II. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ 15 Téma: Cesta k pravděpodobnostnímu posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí 21.3.2001 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01410-3
PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK NOSNÉ OCELOVÉ KONSTRUKCE S PŘESNOU DEFINICÍ REFERENČNÍ ÚROVNĚ Martin Krejsa Abstract This paper describes an application of SBRA structural reliability concept documented in textbook Marek et al. (1995). The attention is turned to the general definition of the ‘reference level’ in the probabilistic reliability assessment analysis. The definition is extended to a reference level given by a tolerable structural damage.
1. Úvod Předložený příspěvek obsahuje příklad pravděpodobnostního posudku ocelového jedenkrát staticky neurčitého roštu podle metody SBRA při namáhání ohybem. Ocelový rošt je tvořen dvojicí zkřížených válcovaných profilů IPE200 a IPE240 délky L1,2=5 [m]. Při výpočtu je uvažováno s proměnlivostí průřezů vlivem možného pod a převálcování, s proměnlivou pevností na mezi kluzu a s proměnlivým zatížením P, které Obr.1: Schéma ocelového roštu vzniká kombinací stálého, krátkodobého a dlouhodobého nahodilého zatížení (extremní hodnoty stálého zatížení DL=50kN, krátkodobého nahodilého zatížení SL=22kN a dlouhodobého nahodilého zatížení LL=30kN): (1) P = DL . DLvar + LL . LLvar + SL. SLvar Proměnlivost jednotlivých zatížení je vyjádřena useknutými histogramy (viz DLvar, LLvar a SLvar). Při výpočtu pravděpodobnosti poruchy je nutné zvolit vhodnou referenční úroveň posudku. Nosníky jsou zajištěny proti klopení a není uvažován vliv vlastního pnutí.
2. Definice referenční úrovně posudku Posudek spolehlivosti ocelové konstrukce namáhané ohybem bude velmi záviset na definici referenční úrovně. Dle obrázku 2 je možno definovat např. čtyři alternativy referenční úrovně: (a) dosažení napětí na mezi kluzu, (b) tolerovatelné malé trvalé deformace, (c) tolerovatelné trvalé deformace, odpovídající např. zplastizování krajních Martin Krejsa, Ing., Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, 708 00 Ostrava - Poruba, tel.: (069) 699 1303, e-mail:
[email protected] .
16 čtvrtin výšky průřezu, (d) vznik plastického kloubu (počátek kolapsu konstrukce). Tyto referenční úrovně lze rozdělit do dvou skupin: případ (a) a (b) nemá vliv na užitelnost konstrukce, případ (c) a (d) vyžadují opravu či výměnu části nosné konstrukce vzhledem ke vzniku velkých trvalých deformací.
3. Výpočet vnitřních sil a deformací ocelového roštu 3.1 Výpočet s uvažováním pružného chování materiálu Při výpočtu vnitřních sil a deformací ocelového roštu s uvažováním pružného chování materiálu musí platit: P = P1 + P2
(2)
Obr.2: Referenční úrovně
kde P1 a P2 jsou osamělá břemena, která se přenášejí do 1. resp. 2. nosníku ocelového roštu. Rovněž musí platit deformační podmínka - shodnost průhybů obou nosníků w1 a w2 v místě křížení: w1, max = w2, max
P1 .L31 P2 .L32 = = 48.E.J 1 48.E.J 2
(3)
kde E je modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa] a J1,2 je moment setrvačnosti 1. resp. 2. prutu [m4]. Jednoduchou úpravou pak lze získat konečný vztah pro výpočet maximální pružné deformace roštu: wmax = P.
L13 .L32 48.E. L13 .J 2 + L32 .J 1
(
)
(4)
Maximální ohybový moment na 1. resp. na 2. nosníku ocelového roštu pak vychází: P.L1 L32 .J 1 P.L2 L13 .J 2 a M 2 = . 3 . 3 M1 = 3 3 4 L1 .J 2 + L2 .J 1 4 L1 .J 2 + L2 .J 1
(5)
3.2 Výpočet s uvažováním pružno-plastického chování Rovnici ohybové čáry libovolného prostého nosníku i lze získat s použitím Bernoulliho hypotézy. Základní vztah pro zjištění elastické čáry prutu má pak tvar: w′′(x ) = −
M (x ) E .J
(6)
Vztah (1) je diferenciální rovnice II.řádu. Její integrací lze získat postupně rovnici pootočení a rovnici ohybové čáry. w′(x ) = −
∫
M (x ) dx + c1 , E .J
w(x ) = −
∫∫
M (x ) dx + c1 .x + c 2 E. J
(7),(8)
Integrační konstanty c1 a c2 lze určit pomocí některé z okrajových podmínek. Pro případ prostého nosníku zatíženého uprostřed osamělým břemenem je nutno tuto integraci
17 provést zvlášť na každé polovině nosníku. Maximální průhyb je uprostřed nosníku – v místě s pootočením w’(x)=0. Tento výpočet průhybu je založen na předpokladu pružného chování nosníku. V případě uvažování vzniku pružno-plastických deformací lze potřebnou závislost mezi napětím a poměrným pružno-plastickým přetvořením vyjádřit rovnicí Ramberg – Osgood : M (x ) Fy .α M (x ) ε el , pl (x ) = + . Wel .E E Fy .W pl
m
(9)
kde εel,pl je poměrná pružno-plastická deformace v průřezu x, Wel a Wpl pružný a plastický průřezový modul [m3], Fy napětí na mezi kluzu [Pa], α je materiálová konstanta a m je součinitel zpevnění. Do výpočtu pružno-plastického přetvoření je nejprve zaveden součinitel β, který je funkcí ohybového momentu, materiálových a geometrických charakteristik nosníku. Tento součinitel vyjadřuje fiktivní zvětšení ohybového momentu tak, aby odpovídací přetvoření ohybem v pružném stavu εel bylo stejné jako přetvoření skutečného nosníku v pružnoplastické oblasti působení:
εel,pl .
M fik (x ) = β (x ).M (x )
β (x ).M (x ) M (x ) Fy .α M (x ) ε el , pl (x ) = ε fik (x ) = = + . Wel .E Wel .E E Fy .W pl
(10)
m
(11)
Po úpravě lze získat konečný tvar funkce β : α .M (x ) .Wel β (x ) = 1 + Fym −1 .W plm m −1
(12)
Další výpočet vychází ze (8), kde za M(x) je nutno dosadit Mfik(x) z (10). Po integraci a výpočtu integračních konstant z okrajových podmínek lze získat rovnici ohybové čáry s uvažováním pružno-plastického chování nosníku a maximální pružno-plastický průhyb uprostřed nosníku: l l l wel , pl x = = wel x = + w pl x = 2 2 2
(13)
kde −2.(m +1) .α .Wel .F y1− m .l m + 2 .Pi .W pl− m P .l 3 l l 2 a w pl x = = (14),(15) wel x = = i 2 48.E.J 2 E.J .(m + 2) wpl ve vztahu (15) se rovná trvalé plastické deformaci. Při výpočtu vnitřních sil a deformací ocelového roštu s uvažováním pružnoplastického chování materiálu musí opět platit podmínka (2) a podmínka deformační průhyby obou nosníků w1,elpl a w2,elpl (vypočtené pomocí vztahů (13)-(15)) v místě křížení musí být shodné. Vzhledem k vysoké nelinearitě vztahu (15) lze tuto úlohu řešit pouze numericky. Vzájemný poměr P1 a P2 se při dále použitém iteračním výpočtu mění tak, aby s dostatečnou přesností byla splněna deformační podmínka. m
4. Výpočet pravděpodobnosti poruchy Pf Posudek spolehlivosti ocelového roštu byl proveden s použitím všech čtyř výše definovaných referenčních úrovní. Výsledná pravděpodobnost poruchy Pf se získá analýzou funkce spolehlivosti (SF – safety function):
18 (16) SF = pos(R1 – S1) × pos(R2 – S2) kde R1 resp. R2 představuje odpor konstrukce (1. resp. 2. prutu), S1 resp. S2 je účinek zatížení. Matematická funkce pos (positive) vrací hodnotu 0 pokud je argument funkce záporný nebo nulový (v takovém případě se jedná o poruchu systému), v případě kladného argumentu funkce vrací hodnotu 1 (nosník splňuje kritérium dané referenční úrovní). 4.1 Referenční úroveň (a) – dosažení napětí na mezi kluzu Odpor konstrukce R1 resp. R2 (1. resp. 2. prutu) představuje při použité referenční úrovni (a) ohybovou únosnost prutů odpovídající dosažení meze pružné oblasti působení. Účinek zatížení S1 resp. S2 je pro referenční úroveň (a) vyjádřen pomocí vztahu (5). 4.2 Referenční úroveň (b) – dosažení tolerovatelných trvalých deformací, omezení poměrnou částí deformace ideálně pružného nosníku Výsledná pravděpodobnost poruchy Pf se získá opět analýzou funkce spolehlivosti SF (16). Odpor konstrukce R1 resp. R2 (1. resp. 2. prutu) představuje při použité referenční úrovni (b) odpovídající povolenou trvalou deformaci, vyjádřenou např. 5, 10 nebo 15 procenty deformace ideálně pružného nosníku. Účinek zatížení S1 resp. S2 je pak vyjádřen pomocí skutečné trvalé deformace ocelového roštu iteračně tak, jak bylo popsáno v odstavci 3.2. 4.3 Referenční úroveň (c) – tolerovatelné trvalé deformace nosníku, odpovídající zplastizování krajních částí průřezu omezených čtvrtinou výšky průřezu Odpor konstrukce R1 resp. R2 (1. resp. 2. prutu) představuje při použité referenční úrovni (c) odpovídající ohybovou únosnost prutů při uvažování pružno-plastického chování materiálu s omezením daným zplastizováním krajních čtvrtin výšky průřezu: t i , w .hi2 (17) Ri = Fy . W pl − 48 kde ti,w je tlošťka stojiny prutu i a h výška profilu. Účinek zatížení S1 resp. S2 je pro referenční úroveň (c) vyjádřen pomocí skutečného ohybového momentu na konstrukci s uvažováním pružno-plastického chování materiálu 1. resp. 2. nosníku: Pi .Li 4 kde Pi je část břemene P, kterou přenáší nosník i, vypočtená dle kapitoly 3.2. Si =
(18)
4.4 Referenční úroveň (d) – vznik plastického kloubu a počátek kolapsu Odpor konstrukce R1 resp. R2 (1. resp. 2. prutu) je vyjádřen při použité referenční úrovni (d) hodnotou plastického ohybového momentu Mi,pl. Účinek zatížení Si je určen stejně jako u předchozí referenční úrovně.
5. Výsledky Posudek spolehlivosti ocelového roštu s použitím referenčních úrovní (a) až (d) byl proveden programem AntHill v.2.0 s celkovým počtem 1 milión simulačních kroků. Výsledné pravděpodobnosti poruchy Pf pro jednotlivé referenční úrovně jsou uvedeny v Tabulce 1. Histogram funkce spolehlivosti s výslednou pravděpodobností poruchy u referenční úrovně (b) s tolerovatelnou trvalou deformací δper < 5 % δel,fy je uveden na obrázku 3 – vpravo. V levé části je rovněž zobrazen výsledný histogram kombinace zatížení pro danou referenční úroveň.
19
Obr.3: Výstup programu AntHill: vlevo - histogram kombinace stálého, krátkodobého a dlouhodobého nahodilého zatížení vpravo – histogram funkce spolehlivosti Výpočet maximálního pružnoplastického průhybu na ocelovém roštu byl proveden iteračně, počet iteračních cyklů byl stanoven na 15 (při výpočtech bylo zjištěno, že tento počet iteračních cyklů již poskytuje dostatečně přesné řešení). Na obrázku 4 je zobrazen histogram přesnosti iterace při pravděpodobnostním posudku ocelového roštu u výše uvedené referenční úrovně, která je daná rozdílem pružnoplastické deformace obou nosníků w1,elpl a w2,elpl (tato hodnota se musí blížit nule). Referenční úroveň (a) (b1)
(b2)
(b3)
(c)
(d)
Definice referenční úrovně Dosažení napětí na mezi kluzu Tolerovatelná trvalá deformace δper < 5 % δel,fy Tolerovatelná trvalá deformace δper < 10 % δel,fy Tolerovatelná trvalá deformace δper < 15 % δel,fy Tolerovatelné porušení konstrukce – zplastizování krajních čtvrtin nosníků Vznik plastického kloubu
Obr.4: Dosažená přesnost iteračního výpočtu
Návrhová Výsledná pravděpodobnost pravděpodobnost Pd dle ČSN 73 1401 poruchy Pf
Úroveň spolehlivosti dle ČSN 73 1401 Konstrukce nevyhovuje
0,00064200
> 0,00050000
0,00024000
< 0,00050000 > 0,00007000
Snížená
0,00003900
< 0,00007000 > 0,00000800
Obvyklá
0,00001900
< 0,00007000 > 0,00000800
Obvyklá
0,00000600
< 0,00000800
Zvýšená
< 0,00000001
<< 0,00000800
Zvýšená
Tab.1: Výsledné pravděpodobnosti poruchy Pf pro referenční úrovně (a) až (d)
20
6. Závěr Pravděpodobnostní metody posudku spolehlivosti konstrukcí vyžadují jasné definovaní referenční úrovně, sloužící k určení pravděpodobnosti poruchy Pf. V případě posudku ocelového jedenkrát staticky neurčitého roštu byla tato referenční úroveň uvažována v příkladech takto: (a) dosažením napětí na mezi kluzu, (b) dosažením povolené trvalé deformace, (c) zplastizováním krajních čtvrtin ocelového průřezu nebo (d) vznikem plastického kloubu. V uvedeném příkladě byl proveden posudek spolehlivosti ocelového roštu tvořeného dvojicí nosníků profilu IPE s použitím všech čtyř referenčních úrovní. Pro zvýšenou úroveň spolehlivosti konstrukce posudek spolehlivosti vyhoví při použití referenční úrovně (c) a (d), pro obvyklou úroveň spolehlivosti tento rošt vyhoví při posudku vztaženém k referenčním úrovním (b2) a (b3). V případě referenční úrovně (b1) vyhoví pro sníženou úroveň spolehlivosti, pro referenční úroveň (a) tento rošt nevyhoví vůbec. Při obvyklých návrhových situacích (a) a (b) vede posudek (založený na Pf < Pd) při účinku extrémního zatížení k zachování užitnosti konstrukce. Jako vhodnou referenční úrovní se v případě ocelového roštu namáhaného osamělým břemenem jeví referenční úroveň (b), kdy byla výsledná pravděpodobnost poruchy roštu určena s uvažováním vzniku pružno-plastických deformací. Posudek s použitím referenční úrovně (a) se jeví zbytečně konzervativní, použití referenční úrovně (c) vyžaduje po extrémním účinku zatížení opravu či výměnu části nosné konstrukce. Aplikace referenční úroveně (d) je težko vysvětlitelná, neboť vzniku plastického kloubu předcházejí nadměrné deformace a plastický moment představuje de facto kolaps konstrukce a nemůže tedy definovat její únosnost.
Oznámení Příspěvek byl vypracován v rámci výzkumu spolehlivosti konstrukcí na ÚTAM AV ČR Praha a na FaSt VŠB TU Ostrava (projekt Grantové Agentury ČR č. 103/01/1410 a 105/01/0783 a projekt Leonardo da Vinci EU Agency No.: CZ/98/1/82502/PI/I.1.1.a/FPI). Další podrobnosti lze získat na internetovské adrese: http://www.itam.cas.cz/sbra a http://www.fast.vsb.cz/science/sbra .
Literatura [1] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press Inc., Boca Raton, Florida, 1995, ISBN 0-8493-8286-6. [2] MAREK, P., GUŠTAR, M., BATHON, L.: Tragwerksbemessung. Von deterministischen zu probabilistischen Verfahren, Academia, Praha, 1998, ISBN 80-902227-6-5 a 80-200-0706-7. [3] MAREK, P., KREJSA, M.: Performance Based Structural Reliability Assessment Using SBRA as a Tool, referát č. 88 na konferenci „8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability“, Notre Dame, Indiana, U.S.A., 2000. [4] MAREK, P., KREJSA, M.: Posudek spolehlivosti ocelového nosníku namáhaného nárazem, Sborník konference "Dynamika v pozemních stavitelství a dopravních konstrukcích a větrné inženýrství", Vyhne, září 2000, Slovenská republika, ISSN: 80-7100-734-X. [5] KREJSA, M., LOKAJ, A.: Posouzení nosné ocelové konstrukce vystavené mimořádnému zatížení nárazem pomocí simulační metody SBRA, Sborník konference „Spolehlivost a diagnostika v dopravě 2000“, 12.prosince 2000, Univerzita Pardubice, ISBN 80-7194-303-7.
