3, 4] - extr´em neexistuje, A4 = [−3, −5] - ostr´e lok´aln´ı maximum f (A4 ) =
253 . 3
- 307 -
