PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA VIII

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA VIII “Peran serta Cendekia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi Perubahan Karakter Bangsa” ISBN 978-602-1034-06-4

EDITORIAL Penanggungjawab Prof. Dr. Wiyanto, M.Si.

Tim Review Prof. Dr. Zaenuri Mastur, S.E. M. Si.,Akt. Dr. Masrukan, M.Si Dr. Wardono, M. Si Dr. Iwan Junaedi, S.Si., M.Pd

Tim Editor Ary Woro Kurniasih, S.Pd., M.Pd Riza Arifudin, S.Pd., M.CS Bambang Eko Susilo, S.Pd., M.Pd Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc Nuriana R. D. N., S.Pd., M.Pd Amidi, S.Si., M.Pd

Layout Zaidin Asyabah Tiara Budi Utami

Cover Layouter Luky Triohandoko

Penerbit:

Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang

i

PRAKATA Seminar Nasional Matematika VIII Jurusan Matematika FMIPA Unnes bertema,”Peran serta Cendekia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi Perubahan Karakter Bangsa”. Seminar berlangsung pada hari Sabtu, tanggal 8 November 2014 di kampus Universitas Negeri Semarang. Tujuan seminar adalah tukar menukar hasil penelitian maupun gagasan konseptual dalam bidang Pendidikan Matematika dan Matematika, serta mencari alternatif solusi setiap permasalahan sebagai upaya akselerasi perubahan karakter bangsa. Pemakalah yang hadir berasal dari berbagai kalangan, baik dosen, peneliti (praktisi), maupun guru yang tersebar di seluruh Indonesia, seperti Unsyah (NAD), Surya Research and Education Center Tangerang, Lembaga Penerbangan Antariksa Nasional, UPI Bandung, Unswagati (Cirebon), Unnes Semarang, IKIP Veteran Semarang, UKSW Salatiga, ITS Surabaya, Unesa Surabaya, dan Universitas Muhammadiyah Ponorogo. Setiap makalah ditelaah oleh tim review, terkait substansi dan tata tulis, sebelum diterbitkan. Semoga penerbitan prosiding ini memberikan sumbangan bagi kemajuan ilmu pengetahuan, khususnya Pendidikan Matematika dan Matematika.

Tim Editor

ii

DAFTAR ISI Editorial Prakata Daftar Isi Bidang Kajian: Pendidikan Matematika 1. Pendidikan Karakter Terintegrasi dan Berkelanjutan di Tingkat Sekolah hingga Perguruan Tinggi dengan Sistem Spiral guna Militansi Bangsa (Sukestiyarno,, D.A.S.Q. Rizki, Universitas Negeri Semarang,

Halaman i ii Iii 1

Jawa Tengah)

2.

3.

Pembelajaran Materi Segi Empat dengan Pendekatan Contextual Teaching and Learning (CTL) untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Siswa di SMP Negeri 1 Banda Aceh Tahun Ajaran 2011/2012 (Ari Hestaliana. R, Universitas Syah Kuala, NAD) Keefektifan Resource Based Learning dengan Jurnal Reflektif terhadap Kemampuan Pemecahan Mahasiswa Matematika (Arief

7

15

Agoestanto, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

4.

5.

Implementasi Group Investigation untuk Meningkatkan Pemahaman Mahasiswa tentang Pendekatan Ilmiah Melalui Telaah Kurikulum Matematika 1 (Ary Woro Kurniasih, Univeritas Negeri Semarang, Jawa Tengah) Tinjauan Peran Teknologi dalam Pengajaran Geometri (Hery Sutarto,

21

30

Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

6.

Faktor-faktor yang mempengaruhi Mahasiswa Memilih Program Studi di Jurusan Matematika MIPA UNESA dengan menggunakan Analisa Diskriminan (Hery Tri Sutanto, Universitas Negeri Surabaya, Jawa

36

Timur)

7.

Pengembangan Model Assessment for Learning (AfL) melalui Self Assessment pada Pembelajaran Matematika di SMP Terpadu Ponorogo (Intan Sari Rufiana, Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jawa

49

Timur)

8.

Penerapan Model Pembelajaran Learning Cycle 7E dalam Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa (Laelasari, Unswagati,

64

Jawa Barat)

9.

Pembelajaran Matematika dengan Permainan Tangram untuk Meningkatkan Keahlian Berpikir Geometri (Geometric Thinking Skills) Siswa Sekolah Dasar (Olanda Dwi Sumintra, Ayu Erawati,, dan

73

Sulistiawati, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Surya, Banten)

10.

Analisis Kemampuan Guru PAUD dan Identifikasi Instrumen Polytomous dengan Program Parscale di Kota Semarang (Risky

80

Setiawan, IKIP Veteran Semarang, Jawa Tengah)

11.

Berpikir Kreatif Matematika pada Pembelajaran Sinektik (Studi

90

iii

Kasus di SMPN 2 Jatibarang Brebes) (Rochmad dan Laeli Rahmawati, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

12.

Pembelajaran Perkalian Bilangan 1–10 dengan Matematika GASING untuk Meningkatkan Hasil Belajar pada Siswa Sekolah Dasar

99

(Sulistiawati, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Surya, Banten)

13.

Pembelajaran ARIAS dengan Asesmen Kinerja untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah (Wardono dan Suryati, Universitas Negeri

113

Semarang, Jawa Tengah)

14.

Eksplorasi Bentuk-Bentuk Etnomatematika dan Relasinya dengan Konsep-Konsep Matematika (Zaenuri Mastur, Fathur Rokhman, dan SB

121

Waluya, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

15. 16.

Discovery-Learning dengan Asesmen Kinerja untuk Meningkatkan Penalaran Matematis (Masrukan, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah) Implementasi Brain-based learning berbantuan Web terhadap Peningkatan Self Efficacy Mahasiswa (Nuriana Rachmani Dewi (Nino

132 139

Adhi), Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

17.

Peran Menalar dalam Pembelajaran Matematika untuk Menanamkan Nilai Karakter Religius (Bambang Eko Susilo, Universitas Negeri Semarang,

147

Jawa Tengah)

18.

Menumbuhkan Kreativitas melalui Pendekatan Saintifik sebagai Upaya Penerapan Kurikulum 2013 (Jayanti Putri Purwaningrum,

157

Universitas Pendidikan Indonesia, Jawa Barat)

19.

Konsep Pembelajaran Science Technology Engineering Mathematics (STEM) dengan Matematika sebagai Alat atau Bahasa Komunikasi dalam Kurikulum 2013 (Suhud Wahyudi, Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha,

166

Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

20.

Mengklasifikasi Kesalahan Siswa dalam Mengerjakan Soal Uraian Matematika Berdasarkan Prosedur Newman (Amin Suyitno, Universitas

176

Negeri Semarang, Jawa Tengah)

21.

Membangun Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

184

(Iwan Junaedi, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

22.

Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Konstruktivis berbasis Humanistik berbantuan E-Learning (Amidi, Universitas Negeri

190

Semarang, Jawa Tengah)

Bidang Kajian: Matematika dan Komputasi No Judul 23 Perbandingan Metode Arima Box – Jenkins dengan Metode Double Exponential Smoothing dari Brown Dalam Memprediksi Jumlah Pengunjung Perpustakaan Daerah Provinsi Jawa Tengah (Izza Hasanul

Hal 201

Muna dan Riza Arifudin, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

24

Penerapan Jaringan Kohonen Self Organizing Maps Untuk Clustering Kualitas Air Kali Surabaya (Sri Rahmawati F., M. Isa Irawan, Nieke

215

Karnaningroem, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

iv

25

Resampling untuk Memperbesar Koefisien Determinasi dalam Model Regresi Linear (Adi Setiawan, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa

224

Tengah)

26

Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat

233

(Angelita Titis Pertiwi, Adi Setiawan, Bambang Susanto, Universitas Kristen Satya Wacana , Jawa Tengah)

27

Pemodelan Jaringan Syaraf Tiruan Backpropagation untuk Simulasi Kualitas Air dan Daya Tampung Lingkungan di Kali Surabaya (Bima

247

Prihasto, M. Isa Irawa), Ali Masduqi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

28

Penerapan Regresi Multivariate dalam Penentuan Terjadinya Anomali Curah Hujan Ekstrim di P. Jawa (Eddy Hermawan, Lembaga

261

Penerbangan dan Antariksa Nasional, Jawa Barat)

29

Penerapan Metode Eliminasi Gauss-Jordan dalam Memecahkan Masalah Kemacetan Lalu Lintas (Eliza Verdianingsih, Universitas

267

Pendidikan Indonesia, Jawa Barat)

30

Dimensi Partisi Graf Garis dari Graf Kincir K_1+mK_n dengan m≥2 dan n≥2 yang Diperumum (F. Kurnia Nirmala Sari dan Darmaji, Institut

276

Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

31

Penggunaan Aljabar Max Plus dan Petri Net untuk Perancangan Penjadwalan Sistem Pelayanan Pasang Instalasi Baru di PDAM

285

(Margaretha Dwi Cahyani dan Subiono, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

32

Pemodelan Matematika untuk Epidemi Chikungunya pada Populasi Manusia dengan Non Specific Treatment (Muhammad Kharis, Universitas

298

Negeri Semarang Jawa Tengah)

33

Model GSTAR Termodifikasi untuk Produktivitas Jagung di Boyolali

314

(Priska Dwi Apriyanti, Hanna Arini Parhusip, dan Lilik Linawati, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah)

34

Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid 2 Dimensi menjadi 3 Dimensi dengan Sistem Koordinat Bola (Purwoto, Hanna Arini Parhusip,

326

dan Tundjung Mahatma, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah)

35

Estimasi Kurva Regresi Semiparametrik dengan Komponen Parametrik Berpola Polinomial (Lilis Anisah, Institut Teknologi Sepuluh

337

Nopember Surabaya Jawa Timur)

36

Model Jaringan Syaraf Fuzzy Radial Basis Function untuk Peramalan Nilai BOD pada Kali Surabaya (Nisa Ayunda, Mohammad Isa Irawan, Nieke

342

Karnaningroem, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jawa Timur)

37

Masalah Penugasan Optimal dengan Algoritma Kuhn-Munkres

351

(Mulyono, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

v

vi

Penerapan Estimator Robust RMCD

PENERAPAN ESTIMATOR ROBUST RMCD PADA GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PENGAMATAN INDIVIDUAL BIVARIAT DAN TRIVARIAT Angelita Titis Pertiwi1), Adi Setiawan2), Bambang Susanto3) 1)

Mahasiswa Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga Surel: 1)[email protected] 2)3) Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga Surel: 2)[email protected], 3) [email protected] Abstrak Untuk memonitor proses atau kualitas produk secara multivariat, biasa digunakan grafik pengendali T2 Hotelling. Grafik pengendali T2 Hotelling sensitif terhadap titik-titik ekstrim (outliers) karena grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Untuk itu digunakan estimator robust (tegar) RMCD (Reweighted Minimum Covariance Determinant) pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual supaya grafik pengendali T2 Hotelling yang didapat lebih tegar terhadap outliers di phase I. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga variabel), karena studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan “X” yang mempunyai tiga variabel. Variabel yang digunakan adalah karakteristik kualitas yang diukur dalam memonitor kualitas produk parfum remaja, yaitu pH parfum remaja, refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas, dan masa jenis parfum remaja. Dari penerapan didapat grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD bivariat dan trivariat yang hanya memerlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I. Kata Kunci – Hotelling’s T2 Control Chart; Robust Estimator; RMCD; Multivariate Statistical Process Control

A. Pendahuluan Grafik pengendali kualitas atau yang disebut control chart merupakan salah satu alat yang digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses karena dalam grafik pengendali dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Sering kali dalam pengendalian kualitas tidak cukup dengan pengamatan univariat namun harus secara multivariat. Menurut Montgomery (2009), grafik pengendali T2 Hotelling paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Padahal vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel sangat sensitif terhadap titik ekstrim (outliers). Karena itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi populasi yang tegar untuk membuat grafik pengendali T2 Hotelling. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang robust (tegar), estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD), dalam penerapan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual. Grafik pengendali T2 Hotelling

ISBN 978-602-1034-06-4

233


untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ini selanjutnya disebut dengan grafik pengendali . Permasalahannya adalah bagaimanakah menerapkan grafik pengendali bivariat dan trivariat? Studi kasus pun dilakukan untuk menerapkan grafik pengendali bivariat dan trivariat. Studi kasus dilakukan menggunakan Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2011 yang diperoleh dari Lampiran I Puspitoningrum (2011). Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca tentang penerapan estimator robust khususnya RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual dalam pengendalian kualitas produk atau proses. B. Tinjauan Pustaka Puspitoningrum (2011) menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling untuk memonitor vektor rata-rata proses secara multivariat karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel. Pengestimasian parameter pengendali pada phase I, dalam hal ini vektor rata-rata  dan matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD untuk diterapkan dalam grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual. Chenouri dkk (2009) mengusulkan RMCD sebagai estimator rata-rata vektor dan matriks kovariansi yang tegar karena RMCD merupakan estimator yang affine equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n-1/2, efisiensi tinggi, dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Zhang (2011) dan Vanpaemel (2013). Algoritma aproksimasi untuk estimator RMCD yang baik untuk tujuan komputasional adalah FAST-MCD yang diberikan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). FASTMCD sudah diterjemahkan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan robustbase, dapat dilihat dalam Hubert dkk (2008). Sudah dibuktikan oleh Chenouri dkk (2009) bahwa grafik pengendali lebih tegar dibanding grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual biasa ketika terdapat outliers pada proses selama phase I. Penelitian juga dilakukan oleh Prastyowati (2009) yang membandingkan ketegaran grafik pengendali T2 Hotelling berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali . Penelitian lain dilakukan Variyath dan Vattathoor (2013) yang mengemukakan bahwa pada phase I, grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan estimator RMCD baik untuk data dengan jumlah pengamatan dan dimensi (variabel) yang lebih besar dari pada grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan estimator RMVE (Reweighted Minimum Volume Ellipsoid). Penelitian tentang grafik pengendali dilakukan pula oleh Mohammadi dkk (2010) dan penelitian tentang ketegaran grafik pengendali phase II dilakukan oleh Mohammadi dkk (2011). ISBN 978-602-1034-06-4

234


C. Metode Penelitian 1. Estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD) Estimator RMCD merupakan pengembangan dari estimator Minimum Covariance Determinant (MCD), yaitu dengan pembobotan, karena itu perlu mengestimasi estimator MCD terlebih dahulu kemudian barulah mengestimasi estimator RMCD. Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999). Penelitian ini menggunakan Algoritma FAST-MCD yang sudah diterjemahkan ke dalam fungsi CovMcd() pada paket rrcov yang ditulis oleh Todorov (2007) dalam software R. Estimator RMCD untuk vektor rata-rata  dan matriks kovariansi adalah vektor rata-rata yang diberi bobot

(1) dan matriks kovariansi

(2) pembobotan berdasar pada jarak

(3) sehingga bobot ditentukan dengan persamaan (4)

(4) dan

merupakan quantil ke-

dari distribusi chi kuadrat. Chenouri dkk (2009)

mengusulkan untuk menggunakan

=0,975 yang dianjurkan dan digunakan oleh

Rousseeuw dan van Driessen (1999). Dengan menggunakan membuat

konsisten dibawah distribusi normal multivariat. Faktor

adalah

koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison dkk (2002) pada (5)

(5) dengan

ISBN 978-602-1034-06-4

235


Menurut Pison dkk (2002)

bernilai sangat kecil ketika ukuran sampel m

kecil, dan untuk p tertentu

naik secara monoton ke 1 ketika m mendekati

tak hingga. Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas dalam penghitungan

, sehingga dianggap

belum digunakan

.

2. Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD Pengamatan dikatakan individual apabila ukuran masing-masing sampel n=1. Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke dalam matriks berukuran pada persamaan (6)

(6) dengan

, i=1,2,...,m menunjukkan pengamatan ke-i dari p-variat

dan diasumsikan vektor pengamatan in control,

adalah vektor random identik,

independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai

.

Bagian yang terpenting dari phase I penerapan grafik pengendali T2 Hotelling adalah mengestimasi parameter vektor rata-rata populasi dan matriks kovariansi populasi

. Estimator dari

dan

adalah vektor rata-rata sampel

dan matriks

2

kovariansi sampel S, sehingga diperoleh statistik T Hotelling pada persamaan (7) .

Karena asumsi vektor pengamatan in control tidak selalu benar, serta

(7) dan S sangat

sensitif terhadap outliers, jadi estimator klasik ( dan S) digantikan oleh estimator RMCD yang tegar. Didapat statistik T2 Hotelling baru yang diberikan oleh persamaan (8) (8) Chenouri dkk (2009) mengusulkan estimasi batas pengendali atas (BPA) untuk grafik pengendali yang diberikan pada persamaan (9)

ISBN 978-602-1034-06-4

236


(9) dengan nilai estimasi Least-Square parameter regresi

dan

diberikan

oleh Chenouri dkk (2009) pada Tabel 1 halaman 264. Sedangkan BPB (Batas Pengendali Bawah) sama dengan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual biasa, BPB = 0. 3. Langkah-langkah Penerapan Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD Phase I a. Menggunakan data phase I untuk menaksir vektor rata-rata dan matriks kovariansi menggunakan estimator MCD kemudian dilanjutkan dengan menaksir estimator robust RMCD sehingga didapat dan . b.

Menghitung

dengan menggunakan persamaan (8).

c.

Menentukan titik breakdown memilih estimasi least square

atau 0,25 dan dan

=0,01 atau 0,001 untuk

dari Chenouri dkk. (2009)

d.

pada Tabel 1 halaman 264, kemudian menghitung BPA dari persamaan (9). Mengkonstruksi grafik pengendali dengan memetakan nilai-nilai

e.

langkah 2 dengan batas pengendali atas pada langkah 3. Membuang pengamatan yang dengan asumsi penyebab diketahui.

pada

f.

Melakukan iterasi dari langkah 1 sampai langkah 5 hingga tercapai kondisi in control. Phase II a. Menghitung menggunakan pengamatan baru dari dan yang b. c.

sudah didapat dari phase I. Memetakan ke dalam grafik pengendali dengan batas pengendali yang sudah diperoleh pada Phase I (langkah 4). Mendeteksi pengamatan-pengamatan atau titik-titik di luar kendali (out of control points), yaitu jika , atau polanya. Mendiagnosa proses jika

diperlukan. Data yang digunakan dalam penelitian adalah data sekunder yang diperoleh dari Lampiram I Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2010, Puspitoningrum (2011) yang berdistribusi normal secara multivariat dengan menggunakan uji chi-square (Johnson & Wichern, 2002). Data yang digunakan memiliki tiga variabel (p=3) yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas, yaitu pH (batas spesifikasi perusahaan 4 sampai 8), refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas (batas spesifikasi perusahaan 1,349 sampai 1,369), dan masa jenis parfum remaja (batas spesifikasi perusahaan 0,884 sampai 0,930). Data memiliki sebanyak m=320 pengamatan, 160 pengamatan pertama dianggap sebagai data historis untuk phase I dan 160 pengamatan berikutnya dianggap sebagai pengamatan

ISBN 978-602-1034-06-4

237


baru untuk phase II. Pengolahan data dan komputasi menggunakan software R 3.0.1 dan Matlab R2009a. Penelitian dilakukan dengan menerapkan estimator RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (p=2, yaitu kombinasi dua dari tiga variabel) dan trivariat (p=3). Grafik pengendali yang sudah didapat kemudian diamati dan diidentifikasi titik-titik di luar kendali. D. Hasil dan Pembahasan Sebut variabel adalah karakteristik kualitas pH,

adalah karakteristik kualitas

refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas, dan

adalah

karakteristik kualitas masa jenis. Uji chi-square menunjukkan bahwa data karakteristik kualitas parfum remaja periode April-Desember 2010 berdistribusi normal multivariat. 1.

Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat Hasil penerapan phase I dari grafik pengendali bivariat dengan memilih

=0,01;

=0,5 diberikan oleh Tabel 1. Menurut Davies dalam Chenouri dkk (2009)

kemungkinan titik breakdown tertinggi dari suatu estimator yang affine equivariant adalah . Dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi yang diperoleh adalah

.

Tabel 1. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali

Bivariat

Kombinasi Pembeda Iterasi I

Jumlah titik di luar kendali Indeks titik di luar kendali Nilai

dan

dan

dan

1

2

1

155

23 & 39

155

&

titik di luar kendali

BPA Iterasi II

Jumlah titik di luar kendali Indeks titik di luar kendali Nilai

9,6958

9,6958

9,6958

0 ( in control)

0 ( in control)

0 ( in control)

-

-

-

-

-

-

titik di luar

ISBN 978-602-1034-06-4

238


kendali

BPA

9,7006

9,7055

9,7006

Dari Tabel 1 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control pada prosedur phase I grafik pengendali bivariat di semua kombinasi variabel, yaitu

dan

,

dan

, serta

dan

. Sesuai pada prosedur phase I

dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov software R yang diberikan oleh Todorov (2007). Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD ( dan ). iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah iterasi

I

untuk

,

semua

dan

kombinasi

secara

.

berurutan

adalah dan

. dan

digunakan untuk menentukan nilai

sesuai langkah 2

menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih =0,01; =0,5. Karena sudah diketahui p=2, sehingga digunakan nilai estimasi 1387,415 dan

1,6321. Dengan menggunakan persamaan (9)

didapatkan BPA untuk setiap kombinasi sama, yaitu 9,6958 karena pada iterasi I jumlah pengamatan masih sama (160 pengamatan) untuk setiap kombinasi. Untuk mendapatkan grafik pengendali dilakukan pemetaan dan BPA, grafik pengendali bivariat iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3.

Gambar 2. Grafik pengendali iterasi I phase I untuk

Gambar 1. Grafik pengendali iterasi I phase I untuk variabel

dan variabel

ISBN 978-602-1034-06-4

dan

239


Gambar 3. Grafik pengendali iterasi I phase I untuk variabel

dan

Dari grafik pengendali iterasi I pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 dapat diketahui ada titik-titik di luar kendali ( ). Pada kombinasi pertama ( dan ) terdapat satu titik di luar kendali di indeks ke-155 dengan nilai Pada kombinasi kedua (

dan

dengan nilai

.

) terdapat dua titik di luar kendali di indeks 23 dan 39 dan

. Pada kombinasi ketiga ( dan

) terdapat titik di luar kendali di indeks 155 dengan nilai

. Titik-

titik di luar kendali ini kemudian dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II estimator RMCD vektor rata-rata, yang baru untuk semua kombinasi, secara berurutan yaitu dan

.

Sedangkan

,

yang baru untuk semua kombinasi secara

berurutan yaitu: .

Dengan menggunakan

dan

yang baru dihitung kembali nilai-nilai

. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Didapat BPA yang baru untuk kombinasi pertama hingga ketiga, secara berurutan yaitu 9,7006; 9,7055; dan 9,7006. BPA untuk kombinasi pertama dan ketiga sama karena jumlah titik di luar kendali yang dihapus sama. Kemudian dilakukan pemetaan dan BPA. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai

> BPA atau dengan kata lain tidak ada titik

di luar kendali. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dapat dilanjutkan dengan phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali bivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I pada semua kombinasi ditunjukkan secara berurutan oleh Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6.

ISBN 978-602-1034-06-4

240


Gambar 4. Grafik pengendali


bivariat iterasi II phase I untuk variabel dan

iterasi II phase I untuk variabel


mengunakan Kemudian grafik pengendali

dan

bivariat

iterasi II phase I untuk variabel

Pada langkah 7 dihitung

bivariat

dan

dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)

dan

yang sudah didapat pada kondisi in control phase I.

dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat bivariat baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat

dideteksi dengan grafik pengendali

bivariat pada phase II ini. Grafik pengendali

bivariat phase II untuk semua kombinasi secara berurutan diberikan oleh Gambar 7, Gambar 8, dan Gambar 9. Hasil penerapan estimator RMCD pada grafik pengendali bivariat phase II diberikan oleh Tabel 3.

Gambar 7. Grafik pengendali phase II untuk variabel

ISBN 978-602-1034-06-4

bivariat dan

Gambar 8. Grafik pengendali Bivariat phase II untuk variabel

dan

241



bivariat phase II untuk variabel

Tabel 3. Hasil Penerapan Prosedur Phase II Grafik Pengendali Kombinasi

Jumlah Titik di Luar Kendali

Indeks Titik di Luar Kendali

dan

3

32 ;94;123

dan

6

61;73;78;93;103;104

dan

2

32;123

dan

Titik di Luar

Kendali 22,25; 10,64; 23,41 11,09; 17,49; 20,92; 18,39; 28,55; 26,59 24,11; 23,22

bivariat phase II untuk

yang diberikan oleh Gambar 7, ada tiga titik di luar kendali, yaitu

pada indeks 32, 94, dan 123, dengan nilai

secara berurutan adalah 22,25; 10,64;

dan 23,41. Diketahui pula pada grafik pengendali dan

Bivariat

Nilai

Dari Tabel 3 diketahui bahwa pada grafik pengendali variabel

dan

bivariat phase II untuk variabel

yang diberikan oleh Gambar 8, ada enam titik di luar kendali, yaitu pada

indeks 61,73,78,93,103, dan 104, dengan nilai

secara berurutan adalah 11,09;

17,49; 20,92; 18,39; 28,55; dan 26,59. Pada grafik pengendali untuk variabel

dan

bivariat phase II

yang diberikan oleh Gambar 9, ada dua titik di luar kendali,

yaitu pada indeks 32 dan 123, dengan nilai

secara berurutan adalah 24,11 dan

23,22. 2.

Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Trivariat Masih dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi

yang diperoleh adalah prosedur phase I dari grafik pengendali

. Hasil penerapan trivariat dengan memilih

=0,01 ;

=0,5 diberikan oleh Tabel 4.

ISBN 978-602-1034-06-4

242


Tabel 4. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali

Trivariat

Iterasi

Pembeda I Jumlah Titik di Luar Kendali Indeks Titik di Luar Kendali Nilai Titik di Luar Kendali

BPA

II

3

0(in control)

23;39;155

-

16,46; 15,58; 17,51

-

14,5162

14,6166

Dari Tabel 4 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control pada prosedur phase I grafik pengendali trivariat ( , , dan ). Sesuai pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov sofware R. Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD, dan secara berurutan yaitu:

;

dan

.

digunakan untuk menentukan nilai

sesuai langkah 2 menurut

persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih

=0,01 ;

=0,5. Karena sudah diketahui p=3, sehingga digunakan nilai estimasi 13533,973 dan

. Sesuai langkah 3 digunakan persamaan (9) untuk

mendapatkan BPA=14,5162. Berikutnya dilakukan pemetaan mendapatkan grafik pengendali

dan BPA untuk

trivariat. Grafik pengendali

trivariat

iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 10.


ISBN 978-602-1034-06-4

trivariat iterasi I phase I

243


Dari grafik pengendali

trivariat iterasi I phase I pada Gambar 10 dapat

diketahui ada tiga titik di luar kendali pada indeks 23, 39, dan 155 dengan nilai secara berturutan adalah 16,46; 15,58; dan 17,51. Sesuai langkah 5, titik-titik di luar kendali ini dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II diperoleh estimator RMCD yang baru secara berurutan adalah dan

.

Dengan menggunakan

dan

yang baru dihitung kembali nilai-nilai

sesuai langkah 2. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Dari langkah 3 didapat BPA yang baru, yaitu 14,6166. Kemudian dilakukan pemetaan dan BPA sesuai langkah 4. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilainilai > BPA. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dilanjutkan dengan prosedur phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali trivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I ditunjukkan oleh Gambar 11.


Pada langkah 7 dihitung mengunakan Kemudian

dan

trivariat iterasi II phase I

dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320) yang sudah didapat pada kondisi in control phase I.

dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat

grafik pengendali baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi dengan grafik pengendali trivariat pada phase II ini. Grafik pengendali trivariat hasil penerapan phase II diberikan oleh Gambar 12.

ISBN 978-602-1034-06-4

244



trivariat phase II

Pada Gambar 12 diketahui ada sebanyak delapan titik di luar kendali, yaitu pada indeks 32 , 46 , 73, 78, 93, 103, 104, dan 123 dengan nilai , secara berurutan yaitu 27,19415; 15,37344; 20,58837; 24,71327; 24,29873; 34,98609; 31,98614; dan 26,98379. E. Simpulan dan Saran Sudah diterapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas Parfum Remaja periode April-Desember 2010. Ternyata hanya diperlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali bivariat

maupun

grafik

pengendali

trivariat.

Puspitoningrum

(2011)

menyebutkan bahwa seluruh data memenuhi batas spesifikasi perusahaan, berarti semakin sedikit titik di luar kendali semakin tegar grafik pengendali T2 Hotelling. Dapat dilihat bahwa titik di luar kendali pada grafik pengendali lebih sedikit dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (2011) yang menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling biasa. Perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan faktor koreksi sampel terbatas ( ) pada dan perlu juga penelitian lanjutan mengenai ketegaran grafik pengendali

pada banyaknya outliers.

F. Daftar Pustaka Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No. 3, 259-271. Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 2008. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008, Vol. 23, No. 1, 92–119. DOI: 10.1214/088342307000000087. Johnson, R.A. and Wichern, D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. New Jersey: Prentice Hall. Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 2011. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): 503-511.

ISBN 978-602-1034-06-4

245


Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 2010. Re-weighted Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMTGT Conference on Mathematics, Statistics and its Applications (ICMSA2010) Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur. Montgomery D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition.United States of America: John Wiley and Sons. Pison, G.,van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and MCD. Metrika 55, 111-123. Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Puspitoningrum, Fitria. 2011. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Univ. Kristen Satya Wacana. Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 212-223. Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value, Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg Doctoraatsschool, Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven. Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 2013, Article ID 542305. Hindawi Publishing Corporation. (http://dx.doi.org/10.1155/2013/54230, diakses 8 Oktober 2014). Zhang, Jianfeng. 2011. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics. Carbondale: Southern Illionis University.

ISBN 978-602-1034-06-4

246

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA VIII

Recommend Documents