Vol. 1 Tahun 2014
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2014 Diselenggarakan oleh: Departemen Matematika FMIPA UI Depok, 1 Februari 2014
Disponsori oleh:
UCAPAN TERIMA KASIH Panitia Seminar Nasional Matematika 2014 menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada Pimpinan Universitas, Pimpinan Fakultas, Pimpinan Departemen dan para sponsor, atas dukungannya dalam bentuk dana, fasilitas, dan lain-lain, untuk terselenggaranya seminar ini. Secara khusus Panitia Seminar Nasional Matematika 2014 menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Pj. Rektor Universitas Indonesia 2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia 3. Plh. Ketua Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia 4. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjajaran 5. Direktur Utama PT Asuransi Jiwasraya (Persero) 6. Rektor Universitas Gunadarma 7. Kepala Lembaga Sandi Negara 8. Direktur Teknik dan Operasional AJB Bumiputera 1912 9. Direktur Utama PT LN Amanah Indonesia 10. Ketua Pusmaka (Pusat Studi Matematika, Komputasi, dan Analisis Data) Departemen Matematika FMIPA UI 11. Gubernur IndoMS wilayah Jabar, DKI Jakarta, dan Banten Panitia Seminar Nasional Matematika 2014 juga mengucapkan terima kasih kepada pembicara utama Dr. Elly Adriani Sinaga, M.Sc. (Ketua Badan Litbang Perhubungan, Kementerian Perhubungan RI) dan Dr. Endang Rusyaman (Dosen Jurusan Matematika Universitas Padjadjaran), para pemakalah pada sesi paralel, setiap tamu undangan, dan seluruh peserta Seminar Nasional Matematika 2014.
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR KATA SAMBUTAN UCAPAN TERIMA KASIH
i ii iii
DAFTAR ISI
iv
PEMBICARA UTAMA MODEL REGRESI UNTUK MINIMISASI ENERGI PERMUKAAN BERDASARKAN KARAKTERISASI ORDE TURUNAN FRAKSIONAL ENDANG RUSYAMAN
1 2
AKTUARIA PERHITUNGAN PENDANAAN PROGRAM PENSIUN USIA NORMAL PENDIDIKT ETAP SUATU FAKULTAS DI UI FIA FRIDAYANTI ADAM
8 9
ALJABAR KRITERIA POLINOMIAL PERMUTASI BENTUK KHUSUS ATAS LAPANGAN HINGGA ELVIN MARWADY, NORA HARIADI, RAHMI RUSIN MEREDAM FENOMENA GIBBS MELALUI TRANSFORMASI NILAI RATA-RATA INTEGRAL GANI GUNAWAN MODUL DEDEKIND FINITE SAMSUL ARIFIN PENURUNAN FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL DARI POLINOMIAL CHEBYSEV JENIS KETIGA DAN KEEMPAT SUARSIH UTAMA SEKITAR SUBRUANG TUTUP DARI RUANG HILBERT SEPARABEL SABARINSYAH, HANNI GARMINIA, PUDJI ASTUTI SIFAT-SIFAT NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS POSITIF DANISWORO INDU RAMADHAN, SRI MARDIYATI
18 19
iv
28
36 49
64
69
ANALISIS TEOREMA DASAR KALKULUS UNTUK TURUNAN DAN INTEGRAL PECAHAN ORDE ½ HENDRA SETIAWAN MULYANA
76 77
APLIKASI KAJIAN MODEL ALMOST IDEAL DEMAND SYSTEM PADA FUNGSI PERMINTAAN PANGAN HEWANI DI INDONESIA FITRIA VIRGANTARI, HAGNI WIJAYANTI, LUKI BELA KONTRIBUSI NILAI EKONOMI PENGEMBANGAN KAWASAN RAWAPENING DI KABUPATEN SEMARANG SRI SUBANTI, ZAINI ROHMAD, ARIF RAHMAN HAKIM PENERAPAN KSIM CROSS IMPACT UNTUK MENGANALISIS TINGKAT PARTISIPASI SISWA PADA PENDIDIKAN DASAR YOGI ANGGRAENA, ALHADI BUSTAMAM MODEL PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN KOMPARTEMEN VAKSIS RAHMADI AL MUHKLISAN, HENGKI TASMAN WAKTU TUNGGU KENDARAAN PADA PERSIMPANGAN DENGAN LAMPU LALU LINTAS SAAT JAM SIBUK ADE PUTRI MAYSAROH, SRI MARDIYATI ANALISIS MATEMATIKA MODIFIKASI FUNGSI LAJU TRANSISI SEL TUMOR MODEL GYLLENBERG-WEBB PADA PERTUMBUHAN TUMOR KHAIRIDA ISKANDAR PEMBENTUKAN PERMAINAN SUDOKU DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA DIGGING HOLES MAY T.A. SIMANJUNTAK, SRI MARDIYATI PENERAPAN LOGIKA FUZZY PADA PENILAIAN KINERJA PEGAWAI: STUDI KASUS UNIVERSITAS TERBUKA WAHYU NOVIANI P., LINTANG PATRIA PERENCANAAN KAPASITAS KINERJA MAIL SERVER RUMAH SAKIT MENGGUNAKAN OPEN QUEUEING NETWORK M/M/1 SUPIAN S, ROSADI R, EFFENDI NA OPTIMASI BIAYA KEBIJAKAN MAINTENANCE PERALATAN UNTUK MEMAKSIMUMKAN LABA PERUSAHAAN EMAN LESMANA OPTIMASI PENGALOKASIAN KERETA API KE PERON STASIUN MENGGUNAKAN PENDEKATAN PEMROGRAMAN LINIER BILANGAN BULAT CAMPURAN ANTONIUS, SRI MARDIYATI
82 83
v
92
100
113
128
138
148
158
174
182
198
PEMANFAATAN NONNEGATIVE MATRIX FACTORIZATION PADA KRIPTOGRAFI UNTUK MENGAMANKAN DATA GAMBAR INDRA BAYU MUKTYAS
215
KOMBINATORIK UJI KINERJA FACE RECOGNITION MENGGUNAKAN EIGENFACES ABDUL AZIZ ABDILLAH KARAKTERISTIK MATRIKS ADJACENCY DALAM PENENTUAN LINE DIGRAPH AHMAD FIKRI, KIKI A. SUGENG, DENNY R. SILABAN KEKUATAN TAK REGULER TITIK TOTAL PADA GRAF HELM YANG DIPERUMUM DIARI INDRIATI, WIDODO, INDAH E. WIJAYANTI, KIKI A. SUGENG PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF RANTAI 𝑪𝑪𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑲𝑲 ZATA YUMNI AWANIS, DENNY R. SILABAN PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF GABUNGAN KORONA ISOMORFIS GANESHA LAPENANGGA PUTRA, DENNY RIAMA SILABAN, KIKI A. SUGENG PELABELAN TOTAL SUPER BUSUR AJAIB PADA GRAF OBOR PINO RACHMANDIKA, KIKI A. SUGENG BILANGAN KROMATIK HASIL PRODUK DUA GRAF FUZZY ISNAINI ROSYIDA, WIDODO, CH. RINI INDRATI, KIKI A. SUGENG SIMULASI PENGENALAN GRAF DNA PINO RACHMANDIKA, JUWITA ICHAPRADITHA, KIKI A. SUGENG, DENNY R. SILABAN
226 227
KOMPUTASI KAJIAN SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL FUZZY SECARA ANALITIK DAN NUMERIK DITA PRAMESTI, ENDANG RUSYAMAN, BETTY SUBARTINI KLASIFIKASI KEGANASAN KANKER PROSTAT BERDASARKAN PADA ANALISIS CITRA BIOMEDIS GYAN ARYADI, SETIAWAN HADI, AKIK HIDAYAT, DIAN NURSANTIKA
295 296
vi
235
247
256 262
270 275 287
308
PENDIDIKAN ASPEK-ASPEK UNTUK MENGIDENTIFIKASI KEKUATAN JARINGAN PEMAHAMAN MAHASISWA TERHADAP KONSEP GRUP JAFAR MENINGKATKAN KOMPETENSI MATEMATIKA SISWA MELALUI PENGGUNAAN BAHAN AJAR BERORIENTASI PEMODELAN MATEMATIKA BERBASIS RME MEDIA ROSHA, YERIZON PENERAPAN MEDIA FOTO LISTRIK DALAM PEMBELAJARAN LOGIKA MATEMATIKA MUZAMIL HUDA PENGEMBANGAN BAHAN AJAR MATEMATIKA DALAM RANGKA MEMBENTUK KARAKTER PESERTA DIDIK DI ERA GLOBALISASI INTAN INDIATI, MUHAMMAD PRAYITO, NAJMAH ISTIKAANAH PENGEMBANGAN MEDIA PEMBELAJARAN GEOMETRI 1 DENGAN GEOGEBRA MUHAMMAD PRAYITO, BAGUS ARDI SAPUTRO, SUPANDI PENGEMBANGAN MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS BLENDED LEARNING BERBANTUAN ANDROID PADA SMK MATERI PROGRAM LINEAR HENI PURWATI, FX. DIDIK PURWOSETIYONO, MUHAMMAD PRAYITO, NAJMAH ISTIKAANAH PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH ALJABAR LINIER ELEMENTER DENGAN MODEL PEMBELAJARAN TUTOR SEBAYA SYUKMA NETTI MEMBANGUN LEVEL ABSTRAKSI SISWA SMP DALAM MEMAHAMI KONSEP SEGIEMPAT MEGA TEGUH BUDIARTO PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN OPEN ENDED QUESTION UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SEKOLAH DASAR RIZKY ESTI UTAMI PENERAPAN MODEL SIKLUS BELAJAR EMPIRIS INDUKTIF UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS SISWA SMP EKA RACHMA KURNIASI
vii
316 317
327
336
345
352
359
366
378
390
396
PENERAPAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA GASING PADA MATERI PENJUMLAHAN SATU ANGKA DENGAN SATU ANGKA ORYZA ZAFIVANI, WIWIK WIJAYANTI, JOHANNES H. SIREGAR PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN BANTUAN MEDIA E-LEARNING UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA PADA MATERI BANGUN DATAR SEGI EMPAT KELAS VII RIRIN WIDIYASARI PENINGKATAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIS MAHASISWA PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR MELALUI PENDEKATAN PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL KURNIATI STATISTIKA ANALISIS FAKTOR KONFIRMATORI GUNA MENGESTIMASI RELIABILITAS MULTIDIMENSI GAGUK MARGONO PENGGUNAAN METODE META-SEM UNTUK MENCARI TAKSIRAN GABUNGAN DARI PARAMETER PENGARUH TOTAL VARIABEL PENJELAS TERHADAP VARIABEL DEPENDEN MELALUI VARIABEL MEDIASI LATEN DANANG DWI KURNIAWAN, RIANTI SETIADI, SITI NURROHMAH PENGUJIAN BEDA DUA MEAN POPULASI KETIKA SALAH SATU VARIANSI POPULASI TIDAK DIKETAHUI MAIFIANA SARI, DIAN LESTARI, SITI NURROHMAH PERBANDINGAN MODEL HUJAN STOKASTIK NEYMANSCOTT RECTANGULAR PULSE (NSRP) DAN BARTLETT-LEWIS RECTANGULAR PULSE (BLRP) RADO YENDRA, RAHMADENI, ARI PANI DESPINA MENCARI TAKSIRAN PROPORSI PEMAIN BAND DI JAKARTA YANG CENDERUNG AKAN TERGANTUNG NARKOBA DENGAN MENGGUNAKAN RESPONDENT-DRIVEN SAMPEL DIAN NURLITA, RIANTI SETIADI, IDA FITHRIANI PEMODELAN STRUCTURAL EQUATION MODELLING PADA DATA ORDINAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE (WLS) DESI RAHMATINA
viii
412
421
428
437 438
452
472
476
483
499
PENERAPAN PROGRAM GSTAT BERBASIS R UNTUK MODEL SEMIVARIOGRAM DAN METODE ORDINARI KRIGING NANDANG NURMAWAN, KANKAN PARMIKANTI, BUDI NURANI RUCHJANA
511
MENCARI TAKSIRAN TITIK MEAN DARI MODEL SPASIAL HIERARKI BAYES PADA SMALL AREA ESTIMATION KURNIA SUSVITASARI, TITIN SISWANTINING TAKSIRAN TITIK DAN INTERVAL DARI RATA-RATA POPULASI PADA SMALL AREA DENGAN METODE EMPIRICAL BAYES (EB) BERDASARKAN MODEL TINGKAT AREA YUDISTIRA, TITIN SISWANTINING
534
STATISTIKA APLIKASI / ANALISIS DATA PEMODELAN JUMLAH HARI HUJAN PER BULAN DI KABUPATEN INDRAMAYU DENGAN PENDEKATAN ZERO INFLATED MODEL (ZIM) FRITS FAHRIDWS DAMANIK, HERI KUSWANTO KLASIFIKASI GLIOMA OTAK ATAU INFEKSI OTAK MENGGUNAKAN ADABOOST LUTHFIR RAHMAN, ZUHERMAN RUSTAM, JAKUB PANDELAKI PENDUGAAN AREA KECIL TERHADAP DEFISIT KESEMPATAN KERJA PRODUKTIF PADA LEVEL KECAMATAN DI PROVINSI MALUKU DENGAN PENDEKATAN EMPIRICAL BAYES DEDDY ARYANTO, AGNES TUTI RUMIATI PERBANDINGAN ALGORITMA K-MEANS DAN K-MEDOIDS CLUSTERING BERDASARKAN INTERNAL DAN EXTERNAL VALIDATION INDEXES CIKAL LAKSMI SUCI, I GEDE NYOMAN MINDRA JAYA, ANINDYA APRILIANTI PRAVITASARI ANALISIS OPINI MASYARAKAT PADA TWITTER TERKAIT KEBIJAKAN PUBLIK MENGGUNAKAN METODE SVM ADHIMAS YUDHA, MOHAMMAD LUTHFI P. PENERAPAN ALGORITMA K-MEANS UNTUK PEMANTAUAN PRESTASI AKADEMIK MAHASISWA FAKULTAS MIPA UNPAD AKMAL, RUDI ROSADI
550 551
ix
542
564
569
578
589
595
MODUL DEDEKIND FINITE SAMSUL ARIFIN1 1
STKIP Surya, Tangerang,
[email protected]
Abstrak. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai karakteristik dari modul Dedekind finite, motivasi dan sifat-sifatnya. Akan dibahas juga mengenai sifat-sifat dari ring Dedekind finite, dan tidak lupa akan dikaji juga kaitan antara keduanya. Kata kunci : Dedekind finite, stably finite, Hopfian, co-Hopfian
1. Pendahuluan Suatu ring unital R disebut ring Dedekind (von Neumann) finite jika untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 berlaku 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1 ⟹ 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan bahwa R adalah ring Dedekind finite jika a adalah elemen invertible kiri atau kanan, maka a adalah elemen invertible. Dalam [1] dijelaskan bahwa contoh ring Dedekind finite adalah ring Artinian, ring Noetherian dan ring komutatif. Misalkan R adalah ring unital dan M adalah R-modul. M disebut modul Dedekind finite jika untuk suatu R-modul N berlaku 𝑀𝑀 ≅ 𝑀𝑀⨁𝑁𝑁 ⟹ 𝑁𝑁 = 0. Dari sini bisa diperoleh bahwa M adalah modul Dedekind finite jika dan hanya jika M tidak isomorfis dengan sebarang direct summand sejati dari dirinya sendiri. Perhatikan bahwa jika 𝑓𝑓, 𝑔𝑔 ∈ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑀𝑀) dan fg=1, maka f adalah epimorfisma dan g adalah monomorfisma, sehingga untuk menunjukkan bahwa M adalah modul Dedekind finite maka cukup ditunjukkan bahwa f adalah monomorfisma dan g adalah epimorfisma. Berdasarkan definisi, suatu modul Dedekind finite adalah modul yang setiap endomorfisma kiri atau kanannya adalah ring invertible. Dari sini diperoleh bahwa untuk setiap endomorfisma yang injektif atau surjektif pasti invertible. Hal ini akan mengantarkan kepada definisi modul co-Hopfian dan Hopfian bertututturut.
2. Ring Dedekind Finite Dalam tulisan ini, R menotasikan suatu ring unital. Dalam [1] dijelaskan bahwa ring Dedekind finite tertutup terhadap hasil kali langsung, jumlahan langsung berhingga dan ring bagian (unital), tetapi tidak tertutup terhadap bayangan homomorfisma.
36
Definisi 2.1. Ring R dikatakan ring Dedekind (derectly atau von Neumann) finite jika xy = 1 maka yx = 1 untuk setiap x, y ∈ R .
Definisi tersebut mengatakan bahwa pada ring Dedekind finite R, untuk setiap x ∈ R jika elemen x invertible kanan maka elemen x juga invertible kiri. Selanjutnya akan diberikan contoh ring-ring Dedekind finite sebagai berikut. Contoh 2.2. 1)
Daerah integral R yang tidak komutatif atau divison ring adalah ring Dedekind finite. Perhatikan bahwa untuk sebarang a, b ∈ R dengan ab=1, karena a ≠ 0 bukan pembagi nol kiri, maka berlaku a ( ab − ba ) =0 ⇒ ba =ab =1 , dan
b≠0
karena
bukan
pembagi
nol
kanan,
maka
berlaku
( ab − ba ) b =0 ⇒ ba =ab =1 . 2)
Ring komutatif adalah ring Dedekind finite, karena untuk sebarang x, y ∈ R
= xy = 1. dengan xy = 1 berlaku yx 3)
Setiap ring regular R dengan elemen unit adalah ring Dedekind finite. Perhatikan bahwa untuk sebarang a ∈ R dapat ditulis dalam bentuk a = aua untuk suatu unit u ∈ R , sehingga jika ab = 1 maka dapat diperoleh
= 1 ab =
b ( aua )=
−1 a u= u, au ( ab= ) au . Dari sini diperoleh bahwa =
sehingga ba = bu = 1 . Terbukti bahwa R adalah ring Dedekind finite. 4)
Diberikan
Z -modul
A = Z × Z × Z × ...
dan
R = End ( A ) . Misalkan
ϕ ,ψ ∈ R dengan definisi ϕ ( a1 , a2 , a3 ,...) = ( a2 , a3 ,...) , ψ ( a1 , a2 , a3 ,...) = ( 0, a1 , a2 , a3 ,...) Perhatikan bahwa ϕψ ∈ R adalah elemen identitas dan ψϕ ∈ R bukan elemen identitas karena:
(ϕ ψ )( a1 , a2 , a3 ,...) = ( a1 , a2 , a3 ,...) (ψ ϕ )( a1 , a2 , a3 ,...) = ( 0, a2 , a3 ,...)
Dengan kata lain, ϕψ = 1R tetapi ψϕ ≠ 1R yang artinya bahwa R bukan ring Dedekind finite. Dalam [2] dijelaskan sifat Dedekind finite pada ring-ring R [ x ] dan
R [ x ] jika diketahui bahwa R adalah ring Dedekind finite, yaitu sebagai berikut.
37
Proposisi 2.3. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (1) R adalah ring Dedekind finite.
(2) R [ x ] adalah ring Dedekind finite. (3) R [ x ] adalah ring Dedekind finite.
Berikut merupakan akibat dari proposisi di atas, yaitu kaitan antara sifat Dedekind finite suatu ring dengan image homomorfiknya.
Akibat 2.4. Ring Dedekind finite tidak tertutup pada image homomorfiknya. BUKTI: Misalkan R adalah ring yang tidak memiliki pembagi nol dan R [ x, y ] adalah ring polynomial atas ring R dengan indeterminate tidak komutatif x dan y. Perhatikan bahwa jika I adalah ideal di ring R [ x, y ] yang dibangun oleh xy − 1 , maka x + I invertible kanan tetapi tidak invertible kiri di ring R / I . Dengan demikian terbukti bahwa ring Dedekind finite tidak tertutup pada image homomorfiknya. Selanjutnya, untuk suatu ideal I di ring R, jika ring R adalah ring Dedekind finite maka belum tentu ring R I adalah ring Dedekind finite. Berikut adalah syarat bagi idealnya agar hal tersebut berlaku, yang dijelaskan dalam teorema di bawah ini.
Teorema 2.5. Diberikan ideal nilpoten I dalam suatu ring R. R adalah ring Dedekind finite jika dan hanya jika R / I adalah ring Dedekind finite
BUKTI:
(⇒) :
Diketahui R adalah ring Dedekind finite. Untuk sebarang
a, b ∈ R / I dengan a.b = 1 berlaku ( a + I )( b + I ) = ab + I = 1 + I ∈ R / I . Dari sini diperoleh ab ∈1 + I ⊆ U ( R ) . Karena R adalah ring Dedekind finite maka a invertible kiri (dan lebih lanjut invertible), sehingga ( a + I ) ∈ R / I juga invertible kiri (dan lebih lanjut invertible). Terbukti bahwa R / I adalah ring Dedekind finite.
( ⇐) :
Diketahui R / I adalah ring Dedekind finite. Untuk sebarang a, b ∈ R
dengan ab = 1 berlaku:
( a + I )( b + I ) = ab + I =1 + I =ba + I =( b + I )( a + I ) , Dari sini diperoleh ba ∈ U ( R ) , yang artinya a invertible kiri (dan lebih lanjut invertible). Terbukti bahwa R adalah ring Dedekind finite.
38
Berikut akan dijelaskan tentang ring stabil berhingga, dimana contoh ringnya juga merupakan ring Dedekind finite dan memiliki kaitan erat dengan ring Dedekind finite. Definisi 2.6. Ring R dikatakan ring yang stabil berhingga jika M n ( R ) adalah ring Dedekind finite untuk setiap n ∈ Z + .
Sifat-sifat dari ring stabil berhingga tertuang dalam proposisi di bawah ini, dimana suatu ring stabil berhingga R dapat dilihat dari sisi jumlahan langsung Rmodul bebasnya dengan R-modul lain, epimorfisma R-modul bebas ke dirinya sendiri dan sifat Dedekind finite.
Proposisi 2.7. Pernyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen: (i)
Ring R adalah ring stabil berhingga.
(ii)
Untuk setiap n ∈ Z + , jika R n ≅ R n ⊕ K sebagai R-modul kanan maka K = 0.
(iii)
Untuk setiap n ∈ Z + , setiap epimorfisma R n → R n adalah isomorfisma.
(iv)
End ( RR ) adalah ring Dedekind finite.
BUKTI: ( i ) ⇒ ( ii ) : Diketahui ring R memenuhi sifat stabil berhingga. Diambil
n ∈ Z + dengan R n ≅ R n ⊕ K sebagai R-modul kanan. Karena R n ≅ R n ⊕ K maka ada isomorfisma modul f : R n → R n ⊕ K dengan matriks representasi [ f ] ∈ M m×n ( R ) dan m= n + x untuk setiap m dimensi dari R n ⊕ K sebarang
dan x dimensi dari K. Selanjutnya ada g : R n ⊕ K → R n dengan matriks
[ g ] ∈ M nxm ( R ) sedemikian hingga Akibatnya diperoleh [ f ][ g ] = I m dan [ g ][ f = ]
representasi
f o g = 1Rm dan g o f = 1Rn .
I n ∈ M n ( R ) . Berdasarkan (i),
M n ( R ) adalah ring Dedekind finite sehingga karena maka
[ f ][ g=]
berlaku
In ∈ M n ( R ) .
Im ∈ M m ( R ) , m = n + x atau = I f ][ g ] [ f ][ g ] = [= m
[ g ][ f =]
Di
In ∈ M n ( R )
lain
pihak
I n , sehingga akibatnya
diperoleh x = 0 atau K = 0 .
( ii ) ⇒ ( iii ) : Diambil sebarang
n n n ∈ Z + dan epimorfisma f : R → R . Karena
R n adalah R-modul bebas, maka f split, akibatnya dapat dibentuk barisan i
f
0 → Ker ( f ) → R n → R n → 0
dengan
39
n R= R n ⊕ Ker ( f )
,
sehingga
Ker ( f ) = 0
berdasarkan (ii) diperoleh yang artinya f injektif. Karena f surjektif dan injektif sekaligus, maka f adalah isomorfisma.
( iii ) ⇒ ( i ) :
Diambil sebarang n ∈ Z + dan X , Y ∈ M n ( R ) dengan XY = I n .
Akibatnya
diperoleh
g
f
Rn → Rn → Rn
dengan
matriks-matriks
representasi
epi
X= [ g ] ∈ M n ( R ) . Karena f adalah epimorfisma, maka [ f ]∈ M n ( R), Y = berdasarkan (iii) f adalah isomorfisma, yang artinya ada Z ∈ M n ( R ) dengan
ZX = I n . Perhatikan bahwa dengan mengalikan Z dari kiri pada persamaan XY = I n diperoleh:
Z ( XY ) = ZI n ⇔ ( ZX ) Y = Z ⇔ I nY = Z ⇔ Y = Z Dengan demikian diperoleh YX = I n yang artinya M n ( R ) ring Dedekind finite atau ring R stabil berhingga.
( iii ) ⇒ ( iv ) :
Diketahui untuk setiap n ∈ Z + ,
setiap epimorfisma R n → R n
adalah isomorfisma. Diambil sebarang a, b ∈ End ( RR ) dengan ab = 1End ( RR ) . Akibatnya diperoleh bahwa a surjektif, dan berdasarkan ( iii ) diperoleh bahwa a
adalah isomorfisma, sehingga terdapat
c ∈ End ( RR )
sedemikian hingga
ca = 1End ( RR ) . Perhatikan bahwa: c ( ab ) = c1 ⇔ ( ca ) b = c ⇔ 1b = c ⇔ b = c , sehingga dapat diperoleh ba = 1 , dan terbukti bahwa End ( RR )
adalah ring
Dedekind finite.
( iv ) ⇒ ( iii ) : Diketahui
End ( RR ) adalah ring Dedekind finite. Diambil sebarang
n ∈ Z + dan epimorfisma f : R n → R n . Karena R n adalah R-modul bebas maka f split. Jadi, terdapat g : R n → R n dengan f g = 1Rn . Dari sini sudah bisa dikatakan bahwa f , g ∈ E , dan berdasarkan (iv), dapat diperoleh g f = 1Rn . Dengan demikian terbukti bahwa f adalah suatu isomorfosma. Lemma berikut menjelaskan bahwa R ≅ End ( RR ) , yang akan digunakan dalam mengetahui kaitan antara ring stabil berhingga dan ring Dedekind finite. Lemma 2.8. Untuk suatu ring R, berlaku R ≅ End ( RR ) .
40
BUKTI: Perhatikan bahwa terdapat α : R → End ( RR ) dengan r α ( r ) = f r untuk setiap r ∈ R dan
( ∀x ∈ R ) , f r ( x ) =rx ,
dapat ditunjukkan bahwa α
tersebut adalah suatu isomorfisma. Dengan menggunakan lemma di atas, maka akan diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 2.9. Ring R adalah ring stabil berhingga jika dan hanya jika ring R adalah ring Dedekind finite.
Dengan demikian setiap ring stabil berhingga adalah ring Dedekind finite, dan sebaliknya. Berikut merupakan contoh ring-ring yang memenuhi stabil berhingga. Contoh 2.10. Dalam [1] dijelaskan bahwa ring noether merupakan ring stabil berhingga, yang artinya juga merupakan ring Dedekind finite. Skema pembuktiannya adalah sebagai berikut:
R noetherian
(R )
⇓
n
R
noetherian ⇓
setiap epimorfisma f : R → R n adalah isomorfisma n
R stabil berhingga ⇓ R Dedekind finite
Kemudian, akan dijelaskan kaitan antara ring Dedekind finite dengan suatu ring matriks triangular formal. Namun sebelumnya akan dijelaskan proses konstruksi dari ring matriks triangular formal terlebih dadulu. Perhatikan bahwa dari suatu
ring A, B, dan ( A, B ) -bimodul M dapat dibentuk ring:
A T = M
0 a 0 = | a ∈ A, b ∈ B, m ∈ M B m b
yang disebut ring matriks triangular formal. Operasi penjumlahan dan pergandaan
A M tersebut didefinisikan sebagai berikut: 0 B
pada ring T =
41
0 a 0 a ' 0 a + a ' + = m b m ' b ' m + m ' b + b ' 0 a 0 a ' 0 aa ' b) = m b m ' b ' ma '+ bm ' bb '
a)
a 0 a ' 0 , ∈T . m b m ' b '
untuk setiap
Kemudian jika diberikan ring-ring A dan B, suatu grup abelian M disebut ( A, B ) − bimodul, dinotasikan
A
M B , jika M adalah A-modul kiri dan B-modul kanan serta
berlaku ( am ) b = a ( mb ) untuk setiap a ∈ A, m ∈ M , dan b ∈ B .
Berikut adalah kaitan antara ring Dedekind finite dan ring matriks triangular formal. Berdasarkan Akibat 2.9 di atas, maka proposisi dalam [1] akan menjadi sebagai berikut:
Akibat 2.11. Diberikan ring-ring A, B dan suatu bimodul
A
A M MB . 0 B
adalah ring Dedekind finite jika dan hanya jika A dan B adalah ring Dedekind finite. Modul Co-Hopfian (Lemah) dan Modul Dedekind Finite Sebelum dijelaskan tentang modul Dedekind finite, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai modul co-Hopfian (lemah) dimana struktur modul coHopfian (lemah) lebih kuat daripada modul Dedekind finite.
Definisi 3.1. (Modul co-Hopfian (Lemah)) Diberikan ring R dan M R adalah modul kanan. M disebut modul co-Hopfian jika sebarang endomorfisma injektif dari M (sebarang R-monomorfisma ϕ : M → M ) adalah suatu isomorfisma, dan M disebut modul co-Hopfian lemah jika sebarang endomorfisma injektif f dari M adalah essensial, yaitu berlaku f ( M ) ⊆ e M .
Contoh 3.2. Setiap modul artinian 𝑀𝑀𝑅𝑅 adalah modul co-Hopfian. Perhatikan bahwa untuk sebarang R-monomorfisma ϕ : M → M , jika diasumsikan pada saat
ϕ ( M ) ⊆ M , karena
ϕ
adalah
suatu
monomorfisma,
maka
berlaku
ϕ 2 ( M ) ⊆ ϕ ( M ) . Dengan mengulang proses ini, dapat dilihat bahwa
42
ϕ n +1 ( M ) ⊆ ϕ n ( M ) untuk setiap n. Oleh karena itu, dapat ditemukan suatu rantai turun yang tidak berhenti:
M ⊇ ϕ ( M ) ⊇ ϕ 2 ( M ) ⊇ ϕ 3 ( M ) ⊇ ..., Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa M adalah modul artinian. Dengan demikian terbukti bahwa setiap modul artinian adalah modul co-Hopfian.
Kemudian, dalam [3] dijelaskan bahwa definisi modul co-Hopfian lemah bisa dinyatakan dalam enam kalimat, yaitu sebagai berikut.
Teorema 3.3. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen untuk suatu R-modul kanan M: (1) M R adalah modul co-Hopfian lemah. (2) Untuk sebarang R-modul kanan N, jika ada R-monomorfisma M ⊕ N → M maka N = 0. (2’) Untuk sebarang R-modul kanan N, jika M ⊕ N → M monomorfisma essensial maka N = 0.
adalah
(3) M adalah modul Dedekind finite dan image dari sebarang endomorfisma injektif dari M adalah essensial atau direct summand sejati. (4) Terdapat suatu submodul essensial invariant penuh yang bersifat co-Hopfian lemah. (5) Endomorfisma injektif dari M R memetakan submodul-submodul essesnsial ke submodul-submodul essensial. (6) Image inverse dari sebarang submodul tak nol dari sebarang endomorfisma injektif dari M adalah tak nol.
Berikut adalah sifat-sifat dari modul co-Hopfian lemah, yang merupakan akibat dari teorema di atas:
Akibat 3.4. Suatu direct summand dari modul co-Hopfian lemah juga merupakan modul co-Hopfian lemah.
Berikut adalah sifat-sifat modul co-Hopfian:
Proposisi 3.5. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: a) Jika M R adalah modul kanan dengan sebarang submodul co-Hopfian lemah, maka M adalah modul co-Hopfian lemah.
43
b) Diberikan N adalah submodul invariant penuh yang co-Hopfian di modul kanan M R . Jika M
N adalah modul co-Hopfian (lemah) maka M modul co-
Hopfian (lemah). c) Jika submodul-submodul nonessensial di M R adalah submodul Noetherian, maka M adalah modul co-Hopfian lemah.
Berikut adalah akibat dari proposisi di atas:
Akibat 3.6. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: a) Suatu modul semisederhana M adalah modul co-Hopfian lemah jika dan hanya jika sebarang komponen homogen di M dibangun secara berhingga. b) Jika M adalah modul Hopfian dan bersifat kondisi rantai turun, maka submodul-submodulnya adalah co-Hopfian. c) Jika M memiliki sifat kondisi rantai turun pada submodul-submodul non-coHopfiannya, maka M adalah modul co-Hopfian.
Setelah dijelaskan tentang modul co-Hopfian (lemah), berikut akan dijelaskan mengenai modul Dedekind finite, dimana antara modul co-Hopfian (lemah) dan modul Dedekind finite memiliki kaitan erat. Dalam [4], definisi modul Dedekind finite adalah sebagai berikut. Definisi 3.7. Diberikan M adalah R-modul kanan. 𝑀𝑀𝑅𝑅 adalah modul Dedekind finite jika untuk suatu R-modul N berlaku 𝑀𝑀 ≅ 𝑀𝑀⨁𝑁𝑁 ⟹ 𝑁𝑁 = 0. Contoh 3.8. (1) Jika 𝐺𝐺 = 𝐴𝐴⨁𝐵𝐵 dengan Hom(A,B)=0, maka G adalah ring Dedekind finite jika dan hanya jika A dan B ring Dedekind finite. (2) Jika M bukan ring Dedekind finite, maka M memuat suatu tak berhingga direct sum ⊕𝑛𝑛∈ℕ 𝑁𝑁𝑛𝑛 dengan 𝑁𝑁𝑛𝑛 ≅ 𝑁𝑁. (3) Dalam [4, Ex. 1.18] dijelaskan bahwa terdapat ring Dedekind finite R tetapi ring matriks 2x2 atas R bukan ring Dedekind finite, sehingga R-modul 𝑅𝑅⨁𝑅𝑅 bukan modul Dedekind finite. Salah satu karakteristik modul Dedekind finite adalah sebagai berikut, yaitu modul Dedekind finite bisa dipandang dari sisi ring endomorfismanya.
Proposisi 3.9. Diberikan M adalah R-modul. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:
44
(1) M adalah modul Dedekind finite. (2) End(𝑀𝑀𝑅𝑅 ) adalah ring Dedekind finite. BUKTI: (1) ⇒ ( 2 ) Diketahui M adalah modul Dedekind finite. Diambil sebarang
a, b ∈ End ( M R ) dengan ab = 1 . Karena untuk b : M → bM berlaku
( bm = 0 ) ⇒ ( 0 = a ( bm ) = ( ab ) m = 1.m = m ) , maka fungsi b adalah suatu isomorfisma. Perhatikan bahwa karena M adalah modul Dedekind finite, maka berlaku M = bM ⊕ Ker ( a ) ⇒ Ker ( a ) = 0 , yang artinya a adalah fungsi injektif. Karena jelas bahwa a adalah fungsi surjektif maka diperoleh a ∈ U ( E ) . Dari sini dapat diperoleh ba = 1 , yang artinya End ( M R ) adalah ring Dedekind finite.
( 2 ) ⇒ (1)
Akan dibuktikan dengan kontraposisinya. Misalkan M R bukan modul
= M0 + N , N ≠ 0 Dedekind finite, maka akan diperoleh suatu dekomposisi M
dan terdapat suatu isomorfisma π : M → M 0 . Diambil sebarang b ∈ End ( M R ) yang merupakan komposisi dari fungsi π dengan pemetaan inklusi M 0 ⊆ M , dan
misalkan a ∈ End ( M R ) didefinisikan dengan a N ≡ 0 dan a M 0 ≡ π −1 , maka
diperoleh bahwa ab = 1 , tetapi ba ≠ 1 karena ba ( N ) = 0 , yang artinya
End ( M R ) bukan ring Dedekind finite. Dengan demikian terbukti bahwa jika End ( M R ) adalah ring Dedekind finite, maka M adalah modul Dedekind finite.
Karakteristik lain dari modul Dedekind finite adalah sebagai berikut, yaitu kaitan antara modul Dedekind finite dengan modul Hopfian.
Proposisi 3.10. Diberikan M adalah R-modul proyektif (setiap R-epimorfisma M → M split). Hal-hal berikut ekuivalen: (1) M adalah modul Dedekind finite. (2) M adalah modul Hopfian (sebarang fungsi surjektif a ∈ End ( M R ) adalah fungsi bijektif). BUKTI: (1) ⇒ ( 2 ) Diketahui M adalah R-modul proyektif dan modul Dedekind finite. Untuk sebarang fungsi surjektif a : M → M dan jika fungsi b adalah sebarang fungsi balikan (splitting) dari fungsi f, berlaku = M Ker ( a ) ⊕ Im ( b ) dan Im ( b ) ≅ M . Karena M adalah modul Dedekind finite, maka Ker ( a ) = 0 ,
45
yang artinya f adalah fungsi injektif. Terbukti bahwa sebarang fungsi surjektif f ∈ End ( M R ) adalah fungsi bijektif.
( 2 ) ⇒ (1)
Akan dibuktikan dengan kontraposisinya. Misalkan M bukan modul
Dedekind finite, maka berdasarkan pembuktian pada Proposisi di atas dapat diperoleh suatu fungsi surjektif a : M → M yang bukan merupakan fungsi bijektif (karena a ( N ) = 0 ). Dengan mengambil kasus khusus M = RR dan End ( RR ) ≅ R , maka
akan
berakibat sebagai berikut, yang merupakan kaitan antara ring Dedekind finite dengan modul Dedekind finite. Akibat 3.11. R adalah ring Dedekind finite jika dan hanya jika 𝑅𝑅𝑅𝑅 adalah modul Dedekind finite. Berdasarkan Proposisi 2.7 dan Akibat 3.11 di atas, maka akan diperoleh akibat sebagai berikut, yaitu kaitan antara ring stabil berhingga, modul Dedekind finite, modul Hopfian dan ring Dedekind finite. Hal ini menarik sekali untuk disimak. Akibat 3.12. Untuk setiap n < ∞ , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (1) R adalah ring stabil berhingga. n
(2) RR adalah modul Dedekind finite. n
(3) RR adalah modul Hopfian. (4) R adalah ring Dedekind finite.
Perhatikan bahwa setiap modul Hopfian atau co-Hopfian adalah modul Dedekind finite, yang tertuang dalam proposisi berikut.
Proposisi 3.13. Jika R-modul Hopfian atau co-Hopfian, maka M adalah modul Dedekind finite. BUKTI: Diandaikan M bukan modul Dedekind finite, maka M memiliki summand isomrfis sejati N. Jika M adalah modul Hopfian, maka proyeksi kanonik dari M ke N, dikomposisikan dengan suatu isomorfisma dari N ke M adalah suatu epimorfisma di ring End ( M ) yang memuat suatu kernel nontrivial. Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa M adalah modul Hopfian, sehingga pengandaian harus diubah.
46
Jika M adalah modul co-Hopfian, maka sebarang isomorfisma dari M ke N adalah suatu monomorfisma di ring End ( M ) yang bukan merupakan fungsi surjektif. Hal ini kontradiksi lagi dengan fakta bahwa M adalah modul co-Hopfian, sehingga pengandaian harus diubah.
Proposisi berikut menjelaskan kaitan antara modul co-Hopfian (lemah) dan modul Dedekind finite, yaitu sebagai berikut.
Proposisi 3.14. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (1) Untuk suatu R-modul M berlaku: M co-Hopfian ⇒ M co-Hopfian lemah ⇒ M Dedekind finite. (2) Jika M adalah modul quasi-injektif, maka berlaku: a) M co-Hopfian ⇔ M co-Hopfian lemah ⇔ M Dedekind finite. b) Jika M adalah modul co-Hopfian lemah maka sebarang submodul dan sebarang direct sum berhingga yang memuat M adalah modul co-Hopfian lemah. c) Jika N adalah submodul essensial invariant penuh, maka berlaku: N co-Hopfian ⇔ M co-Hopfian ⇔ E ( M ) co-Hopfian
Dalam [2] dijelaskan juga karakteristik modul Dedekind finite, yaitu sebagai berikut.
Proposisi 3.15. Diberikan M adalah R-modul. (1) Terdapat suatu monomorfisma 𝑓𝑓 ∈ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑀𝑀) dengan Im(f) suatu direct summand sejati jika dan hanya jika terdapat suatu epimorfisma 𝑔𝑔 ∈ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑀𝑀) dengan Ker(g) suatu direct summand sejati. (2) Jika M adalah modul Dedekind finite, maka sebarang direct summand dari M juga modul Dedekind finite. (3) Jika M adalah direct sum dari tak berhingga banyak module tak nol, maka M bukan modul Dedekind finite. (4) Jika 𝑓𝑓 ∈ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑀𝑀) adalah suatu monomorfisma dari M ke suatu direct summand dan N adalah submodul invariant penuh dari M, maka 𝑓𝑓(𝑁𝑁) = 𝑁𝑁. (5) Jika N adalah submodul invariant penuh dari M dengan N dan 𝑀𝑀/𝑁𝑁 adalah modul Dedekind finite, maka M adalah modul Dedekind finite. (6) Diberikan M adalah direct sum dari submodul- submodul invariant penuh 𝑁𝑁𝑖𝑖 . M adalah modul Dedekind finite jika dan hanya jika setiap 𝑁𝑁𝑖𝑖 adalah modul Dedekind finite.
47
(7) Diberikan M adalah product dari (tak berhingga banyak) submodulsubmodul invariant penuh 𝑁𝑁𝑖𝑖 . M adalah modul Dedekind finite jika dan hanya jika setiap 𝑁𝑁𝑖𝑖 adalah modul Dedekind finite. Referensi [1] Arifin, S., Characteristic of IBN, Rank Condition and Stably Finite Rings, Proc. Of The Seams-GMU Conference 6 (2011), 223-232. [2] Breaz, S., Calugareanu, G., and Schultz, P., Modules With Dedekind Finite Endomorphism Rings, Mathematica (2011), 15-28. [3] Haghany, A., Vedadi, M.R., Modules whose Injective Endomorphisms Are Essential, Journal of Algebra 243 (2001), 765-779 [4] Lam, T. Y., 2007, Exercises in Modules and Rings, Springer Verlag, New York. [5] Lam, T. Y., 1999, Lectures On Modules And Rings, Springer Verlag, New York. [6] Vedadi, M.R., Strong Stably Finite Rings and Some Extensions, Acta Math. Univ. Comenianae 1 (2009), 137-144.
48
DAFTAR PANITIA SNM 2014 PELINDUNG 1. Prof. Dr. Ir. Muhammad Anis, M.Met. (Pj. Rektor Universitas Indonesia). 2. Dr. rer. nat. Abdul Haris (Dekan FMIPA Universitas Indonesia). KOMISI PENGARAH 1. Dr. Dian Lestari (Plh. Ketua Departemen Matematika, FMIPA Universitas Indonesia). 2. Prof. Dr. A.K. Supriatna (Ketua Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran). PANITIA PELAKSANA Ketua Sekretaris Bendahara Pendanaan
: : : :
Acara
:
Konsumsi
:
Pendaftaran & Makalah
:
Seleksi Makalah
:
Perlengkapan
:
Publikasi & Dokumentasi :
Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. Dr. Hengki Tasman. Dra. Siti Aminah, M.Kom. Dra. Saskya Mary, M.Si., Dr. Suryadi, M.T., Helen Burhan, M.Si. Bevina Handari, Ph.D., Dra. Nora Hariadi, M.Si., Rahmi Rusin, M.Sc.Tech. Mila Novita, M.Si., Santy, S.I.P., Fia, Juriah. Dr. rer. nat Hendri Murfi, Alhadi Bustamam, Ph.D., Dr. Yekti Widyaningsih Prof. Dr. Djati Kerami, Prof. Dr. Belawati Widjaja, Dr. Dian Lestari, Dr. Sri Mardiyati, Dr. Kiki Ariyanti, Dr. Yudi Satria, Dr. Zuherman Rustam, Dr. Al Haji Akbar. Ari Wibowo, M.Si., Turino, Irwan, Anshori. Dra. Siti Nurrohmah, M.Si., Dhian Widya, M.Kom.
171 603
Disponsori oleh: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
PT Asuransi Jiwasraya (Persero) Universitas Gunadarma AJB Bumiputera 1912 Sekolah Tinggi Sandi Negara LN Consulting Global Networking IndoMS (The Indonesian Mathematical Society) PUSMAKA (Pusat Studi Matematika, Komputasi dan Analisis Data)
ISSN : 1907 - 2562
