PROSIDING ISBN :

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

T-16 α

⎛1⎞ PEMETAAN w = ⎜ ⎟ DAN HASIL PEMETAANNYA ⎝z⎠ Oleh : H. A. Parhusip1 dan Sulistyono2 Program Studi Matematika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matematika (FSM) Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www.uksw.edu) 1 [email protected] 2 mahasiswa S1, matematika –FSM‐UKSW Abstrak : Pemetaan w = (1 / z ) α , dengan α ∈ Z − (himpunan bulat negatif) dan α ∈ (0,1) serta hasil pemetaannya ditunjukkan pada makalah ini. Dapat ditunjukkan pemetaan ini konformal. Hasil pemetaan diperoleh dengan melakukan transformasi geometri. Kata kunci : pemetaan konformal, fungsi analitik, persegi 1. Pendahuluan Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mempertahankan besaran dan arah sudut diantara sebarang dua kurva yang berpotongan di suatu titik tertentu. Pada makalah terdahulu (Parhusip dan Sulisyono, 2009) ditunjukkan hasil pemetaan α

⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ untuk α = 1 dan α = 2 . Hasil pemetaan ditunjukkan dengan terlebih dahulu ⎝z⎠ ditunjukkan untuk pemetaan garis vertikal dan garis horizontal secara terpisah. Selanjutnya dilakukan pemetaan untuk 1 bidang persegi. Untuk persegi lebih dari 1 dilakukan dengan menggunakan transformasi geometri seperti pencerminan. Pada α

⎛1⎞ makalah ini akan ditunjukkan pemetaan w = ⎜ ⎟ untuk berbagai nilai α . ⎝z⎠ Pada Bab II ditunjukkan pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya yang merupakan hasil penelitian sebelum ini (Parhusip dan Sulisyono, 2009) . Pada Bab III dijelaskan cara melakukan penelitian ini. Hasil dan Pembahasan ditunjukkan pada Bab IV. Selanjutnya kesimpulan ditunjukkan pada Bab terakhir. 2.

Pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya Pemetaan garis vertikal dan garis horizontal

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

1127

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Telah diketahui bahwa pemetaan garis vertikal dan haris horisontal oleh w=1/z

merupakan persamaan lingkaran (Parhusip dan Sulisyono, 2009). Beberapa hasil pemetaan untuk garis vertikal dan horizontal ditunjukkan pada Gambar 1‐3. Sedangkan untuk y = a dan garis x = b (a,b ≠ 0 ) dengan fungsi pemetaan w = 1/z untuk berbagai nilai a dan b yang berbeda, yaitu a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0 berturut‐turut ditunjukkan pada Gambar 4.

Gambar 1. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran , c,d > 0

Gambar 2. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran ,c,d < 0.

Gambar 3. Persamaan garis x=c dan x=d dan bayangannya untuk c>0 dan d<0

Gambar 4. Persamaan garis y=a, x=b dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran dengan a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0. Bayangan persegí untuk 1 persegi

Gambar 4a menunjukkan bahwa a,b > 0 dan bayangan digambarkan dalam

lingkaran penuh. Bayangan pada Gambar 4a ini dapat dibatasi (tidak sebagai lingkaran Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

1128

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

penuh) jika kita juga membatasi persegí yang terbentuk pada Gambar 4a, yaitu Gambar 4a diubah sedemikian sehingga terbentuk Gambar 5.

Gambar 5. Persegi ABCO dan bayangannya dengan pemetaan w=1/z. Bayangan pada Gambar 5b diperoleh pertama kali mencari batas dari bayangannya yaitu titik A' , B' dan C ' dan kemudian menghubungkan titik‐titik tersebut. Untuk titik asal tetap dipetakkan ke titik asal, karena titik asal O(0,0) adalah titik singular atau kesingularan dari w=1/z. Untuk titik A(0,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi

1 w=1/z ke titik A' (0,− ) pada bidang w. Hal ini karena titik A(0,a) pada bidang z dapat a ditulis sebagai z = 0+ia, sehingga w =

1 1 1 = = − dan karena w = u + iv maka z 0 + ia a

1 diperoleh titik A' (0,− ) . a

Untuk titik B(b,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi pemetaan w=1/z

ke titik B' ⎛⎜

b a ⎞ ,− 2 ⎟ pada bidang w. Titik B' diperoleh dengan menuliskan titik 2 a + b2 ⎠ ⎝a +b 2

B sebagai z = b + ia , sehingga diperoleh w =

b − ia sehingga diperoleh koordinat B' a2 + b2

⎛1 ⎞ tersebut. Untuk selanjutnya titik C(b,0) pada bidang z dipetakkan ke titik C ' ⎜ ,0 ⎟ ⎝b ⎠ pada bidang w oleh fungsi pemetaan w=1/z Kemudian titik‐titik tersebut dihubungkan untuk memperoleh Gambar 5b. Untuk selanjutnya kita dapat menyusun hasil pemetaan untuk tiap persegi pada kuadran yang lain dengan cara melakukan pencerminan.

Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu u

adalah


1129

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

⎡1 0 ⎤ XR = ⎢ ⎥ ⎣0 − 1⎦

(3) ⎡xA ⎤ ⎢y ⎥ ⎣ A⎦

sehingga jika koordinat suatu titik A dinyatakan dalam notasi vektor posisi

⎡x ⎤ dengan koordinat bayangannya adalah A' sebagai vektor posisi ⎢ A' ⎥ maka dapat ⎣ y A '⎦

ditulis ⎡ x A' ⎤ ⎡xA ⎤ ⎢ y ⎥ = X R ⎢ y ⎥ . ⎣ A' ⎦ ⎣ A⎦

Kita dapat melakukan transformasi pencerminan untuk titik B dan C untuk mendapatkan koordinat pencerminannya berturut‐turut B' dan C ' . Kita dapat melakukan pencerminan dengan cara serupa sehingga dapat diperoleh berbagai hasil pemetaan yang ditunjukkan pada Gambar 6. Gambar 6 diperoleh dengan melakukan pencerminan Gambar 5a dan Gambar 5b terhadap Sumbu y dan sumbu v secara berturut‐turut

menggunakan

matriks

transformasi

⎡1 0 ⎤ XR = ⎢ ⎥ ⎣0 − 1⎦

dan

⎡− 1 0 ⎤ XR = ⎢ ⎥ . ⎣ 0 − 1⎦

Gambar 6. Pemetaan 1 persegi dan hasil pemetaannya melalui pencerminan. 2.3 Bayangan persegí untuk n x n persegi


1130

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Dengan menggabungkan hasil gambar‐gambar yang diperoleh pada subbab

sebelum ini beserta bayangannya, diperoleh beberapa hasil pemetaan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7. Untuk persegi dengan jumlah yang lebih banyak, bayangannya dapat diperoleh dengan langkah‐langkah yang sama.

Gambar 7a. Ilustrasi perseguí 4 x 4 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.

Gambar 7b. Ilustrasi perseguí 14 x 14 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.

Modifikasi pemetaan w=1/z dan hasil pemetaannya

Modifikasi yang ditunjukkan pada makalah ini adalah menyusun pemetaan α

⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ dan α ∈ N (himpunan bilangan asli). Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan ini ⎝z⎠ merupakan pemetaan konformal dengan menyatakan w dalam koordinat polar dan memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Untuk persegi yang dibentuk dari persegi 14 2

⎛1⎞ x14 yang dipetakkan oleh w = ⎜ ⎟ ditunjukkan pada Gambar 10. ⎝z⎠

2

⎛1⎞ Gambar 10. Pemetaan persegi 14 x 14 (kiri) oleh w1 = ⎜ ⎟ dan hasil pemetaannya ⎝z⎠ (kanan). 3. METODE PENELITIAN Dalam tahap ini dibagi dalam beberapa kasus, yaitu:


1131

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

α

⎛1⎞ 3.1 Menunjukkan bahwa pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ Z − (himpunan bulat negatif) ⎝z⎠ adalah pemetaan konformal α

⎛1⎞ 3.2 Mengilustrasikan hasil pemetaan w = ⎜ ⎟ , α = − β dan β = 2 untuk bidang ⎝z⎠ persegi yang dipetakkan. α

⎛1⎞ 3.3 Menunjukkan bahwa pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ (0,1) adalah pemetaan ⎝z⎠ konformal. α

⎛1⎞ 3.4 Mengilustrasikan hasil pemetaan w = ⎜ ⎟ , α = 0.5 untuk bidang persegi yang ⎝z⎠ dipetakkan. 4. HASIL & PEMBAHASAN α

⎛1⎞ 4.1 Pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ Z − (himpunan bulat negatif) ⎝z⎠ − Untuk α ∈ Z maka dapat dituliskan sebagai α = − β dengan β ∈ N (himpunan bilangan asli) sehingga α

⎛1⎞ ⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝z⎠ ⎝z⎠

−β

= z β . Sebutlah w = z β = w1 dengan w1 = u + iv .

(4.1)

−β

⎛1⎞ Teorema 4.1. Pemetaan ⎜ ⎟ = z β dengan β ∈ N merupakan pemetaan konformal. ⎝z⎠ Bukti. Perlu ditunjukkan bahwa w = z β = w1 merupakan pemetaan analitik yang dapat ditunjukkan 2 cara yaitu dengan Koefisien Binomial (cara I) dan koordinat kutub (cara II). Pada bagian ini ditunjukkan kedua cara. Cara 1. Karena z = x + iy maka w1 = z β = ( x + iy ) β . Dengan menggunakan koefisien Binomial diperoleh β

w1 = z β = ( x + iy ) β = ∑ C βj x β − j (iy ) j j =0

β

β

β

β −1

= C0 x + iC1 x y − C 2β x β −2 y 2 − iC3β x β −3 y 3 + C4β x β −4 y 4 + iC5β x β −5 y 5 + ... . (4.a) Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari persamaan (4.a) berturut‐turut diperoleh k

u = x β − C 2β x β − 2 y 2 + C 4β x β − 4 y 4 − C 6β x β −6 y 6 + ... = ∑ (−1) j C 2βj x β − 2 j y 2 j , j =0


1132

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

k

u = β x β −1 y − C 3β x β −3 y 3 + C 5β x β −5 y 5 + C 5β x β −5 y 5 + ... = ∑ (−1) j C 2βj +1 x β −( 2 j +1) y 2 j +1 j =0

Sehingga k ∂u = ∑ (−1) j ( β − 2 j )C 2βj x β − 2 j −1 y 2 j ∂x j =0 k ∂u = ∑ (−1) j 2 jC 2βj x β − 2 j y 2 j −1 ∂y j =0

(5.a) (5.b)

∂v = ∑ (−1) j ( β − 2 j − 1)C 2βj +1 x β − 2 ( j +1) y 2 j +1 , ∂x j =0 k

(5.c)

k ∂v = ∑ (−1) j (2 j + 1)C 2βj +1 x β − 2 ( j +1) y 2 j ∂y j =0

(5.d)

⎢β ⎥ persamaan (5.a)‐(5.b) belum terlihat bahwa k = ⎢ ⎥ . Dari ⎣2⎦ persamaan tersebut memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann ⎛ ∂u ∂v ∂v ⎞ ∂u ⎜⎜ Oleh karena itu masing‐masing turuna parsial = − ⎟⎟ . dan = ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂y pada persamaan (5.a)‐(5.d) dijabarkan diperoleh ∂u (6.a) = β C 0β x β −1 − (β − 2 )C 2β x β −3 y 2 + (β − 4)C 4β x β −5 y 4 + ..., ∂x ∂u = 0 − 2C 2β x β − 2 y + 4C 4β x β − 4 y 3 + 6C 6β x β −6 y 5 + ..., (6.b) ∂y ∂v (6.c) = ( β − 1)C1β x β − 2 y − ( β − 3)C 3β x β − 4 y 3 + ( β − 5)C 5β x β −6 y 5 + ..., ∂x ∂v = C1β x β −1 − 3C 3β x β −3 y 2 + 5C 5β x β −5 y 4 + ..., (6.d) ∂y Dengan menggunakan identitas 0!=1, maka C 0a = C aa = 1 , C1a = a dan C ba = C aa−b . Selain itu ⎛ a(a − 1)(a − 2)...(a − (b − 1))(a − b)! ⎞ ⎞ ⎛ a! ⎟⎟ ⎟⎟ = b⎜⎜ bC ba = b⎜⎜ b!(a − b)! ⎠ ⎝ ⎝ b!(a − b)! ⎠ dengan

⎛ a(a − 1)(a − 2)(a − 3)...(a − (b − 1)) ⎞ ⎟⎟ = b⎜⎜ b!(b − 1)! ⎠ ⎝ ⎛ a (a − 1)(a − 2)(a − 3)...(a − (b − 1)) ⎞ ⎟⎟ = (a − (b − 1))⎜⎜ (b − 1)! ⎠ ⎝


1133

PROSIDING

Maka

didapatkan

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

2C 2β = (β − 1)C1β , 3C 3β = (β − 2)C 2β , 4C 4β = (β − 3)C 3β

dan

⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞ seterusnya sehingga persamaan (6.a)‐(6.d) diperoleh ⎜⎜ = dan = − ⎟⎟ . ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y Yang berarti w1 memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Cara 2. Dalam koordinat polar dapat ditulis sebagai w1 β β w1 = z = r (cos βθ + i sin βθ ) . Denan menuliskan bagian riil dan bagian khayal w1 diperoleh dan Sehingga u (r ,θ ) = r β cos βθ v(r ,θ ) = r β sin βθ . 1 1 ∂v ∂u = β r β −1 cos βθ = βr β cos βθ = r r ∂θ ∂r ∂u ∂v = βr β −1 sin βθ = −rβ r β sin βθ = − r dan . Jadi memenuhi persamaan Cauchy‐ ∂r ∂r Riemann. Karena w1 merupakan polinom berderajat β atau dapat juga disebut sebagai fungsi pangkat, maka turunan w1 yaitu w1' = β z β −1 ada untuk setiap z ≠ 0 ∈ C . Jadi w1 merupakan pemetaan konformal. Untuk β = 1 maka diperoleh w1 = z . Hasil pemetaan adalah gambar yang sama karena fungsi pemetaan ini tidak mengubah bentuk gambar tetapi hanya menggantu sumbu‐sumbu koordinat, yaitu sumbu x menjadi sumbu u dan sumbu y menjadi sumbu v berturut‐turut untuk bidang z dan bidang w. Pada bagian selanjutnya ditunjukkan untuk β = 2 . α

⎛1⎞ 4.2 Hasil pemetaan w = ⎜ ⎟ , α = − β dan β = 2 ⎝z⎠ Untuk nilai β = 2 diperoleh w1 = z 2 dan ini merupakan fungsi parabolik atau fungsi kuadrat. Berdasarkan persamaan (4.1) maka w1 = x 2 + 2ixy − y 2 . Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari w1 berturut‐turut diperoleh u = x 2 − y 2 dan v = 2 xy . (7) Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan garis x = ± a pada bidang –z dipetakkan sebagai keluarga parabola pada bidang‐w, yang ditunjukkan oleh persamaan (8.). Yaitu karena 2

v2 v ⎛ v ⎞ 2 v = ±2ay sehingga y = ± dan u = a 2 − y 2 maka u = a 2 − ⎜ ± ⎟ = a − 2 . 2a 4a ⎝ 2a ⎠ (8.a) Untuk persamaan garis y = ±b pada bidang‐z dipetakkan sebagai suatu keluarga parabola pada bidang‐w, yaitu 2 2 v v = ±2bx sehingga x = ± dan u = x 2 − b 2 maka u = ⎛⎜ ± v ⎞⎟ − b 2 = v 2 − b 2 . (8.b) 2b 4b ⎝ 2b ⎠


1134

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Keluarga parabola persamaan (8.a)‐(8.b) merupakan sistem ortogonal (Gordon,1963). Masing‐masing dari bayangan garis x = ± a dan y = ±b dan persegi ditunjukkan pada Gambar 4.1‐4.3.

Gambar 11. Bayangan garis x = ± a dan y = ±b beserta bayangan persegi ABCD dengan fungsi w = z 2 .

Gambar 12. Bayangan garis x = ± a dan y = ±b untuk a=1,2 dan b=a,2 serta w = z 2 .

Gambar 13. Bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 dengan fungsi w = z 2 . α

⎛1⎞ 4.3 Pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ (0,1) ⎝z⎠


1135

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Karena α ∈ (0,1) , maka dapat dituliskan α =

a dengan a,b ∈ N , a
diperoleh a

α

⎛ 1 ⎞b ⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝z⎠ ⎝z⎠ a

a

− ⎛ a a ⎞ ⎛ 1 ⎞b Dalam koordinat polar dapat diperoleh w = ⎜ iθ ⎟ = r b ⎜ cos θ − i sin θ ⎟ . Dengan b b ⎠ ⎝ ⎝ re ⎠ −a −a a a b menuliskan bagian riil dan khayalnya diperoleh u = r cos θ , v = − r b sin θ . b b Sehingga a a ∂u ∂u a a a − −1 a − = − r b cos θ ; = − r b sin θ ; (9.a) ∂r ∂θ b b b b a a a a a −b ∂v a − b −1 ∂v (9.b) = r sin θ ; = − r cos θ . b b b ∂r b ∂θ a

a ⎛ 1 ⎞b Jadi persamaan Cauchy‐Riemann dipenuhi. Karena w ' = ⎜ ⎟ b⎝z⎠

−1

≠ 0, ∀z ∈ C maka

α

⎛1⎞ terbukti w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ (0,1) merupakan pemetaan konformal. ⎝z⎠ 1 1 Untuk α = , maka diperoleh bentuk pemetaan w = . Dengan 2 z menggunakan koordinat polar diperoleh

( )

w = re iθ

−1 / 2

=

1 ⎛ ⎛ θ + 2kπ ⎞ ⎛ θ + 2kπ ⎜⎜ cos⎜ ⎟ − i sin ⎜ 2 2 ⎠ r⎝ ⎝ ⎝

Sehingga untuk k = 0 diperoleh nilai utama wk =0 =

(10)

1 ⎛ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞⎞ ⎜⎜ cos⎜ ⎟ − i sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ dan untuk r ⎝ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎛ θ + 2π ⎞ ⎞ . Dengan ⎛ θ + 2π ⎞

nilai k = 1 diperoleh wk =1 = (re iθ )−1 / 2 = 1 ⎛⎜⎜ cos⎜ r⎝

⎞ ⎞ , k = 0,1. ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

⎝

2

⎟ − i sin ⎜ ⎝ ⎠

2

⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

mengingat bahwa sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan cos(a+b)=cos a cos b – sin a sin b , maka 1 ⎛ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞⎞ ⎜⎜ − cos⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ = − wk =0 . wk =1 = r⎝ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ Dengan menuliskan wk =0 = u + iv , maka bagian riil dan bagian khayal dapat ditulis sebagai 1 1 θ θ cos dan v = − sin . u = (11) 2 2 r r


1136

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Dengan menuliskan persamaan (11) dalam x dan y diperoleh u =

1

1 + cos 2θ diperoleh Karena cos 2 θ = 2 1

u=

x r = 1 2 r

1+

r

Secara sama, karena sin 2 θ =

v=−

1 r

1 r+x 1 r+x = = 2 2r r 2 x + y2

x2 + y2 + x 2

r

1 + cos θ . 2

.

1 − cos 2θ diperoleh 2

x r =− 1 2 r

1−

r−x 1 r−x 1 =− =− 2r r 2 x2 + y2

x2 + y2 − x 2

.

Sehingga untuk setiap titik (a,b) pada bidang‐z akan dipetakkan menjadi titik ⎛ 1 ⎜ ⎜⎜ 2 a + b2 ⎝

a2 + b2 + b 2

,−

1 a2 + b2

a 2 + b 2 − a ⎞⎟ pada bidang‐w. Dengan mengambil ⎟⎟ 2 ⎠

nilai utama wk =0 yaitu 0 ≤ θ < 2π maka bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 ditunjukkan pada Gambar 14 pada dua cabang.

Gambar 14 Hasil pemetaan wk =0 =

1

untuk 14 x14 persegi. z Kita dapat melakukan pemetaan untuk berbagai nilai α yang lain dan menyusun aspek 1 matematis sebagaimana di atas. Untuk nilai α = − dapat ditunjukkan hasil pemetaan 2 yang ditunjukkan pada Gambar 15.

α

1 ⎛1⎞ Gambar 15. Hasil pemetaan persegi 14x14 dengan w = ⎜ ⎟ dengan α = − . 2 ⎝z⎠ 5 KESIMPULAN DAN SARAN Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

1137

PROSIDING

ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Pada makalah ini telah ditunjukkan hasil pemetaan persegi n x n dari α

⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ untuk α ∈ Z − (himpunan bilangan bulat negatif) dan α ∈ (0, 1) . ⎝z⎠ Diperoleh bahwa hasil pemetaan persegi n x n untuk α = 2 merupakan keluarga 1 parabola. Sedangkan pemetaan persegi n x n dengan α = merupakan bentuk 2 lemniscate yang terpotong‐potong. Beberapa pengembangan dapat dilakukan dengan melakukan pemetaan tak konformal untuk bidang persegi. DAFTAR PUSTAKA Churchill, R. V. 1960. Complex Variables and Applications,2nd Edition. McGraw‐Hill Book Company. New York. Gordon, L. I dan Sim Lasher. 1963. Elements of Complex Variables. Holt, Rinehart and Winston, Inc. Parhusip H. A., dan Sulistyono, Pemetaaan Konformal dan Modifikasinya untuk suatu Bidang Persegi, Prosiding Seminar Nasioanal Matematika UNPAR 5 September 2009, hal.MT 250‐259, Vol 4. Th. 2009, ISSN 1907‐3909. Pustaka Web web1. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html


1138

PROSIDING ISBN :

Recommend Documents