PRAKTISCHE OPDRACHT WISKUNDE A12 In de weken 44, 45 en 46 (31 oktober tot en met 16 november) wordt tijdens de lessen wiskunde A12 in de vijfde klas gewerkt aan de praktische opdracht (po). De po gaat over kansverdelingen, in het bijzonder over de Poissonverdeling. In de eerste week worden diverse kansverdelingen behandeld; de theorie en opgaven vind je in het stencil dat nu voor je ligt. In de tweede en de derde week worden de hoofdstukken 1, 3 en 4 van Poisson, de Pruisen en de Lotto (nr. 5 uit de Zebra-reeks van Epsilon Uitgaven) behandeld. In deze drie weken zal theorie worden besproken en zullen opgaven gemaakt moeten worden. Op woensdag 16 november vindt een schriftelijke toets plaats over de behandelde stof. Bovendien wordt de stof getoetst in het tentamen dat in de week voor de kerstvakantie plaatsvindt. In januari 2006 wordt – in tweetallen – gewerkt aan de eindopdracht. Het is de bedoeling dat dit buiten de reguliere lessen om gebeurt. (In de lessen gaan we verder met hoofdstuk 3 van Getal en Ruimte vwo2.) De eindopdracht staat beschreven in hoofdstuk 6 van Poisson, de Pruisen en de Lotto. Het is uiteraard de bedoeling dat je de kennis die je in de weken 44, 45 en 46 hebt opgedaan, toepast in de eindopdracht. Aanwijzingen voor het maken van deze opdacht vind je op pagina 8 e.v. van dit stencil. Gedurende de weken 44, 45 en 46 is het bijhouden van de stof van essentieel belang voor het welslagen van de schriftelijke toets en de eindopdracht. Voor zowel de schriftelijke toets als de eindopdracht krijg je een cijfer. De eindopdracht, die uiterlijk 1 februari 2006 ingeleverd moet worden, telt voor 20% van het schoolexamen mee. Let op: per schooldag dat de opdracht later wordt ingeleverd, wordt er 0,2 punt van het cijfer afgetrokken.
1 Inleiding Een variabele waarvan de waarde afhangt van het toeval heet een stochastische variabele, of kortweg stochast, afgeleid van het begrip stochastiek, de verzamelnaam van de wetenschapsgebieden kansrekening, statistiek en besliskunde. De naam stochastiek is ontleend aan het Griekse werkwoord στoχαζoµαι, dat ‘raden’ of ‘gissen’ betekent. Bij het experiment ‘vijf worpen met een dobbelsteen’ kan bijvoorbeeld de stochast X betekenen: ‘het aantal zessen dat geworpen wordt’ of ‘de som van de vijf geworpen ogentallen’. Een overzicht van de mogelijke waarden van een stochast X met de bijbehorende kansen heet de kansverdeling van X. Bij een kansverdeling is de som van de kansen altijd gelijk aan 1. Kansverdelingen worden vaak gepresenteerd in een tabel, maar kunnen soms ook in e´ e´ n formule worden samengevat. In het laatste geval, waarbij de kansverdeling in e´ e´ n formule wordt weergegeven, heeft de verdeling vaak een speciale naam. Een veel voorkomende kansverdeling zijn we al tegengekomen, namelijk de binomiale verdeling. Eerst bespreken we enkele belangrijke kansverdelingen. In het bijzonder krijgt de Poissonverdeling aandacht; dit is de kansverdeling die een grote rol speelt bij de eindopdracht van de praktische opdracht.
2 De binomiale verdeling Een kansexperiment met maar twee mogelijke uitkomsten heet een Bernoulli-experiment. De twee mogelijke uitkomsten worden vaak aangeduid met ‘succes’ en ‘mislukking’, waarbij de uitkomst ‘succes’ met een gegeven kans p optreedt en de uitkomst ‘mislukking’ met kans 1 p. 1
Beschouw nu het samengestelde kansexperiment dat opgebouwd is uit n onafhankelijke uitvoeringen van zo’n Bernoulli-experiment. Definieer de stochast X door X
het aantal successen in n uitvoeringen van het Bernoulli-experiment.
De stochast X kan de waarden 0, 1, 2, . . . , n aannemen. De kansverdeling van X heet de binomiale verdeling. Deze kansverdeling is vastgelegd door het aantal uitvoeringen van het Bernoulli-experiment n en de kans p op succes. Hierbij heten n en p de parameters van de binomiale verdeling. Een binomiale verdeling met parameters n en p noteer je als ‘binom n; p ’.
De kansverdeling van X wordt gegeven door
P X
k
n k p 1 k
p
n k
,
voor k
0, 1, . . . , n.
De verwachtingswaarde van een binomaal verdeelde stochast X wordt gegeven door:
E X
np.
Voorbeeld 1. Bulle en Harry spelen tegen elkaar een wedstrijd van zeven partijen. De kans dat Bulle een partij wint, is 0,6. Hoe groot is de kans dat Bulle vijf partijen wint? En hoe groot is de kans dat Harry minder dan vier partijen wint? Bereken ook het verwachte aantal partijen dat Harry wint. Welnu, definieer: X het aantal partijen dat Bulle wint; Y het aantal partijen dat Harry wint. Dan geldt X: binom 7; 0,6 en Y: binom 7; 0,4 .
P X
5
7 5
0,6
5
0,4
2
0,2613.
Deze kans kan ook berekend worden met de optie ‘binompdf’ van de GR (in het DISTR-DISTR-menu). Voor de tweede kans maken we gebruik van de optie ‘binomcdf’ van de GR:
PY
4
3
PY
0,7102 [met de GR via binomcdf 7, 0.4, 3 .
Tot slot berekenen we de verwachtingswaarde van het aantal partijen dat Harry wint: E Y
7 0,4
2,8.
3 De geometrische verdeling Beschouw wederom een Bernoulli-experiment met kans p op ‘succes’ en kans 1 de stochast X door X
p op ‘mislukking’. Definieer
het aantal uitvoeringen van het Bernoulli-experiment dat nodig is voor het behalen van een succes.
De stochast X kan de waarden 1, 2, 3, . . . aannemen. De kansverdeling van X heet de geometrische verdeling. Deze kansverdeling is vastgelegd door de succeskans p van het Bernoulli-experiment. Daarom heet p de parameter van de geometrische verdeling. Een geometrische verdeling met parameter p noteer je als ‘geom p ’.
De kansverdeling van X wordt gegeven door
P X
k
1
p
k 1
p,
voor k
1, 2, 3, . . . 2
Een nuttige eigenschap is verder:
P X
k
p k.
1
In woorden: de kans op m´ee´ r dan k experimenten voordat een succes optreedt, is gelijk aan 1
p k.
De verwachtingswaarde van een geometrisch verdeelde stochast X wordt gegeven door:
1 . p
E X
Voorbeeld 2. Bulle verveelt zich. Daarom werpt hij met een dobbelsteen, net zo lang totdat hij zes ogen heeft gegooid. Bereken de kans dat hij tien keer moet gooien, de kans dat hij m´ee´ r dan tien keer moet gooien en de verwachtingswaarde van het aantal worpen. aantal worpen totdat Bulle zes ogen gooit. Dan geldt X: geom( 16 ).
Welnu, definieer: X
P X
10
5 9 6
1 6
0,0323,
10
P X
5 10 6
0,1615 en E X
1/
1 6
6.
4 De negatief-binomiale verdeling De negatief-binomiale verdeling lijkt op de geometrische verdeling. Maar waar we bij de geometrische verdeling reeds tevreden zijn met e´ e´ n succes, zijn we dat bij de negatief binomiale verdeling in het algemeen pas bij meerdere successen. Beschouw wederom een Bernoulli-experiment met kans p op ‘succes’ en kans 1 de stochast X door X
p op ‘mislukking’. Definieer
het aantal uitvoeringen van het Bernoulli-experiment dat nodig is voor het behalen van r successen.
De stochast X kan de waarden r, r 1, r 2, . . . aannemen. De kansverdeling van X heet de negatiefbinomiale verdeling. Deze kansverdeling is vastgelegd door de parameters r (het aantal gewenste successen) en p (de succeskans van het Bernoulli-experiment). Een negatief-binomiale verdeling met parameters r en p noteer je als ‘neg-binom r; p ’.
De kansverdeling van X wordt gegeven door
P X
k
1 r p 1 1
k r
p
k r
,
voor k
r, r
1, r
2, . . .
Merk op dat de negatief-binomiale 1, p verdeling (inderdaad) niets anders is dan de geometrische p verdeling. Voor de verwachtigswaarde van een negatief-binomiaal verdeelde stochast X geldt:
E X
r . p
Voorbeeld 3. Harry verveelt zich ook. Daarom werpt hij met een dobbelsteen, en is vastberaden dit vol te houden totdat hij tien keer zes ogen heeft gegooid. Wat is de kans dat hij 50 keer moet gooien? En hoe vaak verwacht je dat Harry moet gooien? Welnu, definieer Y
PY
50
aantal worpen totdat Harry tien keer zes ogen gooit. Dan geldt Y: neg-binom 10;
49 9
1 10 5 40 6 6
0,0231 en E Y
3
10 1 6
60.
1 6
.
5 De hypergeometrische verdeling Als bij een kansexperiment bijvoorbeeld een trekking wodt gedaan uit een doos met ballen, is het van belang of dit met of zonder teruglegging gebeurt. Als na elke trekking de getrokken bal wordt teruggelegd, is het experiment steeds gelijk. Als we bij elk experiment slechts letten op een ‘succes’ (bijvoorbeeld: ‘de getrokken bal is rood’) of een ‘mislukking’ (‘de getrokken bal is niet rood’), is er sprake van een binomiale verdeling. Wordt de bal niet teruggelegd, of worden er meerdere ballen in e´ e´ n greep getrokken, dan is er sprake van een hypergeometrische verdeling. Beschouw een doos met m rode en r door
m niet-rode ballen (dus in totaal r ballen). Definieer de stochast X
het aantal rode ballen bij het trekken van n ballen zonder teruglegging.
X
De stochast X kan de waarden 0, 1, . . . , n aannemen. De kansverdeling van X heet de hypergeometrische verdeling. Deze kansverdeling is vastgelegd door de parameters r (het totale aantal ballen in de doos), m (het aantal rode ballen in de doos) en n (het aantal trekkingen). Een hypergeometrische verdeling met parameters r, m en n noteer je als ‘hypergeom r; m; n ’.
De kansverdeling van X wordt gegeven door
P X
k
m k
r m n k r n
,
voor k
0, 1, . . . , n.
Merk op dat ingeval het aantal trekkingen n groter is dan het aantal rode ballen m, P X k m. Dit volgt ook uit bovenstaande formule, als we afspreken dat mk 0 zodra k P X k gelijk aan nul zijn voor kleine waarden van k, namelijk voor k n r m als n
k 0 voor m. Ook kan r m; ga na.
Voor de verwachtigswaarde van een hypergeometrisch verdeelde stochast X geldt:
mn . r
E X
Voorbeeld 4. In het wijnrek van mijnheer Servet staan tien flessen rode wijn, vijf flessen witte wijn en twee flessen ros´e. Mijnheer Servet pakt blindelings vier flessen. Wat is de kans dat hij drie flessen rode wijn pakt? En wat is de kans dat hij van elke kleur wijn ten minste e´ e´ n fles pakt?
Welnu, definieer: W
3
PW
aantal flessen rode wijn dat mijnheer Servet pakt. Dan geldt W: hypergeom 17; 10; 4 . 10 7 3 1 17 4
0,3529.
Let op: de tweede kans die wordt gevraagd, is niet hypergeometrisch! Maar de berekening verloopt wel op analoge wijze:
P van elke kleur wijn ten minste e´ e´ n fles
P 2 rood, 1 wit en 1 ros´e 10 2
5 1 17 4
2 1
10 1
5 2 17 4
2 1
P 1 rood, 2 wit en 1 ros´e 10 1
5 1 17 4
2 2
P 1 rood, 1 wit en 2 ros´e
0,2941.
Bij steekproeven gaat het meestal om trekkingen zonder teruglegging. Kansverdelingen zijn dan vaak hypergeometrisch. Hypergeometrische kansen zijn echter moeilijk uit te rekenen zodra de eerste parameter r 4
erg groot is. Echter, bij het trekken van een kleine omvang uit een grote populatie maakt het voor kansen nauwelijks uit of de trekking met of zonder teruglegging is. Dit resultaat formuleren we in de volgende eigenschap:
Bij het nemen van een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. Een hypergeometrisch verdeelde stochast met parameters r, m en n kan dan dus worden opgevat als een binomiaal verdeelde stochast met parameters n en p m/r. Toepassingen van deze eigenschap kom je tegen in de opgaven.
6 De Poissonverdeling 6.1 Het getal e Ter voorbereiding op de volgende kansverdeling die we bespreken, introduceren we een ‘nieuw’ getal, dat in allerlei toepassingen in de wiskunde naar voren komt. Het volgende verhaal dient als introductie van dat getal. De Centrale Bank van Ruritani¨e verstrekt 100% rente per jaar op al het geld dat je er belegt. Stort je vandaag een kapitaal van K dukaten, dan kun je over een jaar K K 2K dukaten komen afhalen. Of, als je dat 1 1 liever doet, over een half jaar K 2 K 1 2 K dukaten, of over vier maanden ( 13 jaar) K 13 K 1 13 K dukaten, etcetera.
In de hoofdstad van Ruritani¨e wonen vijf broers, die op een goede dag van een rijke oom elk 100 dukaten erven. Alle vijf brengen ze hun geld terstond naar de Centrale Bank. De oudste gaat een jaar later terug en incasseert 200 dukaten. De tweede (die, zoals gewoonlijk in dit soort verhalen, slimmer is) gaat na een half jaar naar de bank, vraagt zijn 150 dukaten op en belegt die 225 dukaten uit. De derde broer direct weer. Na nog een half jaar keert de bank hem 150 12 150 (die nog ´ slimmer is) komt elke twee maanden zijn geld halen en weer storten. Hij bezit na twee maanden 1 16 100 dukaten, na vier maanden 1 16 2 100 dukaten, . . . , na twaalf maanden 1 16 6 100 252 dukaten. De vierde broer brengt een klapstoeltje mee naar het loket en herhaalt de transactie elke minuut. Het is geen schrikkeljaar en telt dus 525600 minuten. Het zal duidelijk zijn dat aan het eind van het jaar 1 525600 100 zijn bezit tot 1 525600 271 dukaten gegroeid is. Broer vijf gooit zich op de vraag die je nu voelt aankomen: hoe rijk kun je in een jaar worden als je nog v´ee´ l vaker dan 252600 keer hetzelfde spelletje speelt? Kun je meer dan 300 dukaten krijgen als je maar vaak genoeg gaat? Meer dan 3000? Zoveel je wilt?
Anders gezegd: Hoe groot wordt 1
1 n n
Experimenteer eens met de GR, door 1 grote waarden van x.
als je n onbeperkt laat toenemen?
1 x x
als functie bij y1 in te voeren en bij Table te kijken voor zeer
Je zult tot de ontdekking komen dat je 2,71 . . . kunt bereiken door x groot te kiezen (bijvoorbeeld x 10.000), maar 2,72 . . . wil maar niet lukken. Dat klopt ook, want 1 n1 n heeft een limietwaarde. Deze limietwaarde is een irrationaal getal, dat wil zeggen: een getal met oneindig veel cijfers achter de komma, die geen regelmatig patroon vormen. Dit getal wordt aangeduid met de letter e (naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783), aan wie ook de notatie van π, de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, te danken is), en is in zeven decimalen nauwkeurig gelijk aan 2,7182818. Op de GR zit een knop voor het getal e, en wel boven de knop.
´ groter dan e wordt (hoe groot Nu kunnen we de vraag van broer vijf beantwoorden: omdat 1 n1 n no´ oit je n ook kiest), kun je nooit meer dan 100 e dukaten krijgen, hoe vaak je je beginkapitaal van 100 dukaten ook incasseert en weer belegt (in een jaar tijd). De limietwaarde van het kapitaal dat je in een jaar kunt
5
sparen, is – afgerond op gehelen – 272 dukaten. Aan het getal e valt wiskundig gezien veel interessants te beleven. Maar om de nu volgende kansverdeling te kunnen begrijpen, heb je al die fascinerende eigenschappen niet nodig. Het is voldoende als je weet dat e een constante is die bij benadering gelijk is aan 2,718.
6.2 De Poissonverdeling Een stochast X heeft een Poissonverdeling met parameter λ als
P X
k
e
λλ
k
k!
,
voor k
0, 1, 2, . . .
De Poissonverdeling wordt door slechts e´ e´ n parameter λ gekarakteriseerd, waarbij λ een positief re¨eel getal is. Een Poissonverdeling met parameter λ noteer je als ‘Poisson λ ’ of, korter, als ‘Ps λ ’. De verwachtingswaarde van een Poissonverdeelde stochast X is gelijk aan deze parameter λ, dus:
E X
λ.
Het bewijs hiervan is te lezen in hoofdstuk 2 van Poisson, de Pruisen en de Lotto. Dit bewijs hoef je echter niet te kennen. De Poissonverdeling werd ge¨ıntroduceerd door de Franse wiskundige Sim´eon-Denis Poisson (1781-1840). Hij onderkende echter niet het praktische belang van zijn kansverdeling, dit gebeurde pas door de Duitse wiskundige Ladislaus von Bortkiewicz (1868-1931). Hij ontdekte het volgende belangrijke resultaat:
Het totale aantal successen in een zeer groot aantal onafhankelijke uitvoeringen van een kansexperiment met een zeer kleine succeskans is bij goede benadering Poissonverdeeld met parameter λ np, waarbij n het aantal experimenten is en p de succeskans. De Poissonverdeling heeft – in tegenstelling tot de binomiale verdeling – de plezierige eigenschap dat je de precieze getalwaarden van het aantal experimenten en de succeskans niet hoeft te weten, maar dat je voldoende hebt aan het product van deze twee getalwaarden. Dit product is de verwachtigswaarde van het aantal successen (zie paragraaf 2). De kansen van de Poissonverdeling zijn eenduidig vastgelegd door deze verwachtingswaarde. Voorbeeld 5. In Juinen, een provinciestad met meer dan 100.000 inwoners, zijn de laatste jaren gemiddeld acht ernstige branden per jaar. Wat is de kans dat in Juinen komend jaar tien branden plaatsvinden? Aldus, definieer: X
het aantal branden in Juinen komend jaar.
Het aantal experimenten (‘het gebruik van vuur’) is zeer groot (we hebben immers met een redelijk grote stad te maken: meer dan 100.000 mensen maken vrijwel dagelijks gebruik van vuur) en de succeskans (een ‘succes’ is hierbij ‘het ontstaan van een ernstige brand’) is zeer klein. De exacte getalwaarden voor het aantal experimenten en de succeskans zijn onbekend, maar op grond van bovenstaande eigenschap is het redelijk om aan te nemen dat geldt: X: Ps(8). Conclusie:
P X
10
810 e 10!
8
0,0993.
Je kunt ook de optie ‘poissonpdf’ van de GR (in het DISTR-DISTR-menu) gebruiken om deze kans te berekenen. Toets in: ‘poissonpdf(8,10)’ (toets eerst de parameter λ in en daarna de waarde van k) en sluit af met ‘Enter’.
6
Voorbeeld 6. Zie voorbeeld 5. Ondanks het gemiddelde van acht ernstige branden gemiddeld per jaar, hebben het afgelopen jaar twaalf ernstige branden gewoed in Juinen. Dit heeft aanleiding gegeven tot de nodige consternatie in het anders zo rustige Juinen. Burgemeester Van der Vaart en wethouder Hekking van Juinen overwegen ontslag van de plaatselijke brandweercommandant. Is al deze consternatie gerechtvaardigd? Aldus, om te beoordelen of twaalf branden in het afgelopen jaar uitzonderlijk is, moet je de kans kennen dat de stochast X uit voorbeeld 5 een waarde aanneemt die ten minste twaalf is. Hiertoe gebruiken we de optie ‘poissoncdf’ van de GR (in het DISTR-DISTR-menu):
P X
[P X
12
1
P X
11
1
0,8881
0,1119
11 bereken je met de GR via poissoncdf(8, 11)].
De vraag is vervolgens of deze kans van 11,19% klein genoeg is dat het optreden van twaalf branden als iets uitzonderlijks moet worden gekwalificeerd. Het antwoord hierop is subjectief: de een vindt van wel, de ander van niet. In de statistiek is het echter gebruikelijk om in situaties als deze pas bij een kans kleiner dan 5% te spreken van een uitzonderlijke uitkomst. Een statisticus zou in dit geval de plaatselijke brandweercommandant het voordeel van de twijfel geven.
7 Opgaven Geef bij de volgende opgaven (behalve bij 1a, 3a en 3c) de gevraagde kansen steeds in vier decimalen nauwkeurig. Opgave 1. Harry werpt met twee dobbelstenen. Hij beschouwt de gebeurtenis ‘de som van de ogentallen is ten minste zeven’ als een succes. a. Bereken Harry’s succeskans exact. Harry voert dit experiment (het werpen met twee dobbelstenen) 60 keer uit. De stochast X is het aantal keren dat Harry succes heeft. b. Bereken de verwachtingswaarde van X.
c. Bereken P X
30 .
d. Bereken P 40
X
50 .
Bulle voert hetzelfde experiment ook een aantal keren uit. e. Als Bulle stopt zodra hij twee successen heeft, wat is dan de kans dat hij zes keer moet gooien? f. Als Bulle stopt zodra hij twee successen achter elkaar heeft, wat is dan de kans dat hij zes keer moet gooien? Opgave 2. Op de veiling wordt een partij van ongeveer 1000 sinaasappelen aangeboden. In deze partij sinaasappelen zitten zure exemplaren van een mislukte oogst. Van de aangeboden sinaasappelen is 20% zuur. Een groenteman wil op de veiling deze sinaasappelen kopen. Hij proeft er tien. De stochast X is het aantal zure sinaasappelen dat de groenteman aantreft. a. Leg uit waarom X niet binomiaal verdeeld is. 7
b. De kansverdeling van X is wel te benaderen met een binomiale verdeling. Leg uit waarom en geef de bijbehorende parameters. c. Bereken de kans dat er minder dan twee van de tien sinaasappelen zuur zijn. d. Bereken de kans dat er meer dan vier van de tien sinaasappelen zuur zijn. Opgave 3. Een voetbalvandaal heeft in een plastic zak vijf beschimmelde sinaasappelen, twee rotte tomaten en e´ e´ n gebarsten ei meegenomen naar een wedstrijd. Tijdens deze wedstrijd graait hij blindelings twee projectielen uit de zak en gooit hiermee naar de scheidsrechter. De stochast X is het aantal sinaasappelen in deze greep. a. Geef de kansverdeling van X weer in een tabel. b. Bereken de verwachtingswaarde van X.
c. Bereken de kans dat de voetbalvandaal een rotte tomaat en het gebarsten ei uit de zak graait. Is deze kans hetzelfde als P X 0 ? Verklaar je antwoord.
Opgave 4. Een vijver bevat 3000 karpers en 4500 andere vissen. Bulle vangt uit deze vijver negen vissen en neemt ze mee naar huis. We zijn ge¨ınteresseerd in de kans dat Bulle precies drie karpers heeft gevangen. a. Geef een precieze uitdrukking voor deze kans. b. Geef een goede benadering van deze kans. Opgave 5. Een typiste is bezig met het typen van een boek. Veronderstel dat elke letter een kleine kans heeft foutief gedrukt te worden en, misschien iets minder voor de hand liggend, dat de letters onafhankelijk van elkaar worden getypt. De typiste heeft reeds 100 bladzijden getypt, en heeft daarbij gemiddeld is de kans dat zij op bladzijde 101 ten minste twee fouten maakt?
1 2
fout per bladzijde gemaakt. Wat
Antwoorden van de opgaven (in spiegelbeeld): ;8230,0 .d2 ;8573,0 .c2 ;2,0 p ,01 n .b2 ;4370,0 .f1 ;3150,0 .e1 ;6811,0 .d1 ;1440,0 .c1 ;53 .b1 ; 271 .a1
.2090,0 .5 ;8052,0 .b4 ;
0054 0003 6 3 0057 9
.a4 ; 411 .c3 ; 45 .b3 ; 0812
2
X P , 5812
1
X P , 832
0
X P .a3
8 Aanwijzingen eindopdracht In januari 2006 wordt – in tweetallen – gewerkt aan de eindopdracht van de praktische opdracht. Deze opdracht staat beschreven in hoofdstuk 6 van Poisson, de Pruisen en de Lotto. Hieronder staan de eisen waaraan de opdracht moet voldoen, alsmede enkele aanwijzingen die je kunnen helpen bij het maken van de opdracht.
Algemene aanwijzingen Verwerk je resultaten in een prettig leesbaar verslag van maximaal tien pagina’s. Op het voorblad staan de titel, de namen van de auteurs en van de school en de inleverdatum. Vergeet geen inhoudsopgave en bronvermelding te maken. Zorg ervoor dat je verslag leesbaar is voor iemand die de opdracht niet kent. Je mag daarbij delen van de tekst uit Poisson, de Pruisen en de Lotto overnemen in je verslag (of een bewerking van de tekst). Een goede leesbaarheid wordt onder meer bereikt door 8
correct en duidelijk taalgebruik (goed lopende zinnen, correcte spelling en interpunctie, geen ellenlange alinea’s, consistentie van het gebruikte begrippenkader); een logische opbouw van de tekst (gebruik hierbij ‘tussenkopjes’ om delen van de tekst van elkaar te onderscheiden); een correcte verwijzing naar figuren en tabellen.
Aanwijzingen m.b.t. notaties Correcte wiskundige notaties komen de leesbaarheid van je verslag ten goede. Introduceer waar nodig e´ e´ n of meerdere stochasten. Geef steeds bij het defini¨eren hiervan een goede omschrijving in woorden. Veel leerlingen noteren maar al te vaak ‘P X 4 ’ (bijvoorbeeld), zonder dat duidelijk is gemaakt waar de stochast X voor staat. Geef binnen e´ e´ n hoofdstukje verschillende stochasten verschillende namen; als elke stochast met de letter X wordt aangeduid, weet de lezer al snel niet meer waar het over gaat.
Over de notatie van kansen, het volgende. Zeer kleine kansen worden vaak genoteerd in de wetenschappelijke notatie. Een voorbeeld: 0,0000012 wordt in de wetenschappelijke notatie geschreven als 1,2 10 6. Op pagina 43 van het boekje wordt gesproken over een kans ‘van de ordegrootte 10 136’. Dit betekent dat het 136-ste cijfer achter de komma pas het eerste cijfer groter dan nul is! De GR geeft getallen soms ook in de wetenschappelijke notatie weer. Bijvoorbeeld ‘1,2 10 6’ schrijft de GR als ‘1.2 E 6’.
Aanwijzingen m.b.t. de wiskunde Opdracht a. Er wordt gevraagd naar de kans dat er ten minste tien deelnemers zijn die alle zes getallen goed hebben ingevuld. Dezelfde kans wordt gevraagd voor ten minste twintig deelnemers. Je kunt deze vraag generaliseren: wat is de kans dat er ten minste k deelnemers zijn die alle zes getallen goed hebben ingevuld? Hoe groter de waarde van k wordt, hoe kleiner de betreffende kans zal worden. (Onder opdracht a wordt een opmerking gemaakt voor het geval k 133.) Je kunt voor diverse waarden van k (zeg, k 0, 1, . . . , 20) een kanshistogram maken, zoals je dat geleerd hebt in (bijvoorbeeld) G&R vwo2, hoofdstuk 1 (pagina 35). Opdracht b. Deze vraag heeft nauwelijks betrekking op de wiskunde. Voor de in psychologie ge¨ınteresseerde leerlingen een interessante kwestie. Opdracht c. Deze vraag mag je desgewenst overslaan. Het houden van een enquˆete heeft pas zin als een voldoende groot aantal personen wordt ondervraagd; de tijd die het afnemen van een goede enquˆete kost plus de tijd van het verwerken van de resultaten, kan beter besteed worden aan de andere onderdelen van de eindopdracht. Opdracht d. Er wordt gevraagd naar de kans dat het ten minste e´ e´ n keer voorkomt dat vier keer eenzelfde rijtje is ingevuld. Dezelfde kans wordt gevraagd voor het geval van vijf keer eenzelfde rijtje. Hier volgen een paar tips voor de aanpak. Bereken hoeveel combinaties er zijn van vijf getallen uit de getallen 1, 2, . . . , 45. Bij het verjaardagsprobleem deed je m2 deelexperimenten; het ging immers om de combinaties van twee personen uit een totaal van m personen, waarbij werd nagegaan of er een combinatie is waarin beide personen op eenzelfde dag jarig zijn.
Bij het probleem van de Amerikaanse Powerball loterij doe je 17001 deelexperimenten; het gaat nu immers 4 om de combinaties van vier rijtjes uit een totaal van 17001 rijtjes, waarbij wordt nagegaan of er een combinatie is waarin de vier rijtjes gelijk zijn. Een deelexperiment is succesvol is als de vier rijtjes gelijk zijn. Wat is de succeskans?
Definieer nu – analoog aan het verjaardagsprobleem – een stochast X. Welke kansverdeling heeft deze stochast? Met welke parameter(s)? 9
De tweede vraag die wordt gesteld (dezelfde kans voor het geval van vijf keer eenzelfde rijtje) wordt natuurlijk op dezelfde manier berekend; vervang nu het aantal deelexperimenten door 17001 . Hoe verandert 5 de succeskans?
Als je de vragen hebt beantwoord, kun je dan een verband ontdekken tussen de kansen die je hebt uitgerekend en de parameter van de stochast X? Opdracht e. Deze opdracht kan op verschillende manieren worden opgelost. Een van de mogelijke oplossingen begint met de volgende aanpak. Beschouw een doos met 49 witte ballen en 42 rode ballen. Als je blindelings zes ballen zonder teruglegging pakt, hoeveel combinaties zijn er dan met vijf witte ballen en e´ e´ n rode bal? Opdracht f. Beschouw bij deze laatste opdracht de Duitse Lotto am Mittwoch (laat de Lotto am Samstag buiten beschouwing). Bereken – bij e´ e´ n keer meespelen – de kans op het winnen van de jackpot (Gewinnklasse I) en de kans op het winnen van een hoofdprijs (Gewinnklasse II). Hoewel het bij opdracht f niet concreet wordt gevraagd, is het aardig om eens te onderzoeken hoe lang je zou moeten leven om een kans van ten minste 50% te hebben om ooit in je leven de jackpot of een hoofdprijs te winnen, als je elke week bijvoorbeeld twaalf rijtjes zou invullen. Voor de Lotto am Samstag staat hierover een voetnoot op pagina 50 van het boekje. Op www.alexvandenbrandhof.nl kun je een Excel-file downloaden waarin 119 trekkingen van de Lotto am Mittwoch zijn geanalyseerd. Deze dataset is van de periode 6-3-1996 tot en met 1-12-1999. In die tijd waren de kosten per spel (voor de deelnemer) DM 1,25. In de derde kolom van het Excel-file staat het totale bedrag in DM; in de vierde kolom staat het totale aantal rijtjes dat voor die week is ingevuld (dat is dus het aantal deelnemers voor die week); dit aantal is berekend door het totale bedrag (in de derde kolom) te delen door de kosten per spel (DM 1,25). (De dataset is afkomstig uit het pre-euro-tijdperk. Houd je verslag enigszins actueel door de huidige kosten per spel te vermelden; zie hiervoor het internet.) Voor elk van de 119 trekkingen geldt dat het totale aantal deelnemers ruwweg hetzelfde is. Om een wiskundig model te maken waarmee je uit de voeten kunt, volstaat het om er vanuit te gaan dat het totale aantal deelnemers steeds precies hetzelfde is. Ga dan bijvoorbeeld uit van het gemiddelde aantal deelnemers per trekking; dat is 24729976,5 (gemakkelijk met Excel uit te rekenen). Een afgeronde waarde (bijvoorbeeld 24730000) mag natuurlijk ook. Definieer de stochast X als ‘het aantal winnaars in Gewinnklasse I bij e´ e´ n trekking’. Waarom is X Poissonverdeeld? Wat is de parameter? Voer ook een stochast Y in voor ‘het aantal winnaars in Gewinnklasse II bij e´ e´ n trekking’. Maak een tabel (vergelijk Tabel 3.5 op pagina 24) waarin je uiteenzet:
k; P X k ; de theoretische verwachting van het aantal keer dat er k winnaars zijn (bij 119 trekkingen) ; het werkelijke aantal keer dat er k winnaars zijn (bij de 119 geanalyseerde trekkingen in het Excel-file).
Doe dit niet alleen voor de stochast X, maar ook voor Y. Behalve het weergeven van de resultaten in een tabel, kun je andere methoden gebruiken om de gegevens te verwerken. Denk bijvoorbeeld aan een staafdiagram waarin je zowel de theoretische verwachting als de werkelijke data uiteenzet. Is de theoretische verwachting in overeenstemming met de werkelijke data? Kun je een verklaring geven? N.B. In het boekje word je verzocht naar www.lotto-bw.de te gaan en daar ten minste 100 trekkingen te verzamelen. Het analyseren van deze trekkingen is nog een hele klus en raad ik daarom af. Je doet er verstandig aan het Excel-file op www.alexvandenbrandhof.nl te gebruiken; de trekkingen in dit file voldoen aan de eis dat elke trekking ongeveer evenveel deelnemers had en de trekkingen zijn reeds geanalyseerd.
10
