Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky
ZÁVĚREČNÁ PRÁCE
Projekty do předmětu MF
Vypracoval: E-mail: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí předmětu: Termín odevzdání práce:
Miroslav Mlynář
[email protected] B1701 Fyzika Obecná fyzika a matematická fyzika prof. RNDr. Jiří Bajer, CSc. květen 2012
Obsah Úvod
3
1 Gravitační vlny 1.1 Rychlost šíření gravitační vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Polarizace gravitační vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Typ gravitační vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 5 6
2 Metoda zrcadlového náboje 2.1 Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku 2.2 Elektrostatické pole disku a bodového náboje . . . . . . . . . . . . . .
8 8 11
3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé 3.1 Cesta k pohybovým rovnicím . . . . . . . . 3.2 Průběh efektivního potenciálu volné částice . 3.3 Průběh efektivního potenciálu fotonu . . . . 3.4 Pohybová rovnice volné částice . . . . . . . 3.5 Pohybová rovnice fotonu . . . . . . . . . . .
13 13 13 15 16 18
díry . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Závěr
20
Literatura
21
2
Úvod Cílem předmětu bylo vypracovat tři projekty z oblasti matematické fyziky, podle vlastního návrhu, nebo podle návrhu vedoucího předmětu. V minimálně v jeden případ zpracovat na počítači. První část se zabývá gravitačními vlnami v plochém prostoročase. Druhá elektrostatickým polem generovaným bodovým nábojem a vodivým diskem s využitím metody zrcadlového náboje. Třetí část je věnována pohybu částic a světelných paprsků v okolí černé díry popsané Schwarzschildovou metrikou. Obrázky jsou vytvořeny v programu Macromedia Flash MX 2004. Pro počítačové modely byl použit program Wolfram Mathematica 6. Text byl vysázen typografickým softwarem LATEX. Práce byla vypracována na základě znalostí poskytnutých v základním kurzu fyziky a použité literatury.
3
Kapitola 1 Gravitační vlny 1.1
Rychlost šíření gravitační vlny
Do rovnice pro slabou gravitační vlnu dosadíme řešení ve tvaru rovinné monochromatické vlny a ze znalosti tenzorové algebry a de Broglieho vztahu, kde pro jednoduchost volíme ~ = 1, odvodíme rychlost šíření gravitační vlny. hij = η mn hij,mn = 0
(1.1)
Linearizované rovnice gravitačního pole. označujeme D‘alambertův operátor hij velmi malé odchylky od euklidovské geometrie ⇒ Slabá gravitační vlna | hij | 1 η mn kontravariantní složky Minkowského tenzoru ,mn druhé parciální derivace podle m-té a n-té souřadnice Pravá strana rovnice (1.1) je rovna 0 ⇒ Gravitační vlna se šíří vakuem Předpokládáme řešení ve tvaru monochromatické rovinné vlny hij = Hij eikl x
l
(1.2)
Hij amplituda gravitační vlny kl l -tá kovariantní složka vlnového čtyřvektoru xl l -tá složka radiusvektoru Provedeme derivaci (1.2) podle m-té a n-té souřadnice a dosadíme do (1.1) l
η mn Hij km kn eikl x = 0 Platí η mn kn = k m Rovnici (1.3) lze splnit jen pokud km k m = 0 Gravitační vlna se šíří rychlostí světla POZN: km k m = (pm pm ) = 0 Platí pro fotony a ty jak je známo se pohybují rychlostí c Rychlost šíření gravitační vlny je rovna rychlosti světla. 4
(1.3)
1.2
Polarizace gravitační vlny
Složky amplitudy gravitační vlny tvoří symetrický tenzor druhého řádu o deseti složkách. K jejich redukci při zachování měřitelných veličin využijmeme příslušný tvar kalibrační podmínky (1.4). Zbylé složky tenzoru jsou nezávislé a tudíž jim budou odpovídat nezávislé polarizace. H00 H01 H02 H03 H10 H11 H12 H13 Hij = (1.4) H20 H21 H22 H23 H30 H31 H32 H33 Symetrický „tenzorÿ Hij = Hij
(1.5)
10 rovnic Kalibrační podmínka = zjednodušení tvaru rovnic při zachování měřitelných veličin 1 hji ,j = hkk ,i 2 Tato podmínka vede po dosazení na tvar 1 Hij k j = Hkk ki 2
(1.6)
Hkk = −H00 + H11 + H22 + H33
(1.7)
Mějme vlnu, která se šíří ve směru osy x1 ω 1 1 0 0 ki = c a ω −1 1 0 0 ki = c Do rovnice (1.6) dosadíme (1.4), (1.8) a (1.9)
(1.8) (1.9)
H10 = − 12 (H00 + H11 ) H21 = −H20 H21 = −H30 Pak z rovnice (1.5) plyne
• • Hij = • •
• • • • • • • H22 H23 • H32 H33
Čtyři komponenty kalibrační podmínky neodstraní Z rovnice (1.5) víme H23 = H32
(1.10)
a z rovnice (1.7) dostaneme H22 = −H33 Dvě nezávislé složky amplitudy ⇒ Dvě nezávislé polarizace gravitační vlny NAPŘ: H22 6= 0,H23 = 0; H22 = 0,H23 6= 0
(1.11)
1.3
Typ gravitační vlny
Předpokládáme slabou gravitační vlnu šířící se ve směru osy x1 . Ve dvou případech sledujeme jak se mění prostorová vzdálenost bodů A a B při průchodu gravitační vlny. V prvním případě se body A a B nalézají přímo na ose x1 . V Druhém případě se nalézají na ose x2 , která je na osu x1 kolmá.
Obrázek 1.1: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x1 (4s)2 = (ηij + hij )(xi(A) − xi(B) )(xj(A) − xj(B) ) (4s)2 čtverec prostorové vzdálenosti bodů A a B ηij kovariantní složky Minkowského tenzoru (xi(A) − xi(B) ) = ni (xj(A) − xj(B) ) = nj Pro náš případ ni = nj = 0 l 0 0
(1.12)
(1.13)
Do rovnice (1.12) dosadíme (1.13) a (1.2) za předpokladu (1.10) a (1.11) (4s)2 = l2 Po odmocnění vidíme, že nedošlo k žádné změně vzdáleností mezi body A a B ⇒ nejedná se tedy o vlnu podélnou, jelikož ta by vzdálenosti bodů ovlivnila.
Obrázek 1.2: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x2 Opakujeme předešlý postup s tím rozdílem, že ni = nj =
0 0 l 0
(4s)2 = (1 + h22 )l2 Došlo ke změně vzdáleností bodů A a B ⇒ Gravitační vlna je vlnou příčnou
Kapitola 2 Metoda zrcadlového náboje Máme uzemněný vodivý disk o poloměru R kolmý na osu z, ve vzdálenosti a umístíme náboj Q. Úlohy tohoto typu se řeší metodou zrcadlového náboje, kdy předpokládáme fiktivní náboj −Q umístěný na záporné části osy z ve vzdálenosti a . Vypočteme potenciál disku v obecném bodě, z -ovou složku intenzity elektrického pole vstupující do disku(ta je postačující k dalším výpočtům), povrchovou hustotu náboje a indukovaný náboj. A zobrazíme průběh hustoty elektrického náboje v závislosti na poloměru disku. Dále uvažujeme nekonečnou rovinu kolmou na osuz s vyříznutým diskovým otvorem o poloměru R, jehož střed splývá s osou z. Dojdeme k závěru, že náboj indukovaný na rovině je roven náboji Q, který je zmenšený o náboj, který by se indukoval na disku o poloměru R. Tedy součet náboje indukovaného na disku a rovině je roven Q, což je intuitivní. Další část je věnována studiu elektrostatického pole disku a náboje. Výpočet potenciálu elektrostatického pole v obecném bodě je v případě nehomogenního rozložení hustoty náboje na disku velmi složité. Volíme proto případ kdy počítáme pouze intenzitu na ose z.
2.1
Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku
Obrázek 2.1: Metoda zrcadlového náboje a disk Problém vykazuje válcovou symetrii ⇒ Válcová soustava souřadnic a vzdálenost náboje Q od disku Q reálný náboj −Q fiktivní náboj 8
r, α, z
R poloměr uzemněného disku Průvodiče
Obrázek 2.2: K výpočtu vzdáleností obecnému bodu r¯1 =
r cos α, r sin α, z − a
r¯1 =
r cos α, r sin α, z + a
Jejich velikost je v u 3 uX p | r¯1 |= t xi = r2 + (z − a) i=1
| r¯1 |=
p r2 + (z + a)
Potenciál elektrostatického pole od náboje Q a −Q v obecném bodě " # n 1 1 1 X Qi Q p −p ϕ= = 4πε0 i=1 ri 4πε0 r2 + (z − a)2 r2 + (z + a)2 Intenzita elektrostatického pole od náboje Q a −Q v obecném bodě n X Q 1 1 Q 1 i r¯i = r¯1 − 3 r¯2 E¯ = 4πε0 i=1 ri3 4πε0 r13 r2 K určení hustoty náboje indukované na povrchu disku nám postačí z -ová komponenta E¯ aQ E¯z = − 3 2πε0 (r2 + a2 ) 2 Z relace σ = ε0 E¯z pak σ=−
aQ 2π(r2
Ze vztahu
3
+ a2 ) 2
Z QI =
σdS S
kde v našem případě dS = rdrdα pak indukovaný náboj na povrchu disku je roven Z R r QI = −aQ 3 dr 2 2 0 (r + a ) 2
Substituce t = r2 + a2 ; dt = 2rdr; dr =
dt 2r
Vede po dosazení na Z Qi = −aQ 0
R
# " √ R 1 1 a − R 2 + a2 √ dt = −aQ √ = −aQ 2t3/2 r 2 + a2 0 a R 2 + a2
PŘÍKLAD: R = 5; a = 1; Q = 1; Plot[ a Q/(2 Pi (r^2 + a^2)^(3/2)), {r, -R, R}, PlotRange -> All, Filling -> Bottom, AxesLabel -> {r, \[Sigma]}]
Obrázek 2.3: Příklad rozložení hustoty elektrického náboje na disku v závislosti na r Qi = N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}]), 9] -0.803883865 Uvažujme ještě případ, kdy máme nekonečnou vodivou rovinu a v ní diskovitý otvor, pak náboj indukovaný na rovině je roven Z ∞ r aQ QI2 = −aQ 3 dr = − √ 2 2 R 2 + a2 R (r + a ) 2 Tedy součet Qi + QI2 = −Q Což intuitivně odpovídá. Pro náš konkrétní případ N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}])+ Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, R, Infinity}]), 9] -1
2.2
Elektrostatické pole disku a bodového náboje
Snaha o výpočet elektrostatického pole disku s nerovnoměrným rozložením plošné hustoty náboje
Obrázek 2.4: K výpočtu potenciálu disku s nehomogenním rozložením plošné hustoty náboje v obecném bodě r¯5 = r cos α, r sin α, z r¯4 = ρ cos θ, ρ sin θ, 0 r¯6 = r¯5 − r¯4 Velikost r¯6 | r¯6 |=
p r2 + ρ2 + z 2 − 2ρr cos (α − θ)
Výpočet potenciálu z plošné hustoty náboje Z 1 σ ϕ= dS 4πε0 S r6 Po dosazení aQ ϕD = − 4πε0
Z 0
2π
Z 0
R
ρ2 1 dρdθ (ρ2 + a2 )3/2 [r2 + ρ2 + z 2 − 2ρr cos (α − θ)]1/2
Neznám metodu, kterou bych tento integrál spočetl + nepomůže ani Mathematica Potenciál disku(D) a bodového náboje(BN) ( ) Z 2π Z R Q 1 ρ2 dρdθ ϕD+BN = − 2 2 3/2 [r 2 + ρ2 + z 2 − 2ρr cos (α − θ)]1/2 4πε0 [r2 + (z − a)]1/2 0 0 (ρ + a ) Další postup by byl výpočet intenzity elektrostatického pole E¯ = −gradϕD+BN
Následné zobrazení intenzity elektrostatického pole v Mathematice. Případné zjednodušení úlohy, kdy uvažujeme pole jen na ose z Z ρ2 aQ R ϕD = − dρ 2ε0 0 (ρ2 + a2 )3/2 (ρ2 + z 2 )1/2 vede tento integrál na eliptické funkce, které úvodní kurzy matematiky na bakalářském studiu neobsahují. Nicméně je možné vypočítat intenzitu pole od disku na ose z ze vztahu dE¯ =
1 dQi r¯6 4πε0 r63
Velikost tomto případě r6 = a Qi = Po dosazení aQ ED = 4πε0
Z 0
p ρ2 + z 2 −aQρ dρ + a2 )3/2
(ρ2
R
ρz ((ρ2
+
a2 )(ρ2
+ z 2 ))3/2
dρ
Po integraci a dosazení mezí p √ aQ z(−a2 − 2R2 − z 2 ) a2 + z 2 − z(−a2 − z 2 ) (a2 + R2 )(z 2 + R2 ) p ED = 4πε0 (a2 − z 2 ) (a2 + R2 )(z 2 + R2 )(a2 + z 2 )
Celková intenzita na ose z je # " p √ z(−a2 − 2R2 − z 2 ) a2 + z 2 − z(−a2 − z 2 ) (a2 + R2 )(z 2 + R2 ) aQ 1 p E= − 4πε0 (r2 + (z + a)2 )3/2 (a2 − z 2 ) (a2 + R2 )(z 2 + R2 )(a2 + z 2 )
Kapitola 3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry S využitím variačního principu v obecné teorii relativity sestavíme pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetříme průběhy potenciálů, zobrazíme je v Mathematice a stanovíme vzdálenosti kruhových orbit. V Mathematice vykreslíme pohyby částic a fotonů pro námi navolené parametry.
3.1
Cesta k pohybovým rovnicím Z
τ2
Ldτ = 0.
δS = δ τ1
S akce L Lagrangian τ vlastní čas částice, v případě fotonu je nutné nahradit jakýmkoli afinním parametrem λ problém vede na Lagrangeovy rovnice 2.druhu " # ∂L ∂L d − =0 i i dτ ∂ dx ∂x dτ kde
r L=
−gij
dxi dxj dτ dτ
Pokud
dL =0 dxi tak existují tzv. cyklické souřadnice a k nim příslušející zobecněné hybnosti pi =
∂L ∂
dxi dτ
následně s využtím gij pi pj = −m2 sestavíme analogii Binetova vzorce
13
(3.1)
3.2
Průběh efektivního potenciálu volné částice
Pracujeme v soustavě jednotek, kde c = G = 1, uvažujeme pohyb v ekvatoriální rovině θ = π/2 dr2 rg 2 + r2 dφ2 dt + ds2 = − 1 − r 1 − rrg vnější Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole rg gravitační poloměr. . .zde je úniková rychlost rovna rychlosti světla r radiální souřadnice Platí ds2 = gij dxi dxj . pak " L=
2 dr2 rg dt2 1 2 dφ 1− − − r r dτ 2 dτ 2 1 − rrg dτ 2
#1/2
Sestavení Lagrangeových rovnic 2. druhu ⇒ cyklické souřadnice t a φ ⇒ dvě zobecněné hybnosti rg dt = E˜ pt = 1 − r dτ E˜ energie vztažená na jednotku hmotnosti pφ = −r2
dφ ˜ =L dτ
˜ moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti L Dosadíme do rovnice (3.1) a upravíme
dr dτ 2
2
˜2 rg L = E˜ 2 − 1 − 1+ 2 r r
! (3.2)
Výraz Uef Uef efektivní potenciál Položme
˜2 L rg 1+ 2 = 1− r r
!
dUef =0 dr
⇒ Hledáme extrémy ˜ 2 rg 3L ˜ 2 rg 2L + + =0 r3 r r4 ⇒ Kvadratickou rovnici pro proměnnou r, jejiž kořeny jsou (po dosazení rg = 2M ) " # r ˜2 L 12M 2 r1,2 = 1± 1− ˜2 2M L −
˜> ⇒L
√ 12M
PŘÍKLAD: V[u_, L_] := -u + L^2 u^2/2 - L^2 u^3 L=5 veff = Plot[V[1/r, L_], {r, 2.5, 80}, AxesLabel -> {"r/M", "V"}, PlotRange -> {{0, 80}, All}, Filling -> Bottom]
Obrázek 3.1: Příklad závislosti efektivního potenciálu volné částice na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima a minima efektivního potenciálu dV[u_, L_]] := -1 + L^2 u - 3 L^2 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex, L] == 0, ex] {{ex -> 0.0464816}, {ex -> 0.286852}} vmin = V[ex /. maxmin[[1]], L] -0.0219855 vmin. . .minimum efektivního potenciálu(stabilní kruhová orbita) vmax = V[ex /. maxmin[[2]], L] 0.151615 vmax. . .maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita)
3.3
Průběh efektivního potenciálu fotonu
Postupujeme obdobně jako u volné částice jen vlastní čas nahradíme afinním parametrem a pravá strana rovnice (3.1) je rovna 0
dr dλ2
2
˜2 L rg = E˜ 2 − 2 1 − r r
Výraz Uef
˜2 L rg = 2 1− r r
Uef efektivní potenciál Položme
dUef =0 dr
⇒ Hledáme extrémy −2r + 3rg = 0 Pak po dosazení za rg = 2M r = 3M PŘÍKLAD: V[u_] := u^2*(1 - 2*u) veff = Plot[V[1/r], {r, 2, 10}, AxesLabel -> {"r/M", "V"}, PlotRange -> {{0, 10}, All}, Filling -> Bottom]
Obrázek 3.2: Příklad závislosti efektivního potenciálu fotonu na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima efektivního potenciálu PŘÍKLAD: dV[u_] := 2 u - 6 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex] == 0, ex] {{ex -> 0.}, {ex -> 0.333333}} vmax = V[ex /. maxmin[[2]]] 0.037037 vmax. . .maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita)
3.4
Pohybová rovnice volné částice
Rovnici (3.2) vynásobíme výrazem
dτ dφ
2 =
r4 ˜2 L
Standardní substitucí r = 1/u pak
du dφ
2
= 2M u3 − u2 +
2M E˜ 2 − 1 u+ ˜2 ˜2 L L
Po derivaci a drobné úpravě d2 u M − 3M u2 + u = 2 ˜2 dφ L PŘÍKLAD E = -0.012 r0 = 20 v0 = -Sqrt[2*E + 1 - (1 - 2/p0)*(1 + L^2/p0^2)] reseni = NDSolve[{rp’’[t] == -1/rp[t]^2 + L^2/rp[t]^3 3*L^2/rp[t]^4, phi’[t] == L/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp’[0] == v0, phi[0] == 0}, {rp, phi}, {t, 0, 5000}] ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*Sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, 5000}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}] E kinetická energie částice(pohyb po elipse)
Obrázek 3.3: Vykreslení příkladu trajektorie volné částice
3.5
Pohybová rovnice fotonu
Obdobně jako u volné částice d2 u − 3M u2 + u = 0 dφ PŘÍKLAD b=12 r0 = v0 = phi0 tm =
50 -Sqrt[1/b^2 - V[1/r0]] = ArcTan[r0, b] 600;
reseni = NDSolve[{rp’’[t] == 1/rp[t]^3 - 3/rp[t]^4, phi’[t] == 1/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp’[0] == v0, phi[0] == phi0}, {rp, phi}, {t, 0, tm}] kr1 = ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*Sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, tm}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}]; kr2 = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]];
kr3 = Graphics[{LightGray, Disk[{0, 0}, 2]}]; Show[{kr1, kr3, kr2}, PlotRange -> All]
Obrázek 3.4: Ohyb fotonu v blízkosti černé díry DALŠÍ PŘÍKLAD b=Sqrt[27] r0 = 3
Obrázek 3.5: Vykreslení příkladu kruhové trajektorie fotonu
Závěr Cílem projektu bylo zpracovat tři úlohy z oblasti matematické fyziky. A minimálně jednu úlohu vyřešit numericky na počítači. První úloha se týká gravitačních vln. Monochromatická rovinná gravitační vlna se šíří rychlostí světla. Vykazuje dva základní módy polarizace. Jedná se o příčnou vlnu. Druhá úloha se věnuje metodě zrcadlového náboje. Vypočetli jsme hustotu indukovaného náboje a zobrazili její průběh v závislosti na r a vypočetli na počítači i „ručněÿ velikost indukovaného náboje. Při výpočtu potenciálu disku a bodového náboje v obecném bodě, následném výpočtu intenzity a případném vykreslení elektrostatického pole jsme narazili na „neřešitelnýÿ integrál. Třetí úloha se zabývá pohybem volných částic a fotonů v okolí černé díry(se Schwarzschildovou metrikou). Odvodili jsem pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetřili jsem průběh efektivních potenciálů. Namodelovali jsem pohyb fotonu a volné částice na počítači.
20
Literatura [1] ČECHOVÁ, M., VYŠÍN, I. Teorie elektromagnetického pole. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, 1998. [2] DVOŘÁK, L. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. Praha: SPN, 1984. [3] HORSKÝ, J., NOVOTNÝ, J., ŠTEFANÍK, M. Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, 2002. ISBN 80-200-0208-1. [4] KUCHAŘ, K. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia, 1968.
21
