Pr˚ ubˇ eh funkce pomoc´ı syst´ emu MAPLE. Vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce je komplexn´ı a nˇekdy velmi obt´ıˇzn´a u ´loha. V konkr´etn´ıch aplikac´ıch n´as vˇetˇsinou zaj´ımaj´ı jen nˇekter´e ot´azky t´ ykaj´ıc´ı se pr˚ ubˇehu dan´e funkce. Napˇr´ıklad: jak´ y je poˇcet a pˇribliˇzn´a hodnota nulov´ ych bod˚ u funkce, nebo jak´a je nejvˇetˇs´ı hodnota funkce. I v tˇechto pˇr´ıpadech je dobr´e zn´at o dan´e funkci maxim´aln´ı poˇcet informac´ı. Poˇc´ıtaˇcov´ y syst´em MAPLE umoˇzn ˇuje podrobnˇe vyˇsetˇrit i takov´e funkce, pro kter´e analytick´e metody vyˇsetˇrov´an´ı selh´avaj´ı. Na druhou stranu bez anal´ yzy funkce bychom ”pomoc´ı” Maplu mohli doj´ıt ke zcela chybn´ ym z´avˇer˚ um. Obecnˇe pr˚ ubˇeh funkce vyˇsetˇrujeme v n´asleduj´ıc´ıch bodech: (1) D(f ), sudost, lichost, periodicita, pr˚ useˇc´ıky se souˇradnicov´ ymi osami, (2) limity v krajn´ıch bodech interval˚ u, kter´e tvoˇr´ı D(f), spojitost, (3) monot´onnost, extr´emy, (4) intervaly konkavity a konvexity, inflexn´ı body, (5) asymptoty, (6) graf funkce. N´asleduj´ıc´ı pozn´amky a pˇr´ıklady mohou slouˇzit jako n´avod, jak lze konkr´etnˇe pouˇz´ıt syst´emu Maple v jednotliv´ ych bodech vyˇsetˇrov´an´ı funkce. (1) D(f ). Definiˇ cn´ı obor funkce je vˇetˇsinou (mimo funkce periodick´e) sjednocen´ı koneˇcn´eho poˇctu interval˚ u. Pro stanoven´ı definiˇcn´ıho oboru funkce je potˇreba vyˇsetˇrit, z jak´ ych element´arn´ıch funkc´ı se funkce skl´ad´a, a pouˇz´ıt vˇet o definiˇcn´ım oboru souˇctu funkc´ı nebo sloˇzen´e funkce. Pˇri zjiˇst’ov´an´ı definiˇcn´ıho oboru funkce m˚ uˇze v mnoha pˇr´ıpadech pomoci v Maplu pˇr´ıkaz plot pro zobrazen´ı grafu funkce. Mohlo by se zd´at, ˇze takto dostaneme vˇsechny potˇrebn´e informace o pr˚ ubˇehu Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
funkce a netˇreba vyˇsetˇrovat dalˇs´ı body (2) aˇz (6). U nˇekter´ ych funkc´ı vˇsak ze zobrazen´eho grafu nelze vyˇc´ıst pouh´ ym okem ani definiˇcn´ı obor, natoˇz dalˇs´ı potˇrebn´e vlastnosti funkce. Napˇr´ıklad funkce f (x) = x2 +x−2 a g(x) = x + 2 se Maplem zobraz´ı jako stejn´e funkce, ale D(f ) = R − {1} a D(g) = R . x−1 Pro zjiˇstˇen´ı D(f ) v pˇr´ıkazu plot vol´ıme ”dostateˇcnˇe velk´ y” zobrazovac´ı interval funkˇcn´ı promˇenn´e. To vˇsak m˚ uˇze zp˚ usobit, ˇze se ztrat´ı detaily funkce okolo tzv. kritick´ ych bod˚ u (napˇr. kde je prvn´ı nebo druh´a derivace rovna 0 nebo tam, kde derivace neexistuje). V pˇr´ıkladu 1 se pˇri zobrazen´ı grafu na vˇetˇs´ım intervalu ned´a zjistit chov´an´ı funkce v okol´ı bodu 0, nejsou vidˇet inflexni body ( nach´azej´ı se v bodech −1 a 1) a nen´ı jasn´e, zda m´a funkce asymptoty (nem´a). Pˇ r´ıklad 1. Funkce f (x) = ln(1 + x2 ) > f1:= x -> ln(1+x^2); f1 := x → ln(x2 + 1) >
plot(f1(x), x=-70 - .5..70 + .5, color = red); 8
6
4
2
–60
–40
–20
0
20
Contents
40 x
First
60
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Naopak, pokud nen´ı vyˇsetˇren cel´ y definiˇcn´ı obor funkce, potom pˇri zobrazen´ı grafu funkce v Maplu m˚ uˇze doj´ıt k pˇrehl´ednut´ı podstatn´e ˇc´asti funkce. V pˇr´ıkazu plot lze totiˇz snadno stanovit pˇr´ıliˇs mal´ y zobrazovac´ı interval a t´ım se omylem omezit jen na jednu z vˇetv´ı grafu viz n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 2. Funkce x2 f (x) = 2x + 5 > f2:= x -> x^2 / (2 * x + 5); x2 f2 := x → 2x + 5 > plot(f2(x), x = -2..4, color = red,discont = true); 4
3
2
1
–2
–1
0
1
2 x
3
4
ale D(f 2) = R − {−5/2} a graf funkce f 2 m´a dvˇe vˇetve. > plot(f2(x), x = -5..5,y = -30..30, color = red,discont = true);
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
30 20 y 10
–4
–2
0
2
x
4
–10 –20 –30
Pˇri urˇcov´an´ı definiˇcn´ıch obor˚ u funkc´ı vyuˇzijeme znalosti definiˇcn´ıch obor˚ u element´arn´ıch funkc´ı. Tak tˇreba v pˇr´ıkladu 1 je funkce ln definov´ana jen pro kladn´ y argument, tj. ˇreˇsili bychom > solve(x^2+1>0,x); coˇz by bylo zbyteˇcn´e, nebot’ jednoduchou anal´ yzou je ihned patrn´e, ˇze D(f 1) = R . U pˇr´ıkladu 2 pouˇzijeme pˇr´ıkaz Maplu : > solve(denom(f2(x))=0,x); −5 2 T´ımto pˇr´ıkazem nalezneme hodnoty, ve kter´ ych funkce nen´ı definov´ana, tedy D(f 2) = R − {−5/2}. Sudost nebo lichost funkce dok´aˇzeme pomoc´ı pˇr´ıkazu, > f(-x); Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Obdobnˇe, pokud chceme naj´ıt pr˚ useˇ c´ıky se souˇ radnicov´ ymi osami, pouˇzijeme pˇr´ıkazy Maplu. Pr˚ useˇc´ık s osou x je moˇzno analyticky nal´ezt jenom v´ yjimeˇcnˇe, syst´em Maple pouˇzije Newtonovy metody a vˇetˇsinou najde ˇreˇsen´ı. Konkr´etnˇe pro funkci z pˇr´ıkladu 1 dost´av´ame: > f1(-x); ln(1 + x2 ) Tedy f1 je sud´a funkce. > f1(0); 0 Naˇsel se pr˚ useˇc´ık s osou y, y = 0. > solve(f1(x)=0,x); {0} Naˇsel se pr˚ useˇc´ık s osou x, x = 0. (2) Limity v krajn´ıch bodech interval˚ u, kter´ e tvoˇ r´ı D(f ) , n´am d´avaj´ı odpovˇed’ i na ot´azky spojitosti funkce. Spojitost vyˇsetˇrujeme tak, ˇze pouˇzijeme vˇet o spojitosti souˇctu, souˇcinu a pod´ılu element´arn´ıch funkc´ı a vˇety o spojitosti sloˇzen´e funkce. Ve zbyl´ ych ”nepˇr´ıjemn´ ych bodech”, do kter´ ych patˇr´ı krajn´ı body definiˇcn´ıho oboru, poˇc´ıt´ame limitu a zjiˇst’ujeme, zda se rovn´a funkˇcn´ı hodnotˇe. Pokud limita neexistuje, vyˇsetˇrujeme jednostrann´e limity nebo dok´aˇzeme jejich neexistenci. Vyˇsetˇrov´an´ı prov´adˇen´e v bodˇe (2) demonstrujeme na pˇr´ıkladu 2 (pˇr´ıklad 1 je v tomto smyslu jednoduch´ y, limity vyˇsetˇrete sami). Je tedy nutn´e vypoˇc´ıtat n´asleduj´ıc´ı limity v krajn´ıch bodech interval˚ u D(f ): lim f 2(x) ,
x→∞
lim f 2(x) ,
lim
x→−∞
Contents
f 2(x) .
x→−5/2±
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
>
limit(f2(x), x = infinity); ∞
>
limit(f2(x), x = -infinity); −∞
>
limit(f2(x), x = -5/2); undefined
>
limit(f2(x), x = -5/2,right); ∞
>
limit(f2(x), x = -5/2,left); −∞
Tedy
lim
f 2(x) neexistuje, existuj´ı pouze nevlastn´ı jednostrann´e limity. Limitu
x→−5/2
lim f 2(x) = −∞ , kterou jsme pr´avˇe vypoˇc´ıtali, bychom z grafu funkce f 2 omezen´eho na interval
x→−∞
x ∈< −5 , 5 > (viz v´ yˇse) nedok´azali vyˇc´ıst. (3) Monot´ onnost, extr´ emy. Jak jsme uvedli v bodˇe (2), definiˇcn´ı obory bˇeˇzn´ ych funkc´ı se skl´adaj´ı z koneˇcn´eho poˇctu interval˚ u, na kter´ ych je funkce spojit´a. Stejnˇe tak lze D(f ) rozloˇzit d´ale na koneˇcn´ y poˇcet interval˚ u, na kter´ ych je funkce monotonn´ı. Pokud tyto intervaly urˇc´ıme a vypoˇcteme-li limity v krajn´ıch bodech tˇechto interval˚ u, jsme schopni odpovˇedˇet na to, kde se nach´azej´ı lok´aln´ı (i absolutn´ı) extr´emy funkce, a stanovit obor hodnot funkce H(f ). Monotonii funkce vyˇsetˇrujeme standardnˇe pomoc´ı prvn´ı derivace funkce. Obˇcas jsme schopni okamˇzitˇe zjistit monotonii funkce bez uˇzit´ı derivace, pokud je funkce sloˇzen´ım dvou nebo v´ıce monotonn´ıch funkc´ı. Tak je tomu u n´asleduj´ıc´ıho pˇr´ıkladu. Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Pˇ r´ıklad 3. f (x) =
1
1 , 1 + ex je funkc´ı rostouc´ı na intervalu x ∈ (−∞ , 0) i na intervalu x ∈ (0, ∞ ) ,, (dokaˇzte), ale nen´ı rostouc´ı na sjednocen´ı tˇechto interval˚ u, tj. na cel´em D(f). Graf zn´azorn´ıme Maplem . > f3:= x -> 1/(1+exp(1/x)); 1 f3 := x → 1 1 + e( x ) > plot(f3(x), x=-10- .5..10 + .5, color = red, discont = true);
1 0.8 0.6 0.4 0.2
–10
–5
0
5 x
10
Nyn´ı vyˇsetˇr´ıme monotonnost a extr´emy funkce z pˇr´ıkladu 1. > df1:=D(f1); 2x df1 := x → 1 + x2 Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
>
solve(df1(x)=0,x); 0
Bod 0 je tzv. stacion´arn´ı bod a m˚ uˇze v nˇem b´ yt extr´em. Je v nˇem lok´aln´ı (a z´aroveˇ n absolutn´ı) minimum funkce, nebot’: > solve(df1(x)<0,x); RealRange(−∞, Open(0)) > solve(df1(x)>0,x); RealRange(Open(0), ∞) V bodˇe (4) uk´aˇzeme, ˇze je druh´a derivace funkce f1 v bodˇe 0 kladn´a. Z vyˇsetˇrov´an´ı v bodˇe (2) plyne, ˇze funkce f 1 nenab´ yv´a sv´eho absolutn´ıho maxima. Nˇekdy nelze derivaci v nˇekter´ ych bodech poˇc´ıtat jen form´alnˇe. Napˇr´ıklad tam, kde nem˚ uˇzeme pouˇz´ıt vˇetu o derivaci sloˇzen´e funkce pro funkci arccos , protoˇze tato funkce nem´a v bodech −1, 1 derivaci. N´asleduje takov´ y obt´ıˇznˇejˇs´ı pˇr´ıklad a Maple n´am ho pom˚ uˇze vyˇreˇsit. Pˇ r´ıklad 4. Funkce 1 2 f (x) = arccos 1 + x2 >
f4:=x->(arccos(1/(1+x^2)))^2; 1 )2 2 1+x solve((1/(1+x^2))>=-1 and 1/(1+x^2)<=1,x); x f4 := x → arccos(
>
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Tedy D(f 4) = R. Form´aln´ı derivov´an´ı (pozor na stejn´e znaˇcen´ı jako definiˇcn´ı obor) d´av´a: > df4:=D(f4); 1 )x 4 arccos( 2 1 + x r df4 := x → 1 2 2 (1 + x ) 1− (1 + x2 )2 Prav´a strana nen´ı definov´ana pro x = 0 , ale z toho neplyne, ˇze f 0 (0) neexistuje. > df4(0); Error, (in df4) numeric exception: division by zero >
limit(f4(x),x=0); 0
>
limit(df4(x),x=0); 0
Funkce f 4 je spojit´a v 0 a lim f 4 0 (x) = 0, tedy m˚ uˇzeme usoudit, ˇze f 0 (0) = 0. Pro ovˇeˇren´ı nakresleme x→0
graf funkce f 4 (ˇcerven´a ˇc´ara) spolu s grafem derivace funkce (zelen´a ˇc´ara). > plot([f4(x),df4(x)],x=-4..4,discont=true,thickness=[2,1]);
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
2 1.5 1 0.5 –4
–3
–2
–1 0 –0.5
1
2 x
3
4
–1 –1.5
(4) Intervaly konvexnosti resp. konk´ avnosti, inflexn´ı body. Nejˇcastˇeji vyˇsetˇrujeme konvexnost a konk´avnost zadan´e funkce pomoc´ı druh´e derivace. Tak jako v pˇredeˇsl´ ych bodech je nutn´e zn´at matematick´e vˇety, o kter´e se m˚ uˇzeme pˇri tomto vyˇsetˇrov´an´ı opˇr´ıt. Vr´atime se znovu k pˇr´ıkladu 1 a na z´akladˇe znalosti prvn´ı derivace vypoˇc´ıt´ame derivaci druhou. > df1:=D(f1); 2x df1 := x → 1 + x2 > ddf1:=D(df1); 2 4 x2 ddf1 := x → − 1 + x2 (1 + x2 )2 > solve(ddf1(x)<0,x); RealRange(−∞, Open(−1)), RealRange(Open(1), ∞)
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Zˇrejmˇe v uveden´ ych intervalech je funkce konk´avn´ı, jinde konvexn´ı. Druh´a derivace funkce f 1 v bodˇe 0 je kladn´a; to je potvrzen´ı toho, ˇze funkce m´a v bodˇe 0 lok´aln´ı minimum. Skuteˇcnˇe: > solve(ddf1(x)=0,x); −1, 1 v bodech [-1 , ln(2)], [1, ln(2)] jsou inflexn´ı body grafu funkce f 1 : > f1(1); ln(2) 5. Asymptoty. Hledaj´ı se pˇr´ımky y = kx + q , kter´e by byly ˇsikm´ ymi asymptotami k zadan´e funkci, nebo svisl´e asymptoty, tj. pˇr´ımky kolm´e k ose x tvaru x = c v bodech c, kde existuje alespoˇ n jedna jednostrann´a nevlastn´ı limita funkce. Tedy hled´an´ı asymptot obou typ˚ u se pˇrev´ad´ı na poˇc´ıt´an´ı limit. V pˇr´ıkladu 1 nem´a funkce asymptoty (ovˇeˇren´ı proved’te sami). V´ ypoˇcet asymptot budeme demonstrovat na pˇr´ıkladu 2. Jiˇz v bodˇe (2) jsme u funkce f 2 zjistili, ˇze v bodˇe −5/2 existuj´ı nevlastn´ı jednostrann´e limity lim f 2(x) = −∞ a lim f 2(x) = −∞ , tedy x = −5/2 je jedin´a svisl´a asymptota funkce. x→−5/2−
x→−5/2+
Nˇekdy je moˇzno zjistit ˇsikm´e asymtoty pˇreps´an´ım funkce do jin´eho tvaru pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho pˇr´ıkazu Maplu: > convert(x^2 / (2 * x + 5),parfrac,x); x 5 25 − + 2 4 4 (2 x + 5) tedy line´arn´ı funkce y = (1/2) ∗ x − 5/4 je ˇsikmou asymptotou funkce. Ovˇeˇr´ıme ˇsikmou asymptotu v´ ypoˇctem pˇr´ısluˇsn´ ych limit. Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
>
k:=limit(f2(x)/x,x=-infinity); q:=limit(f2(x)-k*x,x=-infinity); 1 k := 2 −5 q := 4
6. Graf funkce. O r˚ uzn´ ych moˇznostech zobrazen´ı grafu funkce v Maplu pojedn´av´a ˇc´ast Graf funkce jedn´ e promˇ enn´ e. Omez´ıme se zde proto na znovu zobrazen´ı funkce z pˇr´ıkladu 1 v intervalu, kde jiˇz jsou patrn´e jej´ı detaily, > plot(f1(x), x=-2 - .5..2 + .5, color = red); 2
1.5
1
0.5
–2
–1
0
1
x
2
a na zobrazen´ı funkce z pˇr´ıkladu 2 spolu s jej´ı ˇsikmou asymptotou v ±∞ . > y:= x -> x/2 - 5/4; Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
y := x → >
1 5 x− 2 4
plot([f2(x),y(x)],x=-10..10,y=-10..10,discont=true,thickness=[2,1]); 10 8 y
6 4 2
–10 –8 –6 –4 –2 0 –2
2
4
x
6
8 10
–4 –6 –8 –10
Z grafu funkce f 1 a z pˇredeˇsl´eho vyˇsetˇrov´an´ı v bodˇe (3) je patrn´e, ˇze H(f 1) =< 0, ∞) (obor hodnot H(f 2) vyˇsetˇrete sami).
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
