Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 5.1 -
PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Cílem vyšetřování průběhu funkce je umět nakreslit její graf. Obvykle postupujeme tak, že nalezneme Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
její maximální definiční obor, průsečíky jejího grafu s osami x a y, intervaly, na nichž je spojitá, a body nespojitosti, limity (i jednostranné) v krajních bodech jejího definičního oboru a v bodech, v nichž není spojitá, intervaly monotonie, tj. intervaly, na nichž je klesající, rostoucí či konstantní, její lokální extrémy, intervaly, na nichž je konkávní či konvexní, a její inflexní body, její asymptoty.
Po provedení výše uvedeného programu máme již o studované funkci zpravidla k dispozici dostatek informací na to, abychom její graf mohli načrtnout. Další užitečné informace mohou být, zda je funkce sudá či lichá, zda je periodická apod.
PŘÍKLAD 1 Vyšetřete průběh funkce f ( x) =
x . 1 + x2
Řešení Maximální definiční obor Protože výraz 1 + x 2 je vždy nenulový, je maximální definiční obor studované funkce totožný s množinou všech reálných čísel, D f = . Průsečík s osou y f (0) =
0 =0 1 + 02
Průsečíky s osou x x =0 ⇔ 1 + x2
f ( x) = 0 ⇔
x=0
Body nespojitosti Funkce je spojitá na množině všech reálných čísel, neboť funkce g ( x) = x a h( x) = 1 + x 2 jsou spojitými funkcemi na 1 a funkce h( x) nenabývá navíc v žádném bodě reálné osy nulové hodnoty.2
1 2
Viz Breviář, kap. 1.1, str. 11. Podle věty o limitě podílu, viz Breviář kap. 1.1, platí pro libovolný bod a reálné osy
lim x →a
g ( x) g ( x) lim = x →a . h( x) lim h( x) x→a
Protože jsou ale obě funkce spojité, můžeme dále psát ... =
g (a) g = (a) . h( a ) h
Limita funkce g/h se tedy v libovolném bodě reálné osy rovná její funkční hodnotě, a proto je tato funkce v libovolném bodě reálné osy též spojitá (viz Breviář, kap. 1.1, str. 7).
Průběh funkce
- 5.2 -
Limity v nekonečnu x 1 1 1 1 = lim = = = = 0, 2 x →+∞ 1 + x x →+∞ 1 1 0 + ∞ +∞ +x +∞ x ∞ lim
x 1 1 1 1 = lim = = = =0 2 x →−∞ 1 + x x →−∞ 1 1 0 − ∞ −∞ +x −∞ x −∞ lim
Intervaly monotonie Intervaly monotonie hledáme řešením nerovnic f ′( x) > 0 resp. f ′( x) < 0 . Potřebujeme tedy znát první derivaci studované funkce 2 2 ′ 2 1 − x2 x ′ x′ (1 + x ) − x (1 + x ) 1(1 + x ) − x ( 2 x ) f ′( x) = . = = = 2 2 2 2 1+ x (1 + x2 ) (1 + x2 ) (1 + x2 )
Příslušné nerovnice řešíme obvyklým způsobem Ø
f ′( x) > 0 ⇔
Ø
f ′( x) < 0 ⇔
1 − x2 2 2
(1 + x ) 1 − x2
(1 + x
2 2
)
> 0 ⇔ 1 − x2 > 0 ⇔
x ∈ (−1,1) ,
< 0 ⇔ 1 − x2 < 0 ⇔
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) .
Na intervalu (-1,1) je tedy funkce f rostoucí, na intervalech (−∞, −1) a (1, +∞) klesající. Lokální extrémy Na základě právě určených intervalů monotonie vidíme okamžitě, že v bodě x = -1 nabývá studovaná funkce svého lokálního minima a v bodě x = 1 lokálního maxima. Samostatně to ověřte výpočtem nulových bodů první derivace funkce f a pomocí znaménka derivace druhé. Intervaly konvexnosti a konkávnosti Při vyšetřování konvexnosti a konkávnosti zadané funkce řešíme nerovnice f ′′( x) > 0 resp. f ′′( x) < 0 , musíme proto znát její druhou derivaci ′ 2 ′ 2 2 2 2 2′ 2 ′′ 1 − 1 + − 1 − 1 + x x x x ( ) ( ) ( )( ) = 1 − x x = = f ′′( x) = 2 4 2 1 + x (1 + x 2 ) (1 + x2 ) =
( −2 x ) (1 + x 2 )
2
− (1 − x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2 x
(1 + x 2 )
4
=
−2 x ( 3 − x 2 )
(1 + x2 )
3
,
Nerovnice vedoucí k intervalům, na nichž je studovaná funkce konvexní či konkávní, řešíme opět některým ze standardních způsobů. Např. nalezneme nejdříve nulové body f ′′( x) f ′′( x) = 0 ⇔
−2 x ( 3 − x 2 ) 2 3
(1 + x )
=0 ⇔
x (3 − x2 ) = 0 ⇔
( x = 0 ∨ x = ± 3)
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 5.3 -
a vezmeme v úvahu fakt, že na intervalech (−∞, − 3) , (− 3, 0) , (0, 3) a ( 3, +∞) nemění druhá derivace studované funkce znaménko. Snadným výpočtem ověříme, že Ø pro x ∈ (−∞, − 3) je f ′′( x) < 0 , a tedy funkce f je na tomto intervalu konkávní, Ø pro x ∈ (− 3, 0) je f ′′( x) > 0 , a tedy funkce f je na tomto intervalu konvexní, Ø pro x ∈ (0, 3) je f ′′( x) < 0 , a tedy funkce f je na tomto intervalu konkávní, Ø pro x ∈ ( 3, +∞) je f ′′( x) > 0 , a tedy funkce f je na tomto intervalu konvexní. Asymptota v −∞ Asymptota v −∞ je přímka y = kx + q , ke které se graf zadané funkce neomezeně blíží, pokud nezávislá proměnná klesá pode všechny meze, x → −∞ . Její parametry k a q hledáme pro zadanou funkci pomocí vzorců 3 x 2 f ( x) 1 1 1 k−∞ = lim = lim 1 + x = lim = = = 0, 2 2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ 1 + x 1 + (−∞) 1 + ∞ x x x x q−∞ = lim [ f ( x) − k−∞ x ] = lim − 0 x = lim =0. 2 2 x →−∞ x →−∞ 1 + x x →−∞ 1 + x
Asymptotou v −∞ je tedy přímka y = 0 , čili osa x. Asymptota v +∞ Zcela analogickým výpočtem získáme i parametry asymptoty v +∞ , ke které se graf funkce f neomezeně blíží pro x → +∞ . x 2 1 1 1 f ( x) = lim 1 + x = lim = = = 0, k+∞ = lim 2 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 + x x x 1+ ∞ 1+ ∞ x x − 0 x = lim =0. q+∞ = lim [ f ( x) − k+∞ x ] = lim 2 2 x →+∞ x →+∞ 1 + x x →+∞ 1 + x
I asymptotou v +∞ je tedy osa x.4 Graf 0.6
0.4
y
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6 -10
-5
0
5
10
x
3 4
Abychom zdůraznili fakt, že se jedná o asymptotu v −∞ , opatřujeme parametry k a q indexem −∞ . Shodou okolností jsou v tomto příkladu asymptoty v −∞ i v +∞ totožné. Obecně tomu tak ale být nemusí!
Průběh funkce
- 5.4 -
CVIČENÍ 1. Vyšetřete průběh následujících funkcí a nakreslete jejich grafy.
a) f ( x ) = x 3 + x 2 − 2 x
d) f ( x ) =
1 x +1
g) f ( x ) = sin 2 x
(5)
b) f ( x ) = x 4 − x 2 − 2
e) f ( x ) =
x2 − 1 x2 + 1
h) f ( x ) = tg x
(6)
1 c) f ( x ) = x + x
f) f ( x ) = 2 x 3 / 2 − 9 x + 12 x
2
i) f ( x ) = arctg x
Výsledky: CVIČENÍ 1
Df = R ,
π , π + kπ , kde 2
klesající
Df = R ,
−1− 7 −1+ 7 , ; 3 3
k∈Z ,
Klesající
(− ∞,0) , klesající (0, ∞ ) ,
Rostoucí a)
rostoucí 0,
rostoucí
−1− 7 −1+ 7 ∪ − ∞;− ; ∞ , d) 3 3 x = 0 maximum, Na celém 1 D f konkávní, − ∞;− konkávní, 3 1 − ; ∞ konvexní, 3
Df = R ,
Df = R ,
Klesající (-1,2;0,3), Rostoucí (− ∞;−1,2 ) ∪ (0,3; ∞ ) ,
1 x=− maximum, b) 2 1 x= minimum, 2 1 ; ∞ konvexní, 6
π + kπ , kde 2
Df = R ,
klesající (− ∞,0 ) , rostoucí e)
(0, ∞ ) ,
x = 0 minimum,
(− 1;1) konvexní, (− ∞;−1) ∪ (1; ∞ ) , konkávní,
5
U této funkce vyšetřete její průběh na intervalu ( −π / 2, π / 2 ) .
6
U této funkce vyšetřete její průběh na intervalu 0, 2π .
k∈Z , g)
x=
π 2
+ kπ maximum,
x = π + kπ minimum, π 3π konkávní , + kπ , 4 4 3π 5π konvexní , + kπ , 4 4
D
f
= R \
(2n + 1) π
π ,0 + kπ , 2 h) π konvexní 0, + kπ , 2 konkávní −
Na každém intervalu rostoucí Nemá max ani min,
2
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
Df = R \ 0
(− ∞;−1) ∪ (1; ∞ ) rostoucí, (− 1;1) klesající, c)
D f = (0, ∞ )
x = {nπ }, kde n ∈ N lok.
rostoucí
max,
(0,1) ∪ (4, ∞ ) , klesající (1,4 ) ,
x = −1 maximum, x = 1 minimum, (0; ∞ ) konvexní,
(− ∞; 0
- 5.5 -
f)
x = 1 maximum, x = 4 minimum,
(2n − 1)π x= lok. min, 2 i)
0; 2) konkávní,
konkávní,
V celém Df je rostoucí, Nemá max ani min, (− ∞;0) konvexní,
(0; ∞ ) konkávní.
(2; ∞ ) konvexní, a
d
g
b
e
h
c
f
i
