PROSIDING

PROSIDING 978-979-16353-8-7

HALAMAN JUDUL

ISBN : 978-979-16353-8-7

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

“ Kontribusi Pendidikan Matematika dan Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa “

Yogyakarta, 10 November 2012

Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2012

ISBN : 978-979-16353-8-7

PROSIDING

PROSIDING SEMINAR NASIONAL Matematika dan Pendidikan Matematika

10 November 2012 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. 2. 3. 4. 5.

Prof. Dr. Rusgianto Dr. Sugiman Dr. Jailani Dr. Djamilah Bondan Widjajanti Dr. Agus Maman Abadi

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2012 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012

2

ISBN : 978-979-16353-8-7

PROSIDING

KATA PENGANTAR Puji Syukur ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala Karunia dan Rahmat-Nya

sehingga prosiding ini dapat diselesaikan. Prosiding ini merupakan

kumpulan makalah dari peneliti, guru, mahasiswa, pemerhati dan dosen bidang Pendidikan Matematika berbagai daerah di Indonesia. Makalah yang dipresentasikan meliputi

makalah hasil penelitian pada saat melaksanakan PTK/Lesson Study,

pemikiran tentang pembelajaran matematika yang inovatif atau kajian teoritis seputar pembelajaran matematika sekolah. Pada kesempatan ini panitia mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dan mendukung penyelenggaraan seminar ini. Khususnya, kepada seluruh peserta seminar diucapkan terima kasih atas partisipasinya dan selamat berseminar, semoga bermanfaat.

Panitia

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012

3

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

DAFTAR ISI MAKALAH UTAMA

No

Kode

Penulis

1 U-1

Lim, Chap Sam

2 U-2

S.B Waluya

3 U-3

Djamilah Bondan Widjajanti

Judul MOULDING POSITIVE CHARACTERS VIA INCULCATING VALUES IN MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING PERAN MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DALAM MEMBANGUN KARAKTER BANGSA PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG HUMANIS: MEMBANGUN KARAKTER GURU, KARAKTER SISWA, DAN KARAKTER BANGSA

Hal

MU-1 MU-11

MU-19

MAKALAH BIDANG ANALISIS DAN ALJABAR No

Kode

Penulis

Judul

Hal

1 A-1

Burhanudin Arif Nurnugroho

RUANG BARISAN DENGAN NILAI PADA RUANG BERNORMA-2 YANG DIBANGUN OLEH FUNGSI ORLICZ

MA-1

2 A-2

Dhian Arista Istikomah

KARAKTERISASI E-SEMIGRUP

MA-9

3 A-3

Dian Ariesta Yuwaningsih

BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA

MA-17

KONSTRUKSI KLAS BARISAN P-SUPREMUM BOUNDED VARIATION SEQUENCES

MA-25

SUATU ALGORITMA KRIPTOGRAFI STREAM CIPHER BERDASARKAN FUNGSI CHAOS

MA-33

4 A-4

5 A-5

Moch. Aruman Imron Dwi Lestari, Muhamad Zaki Riyanto

6 A-6

Elvina Herawaty

7 A-7

Hendra Listya Kurniawan, Musthofa

BEBERAPA RELASI INKLUSI PADA RUANG BARISAN BANACH LATTICE APLIKASI SISTEM LINEAR MAX-PLUS INVARIANT PADA SISTEM PRODUKSI TEMPE SUPER DANGSUL DI YOGYAKARTA

8 A-8

M. Andy Rudhito

SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS

9 A-9

Moh. Affaf

10 A-10

Mustofa Arifin, Musthofa

LUAS DI R2 DENGAN MEMANFAATKAN GARIS SINGGUNG KURVA OPTIMISASI JADWAL PEMESANAN BAKPIA PATHOK "25" DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA DENGAN SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU INVARIANT

MA-41 MA-53 MA-65 MA-71

MA-81

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

11 A-11

Riningsih, Indah Emilia Wijayanti

12 A-12

Siswanto

13 A-13

Caturiyati, Ch. Rini Indrati, Lina Aryati

14 A-14

Caturiyati, Ch. Rini Indrati, Lina Aryati

SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA MENGGUNAKAN KODE LINEAR NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL SECOND ORDER CONE (SOC) DAN SIFAT-SIFAT KENDALA SECOND ORDER CONE PROGRAMMING DENGAN NORMA 1 KEKONVEKSKAN DAERAH FISIBEL SECOND ORDER CONE PROGRAMMING DENGAN NORMA 1

MA-91 MA-99 MA-114 MA-119

MAKALAH BIDANG PENDIDIKAN MATEMATIKA No

Kode

1 P-1

Halaman

Penulis

Akhmad Nayazik

PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN MENGINTEGRASIKAN HOM (HISTORY OF MATHEMATICS) UNTUK MENINGKATKAN MOTIVASI BELAJAR

2 P-2

Amir Fatah

3 P-3

Amir Mahmud

MODIFIKASI PERSEPSI : HARAPAN BARU MENINGKATKAN MINAT BELAJAR MATEMATIKA TERAPAN (MEKANIKA FLUIDA) EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD DAN JIGSAW PADA POKOK BAHASAN BENTUK ALJABAR DITINJAU DARI PERHATIAN ORANG TUA SISWA KELAS VII SMP NEGERI DI KABUPATEN CILACAP TAHUN PELAJARAN 2010/ 2011

Andri Anugrahana

INTEGRASI KECAKAPAN HIDUP SISWA MELALUI PENGALAMAN BELAJAR MATEMATIKA KONTEKS DUNIA NYATA SISWA DI SEKOLAH DASAR

4 P-4

5 P-5

Andri Suryana

6 P-6

Angelia Padmarini Dharmamurti, Ch. Enny Murwaningtyas

7 P-7

Angelina Dwi Marsetyorini, Ch. Enny Murwaningtyas

KEMAMPUAN BERPIKIR MATEMATIS TINGKAT LANJUT (ADVANCED MATHEMATICAL THINKING) DALAM MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA 1 EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN REMEDIAL DENGAN MENGGUNAKAN ALAT PERAGA “KOTAK GESER” PADA MATERI PERKALIAN DAN FAKTORISASI BENTUK ALJABAR DI KELAS VIII SMPN 2 JETIS BANTUL DIAGNOSIS KESULITAN BELAJAR SISWA DAN PEMBELAJARAN REMEDIAL DALAM MATERI OPERASI PADA PECAHAN BENTUK ALJABAR DI KELAS VIII SMPN 2 JETIS BANTUL


MP-1

MP-9

MP-15

MP-27

MP-37

MP-49

MP-59

PROSIDING

8 P-8

9 P-9

ISBN : 978-979-16353-8-7

Angger Rengga Hutama, M. Andy Rudhito

EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM CABRI 3D UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN SISWA TENTANG KONSEP SIKU-SIKU DALAM SUB-POKOK BAHASAN PENERAPAN TEOREMA PHYTAGORAS PADA BANGUN RUANG DI KELAS VIII SMP PANGUDI LUHUR GANTIWARNO

MP-71

Anggria Septiani

PENERAPAN STRATEGI INQUIRY BASED LEARNING DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA SISWA KELAS VII SMP NEGERI 45 PALEMBANG

MP-81

10 P-10

Ani Minarni

11 P-11

Aris Nurkholis

PENGARUH PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH TERHADAP KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH SISWA SMP PENILAIAN PORTOFOLIO DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS KONTEKSTUAL PADA SISWA KELAS 1 SD JUARA YOGYAKARTA TAHUN AJARAN 2011/2012

12 P-12

Asep Ikin Sugandi

PERANAN MATEMATIKA DALAM MENUMBUHKAN KARAKTER SISWA

MP-111

13 P-13

Aulia Musla Mustika

PENERAPAN PMRI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH DASAR UNTUK MENUMBUHKEMBANGKAN PENDIDIKAN KARAKTER

MP-121

14 P-14

Awit Widya Lestari

15 P-15

Bernadeta Ayu Setyanta, Ch. Enny Murwaningtyas

16 P-16

Burhan Iskandar Alam

17 P-17

Desti Haryani

PENGAPLIKASIAN PROGRAM WINGEOM PADA POKOK BAHASAN KUBUS DAN BALOK PENGARUH PEMBERIAN KUIS TERHADAP MOTIVASI DAN HASIL BELAJAR SISWA SMP KANISIUS KALASAN TAHUN PELAJARAN 2012/2013 PADA MATERI FAKTORISASI SUKU ALJABAR PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMAHAMAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIKA SISWA SD MELALUI PENDEKATAN REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) PROFIL PROSES BERPIKIR KRITIS SISWA SMA DENGAN GAYA KOGNITIF FIELD INDEPENDEN DAN BERJENIS KALAMIN PEREMPUAN DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA


MP-91

MP-103

MP-131

MP-141

MP-149

MP-165

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

18 P-18

Desti Haryani

MEMBENTUK SISWA BERPIKIR KRITIS MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

MP-175

19 P-19

Devy Yuliastri Kurnia Putri, Intan Ayu Maharani

PENANAMAN SIKAP ANTI KORUPSI DAPAT MELALUI PELAJARAN MATEMATIKA

MP-183

Didi Suhaedi

PENINGKATAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA SMP MELALUI PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK

MP-191

Edy Bambang Irawan

THE CHALLENGE OF MATHEMATICS TEACHERS IN DEALING WITH VARIOUS CURRICULUM CHANGES (A THEORETICAL REVIEW)

MP-201

Endang Setyo Winarni

MEMBANGUN KARAKTER SISWA SEKOLAH DASAR (SD) MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA BENDA KONKRET

MP-209

20 P-20

21 P-21

22 P-22

23 P-23

Sumiyati

24 P-24

Susiana Suryandari

25 P-25

Tumisah

26 P-26

Ary Widayanto

MENUMBUHKAN KARAKTER BEKERJA KERAS DAN PANTANG MENYERAH PADA SISWA KELAS XII IPS SMAN 1 TEMPEL MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA OPTIMALISASI MEMBENTUK KARAKTER MENGGUNAKAN STIMULUS OTAK KANAN DAN OTAK KIRI PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA DALAM PENCAPAIAN TARGET PRESTASI PUNCAK PENINGKATAN PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA DENGAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE THINK-PAIR-SHARE (TPS) DI SMK NEGERI 1 PANDAK KELAS X TPHP 1 PENGARUH MOTIVASI BERPRESTASI, INTELIGENSI QUOTIENT, DAN FASILITAS BELAJAR SISWA TERHADAP PRESTASI OLIMPIADE SAINS DI SMA NEGERI 1 BANTUL TAHUN AJARAN 2011-2012

Muniri

MODEL PENALARAN INTUITIF SISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA

MP-251

Suryo Widodo

PROFIL KREATIVITAS GURU SMP DALAM MEMBUAT MASALAH MATEMATIKA KONTEKSTUAL BERDASARKAN KUALIFIKASI AKADEMIK

MP-263

27 P-27

28 P-28


MP-217

MP-227

MP-235

MP-243

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

29 P-29

Eka Setyaningsih

30 P-30

Elisabeth Evi Alviah, M. Andy Rudhito

KEPEDULIAN GURU DALAM MENANAMKAN KARAKTER PESERTA DIDIK PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM GEOGEBRA DIBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA TOPIK GRAFIK FUNGSI KUADRAT KELAS X SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA

31 P-31

Elly Susanti

MENINGKATKAN PENALARAN SISWA MELALUI KONEKSI MATEMATIKA

32 P-32

Epon Nur'Aeni, Dindin Abdul Muiz Lidinillah, Ayi Sakinatussa'Adah

33 P-33

Essy Purwaningtyas

34 P-34

Ety Septiati

35 P-35

Fransiscus Dimas Permadi, M. Andy Rudhito

36 P-36

Gadis Arniyati Athar

MODEL DISAIN DIDAKTIS PEMBAGIAN PECAHAN BERBASIS PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK UNTUK SISWA KELAS V SEKOLAH DASAR EFEKTIVITAS MODEL PEMBELAJARAAN KOOPERATIF TIPE NUMBERED HEADS TOGETHER (NHT) DITINJAU DARI KREATIVITAS DAN KARAKTER SISWA DI SMP NEGERI 15 YOGYAKARTA KEEFEKTIFAN PENDEKATAN KONSTRUKTIVISME TERHADAP KEMAMPUAN KONEKSI MATEMATIS MAHASISWA PADA MATA KULIAH ANALISIS REAL I EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM GEOGEBRA DIBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA MATERI TEOREMA PYTHAGORAS KELAS VIII SMP PANGUDI LUHUR GANTIWARNO KLATEN PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK (PMR) BERBASIS BUDAYA CERITA RAKYAT MELAYU RIAU PADA KELAS 3 SEKOLAH DASAR.

37 P-37

Garini Widosari

PENGGUNAAN SOFTWARE MATLAB UNTUK MENINGKATKAN MINAT BELAJAR MATEMATIKA DI POLITEKNIK NEGERI SAMARINDA

MP-347

38 P-38

Georgina Maria Tinungki

SENI MENGAJAR SEORANG GURU MATEMATIKA IDAMAN SISWA

MP-351


MP-271

MP-279

MP-289

MP-297

MP-309

MP-319

MP-325

MP-335

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

39 P-39

Pivi Alpia Podomi, Ginanjar Abdurrahman, Yandri Soeyono

40 P-40

Heru Kurniawan

KEYAKINAN GURU TERHADAP MATEMATIKA DAN PROFESI UPAYA PENINGKATAN EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA MELALUI METODE KOOPERATIF TIPE TEAM ASSISTED INDIVIDUALIZATION (TAI) PADA SISWA KELAS V SD NEGERI SIDOMULYO TAHUN PELAJARAN 2011/2012

Hery Suharna

BERPIKIR REFLEKTIF (REFLECTIVE THINKING ) SISWA SD BERKEMAMPUAN MATEMATIKA TINGGI DALAM PEMAHAMAN MASALAH PECAHAN

MP-377

Zetriuslita

PENERAPAN PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE NHT UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS X-4 SMAN 1 SIAK HULU

MP-387

Huri Suhendri

PENGARUH KECERDASAN MATEMATIS-LOGIS, RASA PERCAYA DIRI, DAN KEMANDIRIAN BELAJAR TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA

MP-397

44 P-44

Ibrahim

KEBIASAAN BELAJAR MATEMATIKA SISWA DAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS MASALAH

MP-405

45 P-45

Yusuf Suryana, Oyon Haki Pranata, Ika Fitri Apria

DESAIN DIDAKTIS PENGENALAN KONSEP PECAHAN SEDERHANA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI KELAS III SEKOLAH DASAR

MP-413

46 P-46

In Hi Abdullah

PENINGKATAN KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIS SISWA SMP MELALUI PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL YANG TERINTEGRASI DENGAN SOFT SKILL.

MP-427

47 P-47

Isrok'Atun

CREATIVE PROBLEM SOLVING (CPS) MATEMATIS

MP-437

Karman La Nani

KONSTRUKSI SELF-REGULATION SKILL DAN HELP-SEEKING BEHAVIOR DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

MP-449

Ketut Sutame, Harpint

MEREDUKSI MATHEMATICS ANXIETY DAN MENYUBURKAN PROBLEM SOLVING ABILITY DENGAN PENDEKATAN PROBLEM POSING

MP-459

41 P-41

42 P-42

43 P-43

48 P-48

49 P-49


MP-361

MP-369

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

50 P-50

Kholida Agustin, Yulia Linguistika

51 P-51

Kikin Windhani, Fajar Hardoyono

52 P-52

Kuswati, Nila Kurniasih, Puji Nugrahen

IDENTIFIKASI KESALAHAN SISWA KELAS X PADA EVALUASI MATERI SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT DENGAN PANGKAT BILANGAN BULAT DI SMA MUHAMMADIYAH 2 YOGYAKARTA

ANALYSIS OF STUDENTS' ABILITY IN MATH CONCEPTS AS A TOOL FOR STUDYING ECONOMIC THEORY EKSPERIMENTASI METODE DISCOVERY DAN METODE THINK-PAIR-SHARE (TPS) TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA DITINJAU DARI KEMAMPUAN ANALOGI MATEMATIS SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 26 PURWOREJO TAHUN PELAJARAN 2011/2012

MP-471

MP-487

MP-499

53 P-53

La Moma

54 P-54

Laela Sagita, Widi Astuti

55 P-55

Leo Agung Noviar Kidung Adi, M. Andy Rudhito

56 P-56

Leonardo Errick Pradika, Ch. Enny Murwaningtyas

57 P-57

Lina Wulandari, Nurhadi Waryanto

MENUMBUHKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIS MELALUI PEMBELAJARAN GENERATIF SISWA SMP UPAYA MENINGKATKAN KARAKTER POSITIF SISWA DAN PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA MELALUI METODE KOOPERATIF DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA TRAVEL GAME DI SMP NEGERI 14 YOGYAKARTA PEMANFAATAN PROGRAM CABRI 3D DALAM UPAYA MENGATASI KESULITAN BELAJAR SISWA KELAS 5 SD NEGERI BANYUURIP PURWOREJO PADA POKOK BAHASAN VOLUME KUBUS DAN BALOK ANALISIS KESALAHAN SISWA KELAS VIII I SMP N 1 KARANGANYAR DALAM MENGERJAKAN SOAL PADA POKOK BAHASAN BANGUN RUANG SISI DATAR SERTA UPAYA REMEDIASINYA DENGAN MEDIA BANTU PROGRAM CABRI 3D PEMANFAATAN CABRI 3D DALAM MEDIA INTERAKTIF BERBASIS METODE INKUIRI PADA MATERI BANGUN RUANG SISI DATAR UNTUK MENINGKATKAN CARA BERPIKIR KRITIS SISWA KELAS VIII SMP

58 P-58

Marhayati

PEMAHAMAN SOAL CERITA MELALUI PARAPRASE

MP-555

Maria Ulpah

MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN STATISTIS SISWA MADRASAH ALIYAH MELALUI PENDEKATAN KONTEKSTUAL DI KABUPATEN BANYUMAS

MP-563

59 P-59


MP-505

MP-515

MP-527

MP-537

MP-547

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

60 P-60

Maya Kusumaningrum, Abdul Aziz Saefudin

61 P-61

Mefa Indriati ,Tuti Syafrianti

MENGOPTIMALKAN KEMAMPUAN BERPIKIR MATEMATIKA MELALUI PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TEKNIK THINK PAIR SQUARE (TPS) UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS VIII1 SMP ISLAM YLPI PEKANBARU

62 P-62

Muhamad Yasin

ANALISIS GAYA KOMUNIKASI GURU MATEMATIKA BERDASARKAN TEORI KOMUNIKASI LOGIKA DESAIN PESAN

MP-591

63 P-63

Muhammad Rijal Wahid Muharram

QUANTUM MATHEMATIC, MEMAHAMI NILAI-NILAI MATEMATIKA UNTUK MEMBANGUN KARAKTER BANGSA

MP-599

64 P-64

Niken Wahyu Utami, Jailani

65 P-65

Niluh Sulistyani, S.Pd

PERMASALAHAN PENYUSUNAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA IMPLEMENTASI PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH DIPADUKAN DENGAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TAI (TEAM ASSISTED INDIVIDUALIZATION) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MATEMATIS PADA SISWA SMP N 2 SENTOLO KELAS IXA

66 P-66

Maesia Ledua, Ninda Argafani, M. F. Atsnan

PARENTS BEHAVIOUR IN STRUGGLING TO MOTIVATE MATHEMATICS LEARNERS

MP-629

67 P-67

Nora Surmilasari

PENGEMBANGAN LKS MATEMATIKA BERBASIS KONSTRUKTIVISME UNTUK PEMBELAJARAN MATERI PERKALIAN DUA MATRIKS DI KELAS XII SMA

MP-635

68 P-68

Novi Komariyatiningsih, Nila Kesumawati

69 P-69

Nurina Kurniasari Rahmawati, Teguh Wibowo, Nila Kurniasi

KETERKAITAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS DENGAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA (PMRI) PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN E-LEARNING PADA MATERI KUBUS DAN BALOK TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS VIII SMP N SE-KECAMATAN BANYUURIP DITINJAU DARI MOTIVASI BELAJAR SISWA


MP-571

MP-581

MP-611

MP-621

MP-643

MP-651

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

70 P-70

Pasttita Ayu Laksmiwati, Ali Mahmudi

71 P-71

Paulina Hani Rusmawati, M. Andy Rudhito

72 P-72

Purna Bayu Nugroho, Suparni, Mulin Nu’M

PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS METODE INQUIRY BERBANTUAN CABRI 3D PADA MATERI RUANG DIMENSI TIGA DESAIN LEMBAR KERJA SISWA DENGAN PEMANFAATAN PROGRAM GEOGEBRA MELALUI DEMONSTRASI UNTUK MENDUKUNG PENYAMPAIAN MATERI KESEBANGUNAN DI KELAS IX SMP NEGERI 2 JETIS-BANTUL EFEKTIVITAS MODEL PEMBELAJARAN MISSOURI MATHEMATICS PROJECT (MMP) DENGAN METODE TALKING STICK DAN PENEMUAN TERBIMBING TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS X MAN MAGUWOHARJO SLEMAN (PENELITIAN EKSPERIMEN POKOK BAHASAN TRIGONOMETRI)

Qodri Ali Hasan

REKONSTRUKSI PEMAHAMAN KONSEP PEMBAGIAN PADA SISWA BERKEMAMPUAN TINGGI

73 P-73

74 P-74

Qodri Ali Hasan

75 P-75

Qurotuh Ainia, Nila Kurniasih, Mujiyem Sapti

76 P-76

Ratu Ilma Indra Putri

77 P-77

Riawan Yudi Purwoko, Wawan

78 P-78

Rima Oktaviani,Mujiyem Sapti,Puji Nugraheni

PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN OPERASI PEMBAGIAN DENGAN MENEKANKAN ASPEK PEMAHAMAN. EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN AUDITORY INTELLECTUALLY REPETITION (AIR) TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA DITINJAU DARI KARAKTER BELAJAR SISWA KELAS VII SMP NEGERI SE-KECAMATAN KALIGESING TAHUN 2011/2012 PENDISAINAN HYPOTETICAL LEARNING TRAJECTORY (HLT) CERITA MALIN KUNDANG PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE WINPLOT PADA MATERI TURUNAN TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS XI-IPS SMA MUHAMMADIYAH SE-KABUPATEN PURWOREJO EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TGT TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA DITINJAU DARI MOTIVASI BELAJAR SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 2 BULUSPESANTREN TAHUN PELAJARAN 2011/2012


MP-659

MP-671

MP-681

MP-689

MP-699

MP-709

MP-717

MP-725

MP-735

PROSIDING

79 P-79

ISBN : 978-979-16353-8-7

Risnanosanti

HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY UNTUK MENUMBUHKEMBANGKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIS SISWA SMA DI KOTA BENGKULU STRATEGI SISWA SMP DALAM MENYELESAIKAN MASALAH GEOMETRI DITINJAU DARI DOMINASI OTAK KIRI DAN OTAK KANAN PENGARUH PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD TERHADAP MOTIVASI DAN HASIL BELAJAR SISWA PADA POKOK BAHASAN PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DI KELAS VII A SMP KANISIUS KALASAN YOGYAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012-2013

MP-743

80 P-80

Rudi Santoso Yohanes

81 P-81

Rufina Ni Luh Wiwik Handayani,Ch. Enny Murwaningtyas

82 P-82

Selvi Rajuaty Tandiseru

83 P-83

Setyawati,Ibrahim

KEPEDULIAN GURU MATEMATIKA DALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERFIKIR KREATIF SISWA EFEKTIVITAS PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN RECIPROCAL TEACHING DILENGKAPI DRILL SOAL TERHADAP PENINGKATAN PEMAHAMAN KONSEP DAN MOTIVASI BELAJAR MATEMATIKA SISWA DITINJAU DARI KEMAMPUAN MATEMATIKA UMUM SISWA

Sri Adi Widodo

PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA BERDASARKAN DIMENSI TEACHER

MP-789

85 P-85

Sri Adi Widodo

PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA BERDASARKAN DIMENSI HEALER

MP-795

86 P-86

Sri Hastuti Noer

87 P-87

Subanindro

SELF-EFFICACY MAHASISWA TERHADAP MATEMATIKA PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN TRIGONOMETRI BERORIENTASIKAN KEMAMPUAN PENALARAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIK SISWA SMA

Suhas Caryono, Suhartono

ANALISIS DESKRIPTIF FAKTOR PENYEBAB KESULITAN BELAJAR MATA PELAJARAN MATEMATIKA DI SMA NEGERI 8 PURWOREJO TAHUN PELAJARAN 2012/2013

84 P-84

88 P-88


MP-751

MP-761

MP-771

MP-779

MP-801

MP-809

MP-819

PROSIDING

89 P-89

ISBN : 978-979-16353-8-7

Syahrir

PENGARUH PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE JIGSAW DAN TEAMS GAME TURNAMEN (TGT) TERHADAP MOTIVASI BELAJAR DAN KETERAMPILAN MATEMATIKA SISWA SMP (STUDI EKSPERIMEN DI SMP DARUL HIKMAH MATARAM)

MP-827

90 P-90

Syukrul Hamdi

91 P-91

Tantan Sutandi Nugraha

MEMAHAMI KARAKTERISTIK PSIKOLOGIS SISWA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERDASARKAN KECERDASAN INTUITIF DAN REFLEKTIF PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS MASALAH YANG BERLANDASKAN NILAI-NILAI KARAKTER DENGAN PENGGUNAAN MEDIA TIK PADA KELAS DWI-BAHASA DALAM KOMPETENSI DASAR MENENTUKAN SLOPE DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

92 P-92

Tatan. Zm

ANALISIS PROKRASTINASI TUGAS AKHIR/SKRIPSI

MP-863

93 P-93

Titin Mulyaningsih

PERMAINAN MAMUN TEBAL UNTUK MENINGKATKAN KETERAMPILAN HITUNG BILANGAN BULAT SISWA KELAS IV SDN KOTAGEDE III YOGYAKARTA

MP-873

94 P-94

Donny Seftyanto, Mega Apriani, Tony Haryanto

95 P-95

Tri Nova Hasti Yunianta, Ani Rusilowati, Rochmad

PERAN ALGORITMA CAESAR CIPHER DALAM MEMBANGUN KARAKTER AKAN KESADARAN KEAMANAN INFORMASI KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA PADA IMPLEMENTASI PROJECT-BASED LEARNING DENGAN PEER AND SELF-ASSESSMENT UNTUK MATERI SEGIEMPAT KELAS VII SMPN RSBI 1 JUWANA DI KABUPATEN PATI

96 P-96

Urip Tisngati

97 P-97

Veronica Wiwik Dwi Astuty, M. Andy Rudhito

MEMBANGUN KARAKTER DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA MELALUI KETERAMPILAN KOMUNIKASI PENGGUNAAN PROGRAM GEOGEBRA DALAM UPAYA MENGATASI KESULITAN BELAJAR SISWA KELAS VIII E SMP N I NANGGULAN KULON PROGO POKOK BAHASAN GRAFIK GARIS LURUS PADA PEMBELAJARAN REMEDIAL

Watijo Hastoro

MENENTUKAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR DENGAN PAPAN BERPETAK UNTUK SISWA SMP KELAS VII

98 P-98


MP-839

MP-849

MP-883

MP-891

MP-903

MP-913

MP-923

PROSIDING

99 P-99

ISBN : 978-979-16353-8-7

Widi Astuti

100 P-100 Wiryanto

101 P-101 Wulan Fitriyani Yohanes Aditya Kurniawan, Ch. Enny 102 P-102 Murwanintyas

EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD PADA MATERI PECAHAN TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA KELAS IV SD SE-GUGUS SULTAN AGUNG DITINJAU DARI MOTIVASI BELAJAR SISWA

REPRESENTASI SISWA SEKOLAH DASAR DALAM PEMAHAMAN KONSEP PECAHAN PEMANFAATAN SOFTWARE GEOGEBRA MELALUI STRATEGI IDEAL PADA MATERI SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN UNTUK MENINGKATKAN KEAKTIFAN DAN HASIL BELAJAR SISWA KELAS VIII F SMP NEGERI 3 PATI TAHUN PELAJARAN 2011/2012

MP-937

MP-943

MP-959

Yulia Tri Widyaningrum, Ch. 103 P-103 Enny Murwanintyas

PENGARUH PROGRAM BRIDGING COURSE TERHADAP HASIL BELAJAR SISWA KELAS VII CERDAS SMP KANISIUS PAKEM PENGARUH MEDIA PEMBELAJARAN GEOGEBRA TERHADAP MOTIVASI DAN HASIL BELAJAR SISWA PADA MATERI GRAFIK FUNGSI KUADRAT DI KELAS X SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012/2013

104 P-104 Yulis Jamiah

PEMBIASAAN SIKAP POSITIF DALAM MEMBANGUN KARAKTER MAHASISWA MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

MP-981

105 P-105 Endang Listyani

IMPLEMENTASI PENDIDIKAN KARAKTER DALAM PERKULIAHAN

MP-989

106 P-106 Elly Arliani

MENGEMBANGKAN SIKAP SALING MENGHARGARI MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA : UPAYA MEMPERBAIKI KARAKTER BANGSA

MP-995

107 P-107 Rohana Friska Anggun Diana Sari, Kuswari 108 P-108 Hernawati

PERAN PENDIDIKAN MATEMATIKA SEBAGAI WAHANA PEMBANGUN KARAKTER BANGSA PEMANFAATAN PROGRAM CABRI 3D DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG KELAS IX SMP DALAM UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR SISWA


MP-967

MP-975

MP-999

MP-1009

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

MAKALAH BIDANG STATISTIKA No

Kode

Penulis

Judul

Hal

PENDEKATAN MODEL MULTILEVEL UNTUK DATA REPEATED MEASURE ANALISA FAKTOR GAS BUANG KENDARAAN BERBAHAN BAKAR SOLAR MENGGUNAKAN RANCANGAN ACAK LENGKAP (SUATU APLIKASI MATEMATIKA DAN STATISTIKA UNTUK PENELITIAN LINGKUNGAN)

MS-11

PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI BERDASAR BOXPLOT BIVARIAT

MS-19

4 S-4

Rangga Pradeka, Adi Setiawan, Lilik Linawati

STUDI SIMULASI UJI KOEFISIEN KORELASI SPEARMAN DAN KENDALL DARI SAMPEL YANG DIBANGKITKAN BERDASARKAN ESTIMASI DENSITAS KERNEL MULTIVARIAT

MS-33

5 S-5

Sugiyanto, Etik Zukhronah

PEMILIHAN UJI NONPARAMETRIK TERBAIK UNTUK DUA SAMPEL BEBAS MELALUI METODE SIMULASI

MS-47

6 S-6

Vania Mutiarani, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip

PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL

MS-53

7 S-7

Lilik Fauziah, Retno Subekti

PEMBENTUKAN PORTOFOLIO OPTIMAL MENGGUNAKAN METODE MINIMAX

MS-65

Esti Nur Kurniawati, Retno Subekti

PEMODELAN SISTEM ANTRIAN MULTISERVER DENGAN MULTITASK SERVER MENGGUNAKAN VACATION QUEUEING

MS-77

1 S-1

Bertho Tantular

2 S-2

3 S-3

Dessy Gusnita Frangky Masipupu, Adi Setiawan, Bambang Susanto

8 S-8

MS-1

MAKALAH BIDANG MATEMATIKA TERAPAN DAN KOMPUTER No

Kode

Penulis

1 T-1

Allen Marga Retta

2 T-2

Amalia Dikaningtyas, Kus Prihantoso K

Judul PENGEMBANGAN MATERI INTEGRAL BERBASIS MODUL DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI ANALISIS MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH KEMOTERAPI TERHADAP DINAMIK PERTUMBUHAN SEL TUMOR DAN SEL NORMAL


Hal

MT-1

MT-11

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

3 T-3

Arga Dhahana Pramudianto,Rino

4 T-4

Eko Tulus Budi Cahyanto, Agus Winarno, Mulyadi

5 T-5

Farida Cahya Kusuma, Sudradjat

PENGGUNAAN POLINOMIAL UNTUK STREAM KEY GENERATOR PADA ALGORITMA STREAM CIPHERS BERBASIS FEEDBACK SHIFT REGISTER POLYNOMIAL FUNCTIONS DAN IMPLEMENTASINYA DALAM ALGORITMA ADVANCED ENCRYPTION STANDARD PADA DATABASE ACCOUNTING RANCANGAN MODEL SIMULASI ANTRIAN UNTUK MENGURANGI KEMACETAN KENDARAAN DI PELABUHAN MERAK BANTEN

6 T-6

Farikhin

MODEL REDUKSI UNTUK SISTEM MIMO

7 T-7

Garini Widosari

8 T-8

Hariyanto, Utami Dyah Purwati

PERAMALAN CURAH HUJAN DENGAN WAVELET MENGKONSTRUKSI MODEL KONTAK DIANTARA SPECIES PADA TRANSMISI PENYEBARAN PENYAKIT DENGAN MENGGUNAKAN MODEL JARINGAN

9 T-9

Indun Titisariwati

MENGHITUNG VOLUME CADANGAN DENGAN CARA NUMERIK

MT-81

10 T-10

Jonner Nainggolan

KONTROL OPTIMAL VAKSINASI MODEL EPIDEMIOLOGI TIPE SIR

MT-89

11 T-11

Rivelson Purba

PENERAPAN LOGIKA FUZZY PADA PROGRAM LINEAR

MT-101

Sekar Sukma Asmara

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN SUBYEKTIF DALAM PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI-P

MT-115

13 T-13

Sri Andayani

MODEL PENILAIAN ASPEK AFEKTIF ‘AKHLAK MULIA’ BERBASIS DATA LINGUISTIK

MT-125

14 T-14

Sri Kuntari

DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF GEAR

MT-135

15 T-15

Subchan, Mohammad Rifai

ANALISA KESTABILAN PERSAMAAN GERAK ROKET TIGA DIMENSI TIPE RKX-LAPAN

MT-139

12 T-12


MT-17

MT-31

MT-45

MT-53

MT-61

MT-69

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

16 T-16

Tahiyatul Asfihani, Subchan

PANDUAN DAN KENDALI KAPAL TANPA AWAK DENGAN MENGGUNAKAN METODE MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) DAN AKAR KUADRAT-UNSCENTED KALMAN FILTER (AK-UKF)

17 T-17

Wartono

MODIFIKASI METODE KING DENGAN MENGGUNAKAN INTERPOLASI KUADRATIK

18 T-18

Alvida Mustikarukmi

19 T-19

Nur Insani

20 T-20

Kuswari Hernawati

21 T-21

Dimas Aryo Prakoso, Kuswari Hernawati

22 T-22

Nikenasih Binatari

DETEKSI OUTLIER BERBASIS KLASTER DENGAN ALGORITMA SHARED NEAREST NEIGHBOR PEMANFAATAN NETWORKX UNTUK MENGEKSPLORASI DAN MENGANALISA JARINGAN BESERTA SIFAT/KARAKTERISTIKNYA PENGENALAN TEKNOLOGI SEJAK DINI DENGAN BELAJAR SAMBIL BERMAIN MELALUI SMARTPHONE PERBANDINGAN RASIO KOMPRESI PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL BITMAP MENGGUNAKAN KOMBINASI METODE DISCRETE COSINE TRANSFORM DAN ARITHMETIC CODING DENGAN BERBAGAI DIMENSI CITRA SUMBER PENENTUAN HARGA DAN BATAS EKSEKUSI OPSI TIPE AMERIKA MODEL BLACK-SCHOLES MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHODS (FEM)


MT-149

MT-163

MT-173

MT-185

MT-193

MT-205

MT-217

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

S-6 PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani1, Adi Setiawan2, Hanna Arini Parhusip3 1

Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2, 3 Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

e-mail: [email protected], [email protected], 3 [email protected] Abstrak Dalam penelitian statistik, sering diselidiki hubungan antara dua atau lebih variabel, apakah ada hubungan sebab-akibat atau tidak. Pada paper ini, data yang diambil adalah data SUSENAS tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30 sehingga akan diselidiki hubungan antara pendapatan sebagai variabel Y dengan pengeluaran sebagai variabel X. Hubungan sebab-akibat tersebut dapat membentuk garis regresi berbentuk linier yang tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Untuk mengestimasi parameter tersebut digunakan model regresi linier Bayesian yaitu dengan distribusi prior konjugat 𝑝 𝜷, 𝜍 2 = 𝑝 𝜍 2 𝑝 𝜷 𝜍 2 dengan 𝑝 𝜍 2 ~Inv − Gamma(𝑎0 , 𝑏0 ) dan 𝑝 𝜷 𝜍 2 ~𝑁(𝝁0 , 𝜍 2 𝚲−1 0 ) dan distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗) dengan 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dan 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 ) . Kemudian dirancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan diperoleh taksiran parameter yang merupakan rata-rata dari nilai Gibbs sampler yaitu 𝜍 2 = 0.005718 , 𝛽0 = 2.101 dan 𝛽1 = 0.708 . Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah didapatkan, dihasilkan fungsi densitas untuk masing-masing parameter sehingga interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) 95% untuk taksiran parameter 𝜍 2 adalah (0.003384, 0.009659), untuk 𝛽0 yaitu (1.607, 2.601) dan (0.6282, 0.7879) untuk parameter 𝛽1 . Kata kunci: model regresi linier Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel

I. PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Dalam penelitian statistik, sering diselidiki hubungan antara dua atau lebih variabel, apakah ada hubungan sebab-akibat atau tidak. Analisis regresi linier adalah salah satu bagian dari statistik yang merupakan suatu analisis terhadap persamaan regresi dimana hubungan variabel independen dan dependen berbentuk garis lurus (Sembiring, 2003). Garis lurus tersebut disebut juga garis regresi yang tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter adalah metode kuadrat terkecil. Namun ada cara lain, yaitu menggunakan model regresi linier Bayesian. Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ” Kontribusi Pendidikan Matematika dan Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa" pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

Untuk mendapatkan taksiran parameter, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan bantuan Gibbs sampling. Interval kepercayaan adalah suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya (Fauzy, 2008). Interval kepercayaan dapat digunakan sebagai taksiran suatu parameter dan dapat pula dipandang sebagai pengujian hipotesis, yaitu apakah suatu parameter sama dengan suatu nilai tertentu (Sembiring, 2003). Dalam statistik Bayesian, interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) merupakan interval di dalam domain dari distribusi probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web 2). Dalam penelitian ini akan dijelaskan bagaimana penerapan model regresi linier Bayesian untuk mengestimasi parameter dan interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) dengan mengambil data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30. II. DASAR TEORI II.1. Regresi Linier Bayesian Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Saat model regresi memiliki error yang berdistribusi normal, dan jika bentuk khusus dari distribusi prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia untuk distribusi probabilitas posterior dari parameter model. II.2. Model Dalam konteks model regresi linier, 𝐲 disebut sebagai variabel dependen, dan 𝐗 variabel independen. Dalam notasi matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai (Lancaster, 2003) 𝐲 = 𝐗𝜷 + 𝜀 (1) dengan 𝐲 adalah vektor kolom, untuk pengamatan 𝑖 = 1, … , 𝑛 dipunyai nilai 𝑦; 𝐗 adalah matriks 𝑛 × 𝑘, untuk 𝑗 = 0, … , 𝑘; 𝜷 adalah vektor kolom dari turunan parsial 𝑘 yaitu 𝛽𝑗 , dan vektor kolom 𝜀 berisi sebanyak 𝑛 error sehingga 𝑦1 1 𝑥11 𝑥12 … 𝑥1𝑘 𝑦2 1 𝑥21 𝑥22 … 𝑥2𝑘 𝐲 = 𝑦𝑖 = ⋮ , 𝐗 = , ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑦𝑛 1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 … 𝑥𝑛𝑘 𝜀1 𝛽0 𝜀2 𝛽 𝜷 = 𝛽𝑗 = 1 , 𝜀 = 𝜀𝑖 = ⋮ . ⋮ 𝜀𝑛 𝛽𝑘 Berdasar pada persamaan (1), model regresi linier dengan intersep dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai 𝐲 = 𝐱 𝑖T 𝜷 + 𝜀𝑖 (2)


MS - 54

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

dengan vektor 𝐱 𝑖T merupakan tiap baris dari matriks 𝐗 yang berdimensi 𝑛 × 𝑘. Pada 1 𝑥1 1 𝑥2 paper ini, 𝑘 = 1 karena 𝐗 hanya 1 variabel. Oleh karena itu, 𝐱 𝑖T = 1 𝑥𝑖 = ⋮ ⋮ 1 𝑥𝑛 𝛽0 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 dan vektor 𝜷 = dan 𝜀𝑖 saling bebas dan berdistribusi identik, 𝛽1 yaitu normal dengan mean nol dan variansi 𝜍 2 , dinotasikan dengan 𝜀𝑖 ~𝑁 0, 𝜍 2 . Persamaan (2) dapat ditulis ulang menjadi : 𝛽0 𝑦𝑖 = 1 𝑥𝑖 + 𝜀𝑖 𝛽1 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖 + 𝜀𝑖 . (3) Persamaan (3) merupakan model regresi linier dengan intersep. Untuk memudahkan dalam penulisan, 𝐱 𝑖T selanjutnya ditulis sebagai 𝐗. Galat (error) 𝜀𝑖 berdistribusi normal, sehingga 𝑦𝑖 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 juga berdistribusi normal (Puspaningrum, 2008) dengan E 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖 dan 𝑉 𝑦𝑖 = 𝜍 2 . Jadi 𝑦𝑖 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 ~𝑁 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖 , 𝜍 2 dengan fungsi kepadatan probabilitas : 1 1 𝑝 𝑦𝑖 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 = exp − 2 𝐲 − 𝐗𝜷 2 2𝜍 2𝜋𝜍 2 Kemudian fungsi likelihood didefinisikan sebagai : 𝑛

𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 = 𝑛

= 𝑖=1

𝑝 𝑦𝑖 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 𝑖=1

1 2𝜋𝜍 2

∙ exp −

1 𝐲 − 𝐗𝜷 2𝜍 2

1 𝐲 − 𝐗𝜷 2𝜍 2 Jadi, fungsi likelihood :

= 𝜍2

−𝑛/2

exp −

𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 ∝ 𝜍 2

𝑇

−𝑛/2

𝑇

𝐲 − 𝐗𝜷

𝐲 − 𝐗𝜷 1

exp − 2𝜍 2 𝐲 − 𝐗𝜷

𝑇

𝐲 − 𝐗𝜷 .

(4)

II.3. Distribusi Prior Konjugat Prior konjugat adalah suatu prior yang jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan suatu posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior (Gelman, 2006). Karena log-likelihood kuadratik dalam 𝜷, log-likelihood ditulis ulang sedemikian rupa sehingga likelihood menjadi normal dalam (𝜷 − 𝜷) dengan 𝜷 = 𝐗 T 𝐗 −1 𝐗 T 𝐲. Ditulis 𝑇

T

𝐲 − 𝚾𝜷 𝑇 𝐲 − 𝚾𝜷 = 𝐲 − 𝚾𝜷 𝐲 − 𝚾𝜷 + 𝜷 − 𝜷 𝐗 T 𝐗 (𝜷 − 𝜷). Likelihood ditulis ulang menjadi 𝑣𝑠 2 2 2 −𝑣/2 𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍 ∝ 𝜍 exp − 2 2𝜍 1 𝑇 × 𝜍 2 −(𝑛−𝑣)/2 exp − 2 𝜷 − 𝜷 𝑿𝑇 𝑿 𝜷 − 𝜷 (5) 2𝜍


MS - 55

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

𝑇

dengan 𝑣𝑠 2 = 𝒚 − 𝜲𝜷 𝒚 − 𝜲𝜷 , dan 𝑣 = 𝑛 − 𝑘 , 𝑘 merupakan jumlah koefisien regresi. Dilihat dari persamaan (5), hal ini menunjukkan suatu bentuk untuk prior : 𝑝 𝜷, 𝜍 2 = 𝑝 𝜍 2 𝑝 𝜷 𝜍 2 (6) 2 dengan 𝜍 berdistribusi Inv − Gamma(𝑎0 , 𝑏0 ) dengan 𝑎0 = 𝑣0 /2 dan 𝑏0 = 𝑣0 𝑠02 dengan 𝑣0 dan 𝑠02 diperoleh dari informasi awal atau ditentukan secara subyektif. Kepadatan prior ditulis sebagai 𝑣 𝑠2

0 0 𝑝 𝜍 2 ∝ 𝜍 2 − 𝑣0 /2+1 exp − 2𝜍 . 2 Lebih lanjut, prior bersyarat 𝜷|𝜍 2 berdistribusi normal yang dinotasikan sebagai 𝑁(𝝁0 , 𝜍 2 𝚲−1 0 ) dengan 𝝁0 ditentukan secara subyektif, dan memiliki kepadatan prior bersyarat :

𝑝(𝜷|𝜍 2 ) ∝ 𝜍 2

−𝑘/2

1

exp − 2𝜍 2 𝜷 − 𝝁0 T 𝚲0 𝜷 − 𝝁0 .

II.4. Distribusi Posterior Untuk menyatakan distribusi posterior, digunakan teorema Bayes yaitu dapat dinyatakan sebagai berikut (Lancaster, 2003) Posterior ∝ Likelihood × Prior sehingga dengan likelihood (persamaan (4)) dan prior yang telah ditentukan pada persamaan (6), distribusi posterior dapat dinyatakan sebagai 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍 2 𝑝 𝜍 2 𝑝(𝜷|𝜍 2 ) (7) 1 ∝ 𝜍 2 −𝑛/2 exp − 2 𝐲 − 𝚾𝜷 𝑇 𝐲 − 𝚾𝜷 2𝜍 𝑏0 × 𝜍 2 − 𝑎 0 +1 exp − 2 2𝜍 1 × 𝜍 2 −𝑘/2 exp − 2 𝜷 − 𝝁0 T 𝚲0 𝜷 − 𝝁0 . 2𝜍

Dengan beberapa pengaturan ulang, posterior pada persamaan (7) dapat ditulis ulang sehingga mean posterior 𝝁𝑛 dari vektor parameter 𝜷 dapat dinyatakan dalam estimator kuadrat terkecil 𝜷 dan mean prior 𝝁0 dengan kekuatan dari prior ditunjukkan oleh matriks prior presisi 𝚲0 = 1/𝜍 2 𝝁𝑛 = 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 (𝐗 T 𝐗𝜷 + 𝚲0 𝝁0 ). (8) Untuk membenarkan bahwa 𝝁𝑛 memang mean posterior, istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam 𝜷 − 𝝁𝑛 𝐲 − 𝚾𝜷 𝑇 𝐲 − 𝚾𝜷 + 𝜷 − 𝝁0 T 𝚲0 𝜷 − 𝝁0 = 𝜷 − 𝝁𝑛 T 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 𝜷 − 𝝁𝑛 + 𝐲 T 𝐲 − 𝝁T𝑛 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 𝝁𝑛 + 𝝁T0 𝚲0 𝝁0 . Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi invers-gamma : 1 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝜍 2 −𝑘/2 exp − 2 𝜷 − 𝝁𝑛 T 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 𝜷 − 𝝁𝑛 2𝜍 𝑏0 + 𝐲 T 𝐲 − 𝝁T𝑛 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 𝝁𝑛 + 𝝁T0 𝚲0 𝝁0 × 𝜍 2 −(𝑛+𝑣0 )/2−1 exp − 2𝜍 2 Oleh karena itu, distribusi posterior dapat diparameterisasi sebagai berikut : 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 (9) dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi 𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 dan Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dengan parameternya diberikan oleh


MS - 56

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

1

1

𝚲𝑛 = 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 , 𝑎𝑛 = 2 (𝑛 + 𝑣0 ), 𝑏𝑛 = 𝑏0 + 2 (𝐲 T 𝐲 + 𝝁T0 𝚲0 𝝁0 − 𝝁T𝑛 𝚲𝑛 𝝁𝑛 ). Berdasarkan parameter di atas, persamaan (8) diperbarui sesuai konteks Bayesian menjadi 𝝁𝑛 = 𝚲𝑛 −1 𝐗 T 𝐗𝜷 + 𝚲0 𝝁0 = 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 𝐗 T 𝐲 + 𝚲0 𝝁0 . (10) II.5. MCMC (Markov Chain Monte Carlo) Salah satu cara untuk merancang rantai Markov yaitu dari distribusi posterior dengan 2 𝑝 𝜍 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dan 𝑝 𝜷 𝜍 2 , 𝐲, 𝐗 ~𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat. Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat dengan 2 2 𝑝 𝜍 ~Inv − Gamma(𝑎0 , 𝑏0 ) dengan 𝑎0 = 𝑣0 /2 dan 𝑏0 = 𝑣0 𝑠0 dengan 𝑣0 dan 𝑠02 ditentukan secara subyektif dan 𝑝 𝜷 𝜍 2 ~𝑁(𝝁0 , 𝜍 2 𝚲−1 0 ) dengan 𝝁0 ditentukan secara 2 subyektif dan prior presisi 𝚲0 = 1/𝜍 dengan memilih nilai 𝜍 2 . Jika 𝜍 2 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ), maka : 1 1 𝜍 2 |𝐲, 𝐗~Inv − Gamma 2 𝑛 + 𝑣0 , 𝑏0 + 2 𝐲 T 𝐲 + 𝝁T0 𝚲0 𝝁0 − 𝝁T𝑛 𝚲𝑛 𝝁𝑛 (*) Jika 𝛽0 , 𝛽1 ~𝐵𝑉𝑁(𝜇1 , 𝜇2 , 𝜍12 , 𝜍22 , 𝜌), (Bain et al., 1991) maka : 1. Distribusi dari 𝛽0 bersyarat pada 𝛽1 = 𝛽10 𝜍

𝛽0 |𝛽10 ~𝑁 𝜇1 + 𝜌 𝜍1 𝛽10 − 𝜇2 , 𝜍12 1 − 𝜌2 .

(**)

2

2. Distribusi dari 𝛽1 bersyarat pada 𝛽0 = 𝛽00 𝜍

𝛽1 |𝛽00 ~𝑁 𝜇2 + 𝜌 𝜍2 𝛽00 − 𝜇1 , 𝜍22 1 − 𝜌2 ,

(***)

1

Diberikan 𝜍 2 dan vektor 𝜷 yang tidak diketahui : 𝜷 = (𝛽0 , 𝛽1 ) (0) 1. Dipilih nilai awal 𝜍 2 , 𝛽00 , 𝛽10 2. Sampel 𝜍 2

(1)

dari 𝑝 𝜍 2

(1)

Sampel 𝛽01 dari 𝑝 𝛽01 𝜍

𝐲, 𝐗 sehingga 𝜍 2 2 (1) (1)

(1)

|𝐲, 𝐗 memenuhi (*)

, 𝛽10 , 𝐲, 𝐗 sehingga 𝛽01 |𝜍 2

(1)

, 𝛽10 memenuhi (**)

(1)

Sampel 𝛽11 dari 𝑝 𝛽11 𝜍 2 , 𝛽01 , 𝐲, 𝐗 sehingga 𝛽11 |𝜍 2 , 𝛽01 memenuhi (***) 3. Langkah 2 diulangi sebanyak 1000 kali (untuk mendapat hasil yang lebih akurat, dilakukan iterasi sebanyak lebih dari 1000 kali) 4. Akhirnya didapatkan sampel dari 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 dan 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗) dalam bentuk rantai Markov. II.6. Interval Kredibel (Interval Kepercayaan Bayesian) Dalam statistik Bayesian, interval kredibel 1 − 𝛼 100% merupakan interval di dalam domain dari distribusi probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web 2). Salah satu metode untuk mengestimasi interval kredibel yang paling mudah digunakan adalah interval kredibel dua ekor (Johnson, 2009). Interval kredibel dua ekor disusun dengan menemukan kuantil 𝛼/2 dan 1 − 𝛼/2 dengan tingkat signifikansi 𝛼.


MS - 57

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

III.

1.

2. 3. 4.

METODE PENELITIAN Data yang diambil dalam penelitian adalah data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30. Dalam melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3. Langkah-langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter dan interval kredibel menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut : Merancang rantai Markov dari distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗) dengan 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dan 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 ) yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter 𝜍 2 , 𝛽0 dan 𝛽1 . Taksiran parameter 𝜍 2 , 𝛽0 dan 𝛽1 diperoleh dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas untuk 𝜍 2 berdistribusi invers-gamma dan 𝛽0 , 𝛽1 berdistribusi normal. Mencari interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 berdasar pada fungsi densitas.

IV.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data yang digunakan dalam penelitian merupakan nilai logaritma dari data asli dengan pendapatan sebagai variabel dependen 𝐲 terhadap pengeluaran sebagai variabel independen 𝐗 dengan pengamatan 𝑛 = 30 dinyatakan pada Tabel 1. Tabel 1. Data Pendapatan dan Pengeluaran Y X log(Y) 2705000 824382,6667 6,4322 3364333,333 1418616 6,5269 6040000 4297649,667 6,7810 3353000 1936732,667 6,5254 1426333,333 773483 6,1542 7664400 5270866 6,8845 6285666,667 3323499,667 6,7984 5950000 3734666,667 6,7745 5750000 3154333,333 6,7597 1323333,333 472666,3333 6,1217 1650333,333 937132,6667 6,2176 1051400 359666,3333 6,0218 7826616,667 6677783,333 6,8936 1466666,667 719666,3333 6,1663 3500000 1048666 6,5441 3450000 1820000 6,5378 6366666,667 5580666,333 6,8039 4661666,667 2147499,333 6,6685 4976666,667 3411166 6,6969


log(X) 5,9161 6,1519 6,6332 6,2871 5,8885 6,7219 6,5216 6,5723 6,4989 5,6746 5,9718 5,5559 6,8246 5,8571 6,0206 6,2601 6,7467 6,3319 6,5329

MS - 58

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

7068000 5098666,667 1225000 3316666,667 2439166,667 1780000 4156333,333 3057666,667 2950833 1613666,667 3356666,667

4795400 3340066 485166 2182400 1024266 841666,6667 2352566 1987100 1934774,333 578949,6667 1292166

6,8493 6,7075 6,0881 6,5207 6,3872 6,2504 6,6187 6,4854 6,4699 6,2078 6,5259

6,6808 6,5238 5,6859 6,3389 6,0104 5,9251 6,3715 6,2982 6,2866 5,7626 6,1113

Diagram pencar data asli pada Tabel 1 ditampilkan oleh Gambar 1. 6

8

x 10

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7 6

x 10

Gambar 1. Diagram Pencar Data Asli Sedangkan diagram pencar untuk data logaritma dari data asli ditunjukkan oleh Gambar 2. 7 6.9 6.8 6.7 6.6 6.5 6.4 6.3 6.2 6.1 6 5.5

6

6.5

7

Gambar 2. Diagram Pencar Data Logaritma Dari Data Asli


MS - 59

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

Dari Gambar 2 terlihat sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus maka dapat dikatakan hubungan antara kedua peubah tersebut membentuk pola linier. Karena data-data tersebut menunjukkan hubungan linier maka selanjutnya dapat ditentukan persamaan regresi dugaannya. Untuk mendapatkan taksiran 𝜷 = (𝛽0 , 𝛽1 ) berdasarkan metode kuadrat terkecil, nilai-nilai log⁡ (X) dan log⁡ (Y) dimasukkan ke dalam persamaan 𝜷 = 𝐗 T 𝐗 −1 𝐗 T 𝐲 dengan 𝐗 = [𝟏; log X ] dan 𝐲 = log⁡ (Y) sehingga diperoleh nilai 𝛽0 = 2.105302 dan 𝛽1 = 0.707418 . Jadi persamaan garis regresi dugaan adalah 𝑦𝑖 = 2.105302 + 0.707418 𝑥𝑖 . Diagram pencar data dan persamaan garis regresi 𝑦𝑖 ditampilkan pada Gambar 3. 7 6.9 6.8 6.7 6.6 6.5 6.4 6.3 6.2 6.1 6 5.5

6

6.5

7

Gambar 3. Garis Regresi dengan Metode Kuadrat Terkecil Selanjutnya untuk mendapatkan estimasi parameter 𝜍 2 dan 𝜷 = (𝛽0 , 𝛽1 ) dengan model regresi linier Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗) dengan 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dan 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 ) yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. 1. Taksiran Parameter 𝜍 2 dan Interval Kredibel 𝜍 2 Dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi untuk mendapatkan taksiran parameter 0 𝜍 2 yang berdistribusi Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dengan memilih nilai awal 𝜍 2 = 1 . Kemudian dengan memotong 500 iterasi pertama, diperoleh hasil: node sigma2

mean sd MC error 0.005718 0.001617 3.245E-5

2.5% 0.003384

median 97.5% 0.005455 0.009659

start 501

sample 5000

Rantai Markov untuk taksiran parameter 𝜍 2 sebagai berikut:


MS - 60

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

Gambar 9. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝜍 2 Gambar 9 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter 𝜍 2 = 0.005718 . berdasarkan nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas pada Gambar 10 sehingga interval kredibel 95% untuk taksiran 𝜍 2 adalah (0.003384, 0.009659).

Gambar 10. Fungsi Densitas Parameter 𝜍 2 2. Taksiran Parameter 𝛽0 dan Interval Kredibel 𝛽0 Dipilih nilai awal 𝛽00 = 0 . Dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama untuk taksiran 𝛽0 yang berdistribusi normal, didapatkan hasil: node beta0

mean 2.101

sd MC error 0.2505 0.00362

2.5% 1.607

median 97.5% 2.102 2.601

start 501

sample 5000

Rantai Markov untuk taksiran 𝛽0 ditunjukkan pada gambar di bawah ini :


MS - 61

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

Gambar 4.Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽0 Berdasarkan Gambar 4, taksiran parameter 𝛽0 didapat dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 dan menghasilkan nilai taksiran 𝛽0 = 2.101. Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah dihitung, menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 5, sehingga diperoleh interval kredibel 95% yaitu (1.607, 2.601).

Gambar 5. Fungsi Densitas Parameter 𝛽0 3. Taksiran Parameter 𝛽1 dan Interval Kredibel 𝛽1 Untuk memperoleh taksiran parameter 𝛽1 yang berdistribusi normal, dipilih nilai awal 𝛽10 = 0 kemudian dengan melakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama didapatkan hasil : node beta1

mean 0.708

sd MC error 2.5% 0.04012 5.815E-4 0.6282

median 97.5% 0.7074 0.7879

start 501

sample 5000

Rantai Markov untuk taksiran 𝛽1 sebagai berikut:


MS - 62

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

Gambar 6. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽1 Dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 iterasi yang ditunjukkan pada Gambar 6, didapat nilai taksiran 𝛽1 = 0.708 dan menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 7. Jadi, interval kredibel 95% untuk parameter 𝛽1 yaitu (0.6282, 0.7879).

Gambar 7. Fungsi Densitas Parameter 𝛽1 Selanjutnya, dengan estimasi parameter 𝜷 = (2.101, 0.708) dibentuk persamaan garis regresi dugaan: 𝑦𝑖 = 2.101 + 0.708 𝑥𝑖 . Diagram pencar data dan persamaan garis regresi ditampilkan pada Gambar 8. 7 6.9 6.8 6.7 6.6 6.5 6.4 6.3 6.2 6.1 6 5.5

6

6.5

7

Gambar 8. Garis Regresi dengan Metode Bayesian Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012

MS - 63

PROSIDING

ISBN : 978-979-16353-8-7

V. KESIMPULAN Dari hasil penelitian tentang data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu data logaritma dari data pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30 yang telah diperoleh pada pembahasan, dapat disimpulkan bahwa : - Untuk mendapatkan estimasi parameter 𝜍 2 , 𝛽0 , dan 𝛽1 dirancang rantai Markov dari distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍 2 |𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗) dengan 𝑝 𝜍 2 |𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) dan 𝑝(𝜷|𝜍 2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍 2 𝐗 T 𝐗 + 𝚲0 −1 ) yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Diperoleh nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 5000 (untuk masing-masing parameter), dan setelah dirata-rata, didapat nilai taksiran 𝜍 2 = 0.005718, 𝛽0 = 2.101, dan 𝛽1 = 0.708. - Dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 , interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran 𝜍 2 , 𝛽0 , dan 𝛽1 merupakan interval dimana terdapat taksiran parameternya. Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang ada, dihasilkan fungsi densitas untuk 𝜍 2 yang berdistribusi invers-gamma, sehingga diperoleh interval kredibel 95% yaitu (0.003384, 0.009659). Sedangkan fungsi densitas untuk 𝛽0 dan 𝛽1 yang berdistribusi normal, diperoleh interval kredibel 95% yaitu (1.607, 2.601) untuk 𝛽0 dan (0.6282, 0.7879) untuk 𝛽1 . VI. DAFTAR PUSTAKA Bain, Lee J. dan Engelhardt, Max. 1991. Introduction To Probability and Mathematical Statistics Second Edition. USA : Duxbury. Fall, Roger Levy. 2007. Lecture 6: Bayesian Parameter Estimation; Conﬁdence Intervals (Bayesian and Frequentistic). Fauzy, Akhmad. 2008. Statistik Industri. Jakarta : Erlangga. Gelman, Andrew. 2006. Bayesian Analysis. Department of Statistics and Department of Political Science : Columbia University. Johnson, Matthew S. 2009. Introduction to Bayesian Statistics with WinBUGS. New York : Columbia University. Lancaster, Tony. 2003. An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Puspaningrum, Dessy. 2008. Penerapan Metode Bayesian Untuk Mengestimasi Parameter Pada Model Regresi Linier Sederhana. UKSW : FSM. Sembiring, R. K. 2003. Analisis Regresi Edisi Kedua. Bandung : ITB. Web 1 : http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_linear_regression Bayesian Linear Regression Diunduh pada 28 Agustus 2012 Web 2 : http://en.wikipedia.org/wiki/Credible_interval Credible Interval Diunduh pada 5 September 2012


MS - 64

PROSIDING

Recommend Documents