Presentasi 2 Isi: Solusi Persamaan Diferensial pada Saluran Transmisi Representasi sinyal dalam bentuk phasor
Pemikiran Dasar Sinyal harmonis mudah untuk diturunkan dan diintegralkan Semua sinyal fungsi waktu bisa direpresentasikan dengan bantuan sinyal harmonis melalui deret Fourier dan transformasi Fourier
( ) 2 Re(V ⋅ e )
i (t ) = 2 Re I ⋅ e jω t v(t ) =
jω t
I dan V adalah phasor dari i(t) dan v(t) Pada I dan V tidak terdapat lagi informasi tentang waktu, tetapi masih terdapat informasi tentang posisi, atau I dan V merupakan fungsi dari z.
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
2
∂v ∂i ⎞ ⎛ = −⎜ R'⋅i + L'⋅ ⎟ ∂z ∂t ⎠ ⎝
∂v ⎞ ∂i ⎛ = −⎜ G '⋅v + C '⋅ ⎟ ∂z ∂t ⎠ ⎝
Dengan memasukkan bentuk phasor dari arus dan tegangan ke persamaan di atas didapatkan jωt ⎛ ⎞ e ∂ ⎛ ∂V jωt ⎞ jωt ⎟⎟ 2 Re⎜ e ⎟ = − 2 Re⎜⎜ R'⋅Ie + L'⋅I ∂t ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ⎛ ∂V jωt ⎞ Ree⎜ e ⎟ = − Ree(R'⋅Ie jωt + L'⋅I ⋅ jωe jωt ) ⎝ ∂z ⎠ dV = −(R'⋅I + jωL'⋅I ) = −(R'+ jωL')I dz
dI = −(G '⋅V + jωC '⋅V ) = −(G '+ jωC ')V dz Persamaan diferensial dengan sinyal harmonis Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
3
Proses pencarian solusi Step 1: persamaan pertama diturunkan terhadap z
d 2V dI ( ) = − R + j ω ' L ' d 2 dz d dz
Step 2: dan menggantikan term dI/dz yang muncul dengan persamaan kedua,
d 2V dI ( ) = − R ' + j ω L ' = −(R'+ jωL'){− (G '+ jωC ')V } dz 2 dz Step 3: sehingga menjadi
d 2V = (R'+ jω L') ⋅ (G '+ jωC ') ⋅V 2 dz Step 4: dengan
γ 2 = (R'+ jωL') ⋅ (G '+ jωC ')
menjadi
dI = −(G '+ jωC ')V dz
d 2V 2 = γ ⋅V 2 dz
Persamaan ini dinamakan persamaan gelombang. Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
4
Solusi dari
d 2V 2 γ = ⋅ V adalah 2 dz V = V1e −γ z dan V = V2 e + γ z
Solusi umum:
V = V1e − γ z + V2 e + γ z
V1 dan V2 adalah konstanta yang muncul dalam setiap pengintegralan, yang masih harus dicari nilainya. (Seperti halnya pengintegralan pada kalkulus, sebuah integrasi akan menghasilkan sebuah b h konstanta, k t t dua integrasi atau integrasi dua lipat akan menghasilkan dua buah konstanta)
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
5
dV = −(R'+ jωL')I dz
Dengan
1 dV ⇒ I =− (R'+ jωL') dz
Arus sepanjang saluran transmisi
γ 1 d −γ z +γ z I =− V1e + V2 e = V1e −γ z − V2 e +γ z (R'+ jωL') dz R'+ jωL' 1 I = V1e −γ z − V2 e +γ z Z γ G '+ jωC ' 1 = = Dengan modifikasi R'+ jωL' R'+ jωL' Z
(
(
)
(
)
)
R'+ jωL' Z= G '+ jωC ' γ dinamakan konstanta perambatan dan dinamakan konstanta perambatan dan Z impedansi gelombang Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
6
We get the solution:
V = V1e − γ z + V2 e + γ z
I= Dengan
(
1 V1e −γ z − V2 e +γ z Z
γ= dan
)
(R'+ jωL') ⋅ (G '+ jωC ') Z=
R'+ jωL' G '+ jωC '
V1 dan V2 ditentukan dengan bantuan syarat batas (boundary conditions) yang diberikan pada awal dan/atau akhir dari kawat saluran transmisi tersebut.
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
7
1. Solusi lengkap, jika tegangan dan arus di awal saluran transmisi diberikan
V ( z = 0) = Va
dan
I ( z = 0) = I a
Gunakan persamaan tegangan dan arus:
Va = V1e −0 + V2 e +0 = V1 + V2
Ia =
Solusi
(
)
1 1 V1e −0 − V2 e + 0 = (V1 − V2 ) ⇒ I a Z = V1 − V2 Z Z
Va + Z ⋅ I a V1 = 2
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
dan
Presentasi 2
V2 =
Va − Z ⋅ I a 2
8
2. Solusi lengkap, jika g p j tegangan g g dan arus di akhir saluran transmisi diberikan
V ( z = L) = Ve
dan
I ( z = L) = I e
Gunakan persamaan tegangan dan arus:
Ve = V1 ⋅ e −γ L + V2 ⋅ e γ L 1 I e = V1 ⋅ e −γ L − V2 ⋅ e γ L Z
(
)
Konstanta integrasi menjadi
1 V1 = (Ve + Z ⋅ I e ) ⋅ e γ L 2 1 V2 = (Ve − Z ⋅ I e ) ⋅ e −γ L 2 Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
9
Perambatan Gelombang Konstanta perambatan secara umum besaran bernilai kompleks. Besaran ini bisa dituliskan dengan bagian riil dan bagian imajinernya
γ =
(R'+ jωL') ⋅ (G'+ jωC ') = α +
jβ
α adalah konstanta peredaman dan β adalah konstanta phasa. d l hk t t h ditentukan oleh sifat karakteristik dari tipe dan ukuran dari saluran transmisi dan bukan merupakan fungsi dari sinyal yang ditransmisikan. p g y y g
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
10
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
11
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
12
Amplitudo mengecil dengan berkurangnya nilai z
Amplitudo mengecil dengan bertambahnya nilai z
Karena α selalu positif. positif
Sekarang kita perhatikan tegangan tegangan‐tegangan tegangan bagian di atas satu per‐satu
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
13
Waves1.m
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
14
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
15
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
16
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
17
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
18
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
19
Waves2.m
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
20
Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008
Presentasi 2
21
