Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 01 Brno ______________________________________________________________________ ÚVOD Každé rekonstrukci vodovodu musí předcházet podrobná bilance ekonomických přínosů plánované investice, která je podložena optimálním návrhem řešení. Při tomto analytickém procesu se porovnávají náklady na obnovu infrastruktury ve vztahu k eliminaci rizika očekávané škody. Zpravidla není efektivní snaha o okamžité a maximální teoreticky možné snížení škod. Doporučuje se postupovat dle následujícího obecného algoritmu (maximální konvexe součtové křivky dává optimum):
Optimum
Stanovení optimální rekonstrukce
finanční náklady
100 80 60 40 20
riziko škody náklady na obnovu
0 1
2
3
4
5
6
7
8
součtová křivka
Zatímco odhad nákladů na obnovu infrastruktury je často rutinní záležitostí, obtížnější bývá stanovení rizika škod a jeho finanční numerace. Nejčastěji se v praxi vychází z prognózy poruchovosti infrastruktury a následně se předpokládanému počtu poruch přiřazuje jejich finanční ocenění. Poruchy na infrastruktuře jsou náhodné jevy, vyznačují se však některými vlastnostmi obecného charakteru, a proto při jejich prognóze lze s výhodou využít numerických metod založených na statistice a pravděpodobnostním počtu. Poruchy na vodovodních řadech zařazujeme mezi náhodné nespojité (diskrétní) veličiny, které nabývají spočetného počtu hodnot bez ohledu na to, je-li tento počet konečný nebo nekonečný. 1. Obecně pro nespojité náhodné veličiny Pravděpodobnost, že náhodná nespojitá veličina X nabude určité hodnoty x se zapisuje P(X=x) nebo častěji P(x). Všechny hodnoty definičního oboru Ω představují úplný systém neslučitelných jevů a součet pravděpodobností všech možných hodnot x se rovná: ∑ P( x) = ∑ P( x) = 1 x∈Ω
x
Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot x jsou funkcí těchto hodnot a tato funkce se nazývá pravděpodobnostní funkce (vyjádření tabulkou, grafem, vzorcem). Známe-li P(x), lze vypočítat pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty rovné alespoň xk a nejvýše xr : P(xk) ≤ X ≤ xr ) =
xr
∑ P( x)
x = xk
Rozdělení náhodné veličiny se popisuje distribuční funkcí, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty, která je menší než toto číslo. Distribuční funkce se značí F(x): F(x) = P(X<x). Pro nespojitou náhodnou veličinu X lze distribuční funkci např.zapisovat: F(x) = ∑ P(t ) , t<x
kde x je libovolné reálné číslo. Distribuční funkce má tyto vlastnosti: a.) 0 ≤ F(x) ≤ 1 b.) distribuční funkce je neklesající c.) distribuční funkce je spojitá zleva d.) jestliže možné hodnoty náhodné veličiny jsou z intervalu
0 x! q(x) =
{
0 jinak Značíme X ~ Po( λ ) a platí: X ~ Po( λ ) ⇒ E(X) = λ , D(X) = λ , kde E(X) je střední hodnota náhodné veličiny X a D(X) je rozptyl náhodné veličiny X Poznámka: a.) Rozdělení Po( λ ) má náhodná veličina X, která udává počet výskytů jevu A za časové období t, jestliže: jev A může nastat v libovolném okamžiku sledovaného časového období počet výskytů jevu A závisí pouze na délce tohoto časového období a ne na jeho počátku, ani na tom, kolikrát jev A nastoupil před jeho počátkem
pravděpodobnost, že jev A nastoupí více než jednou v časovém období délky t konverguje k nule rychleji než t λ = k . t, kde k je průměrný počet výskytů jevu A za časovou jednotku a t je sledované časové období
Místo časového období lze uvažovat např. i počet výskytů jevu A v určité ploše, objemu, hmotnosti, délce apod.
b.) Rozdělení Po( λ ) aproximuje rozdělení Bi (n,p). Je-li p < 0.1 a n >30, potom Bi (n,p) ≅ Po( λ ), kde λ = n . p c.) Je-li X ~ Po( λ ), pak pro modus xo náhodné veličiny X platí λ - 1 ≤ xo ≤ λ d.) Při nezávislosti více Poissonovských veličin Xi ~ Po( λ i) lze vyjádřit směs těchto rozložení: Y = α 1X1 + ……….. α nXn přičemž α 1, α 2,……, α n ∈ (0,1) a platí: ∑ α i = 1 3. Příklad aplikace Poissonova rozdělení na poruchovost vodovodních řadů: Zadání - požadavek na řešení: - v hodnocené lokalitě je zapotřebí zjistit: a.) kolik poruch na vodovodních řadech lze očekávat v hodnocené lokalitě maximálně ročně s 95 % pravděpodobností výskytu? b.) jaký roční počet poruch na vodovodních řadech je nejpravděpodobnější v hodnocené lokalitě ? Oba požadavky je nutno vyhodnotit: - pro stávající stav, - pro výhled za 10 let bez provedení rekonstrukce, - pro výhled za 10 let s provedením rekonstrukce, která spočívá v obnově veškerého potrubí staršího 50 let Hodnocená lokalita je součástí skupinového vodovodu, ve kterém je provozně vyhodnocena následující stávající poruchovost vodovodních řadů v členění dle 3 kategorií stáří potrubí (jsou evidovány jen poruchy na potrubí,tj. bez armatur a objektů): poruchovost potrubí
Poruchovost vodovodního potrubí
0,6 0,4
poruch / km / rok
0,2 0 do 3O let
od 3O do 5O let
nad 5O let
stáří potrubí
Vodovodní řady jsou v hodnocené lokalitě provozně evidovány v členění dle stáří, délky a průměrné roční jednotkové poruchovosti – viz. následující tabulka: Velké Meziříčí stávající počet poruch /km/rok stávající stav výhled za 10 let bez rekonstr. výhled za 10 let po rekonstr.*
do 3O let od 3O do 5O let 0,21 0,25 28 180 18 901 21 487 12 983 34 098 12 983
Pozn. - * je uvažována obnova všech řadů ve stáří nad 50 let
nad 5O let 0,48 0 12 611 0
délka potrubí (m)
Rozdělení vodov. potrubí dle stáří
40 000 30 000 20 000 10 000 0
stávající stav
do 3O let
od 3O do 5O let
nad 5O let
výhled za 10 let bez rekonstr. výhled za 10 let po rekonstr.*
kategorie stáří
Postup řešení: Předpokládáme, že počet poruch za rok je náhodná nespojitá veličina. V dané lokalitě sledujeme 3 navzájem nezávislé kategorie veličin charakterizované odlišnou hodnotou stáří potrubí. Výchozí zadání splňuje všechny podmínky, které musí být splněny, aby bylo možno považovat rozdělení náhodné veličiny (t.j. v našem případě poruchy řadů) za vícerozměrné Poissonovo rozdělení. Předpokládáme tedy, že Xi ~ Po( λ i) kde i = 1,2,3…..počet kategorií vodovodních řadů Xi…………počet poruch v i-té kategorii stáří λ i………...parametry Poissonova rozdělení, pro které platí: λ i= ki . ti, kde k je průměrný roční počet poruch na jednotkovou délku v dané kategorii a t je sledovaná délka vodovodních řadů v dané kategorii stáří. V našem případě tedy pro stávající stav: λ 1 = 0,21 . 28 180 = 5,9 X1 ~ Po( 5,9 ) 1000 λ 2 = 0,25 . 18 901 = 4,73 X2 ~ Po( 4,73 ) 1000 λ 3 = 0,48 . 0 = 0 X3 ~ Po( 0 ) 1000
Analogicky se zpracovává výpočet pro další 2 varianty vztažené k výhledu za 10 let. Řešení je provedeno v tabulkové formě, pro usnadnění a automatizaci výpočtu byl vytvořen vlastní jednoduchý výpočtový program. Postupuje se dle vztahu pro pravděpodobnostní funkci q(x): λx e −λ pro x = 0,1,…… x! X ~ q(x) =
{ 0
jinak
Výsledky řešení: Pravděpodobnosti poruch na hodnocených vodovod.řadech dle Poissonova rozdělení Počet poruch 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Průměr: MAXIM:
Stávající stav Do 30 let 30- 50 let 0,00269 0,00887 0,01593 0,04191 0,04712 0,09901 0,09295 0,15595 0,13752 0,18422 0,16276 0,17410 0,16053 0,13711 0,13571 0,09255 0,10039 0,05467 0,06601 0,02870 0,03906 0,01356 0,02102 0,00583 0,01036 0,00229 0,00472 0,00083 0,00199 0,00028 0,00079 0,00009 0,00029 0,00003 0,00010 0,00001 0,00003 0,00000 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 5+4= 9 poruch 10+9= 18 poruch
Výhled za 10 let bez rekonstr. Do 30 let 30- 50 let nad 50 let 0,01097 0,03894 0,00235 0,04952 0,12639 0,01423 0,11171 0,20511 0,04306 0,16803 0,22191 0,08688 0,18955 0,18007 0,13148 0,17106 0,11689 0,15917 0,12864 0,06323 0,16059 0,08292 0,02932 0,13887 0,04677 0,01190 0,10508 0,02345 0,00429 0,07067 0,01058 0,00139 0,04278 0,00434 0,00041 0,02354 0,00163 0,00011 0,01188 0,00057 0,00003 0,00553 0,00018 0,00001 0,00239 0,00005 0,00000 0,00096 0,00002 0,00000 0,00037 0,00000 0,00000 0,00013 0,00000 0,00000 0,00004 0,00000 0,00000 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 Průměr: 4+3+6= 13 poruch MAXIM: 8+7+10= 25 poruch
Výhl.za10 let po rek Do 30 let 30- 50 let 0,00078 0,03894 0,00556 0,12639 0,01991 0,20511 0,04752 0,22191 0,08507 0,18007 0,12183 0,11689 0,14540 0,06323 0,14873 0,02932 0,13313 0,01190 0,10592 0,00429 0,07584 0,00139 0,04937 0,00041 0,02946 0,00011 0,01623 0,00003 0,00830 0,00001 0,00396 0,00000 0,00177 0,00000 0,00075 0,00000 0,00030 0,00000 0,00011 0,00000 0,00004 0,00000 Průměr: 7+3=10 poruch MAXIM: 11+7=17poruch
Pro naše zadání vyhledáme ve výpočtové tabulce maximální počet poruch v dané kategorii, který odpovídá požadované pravděpodobnosti 0,95. Výsledný počet poruch získáme součtem zjištěného počtu poruch v každé kategorii. Průměrný počet poruch se zjistí z předpokladu nejčastějšího výskytu, názornější přehled je v grafické podobě:
Do 30 let Do 50 let
20
18
do
16
do
14
do
12
do
do
10
6
4
8
do
do
do
2
Do 70 let
do
0
0,200000 0,150000 0,100000 0,050000 0,000000 do
pravděpodobnostní funkce q(x)
Pravděpodobnost počtu poruch - stávající stav
počet poruch : průměrně 5+4=9 poruch /rok
Očekávaný průměrný počet poruch za 10 let bez provedení rekonstrukce řadů:
0,250000 0,200000 0,150000 0,100000 0,050000 0,000000 20 do
16
18 do
do
14
12
do
10
do
8
do
do
6
4
do
do
do
2
Do 30 let Do 50 let Do 70 let
0
pravděpodobnostní funkce q(x)
Pravděpodobnost počtu poruch za 10 let - bez rekonstrukce
počet poruch: průměrně 4+3+6=13 por./rok
Očekávaný průměrný počet poruch za 10 let po provedení rekonstrukce řadů:
20 do
18 do
16 do
14 do
12 do
10 do
8 do
6 do
4 do
do
2
0,300000 0,200000 0,100000 0,000000 0
pravděpodobnostní funkce q(x)
Pravděpodobnost počtu poruch za 10 let - po rekonstrukci
Do 30 let Do 50 let Do 70 let
počet poruch: průměrně 7+3=10 poruch /rok
Souhrnné výsledky řešení: Očekávaný počet poruch v hodnocené lokalitě za rok dle Poissonova rozdělení Velké Meziříčí maximum s pravděpodobn.95 % průměrný počet poruch stávající stav 18 poruch ročně 9 poruch ročně výhled za 10 let bez rekonstr. 25 poruch ročně 13poruch ročně výhled za 10 let po rekonstr.* 17 poruch ročně 10 poruch ročně Pozn. - * je uvažována obnova všech řadů ve stáří nad 50 let
Z ÁV Ě R:
Z provedené prognózy počtu poruch lze následně poměrně snadno vyčíslit odhad finančních nákladů a stanovit riziko škody (náklady na opravu poruch, průměrná cena uniklé vody,…). Využití této časově nenáročné analytické numerické metody poskytuje provozovatelům a vlastníkům infrastruktury užitečný podklad pro jejich strategické rozhodování v oblasti plánování obnovy. Efektivita této metody se projeví zejména u velkých firem provozujících vodovody v desítkách či stovkách obcí, mezi nimiž je třeba objektivně stanovit priority obnovy. Literatura:
Koutková, Moll–Úvod do pravděpodobnosti a matem.statistiky (VUT Brno, 2001) Hebák, Kahounová – Počet pravděpodobnosti v příkladech (SNTL Praha, 1988)
