Praktische Opdracht HAVO 4 Wiskunde B Voorjaar 2011
Objecten
Objecten; Het gaat erom berekeningen te verrichten en tekeningen te maken van een object (gebouw of kunstobject) uit de Zaanstreek of wijde omgeving. Aantal studielasturen: 40 Werkvorm: (in de regel) in tweetallen Afsluiting: 2 schriftelijke verslagen Als voorbereiding maak je de oefenopgaven in dit boekje. De uitwerking vormt de kern van je eerste verslag. Je bepaalt op korte termijn welke object je wilt gaan bestuderen, en welke aspecten daarbij aan de orde komen. Ook dit neem je op in je eerste verslag Het eerste verslag moet uiterlijk aan het begin van de eerste les na de voorjaarsvakantie (eind feb.) worden ingeleverd. Jullie docent beoordeelt het verslag en geeft aanvullingen en/of tips. Het tweede verslag bestaat uit een beschrijving van het gekozen “object” en de uitwerkingen op de deelvragen. Tevens uitwerkingen van de opgaven zoals die in opdracht 2 van dit boekje op een rijtje zijn gezet. Het tweede verslag moet aan het begin van de eerste les in mei worden ingeleverd. Het cijfer voor het PO wordt bepaald door de uitwerkingen van de oefenopgaven én de uitwerkingen van de deelvragen en opgaven horende bij het object.
Probleemstelling De vorm van een gebouw of kunstobject bevat vaak wiskundige vormen. Die kunnen variëren van een mooie regelmatige piramide tot een ruimtelijk figuur dat begrensd wordt door meerdere vlakke meetkundige figuren als driehoeken, ruiten of andere min of meer regelmatige veelhoeken. Voor de architect/kunstenaar een hele uitdaging om op de tekentafel een ontwerp te maken dat uitvoerbaar is. De verschillende delen moeten goed op elkaar aansluiten. Er moet worden nagegaan welke hoeken die delen met elkaar maken, hoeveel materiaal er nodig is en hoe groot de inhoud zal zijn van het gebouw.
In 4 havo ben je nog geen architect/kunstenaar. Je zult je dan ook moeten beperken tot het inzicht krijgen in hoe zo'n object in elkaar steekt. Op de volgende bladzijden staan zeven opdrachten over verschillende daken en constructies.
Opdracht 1 Oriëntatie
Maak in tweetallen de oefenopgaven. Wees kritisch en bedacht op fouten Vraag tijdig hulp ! De uitwerkingen komen in het eerste verslag. Oriënteer je op een „mooi‟ gebouw of kunstobject dat je wilt bestuderen. Lees daarvoor alvast de vragen bij opdracht 2. Formuleer bij je eigen object een aantal deelvragen die je wilt onderzoeken. Lever dit als geheel in één verslag in: begin 1e les na de voorjaarsvakantie
De Oefenopgaven: Opgave 1.1 De kerktoren Van de kerk op de foto wordt de brede toren nader bekeken. Het grondvlak van deze toren is een vierkant van 6 bij 6 meter. Het dak wordt gevormd door vier grote, ruitvormige dakdelen. De laagste hoekpunten van de dakdelen liggen op een hoogte van 18 meter. De top ligt op een hoogte van 26 meter. De vier overige hoekpunten van het dak liggen op 22 meter hoogte, elk op de symmetrieas van één van de zijmuren. De bovenste openingen in de gevels van de toren zijn de galmgaten. Daarachter hangt de klok, die elk half uur wordt geluid. De kwaliteit van het geluid is afhankelijk van de inhoud van de ruimte waarin de klok hangt. De vloer van deze ruimte ligt 12 meter boven de grond. Het plafond kan worden aangebracht op de hoogte 20, 22 of 24 meter. a
Teken in één figuur op schaal 1:100 de vorm van elk van de drie mogelijke plafonds.
Het plafond wordt aangebracht op hoogte 22 meter. b
Bereken de inhoud van de ruimte waarin de klok hangt.
Opgave 1.2 Een dakkapel
3
3
Op het huis van een woning wordt een dakkapel geplaatst, zoals aangegeven in figuur 2. In figuur 3 zie je twee aanzichten van de woning met de te plaatsten dakkapel. De afmetingen zijn gegeven in meters. De timmerman wil de precieze afmetingen hebben van de opening die in het dak gemaakt moet worden om de dakkapel te kunnen plaatsen. Daarom wordt er een tekening gemaakt waaruit de lengten en hoeken nauwkeurig kunnen worden afgelezen. a
Maak zo'n tekening van de opening in het dak op schaal 1:50.
b
Bereken hoeveel extra ruimte (in m3) de woning krijgt door het plaatsen van de dakkapel.
c
Teken een uitslag van de dakkapel op schaal 1 : 50.
Opgave 1.3 De VIP-ruimte Langs het TT-motorracecircuit in Assen staan tegenover de hoofdtribune aan de andere kant van de baan enkele gebouwen. De foto hieronder is genomen vanaf het circuit. In de gebouwen is tijdens de races ruimte voor de wedstrijdleiding, de pers en voor belangrijke gasten; de zogenaamde VIP's.
Deze opgave gaat over het gebouw op de foto. Het gebouw bestaat uit drie lagen. De derde laag, het bovendeel, bestaat uit schuine vlakken en een dak. Vier van de zijvlakken zijn rechthoekig, de andere vier zijn driehoekig. In figuur 5 zie je een bovenaanzicht van het bovendeel. De gegeven afmetingen zijn in meters en het bovendeel is 2,80 meter hoog. De dikte van de kozijnen, van het glas en van het dak wordt in deze opgave verder verwaarloosd. Het bovendeel heeft acht schuine zijvlakken. Elk van die zijvlakken heeft een hellingshoek. a
Teken een doorsnede van het bovendeel evenwijdig aan het voorkant.
b
Bereken de inhoud van het bovendeel.
Stel dat de vier grote schuine vlakken naar boven toe worden doorgetrokken. Er ontstaat dan bovenop de derde laag een dakvorm met een nok. c
Teken de nok in een bovenaanzicht als figuur 5.
Opgave 1.4 De piramide-ingang
Op de foto‟s hierboven is de entree van een autoshowroom afgebeeld. Voor de dakconstructie bij de ingang is als basisvorm een regelmatige piramide T.ABCD genomen waarvan één zijkant is vervangen door een overkapping T.BCFE. In figuur 6 is de volledige piramide met uitbouw getekend in parallelprojectie. figuur 6
Vierhoek BCFE is een symmetrisch trapezium (BE = CF). De deurwand BCGH is loodrecht op ABCD (niet duidelijk te zien in figuur 6.) Het dak boven de deurwand steekt ver over. Ook is gegeven: Grondvlak ABCD is een vierkant met zijden van 6 meter. De hoogte van de top T boven de grond is 5 meter. Verder is gegeven: De hoogte van EF boven de grond is 3 meter. De lengte van EF is 2 meter. De afstand van EF tot vlak BCGH is 2 meter. a
Teken een vooraanzicht van de showroomingang (evenwijdig aan BC) op schaal 1 : 50.
b
Teken een zijaanzicht van de showroom (evenwijdig aan AB), ook op schaal 1 : 50.
c
Bereken de afstand van T tot EF. Geef je antwoord in meters, afgerond op twee decimalen.
d
Bereken de oppervlakte van de deurwand BCGH. Geef je antwoord in dm2.
Opgave 1.5 Een paviljoen Hieronder staat in parallelprojectie een ontwerptekening van een paviljoen voor een tentoonstelling. Het bouwwerk bestaat uit de balk ABCD.EFGH, en de rechte congruente prisma's EFP.HGR en FGQ.EHS die elkaar doorsnijden. M is het snijpunt van de lijnen PR en QS. AB = BC = 12 en AE = 6. EP = FP = 10
a
Bereken de inhoud van het paviljoen.
b
Bereken de oppervlakte van het paviljoen.
c
Teken de doorsnede van het vlak evenwijdig aan het grondvlak op hoogte 12 met het paviljoen.
Opgave 1.6 Het prieel
Hierboven staan enkele tekening van een sierlijk gebouwd tuinhuisje; een zogenaamd prieel. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek. a
Bereken de lengte van een geknikte buis én van een horizontale verbinding (in cm).
b
Bereken de oppervlakte van de bodem van het prieel.
Van een cirkelvormig tentzeil wordt het dak voor het schuine gedeelte gemaakt door het afpassen van driehoeken. c
Maak hiervan een tekening op schaal 1 : 50.
d
Blijft er nog genoeg zeil over voor een reservedriehoek?
Opgave 1.7 De knikpiramide Ergens in een woestijn staat onderstaande knikpiramide.
De volgende gegevens zijn bekend: PQ = 25 m; KL = 15 m. Het grondvlak PQRS is vierkant, evenals het vlak KLMN. Het vlak KLMN ligt 12 m boven de grond. Top T ligt op een hoogte van 22 m loodrecht boven het midden van PQRS. Het oorspronkelijke bouwplan voorzag in een 'normale' piramide. Bij de bouw heeft men, aangekomen op de hoogte van vlak KLMN, alsnog besloten de zijvlakken af te buigen. a
Hoeveel meter hoger zou de top van de piramide zijn gekomen als men doorgebouwd had volgens het oorspronkelijke plan?
b
Bereken de inhoud van de knikpiramide.
c
Teken de werkelijke vorm van de dwarsdoorsnede van de knikpiramide met het vlak dat door de middens gaat van QR, LM, PS en KN. Gebruik een schaal van 1:500.
d
Teken de uitslag van de knikpiramide. Gebruik weer een schaal van 1:500.
e
Bereken de lengte van het kortste pad dat vanuit de top langs de buitenkant van de piramide naar de grond voert.
Opdracht 2 Eigen object Na het oriënteren in opdracht 1 begint hier de eigenlijke praktische opdracht. Je gaat je ruimtemeetkundige kennis in praktijk brengen bij een zelfgekozen object. 2.1
Zoek naar een interessant object. Het oriënteren op internet via zoekopdrachten kan verhelderend werken. Leg de lat niet te hoog. Overleg met je docent of jullie gekozen object geschikt is voor deze opdracht.
2.2
Je hebt bij de opdracht verschillende meetgegevens nodig van jullie object. Verzamel die. Soms is het mogelijk die van bouwtekeningen te halen, in andere gevallen kun je zelf misschien meten of moet je maten schatten. Ook hier is overleg met je docent nodig voor je verder gaat.
2.3
Onderzoek jullie object door het maken van een voor-, zij- en bovenaanzicht, en eventueel een uitslag.
2.4
Onderzoek jullie object óók door het maken van functionele doorsneden, met tekeningen „op ware grootte‟ .
2.5
Maak een ruimtelijke tekening van jullie object. Het gebruik van een tekenprogramma op de computer is toegestaan.
2.6
Bereken (zo mogelijk) de oppervlakte van de verschillende vlakken de inhoud van (onderdelen van) jullie object
2.7
Bedenk bij je eigen object zelf een paar deelvragen die wiskundig interessant zijn. Vanzelfsprekend geef je er ook de uitwerkingen bij. Voor voorbeelden van vragen kun je putten uit de opgaven 1.1 tot en met 1.7, maar originaliteit is ook welkom. Uiterste inleverdatum voor deel 2 is de eerste les in mei
EINDE.
