Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor
FV
r (sazba p.a.)
(1 + u) u (sazba)
PV
d (dní) 365 (dní)
Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Úroky lze vyplácet nebo připsat k úročené částce. a) Když se vyplácejí, vložený kapitál zůstává stejný. b) Pokud se úroky připisují, stávají se součástí vkladu, zvyšují vložený kapitál (jistinu) a úročí se dále spolu s původním kapitálem; vzniká tzv. složené úročení. V podstatě ale nejde o skutečné „úročení úroků“, i když se tomu tak běžně říká, protože připsané úroky přestávají být úroky a stávají se jistinou. Také se používá výraz „úroky se kapitalizují“. Připisováním úroků se zvětšuje jistina. To, co se úročí, je jistina, narůstající po každém připsání úroků. Jak často se úroky připisují? Záleží na smlouvě, na typu produktu. Spořící účty a vkladní knížky nabízené bankami většinou připisují úroky jednou ročně. Ale jsou i produkty, kde banka připisuje úroky dvakrát ročně, 4 x ročně či 12 x ročně nebo dokonce každý týden, například revolvingový termínový vklad, kde po skončení termínu jsou úroky připojeny k jistině a vklad se automaticky obnovuje na další termín (revolving), dokud bance neoznámíte, že chcete revolving ukončit. Když banka připisuje úroky k jistině, použijeme odpovídající složené úročení. Když však počítáme časovou hodnotu peněz, které nejsou uloženy v žádném konkrétním bankovním produktu, čili počítáme jen abstraktní úročení a diskontování, vzniká otázka, zda máme použít složené úročení a za jakou periodu. Teoreticky (matematicky) lze použít složené úročení na libovolnou periodu jednou ročně, pololetně, čtvrtletně, měsíčně, ale klidně i denně, po hodinách či dokonce kontinuálně.
1
Pro jednoduchost uvažujme jen úroky připisované jednou ročně, tedy že úročení je složené jednou ročně - což je ostatně nejčastější případ i v praxi.
Úročení částky PV za jeden rok sazbou r: PV · (1 + r) = FV
1 + r je úrokový faktor (roční)
Příklad složeného úročení za dva roky (úroková sazba per annum je r): PV · (1 + r) · (1 + r) = FV
(1 + r) · (1 + r) je složený úrokový faktor
Úrokový faktor (1 + r) ve vzorci se opakuje tolikrát, kolik let trvá úročení. Za tři roky: PV · (1 + r) · (1 + r) · (1 + r) = FV nebo úsporněji zapsáno: PV · (1 + r)3 = FV Za n let naroste částka složeným úročením takto: PV · (1 + r)n = FV
(1 + r)n je složený úrokový faktor za n let
Když nejde o celé roky Příklad složeného úročení za jeden rok a 25 dní - tady se obvykle kombinuje celoroční složené úročení s prostým úročením za část roku: 25 PV · (1 + r) · (1 + r · ) = FV 365 Poznámka: Co kdyby tentýž příklad byl bez složeného úročení? To znamená, že po roce se úrok nepřipisuje, ale narůstá dále až do konečné splatnosti:
PV · (1 + r ·
365 + 25 ) = FV 365
Jiný příklad: složené úročení za 5 let a 84 dní 84 PV · (1 + r)5 · (1 + r · –––– ) = FV 365 Poznámka pro zvídavé: matematicky vzato, je možný i jiný postup, kdy neúplný rok vyjádříme jako zlomek roku, například 84/365 je 0,23 roku. Pět let a 84 dní by pak šlo zapsat jako 5,23 let. Pak by bylo možné složený úrokový faktor zjednodušit na
(1 + r)n = (1 + r)5,23 2
Avšak hodnota tohoto faktoru se liší nepatrně od faktoru v předchozím vzorci.
Složené diskontování: dělení složeným úrokovým faktorem Diskontování za více let je operace obrácená: FV dělíme složeným faktorem. Např. Present Value částky splatné za tři roky (FV) je FV PV = –––––––––––––––––– (1 + r) · (1 + r) · (1 + r) neboli FV PV = –––––––– (1 + r)3 a podobně diskontování částky splatné za 5 let a 84 dní: FV PV = –––––––––––––––––– 84 (1 + r)5 · (1 + r · –––– ) 365
Praktické cvičení Na kalkulačce si nejprve připravíme úrokový faktor a uložíme jej do paměti. Příklad: Částka 50 000 € je splatná za tři roky. Kolik euro máme dnes uložit na účet úročený sazbou per annum 7 % - zapíšeme jako 0,07 - aby chom měli na účtě za tři roky přesně tuto částku? Roční úrokový faktor je 1,07 a za tři roky činí:
1,07 · 1,07 · 1,07 neboli
1,073
Na jednoduché kalkulačce využijete opakování operace tlačítkem „=“. 1,07 x =
výsledek bude 1,07 na druhou = 1,1449
1,07 x = =
je 1,07 na třetí = 1,225043 ... a dále by to bylo:
1,07 x = = =
na čtvrtou = 1,310796
1,07 x = = = =
na pátou = 1,40255
1,07 x = = = = =
na šestou = 1,50073 ... atd.
Faktor (v tomto příkladu 1,225043) uložíme do paměti. Budoucí částku (Future Value) dělíme tímto faktorem (vyvolaným z paměti tlačítkem MRC): 3
50 000 : MRC =
což kalkulačka provede jako
50 000 : 1,225043 = 40 814,89
Poznámka: V excelu použijete funkci POWER - MOCNINA. Syntax je
=POWER( základ ; mocnitel )
Příklad Máme možnost koupit směnku znějící na 2 miliony korun, splatnou za tři roky. Jakou má pro nás současnou hodnotu, když bychom chtěli dosáhnout minimální zhodnocení investovaných peněz 12 % p.a. ? Roční úrokový faktor bude 1,12. Složený úrokový faktor za 3 roky činí 1,123 .
FV PV
1,123 2 000 000 PV = ––––––––––– = 1 423 560,50 1,123
Poznámka: na kalkulačce nemusíte umocňovat, stačí opakovat úrokový faktor, např. 2 000 000 : 1,12 : 1,12 : 1,12 = 1 423 560,50
4
Současná hodnota balíčku několika plateb Příklad Máme možnost koupit balíček dvou směnek, jedna zní na směnečnou sumu 500 000 korun a je splatná za dva roky, druhá zní na 600 000 korun a je splatná za tři roky. Požadujeme výnos minimálně 12 % p.a. Nelze jinak, než každou směnku diskontovat zvlášť. Vypočteme PV1 a PV2. Když použijeme stejnou sazbu per annum (12 %) a diskontujeme ke stejnému dni (např. k dnešku), pak můžeme present value sčítat. Tak dostaneme present value balíčku jako jednoho investičního aktiva. 500 000 PV1
1,122
600 000 PV2
1,123
PV = PV1 + PV2
5
