Projektování dílčích výstupů a učiva v práci učitele matematiky

Projektování dílčích výstupů a učiva v práci učitele matematiky

Václav Sýkora a kol.

Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů

© JČMF 2006

SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah 1. Východiska 2. Vlastní zpracování oblasti matematického vzdělávání ve ŠVP 2.1 Vyučovat matematiku jako samostatný předmět 2.2 Průřezová témata v matematice 2.3 Jak matematika přispívá k utváření a rozvoji klíčových kompetencí 2.4 Požadavky na konkretizaci výstupů matematického vzdělávání 3. Učební osnovy 3.1 Název vyučovacího předmětu 3.2 Charakteristika vyučovacího předmětu 3.3 Vzdělávací obsah 4. Příklad zpracování výchovných a vzdělávacích strategií v učební osnově matematiky 5. Závěrečné shrnutí Náměty na seminární práce Literatura

strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Vytvořeno v rámci řešení projektu podpořeného z ESF – Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě školního vzdělávacího programu. Příprava školního vzdělávacího programu, na které se budete ve své škole podílet, je velmi náročnou odbornou činností. Většina z vás nemá s přípravou rozsáhlejších vzdělávacích projektů dostatečné zkušenosti, dosud jste totiž pracovali s centrálně připravenými učebními dokumenty. V současné době před vámi stojí úkol nejen zpracovat nový typ dokumentu – školní vzdělávací program, ale i využít při jeho zpracování nové či dosud okrajově používané pojmy a postupy. Skutečně zodpovědná a odborná příprava ŠVP výrazně ovlivní práci každého z vás – výrazně se zvýší nároky na váš čas, pedagogické i matematické znalosti. Je tedy vůbec příprava ŠVP pro vás – učitele základních škol výhodná? Především je třeba konstatovat, že nastává historická šance umožňující učiteli matematiky výrazně řídit vlastní práci, a to nejen z hlediska výběru adekvátních forem a metod pedagogické práce, ale i po stránce obsahové. Nově vznikající volnost není absolutní, je limitována RVP ZV, počty hodin učebního plánu, nezbytností připravit žáky k přijímacím zkouškám, horizontální prostupností škol apod. Asi být úplně volná ani nemůže. Zkušenost Velké Británie s úplným uvolněním školních kurikulí vedla nakonec stejně k přijetí minimálního národního kurikula závazného pro všechny školy. Taková výzva je nicméně pro učitele matematiky nová a přínosná v tom smyslu, že mohou ve své práci mnohem výrazněji zohlednit své zkušenosti, zájmy, vědomosti apod. Je pravda, že bez předchozích zkušeností nemůže být taková možnost plně využita, neměla by však být zcela zahozena tím, že škola splní úřední povinnost, aniž by cokoli na své práci změnila. Druhá významná šance, kterou bychom mohli propásnout, je nezbytnost sledovat vývoj vyučování matematice ve světě. Je třeba si uvědomit, že školská matematika projde v časově blízkém horizontu podstatnými změnami. Příčinou je zjevně razantní rozvoj výpočetní techniky, která radikálně mění využití matematických poznatků v každodenní praxi. Zdá se to být paradoxní, ale člověk bude ve 21. století patrně potřebovat k úspěšnému profesnímu i soukromému životu méně osvojených konkrétních matematických poznatků než v předcházející době. Rozvoj civilizace se sice bude ve stále větší míře opírat o výsledky matematiky a dalších vědeckých disciplín, pro praktickou potřebu lidí budou však tyto poznatky „předpřipraveny“ v podobě softwarových výbav počítačů. Týká se to i vysokoškolsky vzdělaných lidí jako jsou techničtí, ekonomičtí a další inženýři nebo pracovníci těchto oborů. Víme všichni, že zatímco se naši otcové ještě učili algoritmus druhé odmocniny, v současné době uvažují didaktici matematiky už o nepotřebnosti algoritmu písemného dělení. Výzkumy ukazují, že běžný občan se ve svém praktickém životě spokojí s aritmetikou přirozených čísel a desetinných čísel zaokrouhlených na dvě desetinná místa (peníze jsou až na prvním místě). Méně již vstupuje do života běžného občana matematický poměr nebo výpočet hodnot přímé či nepřímé úměrnosti (trojčlenka). Geometrizace reálného světa by ve škole měla být prioritní, žijeme přece v euklidovském trojrozměrném prostoru. Jednoduché výzkumy ale opět ukazují, že je obtížné hledat občana, který při zatloukání hřebíku do podkrovního stropu pomyslí na definici nebo kriterium kolmosti přímky k rovině, stejně obtížně najdeme dokonce i mezi učiteli matematiky základní školy kolegy, kteří dokáží vyslovit přesnou definici podobnosti v rovině nebo v prostoru (i když se denně setkávají s jejími předmětnými modely). Zato však všichni pracujeme s daty a informacemi znázorněnými grafy, diagramy nebo tabulkami, všichni měříme a přepočítáváme jednotky (přinejmenším peněžní měny), všichni hledáme optimální strategie řešení nejrůznějších (i nematematizovaných) problémů, všichni se potřebujeme orientovat v našem (trojrozměrném) prostoru a všichni pracujeme s obrazy trojrozměrných těles na dvojrozměrném strana 3 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


papíru nebo monitoru. Nikdo dnes nesčítá „nudli“ čísel u pokladny v Tescu, všichni nakupující ji ale přelétnou a snaží se odhadnout, zda nebyli (příliš) ošizeni. V tomto smyslu bude patrně také třeba měnit školskou matematiku. Domníváme se, že pojem kompetence, který pedagogika ve světě zavádí a který didaktika matematiky ve světě velmi intenzivně studuje, by mohl přispět k nalezení východiska. Při přípravě Rámcového vzdělávacího programu základního vzdělávání (RVP ZV) byl využit jiný způsob projektování učebního dokumentu, než byl roky uplatňován při přípravě učebních osnov. Zatímco dosud byly učební dokumenty koncipovány především z hlediska rozpracování obsahu a vymezovaly především to, co má být ve výuce probráno, snaží se RVP ZV vymezit v první řadě výsledky vzdělávání, tedy to, co má žák po ukončení vzdělávání skutečně umět a jakými kompetencemi má disponovat. Tato změna v projektování pedagogických dokumentů poskytuje na jedné straně každé škole široký prostor pro tvořivý přístup ke zpracování dokumentu a jeho následné realizaci. Na druhé straně garantuje – právě tím, že definuje závazné výstupy ze vzdělávání – určitou úroveň vzdělání. Obdobný způsob projektování vzdělávání se očekává také při přípravě školního vzdělávacího programu (ŠVP). Nepůjde proto v první řadě o rozpracování učiva matematiky, ale o promyšlení a rozpracování vzdělávacích výstupů. Před vlastním koncipováním matematického vzdělávání ve školním vzdělávacím programu se proto musíte důkladně seznámit s didaktickými materiály, které jsou pro tuto koncepci základním východiskem a které je třeba zohlednit.

1. Východiska Prvním krokem učitele matematiky při přípravě na zpracování „matematické části“ ŠVP je pečlivé prostudování RVP ZV jako celku. Nejde o formalitu, ale nutný předpoklad pro to, aby pojetí výuky matematiky bylo v souladu s pojetím práce celého pedagogického sboru při zpracování školního vzdělávacího programu Jako učitelé matematiky se při studiu RVP ZV soustředíte především na výstupy vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace, které jsou v něm definovány. Další nezbytnou oblastí, se kterou se učitelé matematiky potřebují zevrubně seznámit, jsou klíčové kompetence a průřezová témata uvedené v RVP ZV. Klíčové kompetence i průřezová témata jsou závaznými výstupy vzdělávání a matematika se na jejich utváření výrazně podílí. Učitelé matematiky proto musí promyslet způsoby, jimiž bude výuka matematiky k jejich utváření konkrétně přispívat. Vzhledem k tomu, že výuka matematiky nezačíná na 2. stupni ZŠ, ale již v 1. ročníku ZŠ, je dalším nezbytným informačním zdrojem, který musí učitelé matematiky před zahájením koncepční práce na školním vzdělávacím programu prostudovat, zpracování matematického vzdělávání pro 1. stupeň základní školy, na které působí. Nestačí totiž pouhé seznámení se s výstupy projektovanými pro 1. stupeň ZŠ v RVP ZV, ale je nutné poznat jejich rozpracování ve ŠVP, včetně metodických přístupů, které jsou v průběhu vzdělávání na 1. stupni konkrétní ZŠ uplatňovány. I když příprava některých částí ŠVP může probíhat odděleně, je nezbytné zajistit návaznost mezi oběma stupni vzdělávání. Ještě lepší variantou než pouhé prostudování již zpracovaných dokumentů pro 1. stupeň jsou společná setkání a společné diskuse učitelů obou stupňů školy nad společnými problémy, které s sebou nové pojetí matematického vzdělávání přináší. strana 4 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Dalším východiskem může být Charakteristika školního vzdělávacího programu, i když pouze v případě, že se na zpracování této části ŠVP učitelé matematiky aktivně nepodíleli. Častější situací bude pravděpodobně aktivní zapojení všech vyučujících do přípravy ŠVP, včetně jeho charakteristiky. Tento postup umožní, aby učitelé matematiky již při úvodní práci na ŠVP mohli výrazněji vymezit podobu výchovných a vzdělávacích strategií, které jsou součástí Charakteristiky ŠVP. Pro koncipování oblasti matematického vzdělávání ve ŠVP mohou přinést zajímavé výchozí informace i výsledky Analýzy podmínek školy. Pro vás jako učitele matematiky může být zajímavá především ta část Analýzy, která se týká postojů žáků k současné výuce matematiky. Dalším významným informačním zdrojem mohou být i výsledky testování žáků, zejména je-li prováděno standardizovanými nástroji.

2. Vlastní zpracování oblasti matematického vzdělávání ve ŠVP 2.1

Vyučovat matematiku jako samostatný předmět

Po seznámení se s výše uvedenými výchozími informacemi budete jako učitelé matematiky 2. stupně ZŠ uvažovat o vlastní koncepci matematického vzdělávání. Jedním z prvních kroků by mělo být rozhodnutí, zda bude matematika na vaší škole vyučována jako samostatný předmět, či zda bude integrována s jinými vzdělávacími obory. To určí její zařazení do učebního plánu. Víme, že existují pokusy integrovat matematiku do jakéhosi bloku přírodovědných předmětů. Zkušenosti ze zahraničí ukazují, že bude postupně docházet k integraci například „věd o Zemi“ nebo „věd o člověku“. Podobným procesem procházejí i příslušné vědecké disciplíny. Doporučujeme však vyučovat matematiku jako samostatný vyučovací předmět. Hlavním důvodem je povaha matematiky jako součásti lidské kultury. Matematika je považována za „jazyk věd“ nebo také za „metodu předvídání pomocí formálních kalkulů“ (prof. P. Vopěnka). Nemůžeme ji proto „rozpustit“ do přírodních nebo technických věd, i když tyto disciplíny používají matematiku jako jeden z významných nástrojů svého bádání. Dalším důvodem je didaktická nepřipravenost podobného procesu. Další otázka, kterou si musíte již v této etapě práce zodpovědět, směřuje k problematice využití výuky matematiky při realizaci tzv. průřezových témat. Pokud se rozhodnete, že budete s průřezovými tématy pracovat, měli byste promyslet, zda obsah tématického okruhu průřezového tématu bude integrován do vzdělávacího obsahu matematiky, nebo zda jej využijete při projektové výuce.

2.2

Průřezová témata v matematice

Domníváme se, že v rámci vyučování matematice nebudou tzv. průřezová témata hrát stejnou roli jako při výuce jiných předmětů. Nemůžeme je však opomenout úplně, protože i vyučování matematice vytváří příležitosti pro individuální uplatnění žáků i pro jejich vzájemnou spolupráci a pomáhá rozvíjet osobnost žáka především v oblasti postojů a hodnot. Práci s průřezovými tématy si můžeme ukázat např. na průřezovém tématu Osobnostní a sociální výchova. K naplňování jednoho z jeho tematických okruhů – Osobnostní rozvoj – strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


přispívají činnosti, na jejichž základě jsou utvářeny a rozvíjeny vybrané osobnostní rysy žáků. Řešení matematických úloh rozvíjí např. soustředěnost, cílevědomost, vytrvalost a tvořivost žáků. Obecná dovednost klasifikovat prvky dané množiny rozvíjená v matematice umožňuje žákům účelně uspořádat své záležitosti i v běžném životě a představuje nástroj využitelný a potřebný ve všech dalších disciplínách. Výuka matematiky výrazně přispívá k rozvoji dovednosti řešit problémy – nejen individuálně, ale i při vhodně volených strategiích výuky podporuje i dovednost řešit problémy v týmu. Úvahy o využitích průřezových témat či jejich tematických okruhů mohou ve svém důsledku vést i k zařazení v současné době nedostatečně akcentovaných matematických témat. Dokladem toho mohou být poznatky z historického vývoje matematiky, které ve škole opomíjíme nebo jen stručně připomínáme v rámci tzv. historických poznámek. Přitom didaktika matematiky má pro to již dlouhou dobu zdůvodnění opírající se o racionální hypotézu (genetická paralela, která říká, že ontogenetický vývoj matematického poznatku „v hlavě“ jedince je podobný jeho vývoji fylogenetickému, tedy jeho vývoji v historii matematiky jako vědecké disciplíny). Historický vývoj matematiky je přitom ukázkovým příkladem multikulturních postojů tolik zdůrazňovaných v dnešní době. V historii evropské matematiky můžeme velmi názorně vysledovat vlivy a přínosy antické, čínské, indické nebo arabské. Matematická kultura Mayů předstihla o mnoho století naše poznání a pro žáky by z tohoto příkladu měla vyplývat reflexe úsilí směřujícího k zachování převzaté kultury a jejího dalšího rozvíjení. Co jiného je historický vývoj matematiky než brilantní ukázka rozvoje myšlení v evropských a globálních souvislostech (RVP ZV, s.81). Ani současným snahám o hledání rozumných přístupů k tzv. environmentální výchově by se vyučování matematice nemělo vyhýbat. V hodinách matematiky můžeme nenásilně obracet pozornost žáků k jejich bezprostřednímu životnímu okolí – tematický okruh Lidské aktivity a problémy životního prostředí. Stačí například vyjít na ulici a pozorovat svět kolem sebe „geometrickým filtrem“. Stěny a nároží budov, střechy představující řezy hranolů rovinami, složité kompozice vikýřů vnořených do rovin střech, ale i velmi netriviální artefakty (střechy moderních budov nebo hal ve tvaru hyperbolických paraboloidů nebo „tančící“ dům v Praze) můžeme vidět kolem sebe na každém kroku. Jízdní kolo je nejenom ekologickým nástrojem dopravy, ale i velmi vděčným objektem k rozvíjení geometrických představ žáků. Chápání environmentální výchovy jako zdůrazněné modelování matematických poznatků na objektech našeho reálného okolí, to je přístup, který matematice ve škole jenom napomůže. Práce s předmětnými modely matematických pojmů a poznatků je velmi důležitou součástí pojmotvorného procesu a úspěšnost procesu abstrakce je bez něho nemyslitelná. Bez práce s předmětnými modely dochází k formálnímu učení, které považujeme za jednu z největších slabin matematického vzdělávání. Formálním učením rozumíme zjednodušeně mechanické osvojování si např. matematických vzorečků bez porozumění jejich logice. Takové pojetí environmentální výchovy představuje současně širší pojetí této složky výchovy neomezující se jenom na formální hlásání ideologických hesel.

2.3

Jak matematika přispívá k utváření a rozvoji klíčových kompetencí

Klíčové kompetence mají nadpředmětový charakter, proto se na jejich utváření různou měrou podílejí všechny vyučovací předměty, tedy i matematika. Konkrétní přínos matematiky k rozvoji jednotlivých klíčových kompetencí musíte však důkladně promyslet. strana 6 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Kompetence k učení Při výuce matematiky dochází k rozvoji logického, kombinatorického a pravděpodobnostního myšlení stejně jako k rozvoji paměti. Při řešení např. slovních úloh se žáci učí vyhledávat a třídit informace, nacházet vztahy a souvislosti mezi nimi; operují s matematickými symboly a znaky, což je připravuje na operace se symboly a znaky užívanými v běžném životě (např. %, piktogramy, zkratky, diagramy, jednotky veličin, jízdní řády a další schémata). Kompetence sociální a personální Žáci se při výuce matematiky setkávají se složitostí světa, zároveň však dochází ke zlepšování jejich důvěry ve vlastní schopnosti. Matematika podporuje rozvoj schopnosti sebekontroly a rozvíjí dovednost formulovat a ověřovat hypotézy. Jsou-li při vyučování matematice využívány vhodné metody a organizace práce, učí se žáci účinně spolupracovat ve skupině, efektivně spolupracovat při řešení úloh, problémů či projektů. Využití skupinové práce v matematice vytváří předpoklady pro to, aby se žáci učili různým rolím a učili se přijímat odpovědnost za jejich naplnění. Kompetence komunikativní Výuka matematiky vede žáky k logickému a přesnému vyjadřování. Žáci se učí nejen pečlivě analyzovat text zadání úloh, jasně a přesně popisovat zvolený postup při řešení úloh, ale i hledat argumenty pro jeho zdůvodnění. Učí se převádět matematické znaky a symboly do slov a naopak (transformace znakových reprezentací). Kompetence k řešení problémů Výuka matematiky využívá řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života. Tyto úlohy mají pro žáky často charakter problémových situací. Žáci se učí volit správný postup pro řešení problémů. Obecná struktura řešení například konstrukční úlohy je přenosnou dovedností využitelnou i v jiných (nematematických) situacích. Poskytuje tedy určitý obecný návod, který je dobře využitelný v běžném občanském životě. Pro rozvoj této kompetence je ovšem nutné zařazovat úlohy různé náročnosti (viz taxonomie úloh, např. D. Tollingerové). Další možností, jak rozvíjet tuto kompetenci je zařazování úloh, které umožňují žákům objevovat různé varianty řešení (rozvoj divergentního myšlení). Jednou z možností rozvoje této kompetence je i zařazování hlavolamů, logických úloh, hádanek apod. Kompetence občanské Občanské kompetence matematika nerozvíjí přímo svým obsahem; k rozvoji této kompetence však může matematika přispívat prostřednictvím vhodně zvolených metod a strategií výuky. Kompetence pracovní Tato kompetence, která je zařazena pouze v základním vzdělávání, předpokládá - mimo jiné rozvoj pracovních návyků a manuálních zručností, které budou žáci potřebovat v dalším životě. Matematika k jejímu rozvoji přispívá např. požadavky kladenými na přesnost zpracování konstrukčních úloh a jejich formální úpravu v rámci geometrie. Didaktika matematiky velmi důrazně prosazuje zásadu, podle níž je rozvoj abstraktních představ (ve věku žáků základní školy) nezbytně doprovázen i rozvojem motorických dovedností. Osvojení matematických poznatků vyžaduje specifický styl studia, který jiné předměty v takové míře nerozvíjejí a který je důležitý v současné i budoucí době vyznačující se celoživotním učením každého občana. Je naší chybou, setkáváme-li se dnes s vysokoškolskými studenty, kteří jsou přesvědčeni, že je možné studovat matematiku a zároveň sledovat televizi. strana 7 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Při promýšlení výchovných a vzdělávacích strategií musíte však třeba vycházet z toho, že klíčové kompetence uvedené v RVP ZV představují „ideál“, o který budete usilovat, ale kterého v reálu nedosáhnou všichni žáci. Mají-li být výše uvedené kompetence skutečně a promyšleně utvářeny a rozvíjeny, musí žáci získávat průběžně zpětnovazebné informace. Jen tak mohou žáci, ale i učitelé získat představu, na jaké úrovni se jejich jednotlivé kompetence nacházejí.

2.4

Požadavky na konkretizaci výstupů matematického vzdělávání

Konkretizace výstupů vzdělávání patří k nejnáročnější etapě práce na přípravě ŠVP. Vzhledem k tomu, že matematika je velmi strukturovaná disciplína, lze však očekávat, že pro většinu učitelů matematiky tato fáze nebude mimořádně obtížná. Upozorňujeme pouze, že je nutné dodržet logiku kroků, zásadu systematičnosti a soustavnosti. V první řadě je nutné vymezit výchovné a vzdělávací strategie, kterých bude při výuce užívno. Východiskem jsou výchovné a vzdělávací strategie formulované v části Charakteristika ŠVP. Zvolené výchovné a vzdělávací strategie musí být v souladu se strategiemi navrhovanými v části tohoto textu týkající se klíčových kompetencí a průřezových témat. Dalším krokem bude konkretizace výstupů tak, aby byly vzhledem k výstupům celkovým konzistentní a vzhledem k potřebě jejich ověřování kontrolovatelné. Tento požadavek není formální – jak si mnozí učitelé občas myslí – ale bez možnosti kontrolovat dosahované výstupy ztrácí předchozí kroky smysl. Požadavek na kontrolovatelnost výstupů je ale náročný úkol, který nemůžete realizovat ze dne na den. Soudíme, že by zpočátku měly být konkretizovány požadavky výstupní (9. ročník) a postupně zpracovávány požadavky na další ročníky, popřípadě kratší časové celky (pololetí, čtvrtletí). Průběžně je ovšem třeba sledovat návaznost na 1. stupeň ZŠ. Předpokládáme, že jako učitelé matematiky budete mít postupně k dispozici materiály zpracované centrálně (JČMF a SUMA) nebo ve spolupráci škol na regionální úrovni. Také vysoké školy připravující učitele by měly zaměřit práci studentů i učitelů na praktické potřeby škol. Máme-li takový výstup konkretizovat, je třeba, abychom si ještě řekli něco o standardech v matematickém vzdělávání. Učitel matematiky by neměl brát svou práci jako postupné probírání (odučení) témat osnov jednoho po druhém (až si na konci 9. ročníku odškrtne poslední téma osnov). Měl by svou práci vnímat jako směřování k určitému cíli, jímž je předem stanovená (učitelem plánovaná) úroveň matematické vzdělání žáka. Řekli jsme již, že směřování k tomu cíli by mělo být kontrolovatelné a kontrolované. Zjednodušeně řečeno, měli byste se snažit naplánovanou úroveň vzdělání měřit nebo lépe řečeno zjišťovat. Měření nebo zjišťování úrovně se ve všech lidských činnostech provádí srovnáváním s určitým etalonem nebo standardem. Při vyučování matematice přitom neumíme měřit dosaženou úroveň jinak než řešením úloh nebo problémů. Učitel by měl mít k dispozici sadu úloh (svých nebo převzatých z nějakého jinde zpracovaného standardu – Běloun, Scio, standardy JČMF apod.) s tím, že po ukončení určité etapy práce (např. konec tematického celku, čtvrtletí nebo ročníku) předloží tyto úlohy žákům. Pokud je žáci vyřeší, řekne si učitel, ano, moji žáci získali v průběhu dané etapy úroveň matematického vzdělání, jakou jsem si předsevzal a naplánoval. Dosáhl jsem v této oblasti svého cíle. Pokud žáci úlohy nevyřeší, řekne si, nenaučil jsem to, co jsem plánoval a musím přemýšlet o tom, zda je chyba ve mně, v žácích nebo někde jinde. Taková (standardizovaná) kontrola musí probíhat i v dílčích etapách (např. po jednotlivých pololetích nebo tematických celcích). Podobně by měl učitel prostřednictvím vybraných sad úloh hodnotit svou práci i v ostatních tématech nebo kompetencích (nejen zda v souladu se svým cílem naučil řešit rovnice nebo slovní úlohy, ale i na jaké úrovni si žáci osvojili dovednosti argumentovat, pracovat s daty, zobrazovat tělesa apod.). Samozřejmě, že do výběru takových sad úloh vstupuje subjektivní faktor. Postupně by však měly vznikat podobné nástroje na objektivnější úrovni a měly strana 8 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


by být učitelům nabízeny (možná i v různých verzích). Uvedli jsme již, že za takový standard matematické vzdělávání na základní škole můžeme považovat známou a doposud široce využívanou sbírku F. Bělouna [1]. Připomeňme jenom, že existovalo období, kdy úlohy pro přijímací zkoušky na střední školy byly (s vědomím veřejnosti) vybírány výlučně z této sbírky. Předchozí představa těsně souvisí s hodnocením práce žáků (evaluace) a vlastní učitelovy práce (autoevaluace). Hodnocení práce žáků by v tomto smyslu nemělo vycházet výlučně z úrovně osvojení matematické faktografie, nemělo by být orientováno převážně na obsahovou stránku školské matematiky, ale mělo by se zaměřovat na úroveň osvojení kompetencí (o nichž budeme hovořit v dalším).

3. Učební osnovy 3.1

Název vyučovacího předmětu

I když se to může zdát jako malicherné, je třeba rozhodnout i o tom, jak bude předmět nazván. Název vyučovacího předmětu by měl zohledňovat vyučovaný obsah a výstupy vzdělávání. Domníváme se, že nejvýstižnějším názvem pro vyučování matematiky je matematika.

3.2

Charakteristika vyučovacího předmětu

Část nazvaná Charakteristika vyučovacího předmětu je místem pro popsání postavení vyučovacího předmětu ve ŠVP (jeho důležitost vzhledem k celkovým vzdělávacím výstupům, vzhledem k zaměření školy apod.) a bude zahrnovat charakteristiku realizace výuky v předmětu matematika. Lze ji rozdělit do dvou částí. V první z nich nazvané obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu budou stručně charakterizovány základní obsahové oblasti matematiky (např. rozvoj pojmu čísla; rozvoj závislostí a funkcí; rozvoj geometrických představ o světě; rozvoj kombinatorického myšlení, statistiky a práce s daty). Dále budou popsány žádoucí formy realizace matematiky např. využití krátkodobých nebo dlouhodobých projektů, skupinové práce, problémového vyučování. Uvedena bude také hodinová dotace pro jednotlivé ročníky. Ve druhé části nazvané výchovné a vzdělávací strategie se jedná o popis konkrétních postupů, které povedou k utváření jednotlivých klíčových kompetencí. Protože klíčové kompetence mají nadpředmětový charakter, na jejich utváření se různou měrou podílejí všechny vyučovací předměty, je potřebné zamyslet se i nad tím, jak k jejich rozvoji přispívá matematika. Ke každé klíčové kompetenci je účelné zformulovat postupy, které budete používat ve výuce matematiky k tomu, aby se u žáků dané klíčové kompetence postupně utvářely a rozvíjely. Vzhledem k tomu, že budou uplatňovány všemi učiteli matematiky na vaší škole, měla by být jejich formulace výsledkem vaší společné práce. Je třeba se také seznámit s novými pohledy na význam a roli matematického vzdělávání tak, jak jsou formulovány v některých dokumentech mezinárodního dosahu. Informace lze získat například v publikacích Ústavu pro informace ve vzdělávání (www.uiv.cz ). Matematická gramotnost je pro výzkum PISA (mezinárodní srovnávací studie zpracovávající úroveň vzdělávání v několika desítkách zemí světa) definována takto [4]: Matematická gramotnost je schopnost jedince poznat roli, kterou hraje matematika ve světě, a porozumět jí, tvořit dobře podložené úsudky a proniknout do matematiky tak, aby splňovala jeho strana 9 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


životní potřeby jako tvořivého, zainteresovaného a myslícího občana. Pro výzkum PISA bylo přitom artikulováno osm charakteristických matematických kompetencí, které vycházejí z práce M. Nisse a jeho dánských kolegů: - matematické myšlení, - matematická argumentace, - matematická komunikace, - modelování, - vymezení problému a jeho řešení, - reprezentace, - užívání symbolického, formálního a technického jazyka a operací, - užívání pomůcek a nástrojů vhodných pro řešení matematických problémů. Stejně tak je třeba přemýšlet o podrobnějším stanovení pojmu kompetence, který je v současné době sice široce využíván, ale jeho významové vnímání mezi učitelskou veřejností zatím není příliš jednotné. Žákovskými kompetencemi rozvíjenými ve vyučování matematice budeme nazývat dovednosti různého stupně obecnosti, které matematika jako školní předmět v žácích rozvíjí a které jsou potřebné pro další studijní a profesní uplatnění či občanský život. Přitom máme na mysli dovednosti, kterými matematické vzdělávání trvale pozměňuje žákovu osobnost, a to i v době, kdy zapomněl (úplně nebo částečně) konkrétní matematické (faktografické) poznatky v podobě vzorců, vět a algoritmických postupů. Zároveň jde o poznatky, dovednosti a postoje, pro jejichž rozvoj je matematické vzdělávání nezastupitelné. V souvislosti s definicí kompetence bychom měli vždy hovořit o možnosti potenciálního transferu do nematematické oblasti. Kompetence k učení Ve vyučovacím předmětu Matematika využíváme pro utváření a rozvíjení dané klíčové kompetence výchovné a vzdělávací strategie, které žákům umožňují: - rozvíjet logické, kombinatorické a pravděpodobnostní myšlení (racionálně postupovat při řešení problémů nejen v matematice); - rozvíjet a posilovat psychické procesy, které jsou základem efektivního učení; - samostatně i ve spolupráci s ostatními žáky vyhledávat a třídit informace, pracovat s daty, nacházet vztahy a souvislosti mezi nimi; - na základě užívaných metod výuky organizovat a řídit proces vlastního učení; - naučit se operovat s matematickými symboly a znaky v různých znakových reprezentacích; - využívat identifikace a odstranění chyby k potřebným změnám v osvojení odpovídajících poznatků a dovedností; - postupně poznávat význam studia poznatků o historickém vývoji matematiky pro rozvoj dovednosti uplatňovat její poznatky v praktickém životě; - naučit se samostatně formulovat (potenciální) problémy a s nimi související matematické úlohy a anticipovat tak svoje chování v nových životních situacích. Kompetence sociální a personální Ve vyučovacím předmětu Matematika využíváme pro utváření a rozvíjení dané klíčové kompetence výchovné a vzdělávací strategie, které žákům umožňují: - zlepšovat jejich dovednost vést diskusi v malé skupině nebo se jí účastnit; - efektivně spolupracovat s ostatními žáky při řešení úloh, při projektové práci apod.; strana 10 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


-

řešením úloh různé náročnosti podporovat sebedůvěru ve vlastní schopnosti; rozvíjet představivost a tvůrčí fantazii v nejrůznějších podobách (prostorová představivost, tvorba hypotéz, umění „vidět“ v matematice); poznávat možnosti a význam matematiky pro praktický život a situace, v nichž se ocitá každý občan naší společnosti; postupně poznávat význam studia poznatků o historickém vývoji matematiky pro porozumění multikulturním pohledům na naši civilizaci v globálních souvislostech.

Kompetence komunikativní Ve vyučovacím předmětu Matematika využíváme pro utváření a rozvíjení dané klíčové kompetence výchovné a vzdělávací strategie, které žákům umožňují: - číst s porozuměním zadání řešených problémů; - jasně formulovat a vyjadřovat své myšlenky, vyjadřovat se logicky a přesně; - osvojit si dovednost klasifikovat reálné objekty, pojmy, dovednosti nebo poznatky z hlediska zvolených nebo navržených kriterií; - navrhovat řešení a hledat (deduktivní) argumenty pro jejich zdůvodnění, umět logicky zdůvodňovat výsledky vlastního řešení problému; - v rámci matematizace reálných situací si osvojit dovednost převádět matematické znaky a symboly do slov hovorového jazyka (transformace znakových reprezentací); - rozvíjet strukturalistický pohled na daný problém, vidět ho v kontextu reálné situace a jejího formalizovaného popisu; - kultivovat svůj grafický projev v rámci realizace algoritmu řešení problému. Kompetence k řešení problémů Ve vyučovacím předmětu Matematika využíváme pro utváření a rozvíjení dané klíčové kompetence výchovné a vzdělávací strategie, které žákům umožňují: - rozvíjet základní myšlenkové operace opírající se o logické usuzování; - uchopit problémovou situaci, analyzovat ji, formulovat podstatu problému, popřípadě identifikovat informace chybějící pro řešení problému nebo vyloučit informace nadbytečné; - v konstruktivistickém duchu rozvíjet hlavní poznatkové okruhy a metody matematiky jako nástroje řešení praktických problémů (formování pojmu čísla a proměnné, závislosti a funkce, představ o geometrizaci reálného světa a o neurčitosti jevů ve smyslu jejich statistickém a pravděpodobnostním pojetí); - osvojit si užití obecné struktury řešení problému, kterou transfer umožňuje aplikovat i v nematematických situacích (rozbor, konstrukce, tj. vytvoření a užití algoritmu řešení, zkouška nebo ověření, diskuse nebo porovnání výsledku se zadanými prvky a hodnotami veličin); - vytvořit nebo rozpoznat algoritmus řešení problémů a osvojit si jeho užití; - identifikovat chybu, hledat variantní cesty k jejímu odstranění; - modelovat reálné situace (matematizovat) užitím osvojených matematických nástrojů a po matematickém řešení interpretovat jeho výsledky v jazyce reálné situace; - využívat vhodných pomůcek, nástrojů a technických zařízení k řešení problémů (zejména výpočetní techniky). - osvojit si vhodné metody zobrazování řešených situací a jejich matematizované podoby. Netvrdíme, že jsme uvedli úplný výčet všech kompetencí rozvíjených při vyučování matematice. Ten je určitě širší. V souvislosti s jeho vymezováním můžeme uvádět další příklady, hovořit například o kompetenci prezentovat výsledky řešení nebo učení, o kompetenci volit vhodný učební styl pro osvojování matematických poznatků a dovedností. Můžeme hovořit o kompetencích, strana 11 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


jako je například volba strategie řešení problému, která je významná nejen pro všechny složky matematiky, ale i pro efektivní rozhodování v nematematickém jednání. Úplný výčet kompetencí souvisejících s vyučováním matematice zatím patrně vytvořen nebyl. V našem příspěvku se snažíme orientovat na nejdůležitější kompetence rozvíjené při vyučování geometrii. Podrobněji zdůvodníme význam vybraných kompetencí pro rozvoj osobnosti každého člověka a budeme přitom zdůrazňovat nezastupitelnost kompetencí rozvíjených ve vyučování matematice pro všeobecné vzdělání.

3.3

Vzdělávací obsah

Dalším krokem v koncipování matematického vzdělávání pak bude přiřazení odpovídajícího učiva ke každému definovanému výstupu. Toto učivo musí umožňovat dovést v průběhu vyučování matematiky žáky k získání definovaných výstupů. Před tím než přistoupí učitelé k tomu, že budou jednotlivé výstupy vzdělávání a k nim přiřazený vzdělávací obsah rozkládat do jednotlivých ročníků, musí se poradit a shodnout na tom, jaký způsob rozvržení matematického vzdělávání zvolí. V zásadě jsou možné dva přístupy – buď probírat jednotlivé obsahové oblasti souběžně (tzn. že v určitém ročníku bude např. 1 hodina týdně věnována geometrii a 2 hodiny celku číslo a proměnná, nebo postupně. Určitým limitem je v této etapě práce učební plán ŠVP. Může nastat situace, kdy učební plán je už stanovený a vy budete muset respektovat přidělené hodinové dotace. Pokud však budete mít zpracovány výše uvedené kroky včas, budete mít dostatek argumentů na podporu odpovídající hodinové dotace pro výuku matematiky. Při rozkládání výstupů a k nim odpovídajícího učiva do ročníků je nezbytné uvažovat o přiměřenosti věkovým zvláštnostem žáků, zachovat logickou posloupnost, systematičnost a soustavnost apod. Současně je nezbytné zvažovat mezipředmětové souvislosti – zejména vzhledem ke vzdělávacím oblastem ICT, Fy, Che apod. Budete-li např. používat pro výuku geometrie program Cabri, je možné o jeho využití uvažovat až tehdy, získají-li žáci základní kompetence ve využívání výpočetní techniky. Pro matematiku jsou ale nezbytné i například lingvistické souvislosti. Například užití spojek v matematické logice a v hovorovém jazyce přináší žákům podstatné podněty pro zpřesnění jejich (i nematematického) vyjadřování v písemné i hovorové podobě. Při rozkládání výstupů do časové posloupnosti je potřebné mít na zřeteli i otázku ověřování výsledků vzdělávání v matematice. Je vhodné domluvit se na způsobech a kritériích hodnocení práce žáků. Měli byste se zaměřit zejména na následující oblasti – budete využívat ve všech ročnících obdobné způsoby hodnocení? Budete obdobné způsoby hodnocení využívat ve všech oblastech výuky matematiky? Jakými formami budete výsledky vzdělávání žáků zjišťovat? (ústní, písemné zkoušení; testy; projekty). Jak budete zjištěné výsledky interpretovat? (písemné hodnocení, klasifikace; portfolio) Jak budete pracovat s chybou? Při hledání odpovědí na tyto otázky je nezbytné uvažovat i o motivaci žáků. Doporučujeme dohodnout se také na způsobu získávání zpětné vazby o výuce. Vyučující matematiky by si měli stanovit určité ukazatele, podle kterých budou hodnotit, zda je jimi vytvořený program výuky matematice reálný. V průběhu realizace výuky na základě připraveného strana 12 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


ŠVP by měli zaznamenávat, co se jim při výuce skutečně osvědčilo a s čím naopak měli problémy. Připravený ŠVP totiž není neměnný dokument, ale je nutné jeho realizaci pečlivě sledovat a dokumentovat pro potřebné úpravy a změny.

4. Příklad zpracování výchovných a vzdělávacích strategií v učební osnově matematiky Pokud jste postupovali podle výše uvedených kroků, máte výstupy i učivo zpracované a nebude pro vás problém přepsat je do dokumentu požadovaného formátu. Jeho horizontální struktura je uvedena v následující tabulce. Není předepsaná, učitel sestavující ŠVP může doplnit další kolonky (např. nadstandardní úlohy, práce s talenty, práce se žáky vyžadujícími specifický přístup apod.), které považuje za závažné z hlediska zaměření školy nebo povahy třídy. Příklady jiných strukturálních pojetí ŠVP najdete například na internetu v domovských stránkách škol, které se nebojí svůj ŠVP zveřejnit. Matematika 6. ročník Výstupy předmětu

Učivo předmětu

Způsoby a kriteria hodnocení

Vztahy a vazby k dalším předmětům, průřezová témata

Ukážeme na konkrétním příkladu formulaci takového výstupu matematického vzdělávání. Na základní škole tvoří poměrně uzavřený a přitom pro praxi nezbytný tematický celek obsahující soubor poznatků o kruhu a kružnici. Pokusíme se v první fázi zformulovat výstupy jako cílovou kategorii a ve druhé fázi i zkonstruovat možnou sadu úloh, kterými učitel zjistí úroveň výstupů souvisejících s těmito pojmy v závěru matematického vzdělávání na základní škole. Nejprve tedy musíme shromáždit pojmový a poznatkový základ tohoto celku a zformulovat kompetence, jež jsou uvedeným tématem rozvíjeny. Prostudujeme tedy znění RVP ZV: Oblast Matematika a její aplikace obsahuje ve své charakteristice konstatování, že „…žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti, odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (resp. v prostoru), učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, velikost úhlu, obvod a obsah (resp. povrch a objem), zdokonalovat svůj grafický projev. Zkoumání tvaru a prostoru vede žáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běžných životních situací.“ [2, s. 21]. Cílové zaměření vzdělávací oblasti detailněji rozpracovává uvedené charakteristiky. Vzdělávací obsah je ve svých předpokladech týkajících se práce s kruhem a kružnicí velmi obecný. Pokud jde o kruh a kružnici, musíme konstatovat, že žádný další dílčí související pojem paragraf 5.2.1 [2, s.22] neobsahuje. Vzniká tedy otázka, které dílčí pojmy, definice, věty a konstrukce souvisejí s pojmem kruh a kružnice a tvoří nezbytný základ pro osvojení těchto základních pojmů (i když nejsou uvedeny v RVP ZV). Vyjdeme z osvědčených učebnic, stávajících vzdělávacích programů nebo přehledů strana 13 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


učiva základní školy např. [5]. Zřejmě potřebujeme: Pojmy: střed kružnice (kruhu), poloměr kružnice (kruhu), vnitřní a vnější oblast kružnice, vnitřek a vnějšek kruhu, průměr kružnice (kruhu), tětiva kružnice, oblouk kružnice, Thaletova kružnice, sečna, tečna, vnější přímka, bod dotyku, vzájemná poloha dvou kružnic, středná, vnější a vnitřní dotyk, průsečíky dvou kružnic, vzájemná poloha kruhu (kružnice) a bodu, kruhu (kružnice) a přímky, kruhu (kružnice) a kružnice, kružnice leží uvnitř (vně) dané kružnice, půlkruh, mezikruží, tětiva, délka tětivy, (možná výseč, úseč, středový a obvodový úhel), číslo , obvod kružnice a kruhu, délka kružnice, obsah kruhu. Definice (exaktně jsou uvedeny jen u vybraných pojmů): kružnice, kruh, kružnice nad daným průměrem, sečna, tečna, vnější přímka, obvod kruhu, délka kružnice, obsah kruhu Věty: Thaletova, tečna kružnice je kolmá k přímce procházející bodem dotyku a středem kružnice, osa tětivy prochází středem kružnice, věty o délce kružnice a obvodu nebo obsahu kruhu Konstrukce: kružnice s daným středem a poloměrem, Thaletova kružnice, tečna k dané kružnici bodem kružnice, tečny z daného bodu (vnější oblasti kružnice) k dané kružnici, kružnice trojúhelníku (čtyřúhelníku) opsaná a vepsaná. Dále musíme odpovědět na otázku, které kompetence (ve smyslu obecných dovedností) rozvíjíme při výuce tématu kruh a kružnice? Budeme specifikovat tyto kompetence tak, abychom neuváděli obecné kompetence související se všemi tématy školské matematiky (například kompetence k učení nebo sociální a personální): § užívat pojmů kruh a kružnice (včetně dílčích souvisejících pojmů) v praktickém životě § modelovat pojmy kruh a kružnice a související pojmy (rýsováním, na počítači apod.) § konstruovat situace vycházející z pojmu kruh a kružnice § osvojovat si užití obecné struktury řešení problému (konstrukční úlohy). § řešit problémy související s pojmy kruh a kružnice a tvořit algoritmy řešení těchto problémů § zapisovat řešení uvedených problémů užitím dohodnuté terminologie a symboliky § prohlubovat numerické dovedností související s výpočtem délky kružnice, obvodu a obsahu kruhu, délce tečny ke kružnici § postupně chápat souvislosti mezi formálními matematickými poznatky a reálnými situacemi modelovanými s využitím výše uvedených pojmů, vět a konstrukcí § poznávat význam studia o historickém vývoji matematiky § samostatně tvořit úlohy týkající se daných matematických situací § rozvíjet geometrickou představivost a umění „vidět“ v matematice § osvojovat si dovednost klasifikovat množiny reálných i matematických objektů podle daných kriterií § kultivovat svůj grafický projev § využívat vhodné pomůcky a nástroje k řešení problémů. Jestliže zformulujeme kompetence (obecné dovednosti), které rozvíjíme výukou učiva o kruhu a kružnici, měli bychom v dalším zformulovat konkrétní výstupy učiva, které budou formulovány již v chronologické posloupnosti pro jednotlivé ročníky v souladu s představami didaktiky matematiky. To je patrně nejtěžší součástí našich úvah. Většinou jsme zvyklí počítat s tím, že veřejnost bere matematické vzdělávání za samozřejmou součást všeobecného vzdělávání a nikdo se netáže, proč, nebo lépe řečeno za jakým účelem, učíme poznatky o kruhu a kružnici: § identifikace tvarů (rozlišení mezi kružnicí, elipsou a oválem) v praktickém životě, kruh a kružnice v prostředí praktického života žáků (kruhová okna, základy budov, řezy válcových objektů, objezdy, pohyby částí otáčejících se objektů, řezy sférickou plochou apod.) § porozumění definici (množina bodů stejně vzdálených od daného bodu) a s tím související strana 14 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


modelování (konstrukce) této množiny bodů (kružítko, Cabri G, kolík a provázek) § porozumění předmětným (separovaným) modelům kruhu a kružnice a předmětným modelům kruhu a kružnice (fyzika-kruhový pohyb-záření-vlnění, otočení a jeho matematický model, minimax úlohy-maximální obsah při minimálním obvodu), § teorie čísel ( jako příklad iracionálního čísla), numerické dovednosti v oboru reálných čísel, zaokrouhlování čísel, odhad výsledku numerického řešení § historický vývoj matematických poznatků, genetická paralela, multikulturní souvislosti a evropská kultura, antické tradice § logické myšlení a vyjadřování (implikace v rozboru řešení konstrukčních úloh, bod ležící na kružnici a zároveň na přímce, bod leží na kružnici nebo na přímce apod.) § struktura řešení úlohy a po příslušném transferu i obecného (nematematického) problému § lingvistické souvislosti (kruh, kroužek, vypadl z kruhu spolužáků, patří do kruhu obdivovatelů, kruhová obrana, cizí jazyky). § hledání a vytváření integračních vazeb s ostatními předměty (fyzika, přírodovědné disciplíny, jazyk jako formální komunikační prostředek, matematika a výtvarné umění nebo hudba). § měření, vážení, představy o velikosti a množství (odhady, převody jednotek, peněz apod.). Je třeba podotknout, že některé uvedené kompetence jsou identické s požadovanými výstupy (grafický projev, užití pomůcek a nástrojů apod.) Ve výstupech se nám logicky vyčleňují i vztahy a vazby k dalším předmětům a průřezová témata. Zpracujeme přehledně v tabulce výstupy učení, učivo a vazby na ostatní předměty, poznatky nebo souvislosti. Roč. Výstupy učení 6. Žák: - identifikuje kružnici a rozliší ji od útvarů jiných tvarů - narýsuje kružnici s daným středem a poloměrem - rýsuje s důrazem na přesnost a čistotu projevu - zapíše kružnici užitím dohodnuté symboliky - sestrojí osu úsečky a využívá její vlastnosti - sestrojí osu úhlu a využívá její vlastnosti - sestrojí kružnici opsanou a vepsanou trojúhelníku - chápe kružnici jako souměrný útvar (osově i středově)

Učivo

kružnice, kruh, střed, poloměr, průměr rýsování a popis základních geometrických útvarů osa úsečky osa úhlu kružnice trojúhelníku opsaná, kružnice trojúhelníku vepsaná

Vazby a vztahy

tvary objektů v žákově bezprostředním okolí, zeměpisné poznatky, princip kola a jeho historie, kruhové diagramy


SU

∑ MA


7.

8.

9.

- ví, že kružnice je půdorys válce a kolmý průmět koule - modeluje, rýsuje a rozhoduje o vzájemné poloze kružnice (kruhu) a přímky, sečna, tečna, vnější přímka - sestrojí tečnu ke kružnici v daném bodě kružnice - konstruuje obraz kružnice v probíraných geometrických zobrazeních - vysvětlí rozdíl mezi kruhem a kružnicí - definuje kružnici - vysvětlí význam průměru a poloměru a vztahu mezi nimi - vysloví Thaletovu větu - množiny středů kružnic - definuje, narýsuje a vypočítá délku tětivy (Pythagorova věta) - modeluje a určuje základní polohové vztahy mezi kružnicemi - rozlišuje vnější a vnitřní dotyk kružnic - sestrojí soustředné kružnice - použije Thaletovu větu v konstrukčních úlohách - vypočítá obvod kruhu a délku kružnice - vypočítá obsah kruhu - vypočítá obsah mezikruží - řeší jednoduché reálné situace s využitím výpočtů obvodu a obsahu kruhu (délky kružnice) sestrojí tečnu ke kružnici z daného bodu ležícího vně kružnice - narýsuje trojúhelníky a čtyřúhelníky z daných prvků - provede rozbor, konstrukci, zapíše konstrukční postup s použitím matematické symboliky, konstrukci a diskusi počtu řešení - rýsuje s důrazem na přesnost a čistotu projevu - kružnice ve stejnolehlosti

vzájemná poloha kruhu, kružnice a přímky, sečna, tečna, vnější přímka

kruh, kružnice tětiva kružnice vzájemná poloha přímky a kružnice vzájemná poloha dvou kružnic délka kružnice a obvod kruhu, obsah kruhu, Thaletova věta

reálná čísla, historický vývoj a užití, množiny bodů dané vlastnosti konstrukční úlohy, jejich řešení pomocí množin bodů dané vlastnosti

válec v chemii a ostatních předmětech, kruh a kružnice ve výtvarném umění, astronomie, dynamika kruhu a kružnice, Cabri geometrie

- geometrie jízdního kola - úlohy o dopravních situacích, - kruhový pohyb, - technické výkresy, - historický vývoj geometrie, srovnání světových kultur

praktické úlohy, rozvoj numerických dovedností, míra a měřitelnost geometrických útvarů v praxi

Uvedli jsme již, že učitel by měl prostřednictvím vybraných souborů úloh hodnotit svou práci v jednotlivých tématech nebo kompetencích (nejen zda v souladu se svým cílem naučil poznatky o kruhu a kružnici, ale i na jaké úrovni si žáci osvojili dovednosti zobrazovat, tvořit algoritmy, strana 16 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


ověřovat výsledek řešení, argumentovat, apod.). Řekli jsme také, že do výběru takových souborů úloh vstupuje subjektivní faktor vycházející z konkrétní přípravy, zkušeností, zájmů a motivace konkrétního učitele. Také jsme připomněli, že za adekvátní standard matematického vzdělávání na základní škole můžeme považovat známou a doposud široce využívanou sbírku F. Bělouna [1]. Logicky by se tedy z předcházejících úvah měl vytvořit nástroj pro kontrolu úrovně dosaženého matematického vzdělávání v podobě souboru úloh. Úmyslně uvedeme úlohy ze sbírky [1]. Budeme však analyzovat jejich možnosti pro splnění našich záměrů: 1. Potrubí má vnější průměr 1 100 mm a stěny potrubí mají tloušťku 100 mm. Vypočítejte průřez tohoto potrubí. [1, s.112] 2. Vypočítejte nejmenší poloměr kruhové desky, ze které se dá vyříznout rovnostranný trojúhelník se stranou délky 12 cm. [1, s. 117] 3. Ze čtverce s délkou strany 35 cm je vystřižen kruh s největším možným průměrem. Kolik procent obsahu čtverce tvoří odpad? [1, s. 117] 4. Poloměr kola je 50 cm. Kolikrát se otočí za 5 minut, jestliže ujede 12 km za hodinu? [1, s. 119] 5. Je dána kružnice h (S; r = 45 mm) a přímka p ve vzdálenosti 3 cm od bodu S. Sestrojte všechny kružnice o poloměru r = 20 mm, které se dotýkají přímky p a s kružnicí k mají vnější dotyk. Proveďte rozbor, zapište postup konstrukce, proveďte ji a určete počet řešení. [1, s. 137] 6. Je dána kružnice k(S; r = 2,5 cm) a bod M, pro který platí SM = 5 cm. Sestrojte z bodu M tečny ke kružnici k. [1, s. 151] 7. Součástka je znázorněna na výkresu (obr. 6) v měřítku 3 : 1. Změřte potřebné údaje a vypočítejte její skutečné rozměry. [1, s. 95 obrázek neuvádíme] 8. Z kmene, jehož průměr na užším konci je 28,0 cm, se má vytesat trám čtvercového průřezu. Vypočítejte délku strany největšího možného čtvercového průřezu. Vzhledem k praxi zaokrouhlete výsledek dolů. [1, s.58]. Jestliže si vyberete tento soubor úloh jako svůj „standard“ pro zjišťování výsledků učení žáků ve vztahu k tématům o kruhu a kružnici a budete postupovat podle našeho návodu, pak musíte vyřešit první problém: Jde o soubor úloh vyhovující našim představám o zjišťování výsledků učení? Srovnáním s množinou kompetencí a výstupů snadno na první pohled konstatujeme, že soubor úloh celkem vyváženě obsahuje úlohy rozvíjející konstrukční dovednosti, geometrickou představivost a numerické zpracování souvisejících kvantitativních vztahů. Obsahuje úlohy zjišťující praktické využití osvojených poznatků na řešení přiměřených problémů (kolo, součástky, potrubí, trám, měřítko). Bezpochyby jde o umělé úlohy, v zásadě ale evokují situace, které postihují realitu žákova bezprostředního okolí. Zjevně chybí úlohy podporující žákovu představivost a tvůrčí možnosti. Chybí třeba úlohy rozvíjející dovednost sestavit úlohu na danou situaci. Soubor obsahuje úlohy posilující představy o struktuře řešení problému, možná, že bychom uvítali úlohy zdůrazňující vazby mezi jednotlivými předměty učebního plánu. Zobrazení kruhu a kružnice ve vztahu k prostorovým situacím by také napomohlo úspěšnému osvojení sledovaných pojmů. Předcházející soubor úloh měl charakter úloh, jejichž řešením žák tvoří odpověď. Říkáme jim otevřené úlohy, protože odpověď v nich není předepsána. V současné době se stále častěji setkáváte s úlohami s výběrem odpovědi, které označujeme jako uzavřené úlohy. Jsou to úlohy tvořící položky různých testů matematického vzdělávání. Využívány jsou hlavně proto, že se jednodušeji vyhodnocují (i užitím výpočetní techniky). Námitky proti nim spočívají v konstatování, že při jejich hodnocení nemáme vůbec možnost posoudit postup žákova řešení úlohy. Uvedeme úlohy o kruhu a kružnici ze sbírky [2] a pokusíme se rovněž odhadnout, zda by takový soubor úloh mohl tvořit základ pro zjištění výsledků učení v daném tématu. strana 17 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


241 Je dána kružnice k(S;r) a přímka p. Označme vzdálenost bodu S od přímky p písmenem v. Jestliže v < r, pak se přímka p nazývá A. průměr kružnice k B. sečna kružnice k C. tětiva kružnice k D. tečna kružnice k E. nesečna kružnice k 242 Přibližně kolikrát je obvod kruhu větší než jeho poloměr? A. dvakrát B. třikrát C. čtyřikrát D. pětkrát E. šestkrát 243 Obsah kruhu s průměrem d je A. d B. d2 C. 2 d D.

d2/4

E.

d2/2

244 Délka kružnice se středem S je 24 a délka oblouku EXF je 3. Jaká je velikost úhlu ESF? o A. 30 B. 45o C. 60o D. 90o E. 135o (obrázek) 245 Přímka p se dotýká kružnice k v bodě T. Jak velký je úhel TSA? o A. 100 B. 90o C. 60o D. 50o E. 45o 246 Kolik průsečíků mají dvě kružnice s poloměry 10 cm a 6 cm, jestliže vzdálenost jejich středů je 3 cm? A. ani jeden B. jeden C. dva D. tři E. čtyři 247 Na obrázku jsou tři navzájem různoběžné přímky a, b, c. Kolik nejvíc kružnic můžeme narýsovat k daným přímkám tak, aby ke každé z kružnic byly všechny tři přímky tečnami? A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 E. 7 248 Na autodromu jsou dva testovací okruhy. Poloměr jednoho okruhu je 3km, poloměr druhého okruhu je 2 km. Středy obou okruhů jsou od sebe vzdálené 1 km. Na kolika místech se mohou potkat dvě testovací auta, jestliže každé jezdí po jiném okruhu? A. auta se nemohou potkat na žádném místě B. auta se mohou potkat na jednom místě C. auta se mohou potkat na dvou místech D. auta se mohou potkat na třech místech E. auta se mohou potkat na čtyřech místech 249 V rovině jsou dány dvě kružnice k1(S1; 5 cm), k2(S2; 8 cm), které mají společné právě dva body. Označme d vzdálenost středů těchto dvou kružnic. Potom jistě platí A. d > 3 B. d < 13 C. 5 < d < 8 D. 8 < d < 13 E. 3 < d< 13 250 V rovině jsou dány dvě kružnice k1(S1; 7 cm), k2(S2; 12 cm). Nechť vzdálenost středů obou kružnic je d cm. Které z následujících tvrzení je nepravdivé? strana 18 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


A. jestliže d < 19, kružnice nemají společné body B. jestliže d = 19, kružnice mají vnější dotyk C. jestliže d < 19, kružnice mají aspoň jeden společný bod D. jestliže d = 5, kružnice mají právě jeden společný bod E. jestliže d < 5, kružnice nemají společné body Pokud si vyberete tento soubor úloh jako svůj „standard“ pro zjišťování výsledků učení žáků ve vztahu k tématům o kruhu a kružnici a budete postupovat podle našeho návodu, musíte se rovněž nejprve přesvědčit, zda jde o soubor úloh vyhovující vašim představám o zjišťování výsledků učení. Srovnáním s množinou kompetencí a výstupů snadno na první pohled konstatujeme, že soubor úloh neobsahuje úlohy rozvíjející konstrukční postupy řešení úloh, zobrazovací metody ani nemůže kontrolovat v dostatečném záběru úroveň rozvoje numerických dovedností. Představivost je zjišťována v dostatečné míře, týká se to i kompetence orientované na tvorbu hypotéz a jejich ověřování. V menší míře jsou zařazeny úlohy usilující o matematizaci reálných situací, obávám se, že ani autodromy nemají tvary kružnic. Více jsou ale sledovány kompetence rozvíjející logické uvažování a práci se symbolikou a různými znakovými reprezentacemi. Didaktické zásady ale požadují od učitele matematiky, aby užíval různé úlohy, dostatečně rozmanité tak, aby v nich bylo zastoupeno vše potřebné.

5. Závěrečné shrnutí V čem by tedy měl spočívat podíl učitele matematiky na zpracování ŠVP? Dohodli jsme se, že nebudeme mluvit o vzorovém ŠVP pro matematiku, protože vzdělávací program je záležitost všech předmětů a vzdělávacích oblastí školy. Nelze z nich matematiku vytrhnout jako izolovanou záležitost. Vycházíme přitom z přesvědčení, že zpracování ŠVP by v žádném případě nemělo představovat jednorázovou akci, jejíž výsledek potom řadu let visí na zdi ředitelny jako závazné dogma. Zpracování ŠVP musí být podnětem k diskusi v učitelském sboru a vedení školy musí při definitivní rozhodování z této diskuse vycházet. Je třeba podotknout, že bez osvíceného přístupu vedení škol k celé kurikulární reformě budou jakékoli pokusy o zkvalitnění práce škol zbytečné. Závěrem proto uvedeme v bodech a poznámkách naše názory na angažovanost učitele matematiky (předmětové komise) při tvorbě ŠVP. Otázkami naznačujeme problémové situace, které by diskuse na konkrétní škole měla řešit:

5.1

Analýza prostředí školy (silné a slabé stránky školy z hlediska matematiky (dále M), profilace školy a žáka):

Kriteria hodnocení silných a slabých stránek školy z hlediska vyučování M. Jaký posun bychom si přáli, kde bychom chtěli školu mít z hlediska vyučování M? Profil absolventa. Marketing okolí školy. Představy rodičů. Co dělá vedení školy pro zajištění dostatečného počtu zájemců o studium na škole. Konkurence sousedních škol. Má smysl o těchto otázkách z hlediska vyučování M uvažovat?


SU

∑ MA


5.2

Učební plán (včetně volitelných předmětů, zájmových činností apod.):

Jak odhadujeme svoje možnosti prosadit zájmy M při tvorbě učebního plánu? Jaké argumenty a postupy navrhujeme k jejich prosazení? Jakou pomoc a od koho bychom potřebovali? Lze vytvořit loby učitelů M prosazujících zájmy předmětu? Postoje učitelů M v případě nematematického zaměření školy.

5.3

Cílová a obsahová náplň M rozvržená do času (struktura kompetencí, osnovy, tematický plán):

Jak ovlivní cílovou a obsahovou náplň M profil absolventa obsažený v ŠVP? Vyplývá z tohoto profilu cílové zaměření absolventa školy z hlediska M? Máme dostatečně konkrétní a nosné představy o úrovni, na kterou chceme žáka matematicky vzdělat? Jaký je standard určující úroveň žáka (v jednotlivých ročnících, nejen absolventa)? Máme kontrolní nástroje pro ověření této úrovně? Co jsou kompetence a jak jsou formulovány? Sledujeme spíše faktografii nebo formativní působení matematiky? Jak se toto naše pojetí odráží v hodnocení žáka?

5.4

Materiálně technické zabezpečení (učebnice, pomůcky, apod.):

Jaké učebnice užíváme? Užití kalkulaček - je možné na škole vyřešit jednotně jejich užívání? Kabinet M? Vybavenost dalšími pomůckami? Možnosti nákupu (kde)? Máme plán do budoucna, nebo budeme nakupovat, co nás momentálně napadne? Jsme zařazeni do dlouhodobého finančního plánu školy? Můžeme vůbec něco nakupovat? Můžeme si dovolit multilicenci Cabri geometrie za 18 000,-Kč?

5.5

Výpočetní technika (třída PC, software):

Máme přehled o vybavení školy výpočetní technikou určenou k využití ve výuce? Máme zvláštní učebnu VT? Máme Cabri geometrii? Je nakupovaný software didakticky hodnotný? Sledujeme trendy ve využití PC při vyučování matematice?

5.6

Mezipředmětové vztahy (včetně průřezových témat, environmentální výchova, občanství, svět práce, tolerance, drogy, zdraví apod.)

Mezipředmětové vztahy patří mezi pedagogický evrgrín. Byly o nich napsány monografie, vymýšleny teorie, sepsány mnohé zkušenosti učitelů, publikovány různé metodické pokyny. Pokud jde o vyučování matematice, domníváme se, že jde o jednu z klasických ukázek pedagogických problémů, jež je mnohem rozumnější a efektivnější řešit přímo ve škole než na centrální úrovni (patří mezi ně například i problematika užití kalkulačky). Na úrovni ŠVP by mohly být, podle našeho názoru, promýšleny bez velkých nároků na zatížení učitelů. Víme například, že matematika nemůže být nikdy beze zbytku sladěna s fyzikou. Ve vztahu k ostatním předmětům bývala návaznost na matematiku většinou podhodnocována vzhledem k různorodosti učiva. Ukážeme příklad časově nenáročného postupu, jehož hlavním cílem je výměna informací mezi učiteli různých předmětů. strana 20 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


V jedné škole se takto scházeli učitelé M, Čj, D a Tv a sepsali si během 10 minut informace o to, co budou učit příští týden:

• • • • • • • • • • • •

Program výuky 8. ročníků na týden 20. 10. 2003 – 24. 10. 2003 Renesance v Anglii, W. Shakespeare. Zvuková podoba hudby renesanční. Zrcadlo sebepoznání. Kdo jsem. Služby obyvatelstvu, cestovní ruch. Mocnina a odmocnina kladného čísla. Operace s mocninami, úpravy výrazů. Souvětí podřadné, větný člen vyjádřený vedlejší větou. Předložky vlastní a nevlastní. Tlak. Hydrostatické paradoxon. Životopis. Konec tureckého nebezpečí. Okolí Vídně. Turecký motiv u Mozarta. Obratlovci – orgánové soustavy. Lékařství v období renesance – Paracelsus, Eustachio. Alkalické kovy. Basketbal – obrana. Florbal – přihrávky, střelba na bránu. Posilování břišních svalů.

Vzájemná informovanost poskytovala matematikovi možnost využít například učiva o spojkách v Čj k posílení logické terminologie, učiva z dějepisu o historickém kontextu fylogeneze matematických pojmů (1683 – například moderní matematická symbolika, zavedení symbolů a2, infinitezimální počet, fyzika a matematika, analytická geometrie), učiva z F k opakování dovednosti vyjádřit proměnnou z daného výrazu. Ale i služby obyvatelstvu a cestovní ruch představují práci s daty (diagramy, statistické přehledy), která by měla být průběžně rozvíjena ve všech předmětech. Jak je řešena koordinace s fyzikou (ostatními předměty)? Kdo se jí zabývá, je řízená? Existuje průběžná vzájemná informovanost učitelů o probíraných tématech? Jak je realizována?

5.7

Metody a formy práce (soutěže, mimotřídní a mimoškolní aktivity, apod.)

Projektová metoda, metody vnitřní a vnější diferenciace (skupinová práce, individuální přístup, „chytré“ třídy, apod.). Matematické soutěže. Konkrétní formy mimotřídních a mimoškolních aktivit v M. Sledujeme trendy v práci s talentovanými žáky v M?

5.8

Hodnocení

Systém hodnocení by měl být rovněž zakotven v ŠVP po důkladné diskusi v předmětové komisi. Pokud jde o moderní trendy v hodnocení žáků v matematice, víme například, že směřují k tomu, abychom nehodnotili jenom konkrétní poznatky a postupy, ale usilovali o vícerozměrný přístup k hodnocení. Hovoříme o tom, že hodnocení by mělo nabývat charakteru „vektoru“ na rozdíl o dosavadního „skalárního“ přístupu. Nejasnosti u nás panují v současné době ve vztahu ke slovnímu hodnocení. Známe ředitele škol, kteří se domnívají, že jeho povinné zavedení v jejich škole představuje progresivní prvek ve vyučování a zajímají se spíše o mediální využití celé problematiky. Naše zkušenosti zatím svědčí o účelnosti slovního hodnocení na 1. stupni, současně však máme pochybnosti o jeho zralosti pro matematiku na 2. stupni ZŠ. Pro ilustraci uvedeme příklad reálného slovního hodnocení užitého na strana 21 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


konkrétní škole v 6. ročníku. Můžeme diskutovat o jeho efektivnosti. „Zuzana X. Zuzano, počítání s desetinnými čísly už je docela v pořádku, pokud jde o násobení i úlohy na dělení se ti daří zvládnout. Umíš i dobře zapsat zbytek při dělení. Slovní úlohy řešíš také pěkně. Zaměříme se příští rok hlavně na zápis postupu řešení. To se týká také konstrukčních úloh. Vím, že užití matematických značek není jednoduché, ale řešení matematických úloh je potřebuje. Zato měření úhlů ti jde pěkně. Líbí se mi, že projevuješ samostatný zájem o další poznatky, živě se účastníš práce při vyučování. Byl bych rád, kdyby sis svou velmi dobrou úroveň udržovala. Oceňuji velmi pěknou úpravu zápisů v sešitu.“ Jaké formy hodnocení užíváme v naší škole? Mohou učitelé užívat různé formy hodnocení nebo je nařízena jednotná forma? Diskutují učitelé o formách hodnocení? Bere vedení školy zřetel na takové diskuse? Jak je zajištěno to, aby žáci a rodiče rozuměli užívanému hodnocení (aby jim poskytovalo dostatečnou informaci) a vyvozují z něho důsledky?

5.9

Specifické vzdělávací aktivity:

Jakou zvláštní pozornost věnujeme v M dyskalkulikům, LMD, integrovaným žákům, popřípadě dalším žákům se specifickými potřebami? Jak se vyrovnáváme se skupinou žáků, kteří nestačí a my nemáme čas a prostředky k tomu, abychom je dostali na průměrnou úroveň třídy?

5.10 Organizační aspekty: Počty hodin a jejich členění (algebra a geometrie), zařazení v rozvrhu, povinné písemky, termíny úkolů, počítačové zpracování úředních dokumentů apod.

5.11 Další vzdělávání učitelů: Kariérní růst, specializace a profilace učitele, zahraniční kontakty, apod. Existuje ve škole plán DVU, můžeme ho jako učitelé M ovlivňovat? Specializují se učitelé z hlediska DVU (např. učitel zaměřující se na soutěže a talenty v M, učitel zaměřený na využití PC v M apod.)? Pokusme se ještě shrnout, v čem bychom tedy chtěli měnit konkrétně postoje učitelů M: Především to je v oblasti cílového zaměření učitelovy práce. Učitel by neměl vnímat svou práci jako postupné probírání (odučení) témat osnov jednoho po druhém (až si na konci 9. ročníku odškrtne poslední téma osnov). Měl by svou práci vnímat jako směřování k určitému cíli, jímž je předem stanovená (učitelem plánovaná) úroveň matematické vzdělání žáka. Směřování k tomu cíli by mělo být kontrolovatelné („standardizováno“) a nejen samotným učitelem kontrolováno. Měřit dosaženou úroveň umíme v matematice pouze a výlučně řešením úloh nebo problémů (máme tím na mysli provozně použitelné způsoby). Uvedu příklad: Učitel rozvíjející prostorovou představivost žáka by měl mít k dispozici sadu úloh (svých nebo převzatých z nějakého standardu – Scio, Běloun, Kalibro apod.) s tím, že po ukončení určité etapy práce (např. konec 9. ročníku) předloží žákům tyto úlohy. Pokud je žáci vyřeší, řekne si, ano, moji žáci mají prostorovou představivost na úrovni, jakou jsem si předsevzal a naplánoval. Dosáhl jsem v této oblasti svého cíle. Pokud žáci úlohy nevyřeší, řekne si, nenaučil jsem to, co jsem plánoval a musím přemýšlet o tom, zda je chyba ve mně, v žácích nebo někde jinde. Taková (standardizovaná) kontrola by měla probíhat i v dílčích etapách strana 22 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


(např. po jednotlivých pololetích). Podobně by měl učitel prostřednictvím vybraných sad úloh hodnotit svou práci i v ostatních tématech nebo kompetencích (zda v souladu se svým cílem naučil řešit rovnice nebo slovní úlohy, ale i na jaké úrovni si žáci osvojili dovednosti argumentovat, pracovat s daty, zobrazovat tělesa apod.). Samozřejmě, že do výběru takových sad úloh vstupuje subjektivní faktor. Postupně by však měly vznikat podobné nástroje na objektivnější úrovni a měly by být učitelům nabízeny (možná i v různých verzích). Předchozí představa souvisí s hodnocením práce žáků (evaluace) a vlastní učitelovy práce (autoevaluace). Hodnocení práce žáků by nemělo vycházet výlučně z úrovně osvojení faktografie, nemělo by být orientováno převážně na obsahovou stránku školské matematiky, ale mělo by se zaměřovat na úroveň osvojení kompetencí. Autoevaluace práce učitele by měla vycházet ze současných poznatků didaktiky matematiky a jejich průběžné aktualizace. Měli bychom přemýšlet o profesních kompetencích učitele, které se v mnohém těsně váží k osvojovaným kompetencím žáka, v některých případech však mají specificky profesní charakter. Které máme na mysli? Patří mezi ně především konstruktivistické pojetí pojmotvorného procesu, motivace žáků k matematice, diagnostika žákovských dispozic a předpokladů, práce s talentovanými žáky, mezipředmětové vztahy, formy hodnocení, využití didaktické techniky, práce s chybou. Nepochybujeme o tom, že změna postojů učitele matematiky je mimořádně náročný cíl v současných podmínkách naší školské soustavy. Musíme k němu přistupovat s velkou odpovědností, a to jako k problému, který je otevřený a který je třeba řešit. Tvrdíme přece, že matematika rozvíjí obecnou dovednost řešit problém jako málokterý jiný předmět.


SU

∑ MA


Náměty na seminární práce 1. Konkretizujte výstupy vyučování zvoleného tematického celku v určitém ročníku (pololetí, čtvrtletí). 2. Zpracujte přehled konkrétních kompetencí (dovedností) rozvíjených vyučováním matematice ve zvoleném tematickém celku v určitém ročníku (pololetí, čtvrtletí). 3. Navrhněte náměty pro podíl vyučování matematice v environmentální výchově ve zvoleném ročníku (tematickém celku). 4. Zpracujte jednoduchý výzkum o studijním stylu vašich žáků (jak se vaši žáci učí matematiku). 5. Připravte (spolu se svými žáky) soubor úloh na téma: geometrie města, geometrie krajiny, geometrie jízdního kola, geometrie mechanických zařízení kolem nás, apod. 6. Připravte (spolu se svými žáky) soubor úloh na téma: cestujeme, nakupujeme, bavíme se, apod.


SU

∑ MA


Literatura [1] Běloun, F.: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ. Praha: SPN. 1992. ISBN 80-04-26365-8 [2] Burjan, V., Bartlová A.: Matematika základní školy v testech. Bratislava: Exam. 1999. ISBN 80967702-5-X. První české vydání únor 1999. [3] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha: VÚP. 2004. [4] Straková, J. a kol.: Vědomosti a dovednosti pro život. Praha: UIV. 2002. ISBN 80-211-0411-2. [5] Kindl, K.: Matematika - Přehled učiva základní školy. Praha: SPN.1980.


SU

∑ MA


Projektování dílčích výstupů a učiva v práci učitele matematiky

Recommend Documents