PROGRAM STUDI DIPLOMA 3 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
ITSM
BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 2 BOEDI WIBOWO 1/3/2011
KATA PENGANTAR
Dengan mengucap syukur kepada Allah SWT , karena dengan rachmat NYA kami bisa menyelesaikan BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 2 . Bahan ajar ini diharapkan dapat membantu proses belajar mengajar di Program Diploma 3 Teknik Sipil , selain diktat yang sudah ada . Mata kuliah Mekanika Rekayasa 2 ini merupakan ilmu dasar keahlian yang harus dipahami mahasiswa Teknik Sipil . Oleh karena itu mahasiswa harus memahami secara benar , sehingga diperlukan membuat sajian materi dalam bentuk bahan ajar . Bahan ajar ini dibuat dalam bentuk yang lebih rinci lengkap dengan contoh soal dan penjelasannya .
2
MATERI
.REVIEW GAYA DALAM , GAYA BATANG . PENGERTIAN TEGANGAN . TEGANGAN NORMAL . DIAGRAM TEGANGAN DAN REGANGAN . TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA . DIAGRAM TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN LENTUR . TEGANGAN GESER . STATUS TEGANGAN PADA ELEMEN . TEGANGAN UTAMA DAN GESER EXTREEM . PENAMPANG NON HOMOGEN . TEKUK
3
REVIEW GAYA DALAM DAN KONSTRUKSI RANGKA BATANG . 5T 3T
q=1 t/m
6T
tg α = 3/4
α
3T 4T
A
D
B
4m
C
6m
2 m
HITUNG BESAR MOMEN , LINTANG DAN NORMAL 1 . DI POTONGAN TENGAH DB 2 . DI POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KANAN D 3 . DI POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI B JAWAB : ∑ =0
HA + 4 – 3 = 0
HA = - 1 T
∑ = 0
VA.10 – 3. 6 – 6.3 + 2.1 + 6.2 = 0
∑ = 0
- VB . 10 + 6.12 + 2.11 + 6.7 + 3.4 = 0
HA = 1 T VA = 2,2 T
VB = 14,8 T
POTONGAN TENGAH DB LIHAT SEBELAH KANAN POTONGAN 1t/m
6T
N=-3T 3T
3T
B
2T C
D = + 6 + 2 – 14,8 + 3 = - 3,8 T
+
14,8 T 3m
2m
M = - 6.5 – 2.4 + 14,8.3 – 3.1,5 = 1 , 9 TM
_ 4
POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KANAN D LIHAT SEBELAH KIRI POTONGAN 3T 1T
A
4T
N=+1–4=-3T
D
D = + 2,2 – 3 = 0,7 T
2,2 T
M = + 2.2 . 4 – 3.0 = 8,8 TM 4m
+
_
POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI B LIHAT KANAN POTONGAN 1 t/m
6T
N=-3T 3T
B
2T
C
D = + 6 + 2 -14,8 = - 6,8 T M = -6.2 – 2.1 + 14,8.0 = - 14 TM
14,8 T 2m
5
2T
C
D
E
3,61 3 2
3m A A
SIN α = 3/3,61 = 0,83
B
4T
E
COS α = 4/3,61 = 0,55
F
3 λ = 12 m HITUNG BESAR GAYA BATANG S AC , S DE , S BF JAWAB : ∑ = 0
VA . 12 – 2 . 6 – 4 .4 = 0
VA = 2,33 T
∑ = 0
- VB . 12 + 4 . 8 + 2 .6 = 0
VB = 3,67 T
TITIK SIMPUL A( CARA KESETIMBANGAN TITIK SIMPUL) S AC SIN α
∑ = 0
S AC S AC COS α
+ S AC SIN α + 2,33 = 0
2,33
S AC =- 2,33 / O,83 = - 2,81 T
SAC = 2,81 T ( TEKAN )
CARA RITTER LIHAT KIRI POTONGAN S DE SIN α
S DE
∑ = 0 2,33 + S DE SIN α = 0 2,33 T
S DE = -2,33 / 0,83 =- 2,81T
S DE = 2,81 T ( TEKAN )
LIHAT KANAN POTONGAN E 3m
B S BF
∑ = 0 S BF . 3 – 3,67. 2 = 0 S BF = 2,45 T ( TARIK )
3,67 T 6
TERJADINYA TEGANGAN
h
A
B b
SUATU BALOK AB DENGAN DEMENSI b / h ATAU b x h MENDAPAT BEBAN SEPERTI TERGAMBAR DIATAS. APABILA BALOK KITA POTONG MAKA DIDALAM BAHAN AKAN TIMBUL GAYA DALAM.
M D
AKIBAT GAYA DALAM INILAH TIMBUL TEGANGAN AKIBAT N, TIMBUL TEGANGAN NORMALбn
N A
AKIBAT M, TIMBUL TEGANGAN LENTUR
HA
AKIBAT D, TIMBUL TEGANGAN GESER
бL
τ
VA
б
= SIGMA
τ
= THO
SATUAN DARI TEGANGAN ADALAH KG / CM 2 ; N / M2 ; MPA DIMANA 1 MPA ±10 KG/ CM 2 TEGANGAN YANG TERJADI HARUS
≤
TEGANGAN YANG DIIJINKAN DARI BAHAN
7
TEGANGAN NORMAL бn= P/ F = P / A
DIMANA P = GAYA SEARAH DENGAN SUMBU BATANG F = A = LUAS PENAMPANG YANG MENDAPAT BEBAN
P бn =
h
( TEKAN )
b.h b P TON
P TON
P TON
бn =
D = DIAMETER .
P
( TARIK ) 2
1/4 ∏ D
8
CONTOH SOAL
A
5T
4T
α
C
tg α = 4 / 3 D
3T
B
2T
DIKETAHUI SUATU BALOK DENGAN BEBAN SEPERTI TERGAMBAR
DEMENSI BALOK AC 10 / 20
( 10 CM X 20 CM )
BALOK CB
15 / 20
( 15 CM X 20 CM )
BALOK DB
20 / 20
( 20 CM X 20 CM )
HITUNG TEGANGAN NORMAL DI BALOK TERSEBUT ?
∑ =0
HA + 3 – 2 = 0
LIHAT KIRI POTONGAN
1T
N AC = P AC = + 1 TON
HA = -1 T
HA= 1 T
A
σ
.
.
5
LIHAT KANAN POTONGAN
kg TARIK cm D
2T
B N CB = P CB = - 2 TON
N DB = P DB = - 2 TON
σ σ
.
. .
.
6,67 6,67
kg TEKAN cm
kg TEKAN cm
9
5T
5T
SUATU BALOK KAYU DITARIK DENGAN BEBAN 5 TON APABILA TEGANGAN BAHAN YANG DIIJINKAN бn= 7 MPA DILAPANGAN ADA BEBERAPA DEMENSI 8 /12 ; 10/12 ; 8/14 DEMENSI MANA YANG SAUDARA PILIH ?
&
$% '
7.10 = 5. 10 3
A = 5000 / 70 = 71,43 CM
2
A
MAKA DEMENSI KAYU YANG DIPILIH 8 / 12 ( LUAS = 96 CM
2
)
SEHINGGA DENGAN DEMENSI YANG DIPILIH TEGANGAN TERJADI TIDAK MELEBIHI TEGANGAN IJIN BAHAN.
10
DIAGRAM TEGANGAN DAN REGANGAN б= P /A
б
Є=ΔL/L
Є = EPSILON
Elastis APABILA BATANG BAJA DITARIK , BAHAN TERSEBUT AKAN MENGALAMI PERUBAHAN BENTUK ( DEFORMASI ).
ELASTIS
$ (·*
E = MODULUS
ELASTISITAS BAHAN
$ $
+ ,
+ ∆. $ (·* ·* , . + ∆. .* , . ∆.
+·. *·,
Δ L = DEFORMASI ( PERPANJANGAN ATAU PERPENDEKAN ) P = GAYA TARIK ATAU GAYA TEKAN SEARAH SUMBU BATANG L = PANJANG BATANG E = MODULUS ELASTISITAS BAHAN A = LUAS PENAMPANG 11
CONTOH SOAL
6T
8T
A
B
6m
C
5T
3T
4m
3m
TIGA BAHAN A , B , C DIGABUNG MENJADI SATU KESATUAN . BAHAN A
A = 500 mm
BAHAN B
A = 450 mm
BAHAN C
A = 200 mm
2
5
2
6
2
6
2
E = 1 X 10 KG / CM
2
E = 2 X 10 KG / CM
2
E = 1 X 10 KG / CM
HITUNG BESAR DEFORMASI TOTAL DARI KETIGA BAHAN TERSEBUT DIATAS ?
ΔL= PL/EA 8T BAHAN A
LIHAT KIRI POTONGAN 3
P=-8T BAHAN B
P=+3T
5
LIHAT KANAN POTONGAN
P=+3–5=-2T BAHAN C
2
Δ L = 8 . 10 . 6 . 10 / 1 . 10 . 5 CM = - 9,6 CM
3
3T
5T 2
6
Δ L = 2 . 10 . 4. 10 / 2 . 10 . 4,5 CM = - 0, 088 CM
LIHAT KANAN POTONGAN 3
2
3T 6
Δ L = 3 . 10 . 3 . 10 / 1 . 10 . 2 CM = +0 ,45 CM
Δ L TOTAL = - 0, 9,6 – 0, 088 + 0, 45 = - 9,24 CM ( MEMENDEK )
12
A
SUATU BATANG BULAT DIGANTUNG DI TARIK DENGAN P = 25 TON. E = 2,1 . 10 2m
6
KG / CM
2
TEGANGAN IJIN BAHAN = 140 MPA DEFORMASI YANG DIIJINKAN = 5 MM
B
HITUNG BESAR DIAMETER DARI BATANG TERSEBUT ? P TON
$
1400 8 =
+ ,
2 4 .D6 3
9., .:, 9
D2 22,75 CM2 D = 4,77 CM
∆.
0,5 D
+·. *·,
. . . 6 2 3
, . 7 . 4 D6 .
., . :, 9 ., . 7
D 6,067 CM D = 2, 46 CM
DIAMETER DARI BATANG YANG DIPILIH ADALAH D = 4, 77 CM DIPILIH DIAMETER TERBESAR DARI DUA DIAMETER DIATAS , KARENA DALAM PERSAMAAN DIATAS DTERLETAK SEBAGAI PENYEBUT.BEGITU JUGA SEBALIKNYA KALAU YANG DITANYAKAN SEBAGAI VARIABEL ADALAH PEMBILANG, MAKA YANG DIPILH ADALAH YANG TERKECIL . JADI TEGANGAN YANG TERJADI TETAP LEBIH KECIL DARI TEGANGAN IJIN BAHAN .
13
TITIK BERAT PENAMPANG
TITIK BERAT
X=
Sx ( STATIS MOMEN TERHADAP SISI ATAU GARIS SEARAH SB Y) LUAS PENAMPANG TOTAL
Y
= Sy ( STATIS MOMEN TERHADAP SISI ATAU GARIS SEARAH SB X ) LUAS PENAMPANG TOTAL
STATIS MOMEN TERHADAP GARIS ATAU SISI ADALAH PERKALIAN ANTARA LUASAN DAN JARAK TITIK BERAT NYA TERHADAP SISI ATAU GARIS YANG DITINJAU STATIS MOMEN NYA .
PENAMPANG DISAMPING ADALAH PENAMPANG
d
A
YA
c B
YANG TIDAK SIMETRIS , JADI DIMISALKAN DAHULU LETAK TITIK BERAT NYA . MENCARI YA, MENGGUNAKAN STATIS MOMEN
YB
TERHADAP SISI ATAS. YA ( LUAS A + LUAS B ) = LUAS A X JARAK TITIK BERAT SAMPAI SISI ATAS ( d ) + LUAS B X JARAK TITIK BERAT
X KR
X KN KNKN
SAMPAI SISI ATAS ( c ) .
DENGAN MENDAPATKAN YA, MAKA YB DAPAT DICARI. BEGITU PULA DENGAN CARA STATIS MOMEN TERHADAP SISI KIRI , DAPAT DIHITUNG BESAR X KR .JANGAN LUPA JARAK TITIK BERAT LUASAN TERHADAP SISI KIRI .
14
CONTOH SOAL 20 CM
8/2
8 CM
YA
( 22/2 + 8 )
22 CM YB
8 CM
HITUNG LETAK TITIK BERAT NYA ? PENAMPANG DIATAS SIMETRIS TERHADAP SUMBU Y , JADI X KR = X KN = 10 CM STATIS MOMEN TERHADAP SISI ATAS Y A ( 20 . 8 + 8 . 22 ) = 20 . 8 . 8/2 + 8 . 22 . ( 22 /2 + 8 ) Y A = 640 + 3344 / ( 160 + 176 ) = 3984 / 236 = 16,88 CM Y B = 30 CM – 16,88 CM = 13 , 12 CM 15 CM 6 CM
PENAMPANG DISAMPING ADALAH SIMETRI JADI LETAK TITIK BERAT DAPAT DITENTUKAN
3
20 CM
X KR = X KN = 7, 5 CM Y A = Y B = 16 CM
15 CM
6 CM
15 CM
15
MOMEN INERSIA
‘
d
SB Y
Ix = 1/12 b h 3 Iy = 1/12 h b 3
SB X
I x ‘ = 1/12 b h 3 + c 2 . b .h
h
I y ‘ = 1/12 h b 3 + d 2 . b . h
c X‘
b
c = d = JARAK TITIK BERAT LUASAN TERHADAP SUMBU YANG DICARI MOMEN INERSIA NYA
15 CM
PENAMPANG DISAMPING 6 CM 16 CM AD ADALAH SIMETRIS 13 CM
Y A = Y B = 16 CM
32 CM
3
16 CM
13 CM
X KR = X KN = 7, 5 CM
6 CM 15 C M
IX= 2
IY=2
3
1/12 . 15 . 6 + ( 16-3 )2 .15 . 6
1/12 . 6 . 15
3
+ 1/12 . 20 . 3
3
+ 1/12 . 3. 20
= 3420 CM
3
= 7220 CM
4
4
PENAMPANG DIATAS ADALAH SIMETRIS , JADI UNTUK DUA LUASAN YANG SAMA TINGGAL MENGALIKAN DUA SAJA.
16
(11,21 – 3)
34 34 CM
4 CM
YA
( 6,14 -2 ) (13,86 – 8)
20 CM
(22,79 – 17)
YB
6 CM X KR
X KN
STATIS MOMEN TERHADAP SISI KIRI X KR ( 34 . 4 + 6 . 16 ) = 34 . 4 . 17 + 6 . 16 3 X KR
= 2600 / 232 = 11 , 21 CM
X KN
= 34 CM – 11 , 21 CM = 22 , 79 CM
STATIS MOMEN TERHADAP SISI ATAS Y A ( 34 . 4 + 6 . 16 ) = 34 . 4 . 2 + 6 . 16 ( 16 /2 + 4 ) Y A = 1424 / 232 = 6,14 CM Y B = 20 CM – 6 , 14 CM = 13, 86 CM 3
2
3
2
I X = 1/ 12. 34 4 + ( 6, 14 – 2 ) . 34 . 4 + 1/12 .6 . 16 + ( 13, 86 – 8 ) . 6. 16 = = 181, 33 + 2330, 986 + 2048 + 3296, 60 = 7856, 92 CM 3
2
4
3
2
I Y = 1/12 .4 . 34 + ( 22, 79 - 17 ) . 34 . 4 + 1/12 . 16 . 6 + ( 11, 21 – 3 ) . 6 . 16 = 13101, 33 + 4559, 278 + 288 + 6470, 79 = 24419, 40 CM
4
17
TEGANGAN LENTUR P
a
b SB X/ GRS NETRAL
c
d
M
M
a
бl = M Y / I = M / W
b
W=I/Y M = MOMEN LENTUR Y = JARAK SISI ATAU
c
d
ELEMEN DITINJAU TERHADAP GRS NETRAL I = MOMEN INERSIA
SUATU BALOK DIBEBANI BEBAN P, SEHINGGA BALOK TERSEBUT AKAN MELENDUT. DAPAT DILIHAT PADA TITIK a b DAN TITIK c d , DIMANA SERAT ATAS a b MEMENDEK ( TERTEKAN ), SEDANG SERAT BAWAHc d MEMANJANG ( TERTARIK ), MOMEN DIATAS ADALAHMOMEN POSITIF. DIAGRAM TEGANGAN LENTUR бla = M Ya / I X elemen 1 Y1
Ya
Yb
бl 1 = M Y 1 / I x
бlb = M Yb / I X
18
GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN LENTUR
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+ +
-
-
-
19
CONTOH SOAL
1 t/m
5T
4T
α A
3T
B
C
5m
5m
tg α = 3/4
D 3m
DIKETAHUI SUATU KONSTRUKSI DENGAN BEBAN SEPERTI TERGAMBAR DIATAS HITUNG DAN GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR UNTUK : 1 . POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI B 2 . POTONGAN TENGAH BC 3 . POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KANAN C ( HITUNG JUGA KOMBINASI TEGANGAN )
15 cm 3 cm
YA
Garis netral
33 cm YB
5 cm MENCARI LETAK TITIK BERAT STATIS MOMEN TERHADAP SISI ATAS Y A ( 15. 3 + 5 . 30 ) = 15. 3 . 1,5 + 5 . 30 . 18 YA = 2767, 5 / 195 = 14, 19 CM
IX
3
2
Y B = 33 CM – 14, 19 CM = 18, 81 CM 3
2
= 1/12 . 15 . 3 + ( 14, 19 – 1,5 ) . 15 . 3 + 1/12 .5 30 + ( 18, 81 – 15 ) .30 .3 = 33, 75 + 7246, 62 + 11250 + 1306, 45 = 19836, 82 CM
4
20
1 . POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI B =0
+ HA – 4 + 3 = 0
HA = 1 T
= O VA . 10 – 5. 7,5 – 3 . 5 + 4 . 3 = 0
VA = 4, 05 T
=0
VC = 7, 95 T
- VC . 10 + 4. 13 + 3. 5 + 5 . 2,5 = 0 3T
LIHAT KIRI POTONGAN
1 t /m HA = 1T
4T A
N=+1T
B
M = = 4, 05 . 5 – 5 . 2,5 = 8 TM
4, 05 T 5m
бn =
1 . 10
3
2
= 5, 13 KG/ CM ( TARIK )
( 15 . 3 + 5 . 30 ) Ingat momen positif, serat bawah tertarik, serat atas tertekan . 3
бl a = =
= 572, 27 KG / CM
2
8. 10 . 10 . 18, 81
= 758, 59 KG / CM
( TEKAN )
2
( TARIK )
19836, 82
5, 13 -
2
19836, 82
3
бl b = =
2
8. 10 . 10 . 14, 19
572, 27 -
+ + 5, 13 DIAGRAM TEG. NORMAL
+ 758, 59 DIAGRAM TEG. LENTUR
21
2 . POTONGAN TENGAH BC LIHAT KANAN POTONGAN 4T C
N=+3T D
3T
M = - 4 , 5. 5 + 7, 95 . 2, 5 = = - 2, 65 TM
7, 95 T 2, 5 m
бn =
3m
3 . 10 3
=
2
15, 38 KG / CM ( TARIK )
( 15. 3 + 5 . 30 ) Ingat momen negatif,serat atas tertarik, serat bawah tertekan. 3
бl a = =
2
2, 65 . 10 . 10 . 14, 19
2
= 189, 56 KG / CM ( TARIK )
19836, 82 3
2
2, 65 . 10 . 10 . 18, 81
бl b = =
2
= 251, 28 KG / CM ( TEKAN )
19836, 82
DIAGRAM TEGANGAN
189, 56
15, 38
+
+ -
+ 15, 38 TEG. NORMAL
251, 28 TEG. LENTUR 22
3 . POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KANAN C Lihat kanan potongan 4T D
N=+3T 3T
M = - 4 . 3 TM = - 12 TM
C 3m
б n= Бla =
3.10
3 2
=
15, 38 KG / CM ( TARIK )
=
858, 34 KG / CM ( TARIK )
=
1137, 86 KG / CM ( TEKAN )
( 15 . 3 + 5 . 30 ) 3
бl a = =
12 . 10 . 14, 19 19836 , 82 12 . 10 3 . 18, 81
бl b = =
2
2
19836, 82
DIAGRAM TEGANGAN
15, 38
858, 34 +
++ 15, 38 TEG NORMAL
873, 72
1137, 86 TEG LENTUR
+
-1122,48 KOMBINASI TEGANGAN
PADA SOAL DIATAS DIPAKAI I X , KARENA BEBAN YANG BEKERJA MEMBEBANI SUMBU X. 23
P=5T
1
3T
5 cm h = 25 cm
3
8 cm
2
A
B
b = 15 cm
3m HITUNG BESAR TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DITENGAH BENTANG PADA ELEMEN 1 ,YANG TERLETAK 5 CM DARI SISI ATAS PENAMPANG. DAN ELEMEN 2 YANG TERLETAK TEPAT DI GARIS NETRAL . HITUNG BESAR TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DI A, PADA ELEMEN 3 YANG TERLETAK 8 CM DARI SISI BAWAH PENAMPANG .
Lihat kanan potongan Elemen 1
5T
1
3T Y 1 = ( 12,5 – 5 )
Elemen 2
garis netral
B
1, 5 m ELEMEN 1 N= -3T
б n1=
3 . 10 3
2
2 / CM () TARIK ) = = 8858, KG 34 / CMKG( TEKAN
15 . 25
M = -5 . 1, 5 TM = - 7, 5 TM
бl 1 = =
3
2
7, 5 . 10 . 10 ( 12, 5 – 5 ) 1/12 . 15 . 25
2
= 288KG / CM ( TARIK )
3
INGAT MOMEN NEGATIF, SERAT TERTARIK ADA DIATAS,ELEMEN 1 ADA DIATAS GARIS NETRAL, JADI ELEMEN 1 TERTARIK . 24
ELEMEN 2 N= -3T
3 . 10
б n1=
3
2
=
8 KG / CM ( TEKAN )
15 . 25
Y 2 = 0 , KARENA ELEMEN 2 TEPAT DI GARIS NETRAL
M = -5 . 1, 5 TM
3
= - 7, 5 TM 7, 5 . 10 . 10
2
0
бl 1 = =
= 0 KG / CM
1/12 . 15 . 25
2
3
ELEMEN 3 5T A3 T Elemen 33 m
N= -3T
б n1=
Y 3 = ( 12,5 – 8 )
3 . 10
3m
3
2
=
8 KG / CM ( TEKAN )
15 . 25
M = -5 . 3 TM = - 15 TM
бl 1 = =
3
2
15 . 10 . 10 . ( 12, 5 – 8 ) 1/12 . 15 . 25
2
= 345, 6KG / CM ( TEKAN )
3
INGAT MOMEN NEGATIF, SERAT TERTARIK ADA DIATAS, ELEMEN 3 ADA DIBAWAH GARIS NETRAL , JADI ELEMEN 3 TERTEKAN.
25
TEMPAT BEKERJANYA BEBAN HORIZONTAL
ey
ey
ex
P BEKERJA SENTRIS TEGAK
P BEKERJA EKSENTRIS
ex
P BEKERJA EKSENTRIS
MIRING / SERONG
e x = EKSENTRISITAS ARAH X e y =EKSENTRISITAS ARAH Y
P
M=P.e
e
P
PADA BALOK DIATAS DIBEBANI BEBAN P SEPERTI TERGAMBAR, SECARA KASAT MATA, PADA BALOK TERSEBUT TERJADI TEGANGAN NORMAL, PADAHAL P DAPAT DI PINDAHKAN TEPAT DI GARIS NETRAL DAN DITAMBAH BEBAN M = P . e , SEHINGGA PADA BALOK TERSEBUT TERJADI TEGANGAN NORMAL MAUPUN TEGANGAN LENTUR .
26
SALAH SATU CONTOH DARI KEJADIAN DIATAS ADALAH PADA PONDASI .
M
P
TEGANGAN NORMAL
TEGANGAN LENTUR
DARI DUA DIAGRAM TERSEBUT DIATAS , DIUSAHAKAN KOMBINASI TEGANGANNYA ADALAH TEKAN , AGAR PONDASI TIDAK TERANGKAT. UNTUK MENDAPATKAN HAL DIATAS DI USAHAKAN BEBAN P BEKERJA PADA KERN DARI PENAMPANG.
KERN
e x ≤ 1/ 6 b e y ≤ 1 /6 h
ey
eX
27
TEGANGAN GESER
τ=
D.S
D = GAYA LINTANG
b . I
S = STATIS MOMEN TERHADAP GARIS NETRAL b = LEBAR SISI / ELEMEN DITINJAU I = MOMEN INERSIA
(I X )
5 CM
elemen 1
Y A = 12 , 5 CM
a
τ MAX
25 CM
Y B = 12, 5 CM
15 CM ELEMEN 1 SEJARAK 5 CM DARI SISI ATAS PENAMPANG S 1 = LUAS DARI ELEMEN 1 SAMPAI SISI ATAS X JARAK TITIK BERAT KE GARIS NETRAL = 15 .5 ( a ) = 75 . ( 12,5 – 2,5 )= 750 CM
3
b 1 = 15 CM CATATAN : APABILA ELEMEN YANG DITINJAU ADA DIATAS GARIS NETRAL , MAKA SEBAIKNYA LUAS YANG DIAMBIL DARI ELEMEN TERSEBUT KE SISI ATAS, BEGITU JUGA SEBALIKNYA KALAU ELEMEN ADA DIBAWAH GARIS NETRAL, LUAS YANG DIAMBIL KESISI BAWAH, SEDANG UNTUK ELEMEN YANG TEPAT BERADA DI GARIS NETRAL MAKA LUAS YANG DIAMBIL BOLEH KE SISI ATAS ATAUPUN KE SISI BAWAH, DENGAN CATATAN CARI LUAS YANG TERMUDAH. 28
ζτaMAX =0
15 CM
τc 23 CM
A
YA = 14, 19 CM
τd
τMAX b
3
33 CM
10 CM
YB = 18, 81 CM 5 CM
τb = 0
ELEMEN 2 TERLETAK 1 CM DARI SISI ATAS PENAMPANG S 2 = 15 . 1 . ( a ) = 15 . ( 14, 19 – 0,5 ) = 205, 2 CM
3
b 2 = 15 CM
ELEMEN 3
TERLETAK 10 CM DARI SISI BAWAH PENAMPANG S 3 = 5 . 10 ( b ) = 50 . ( 18, 81 – 5 ) = 690, 5 CM
3
b 3 = 5 CM DARI GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN GESER DIATAS , DAPAT DILIHAT BAHWA τMAX SELALU BERADA TEPAT DI GARIS NETRAL . D . ( 5 . 18, 81 . 18, 81 / 2 )
UNTUK ELEMEN C DAN D ,
τ max = 5.Ix D . ( 15 . 3 . ( 14, 19 – 1 5 ) )
τ c
DALAM RUMUS BERBEDA PADA b KARENA ELEMEN C TERLETAK SEDIKIT
= 15 . I x
DIATAS , SEDANG ELEMEN D BERADA SEDIKIT DIBAWAH 15 CM
D . ( 15 . 3 . ( 14, 19 – 1, 5 ) )
τd
=
5.Ix
C D 29
5 CM
1 t/m
5T
4T
α A
3T
B
C
5m
tg α = 3/4
D
5m
15 CM
3m
3 CM
DIKETAHUI KONSTRUKSI DENGAN BEBAN SEPERTI TERGAMBAR
33 CM
BENTUK PENAMPANG SEPERTI TERGAMBAR DISAMPING. HITUNG DAN GAMBAR TEGANGAN GESER PADA POTONGAN
5 CM
SEDIKIT SEBELAH KIRI B. HITUNG PULA BESAR TEGANGAN GESER DI TENGAH BC PADA ELEMEN 1 SEJARAK 10 CM DARI SISI BAWAH PENAMPANG. DARI PERHITUNGAN DI HALAMAN 16 Y A = 14, 19 CM DAN Y B = 18. 81 CM I x = 19836 , 82 cm
4
D = + 4, 05 – 5 = - 0, 95 T
1T/M A
τa
Q=5T
τc 14,19
4, 05 T
τd
c
τmax
d 18,81
τa=τb=0 c 3
0,τ 95 c =. 10 ( 15. 3 ( 14, 19 – 1, 5 )) = 1, 82 KG / CM
τb
2
15 . 19836, 82 c 3
0, 95 . 10 ( 15 . 3 ( 14, 19 – 1, 5 )) τd
= 5 . 19836, 82 0, 95 . 10
3.
= 5, 46 KG / CM
d
( 5 . 18, 81 . 18, 81 / 2 ) )
τ max =
2
= 8, 47 KG / CM
2
5. 19836, 82 30
POTONGAN TENGAH BC 4T 3T C
D = + 4 – 7, 95 = - 3, 95 T
D
7. 95 T 2, 5 M
3M
GARIS NETRAL (18, 81 – 5) Elemen 1 18, 81 CM 10 CM 5 CM
S 1 = 5. 10 . ( 18, 81 – 5 ) CM
3
3
τ1 =
3, 95 . 10 . ( 5 . 10 ( 18, 81 – 5 ) ) = 27, 50 KG / CM
2
5 . 19836, 82
31
STATUS TEGANGAN PADA ELEMEN бY τ XY
бx = ( бn + бl ) arah x бy = (
бX
бX
бy= ( бn +бl ) arah y
τxy = τ τXY
бY
INI ADALAH GAMBAR STATUS TEGANGAN PADA ELEMEN, DIMANA PADA ELEMEN YANG DIAMBIL AKAN MEMPUNYAI TEGANGAN NORMAL ARAH X MAUPUN ARAH Y, BEGITU JUGA MEMPUNYAI TEGANGAN GESER ARAH XY бY
GAMBAR бx DAN бy ADALAH TARIK
τXY
APABILA (бn + бl ) ADALAH POSITIF бX
бX
GAMBAR τxy DISAMPING APABILA BERASAL DARI D POSITIF
τXY бY
GAMBAR бx DAN бy ADALAH TEKAN
бY τXY
APABILA (бn + бl ) ADALAH NEGATIF. SEDANG GAMBAR τxy SEPERTI DISAMPING
бX
AP
бX
ABILA BERASAL DARI D NEGATIF
τXY бY
32
CONTOH SOAL 15 CM
2t/m
3 CM
2
2
14,19
3T 1
1
A
B
18,81
1
C 4M
5 CM
D
6M
3M
DIKETAHUI KOSTRUKSI BALOK DENGAN BEBAN SEPERTI TERGAMBAR DIATAS. PENAMPANG YANG DIPAKAI SEPERTI PADA HALAMAN 16, SEHINGGA SUDAH DIKETAHUI YA = 14, 19 CM
YB = 18, 81 CM
IX = 19836, 82 CM
4
1 . HITUNG BESAR TEGANGAN TEGANGAN YANG TERJADI DI
ELEMEN 1 , TERLETAK 2 M DARI A DAN 8 CM DARI SISI BAWAH PENAMPANG. ELEMEN 2 , SEDIKIT SEBELAH KANAN C, TEPAT DI SISI ATAS PENAMPANG. DARI HASIL DIATAS HITUNG DAN GAMBAR JUGA STATUS TEGANGANNYA.
∑ =0
+ HC+ 3 = 0
HC = 3 T
∑ ? = 0
VA . 10 – 12. 3 + 6 . 1,5 = 0
∑ = 0
- VC . 10 + 18. 8,5 = 0
VA = 2,7 T VC = 15, 3 T
33
ELEMEN 1 A 2M
d
c elemen 1
2, 7 T
18,81
8 cm
5 CM
c = 18, 81 – 4 = 14, 41 CM
d = Y1 = 18, 81 – 8 = 10 , 81 CM
бn =
N=0
0
d 3
M = 2, 7 . 2 = 5, 4 TM
бl =
2
5,4 . 10 . 10 .( 18, 81 – 8 )
= 294, 27 KG / CM
2
( TARIK )
19836, 82
бx =
2
0 + 294 , 27 = + 294, 27 KG / CM ( TARIK ) c
D = + 2, 7 T
τ ==
2, 7 . 10 3 ( 5 . 8 ( 18, 81 – 4 )) 5 . 19836, 82
τ xy
= 16, 13 KG / CM
2
STATUS TEGANGAN ELEMEN 1
τxy = 16,13 б x = 294,27
б x = 294,27
elemen 1
τxy = 16,13
34
ELEMEN 2 2 t /m
Elemen 2 3T
C
Y 2 14,19
D garis netral
3M
N=+3T
3 . 10
бn2 =
3
= 15, 38 KG / CM
2
( TARIK )
( 15.3 + 5. 30 )
M = - 2. 3 . 1,5 = - 9 TM
9.10 3. 10 2.14, 19
бl2= бx = D = + 2 . 3 = 6 TM
19836,82 15, 38 + 643, 8 = 659, 18 KG / CM
2
= 643, 8 KG / CM 2( TARIK ) = 643, 8 KG / CM ( TARIK ) 2
6 . 10 3 ( 15 . 0 . 14, 19 ) )
τ 2 =τ xy=
= 0 KG / CM
2
15. 19836, 82
STATUS TEGANGAN ELEMEN 2
б x = 659, 18
elemen 2
б x = 659, 18
35
TEGANGAN UTAMA DAN TEGANGAN GESER EXTREM
TEGANGAN UTAMA
б max, min
2
±
= бx + бy
бx-бy +τxy
2 Tg 2 Ѳ = 2
2
2
τ xy /
( бx – б y )
TEGANGAN EXTREM
τ max, min =
±
бx-бy
2
+ τxy
2
2 Tg 2 Ѳ = - ( б x – б y ) / 2 τ x y CATATAN
UNTUK MEMASUKKAN BESAR TEGANGAN PADA RUMUS DIATAS б x DAN б y = POSITIF ( + )
б x DAN б Y = NEGATIF ( - )
τxy = POSITIF
(+)
τ xy = NEGATIF ( - )
36
CONTOH SOAL
DARI HASIL PERHITUNGAN STATUS TEGANGAN PADA ELEMEN 1 DI HALAMAN 30 DAPAT DIHITUNG TEGANGAN UTAMA BESERTA ARAHNYA.
б xG= + 294,27 KG / CM 2 б x = 294,27
elemen 1
τxy = - 16,13 KG / CM 2 τxy = 16,13 б max, min = ( + 294, 27 + 0 )
±
+ 294,27 – 0
2
2
+ ( - 16, 13 )
2
2
б max =
147,135 +
21648, 71 + 260, 18
= + 295, 15 KG / CM
б mIN =
147,135 -
21648, 71 + 260, 18
= - 0, 88 KG / CM
2
2
Tg 2 Ѳ = 2 . ( - 16, 13 ) / ( 294,27 – 0 ) = - 0, 11 2Ѳ
= - 6,28 ⁰ + 180 ⁰ = 173,72 ⁰
Ѳ1 = 86,86 °
б min Ѳ2
б max
Ѳ2 = 86,86 ° + 90 ° = 176,86 0 б max
Ѳ1
б min
37
APABILA DIMINTA MENGHITUNG TEGANGAN GESER EXTREM NYA, MAKA DIDAPATKAN
τ max, min =
±
( + 294, 27 – 0 )
2
+ ( - 16. 13 )
2
2
τ max=
+ 148, 015 KG / CM
2
τ min= - 148, 015 KG / CM 2
38
PENAMPANG NON HOMOGEN ( KOMPOSIT )
BETON COR
BETON BERTULANG
BAJA
UNTUK MEMUDAH KAN PERHITUNGAN PADA PENAMPANG KOMPOSIT DIGUNAKAN ANGKA EKIVALENSI ( n ) , DIMANA n = E 1 / E 2
E 1> E 2
DENGAN BANTUAN ANGKA EKIVALENSI MAKA PENAMPANG KOMPOSIT TERSEBUT DI EKIVALENSI KAN MENJADI PENAMPANG YANG HOMOGEN, SEHINGGA PERHITUNGAN MENJADI SEDERHANA SEPERTI PENAMPANG HOMOGEN. 6
CONTOH : E BAJA = 2 X 10 KG / CM
2
5
E KAYU = 1 X 10 KG / CM
2
n = 20
8 CM
PLAT BAJA
8 CM . 20 = 160 CM
8 CM
3 CM
15 CM
KAYU
20 CM
20 CM
1
20 CM / 20 = 1 CM
2
1 = BAJA DI EKIVALENSIKAN MENJADI KAYU ( DEMENSI BAJA DIKALI n ) 2 = KAYU DI EKIVALENSIKAN MENJADI BAJA ( DEMENSI KAYU DIBAGI n ) 39
MENCARI TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA PENAMPANG KOMPOSIT
8 X 20 = 160 CM
8 CM
3 CM
3 CM
YA = 4,96 CM 15 CM
Grs netral
15 CM YB = 13.04 CM
20 CM
20 CM
STATIS MOMEN TERHADAP SISI ATAS YA ( 3 . 160 + 20 . 15 ) = 3 . 160 . 1,5 + 20 . 15 . ( 15/2 + 3 ) YA = ( 720 + 3150 ) / ( 480 + 300 ) = 4, 96 CM Y B = 18 CM – 4, 96 CM = 13, 04 CM
3
2
3
2
I X = 1/12 . 160 . 3 + ( 4, 96 – 1,5 ) . 160 . 3 + 1/12 .20 . 15 + ( 13. 04 – 7.5 ) .20.15 = 360 + 5746, 37 + 5625 + 9207, 48 = 20838, 85 CM
4
q=1t/m A
B 6M
DARI KONSTRUKSI DAN BEBAN DIATAS DAN MEMAKAI PENAMPANG SEPERTI TERGAMBAR DIATAS, HITUNG DAN GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN LENTUR NYA DI TENGAH AB . ( n = 20 ).
40
Бb бla
160 CM 3 CM
бl c
YA = 4,96 CM
-
бl d
15 CM garis netra
YB = 13.04 CM
+ 20 CM
бlb
бl = M Y / I X
PADA GAMBAR DIATAS BAJA DIEKIVALENSIKAN MENJADI KAYU, JADI YANG PERLU DIPERHATIKAN ADALAH, APABILA ELEMEN BERADA DI BAJA, MAKA TEGANGANNYA HARUS DIKALIKAN DENGAN n . BEGITU JUGA SEBALIKNYA KALAU KAYU DI EKIVALENSIKAN MENJADI BAJA MAKA APABILA ELEMEN BERADA DI KAYU, TEGANGANNYA DIBAGI DENGAN n . TENGAH AB
2
M =+ 1/8 q L
= + 1/8 . 1 . 6
2
= + 4, 5 TM
n = 20
3
б la =
2
4, 5 . 10 . 10 . 4, 96 . 20
= 2142, 15 KG / CM
2
( TEKAN )
20838, 85 3
б lc =
2
4, 5 . 10 . 10 . ( 4, 96 – 3 ) 20
= 846. 49 KG / CM
2
( TEKAN )
20838, 85 3
б ld =
2
4, 5 . 10 . 10 ( 4, 96 – 3 )
= 42, 32 KG / CM
2
( TEKAN )
20838, 85 3
б lb =
2
4, 5 10 . 10 . 13, 04 20838,85
= 281, 59 KG / CM
2
( TARIK ) 41
TEKUK ∏ 2. E . I MIN
P IJIN = P KRITIS =
б IJIN
L K2 ∏2.E
=
(LK / i min ) 2
i min =
I min / A
L K = PANJANG TEKUK
I MIN ADALAH I X ATAU I Y, DIAMBIL YANG TERKECIL, KARENA PENAMPANG AKAN MENEKUK KEARAH SUMBU YANG TERLEMAH ( lk / I min ) BIASA DISEBUT λ = ANGKA KELANGSINGAN DARI HASIL λ DIATAS DAPAT DIHITUNG FAKTOR TEKUK = ω FAKTOR TEKUK TERSEBUT DIPAKAI UNTUK PERENCANAAN BATANG TEKAN .
42
PANJANG TEKUK
JEPIT – JEPIT
LK = 0, 5 L
JEPIT – SENDI / ROL
LK = 0, 7 L
SENDI / ROL – SENDI / ROL
LK = L
JEPIT – BEBAS
= TITIK BELOK LENDUTAN
LK
Lk = 2 L
L
CONTOH SOAL
22 CM
4M 10 CM
HITUNG BESAR P IJIN DAN TEGANGAN IJIN NYA, APABILA DIKETAHUI E = 1 X 10 5 KG / CM I X = 1/ 12 . 10 . 22 I Y = 1/ 12 . 22 . 10
3
3
= 8873, 33 CM
P ijin =
4
4
5
∏ . 1 . 10 . 1833, 33 = 45189, 75 KG ( 0,5 . 400 )
б ijin =
4
= 1833, 33 CM
I min = 1833, 33 CM 2
2
P
2
45189, 75 =
A
= 205, 41 KG / CM
2
( 10 . 22 )
KARENA P IJIN SUDAH DIDAPATKAN HASIL NYA , MAKA UNTUK TEGANGAN IJIN DAPAT DIPAKAI RUMUS
б=P/A 43
A
KOLOM AB BERBENTUK BUJUR SANGKAR DENGAN PERLETAKAN SEPERTI TERGAMBAR. 5
L = 3,5 M
E = 2 X 10 KG / CM
2
b
=
TEGANGAN IJIN BAHAN = 10 MPA
2
б IJIN =
∏ .E.
i min =
LC
=
ADED F2
2
3, 14 . 2. 10 0,7 . 350
=
1/12 b
b b
2
2
1/ 12 b b
=
3
b2
=
10 . 10 =
b
HITUNG LEBAR DARI KOLOM TERSEBUT ( b )
B
5
10 0 = 2
=
1/ 12 b
2
1971920 60025 1/12 b
2
= 12 . 3, 04 = 6, 04 cm
44
TUGAS 1
4T
1 B
C 2T
HITUNG BESAR TEG NORMAL PADA : 3M MM A
BALOK BC DAN KOLOM AB 2 BC = 20 X 20 CM
2M MM
6M MM
2
AB = 30 X 30 CM
HITUNG JUGA DEFORMASINYA APABILA DIKETAHUI 5
MODULUS ELASTISITAS BAHAN = 2 . 10 KG / CM
2
CATATAN :
NOMOR POKOK GASAL
TITIK A = SENDI
TITIK C = ROL
NOMOR POKOK GENAP
TITIK A = ROL
TITIK C = SENDI
45
TUGAS 2 1T/M C
1.
2T
B
HITUNG BESAR TEG . NORMAL PADA : 3M
BALOK BC DAN KOLOM AB
A
2M
6M MM
2 BC = 20 X 30 CM
AB DIAMETER 50 MM HITUNG JUGA DEFORMASINYA APABILA DIKETAHUI 5
2
MODULUS ELASTISITAS BAHAN BC = 2 . 10 KG / CM 6
MODULUS ELASTISITAS BAHAN AB = 2,1 . 10 KG/CM TITIK A SENDI
TITIK C
2
ROL
4T C
D
5
2.
2
E = 1 . 10 KG/CM 2M A
B E 3M
2T 3M
HITUNG DEMENSI BATANG AE DAN EB APABILA DILAPANGAN HANYA ADA UKURAN 6/12
8/12 10/12 8/14 10/14 PILIH YANG SESUAI .
HITUNG DEFORMASI PADA BATANG AE DAN REGANGAN PADA BATANG EB 46
TUGAS 3
HITUNG IX DAN IY DARI BENTUK PENAMPANG SEPERTI TERGAMBAR
20 CM 3 CM 15 CM 3 CM
26 CM
10 CM 3 CM 18 CM
18 CM 2 CM
3 CM
35 CM
3 CM 10 CM
47
TUGAS 4 &G√IJK% q t/m D
45 0
E
P2 ton
A C
B am
P2 ton
bm
cm
dm 10 cm 4 cm
e cm
h cm
e cm
4 cm 4
4 cm
18 cm
Nrp gasal genap
q 2 1
P1 6 4
24 cm
P2 4 5
a 3 2
b 8 6
c 2 4
d 2 3
e 3 4
h 38 30
HITUNG DAN GAMBAR DIAGRAM TEG. NORMAL DAN LENTUR UNTUK KEDUA PENAMPANG DIATAS PADA POTONGAN : 1 . DI TENGAH CD 2 . DI POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI C 3 . DI POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI B
48
TUGAS 5
q t/m
5 ton
15 cm 4 cm
1 3
A
B
C
am
bm
2
30 cm Grs netral
P ton
D
E
5 cm
dm
cm
DIKETAHUI KONSTRUKSI DENGAN BEBAN DAN BENTUK PENAMPANG SEPERTI TERGAMBAR DIATAS . 1 .HITUNG DAN GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DITENGAH BC DAN DITENGAH DE , HITUNG JUGA KOMBINASI TEGANGANNYA . 2 . HITUNG BESAR TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DI ELEMEN 1 , 2 DAN 3 .
catatan
Nrp berakhiran 0 4 2 7 3 9 1 8 5 4
q
P
a
b
c
d
1 1,5 2 2,5 3
3 2,5 3,5 4 3
3 2 4 4 3
5 6 4 6 7
4 2 2 3 2
2 2 3 3 2
49
SOAL EVALUASI 1. P ton 14 cm
8 cm
3M 5
E = 1,2 x 10 KG / CM
2
σn ijin 10 Mpa
∆l ijin 5 mm
HITUNG BESAR P YANG DIPERBOLEHKAN AGAR TIDAK MELEBIHI TEGANGAN MAUPUN DEFORMASI YANG DIIJINKAN .
5 TON
2.
q=1 t/m
3 TON
α A
B
C
D
E
18 cm 4 cm
2M
2M
6M
2M
Tg α = 4 / 3
28 cm
3 cm
* HITUNG DAN GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DI TENGAH CD . * HITUNG BESAR TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DI POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI TITIK B PADA ELEMEN 1 SEJARAK 6 CM DARI SISI ATAS PENAMPANG .
50
SOAL EVALUASI
1. P= 10 ton h cm P= 10 ton 8 cm
3M 5
E = 1,2 x 10 KG / CM
2
σn ijin 8 Mpa
∆l ijin 5 mm
HITUNG BESAR h YANG DIPERBOLEHKAN AGAR TIDAK MELEBIHI TEGANGAN MAUPUN DEFORMASI YANG DIIJINKAN .
q=1 t/m
2.
5 TON 3 TON
α A
B 2M
C 2M
D 6M
E
4 cm
2M
Tg α = 3 / 4
32 cm
4 cm
* HITUNG DAN GAMBAR DIAGRAM TEGANGAN NORMAL
16 cm
DAN LENTUR DI TENGAH CD . * HITUNG BESAR TEGANGAN NORMAL DAN LENTUR DI POTONGAN SEDIKIT SEBELAH KIRI TITIK B PADA ELEMEN 1 SEJARAK 8 CM DARI SISI BAWAH PENAMPANG . 51
SOAL EVALUASI
5T
2 t/m Tg α = 4/3
α E
A
B
S1
S2
C
D
3m
4m
3m
5m
3m
6m 4 cm
34 cm 4 cm
PADA PENAMPANG SPT GAMBAR DISAMPING :
20 cm
1 . hitung dan gambar diagram tegangan geser pada potongan sedikit sebelah kanan B . 2 . hitung dan gambar status tegangan pada potongan sedikit sebelah kiri C pada elemen 1 sejarak 8 cm dari sisi atas penampang . 3 . hitung besar tegangan utama dan tegangan geser extreme pada elemen 1 .
52
DAFTAR PUSTAKA
1 .EP Popov , MECHANIC OF MATERIAL 2 . Ferdinand L Singer , Ir Darwin S , Andrew Pytel , KEKUATAN BAHAN 3 . Gere and Timoshenko , Ir Bambang S Msc Phd ,MEKANIKA BAHAN
53
