1 A program, mint tanári segédeszköz Készítette: Kálcza Tamás Informatika-matematika tanár szak Témavezető: Papp-Varga Zsuzsanna Tanársegéd ELTE IK, M...
Készítette: Kálcza Tamás Informatika-matematika tanár szak
Témavezető: Papp-Varga Zsuzsanna Tanársegéd
ELTE IK, Média- és Oktatásinformatika Tanszék Budapest, 2009.
„Ahogyan a festő vagy a költő mintáinak, úgy a matematikuséinak is szépeknek kell lenniük; a gondolatoknak, mint a színeknek vagy a szavaknak, valamilyen harmonikus módon illeniük kell egymáshoz. A szépség az első próba: a rút matematikának nincs állandó helye a világban. Itt kell foglalkoznom azzal az általánosan elterjedt téveszmével is (noha sokkal kevésbé az manapság, mint húsz évvel ezelőtt volt), amit Whitehead »irodalmi babonának« nevezett: a matematika szeretete és esztétikai élvezete minden generációban csupán néhány hóbortos rögeszméje.” G. H. Hardy, Egy matematikus védőbeszéde
Tartalomjegyzék
Bevezető ..............................................................................................5 A dolgozat tartalmáról .......................................................................... 5 A témaválasztás szempontjai ................................................................ 6 A program bemutatása ......................................................................8 A programról általában ......................................................................... 8 A használat feltételeiről ........................................................................ 9 Telepítés, hardver- és szoftverigény .....................................................11 A felület bemutatása............................................................................12 Menüsor.....................................................................................................................13 Eszköztár ....................................................................................................................14 Algebra és geometria ablak .......................................................................................18 Parancssor és parancslista .........................................................................................19 Környezeti menü........................................................................................................20
Első lépések – néhány egyszerűbb példa ..............................................21 Geometriai szerkesztések ..........................................................................................21 Függvény-transzformációk ........................................................................................25 Integrálás – közelítő összegek ...................................................................................28
Felhasználási területek .....................................................................31 Mire használhatjuk? .............................................................................31 A szemléltetés eszközeként .......................................................................................31 Reprezentációk összekapcsolása ...............................................................................44 Kísérletező feladatok .................................................................................................48
Hogyan használhatjuk?.........................................................................54 Szervezési kérdések ...................................................................................................54 Gyakorlati tanácsok ...................................................................................................56 Exportálási funkciók...................................................................................................57
Trükkök az eszköztárral..............................................................................................60 JavaScript lehetőségek...............................................................................................65
Ez a szakdolgozat az Eötvös Lóránd Tudományegyetem Informatikai Karának informatika-tanár szakán készült. Célja elsősorban az, hogy részben segédletként, részben pedig ötletadóként legyen hasznosítható olyan matematika tanárok számára, akik az óráik színesebbé tételéhez az informatika eszközeit is be szeretnék építeni a tanításba. Természetesen érdekes és hasznos olvasmány lehet diákoknak is, valamint informatika és matematika iránt érdeklődőknek egyaránt. A dolgozatban a fent említett célokat a
program bemutatásá-
val szeretném elérni. Megjegyzendő azonban, hogy ezen írásban nem célom a program legteljesebb körű ismertetése, minden funkciójának és összes lehetséges alkalmazási területének megmutatása. Arra vállalkozom „csupán”, hogy különböző segédanyagokon keresztül bemutatom a program nyújtotta lehetőségeket a matematika néhány témakörében, s remélhetőleg olyan ötletekkel szolgálok, melyek könnyedén tovább gondolhatók, illetve alkalmazhatók.
A dolgozat tartalmáról A dolgozat első fejezetében magáról a programról lesz szó. Röviden ismertetem a program használatának személyi, illetve tárgyi feltételeit. Személyi feltételek alatt azt értem, hogy milyen alapvető számítógép-kezelői ismeretekkel kell rendelkeznie a tanárnak, illetve a diákoknak a program használatához. A tárgyi feltételeket (számítógépek, kivető, aktív tábla stb.) elsősorban az iskolai anyagi helyzete határozza meg. Ezen keretek között tehát megtalálni a lehetőségeket. Szó lesz arról is, hogy milyen alkalmazásról van is szó valójában, bemutatom a telepítését a három ma legnépszerűbb platformon. A Kedves Olvasó megismerkedhet továbbá a program felületével, és néhány egyszerű példán keresztül a használatát is megmu-
5
tatom. Amennyiben az olvasót ez utóbbinak apróbb részletei érdeklik, akkor a figyelmébe ajánlom Horváthné Oroján Gabriella „A
program haszná-
lata a középiskolai matematika oktatásban” című szakdolgozatát, mely a középiskolai anyagon végighaladva részletes ismertetést ad a programról. Ezen kívül a program magyar nyelvű súgót is tartalmaz, valamint az interneten fellelhető GeoGebra Wikipedia is hasznos segítség lehet (www.geogebra.org/wiki). A magyar nyelvű Wiki is számos segédanyagot tartalmaz, de más nyelvek oldalain is találhatunk ötletes megoldásokat. A második fejezetben a matematika különböző témaköreihez elkészített munkalapok segítségével világítok rá a program különböző felhasználási lehetőségeire, ezáltal is mutatva az alkalmazás sokoldalúságát. Szó lesz arról, hogy miként lehet használni a programot, mint szemléltető eszközt, és hogy ebben az esetben mikre érdemes odafigyelni. Olyan feladatokat és ezekhez tartozó anyagokat is bemutatok, melyek arra alkalmasak, hogy a diákok kísérletezzenek velük. Továbbá bemutatásra kerülnek olyan munkalapok is, melyekkel fogalmak különböző reprezentációnak összekapcsolása segíthető. Úgy gondolom, hogy mindenképpen hasznos a dolgozat harmadik fejezete. Ebben gyakorló tanárok tapasztalatai olvashatók a program használatával kapcsolatban. Mellékletként a dolgozat részét képezik természetesen – kész segédanyagokként, akár órákon használhatóan – az itt bemutatásra kerülő munkalapok is. A melléklet könyvtárszerkezete és a fájlok elnevezése követi a fejezetek és alfejezetek elnevezéseit. Ezzel a rendszerezéssel a könnyű eligazodást igyekeztem elősegíteni.
A témaválasztás szempontjai A
programmal a gyakorló tanításom során ismerkedtem meg.
Ám ekkor még csak szemléltető eszközként alkalmaztam az óráimon. Azonban már ekkor foglalkoztatott a kérdés, hogy milyen alkalmazási területek rejlenek még benne, s mivel a program sikeresen vizsgázott a gyakorlatban is, úgy gondoltam mindenképpen érdemes közelebbről megismernem.
6
A program több szempontból is nagyon szimpatikus volt számomra. Az egyik, ilyen hogy ingyenesen használható, amely mint magánszemély is rendkívül vonzóvá tette, de ha már azt nézzük, hogy az iskolában szeretnénk használni, akkor ez még inkább előnyére válik. Ráadásul így egy olyan eszközzel van dolga a diákoknak, amihez ők is könnyedén hozzájuthatnak, így nagyobb eséllyel fogják az otthoni tanuláshoz használni, mintha meg kellene vásárolni. Szimpatikus volt továbbá a program rendkívül jó grafikai megjelenítő képessége: az egyenesek például nem cikk-cakkosak, hanem valóban egyeneseknek látszanak. Mivel párhuzamosan két eltérő operációs rendszert is használok (Windows és Mac OS X) örvendetes volt számomra a platformfüggetlenség is. A legfontosabb szempont talán mégis a program rendkívül egyszerű kezelhetősége volt. Teljesen ismeretlenül kezdtem neki az alkalmazás használatának, mégis minimális gyakorlással annyira belejöttem, hogy valóban használható anyagokat sikerült készítenem vele. Egy program egyszerű kezelhetősége pedig fontos a felhasználó szempontjából. Ez fokozottan érvényesül, ha oktatásban használandó alkalmazásról van szó. Azt gondolom, hogy helyes cél lehet a tanításban a különböző tantárgyak közelítése egymáshoz, például az informatikai eszközök alkalmazása nem csak informatika órákon. Véleményem szerint erre kiválóan alkalmas a dolgozat tárgyát képező
program. Továbbá úgy hiszem, hogy manapság egy matema-
tika tanár nem szoríthatja ki eszköztárából a számítógépet. Ez az eszköz ugyanis új távlatokat nyithat számára, ha megfelelően használja. És itt valóban nem az eszköztár lecserélésről van szó, mert a korábbiakra továbbra is szükség van, pusztán annak kibővítése a cél. A gondolatot Dr. Vásárhelyi Évától vett idézettel zárnám, miszerint „A számítógép (helyes) alkalmazása nem időt, energiát von el, nem más ismeretet, műveltséget szorít ki, hanem többletet nyújt.”[1.]
7
A program bemutatása
A programról általában A matematikai segédprogramoknak sok fajtája létezik, nekünk, tanárok számára mégis azok bírnak igazi jelentőséggel, melyekkel esetleg az oktatást segíthetjük. A dolgozat tárgyát adó
is egy ilyen matematikai segédprog-
ram. Ahogy az alkalmazás nevéből is sejteni lehet, elsősorban a geometria és az algebra területeihez kapcsolódik. Ugyanis egyrészt tekinthető egy számítógépes algebrai rendszernek (CAS – Computer Algebra System), s mint ilyen képes matematikai objektumokat szimbolikus alakban kezelni s ezekkel az algebra szabályai szerint számolni. Ez azért érdekes, mert a számítógépes programok nagy része valójában pontatlanul szám, közelítő értékekkel. Ha lehetséges, akkor az ilyen rendszer – s így a
is – többek között képes megadni függvények de-
riváltját és integrálját, szélsőérték-feladatok megoldása végezhető el velük. A tört számokat szimbolikus alakjukban kezeli, és ez által képes például azok egyszerűsítésére is. A
azonban nem csak egy CAS program, hanem úgynevezett
dinamikus geometriai rendszer is (DGS – Dynamic Geometry System). Az ilyen alkalmazások rendkívül érdekes részét képezik a matematikai segédprogramoknak, ugyanis nem csak arra képesek, hogy a papíros módszerhez hasonlóan, statikus geometriai szerkesztéseket végezzünk velük. Szerkesztésein alapelemeiként úgynevezett bázispontokat veszünk fel, melyek segítségével újabb alakzatokat (például egyenesek, szakaszok, körök) definiálhatunk. A szerkesztés alapelemein utólag módosíthatunk, ezáltal változik maga a teljes szerkesztés is, és így lehetővé válik, hogy különböző eseteket vizsgáljunk rövid idő alatt, s jobban megfigyelhető az esetek közti kapcsolat is. Az ilyen program lehetőségei közé szokott tartozni a nyomvonal. Ez azt jelenti, hogy ha bekapcsoljuk egy alakzatra, akkor annak mozgása ese-
8
tén a korábbi állapotai „nyomot hagyva” megjelenítve maradnak. Ennek segítségével jobban szemléltethetők például olyan problémák, amiknél valamilyen mozgás a hangsúlyos. A program a két rendszert úgy ötvözi, hogy minden új geometriai objektumnak megfeleltet egy algebrait és viszont. Vagyis ha például egy új pontot veszünk fel a rajzlapon, akkor a program létrehozza ennek a koordinátapárral meghatározott algebrai megfelelőjét. Azonban ha közvetlenül, algebrai módon adunk meg egy koordinátapárt, akkor létrejön az annak megfelelő pont is. Az alkalmazást fejlesztését 2001-ben kezdte Markus Hohenwarter középiskolai oktatási segédletként. Markus a Java nyelvet választotta programja elkészítéséhez, így lehetővé téve, hogy munkája a ma legelterjedtebb operációs rendszerek mindegyikén használható legyen.1 Ez a későbbi verziók során is előnyös, amit azért fontos megjegyezni, mert a programot folyamatosan fejlesztik. Jelenleg a 3.0-ás a hivatalosan kiadott legfrissebb változat, de mindig elérhető egy pre-release (vagyis még kiadás előtti, de kipróbálható) verzió. Erre érdemes lehet figyelmet fordítani, hiszen a mostani olyan érdekes újdonságokkal kecsegtet, mint a például a körző, a komplex számok, a mátrixok és a táblázatkezelő. Mire ez a dolgozat elkészül, már nagy valószínűséggel elkészül a program 3.2-es verziója is, azonban ebben a dolgozatban a jelenleg hivatalosan kiadott, 3.0-ás változattal foglalkozom. A
egyébként a GNU Általános Nyílt Licenc alá esik, vagyis
szabadon hozzáférhető bárki számára, továbbadható és ingyenesen letölthető a www.geogebra.org oldalról.
A használat feltételeiről Ugyan a
használata nem elsősorban számítógépes ismerete-
ket kíván, mégis alapvető géphasználati ismeretek szükségesek, hiszen egy számítógépes programról van szó. Szükségesnek gondolom például a használt operációs rendszer(ek) alapszintű felhasználói ismeretét, hiszen a programmal végzett munkáinkat el szeretnénk menteni vagy a korábbiakat megnyitni. Ehhez pedig ismer-
1 A program futtatása valójában minden olyan operációs rendszeren lehetséges, melyhez elérhető a megfelelő Java futtatókörnyezet.
9
nünk kell a fájl- és könyvtárműveleteket az adott operációs rendszeren. Szintén fontos, hogy a program használója valamelyest barátságban legyen az egérrel, tudja azt, hogy általában miként lehet objektumokat (pl. ablakok, ikonok) mozgatni stb. Ugyan a fejezet következő részében kitérek a
telepítésére is,
mégis előnyt jelent, ha a Kedves Olvasónak nem újdonság ez a fogalom, mert nem követem végig magát a folyamatot. A fentiekről azt gondolom, hogy bőségesen elegendők a program használatához, viszont egyben szükségesek is ahhoz mind tanári, mind pedig diákrészről. A továbbiakban ilyen ismereteket feltételezek a dolgozatot olvasótól. Ha a használat feltételeiről beszélünk, akkor nem elegendő csak a számítógép-használói ismereteket említeni, hanem ki kell térni valami másra is. Igen fontosnak gondolom azt a kérdést, hogy milyen tárgyi feltételek szükségesek? Véleményem szerint a válasz nagymértékben függ az iskola anyagi lehetőségeitől. Hiszen az világos, hogy a program használatához szükség van számítógépre, mégpedig olyanra, amivel órán tudunk dolgozni. Ezen kívül valamilyen vetítőeszközre (projektor, netán interaktív tábla), amivel mindenki számára láthatóvá tehetjük munkánkat. Természetesen az ideális eset az lenne, ha ezek minden teremben rendelkezésre állnak. Jó megoldás lehet még, ha ezek hordozható eszközök, és nem valamely terem állandósult eszközei. Ha szeretnénk, hogy diákjaink is használják a programot, akkor szerintem mindenképp jó, ha lehetőséget tudunk teremteni olyan órákra is, amikor gépteremben vagyunk, s így bemutathatjuk a programot nekik. Itt egy kicsit visszautalnék a személyi feltételekre, mert ez esetben fontosnak gondolom, hogy a tanárnak biztos tudása legyen a program használatában. Ez alatt nem azt értem, hogy minden apró részletét ismerje, de ismerje annyira, hogy adott esetben milyen hibákkal találkozhatnak a diákok, s ezeket gyorsan ki tudja javítani. A program ilyen szintű ismerete azonban gyorsan elsajátítható kis gyakorlással. Nagy könnyebbséget jelent az is, hogy a szükséges matematikai háttér már a tanár birtokában van.
10
Telepítés, hardver- és szoftverigény Most, hogy néhány szó esett az alkalmazásról, ideje volna, hogy használatba vegyük, és közelebbről is megismerjük. Ehhez nem kell mást tenni, mint a fentebb említett weboldalról beszerezni az operációs rendszernek megfelelő telepítőt. Korábban már azonban említetésre került, hogy a program Java nyelven íródott, ezért szüksége van (legalább 1.4.2-es verziójú) Java virtuális gépre a futáshoz, tehát ezt célszerű beszerezni, például annak a hivatalos weboldaláról. Ez olyannyira szükséges a program működéséhez, hogy az alkalmazást telepíteni sem tudjuk e nélkül. Windows operációs rendszerre egy futtatható állomány tölthető le, melyet elindítva egy szokásos programtelepítéssel találkozunk, s teendőnk is csupán anynyi, hogy a rövid telepítő szokásosnak mondható lépésein végighaladjunk. Érdemes azonban megjegyezni, hogy ugyan a mai merevlemezek méretét tekintve semmiképp sem mondható helypazarlónak a program – mindössze kb. 33MB tárhelyre van szüksége – mégis nyerhetünk még helyet, ha nem a tipikus (Typical) telepítést választjuk, hanem a minimálist vagy a testre szabhatót (Custom). Utóbbi kettő esetében az történik, hogy nem települ fel az összes nyelv súgója, mindössze az angol (minimális esetén) vagy az általunk kiválasztott (custom). Ezzel a program helyfoglalása mindössze kb. 8MB-ra csökken. Mac OS X rendszeren némileg más a helyzet, ugyanis egyrészt az operációs rendszer alapértelmezetten tartalmazza a Java futtató környezetet, másrészt nincsen a hagyományos értelemben megszokott telepítés. Itt a letöltendő állomány tulajdonképpen magát a programot tartalmazó tömörített fájl, tehát a felhasználónak annyi a teendője, hogy kicsomagolja a programot, és elhelyezi az általa kívánt mappába (mely általában az Applications). A jelenlegi Linux disztribúciók közül itt a legújabb Ubuntu-n történő telepítést mutatom be. Egyeseknek talán szomorú hír lehet, hogy a program nem képes az OpenJDK által biztosított futtatókörnyezetet használni, mindenképpen szükséges a Sun Java-ját letölteni és telepíteni. Ezt követően el kell indítani a Terminál ablakot, majd arra a könyvtárra állni, ahova a program bináris állományát letöltöttük, és ki kell adni az „sh ./GeoGebra_3_0_0_0.bin” utasítást. Ez elindítja a program
11
telepítőjét, mely végigvezet a szükséges lépéseken. A Windows-os telepítésnél tett megjegyzés itt is megállja a helyét. Meg kell említeni, hogy a
támogatja a Java Web Start lehető-
séget is. A Java eme fejlesztése lehetővé teszi, hogy az alkalmazásokat előzetes telepítés nélkül használjuk. A szükséges adatokat, állományokat ugyanis mindig az internetről tölti le, így mindig a program legfrissebb, már kiadott verziójával dolgozhatunk. A programnak minimálisak a hardverkövetelményei, ami azt jelenti, hogy egy átlagosnak mondható számítógépen nem jelenthet nehézséget a futtatása, de mai szemmel már régebbinek mondható gépeken sem fogunk akadályba ütközni.
A felület bemutatása Miután települt az alkalmazás, a programot elindítva a következő ábrán látható kép fogadja a felhasználót. A programablak részei a menüsor, az eszköztár, a parancssor és a parancslista, valamint az algebra és geometria ablak (vagy rajzlap).
1. ábra: Indítás után a program ablaka
12
Ha Mac OS X rendszeren használjuk a programot, és esetleg már találkoztunk egy korábbi változattal, akkor egy szembetűnő újdonság, hogy a menüsor már nem az eszköztár felett található, hanem a többi alkalmazáshoz hasonlóan a képernyő tetején. Illetve még egy fontos újítás a korábbi változatokhoz képest, hogy a 3.0-ás verzióban a Ctrl billentyű szerepét az egyéb programoknál megszokott „alma” (más néven Command) gomb vette át. Menüsor A menüsoron és némely menübe betekintve látható, hogy a program még nem teljesen honosított, de a szövegek nagy része már igen, ezért ez nem különösképp zavaró. A fordítás pedig folyamatosan történik, tehát előbb-utóbb ez a néhány „folt” is eltűnik. Az egyes menüpontokban, más programokban már megszokott elemeket találhatunk, így például a Fájl menüben tudunk új munkalapot kérni, menteni és létezőeket megnyitni. Azért van néhány olyan menüpont is, amelyek különös figyelmet érdemelnek, s a későbbi fejezetekben szó lesz a használatukról. Az egyik ilyen a Fájl menü Export almenüjében található Dinamikus munkalap, mint weblap funkció, valamint kimenthetjük a rajzlapot képként vagy a vágólapra. Ezekről a 2. fejezet „Exportálási funkciók” részében lesz részletesebben szó. A Szerkesztés menüben érhetjük el a Visszavonás és Újra funkciókat, valamint itt található a Tulajdonságok menüpont, amivel a létrehozott objektumok tulajdonságainak beállítására szolgáló ablakot tudjuk megnyitni. A Nézet menüben a programablakkal kapcsolatos megjelenítési beállítások találhatók. Bezárható az algebra ablak, vagy kikapcsolva a vízszintes vágást a geometria ablak alá helyezhetjük, valamint itt tudjuk ki- és bekapcsolni a parancssor és parancslista megjelenítését is. A Szerkesztő Protokol menüponttal egy olyan ablak nyílik meg, melyben a létrehozott objektumok láthatók létrejöttük sorrendjében, egy-egy sorban. Itt előre- és visszafele lépegethetünk szerkesztési lépéseink között, az egyes sorok átrendezésével pedig megváltoztathatjuk az egyes alakzatok létrehozásának sorrendjét. Ebben a menüben lehet bekapcsolni a Navigációs eszköztár a szerkesztési lépésekhez funkciót is. Ennek hatására a programablak alsó részében vezérlő gombok jelennek meg, melyekkel a Szerkesztő Protokollnál is látható szerkesztési lépések között navigálhatunk előre-hátra. Ezen kívül a Le-
13
játszás gombra kattintva automatikusan, mintegy diavetítés szerűen mutatja a program a szerkesztés lépéseit. A Beállítások menün belül a munkalappal kapcsolatos változtatásokat tehetjük meg. Itt lehet megadni például, hogy hány tizedes jegy pontosan jelenítsen meg a program, módosíthatjuk a pontok megjelenésének módját, a derékszög jelölését a magyar oktatásban megszokottra állíthatjuk stb. Fontos megjegyezni, hogy a program minden beállítása csak az aktuális programablakra és szerkesztésre vonatkozik. Vagyis ha új ablakot nyitunk, vagy máskor használjuk a programot, akkor mindig az alapértelmezett beállítások lesznek érvényben, nem pedig az utoljára használtak. Tehát ha beállításainkat meg szeretnénk őrizni, akkor azokat alapértelmezetté kell tennünk, melyet a Beállítások menü Save settings (beállítások mentése) opcióval tudunk megtenni.1 A Tools (eszközök) menü szintén érdeklődésre tarthat számot, és a dolgozat következő fejezetében szóba is kerül. Itt ugyanis saját eszközöket hozhatunk létre a gyakori szerkesztések gyorsabb elvégzésére. A program Súgó menüjéből elérhető a program hivatalos weboldala, a fórum, és az alkalmazás saját Wikipedia oldala. A fórumon sok hasznos információra bukkanhatunk, bár valamilyen idegen nyelv ismerete szükséges lesz. Ezeken kívül itt találjuk a súgót magát is, ami egy weblap,2 és már majdnem teljesen magyar. Eszköztár Az Eszköztáron találhatók csoportosítva a programban elérhető legfontosabb szerkesztési funkciók. Az egyes eszközcsoportokat ikonok jelzik, melyek jobb alsó sarkában lévő kis nyilacskára kattintva egy legördülő menüből érhető el a csoport többi eleme. Ezen eszközcsoportok ikonja nem állandó, hanem mindig a kiválasztott eszköz ikonjával jelzi a program. Az egyes eszközökhöz tartozó ikonok jól mutatják, hogy mire való az adott eszköz, de az egérkurzorral rájuk mutatva, vagy a lenyitó nyílra kattintva a
szöveges formában is megjeleníti a
nevét. Ha kiválasztunk egy eszközt, akkor az eszköztár mellett, jobb oldalon megjelenik annak neve, alatta pedig a létrehozáshoz szükséges objektumokat sorolja fel a
Az eredeti beállításokat a Restore default settings (alapbeállítások visszaállítása) menüpont állítja vissza. Ha a súgólapot megnyitjuk, és a böngészőprogramban a címében a „docuhu” részt „docuen”-re cseréljük, akkor ugyan az angol nyelvű súgóhoz jutunk, ám felülete kicsivel barátságosabb, mint a magyar. 1 2
14
program. Például egyenes esetén kiírja, hogy két pont megadása szükséges (melyeket az egérrel jelölhetünk ki). Az alábbi táblázatban – a teljesség igénye nélkül – bemutatok néhányat ezek közül az eszközök közül. A csoportok nevei1 mellett az alapértelmezett ikonok képei láthatók. Mozgatási módok Mozgatás
A szabad alakzatok mozgatására szolgál.
Pont körüli forgatás
Egy középpont kijelölése után bizonyos szabad alakzatok forgathatók.2
Pontok Új pont
A geometria ablakban kattintva ezzel vehetők fel szabadon új pontok.
Két alakzat metszéspontja
Az alakzatok metszéspontjára, vagy a két alakzatra külön-külön kattintva megkapjuk a metszéspontot.3
Felező vagy középpont
Két pontot megadva azok felezőpontját, kört vagy kúpszeletet megadva az alakzat középpontját adja.
Egyenesek, szakaszok és vektorok Egyenes két ponton keresztül
Két pont megadása után az azok által meghatározott egyenest kapjuk.
Szakasz
A két kijelölt pont által meghatározott szakaszt vehetjük fel.
Szakasz pontból adott távolsággal
Egy pont kiválasztása után a felugró ablakban kell megadnunk a távolságot.4
Vektor
Kezdő- és végpontjának kijelölésével határozhatjuk meg a vektort.
Hivatalosan nincs nevük a csoportoknak, ez saját szóhasználat. Valamint az elnevezéseknél alapul vettem Horváthné Oroján Gabriella szakdolgozatát. 2 Nem forgathatók például függvények, vagy egyeneseken kijelölt pontok. 3 A két módszer között a különbség az, hogy ha a két alakzatot jelöljük ki, akkor minden metszéspontot megad a program, míg a másik esetben csak a kijelöltet. 4 Az így létrehozott szakasz másik végpontja a kijelölt pont körül egy körvonalon mozgatható a megadott távolságban. 1
15
Vektor pontból
A kezdőpont és egy másik vektor kijelölése után a vektorral azonos hosszú, párhuzamos vektort kapunk.
Ponthalmazok Merőleges
A kiválasztott ponton át merőlegest állít a megjelölt egyenes jellegű alakzatra.1
Párhuzamos
A kiválasztott ponton át párhuzamost húz a megjelölt egyenes jellegű alakzattal.
Szakaszfelező
Két pont, vagy egy szakasz megadása után a szakasz felezőegyenesét kapjuk.
Szögfelező
Három pontot, vagy két egyenes jellegű alakzatot kell megadni, s megkapjuk az ezek által meghatározott szög felezőegyenesét vagy egyeneseit.2
Érintők
Egy megadott pontból a kiválasztott körhöz, kúpszelethez húzott érintőket, vagy függvény adott pontbeli érintőjét adja.
Sokszögek Sokszög
Egyesével jelöljük ki a kívánt sokszög pontjait, majd végül ismét az első pontot.
Regular polygon (szabá- Két pontot kell kiválasztanunk, majd a fellyos sokszög) ugró ablakban adjuk meg a pontok számát (pl. négyzet esetén 4-et). Körök, körívek, körcikkek Kör középponttal és kerületi ponttal
Kör szerkeszthető a középpont és a körvonal egy pontjának megadásával.
Kör középponttal és sugárral
A középpont kiválasztásával és a felugró ablakban megadott sugárral szerkeszthető kör.
Az egyenes jellegű alakzat saját szóhasználat, egyenest, félegyenest illetve szakaszt értek alatta. A program ugyanis ezekkel is megvalósítja az egyes szerkesztéseket. Bizonyos esetekben vektor is lehet a kiválasztott ilyen objektum. 2 A két megoldás között a különbség az, hogy három pont esetén egyértelműen meghatározott a felezőegyenes, míg a másik esetben két lehetséges megoldás is lehet, s így mindkettőt megadja a program. További érdekesség, hogy párhuzamos egyenesek esetén a középpárhuzamost kapjuk, míg a „másik egyenes” nem definiáltként értékelődik. 1
16
Köré írt kör
Segítségével a három kiválasztott pontra illeszkedő kör szerkeszthető.
Mérőeszközök Szög
Három pont, vagy két egyenes jellegű alakzat által meghatározott szöget adja meg.1
Távolság
A kiválasztott két alakzat távolságát, szakasz hosszát, sokszög vagy kör kerületét határozhatjuk meg ezzel.
Area (terület)
A kiválasztott sokszög, kör vagy kúpszeletet területét adja meg ezzel a program.
Slope (meredekség)
Egyenes jellegű alakzatok meredekségének meghatározására szolgáló eszköz.2
Geometriai transzformációk Tengelyes tükrözés
A kiválasztott alakzatot tükrözi a megadott egyenes jellegű alakzatra.
Pont körüli forgatás adott szöggel
Az elforgatandó alakzat kiválasztása után meg kell adni a forgatás középpontját, majd a felugró ablakban a szöget és annak irányát.
Eltolás vektorral
A kiválasztott alakzatot tolja el a megadott vektorral.
Különleges eszközök Csúszka
A geometria ablakban kattintva választhatjuk ki a csúszka helyét. Ezután megjelenik egy párbeszédablak, melyben beállíthatjuk a tulajdonságokat.
Check box to show and hide objects (Jelölőnégyzet objektum mutatására és elrejtésére)
A geometria ablakban kattintva választhatjuk ki a jelölőnégyzet helyét. Ezután a felugró ablakban adjuk meg jelölő mellett megjelenő szöveget, majd a legördülő menüből válasszuk ki azokat az objektumokat, amiknek a láthatóságát szabályozni szeretnénk.
1 A programban nem mindegy a megadás sorrendje. Az egyik sorrend mindig 180°-nál kisebb szöget ad, míg a másik ennek 360°-ra kiegészítő szögét. A szög tulajdonságainál azonban kikapcsolhatjuk ezt a tulajdonságot a Reflex szög engedélyezése jelölőnégyzettel. Ez minden szögnél egyenként választható! 2 A program ismeri a végtelent, tehát az y tengellyel párhuzamos alakzat esetén a meredekségre a ∞ jelet használja.
17
Szöveg beszúrása
A rajzlapon kattintás után megjelenő ablakba beírhatjuk a megjelenítendő kívánt szöveget.1
Kép beszúrása
A rajzlapra kattintva a kép bal alsó sarkának helyét adjuk meg, ezután a felugró ablakból választhatjuk ki a beszúrandó fájlt.2
Kapcsolat két alakzat között
Két objektumot kiválasztva a program – ha lehet – valamilyen viszonyt állapít meg közöttük. Például, hogy két alakzat metszi-e egymást, vagy két vektor lineárisan összefüggő-e stb.
Algebra és geometria ablak A geometria ablak (más néven rajzalap) szolgál az objektumok vizuális megjelenítésére, míg az algebra ablakban láthatjuk az alakzat algebrai leírását, azaz például a pontokat koordinátapárjukkal, az egyeneseket és függvényeket formulájukkal mutatja a program. A
megkülönböztet szabad, függő és se-
géd alakzatokat. A szabad alakzatokat a felhasználó hozhatja létre. Ide tartoznak például a rajzlapon tetszőlegesen vagy alakzatokon felvett pontok, a függvények. A függő alakzatok – ahogy nevük is sugallja – mindig valamilyen szabad alakzatok függvényében léteznek, és mindig valamilyen művelet eredményeképp keletkeznek. Például ilyenek a két pont által meghatározott egyenesek, szakaszok, vagy a függvények derivált függvényei, és a tükrözött alakzatok is. A segéd alakzatok lehetnek szabad és függő alakzatok egyaránt, ezeket a felhasználó jelöli meg ilyennek, ezáltal elrejthetjük őket az algebra ablakban. Ez olyan esetekben lehet hasznos, amikor például valamilyen objektumra valójában nincs szükségünk, csak a szerkesztésnél volt a segítségünkre, és el szeretnénk rejteni, hogy ne foglaljon helyet. Mivel a
dinamikus geometriai alkalmazás, ezért lehetőségünk
nyílik arra, hogy bizonyos alakzatokat létrehozásuk után szabadon mozgassunk a rajzlapon „fogd és dobd” módszerrel. Általánosságban azt mondhatjuk, hogy moz-
A szövegben használhatók számértékű objektumok azonosítói, vagy ilyet eredményező függvények, illetve LaTeX-et is használhatunk. Ekkor a szöveget „” jelek közé kell tenni, s a nem szöveg típusú elemekkel + jellel összefűzni. 2 A program gif, jpg, tif és png állományok megjelenítését támogatja. 1
18
gathatók a szabad alakzatok és némely, csak szabad alakzatoktól függő objektum. Mozgathatunk például bármely tetszőlegesen felvett pontot vagy függvényt, függő alakzatok közül pedig például szakaszt, sokszöget, kúpszeleteket. A szabad alakzatokat az algebra ablakban is módosíthatjuk, ha a Mozgatás mód van kiválasztva, és a módosítani kívánt alakzat algebra ablakbeli megfelelőjén duplán kattintunk. Ekkor az algebrai alak szerkeszthetővé válik. Parancssor és parancslista A
azonban egy számítógépes algebrai rendszer is egyben,
ezért lehetőséget ad a felhasználónak arra is, hogy formálisan, közvetlen adatbevitellel vegyen fel új objektumokat. Továbbá vannak olyan funkciók, amik az eszköztáron nem kaptak helyet, így azokat csak a parancssorból lehet elérni. Csak ilyen módon tudjuk például megadni a függvényeket, így lehet létrehozni egyenesek normálvektorát, összetett függvényeket stb. A közvetlen adatbevitelhez használható a parancssor. Közvetlen adatbevitel esetén a létrehozandó objektum formális, algebrai leírását kell megadnunk a parancssor beviteli mezőjében. Pontokat például koordinátáik megadásával hozhatunk létre, így a beviteli mezőbe beírva, hogy (3,2) létrejön a (3,2) koordinátapárral meghatározott pont. Az egyeneseket, köröket, kúpszeleteket megadhatjuk egyenleteik segítségével. A geometria ablakban felvett objektumokat a program automatikusan ellátja azonosítókkal. Ezzel szemben parancssoros megadás esetén lehetőségünk van már létrehozáskor is a név megadására. Ezt Név=utasítás formában kell megtenni, illetve ha az utasítás tartalmaz egyenlőség jelet (például egyenes esetén), akkor Név: utasítás
formában. Megjegyzendő, hogy ilyenkor a
különbséget
tesz a nevek esetében kis- és nagybetűk között, tehát egyszerre létezhetnek a „példa”, „Példa” és „PÉLDA” objektumok. Valamint a program követi a matematikai szokást a pont és vektor esetén. Ez azt jelenti, hogy míg a P=(3,2) utasítás a megfelelő P pontot hozza létre, addig a
p=(3,2)
használata a (3,2) pontba mutató hely-
vektort eredményezi. Ez a különbségtétel csak a létrehozáskor érvényesül, később szabadon átnevezhetők az objektumok kis- és nagybetűsre egyaránt. Az elnevezésekben indexet is használhatunk, ezt a név utáni aláhúzás jelet követően adhatjuk meg, azaz a P1 azonosítót a P_1 eredményezi. Ha nem csak egy karakteres indexet
19
szeretnénk használni, akkor az indexként használandó szöveget {} jelek közé kell tennünk. Például ha egy AB szakasz felezőmerőlegesének neveként az
f_{AB}-t
adjuk, akkor az fAB-ként jelenik meg. A parancssor nyújt lehetőséget arra is, hogy függvényeket ábrázoljunk. Ehhez nem kell mást tennünk, mint a megadnunk a hozzárendelési utasítást. A parancssor mellett, jobb oldalon található első legördülő menüből kiválasztható beépített függvények könnyítik a gépelést, s a program képes összetett függvények ábrázolására is. A speciális karaktereket (mint például a
2
jel) is ebből a listából
választhatja ki a felhasználó. Ugyan közvetlenül nem adhatunk meg értelmezési tartományt, de a beépített „Függvény” parancs segítségével ez is megoldható. Például a beviteli mezőbe beírva, hogy
Függvény[x2, -1, 3]
a másodfokú függvény
olyan változatát kapjuk, mely a [-1,3] intervallumon értelmezett.1 Az értelmezési tartomány mindenképpen zárt intervallum lesz, nyílt megadására nincs lehetőség. Ahogy említettem, a parancssor használata lényegesen kibővíti az alkalmazás lehetőségeit. Ilyenkor ugyanis alkalmunk nyílik arra, hogy a meglévő objektumokra, azonosítójukat használva hivatkozzunk. Például ha létezik az „e” egyenes, akkor a
v=Irány[e]
utasítással megkaphatjuk az egyenes „v” irányvektorát. Ehhez
nyújthat segítséget a parancssor mellett található legördülő menü, a parancslista, melyből a legtöbb funkció elérhető. Környezeti menü Ha egy objektumon a geometria vagy algebra ablakban az egér jobb gombjával kattintunk, akkor megjelenik a hozzá tartozó környezeti menü, mely objektumtípusonként eltérő lehet. A menü segítségével újradefiniálhatjuk, átnevezhetjük, illetve segéd alakzatnak jelölhetjük az objektumot, változtatható az alakzat és a felirat láthatósága, közvetlenül elérhetjük a tulajdonságokat, és bekapcsolható a nyomvonal. A következő ábrán az „A” és „B” pontok által meghatározott „a” szakasz környezeti menüje látható.
1
Megjegyzendő, hogy az így létrejövő függvény függő alakzat, és nem mozgatható szabadon.
20
2. ábra: Szakasz környezeti menüje
Első lépések – néhány egyszerűbb példa Az előző részben a Kedves Olvasó valamelyest megismerkedhetett a programmal, a felületével, a főbb fogalmakkal, menüpontokkal, ám mindezt elméletben. Ebben a részben néhány munkalap segítségével a gyakorlatban is bemutatom a programot. Az egyes pontok elején a programban történő megoldáshoz szükséges fontosabb eszközöket sorolom fel táblázatosan. Geometriai szerkesztések Szakasz
Felezőmerőleges
Kör középponttal és sugárral
Metszéspont
Kör középponttal és kerületi Sokszög ponttal Elsőként nézzünk egy olyan feladatot, ami középiskolában geometria témakörben kerülhet elő. A feladat a következő: adott egy egyenlő szárú háromszög alapja és a köré írt kör sugara. Szerkesszük meg a háromszöget! Magának a feladatnak a megoldása nem kifejezetten bonyolult, mégis tartalmazhat bukkanókat a diákoknak – például a megoldások számát tekintve – de azért is érdemes megnézni, mert segíthet a szükséges matematikai fogalmak megértésében. A megoldás, hogy megszerkesztjük az alap felezőmerőlegesét, ezt elmetsszük az alap egyik végpontjából a megadott sugárral, ez kimetszi a körírt kö-
21
rök középpontjait. Az egyik ilyen pontból a sugárral kört szerkesztünk (a másik nem adna újabb megoldásokat), mely az szakaszfelezőből kimetszi a háromszögek hiányzó csúcspontjait. A feladathoz elkészített munkalap megtalálható a dolgozat mellékletének ide vonatkozó részében. A mellékletben két munkalap is van, ám mindkettő ugyan annak a feladatnak a megoldása. Az extra jelzésű pusztán kicsit finomítottabb, csinosítottabb változat. Az egyszerűbb munkalap bemutatásával kezdem, melynek elkészítése nem vesz sok időt igénybe, akár órán is könnyűszerrel elvégezhetők a szerkesztés lépései. Éppen ezért alkalmasnak tartom arra, hogy első lépéseinket a program használata felé ezzel kezdjük. A megoldás során látható lesz, hogy a
használata inkább ma-
tematikai jellegű ismereteket kér a felhasználótól, semmint számítógépeseket. Az alábbi képen a szerkesztés eredménye látható.
3. ábra: Egy egyszerő, mégis hatékony megoldás néhány lépésbıl
Mivel kimondottan geometriai szerkesztéseket végzünk, így nincs különösebben szükség az algebra ablakra, ezért ezt érdemes kikapcsolni.1 A sugár és a háromszög alapja az adott, ezért ezeket vegyük fel a szakasz segítségével. Az esz-
1 A program alapértelmezetten az új objektumok esetén automatikusan szabályozza a feliratok láthatóságát. Ha csak a geometria ablak látható, akkor a feliratok nem látszódnak. A feliratozást a Beállítások Labeling feliratozás pontjában tudjuk állítani.
22
köztárról a szakaszt kiválasztva, a rajzlapon az egér bal gombjával kattintva vegyünk fel két pontot, ekkor létrejön a sugarat jelképező szakasz. Hasonlóan szerkeszthetjük meg a háromszögünk alapját. A sugár szakaszán kattintsunk az egér jobb gombjával, és nevezzük át a létrejött szakaszt például „r”-re, mert később szükségünk lesz erre az azonosítóra. Az ponthalmazok közül jelöljük ki a szakaszfelező eszközt, majd kattintsuk az alapra, így elkészítve a szakaszfelező merőlegest. A körök csoportjából válasszuk ki a kört középpontjával és adott sugárral szerkesztő eszközt, majd az egér bal gombjával kattintva válasszuk ki az alap egyik végpontját, a felugró ablakba pedig írjuk be az imént a sugárnak választott nevet. Ezt követően a metszéspontok kijelöléséhez válasszuk ki a pontok eszközcsoport erre szolgáló eszközét, és kattintsunk a szakaszfelezőre és a körre. A köré írt kör szerkesztéséhez használhatjuk az előbbi körszerkesztő funkciót, de választhatjuk a kört két ponttal meghatározó változatot is. Utóbbi esetében válasszuk ki a most létrejött metszéspontok közül egy szimpatikust, és az alap egy pontját. Jelöljük ki az így keletkező körnek és a szakaszfelezőnek a metszéspontjait az erre szolgáló eszközzel, majd a sokszög eszköz segítségével a megfelelő három-három pontot kiválasztva megkapjuk a két megoldást. Ezek után a feladat diszkusszióját is könnyen elvégezhetjük. Például az alap vagy a sugár valamely végpontját mozgatva akkorára állíthatjuk be azok hosszát, hogy ne legyen megoldás. De rögtön látszik az is, hogy a feladatnak két megoldása van. Ha otthon vagy óra előtt van időnk, akkor az extra jelzésű munkalap megoldásához hasonlóan egy kicsit finomítottabb, esztétikusabb megvalósítását is elkészíthetjük a feladatnak. A különböző színek használata, illetve bizonyos objektumok feliratozása sokat segíthet a megértésben is. A következő képen ennek eredményét láthatjuk.
23
4. ábra: Színekkel és feliratokkal finomított megoldás
Az ilyen finomítás azonban nem feltétlenül csak esztétikai célokat szolgáló lehet. Mi nem dolgozunk azonosítókkal a szerkesztésink során – pontosabban számunkra nem jelent problémát két látszólag különböző dolgot ugyan azzal jelölni. A azonban minden objektumot más névvel illet. Így az AO1 szakasz valójában az rk névre hallgat, azonban ez felesleges zavaró tényező lehet, ezért a feliratát elrejtettem, és helyette egy szöveget helyeztem el a rajzlapon „r” felirattal. Ám szeretnénk, ha a felirat az ábrát változtatva azzal együtt mozogna. Ezért a felezőpont eszközzel a szakaszra kattintva létrehoztam annak felezőpontját (s hogy neve beszédes legyen átneveztem FelezőAO1-re). Ezt követően az előbb elhelyezett felirat tulajdonságait hívtam elő a környezeti menüből, majd a Position (pozíció) fülön található legördülő menüből kiválasztottam a szakasz felezőpontját. Így a felirat ehhez a ponthoz van rendelve, s azzal együtt mozog. Megjegyzést érdemel az is, hogy a kézi szerkesztés némiképp eltér attól, mint ahogy azt a
programban végezzük. Gondolok itt például arra a
nüánsznyi különbségre, hogy a kör és a felezőmerőleges metszéspontjait rögtön megkapjuk, ha körzővel dolgozunk, itt azonban még egy külön lépés ezek kijelölése. A finomítottabb változatban ennek „kikerülésére” a Szerkesztő Protokollban úgynevezett töréspontokat hoztam létre, amelyekkel úgymond csoportosítottam a
24
szerkesztés lépéseit. Majd annak Nézet menüjében bekapcsoltam a Csak a töréspontok mutatása opciót, végül megjelenítettem a program Nézet menüjéből a Navigációs eszköztárat. Így az egyes lépések inkább hasonlítanak a hagyományos szerkesztés lépéseihez. Az alábbi képeken látható, hogy hol helyeztem el töréspontokat, és ezeknek milyen eredménye lett a lépésekre nézve.
5. ábra: A Szerkesztı Protokollal töréspontok hozhatók létre a szerkesztési lépések csoportosítására
Függvény-transzformációk Csúszka Szöveg beszúrása Jelölőnégyzet Középiskolában igen gyakori feladat a függvények ábrázolása, 9-ik osztályban pedig előkerülnek a függvények transzformációi. Értékes perceket vehet el az órából, ha minden „apró” változás ábrázolásához új grafikont készítünk, mégis ez hozzá tartozik a feladat megoldásához. Szintén a melléklet „Első lépések” könyvtárán belül, a „Függvény-transzformációk” mappában található
fájl azt
mutatja meg, hogy milyen lehetőségeink vannak ennek kiküszöbölésére.
25
A feladat az f(x) = x 2 , g(x) = (x − 2)2 , h(x) = x 2 − 1 és az i(x) = (x − 2)2 − 1 függvények ábrázolása. Azonban nem jutnánk sokkal előrébb az előbb felvázolt probléma megoldásában, ha pusztán e függvények ábrázolását valósítanánk meg. Az elkészített munkalap egy általánosabb megoldást kínál, azaz az f függvény transzformációját végzi paraméteres formában. A g függvényt például nem a fenti hozzárendelési szabállyal adtam meg, hanem g(x) = f(x - a) alakban, ahol az „a” paramétert egy csúszka segítségével változtatni lehet. A csúszkának ugyanis egy szám felel meg az algebra ablakban. Ezt alkalmaztam a másik két függvény esetében is. Tehát az f függvény módosításával rögtön módosul mind a három másik is, a csúszkákkal pedig az egyes függvények külön-külön alakíthatók. Így a munkalap más függvények esetén is könnyedén alkalmazható, sőt, véleményem szerint arra is alkalmas, hogy a diákoknak odaadjuk kísérletezésre. A változások megfigyelésével így maguk fogalmazhatják meg az összefüggéseket. A megértés elősegítése érdekében a hozzárendelési utasításokat nem úgy jelenítettem meg, hogy a függvények tulajdonságainál a feliratokat Név & Érték-re állítottam, mert túlzsúfolttá tette volna az ábrát. E helyett szövegeket helyeztem el a rajzlapon. Továbbá színekkel különböztettem meg a megfelelő függvényeket és a velük logikailag egy csoportot alkotó szövegeket és jelölőnégyzeteket. Az eredmény az alábbi képernyőképen látható.
A megoldáshoz helyezzük el a két csúszkát a rajzlapon. Ezek beállításait én alapértelmezetten hagytam, tehát értékük -5 és 5 között, 0.1-es lépésközzel állítható, de természetesen ez igény szerint akár utólag is megváltoztatható. Ezt követően 26
a parancssorba az
f(x)=x^2
utasítást írva1 hozhatjuk létre az alapfüggvényt. Az f
függvény megadása után a parancssorban a i(x)=f(x+a)+b
g(x)=f(x+a),
h(x)=f(x)+b
és
utasításokat sorra kiadva megkapjuk a három függvényt függő alak-
zatként. Ahogy említettem, a függvények hozzárendelési szabályainak megjelenítésére szövegeket szúrtam be, az ábra kaotikussá válásnak elkerülésére. Nyilván ezek tartalma is dinamikus kell, hogy legyen, ezért a szöveg létrehozásakor megjelenő ablakba például az
”f(x) = ” + f
szöveget írjuk. Így az idézőjelek közti részt
szövegnek tekinti a program, s ezt a „+” jel hatására összefűzi az utána következő résszel. Az idézőjeleken kívüli f helyére az ezzel azonosítóval ellátott objektum (esetünkben az f függvény) értékét, azaz a hozzárendelési szabályt helyettesíti. A függvények változtatásakor az ily módon elhelyezett szövegeink tartalma is változik. A függvények, a megfelelő szövegek és a csúszkák láthatóságát is érdemes szabályozni jelölőnégyzetek használatával. Válasszuk ki a szükséges eszközt, majd a rajzlapon kattintva a felugró ablakba minden esetben beírhatjuk a megfelelő szöveget, majd a legördülő menüből válasszuk ki a megfelelő függvényt és a hozzá tartozó feliratot. A négy jelölőnégyzet neveit érdemes megváltoztatni az alapértelmezett kiosztottról valami „beszédesebbre”, ez a munkalap esetében „M_f”, „M_g”, „M_h” és „M_i” (m, mint mutat). A csúszkák megjelenítését és elrejtését azok tulajdonságainál állíthatjuk be, mert ez nem pusztán egy jelölőnégyzettől függ. Az „a” csúszkára például csak a g vagy az i függvény esetén van szükség, így ha ezek el vannak rejtve, akkor a csúszkát is érdemes elrejtenünk. Ezt megtehetjük például úgy, hogy a csúszka környezeti menüjéből megnyitjuk a Tulajdonságok ablakot, azon belül pedig az Advanced (haladó) fülre kattintunk. Itt a Condition to show object (az objektum megjelenítésének feltétele) beviteli mezőben egy logikai értékű kifejezést kell megadnunk. A jelölőnégyzetek logikai váltózóknak számítanak, és true (igaz) az értékük, ha „be vannak pipálva” (és false (hamis), ha nincs). Tehát az „a” csúszka láthatóságának
1 A hatványkitevő négyzet és köb esetén a parancssor beviteli mezője melletti legördülő menüből is kiválasztható.
27
szabályozásához a beviteli mezőbe írjuk be, hogy M_g v M_i.1 Hiszen ezek a g és az i függvények láthatóságát szabályozó jelölőnégyzetek azonosítói, s ezeket a program logikai változókként kezeli, melyeket vagy kapcsolattal összekötve épp a kívánt eredményt kapjuk.
7. ábra: Az alakzatok láthatóságát összetett, logikai értékő kifejezésekkel is szabályozhatjuk
A munkalapról hiányzik egy harmadik transzformáció, nevezetesen az, amikor a függvényértékek szorzódnak egy számmal. Ennek megvalósítása az előzőekhez hasonlóan történik, a most leírtak tükrében nem jelenthet nehézséget. Ezért, mintegy „házi feladatként” a Kedves Olvasóra bízom a megvalósítását. Integrálás – közelítő összegek Új pont
Szöveg beszúrása
Csúszka
Jelölőnégyzet
Elsősorban matematikából emelt szinten érettségizők számára szükségesek integrálási ismeretek. Az alsó és felső közelítő összegek szemléltetése táblán nehézkes lehet, mégis nagyon hasznos a diákok számára, hiszen különösen absztrakt fogalmakról van szó. A
ebben az esetben is nagy segítség lehet,
ugyanis beépítve tartalmaz olyan parancsokat, melyek segítségével ezt megtehetjük. A feladathoz tartozó munkalap szintén megtalálható a dolgozat mellékletében. A munkalap az előzőhöz hasonlóan általános megközelítést nyújt, ugyanis tetszőleges függvényre alkalmazható, pontok segítségével dinamikusan változtatható a vizsgált intervallum, valamint csúszka használatával az intervallum felosztása is. A következő képernyőképen látható az elkészült munkalap.
1 A két jelölőnégyzet azonosítója között itt nem v betű, hanem a logikai vagy jel szerepel. Ezt a beviteli mező mellett található legördülő menüből kereshetjük ki.
28
8. ábra: Gyorsan készíthetı szemléltetı ábra komolyabb témakörökben is
A munkalap elkészítéséhez először szükségünk van egy függvényre, ezért a parancssor segítségével vegyük fel, például az f(x) = x 2 + 2 függvényt. Hogy általános megoldáshoz jussunk, fontos, hogy az összegek paraméterei változtathatók legyenek. A felosztás állításához szinte adja magát, hogy csúszkát használjunk, ezért el is helyezhetünk a rajzlapon egyet. A felugró ablakban adjuk meg a nevét, például „Felosztás”, a csúszka beosztását pedig célszerű 1-re (de mindenképpen egész számra) állítani. A felvehető minimum értéket szintén 1-re érdemes állítani, hogy legyen legalább egy felosztásunk – vagyis a teljes intervallum. A maximum érték pedig valamilyen ésszerű felső korlát, a munkalap esetében ez 30. Azaz 1 és 30 között lesz állítható a felosztások száma 1-esével. Az intervallum két végpontjának állításához szintén jó választás lehet, ha csúszkát használunk, én mégis pontokkal oldottam meg. Ennek oka, hogy véleményem szerint ez a megvalósítás sokkal közelebb áll a „kézi” módszerhez, szemléletesebben mutatja az intervallum változtatását. A továbbiakban a pontokkal történő megvalósítás lépéseit mutatom be. Az eszköztáron válasszuk az Új pont funkciót, majd kattintsunk két különböző helyen az x tengelyen. Ezáltal létrehoztuk az A és B pontokat a tengely pontjaiként, így csak azon tudjuk majd mozgatni őket. Ezt követően már el is készíthetjük a függvényhez az alsó és felső összegeket mutató objektumokat. A parancssor mellett található a parancslista, mely egy legördülő menü. Innen tudjuk kiválasztani a szükséges Alsóösszeg és Felsőösszeg
