1 Cviˇ cen´ı z pˇ redmˇ etu KMA/PST2 Pro z´ısk´an´ı z´apoˇctu je nutno mimo doch´azky (max. 3 absence) z´ıskat ze dvou napsan´ ych p´ısemek dohromady alespoˇ n dva pˇr´ıklady. Literatura: ˇ Oseck´ • Bud´ıkov´a, M., Mikol´aˇs, S., y, P.: Teorie pravdˇepodobnosti a matematick´a statistika. Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u. MU Brno. ˇ • Friesl, M.: Posb´ıran´e pˇr´ıklady z pravdˇepodobnosti a statistiky. ZCU Plzeˇ n, 2004, online. Dom´ ac´ı u ´ koly: ´ 1 (bodov´e a intervalov´e odhady): DU • Necht’ X1 , . . . , X10 je n´ahodn´ y v´ ybˇer z N(100, 100). Jak´e rozdˇelen´ı m´a v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer? [X ∼ N(100, 10)] • Necht’ jsou d´any dva nez´avisl´e n´ahodn´e v´ ybˇery, prvn´ı poch´az´ı z rozdˇelen´ı N (2; 1,5) a m´a rozsah 10, druh´ y poch´az´ı z rozdˇelen´ı N (3, 4) a m´a rozsah 5. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer prvn´ıho v´ ybˇeru bude menˇs´ı neˇz v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer druh´eho v´ ybˇeru? V´ ysledek vyj´adˇrete pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce normovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. [Φ(1,05)] • Sb. Bud´ıkov´a: str. 77, 13.5; str. 78, pˇr. 13.8 • Sb. Friesl: str. 101, pˇr. 8.2 - 8.6; str. 106, pˇr. 8.15, 8.16 • Spoleˇcnost, kter´a doporuˇcuje z´asilky ve velk´em mˇestˇe tvrd´ı, ˇze doruˇc´ı z´asilku za 28 minut. Pro ovˇeˇren´ı tohoto pˇredpokladu n´ahodnˇe vybereme 100 z´asilek, u kter´ ych zaznamen´ame ˇcas dod´an´ı. V´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer vypoˇc´ıtan´ y z tohoto v´ ybˇerov´eho souboru je 31,5 minut. Z minulosti v´ıme, ˇze smˇerodatn´a odchylka ˇcasu doruˇcen´ı je 5 minut. Na z´akladˇe tˇechto pˇredpoklad˚ u proved’te ovˇeˇren´ı uveden´eho pˇredpokladu pomoc´ı 95%n´ıho intervalu spolehlivosti.
2 [(30,52;32,48)] • Ml´ek´arna m´a z´ajem o udrˇzov´an´ı doln´ı hranice variability obsahu tuku ve sv´em ml´eku. Jestliˇze pˇredpokl´adan´ y obsah tuku je 2 %, potom aktu´aln´ı obsah tuku v kart´onu ml´eka by se nemˇel pˇr´ıliˇs odchylovat od t´eto hodnoty. Je pˇr´ıputn´a smˇerodatn´a odchylka 0,10%, ale vˇetˇs´ı smˇerodatn´a odchylka nen´ı pˇrijateln´a. Vybrali jsme n´ahodnˇe 20 karton˚ u ml´eka a namˇeˇrili jsme tyto procentu´aln´ı hodnoty obsahu tuku v ml´eku: 1,83; 2,22; 1,98; 1,88; 1,95; 1,78; 2,03; 2,23; 1,63; 1,84; 2,00; 2,07; 2,02; 2,05; 2,12; 1,91; 2,06; 2,5; 1,89; 1,91. Vypoˇc´ıtejte 95%n´ı interval spolehlivosti pro smˇerodatnou odchylku (za pˇredpokladu normality). [(0,14;0,27)] • Na v´ ybˇerov´em souboru 22 aut, pˇristaven´ ych ke gener´aln´ı opravˇe, byly namˇeˇreny poˇcty ujet´ ych kilometr˚ u (v tis´ıc´ıch): 150, 112, 140, 137, 182, 188, 157, 152, 155, 161, 145, 151, 201, 177, 190, 135, 148, 164, 129, 148, 169, 172. Urˇcete v´ ybˇerov´e charakteristiky poˇctu ujet´ ych kilometr˚ u autem pˇred jeho gener´aln´ı u ´pravou. Za pˇredpokladu, ˇze poˇcet ujet´ ych kilometr˚ u m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı, urˇcete 95 %-n´ı interval spolehlivosti pro µ. .
.
[x = 157,4 tis´ıc;s = 21,65 tis´ıc; µ ∈ h147,8; 167i] • U jist´eho mˇeˇr´ıc´ıho zaˇr´ızen´ı m´a b´ yt posouzena jeho pˇresnost. Proto na nˇem byla nˇekolikr´at nez´avisle zmˇeˇrena d´elka t´ehoˇz v´ yrobku. V´ ysledky mˇeˇren´ı v cm byly: 15,15; 15,20; 15,04; 15,14; 15,22 Pˇredpokl´ad´ame, ˇze tyto v´ ysledky jsou ˇc´ıseln´e realizace n´ahodn´eho v´ ybˇeru 2 rozsahu 5 z rozloˇzen´ı N(µ, σ ). Sestrojte 95 %-n´ı interval spolehlivosti pro rozptyl σ 2 .
3 [0,0018 < σ 2 < 0,0405 s pravdˇepodobnost´ı 0,95] • Sponzor televizn´ıch poˇrad˚ u pro dˇeti chce vˇedˇet, kolik ˇcasu tr´av´ı dˇeti sledov´an´ım televize, protoˇze na tˇechto informac´ıch z´avis´ı typy a poˇcty program˚ u. N´ahodn´ ym v´ ybˇerem 100 dˇet´ı se zjistilo, ˇze sledov´an´ı televize vˇenuj´ı t´ ydnˇe pr˚ umˇernˇe 27,5 h se smˇerodatnou odchylkou 8 h. Za pˇredpokladu, ˇze poˇcet hodin str´aven´ y za t´ yden sledov´an´ım televize se ˇr´ıd´ı norm´aln´ım rozloˇzen´ım, sestrojte 95%-n´ı empirick´ y interval spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu poˇctu hodin str´aven´ ych t´ ydnˇe sledov´an´ım televize. [25,93h < µ < 29,07h s pravdˇepodobnost´ı 0,95] • Na jist´e velk´e americk´e univerzitˇe bylo r. 1969 n´ahodnˇe vybr´ano 5 profesor˚ u a nez´avisle na tom 5 profesorek a byl zjiˇstˇen jejich roˇcn´ı pˇr´ıjem (v tis´ıc´ıch dolar˚ u). Muˇzi: 16, 19, 12, 11, 22; ˇzeny: 9, 12, 8, 10, 16. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze uveden´e u ´daje tvoˇr´ı realizace dvou nez´avisl´ ych 2 2 n´ahodn´ ych v´ ybˇer˚ u z rozloˇzen´ı N(µ1 , σ1 ) a N(µ2 , σ2 ). a) Sestrojte 95%-n´ı empirick´ y interval spolehlivosti pro pod´ıl rozptyl˚ u pˇr´ıjm˚ u muˇz˚ u a ˇzen. b) Pokud bude uveden´ y interval spolehlivosti obsahovat 1, sestrojte 95%-n´ı interval spolehlivosti pro rozd´ıl stˇredn´ıch hodnot pˇr´ıjm˚ u muˇz˚ u a ˇzen. [a) 0,22 < σ12 /σ22 < 20,64 s pravdˇepodobnost´ı 0,95, b) −0,788 < µ1 − µ2 < 10,788 s pst´ı 0,95] • Bylo zkouˇseno 100 n´ahodnˇe vybran´ ych ocelov´ ych tyˇc´ı k urˇcen´ı meze pr˚ utaˇznosti dan´eho druhu oceli. Zpracov´an´ım v´ ysledk˚ u byly urˇceny −2 2 v´ ybˇerov´e charakteristiky x¯ = 286,4N mm a s = 121,00N 2 mm−4 . Urˇcete bodov´e a intervalov´e odhady µ a σ se spolehlivost´ı 0,99 za pˇredpokladu, ˇze n´ahodn´ y v´ ybˇer poch´az´ı z norm´aln´ıho rozdˇelen´ı.
[µ = 286,4N mm−2 , σ = 11,0N mm−2 , µ ∈ h283,5; 289,3i, σ ∈ h9,3; 13,4i]
4 • N´ahodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n = 32 m´a v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer x¯ = 15,344 a poch´az´ı z rozdˇelen´ı N (µ; 7,4). Urˇcete bodov´ y a intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty µ se spolehlivost´ı 0,99. [µ = 15,344; µ ∈ h14,12; 16,58i] • Pomoc´ı pˇr´ıstroje, jehoˇz systematick´a chyba je nulov´a a n´ahodn´e chyby mˇeˇren´ı maj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı se smˇerodatnou odchylkou σ = 10mm, byla 25kr´at zmˇeˇrena urˇcit´a konstantn´ı veliˇcina. Urˇcete jej´ı intervalov´ y odhad se spolehlivost´ı 99%, kdyˇz aritmetick´ y pr˚ umˇer jejich namˇeˇren´ ych hodnot je 100mm. [h94,846; 105,154imm] • Pˇri orientaˇcn´ıch zkouˇsk´ach mechanick´ ych vlastnost´ı dr´atu byly zmˇeˇreny pevnosti (kPa): 6,5; 7,3; 7,0; 6,8; 7,2. Pˇredpokl´adejme, ˇze rozdˇelen´ı pevnosti dr´atu je norm´aln´ı. Vypoˇctˇete intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty pevnosti se spolehlivost´ı 0,95. [h6,56; 7,36ikP a] • Bylo z´ısk´ano 50 hodnot n´ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım N (µ, σ 2 ) s aritmetick´ ym pr˚ umˇerem x¯ = 610 a disperz´ı s2 = 2770,4. Urˇcete intervalov´e odhady µ pro α = 0,1; 0,05; 0,01. [h597,52; 622,47i; h595,04; 624,96i; h590,05; 629,95i] • Stanovte intervalov´ y odhad parametru µ norm´aln´ıho rozdˇelen´ı se spolehlivost´ı 99% ze vzorku: 26,4; 28,3; 25,1; 27,4; 26,9. [h24,37; 29,27i]
5 • Bylo provedeno 5 nez´avisl´ ych a stejnˇe pˇresn´ ych mˇeˇren´ı ke stanoven´ı impedance: 4,781; 4,792; 4,795; 4,779; 4,769 Ω. Stanovte intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty impedance se spolehlivost´ı 99% za pˇredpokladu norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. [h4,761; 4,805iΩ] • Z 15 nez´avisl´ ych mˇeˇren´ı byl vypoˇcten bodov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty −1 −1 424,7ms a smˇerodatn´e odchylky 8,7ms maxim´aln´ı rychlosti letadla. Urˇcete intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty a smˇerodatn´e odchylky se spolehlivost´ı 95% za pˇredpokladu norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. [µ ∈ h419,88; 429,52ims−1 , σ ∈ h6,37; 13,72ims−1 ] • Najdˇete intervalov´ y odhad se spolehlivost´ı 95% stˇredn´ı meze kluzu oceli, m´a-li norm´aln´ı rozdˇelen´ı se smˇerodatnou odchylkou σ = 150kp/cm2 , jestliˇze pˇri 20 zkouˇsk´ach bylo zjiˇstˇeno x¯ = 2850kp/cm2 . [h2784; 2916ikp/cm2 ] • Najdˇete intervalov´ y odhad se spolehlivost´ı 99% stˇredn´ı hodnoty norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, jestliˇze pˇri 10 zkouˇsk´ach bylo zjiˇstˇeno x¯ = 2,063 a s2 = 8,6. [h−0,95; 5,076i] • Bylo ovˇeˇreno, ˇze rozdˇelen´ı procenta niklu je v legovan´e litinˇe norm´aln´ı. Na z´akladˇe 18 anal´ yz byl vypoˇcten rozptyl n´ahodn´eho v´ ybˇeru s2 = 0,1289. Stanovte intervalov´ y odhad rozptylu σ 2 se spolehlivost´ı 0,95. [h0,073; 0,289i] • Smˇerodatn´a odchylka n´ahodn´eho v´ ybˇeru z norm´aln´ıho rozdˇelen´ı je σ = 0,02. Urˇcete rozsah n n´ahodn´eho v´ ybˇeru tak, aby se spolehlivost´ı 0,95 (0,99) aproximoval jeho v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer stˇredn´ı hodnotu s chybou menˇs´ı neˇz 0,005.
6 [n ≥ 62 (107)] • Bˇehem tˇr´ı mˇes´ıc˚ u bylo anal´ yzami vzork˚ u z´ısk´ano 250 u ´daj˚ u o obsahu uhl´ıku v surov´em ˇzeleze v jist´e sl´ev´arnˇe. Z tˇechto u ´daj˚ u byl vypoˇcten 2 rozptyl s = 0,2705, kter´ y vzhledem k velk´emu poˇctu anal´ yz povaˇzujeme za (skuteˇcn´ y) rozptyl n´ahodn´eho v´ ybˇeru. Kolik anal´ yz mus´ıme mˇes´ıˇcnˇe prov´est, aby aritmetick´ y pr˚ umˇer aproximoval stˇredn´ı obsah uhl´ıku v surov´em ˇzeleze v surov´em ˇzeleze se spolehlivost´ı 95% s pˇresnost´ı 0,15? [n ≥ 47] • Z dˇr´ıvˇejˇs´ıch mˇeˇren´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze n´ahodn´a veliˇcina m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı, σ 2 = 0,27. Kolik mˇeˇren´ı mus´ıme prov´est, chceme-li zaruˇcit pˇresnost intervalov´eho odhadu stˇredn´ı hodnoty a) 0,15 se spolehlivost´ı 0,95; b) 0,05 se spolehlivost´ı 0,95; c) 0,10 se spolehlivost´ı 0,99; d) 0,10 se spolehlivost´ı 0,95; e) 0,15 se spolehlivost´ı 0,99; f) 0,05 se spolehlivost´ı 0,99; [a)47; b)415; c)180; d)104; e)80; f)717] [25] • Realizac´ı n´ahodn´eho v´ ybˇeru s norm´aln´ım rozdˇelen´ım se smˇerodatnou odchylkou σ = 16 bylo z´ısk´ano 900 u ´daj˚ u. Urˇcete d´elku intervalov´eho odhadu stˇredn´ı hodnoty µ se spolehlivost´ı 0,90. [1,7547] • Zkoumal se vliv kouˇren´ı na nervovou soustavu. U 16 osob se mˇeˇril poˇcet chvˇen´ı ruky pˇred kouˇren´ım xi a po vykouˇren´ı yi jedn´e cigarety za stejnou ˇcasovou jednotku. V´ ysledky mˇeˇren´ı jsou: xi yi xi yi
44 50 53 47
28 37 23 25
54 63 69 71
37 52 51 58
62 83 42 47
40 48 51 51
44 43 60 66
49 55 45 52
Urˇcete 99% interval spolehlivosti pro rozd´ıl µ2 − µ1
7 [(1,37;10,63)] ´ 2 (testy o parametrech norm´aln´ıho rozdˇelen´ı): DU
• Sb. Bud´ıkov´a: str. 82, kapitola 14 (ty pˇr´ıklady, kter´e jsme nestihli na cviˇcen´ı). • Sb. Friesl: str. 112, pˇr. 9.4 - 9.6; str. 115, pˇr. 9.9, 9.10; str. 120, pˇr. 9.18, 9.19 • Realizac´ı n´ahodn´eho v´ ybˇeru z norm´aln´ıho rozdˇelen´ı byl z´ısk´an statistick´ y soubor: xj −2 −1 0 1 2 3 fj 1 4 7 3 3 2 Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze µ = 0,1. [¯ x = 0,45; s2 = 1,9447; t = 1,1224; t0,975 = 2,093; hypot´ezu nezam´ıt´ame ] • Linka autobusov´e dopravy mˇela na urˇcit´e trase pr˚ umˇernou dobu j´ızdy 12 minut. Na trase byly provedeny zmˇeny. K posouzen´ı toho, zda tyto zmˇeny ovlivnily dobu j´ızdy, bylo pˇri dev´ıti zkuˇsebn´ıch j´ızd´ach dosaˇzeno tˇechto ˇcas˚ u (v minut´ach): 12,5, 13,5, 11,9, 12,2, 13,0, 14,3, 12,2, 11,8, 14,0. Testujte za pˇredpokladu normality na hladinˇe 0,05, ˇze doˇslo ke zmenˇsen´ı pr˚ umˇern´e j´ızdn´ı doby. [H0 : µ ≤ 12 proti H1 : µ > 12, t-test: x = 12,8, s2 = 1,495, t = 1,963] • U 25 n´ahodnˇe vybran´ ych dvoulitrov´ ych lahv´ı s nealkoholick´ ym n´apojem byl zjiˇstˇen pˇresn´ y obsah n´apoje. V´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer ˇcinil x = 1,99 l a v´ ybˇerov´a smˇerodatn´a odchylka s = 0,1 l. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze objem n´apoje v l´ahvi je n´ahodn´a veliˇcina s norm´aln´ım rozdˇelen´ım. Na hladinˇe testu 0,05 ovˇeˇrte tvrzen´ı v´ yrobce, ˇze z´akazn´ık nen´ı znev´ yhodnˇen. [H0 : µ ≥ 2 proti H1 : µ < 2, t-test: t = −0,5]
8 • Poˇzadovan´a stˇredn´ı hodnota obsahu leguj´ıc´ıho prvku ve tv´arn´e litinˇe je 4,2% a smˇerodatn´a odchylka 0,4%. Ve 20 vzorc´ıch byly anal´ yzou zjiˇstˇeny tyto skuteˇcn´e obsahy (%): 4,5;
4,3;
4,1;
4,9;
4,6;
3,2;
4,4;
5,1;
4,8;
4,0;
3,7;
4,4;
3,9;
4,1;
4,2;
4,1;
4,7;
4,3;
4,2;
4,4.
Na hladinˇe testu 5% testujte hypot´ezy, ˇze z´akladn´ı soubor, z nˇehoˇz vzorky poch´azej´ı, m´a (a) poˇzadovanou stˇredn´ı hodnotu; (b) stejnou variabilitu. [(a) t = 1,033; t0,975 = 2,093; hypot´ezu nezam´ıt´ame ] [(b) z = 22,25; χ20,025 = 8,91; χ20,975 = 32,9; hypot´ezu nezam´ıt´ame ] • Na z´akladˇe statistick´eho souboru o rozsahu 10 a s rozptylem s2 = 2,0 testujte na hladinˇe v´ yznamnosti 0,01 hypot´ezu, ˇze z´akladn´ı soubor m´a 2 rozptyl σ = 0,2. . [t = 90; χ20,005 = 1,73; χ20,995 = 23,6; hypot´ezu zam´ıt´ame ] • Pro posouzen´ı pˇresnosti dvou mˇeˇr´ıc´ıch metod bylo provedeno 8 mˇeˇren´ı a urˇceny rozd´ıly dvojic odpov´ıdaj´ıc´ıch si v´ ysledk˚ u. Tak byla urˇcena pr˚ umˇern´a odchylka x = 0,244 a smˇerodatn´a odchylka s = 0,192. Zjistˇete na hladinˇe testu 0,05, zda obˇe metody m˚ uˇzeme povaˇzovat za stejnˇe pˇresn´e. [t = 3,594; t7;0,975 = 2,365; hypot´ezu zam´ıt´ame ] • Realizacemi dvou nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych v´ ybˇer˚ u s rozsahy n1 = 40 a n2 = 50 ze z´akladn´ıch soubor˚ u s norm´aln´ım rozdˇelen´ım s (zn´am´ ymi) 2 2 rozptyly σX = 80 a σY = 100 byly z´ısk´any v´ ybˇerov´e pr˚ umˇery x¯ = 130 a y¯ = 140. Na hladinˇe testu 0,01 testujte hypot´ezu, ˇze z´akladn´ı soubory maj´ı stejn´e stˇredn´ı hodnoty. [u = −5; u0,995 = 2,576; hypot´ezu zam´ıt´ame ]
9 • Realizac´ı n´ahodn´eho v´ ybˇeru o rozsahu n1 = 50 byl z´ısk´an v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer x¯ = 20,1 mm rozmˇeru loˇzisek vyroben´ ych na automatu I a realizac´ı n´ahodn´eho v´ ybˇeru rozsahu n2 = 50 byl z´ısk´an v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer y¯ = 19,8 mm rozmˇeru loˇzisek vyroben´ ych na automatu II. Zn´am´e roz2 = 1,750 mm2 ptyly z´akladn´ıch soubor˚ u s norm´aln´ım rozdˇelen´ım jsou σX a σY2 = 1,375 mm2 . Na hladinˇe testu 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze stˇredn´ı hodnoty rozmˇer˚ u jsou u obou automat˚ u stejn´e. [u = 1,2; u0,975 = 1,960; hypot´ezu nezam´ıt´ame ] • Byla namˇeˇrena doba reakce na svˇeteln´ y sign´al n´ahodnˇe vybran´e skupiny ˇridiˇc˚ u profesion´al˚ u a skupiny ˇridiˇc˚ u amat´er˚ u. Poˇcty ˇridiˇc˚ u ve skupin´ach a v´ ybˇerov´e charakteristiky doby reakce (v sekund´ach) jsou: Profesion´alov´e: Amat´eˇri:
nP = 10; xP = 0,34; sP = 0,1817; nA = 20; xA = 0,42; sA = 0,2429;
Za pˇredpokladu, ˇze doba reakce m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı, testuje v´ yznamnost rozd´ılu mezi dobami reakce obou skupin ˇridiˇc˚ u. [Rozd´ıly v´ ybˇerov´ ych rozptyl˚ u nejsou statisticky v´ yznamn´e.] • V´ yrobce elektrick´ ych bateri´ı ud´av´a, ˇze baterie m´a pr˚ umˇernou ˇzivotnost 10 hodin. Na v´ ybˇerov´em souboru 11 bateri´ı byly zjiˇstˇeny tyto hodnoty ˇzivotnosti (v hodin´ach): 9,5
10,5
8,9
9,2
10
8,5
9,2
8,8
10 9,5
9,2
Urˇcete x a s pro dobu ˇzivotnosti. Testujte na hladinˇe 0,05 hypot´ezu, ˇze pr˚ umˇern´a hodnota ˇzivotnosti je rovna t´e uv´adˇen´e v´ yrobcem. . . [x = 9,39; s = 0,59; H0 zam´ıt´ame.] • V restauraci U b´ıl´eho kon´ıˇcka“ mˇeˇrili ve 20 pˇr´ıpadech ˇcas obsluhy ” z´akazn´ıka. V´ ysledky v minut´ach: 6
8
11
4
7
6
10
6
9
8
5
12
13
10
9 8
7
11
10
V restauraci Zlat´ y lev“ bylo dan´e pozorov´an´ı uskuteˇcnˇeno v 15 pˇr´ıpadech ” s tˇemito v´ ysledky: 9
11
10
7
6
4
8
13
5
15
8
5
6
8
7
Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze stˇredn´ı hodnoty doby obsluhy jsou v obou restaurac´ıch stejn´e.
5
10 [t = 0,1237, t33;0,975 = 2,0345, H0 nelze zam´ıtnout.] • Na 10 automobilech stejn´eho typu se testovaly dva druhy benz´ınu liˇs´ıc´ı se oktanov´ ym ˇc´ıslem. U kaˇzd´eho automobilu se pˇri pr˚ umˇern´e rychlosti 90 km/h mˇeˇril dojezd (tj. dr´aha, kterou ujede na dan´e mnoˇzstv´ı benz´ınu) pˇri pouˇzit´ı kaˇzd´eho z obou druh˚ u benz´ınu. V´ ysledky: ˇc. auta benz´ın A benz´ın B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17,5 20 18,9 17,9 16,4 18,9 17,2 17,5 18,5 18,2 17,8 20,8 19,5 18,3 16,6 19,5 17,5 17,9 19,1 18,6
Za pˇredpokladu, ˇze dojezd se ˇr´ıd´ı norm´aln´ım rozloˇzen´ım, testujte na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 hypot´ezu, ˇze se stˇredn´ıch hodnoty dojezdu pˇri dvou druz´ıch benz´ınu neliˇs´ı. [P´arov´ y t-test, t = −7,9148, t9;0,975 = 2,2621, H0 zam´ıt´ame.] • Pevnost vl´akna bavlnˇen´e pˇr´ıze lze pokl´adat za n´ahodnou veliˇcinu s rozloˇzen´ım N (µ, σ 2 ). Je-li σ 2 > 0,36 kg 2 , vznikaj´ı pot´ıˇze pˇri tkan´ı. Pˇri zkouˇsce 11 n´ahodnˇe vybran´ ych vl´aken byly zjiˇstˇeny hodnoty jejich pevnosti a vypoˇcten empirick´ y rozptyl s2 = 0,92 kg 2 . Na hladinˇe testu 0,05 je tˇreba zjistit, zda je pˇr´ıze vyhovuj´ıc´ı. [Testujeme H0 : σ 2 ≤ 0,36 proti H1 : σ 2 > 0,36; z = 25,5556 χ210;0,95 = 18,3070, zam´ıt´ame H0 na hladinˇe testu 0,05.] • Podle u ´daj˚ u na obale ˇcokol´ady by mˇela b´ yt jej´ı ˇcist´a v´aha alespoˇ n 125g. V´ yrobce dostal nˇekolik st´ıˇznost´ı od kupuj´ıc´ıch, v kter´ ych tvrdili, ˇze v´aha ˇcokol´ad je niˇzˇs´ı neˇz uv´ad´ı v´ yrobce. Z tohoto d˚ uvodu pracovn´ık oddˇelen´ı kontroly n´ahodnˇe vybral 50 v´ yrobk˚ u a zjistil, ˇze pr˚ umˇern´a v´aha je 122g. Pˇredpokl´adejme, ˇze smˇerodatn´a odchylka v´ahy je 8,6g. M˚ uˇzeme na hladinˇe testu 0,01 povaˇzovat st´ıˇznosti kupuj´ıc´ıch za opodstatnˇel´e? [ano, nebot’ U = −2,467 ≤ −2,326 = −u0,99 ]
11 • V´ yrobce uv´ad´ı, ˇze pr˚ umˇern´a ˇzivotnost j´ım vyr´abˇen´ ych reflektor˚ u je alespoˇ n 70 hodin. Konkurenˇcn´ı firma se domn´ıv´a, ˇze je ve skuteˇcnosti niˇzˇs´ı, a proto se rozhodla dok´azat, ˇze v´ yrobcovo tvrzen´ı nen´ı spr´avn´e. N´ahodnˇe vybrala 20 reflektor˚ u a zjistila, ˇze jejich pr˚ umˇern´a ˇzivotnost byla 67 hodin a standardn´ı (smˇerodatn´a) odchylka 5 hodin. Na hladinˇe testu 0,05 ovˇeˇrte, zda v´ yrobcovo tvrzen´ı je skuteˇcnˇe nespr´avn´e? [ano, nebot’ T = −2,68 ≤ −t0,95;19 = −1,729] • Podle vyj´adˇren´ı z´astupce obchodn´ı ˇskoly, p´ıˇsou absolventky ˇskoly na stroji pr˚ umˇernou rychlost´ı alespoˇ n 90 slov za minutu. Urˇcit´ y zamˇestnavatel se domn´ıv´a, ˇze souˇcasn´e absolventky p´ıˇsou menˇs´ı pr˚ umˇernou rychlost´ı. K ovˇeˇren´ı byl vybr´an n´ahodn´ y v´ ybˇer 15 posledn´ıch absolventek a kaˇzd´e byl d´an test zamˇeˇren´ y na zjiˇstˇen´ı rychlosti psan´ı na stroji. Byly namˇeˇreny tyto rychlosti: 76 80 100 78 75 89 81 86 91 90 102 67 84 66 69. a) Ovˇeˇrte na hladinˇe testu 0,05, zda m´a pravdu z´astupce ˇskoly. b) Vypoˇc´ıtejte 95%-n´ı interval spolehlivosti pro pr˚ umˇernou rychlost psan´ı na stroji absolventek ˇskoly. [a) ne, nebot’ T = −2,72 ≤ t0,05;14 = −1,761, b) (76,18; 88,36)] • Standardn´ı (smˇerodatn´a) odchylka obsahu urˇcit´e l´atky v tabletk´ach, kter´e vyr´ab´ı farmaceutick´ y podnik, nesm´ı pˇrekroˇcit hodnotu 0,45 mg. Kdyˇz pˇrekroˇc´ı tuto hodnotu, mus´ı se prov´est korekce v nastaven´ı v´ yrobn´ı linky. Kontrolor n´ahodnˇe vybral 25 tablet a zjistil, ˇze rozptyl obsahu sledovan´e l´atky je 0,2583. Jak´ y provede z´avˇer, kdyˇz pˇripouˇst´ı pravdˇepodobnost chyby I. druhu 0,05? [Korekce nen´ı potˇreba, nebot’ z = 30,61 ≤ χ224;0,95 = 36,4151] • Pˇri pˇreb´ır´an´ı z´asilek chemik´ali´ı poˇzadujeme, aby rozptyl procenta neˇcistot v tˇechto z´asilk´ach nepˇrekroˇcil hodnotu 4. N´ahodnˇe bylo vybr´ano 20 z´asilek a v´ ybˇerov´ y rozptyl procentu´aln´ıho obsahu neˇcistot v nˇem ˇcinil 5,62. Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,1 testujte hypot´ezu H0 : σ 2 ≤ 4 proti opaˇcn´e alternativˇe. [Nezam´ıt´ame H0 , nebot’ Z = 26,695 ≥ χ20,9;19 = 27,20]
12 • Na dvou u ´sec´ıch b´an ˇsk´eho z´avodu se sledovala popelnatost uhl´ı. Na prv´em u ´seku se odebralo 21 vzork˚ u s n´asleduj´ıc´ımi v´ ysledky: 12,9 14,3 15,5 14,0 13,0 13,5 14,7 13,3 13,8 12,2 14,4 15,0 14,1 14,5 13,5 16,0 13,0 14,0 16,6 17,5 14,5. Na druh´em u ´seku se odebralo 10 vzork˚ u s n´asleduj´ıc´ımi vzorky: 13,5 15,5 15,0 13,5 16,1 16,0 16,2 16,9 15,9 17,4. a) Je staticky v´ yznamn´ y rozd´ıl v popelnatosti uhl´ı na jednotliv´ ych u ´sec´ıch? b) Urˇcete 95% interval spolehlivosti pro nezn´am´ y rozd´ıl v popelnatosti uhl´ı µ2 − µ1 . [F-testem ovˇeˇr´ıme, ˇze σ12 = σ22 ; zam´ıtneme hypot´ezu H0 : µ1 = µ2 proti opaˇcn´e alternativˇe, nebot’ T = 2,63 ≥ t0,975;29 = 2,04; b) (0,29; 2,31)] • Pˇri urˇcov´an´ı obsahu niklu v oceli byly uˇzity dvˇe r˚ uzn´e metody. Prvn´ı metoda pˇri proveden´ı 12 anal´ yz dala rozptyl namˇeˇren´ ych hodnot s2X = 0,0224 a druh´a metoda dala rozptyl pˇri proveden´ı 8 anal´ yz s2Y = 0,0263. Testujte za pˇredpokladu normality na hladinˇe testu 0,05 nulovou hypot´ezu, ˇze obˇe metody jsou vzhledem k rozptylu stejnˇe pˇresn´e. [F = 0,85, nulovou hypot´ezu nezam´ıt´ame] • Po opravˇe byl seˇr´ızen bal´ıc´ı automat na maso. Na 10%-n´ı hladinˇe v´ yznamnosti ovˇeˇrte hypot´ezu, ˇze seˇr´ızen´ım automatu nedoˇslo ke zmˇenˇe pr˚ umˇern´e hmotnosti balen´ ych porc´ı. Nejdˇr´ıve ovˇeˇrte hypot´ezu o shodˇe rozptyl˚ u. Abychom tyto hypot´ezy ovˇeˇrili, vybrali jsme pˇred seˇr´ızen´ım automatu n´ahodnˇe 7 bal´ıˇck˚ u a zjistili jejich pr˚ umˇernou hmotnost 57 kg a v´ ybˇerov´ y rozptyl 10,67. Po seˇr´ızen´ı jsme opˇet n´ahodnˇe vybrali 6 bal´ıˇck˚ u a zjistili pr˚ umˇernou hmotnost 51 kg a rozptyl 1,60. Jak´e dalˇs´ı pˇredpoklady mus´ı b´ yt splnˇeny, abychom mohli uveden´e testy prov´est? (Test shody stˇredn´ıch hodnot provedeme pˇribliˇzn´ ym t-testem) [Test o shodˇe rozptyl˚ u i shodˇe stˇredn´ıch hodnot zam´ıt´ame.]
13 ´ 3 (testy alternativn´ıho rozdˇelen´ı a testy dobr´e shody): DU • Sb. Friesl: str. 121, pˇr. 9.20 (test alternativn´ıho rozdˇelen´ı) • Cestovn´ı kancel´aˇr pˇredpokl´ad´a, ˇze 70% z´akazn´ık˚ u, kteˇr´ı maj´ı z´ajem o pobytov´ y z´ajezd k moˇri, si objedn´a polopenzi. Pro ovˇeˇren´ı tohoto pˇredpokladu n´ahodnˇe vybrala 50 z´ajemc˚ u o tento druh z´ajezdu a zjistila, ˇze 28 z nich chtˇelo objednat polopenzi. M˚ uˇzeme na hladinˇe v´ yznamnosti a) 0,05, b) 0,01 povaˇzovat pˇredpoklad cestovn´ı kancel´aˇre za spr´avn´ y (alt. rozd.)? [a) ne, nebot’ |U | = 2,16 > u0,975 = 1,96; b) ano, nebot’ |U | = 1,994 > u0,995 = 2,576] • Asociace mal´ ych luxusn´ıch hotel˚ u uveˇrejnila v jednom ˇcasopise zpr´avu, v kter´e uv´ad´ı, ˇze pod´ıl vˇsech hotel˚ u v USA dosahuj´ıc´ıch standard˚ u Asociace je 0,0096. Tuto zpr´avu management hotel˚ u popˇrel a chtˇel dok´azat, ˇze pod´ıl hotel˚ u, kter´e bychom mohli kvalifikovat jako nadstandardn´ı je vyˇsˇs´ı neˇz 0,0096. Z tohoto d˚ uvodu pronajal nez´avislou agenturu, jej´ıˇz pracovn´ıci navˇst´ıvili 1000 n´ahodnˇe vybran´ ych hotel˚ uv r˚ uzn´ ych ˇca´stech USA a zjistili, ˇze 11 z nich splˇ nuje krit´eria Asociace pro zaˇrazen´ı do nadstandardn´ı skupiny. M˚ uˇzeme na z´akladˇe v´ ysledku tohoto v´ ybˇerov´eho zjiˇst’ov´an´ı urˇcit z´avˇer, ˇze v USA je pod´ıl hotel˚ u splˇ nuj´ıc´ıch standard Asociace vyˇsˇs´ı neˇz 0,0096, kdyˇz pouˇzijeme hladinu testu 0,1 (alt. rozd.)? [testovac´ı statistika U = 0,454. Oblast zam´ıtnut´ı W na hladinˇe testu α = 0,1 je U ≥ u1−α = u0,90 = 1,28. Protoˇze U < 1,28, H0 nezam´ıt´ame] • Veden´ı supermarketu chce zav´est do prodeje nov´ y v´ yrobek. Podle pˇredpokladu by o nˇej mˇelo z´ajem 20% z´akazn´ık˚ u. Pro upˇresnˇen´ı tohoto odhadu byl proveden mezi z´akazn´ıky pr˚ uzkum, zda o tento v´ yrobek budou m´ıt z´ajem. Ze 400 n´ahodnˇe vybran´ ych z´akazn´ık˚ u odpovˇedˇelo 62 kladnˇe. Je tˇreba otestovat, zda se pˇredpoklad shoduje s pr˚ uzkumem (alt. rozd.). [Hodnota testov´eho krit´eria je u = −2,25 a kvantil u0,975 = 1,96. Protoˇze se hodnota testov´eho krit´eria realizovala v kritick´em oboru, nulovou hypot´ezu zam´ıtneme na hladinˇe testu 5%.]
14 • Pˇredpovˇedi o v´ ynosech z jedn´e akcie jsou prov´adˇeny pravidelnˇe mnoha finanˇcn´ımi analytiky. V n´ahodn´em v´ ybˇeru 600 pˇredpovˇed´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze 382 z tˇechto pˇredpovˇed´ı pˇrekroˇcilo skuteˇcnou hodnotu v´ ynos˚ u. Testujme nulovou hypot´ezu, ˇze skuteˇcn´ y pomˇer t´e ˇca´sti pˇredpovˇed´ı, kter´e pˇrekraˇcuj´ı aktu´aln´ı hodnoty dosaˇzen´e na burze je 0,5 proti oboustrann´e alternativˇe na hladinˇe testu 0,05. (Touto hypot´ezou oˇcek´av´ame, ˇze finanˇcn´ı analytici nemaj´ı tendenci znaˇcnˇe podhodnocovat nebo nadhodnocovat sv´e pˇredpovˇedi o v´ ynosech.) [Alt. rozd., testujeme H0 : p = 0,5 proti HA : p 6= 0,5; u = 6,712, u0,975 = 1,96, zam´ıt´ame H0 na hladinˇe 0,05.] • Sb. Friesl - pˇr´ıklady 9.11, 9.12 (testy dobr´e shody) ˇ ezec cukr´aren, kter´ • Retˇ y nab´ız´ı 4 druhy zmrzliny, otevˇrel provozovnu v nov´e lokalitˇe. Ve st´avaj´ıc´ıch provozovn´ach ˇretˇezce byla dosud struktura prodeje podle druh˚ u zmrzliny n´asleduj´ıc´ı: vanilkov´a 62%, ˇcokol´adov´a 18%, jahodov´a 12%, pist´aciov´a 8%. Po otevˇren´ı provozovny v nov´e lokalitˇe m´ame z´aznam o n´asleduj´ıc´ım prodeji: vanilkov´a 120, ˇcokol´adov´a 40 jahodov´a 18, pist´aciov´a 22. Testujte shodu struktury prodeje v nov´e lokalitˇe oproti dosavadn´ım prodej˚ um ˇretˇezce. [Test dobr´e shody, z = 4,32, χ23;0,95 = 7,82, H0 nelze zam´ıtnout na hladinˇe testu 0,05.] • Dle ofici´aln´ı studie je rozdˇelen´ı poˇctu poˇc´ıtaˇc˚ u v ˇcesk´ ych dom´acnostech d´ano n´asleduj´ıc´ı tabulkou: poˇcet poˇc´ıtaˇc˚ u 0 procentu´aln´ı pod´ıl 10
1 16
2 55
3 v´ıce neˇz 3 11 8
N´ahodn´ ym v´ ybˇerem 600 rodin v Olomouck´em kraji jsme obdrˇzeli n´asleduj´ıc´ı hodnoty poˇcet poˇc´ıtaˇc˚ u 0 ˇcetnost 66
1 119
2 340
3 60
v´ıce neˇz 3 15
Odpov´ıd´a struktura poˇctu poˇc´ıtaˇc˚ u v dom´acnostech v Olomouck´em kraji celost´atn´ım v´ ysledk˚ um?
15 [Test dobr´e shody, z = 29,65, χ24;0,95 = 9,49, H0 zam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,05.] • V´ yrobce tvrd´ı, ˇze 50% v´ yrobk˚ u je I. jakosti, 20% II. jakosti, 20% III. jakosti a 10% IV. jakosti. N´ahodnˇe bylo vybr´ano 500 v´ yrobk˚ u, z toho bylo 269 I. jakosti, 112 II. jakosti, 74 III. jakosti a 45 IV. jakosti. Ovˇeˇrte na hladinˇe testu 0,01, zda m´a v´ yrobce pravdu. [Test dobr´e shody, z = 10,144, H0 nelze zam´ıtnout na hladinˇe 0,01.] • Ovˇeˇrte na hladinˇe testu 0,01, zda m´a n´ahodn´a veliˇcina X hustotu (
f (x) =
1 + x pro x ∈ h−1, 0), 1 − x pro x ∈ h0, 1i.
Realizace n´ahodn´eho v´ ybˇeru z rozdˇelen´ı X byla pˇritom roztˇr´ıdˇena n´asledovnˇe: tˇr´ıda interval ni tˇr´ıda interval ni 1. h−1; −0,6) 5 4. h0,2; 0,6) 27 2. h−0,6; −0,2) 20 5. h0,6; 1i 8 3. h−0,2; 0,2) 40 [Test dobr´e shody, z = 2,611, H0 nelze zam´ıtnout na hladinˇe 0,01.] ´ 4 (kontingenˇcn´ı tabulky): DU • Sb. Friesl, str. 118, pˇr. 9.13 - 9.17; str. 122, pˇr. 9.25, 9.26. • Na souboru n´ahodnˇe vybran´ ych pacient˚ u, trp´ıc´ıch urˇcitou chorobou, bylo zjiˇst’ov´ano, zda proti n´ı byli oˇckov´ani a jak´ y pr˚ ubˇeh choroba m´a pˇri oˇckov´an´ı a bez oˇckov´an´ı. V´ ysledky jsou v tabulce. Posud’te, zda pr˚ ubˇeh choroby z´avis´ı na tom, zda pacient byl oˇckov´an. pacient \ pr˚ ubˇeh oˇckov´an neoˇckov´an
lehk´ y 60 24
tˇeˇzk´ y 12 66
[z = 51,45; oˇckov´an´ı ovlivˇ nuje pr˚ ubˇeh nemoc´ı.]
16 • V´ yzkumn´a agentura zjiˇst’ovala na souboru 128 n´ahodnˇe vybran´ ych osob, zda pˇri n´astupu nov´e vl´ady j´ı d˚ uvˇeˇrovali a zda po jej´ı roˇcn´ı vl´adˇe ji st´ale d˚ uvˇeˇruj´ı. Na z´akladˇe z´ıskan´ ych u ´daj˚ u, uveden´ ych v tabulce, rozhodˇete o tom, zda zjiˇstˇen´a zmˇena n´azor˚ u je statisticky v´ yznamn´a. (McNemar˚ uv test) dˇr´ıvˇejˇs´ı n´azor \ nynˇejˇs´ı n´azor d˚ uvˇeˇroval jsem ned˚ uvˇeˇroval jsem
d˚ uvˇeˇruji ned˚ uvˇeˇruji 48 26 14 40
[z = 3,6; v´ yznamn´a zmˇena n´azor˚ u se neprok´azala.] ´ • Ukolem bylo porovnat obt´ıˇznost dvou ot´azek. Na kaˇzdou ot´azku odpov´ıdalo 40 n´ahodnˇe vybran´ ych student˚ u, odpovˇedi byly hodnoceny dvˇema stupni, spr´avnˇe nebo chybnˇe. Testujeme hypot´ezu, ˇze ot´azky jsou stejnˇe obt´ıˇzn´e. ˇc´ıslo ot´azky spr´avnˇe chybnˇe
1 2 21 27 19 13
[Protoˇze z = 1,875 < χ20,95 (1) = 3,84, nezam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,05 hypot´ezu, ˇze pravdˇepodobnost spr´avn´e odpovˇedi nez´avis´ı na volbˇe ot´azky.] • V podniku byla zkouˇsena nov´a technologie v´ yroby a porovn´av´ana se starou. Pro starou technologii bylo z 1000 v´ yrobk˚ u 741 v´ yrobk˚ u I. jakosti, 248 v´ yrobk˚ u II. jakosti a 11 zmetk˚ u. Pro novou technologii ze 100 v´ yrobk˚ u 85 bylo I. jakosti, 15 v´ yrobk˚ u II. jakosti a ˇza´dn´ y zmetek. Nov´a technologie m´a tedy niˇzˇs´ı pod´ıl zmetk˚ u i v´ yrobk˚ u II. jakosti. Veden´ı podniku vˇsak chce m´ıt dostateˇcnou z´aruku, ˇze takto pˇr´ızniv´e v´ ysledky nejsou n´ahodn´e. Lze na hladinˇe testu α = 0,01 zam´ıtnout hypot´ezu, ˇze kvalita v´ yrobku naz´avis´ı na volbˇe technologie? ˇ s´ıme pomoc´ı kontingenˇcn´ı tabulky 2 × 3; pro n´ızk´e oˇcek´avan´e [Reˇ hodnoty zmetk˚ u nutno sdruˇzit na 2 × 2; testov´a statistika je 5,77 < χ21;0,99 ; hypot´ezu nezam´ıt´ame.]
17 • ([Andˇel (2005)], str. 282) U 6800 muˇz˚ u byla zjiˇst’ov´ana barva oˇc´ı a barva vlas˚ u. V´ ysledky jsou uvedeny v n´asleduj´ıc´ı tabulce. barva oˇc´ı \ barva vlas˚ u svˇetle modr´a ˇsed´a nebo zelen´a tmavohnˇed´a
svˇetl´a 1768 946 115
kaˇstanov´a ˇcern´a zrzav´a 807 189 47 1387 746 53 438 288 16
Testujte na hladinˇe 0,05 hypot´ezu, ˇze barva oˇc´ı a barva vlas˚ u u muˇz˚ u jsou nez´avisl´e statistick´e znaky. [test nez´avislosti, z = 1073,51, χ26;0,95 = 12,59, H0 zam´ıt´ame] • Pr˚ uzkum, proveden´ y u ˇcten´aˇr˚ u ˇcasopis˚ u A, B, C souˇcasnˇe zjiˇst’oval ˇ ˇ ˇ jejich vzdˇel´an´ı - ZS, SS a VS. Z v´ ysledk˚ u, uveden´ ych v kontingenˇcn´ı tabulce, rozhodnˇete na hladinˇe testu 0,05 o tom, zda volba ˇcasopisu z´avis´ı na vzdˇel´an´ı. vzdˇel´an´ı \ ˇcasopis ˇ ZS ˇ SS ˇ VS
A 75 40 35
B 75 70 5
C 50 40 10
[test nez´avislosti, z = 32,889, H0 zam´ıt´ame] • ([Andˇel (2005)], str. 283) V severoz´apadn´ım Skotsku byla provedena studie, kter´a mˇela prok´azat, zda je procentu´aln´ı zastoupen´ı krevn´ıch skupin na cel´em u ´zem´ı homogenn´ı ˇci nikoli. V oblasti Eskdale bylo n´ahodnˇe vybr´ano 100 osob, v oblasti Annandale 125 osob a v oblasti Nithsdale 253 osob (viz tabulka). Testujte na hladinˇe 0,05 hypot´ezu, ˇze rozdˇelen´ı krevn´ıch skupin je ve vˇsech tˇrech oblastech stejn´e. oblast \ krevn´ı skupiny Eskdale Annandale Nithsdale
A 33 54 98
B 6 14 35
0 AB 56 5 52 5 115 5
18 [test homogenity, z = 10,45, χ26;0,95 = 12,59, H0 nelze zam´ıtnout] • ([Andˇel (2003)], str. 182) Bylo zkoum´ano, zda pod´an´ı urˇcit´eho l´eku m´a jako vedlejˇs´ı u ´ˇcinek zmˇenu rychlosti sr´aˇzen´ı krve. Proto bylo n´ahodnˇe vybr´ano 100 pacient˚ u. U kaˇzd´eho z nich se zjistilo, zda m´a rychlou ˇci pomalou sr´aˇzlivost krve. Pak byl pacient˚ um pod´an zm´ınˇen´ y l´ek a v pˇrimˇeˇren´e dobˇe byla znovu vyˇsetˇrena sr´aˇzlivost krve. V´ ysledky jsou uvedeny v tabulce n´ıˇze. Testujte na hladinˇe 0,05 hypot´ezu, zda pod´an´ı l´eku ovlivˇ nuje sr´aˇzlivost krve. pˇred \ po pomal´a rychl´a
pomal´a rychl´a 24 28 12 36
[McNemar˚ uv test, z = 6,4, χ21;0,95 = 3,84, H0 zam´ıt´ame] • U 24 n´ahodnˇe vybran´ ych teenager˚ u se zjiˇst’ovalo, zda m´a pohlav´ı vliv na skuteˇcnost, ˇze respondenti drˇz´ı dietu. Zjiˇstˇen´e v´ ysledky jsou uvedeny v tabulce. M´a se na hladinˇe testu 0,1 ovˇeˇrit hypot´eza, ˇze pohlav´ı a drˇzen´ı diety na sobˇe nez´avis´ı. dieta \ pohlav´ı ano ne
muˇz ˇzena 1 9 11 3
[Fisher˚ uv faktori´alov´ y test, H0 zam´ıt´ame] ´ 5 (regresn´ı anal´yza): DU • V tabulce jsou roˇcn´ı n´aklady na u ´drˇzbu domu (v $) a jeho cena (v tis´ıc´ıch $). Vyj´adˇrete z´avislost n´aklad˚ u na u ´drˇzbu domu na jeho cenˇe regresn´ı pˇr´ımkou. Odhadnˇete stˇredn´ı hodnotu n´aklad˚ u na u ´drˇzbu domu, maj´ıc´ı cenu 80 tis´ıc $ a jej´ı 95 %-n´ı interval spolehlivosti. N´aklady Cena
835 136
63 24
240 52
1005 143
184 42
213 43
313 658 67 106
195 61
545 99
19 [Yb (x) = −160,347 + 7,574x;
Yb (80) = 445,5; Y (80) ∈ h402,7; 488,4i.]
• Pro hodnoty [2,1], [3,2], [4,4], [5,4] spoˇctˇete metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u odhady koeficient˚ u regrese yi = β0 +β1 xi +εi (i = 1, . . . , n), vyrovnan´e hodnoty, rezidua, rezidu´aln´ı rozptyl (S 2 ), 95%-n´ı interval spolehlivosti pro β0 , β1 a pro hodnotu β0 + 4β1 . Lze na hladinˇe testu 0,05 zam´ıtnout hypot´ezu β1 = 0? [βb1 = 1,1; βb0 = −1,1; yc1 = 1,1; yc2 = 2,2; yc3 = 3,3; yc4 = 4,4; e1 = −0,1; e2 = −0,2; e3 = 0,7; e4 = −0,4; s2 = 0,35; −5,283 < β0 < 3,083; −0,038 < β1 < 2,238; 1,906 < β0 + 4β1 < 4,694 ; hypot´ezu β1 = 0 nelze zam´ıtnout, nebot’ pro β1 = 0 je t1 = 4,158 < t2;0,975 ] • Mˇeˇren´ım byly z´ısk´any hodnoty: x 40 64 34 15 57 45 y 33 46 23 12 56 40 Urˇcete regresn´ı funkci y = β0 + β1 x, bodov´ y odhad rozptylu σ 2 , intervalov´ y odhad koeficientu β1 se spolehlivost´ı 0,95 a testujte hypot´ezu β1 = 0 na hladinˇe testu 0,05. [y = −1,3082 + 0,8543x; σ 2 = 39,8439; β1 ∈ h0,404; 1,305i, hypot´ezu zam´ıt´ame] • Mˇeˇren´ım byla z´ısk´ana data: x −60 −32 −15 1 15 30 55 y 781 824 840 855 868 882 897 Odhadnˇete line´arn´ı regresn´ı funkci y = β1 + β2 x, bodov´ y odhad σ 2 , intervalov´ y odhad regresn´ıho koeficientu β2 se spolehlivost´ı 0,95 a bodov´ y a intervalov´ y odhad hodnoty y pro x = −30 a x = 15. [y = 850,4 + 0,991x; s2 = 46,67; β2 ∈ h0,808; 1,179i; y(−30) = 820,7; y(−30) ∈ h812,05; 829,16i; y(15) = 865,3; y(15) ∈ h859,94; 870,73i]
20 • Mˇeˇren´ım byly z´ısk´any hodnoty:
x 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 4,50 5,10 6,10 6,70 7,50 y 0,017 0,046 0,075 0,110 0,142 0,167 0,188 0,224 0,262 0,282 Urˇcete regresn´ı funkci y = β0 +β1 x, testujte hypot´ezu β0 = 0 na hladinˇe testu 0,05 a vypoˇc´ıtejte intervalov´ y odhad koeficientu β1 se spolehlivost´ı 0,95. [y = −0,012009+0,039686x; σ 2 = 0,0000207; β1 ∈ h0,038066; 0,041064i, hypot´ezu o β0 zam´ıt´ame] • Pˇri sledov´an´ı z´avislosti veliˇciny Y na veliˇcinˇe x byly z´ısk´any n´asleduj´ıc´ı hodnoty: x 3,4 4,3 5,4 6,7 8,7 10,6 y 4,5 5,8 6,8 8,1 10,5 12,7 Urˇcete regresn´ı funkci y = β0 + β1 x, bodov´ y odhad y(5,4) a intervalov´e odhady β0 , β1 , y(5,4) se spolehlivost´ı 0,95. [y = 0,77 + 1,12x; y(5,4) = 6,82; β0 ∈ h0,31; 1,24i; β1 ∈ h1,05; 1,19i, y(5,4) ∈ h6,41; 7,23i ] • Empirick´ ym zkouˇsen´ım byly urˇceny rychlosti reakce Y pˇri ˇsesti r˚ uzn´ ych teplot´ach: t 400 452 493 528 561 604 y 3,23 7,80 15,43 24,21 37,95 60,09 Urˇcete odhad regresn´ı funkce y = γ · exp( Tβ ), T = t + 273, a intervalov´ y odhad regresn´ıho koeficientu β se spolehlivost´ı 0,95. 3
[y = 1,018 × 106 · exp( −8,52197.10 ); β ∈ h−8,7604 × 103 ; −8,2836 × 103 i] T
21 • Vyrovnejte data v tabulce funkc´ı u(t) = γ0 tγ1 . Urˇcete pak hodnotu u(2) a jej´ı 95%-n´ı interval spolehlivosti. t 0,15 0,5 1 3 6 12 24 y 4,1 4,6 5,7 6,4 9,3 9,8 10,1 [ub(t) = 5,6853t0,2002 ; ub(2) = 6,531; u(2) ∈ h6,422; 6,639i] • Urˇcete odhady koeficient˚ u regresn´ı funkce y = β0 + β1 x1 + β2 x2 vyrovn´avaj´ıc´ı data v tabulce a jej´ı index determinace. x1i 4 8 7 5 5 4 11 6 16 9 10 x2i 7 5 14 8 5 4 9 8 10 5 12 yi 12 38 20 20 27 20 49 26 83 51 38 [βb0 = 4,080, βb1 = 6,005, βb2 = −1,969, R2 = 0,983] • Byl zkoum´an vztah mezi uˇz´ıv´an´ım hormon´aln´ı antikoncepce a infark´ tem myokardu. Udaje od 224 ˇzen jsou uvedeny v n´asleduj´ıc´ı tabulce. antikoncepce \ infarkt ano ne
ano ne 23 34 35 132
Urˇcete odhad pomˇeru ˇsanc´ı, odhady regresn´ıch parametr˚ u (plus test o nulovosti parametru β1 ) a nakonec t´eˇz intervalov´ y odhad pomˇeru ˇsanc´ı. b b [ω(1)/ ω(0) = 2,5505]
´ 6 (ANOVA): DU
22 • Jsou zn´amy mˇes´ıˇcn´ı trˇzby (v tis´ıc´ıch Kˇc) tˇr´ı prodavaˇc˚ u za dobu p˚ ul roku. 1. prodavaˇc 12 10 9 10 11 9 2. prodavaˇc 10 12 11 12 14 13 3. prodavaˇc 19 18 16 16 17 15 Na hladinˇe testu 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze stˇredn´ı hodnoty trˇzeb vˇsech tˇr´ı prodavaˇc˚ u jsou stejn´e. Pokud zam´ıtneme nulovou hypot´ezu, zjistˇete, trˇzby, kter´ ych dvou prodavaˇc˚ u se liˇs´ı na hladinˇe testu 0,05. [y 1 . = 10,17, y 2 . = 12, y 3 . = 16,83, y.. = 13 Se = 27,7, SA = 142,3, ST = 170, FA = 38,58 F2,15 (0,95) = 3,6823, H0 tedy zam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,05. V´ ysledky zap´ıˇseme do tabulky ANOVA Zdroj variability
Souˇcet ˇctverc˚ u Stupnˇe volnosti
skupiny
SA = 142,3
fA = 2
rezidu´ aln´ı
Se = 27,7
fe = 15
celkov´ y
ST = 170
fT = 17
pod´ıl SA = 71,17 fA Se = 1,84 fe -
FA SA /fA = 38,58 Se /fe
Nyn´ı pomoc´ı Tukeyovy metody zjist´ıme, kter´e dvojice prodavaˇc˚ u se liˇs´ı na hladinˇe testu 0,05.
Srovn´avan´ı prodavaˇci Rozd´ıly |Y k. − Y l. | Prav´a strana vzorce 1,2 1,83 2,04 1,3 6,67∗ 2,04 2,3 4,83∗ 2,04 Prav´a strana: q1−α (k,n − k) √Sq = q0,95 (3,15) Se kde S 2 = n−k = 1,84.
√ 1,84 √ 6
= 3,67
Na hladinˇe testu 0,05 se liˇs´ı trˇzby prodavaˇc˚ u 1,3 a 2,3.]
√ 1,84 √ 6
= 2,03,
-
23 • Je d´ano pˇet nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych v´ ybˇer˚ u o rozsaz´ıch 5, 7, 6, 8, 5, pˇriˇcemˇz i-t´ y v´ ybˇer poch´az´ı z rozdˇelen´ı N (µi , σ 2 ), i = 1, . . . , 5. Byl vypoˇcten celkov´ y souˇcet ˇctverc˚ u ST = 15 a rezidu´aln´ı souˇcet ˇctverc˚ u Se = 3. Na hladinˇe testu 0,05 testujte hypot´ezu o shodˇe stˇredn´ıch hodnot. [n = 5 + 7 + 6 + 8 + 5 = 31, k = 5, SA = ST − Se = 15 − 3 = 12 12/4 /(k−1) = 3/26 = 26, F4,26 (0,95) = 2,9752 F = SSAe /(n−k) Protoˇze F ≥ F4,26 (0,95), H0 zam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,05.] • Studenti byli vyuˇcov´ani pˇredmˇetu za vyuˇzit´ı pˇeti pedagogick´ ych metod: tradiˇcn´ı zp˚ usob, programov´a v´ yuka, audiotechnika, audiovizu´aln´ı technika a vizu´aln´ı technika. Z kaˇzd´e skupiny byl vybr´an n´ahodn´ y vzorek student˚ u a vˇsichni byli podrobeni t´emuˇz p´ısemn´emu testu. Na hladinˇe testu 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze znalosti vˇsech student˚ u jsou stejn´e a nez´avis´ı na pouˇzit´e pedagogick´e metodˇe. V pˇr´ıpadˇe zam´ıtnut´ı nulov´e hypot´ezy zjistˇete pomoc´ı Scheff´eho a Tukeyho metody, kter´e v´ ybˇery se liˇs´ı na hladinˇe testu 0,05.
metoda poˇcet bod˚ u tradiˇcn´ı 76,2 programov´a 85,2 audio 67,3 audiovizu´aln´ı 75,8 vizu´aln´ı 50,5
48,3 74,3 60,1 81,6 70,2
85,1 76,5 55,4 90,3 88,8
63,7 80,3 72,3 78,0 67,1
91,6 67,4 40,0 67,8 77,7
87,2 67,9 72,1 60,4 57,6 73,9
[Vˇsech pˇet n´ahodn´ ych v´ ybˇer˚ u m´a rozloˇzen´ı bl´ızk´e norm´aln´ımu rozloˇzen´ı. Leven˚ uv test shody rozptyl˚ u m´a testov´e krit´erium 0,1238, poˇcet stupˇ n˚ u volnosti je 4 a 26, tedy na hladinˇe testu 0,05 hypot´ezu o shodˇe rozptyl˚ u nezam´ıt´ame. Anal´ yza rozptylu m´a testov´e krit´erium 1,6236, poˇcet stupˇ n˚ u volnosti je 4 a 26, odpov´ıdaj´ıc´ı P-hodnota je 0,1983, tedy na hladinˇe testu 0,05 hypot´ezu o shodˇe stˇredn´ıch hodnot nezam´ıt´ame. Znamen´a to, ˇze na hladinˇe testu 0,05 se neprok´azaly odliˇsnosti ve znalostech student˚ u. ] • Pan Nov´ak m˚ uˇze cestovat z m´ısta bydliˇstˇe do m´ısta pracoviˇstˇe tˇremi r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby: tramvaj´ı (zp˚ usob A), autobusem (zp˚ usob B) a metrem s n´asledn´ ym pˇrestupem na tramvaj (zp˚ usob C). M´ame k dispozici
24 jeho namˇeˇren´e ˇcasy cestov´an´ı do pr´ace v dobˇe rann´ı ˇspiˇcky (vˇcetnˇe ˇcek´an´ı na pˇr´ısluˇsn´ y spoj) v minut´ach. Zp˚ usob A: 32 39 42 37 34 38 Zp˚ usob B: 30 34 28 26 32 Zp˚ usob C: 40 37 31 39 38 33 34 Pro vˇsechny tˇri zp˚ usoby dopravy vypoˇctˇete pr˚ umˇern´e ˇcasy cestov´an´ı. Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze pr˚ umˇern´a doba cestov´an´ı do pr´ace nez´avis´ı na zp˚ usobu dopravy. V pˇr´ıpadˇe zam´ıtnut´ı nulov´e hypot´ezy zjistˇete, kter´e zp˚ usoby dopravy do pr´ace se od sebe liˇs´ı na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05. [Pr˚ umˇern´e ˇcasy cestov´an´ı pro tˇri zp˚ usoby dopravy jsou 37 min, 30 min, 36 min. Vˇsechny tˇri n´ahodn´e v´ ybˇery maj´ı rozdˇelˇen´ı bl´ızk´e norm´aln´ımu rozdˇelen´ı. Leven˚ uv test shody rozptyl˚ u m´a testov´e krit´erium 0,1054, poˇcet stupˇ n˚ u volnosti je 2 a 15, odpov´ıdaj´ıc´ı p-hodnota je 0,9007, tedy na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 hypot´ezu o shodˇe rozptyl˚ u nezam´ıt´ame. Anal´ yza rozptylu m´a testov´e krit´erium 6,7151, poˇcet stupˇ n˚ u volnosti je 2 a 15, odpov´ıdaj´ıc´ı p-hodnota je 0,0083, tedy na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 hypot´ezu o shodˇe stˇredn´ıch hodnot zam´ıt´ame. Scheff´eho metoda mnohon´asobn´eho porovn´av´an´ı prok´azala na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 rozd´ıl mezi zp˚ usoby A a B a mezi zp˚ usoby B a C.] • Pro posouzen´ı v´ ykonnosti manu´aln´ıho pracovn´ıka bˇehem dne byl proveden experiment, pˇri nˇemˇz byla v r˚ uznou denn´ı dobu u nˇekolika pokusn´ ych osob mˇeˇrena schopnost koncentrace (poˇcet spr´avnˇe proveden´ ych u ´kon˚ u za standardn´ıch podm´ınek). V´ ysledky testu jsou: R´ano Dopoledne Odpoledne Veˇcer V noci
162 158 149 160 148
162 154 150 149 150
150 150 146 158 160
151 160 158 155 156
164 165 154 153 159
155 156 152 158 156
155 149 148 152 163
S pomoc´ı jednofaktorov´e anal´ yzy rozptylu (AR) testujte na hladinˇe testu 0,05, zda podm´ınky pro koncentraci manu´aln´ıho pracovn´ıka maj´ı souvislost s denn´ı dobou. Aplikac´ı Scheff´eho a Tukeyho metody nav´ıc zjistˇete, kter´e dvojice skupin se od sebe na uveden´e hladinˇe testu liˇs´ı. Pˇredpoklad shody rozptyl˚ u ovˇeˇrte Bartlettov´ ym testem.
25 [souvislost koncentrace s denn´ı dobou se neprok´azala, nebot’ F = 1,548 < F0,95;4;30 = 2,6896] • Pokuste se prok´azat na 5%-n´ı hladinˇe v´ yznamnosti, ˇze smˇenov´ y v´ ykon dˇeln´ıka z´avis´ı na osvˇetlen´ı pracoviˇstˇe (za pˇredpokladu normality a shody rozptyl˚ u). V´ ysledky jsou zaznamen´any u 16 n´ahodnˇe vybran´ ych osob v n´asleduj´ıc´ı tabulce: Pˇr´ım´e osvˇetlen´ı 64 54 60 50 Kombinovan´e osvˇetlen´ı 59 67 72 69 74 67 Nepˇr´ım´e osvˇetlen´ı 60 63 57 66 62 64 [ano, nebot’ F = 6,457 > F0,95;2;13 = 3,82] • L´ekaˇr pˇredpokl´ad´a, ˇze d´elka doby bez pocitu bolesti po pod´an´ı utiˇsuj´ıc´ıho l´eku nez´avis´ı na druhu medikamentu, ale na skuteˇcnosti, ˇze byla nˇejak´a tableta pod´ana. Tento ˇcas byl nyn´ı zmˇeˇren na 15 pacientech, rozdˇelen´ ych do tˇrech skupin: placebo: 2,2, 0,3, 1,1, 2,0, 3,4; medikament A: 2,8, 1,4, 1,7, 4,3; medikament B: 1,1, 4,2, 3,8, 2,6, 0,5, 4,3. Testujte l´ekaˇrovu hypot´ezu na 5% hladinˇe (pˇredpokl´ad´ame norm´aln´ı rozdˇelen´ı doby bez bolesti jakoˇz i stejn´e rozptyly u jednotliv´ ych v´ ybˇer˚ u). [F = 0,65] • V teorii financ´ı se povaˇzuje za efektivn´ı takov´ y trh s aktivami, na kter´em se poloˇzky stejn´e kvality nebo jin´ ych atribut˚ u (napˇr. riziko v pˇr´ıpadˇe obchodu s akciemi) prod´avaj´ı za stejn´e ceny. Petrochemick´a spoleˇcnost chce zjistit, zda obchod s nezpracovanou ropou, pˇri kter´em se plat´ı v hotovosti, je efektivn´ı nebo ne. Pracovn´ık povˇeˇren´ y vypracov´an´ım t´eto anal´ yzy, se rozhodl pro trh s ropou v Rotterdamu, kde si vybral druh ropy A. Protoˇze rozd´ıly v poloze m´ısta prodeje z d˚ uvodu rozd´ıln´ ych dopravn´ıch n´aklad˚ u a rozd´ıly v druz´ıch ropy z d˚ uvodu rozd´ıl˚ u v jejich
26 kvalitˇe mohou zp˚ usobit rozd´ıly v jejich cen´ach, obˇe skuteˇcnosti fixoval a soustˇredil se jen na jedno m´ısto a jeden druh: Rotterdam a druh A. Kromˇe toho je potˇrebn´e, aby se v sledovan´em obdob´ı nezmˇenila ofici´alnˇe“ platn´a cena ropy, coˇz bylo splnˇen´e v bˇreznu dan´eho roku. ” V tomto mˇes´ıci pracovn´ık n´ahodnˇe vybral 8 dn´ı, v kter´ ych zjistil ceny ´ ropy poch´azej´ıc´ı ze 4 exportuj´ıch zem´ı. Udaje (v $ za barel) jsou v tabulce:
VB Mexiko SAE Oman
17,88 17,77 18,48 18,23
18,00 18,00 18,30 18,20
17,99 18,01 18,22 18,15
18,00 18,12 18,56 18,14
17,90 18,20 18,10 18,11
17,80 18,01 18,10 18,05
18,00 17,75 18,35 18,01
17,98 18,00 18,01 17,94
Jak´ y m˚ uˇzeme udˇelat z´avˇer o efektivnosti trhu s ropou? (Pouˇzijte jednofaktorovou AR, pˇredpoklad o shodˇe rozptyl˚ u ovˇeˇrte Bartlettov´ ym testem). [F = 8,671 > F0,95;3;28 = 2,947; pr˚ umˇern´e ceny se nerovnaj´ı; 17,94 17,98 18,26 18,10] ´ 7 (Korelaˇcn´ı anal´yza): DU
• Data (1;4), (2;2), (3;0) jsou v´ ybˇerem rozsahu 3 z dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı. a) Spoˇctˇete v´ ybˇerovou kovarianci. b) Ovˇeˇrte, ˇze r = −1 a zd˚ uvodnˇete proˇc. [b) vˇsechny v´ ybˇerov´e hodnoty leˇz´ı na klesaj´ıc´ı pˇr´ımce] • Uvaˇzujte hodnoty xi = i − 6 a yi = x2i pro i = 1, 2, . . . , 11. a) Ukaˇzte, ˇze r = 0. b) Nakreslete body (xi , yi ). [b) body paraboly; korelaˇcn´ı koeficient je pˇritom charakteristikou pouze line´arn´ı z´avislosti mezi statistick´ ymi znaky]
27 • V obchodˇe se setk´av´ame s takov´ ymi druhy zboˇz´ı, kter´e se mohou pˇri spotˇrebˇe vz´ajemnˇe zastupovat. Pˇr´ıkladem mohou b´ yt nˇekter´e druhy tuk˚ u, mouˇcn´ ych v´ yrobk˚ u aj. Z u ´daj˚ u o roˇcn´ı spotˇrebˇe (v kg) dvou takov´ ych druh˚ u zboˇz´ı A (xi ) a B (yi ) z´ıskan´ ych u n´ahodnˇe vybran´ ych n = 2000 dom´acnost´ı jsme urˇcili: X
xi = 120 000, X
X
yi = 80 000,
x2i = 8 000 000,
X
X
xi yi = 4 560 000,
yi2 = 3 650 000
Z tˇechto u ´daj˚ u vypoˇc´ıtejte: a) v´ ybˇerov´e stˇredn´ı hodnoty a rozptyly b) v´ ybˇerovou kovarianci a korelaˇcn´ı koeficient [a) x¯ = 60, y¯ = 40, s2X = 400, s2Y = 225; b) sX,Y = −120; r = −0,4] • Pro data, kter´a jsou v´ ybˇerem o rozsahu n = 5 z rozdˇelen´ı n´ahodn´eho vektoru (X, Y, Z), spoˇctˇete v´ ybˇerovou varianˇcn´ı a v´ ybˇerovou korelaˇcn´ı matici. Vyjde–li nˇekter´ y nediagon´aln´ı prvek v korelaˇcn´ı matici roven 1 nebo −1, zd˚ uvodnˇete proˇc. Data jsou (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 4, 1), (4, 6, 2), (5, 8, 2). √ 1 1 3/√10 5/2 5 3/2 10 3 1 1 3/ 10 , RX = S = 5 √ √ 3/2 3 1 3/ 10 3/ 10 1
• V´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient rX,Y = −0,72 je vypoˇc´ıtan´ y z n´ahodn´eho v´ ybˇeru rozsahu n = 35 z dvojrozmˇern´eho norm´aln´ıho rozdˇeln´ı. Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,01 testujte hypot´ezu H0 : ρ = 0 proti alternativˇe H1 : ρ 6= 0. [H0 zam´ıt´ame] • V´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient rX,Y = 0,7 byl vypoˇcten z n´ahodn´eho v´ ybˇeru rozsahu n = 84 z dvojrozmˇern´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 testujte hypot´ezu H0 : ρ = 0,5 proti alternativˇe H1 : ρ 6= 0,5. Poˇc´ıtejte s vyuˇzit´ım Z transformace“. ”
28 [U = 2,88, H0 zam´ıt´ame] • Pˇri zkoum´an´ı z´avislosti hodinov´e v´ ykonnosti dˇeln´ıka (Y ) na jeho vˇeku (X1 ) a dobˇe zapracovatelnosti (X2 ) byly zjiˇstˇeny n´asleduj´ıc´ı u ´daje: vˇ ek (v letech) 43 40 49 46 41 41 48 34 32 42
doba zapracovatelnosti (v letech) 6 8 14 14 8 12 16 1 5 7
v´ ykon za hodinu (v kusech) 67 65 75 66 77 84 69 60 70 66
a) Urˇcete v´ ybˇerov´e p´arov´e koeficienty a testujte hypot´ezy o nulov´e hodnotˇe tˇechto korelaˇcn´ıch koeficient˚ u na hladinˇe testu α = 0,05. [0,2287; 0,4538; 0,8470; statisticky v´ yznamn´ y je jen tˇret´ı koeficient korelace] b) Urˇcete v´ ybˇerov´e parci´aln´ı koeficienty korelace ρY,X1 .X2 , ρY,X2 .X1 a testuje hypot´ezy o nulov´e hodnotˇe tˇechto korelaˇcn´ıch koeficient˚ u na hladinˇe testu α = 0,05. [-0,3286; 0,5026; nejsou statisticky v´ yznamn´e] c) Urˇcete v´ ybˇerov´ y v´ıcen´asobn´eho koeficientu korelace ρY,(X1 ,X2 ) a testujte hypot´ezu o jeho nulov´e hodnotˇe na hladinˇe testu α = 0,05. [0,5401; nen´ı statisticky v´ yznamn´ y, nebot’ f = 1,441 < F2;7;0,95 = 4,737] d) Testujte na hladinˇe α = 0,05 vz´ajemnou nez´avislost uveden´ ych statistick´ ych znak˚ u. • Realizac´ı n´ahodn´eho v´ ybˇeru z dvourozmˇern´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı byl z´ısk´an vzorek o rozsahu n = 44 s koeficientem korelace r = 0,7417. Na hladinˇe testu 0,01 testujte hypot´ezu, ˇze n´ahodn´e veliˇciny jsou nez´avisl´e. . [H0 : ρ = 0; t = 6,110; u0,995 = 2,576; hypot´ezu zam´ıt´ame]
29 • V d´ılnˇe pracuje 15 dˇeln´ık˚ u, u nichˇz byl zjiˇstˇen poˇcet smˇen odpracovan´ ych za mˇes´ıc (znak X) a poˇcet zhotoven´ ych v´ yrobk˚ u (znak Y ). Vypoˇctˇete v´ ybˇerov´ y koeficient korelace mezi X a Y a na hladinˇe 0,01 testujte za pˇredpokladu normality hypot´ezu o nez´avislosti veliˇcin X a Y.
X Y
20 92
21 93
18 83
17 80
20 91
18 85
19 82
21 98
20 90
14 60
16 19 73 86
21 96
15 64
15 81
[V´ ybˇerov´ y koeficient korelace je 0,927, testov´a statistika se realizuje hodnotou 8,597, kritick´ y obor je W = (−∞, −3,012i ∪ h3, 012, ∞). Hypot´ezu o nez´avislosti veliˇcin X a Y zam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,01.] ´ 8 (Neparametrick´e metody): DU
• Deset n´ahodnˇe vybran´ ych osob mˇelo nez´avisle bez pˇredch´azej´ıc´ıho n´acviku odhadnout, kdy od dan´eho sign´alu uplyne jedna minuta. Byly z´ısk´any n´asleduj´ıc´ı v´ ysledky (v sekund´ach): 53, 48, 45, 55, 63, 51, 66, 56, 50, 58. Testujte na hladinˇe 0,05 hypot´ezu H0 : x0,5 = 60 proti oboustrann´e alternativˇe. Pouˇzijte a) znam´enkov´ y test, b) Wilcoxon˚ uv test. Proved’te i asymptotick´e verze obou test˚ u. [a) k1 = 1 < Y = 2 < k2 = 9, H0 nezam´ıt´ame (ani asymptotick´ ym + − testem); b) min(S , S ) = 7 < w10 (0,05) = 8, H0 zam´ıt´ame (t´eˇz asymptotick´ ym testem)] • Na 15 vzorc´ıch asfaltu AP-80 se zjiˇst’oval bod mˇeknut´ı (ve stupn´ıch Celsia) s tˇemito v´ ysledky: 46,8 47,3 46,5 48,1 47,5 47,7 47,6 47,5 46,9 47,3 47,5 47,9 47,1 47,4 48,0 a) Urˇcete empirickou distribuˇcn´ı funkci. b) Kolmogorov´ ym-Smirnovov´ ym testem testujte na 5% hladinˇe testu nulovou hypot´ezu, ˇze jde o v´ ybˇer z norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. [b) H0 zam´ıt´ame]
30 • Sledoval se u ´ˇcinek dvou r˚ uzn´ ych umˇel´ ych hnojiv na v´ahu kvˇet´aku v gramech. Na dvou pokusn´ ych pol´ıch se proto vypˇestovalo po 25 kusech kvˇet´aku a kaˇzd´e pole se pohnojilo jedn´ım ze sledovan´ ych zp˚ usob˚ u. Po sbˇeru kvˇet´aku se kaˇzd´ y kus v´aˇzil. V´ ysledky jsou: V´ aha kvˇet´ aku v g ˇ Cetnost pˇri 1. zp˚ usobu hnojen´ı n1 ˇ Cetnost pˇri 2. zp˚ usobu hnojen´ı n2
250 0 1
300 2 0
350 1 2
400 2 0
450 5 6
500 8 9
550 6 5
600 1 2
Na 5 % hladinˇe testujte nulovou hypot´ezu, ˇze oba soubory poch´azej´ı se stejn´eho z´akladn´ıho souboru. [ano, Wilkoxon˚ uv dvouv´ ybˇerov´ y test, q D = 0,08 ≤ d0,95 = (1/25 ln(2/0,05)) = 0,385] • Souˇc´ast´ı zkouˇsek pˇri zav´adˇen´ı nov´eho technologick´eho postupu byla dvˇe statisticky nez´avisl´a mˇeˇren´ı na dvou r˚ uzn´ ych stroj´ıch s n´asleduj´ıc´ımi v´ ysledky: 1. s´erie 2. s´erie
76,5 89,3
82,4 83,2
92,4 86,3
80,0 83,4
78,3 78,6
99,2
79,1
Rozhodnˇete, zda obˇe s´erie mˇeˇren´ı je moˇzno povaˇzovat za n´ahodn´e v´ ybˇery ze stejn´eho z´akladn´ıho souboru. [ano, Wilcoxon˚ uv dvouv´ ybˇerov´ y test] • N´asleduj´ıc´ı tabulka uv´ad´ı produktivitu pr´ace v tis. Kˇc na 1 pracovn´ıka (veliˇcina X), rentabilitu z n´aklad˚ u v % (Y ) a m´ıru zisku v % (Z) pro 14 v´ yrobn´ıch podnik˚ u:
31 Podnik Bohum´ın Hostivaˇr Kyjov Libˇcice Nymburk Prostˇejov Turnov Vamberk ˇ Zatec ˇ anice Zd´ Krupka Brezov´a Hlohovec Star´a L’ubovˇ na
xi 124 92 108 72 61 99 68 104 89 86 74 73 108 67
yi zi 15,9 14,9 24,6 16,0 18,6 17,1 4,9 3,5 9,0 4,6 6,7 6,5 4,2 3,7 9,4 7,6 12,3 9,7 15,0 8,8 12,3 6,4 9,2 5,6 11,2 9,7 6,1 4,1
Testujte statistickou nez´avislost vˇsech tˇr´ı dvojic veliˇcin na 5% hladinˇe testu. [rS (X, Y ) = 0,657, rS (X, Y ) = 0,833, rS (Y, Z) = 0,903, Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient, zam´ıtneme nulov´e hypot´ezy o nez´avislosti, nebot’ r0,025 = 0,545] • Pˇri mˇeˇren´ı velikosti odpadu u deseti obr´abˇen´ ych kus˚ u byly z´ısk´any hodnoty odpadu materi´alu (v g): 4,1
4,0
3,8
3,9
3,8
3,8
3,5
3,7 4,0
4,0
Urˇcete x¯ a s pro velikost odpadu obr´abˇen´eho materi´alu. Testujte, zda velikost odpadu m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı (Kolmogorov-Smirnov). Testujte v´ yznamnost rozd´ılu mezi v´ ybˇerov´ ym pr˚ umˇerem x¯ a pˇredpokl´adanou hodnotou odpadu 4 g. [¯ x = 3,86; s = 0,178; m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı; rozd´ıl je statisticky v´ yznamn´ y (t-test)] • U 10 n´ahodnˇe vybran´ ych vzork˚ u benz´ınu byly zjiˇstˇeny n´asleduj´ıc´ı hodnoty oktanov´eho ˇc´ısla:
32
98,2
96,8
96,3
99,8
96,9
98,6 95,6
97,1
97,7
98,0
Na hladinˇe testu 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze medi´an oktanov´eho ˇc´ısla je 98 proti oboustrann´e alternativˇe. [Pouˇzijeme jednov´ ybˇerov´ y Wilcoxon˚ uv test. Testov´a statistika se realizuje hodnotou 12, tabelovan´a kritick´a hodnota pro α = 0, 05 a n = 9 je 5. Protoˇze 12 > 5, H0 nezam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,05.] • Majitel obchodu chtˇel zjistit, zda velikost n´akup˚ u (v dolarech) placen´ ych kreditn´ımi kartami Master/EuroCard a Visa jsou pˇribliˇznˇe stejn´e. N´ahodnˇe vybral 7 n´akup˚ u placen´ ych Master/EuroCard: 42
77
46
73
78
33
37
119
68
76
126
53
79
a 9 placen´ ych Visou: 39
10
102
Lze na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 tvrdit, ˇze medi´any n´akup˚ u placen´ ych tˇemito dvˇema typy karet se shoduj´ı? [Dvouv´ ybˇerov´ y Wilcoxon˚ uv test, H0 nezam´ıt´ame na hladinˇe testu 0,05.] • Na 12 vzorc´ıch byla sledov´ana jist´a charakteristika, na kaˇzd´em vzorku ´ vˇzdy pˇred tepelnou u ´pravou a znovu po t´eto u ´pravˇe. Ukolem je zjistit, zda vliv tepeln´e u ´pravy na sledovanou charakteristiku je statisticky prokazateln´ y na hladinˇe testu 0,05. Pro n´ıˇze uveden´a data pouˇzijte a) znam´enkov´ y b) Wilcoxon˚ uv p´arov´ y test. Data jsou rozd´ıly mezi charakteristikou pˇred u ´pravou a po u ´pravˇe kaˇzd´eho vzorku: 4,2;
-0,4;
3,5;
5,3;
3,1;
-2,7;
-0,1;
0,9;
2,6;
1,4;
-0,7;
2,9.
[a) nulovou hypot´ezu nelze zam´ıtnout; b) hodnota S + = 65 (popˇr. S − = 13) je statisticky v´ yznamn´a]
33 • Dvan´act r˚ uzn´ ych softwarov´ ych firem nab´ız´ı programy pro veden´ı u ´ˇcetnictv´ı. Programy byly posouzeny dvˇema odborn´ ymi komisemi a bodovˇe ohodnoceny. V´ ysledky v prvn´ı a druh´e komisi: (6, 4), (7, 5), (1, 2), (8, 10), (4, 6), (2,5; 1), (9, 7), (12, 11), (10, 8), (2,5; 3), (5, 12), (11, 9). Vypoˇctˇete Spearman˚ uv koeficient poˇradov´e korelace a testujte nez´avislost uvaˇzovan´ ych statistick´ ych znak˚ u. [0,715] • Vypoˇctˇete Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient mezi rentabilitou n´aklad˚ u v % (Y ) a m´ırou zisku v % (Z) pro 14 v´ yrobn´ıch podnik˚ u a testujte hypot´ezu o nez´avislosti. Y : 15,9, 24,6, 18,6, 4,9, 9,0, 6,7, 4,2, 9,4, 12,3, 15,0, 12,3, 9,2, 11,2, 6,1; Z: 14,9, 16,0, 17,1, 3,5, 4,6, 6,5, 3,7, 7,6, 9,7, 8,8, 6,4, 5,6, 9,7, 4,1. [rS = 0,903] • Dva l´ekaˇri hodnotili stav sedmi pacient˚ u po t´emˇz chirurgick´em z´akroku. Postupovali tak, ˇze nejvyˇsˇs´ı poˇrad´ı dostal nejtˇeˇzˇs´ı pˇr´ıpad. ˇc´ıslo pacienta 1 hodnocen´ı 1. l´ekaˇre 4 hodnocen´ı 2. l´ekaˇre 4
2 1 2
3 6 5
4 5 6
5 3 1
6 2 3
7 7 7
Uˇzit´ım vhodn´eho koeficientu vyˇsetˇrete nez´avislost hodnocen´ı obou l´ekaˇr˚ u. [rS = 0,857] • Byly sledov´any v´ ynosy ˇctyˇr odr˚ ud brambor A, B, C, D. Kaˇzd´a odr˚ uda byla pˇestov´ana na 7 stejnˇe velk´ ych pol´ıch. V´ ynosy uveden´e v t/ha jsou zaznamen´any v tabulce: Odr˚ uda/V´ ynosy A B C D
19,3 23,1 23,7 17,2
18,0 26,5 20,8 16,6
21,6 25,2 19,8 16,9
22,4 25,0 24,1 17,7
20,9 24,3 22,2 21,3
20,1 21,4 22,6 15,2
24,0 26,7 22,9 19,0
34 Testujte hypot´ezu, ˇze vˇsechny ˇctyˇri v´ ybˇery poch´az´ı z rozdˇelen´ı se stejnou distribuˇcn´ı funkc´ı. Pro pˇr´ıpadn´a mnohon´asobn´a porovn´av´an´ı pouˇzijte Nem´enyiovu metodu. [Q = 18,369] • V´ yrobce kol´aˇc˚ u v pr´aˇsku m´a 4 nov´e recepty a chce zjistit, zda se jejich kvalita liˇs´ı. Upekl proto 5 kol´aˇc˚ u od kaˇzd´eho druhu a dal je porotˇe k ohodnocen´ı. Recept/Ohodnocen´ı A B C D
72 85 94 91
88 89 94 93
70 86 88 92
87 82 87 95
71 88 89 94
Na hladinˇe 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze se recepty neliˇs´ı. Pro pˇr´ıpadn´a mnohon´asobn´a porovn´av´an´ı pouˇzijte Nem´enyiovu metodu. [Q = 12,45, Nem´enyiho metoda prok´azala, ˇze se na hladinˇe testu 0,05 liˇs´ı recepty A a D.] • Pro soubor dat 0,621; 0,503; 0,203; 0,477; 0,710; 0,581; 0,329; 0,480; 0,554; 0,382 testujte hypot´ezu, ˇze jde o v´ ybˇer z rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı na intervalu (0, 1). [d10 = 0,290]
