PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Bab III : Lingkaran|

30

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3.1. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O(0,0) P(x,y) searah pada  Sb. Y

OP 2 = OP' 2 + PP' 2 P(x,y)

x2 + y2 = r2

y

Persamaan Lngkaran yang berpusat di O

r Sb. X x

O

Contoh : Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari jari 5 adalah x2 + y2 = 25

3.2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI (a,b)

Sb. Y

PA2  PB 2  AB 2 r2 = (x – a)2 + (y – b)2

P(x,y)

y r b

M(a,b) Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a,b) Sb. X a

x

3.3.PERSAMAAN UMUM LINGKARAN (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0 x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0 Persamaan umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Karena : A = - 2a  a = 

1 A 2

B = - 2b  b = 

1 B 2

C = a2 + b2 – r2  r2 = a2 + b2 – C By : Turmudi

E-mail : [email protected]

blog: www.toermoedy.wordpress.com

31 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Koordinat titik Pusat Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Maka : Pusat lingkaran P (  1 A ,  1 B ) 2 2 Jari-jari lingkaran r =

a2  b2  C 2

r=

r=

2

 1   1    A    B   C  2   2 

1 2 1 2 A  B C 4 4

Jarr-jari Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Beberapa kemungkinan untuk jari-jari r : 1.

Jika

1 2 1 2 A  B  C > 0, maka lingkaran itu real 4 4

2.

Jika

1 2 1 2 A  B  C = 0, maka lingkaran itu berupa titik 4 4

3.

Jika

1 2 1 2 A  B  C < 0, maka lingkaran itu imajiner. artinya pusatnya ada dan nyata, tetapi 4 4

lingkaran itu hayal karena r2 negatif sehingga tidak ada titik real

Peninjauan persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 : 1. Jika A = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + By + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu Y atau P (0, - ½ B) 2. Jika B = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + Ax + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu X atau P (- ½ A, 0) 3. Jika C = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + Ax + By = 0, sehingga lingkaran melalui (0, 0)

Contoh 7: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dengan r = 10 ! Penyelesaian : (x – a)2 + (y – b)2 = r2, pusat (1,2), r = 10

 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 102 x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 100 x2 + y2 – 2x – 4y – 5 – 100 = 0

 Persamaan lingkaran  x2 + y2 – 2x – 4y – 5 – 100 = 0


3.4.PERSAMAAN PARAMETER LINGKARAN 1.

Persamaan parameter lingkaran x2 + y2 = r2

 = sudut yang dibetuk terhadap sumbu x Sb. Y

OP = r = jari-jari lingkaran x2 + y2 = r2

x  cos   x = r cos  r

P(-x,y)

y  sin   y = r sin  r

r y P1

 -x

Sb. X

 x = r cos 

Persamaan Parameter 2 2 2 lingkaran x + y = r

y = r sin 

2.

Persamaan Parameter Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Sb. Y

PR = x – a QR = y – b Q(x,y)

y



y – b = r sin

r sin θ

T



 x = a + r cos 

r cos 

P(a,b)

x – a = r cos 

y = b + r sin

Sb. X

x



Persamaan Parameter lingkaran

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

3.5.HUBUNGAN GARIS DAN LINGKARAN D<0

Kedudukan sebah garis lingkaran ada 3

D>0

kemungkinan : D=0

0

1.

Memotong, D > 0

2.

Menyinggung, D = 0

3.

Tidak memotong, D < 0

Persamaan umum garis lurus : y = mx + n .......................(i) Persamaan Lingkaran : x2 + y2 = r2 ................................(ii)

By : Turmudi



32


Subs. (ii)  (i) x2 + (mx + n) 2

= r2

x2 + m2x2 + 2mnx + n2 - r2 2

2

2

=0 2

(1 + m ) x +2mnx + (n - r ) = 0 Sehingga : D = (2mn)2 - 4 (1 + m) (n - r2) Syarat : D = 0, garis menyinggung lingkaran D > 0, garis memotong lingkaran D < 0, garis tidak memotong lingkaran

3.6.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN 1.

Persamaan Garis Singgung P(x1,y1) pada Lingkaran dengan Pusat O (x2 + y2 = r) Sb. Y

Misal : garis g menyinggung  di titik P(x1,y1) OP  g

P(x1y1)

syarat mOP

mOP = tg



mOP = 

y1 x1

g

mOP  mg  1 mg = -

y1

x1 y1

Sb. X

y – y1 = mg ( x – x1 )

x1 g

y – y1 = 

x1 (x – x1 ) y1

Persamaan garis singgung di

yy1 – y12 = – xx1 + x12

titik P(x1, y1) dengan pusat O

xx1 + yy1 = x12 + y12 xx1 + yy1 = r2

Persamaan Garis Singgung di P(x1, y1) pada  Berpusat (a, b) Misalkan g menyinggung  di titik P(x, y)

Sb. Y

OP  g mOP =

P(x1,y1) y1 - b

2.

y1 a

(a,b)

x1 - a

y1  b x1  a

mOP  g Sb. X

mOP  mg  1

b

mg = x1

x1  a y1  b


y – y1 =

x1  a (x –x1) y1  b

(y – y1) (y1 - b) = (x1 – a) (x – x1) dengan menguraikan sendiri akan diperoleh xx1 – ax + ax1 + a2 + yy1 – by – by1 + b2 = x12 - 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 ( x - a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

Persamaan garis singgung di P(x1, y1) pada  (x –a)2 + (y - b)2 = r2

Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

 x1x + y1y + 12 A(x + x1) + 12 B(y + y1) + C = 0 3.

Persamaan Gari Singgung dengan Gradien m Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m Sb. Y

y = mx + n ……………….….(1) x2 + y2 = r2 ……………….….(2) x2 + y2 = r2 x2 + (mx + n)2 = r2

Sb. X

x2 +m2x2 +2mnx + n2 = r2 (1+ m2)x2 + 2mnx + ( n2 – r2) = 0 ….….(3)

syarat menyinggung D = 0

b2 – 4ac = 0 (2mn)2 – 4 (1 + m2) . (n2 – r2) = 0 4m2n2 – 4 (n2 – r2 + m2n2 – m2r2) = 0 2m2n2 – 4n2 + 4r2 – 4m2n2 + 4m2n2 = 0 -4n2 + 4r2 + 4m2r2 = 0

:4

2

- n + r2 + m2n2 = 0 n2 = r2 + m2r2 n2 = r2 (1 + m2) n= 

Sehingga :

r 2 .(1  m 2 )  m =  r

y = mx  r (1  m 2 )

(1  m 2 )

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m

Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran(x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah y – b = m (x – a)  r

By : Turmudi

(1  m 2 )



34


Contoh 8 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang a)

Ber-absis – 4

b) Ber-ordinat 4 Penyelesaian : a)

Ber-absis – 4 x = – 4 memenuhi x2 + y2 = 25

 (– 4)2 + y2 = 25 16 + y2 = 25 y=  9 y= 3

 Persamaan garis singgung pada  x2 + y2 = 25 adalah xx1 + yy1 = r2 yaitu,   4 x  3 y  25 dan  4 x  3 y  25 b) Ber-ordinat 4 y = 4 memenuhi x2 + y2 = 25

 x2 + (4)2 = 25 x2 + 16 = 25 x2 = 9 x= 3

 Persamaan garis singgung pada  x2 + y2 = 25 adalah xx1 + yy1 = r2 yaitu,   3x  4 y  25 dan  3x  4 y  25 3.7. PERSAMAAN GARIS KUTUB (GARIS POLAR) Jika titik P(xo , yo) di luar lingkaran x2 + y2 = 0 , maka dapat ditarik dua garis singgung melalui titik- titik S1 (x1 , y1) dan S2 (x2 , y2) Kedua persamaan garis singgung itu adalah

S2 S1

S PS 1 : x1x + y1y = r2 S PS 1 : x2x +y2y = r2 karena kedua garis singgung tersebut melalui titik P(x0, y0) maka berlaku bahwa

O

S PS 1 : x1x0 +y1y0 = r2 dan S PS 2 : x2x0 + y2y0 = r2

Dari dua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik S1 dan S2 memenuhi persamaan :

x0x + y0y = r2

Dan berarti juga bahwa persamaan garis itu melalui titik singgung S1 dan S2, hal itu biasa disebut tali busur singgung dari titik P.


36

Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya sama dengan persamaan garis singgung, jika titik P sebagai titik singgungnya. Tanpa memperhatikan letak titik P, di dalam, di luar, atau pada lingkaran, maka persamaan x0x+ y0y = r2 dinamakan persamaan garis kutub di P(x0, y0) terhadap lingkaran x2 + y2 =r2 Analog (dengan cara yang mirip / sama), maka kita dapat menentukan persamaan garis kutub (garis polar) titik P(x0 ,y0) terhadap lingkaran (x – a)2 (y – b)2 = r2 Yaitu : (x0 – a) ( x - a) + (y0 – b) (y – b) = r2 Sedangkan persamaan garis kutub di titik P(x0, y0) terhadap lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

1

x0x + y0y + 1 A(x + x0) + B(y + y0) + C = 0 2 2

yaitu:

Dari penyelesaian dengan menggunakan rumus-rumus di atas, dapat disimpulkan bahwa : 1.

Jika titik P diluar , maka garis kutubnya berupa tali busur singgung

2.

Jika titik P pada , maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran

3.

Jika titik P dalam , maka garis kutubnya tidak memotong

Contoh 9 : 2

2

1) Buatlah persamaan garis singgung dari titik (–1,–3) pada lingkaran x  y  4 x  8 y  20 ! Penyelesaian: 2

2

Dari  x  y  4 x  8 y  20 , diperoleh pusatnya 1   1 1  1    A, B     4, (8)  2   2 2  2 

 (2,4) dan

Jari-jari  :l r = =

1 4 1 4

A 2  14 B 2  C

16  14 64  20  40

Kita periksa dulu apakah titik (–1,–3) di luar, di dalam, atau pada lingkaran 2

12   3  4 1  8 3  20

 1  9  4  24  20  10  0 , berarti titik (–1,–3) diluar lingkaran, ini berakibat ada dua garis

singgung yang dapat ditaksir dari titik (–1,–3) segingga menyinggung lingkaran tersebut. Persamaan garis kutub dari titik (–1,–3)

 ( x  2)(1  2)  ( y  4)(3  4)  40 (x – 2) 1 + (y – 4) (-7) = 40 x + 2 – 7y + 28 – 40 = 0 x – 7y – 10 = 0 atau x = 7y + 10 x = 7y + 10 memotong pada lingkaran x 2  y 2  4 x  8 y  20

7 y  10 2  y 2  4(7 y  10)  8 y  20  0 y2 + 49y2 + 140y + 100 + 28y + 40 – 8y – 20 = 0 50y2 + 160y + 120 = 0 By : Turmudi




5y2 + 16y + 12 = 0 (5y + 6) (y + 2) = 0 y=  untuk y = 

6 atau y = – 2 5

6  x = 7y + 10 5

 6  + 10  5

= 7

= 

=

42 + 10 5

8 6   S1  ,   5 5

8 5

Untuk y = – 2  x = 7y + 10 = 7 (-2) + 10 = -14 + 10 = -4

  S2  4,2   8 , 6  adalah   5 5

Jadi persamaan garis singgung yang melalui S1 

 (x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r2 8   6    x  2  2    y  4   4   40 5 5    



18 36 26 104 x  y  40  0 5 5 5 5



19x – 26y + 36 + 104 – 200 = 0 9x – 13y – 30 = 0

Persamaan garis singgung yang melalui S2  4,2 

 (x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r2 

(x + 2) (- 4 + 2) + (y – 4) (-2 – 4) = 40



(x + 2) (-2) + (y – 4) (-6) = 40 - 2x – 4 – 6y + 24 – 40 = 0 - 2x – 6y – 20 = 0 x + 3y + 10 = 0

x (-1/2)


38

2) Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang melalui titik (5,1) ! Penyelesaian : Kita periksa dulu apakah titik (5,1) di luar, di dalam atau pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

 52 + 12 – 4 (5) + 6 (1) – 12 = 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0, berarti titik (5,1) pada  Jadi, garis kutub = garis singgung lingkaran itu sendiri, yaitu ; x1x + y1y +

5x + y +

1 1 A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0 2 2

1 1 (-4)(x+5) + (6) (y +1) – 12 = 0 2 2  5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0 3x + 4y – 19 = 0

3) Tentukan persamaan garis kutub titik P(–1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong ! Penyelesaian: Persamaan garis kutubnya :

x0 x  y 0 y 

1 1 A x  x0   B y  y 0   C  0 2 2

1 1  1x  3 y  (2)( x  1)  (6)( y  3)  20  0 2 2

 1x  (1) x  3 y (3 y )  1  9  20  0  2 x  28  0 x  14  0 Untuk menyelidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memoyong , cukup dengan P(–1,3),

2

2

2

  1  3  2 1  6(3)  20  1  9  2  18  20  26  0

 Titik P(–1,3)  di dalam lingkaran, berati garis kutub tidak memotong lingkaran itu

By : Turmudi




4) Jika diketahui garis kutubnya terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y + 5 = 0 adalah x  2 y  12  0 . Tentukan titik kutubnya! Penyelesaian : Misalkan titik kutubnya  x1 , y1  , maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah :

x1 x  y1 y 

1 1 A x  x1   B y  y1   C  0 2 2

x1 x  y1 y   2 x  x1   3 y  y1   5  0

x,2x   y1  3y  2 x1  3 y1  5  0 Garis yang diperoleh ini berhimpit dengan garis x  2 y  12  0 , sehingga

x1 y1  3  2 x1  3 y1  5   atau 1 2 12 2 x1  4  y1  3  12 x1  24  2 x1  3 y1  5

2 x1  y1  7

 3 6 x1  3 y1  21 14 x1  3 y1  29  1 12 x1  3 y1  29

8 x1  8  x1  1 2 x1  y1  7  2(1)  y1  7 y1  5

 Titik kutub yang di cari adalah (1,5)

* KUASA DAN PANJANG GARIS SINGGUNG Harga hasil kali yang tetap disebut kuasa titik P Sb. Y

terhadap  M, 2

AA B2

B1

PP(x1,y1) C1

C2

2

Yaitu : PA = PM – AM

M(a,b) D1

O

2

= (x1 – a)2 + (y1 – b )2 – r2

PA 2 = K  K = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2

Sb. Y D2

K , atau jika persamaan lingkarannya x2 + y2 +Ax + By + C = 0, maka kuasa titik

Jadi panjang PA =

P(x1, y1) terhadap  itu adalah hasil yang tetap yaitu ; 2

PA = PC1 . PC 2





= PM  r ) PM  r )


40

2

= PM - r2 = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2 Ingat : a = -

b=-

1 A 2

r2 =

1 B 2

2

PA  K = (x1 +

1 2 1 2 A + B –C 4 4

Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan 2 2 lingkaran x + y +Ax + By + C = 0

1 2 1 A) + (y1 + B)2 – r2 2 2

= x12 + y12 + Ax1 + By1 + C Jadi kuasa titik P(x1, y1) pada  x2 + y2 +Ax + By + C = 0 adalah x12 + y12 + Ax1 + By1 + C dan panjang garis singgungnya PA =

K

Catatan : 1. Jika titik P di luar lingkaran, maka harga K positif (K > 0) 2. Jika titik P pada lingkaran, maka K = 0 3. Jika P di dalam lingkaran, maka K < 0 (K negatif)

Contoh 10 : 1) Tentukan garis kuasa dan panjang dari titik P(2,1) pada lingkaran: x2 + y2 – 2x + 4y + 1= 0 penyelesaian K = x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 22 + 12 – 2 (2) + 4 (1)+ 1 = 5 – 4 +5 =6 Panjangnya P =

6

2) Tentukan kuasa dan panjangnya dari titik A(–1,4) pada lingkaran yang berpusat (2,–1) dan jari-jari 5! Penyelesaian Kuasa titik P(–1,4) terhadap 

x  22   y  12  5 2 2

adalah

2

K =  x  2   y  1  25 2

2

=  1  2   4  1  25 = 9 + 25 – 25 =9

 panjangnya = 3 By : Turmudi




* GARIS KUASA Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik yang berkuasa sama terhadap dua lingkaran. Dengan demikian ada beberapa kemungkinan : 1.

Jika kedua lingkaran itu berpotongan, maka garis kuasanya ialah garis yang melalui kedua titik potong lingkaran itu

MN = garis sentral  K

K

A

= garis kuasa terhadap  M dan  N

MN selalu  terhadap garis kuasa K M

N

K

Definisi : a)

Sudut antara dua lingkaran yang di apit oleh garis-garis pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu. Jika

  90 atau kedua lingkaran saling  , maka berlaku  MNA siku-siku di A,

2

sehingga MN = rM 2 + rN 2 b) Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lain sedemikian hingga menjadi dua busur yang sama,  M 2

2

2

membagi dua  N, maka  MNA siku-siku di N, sehingga berlaku MN = rM - rN

45

A

o

M

N

K

2.

Jika lingkaran itu bersinggungan maka garis kuasanya adalah garis singgung persekutuan antara dua lingkaran itu. a)

MN = RM + RN

K

MN = Garis sentral N

R r

M

Garis kuasa M dan N adalah garis singgung persekutuan dua lingkaran M dan lingkaran N


b) K

MN = RM - rN

Nr

M

MN = Garis sentral

R

Contoh 11 1

2

2

Tentukan nilai K, agar  x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0 membagi dua sama besar  x  ( y  1)  4! Penyelesaian :  x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0, berpusat di M(2,-3) dengan rM  13  k 2

2

 x (y1) 4, berpusat di N(0,1), dengan jari-jari rN = 2 Sehingga berlaku MN (2 – 0)2 + (– 3 – 1) 2 =

2

2

 rM  rN

 13  k 

2

2

- 22

4 + 16 = 13 + k – 4 K = - 13 + 4 + 20 = 11 2.

Tentukanlah nilai K agar  x2 + y2 – 2x + 4y – k = 0 agar saling tegak lurus dengan 

x  2 2  y 2  9 dan tentukan pula persamaan garis kedua lingkaran itu ! Penyelesaian : x2 + y2 – 2x + 4y – k = 0, berpusat di M(1,–2)  rm 

5 K

x  2 2  y 2  9 , berpuast di N(2,0), r = 3 Karena

2

  90 0 atau kedua  itu saling  , maka MN  rM 2  rN 2

(1  2) 2  (2  0) 2 



5 K



2

 32

1+4=5+K+9 K = 5 – 14 = –9 Persamaan garis sentral MN 

y  y1 x  x2  y 2  y1 x1  x1

 y  2x  4

By : Turmudi



42


3.8. PERSAMAAN GARIS KUASA Ambil persamaan M  x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 N  x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 misal P(x1, y1) pada garis kuasa, kuasa P terhadap : Lingkaran M  k1  x12 + y12 + A1x1 + B1y1 + C1 Lingkaran N  k2  x22 + y22 + A2x2 + B2y2 + C2

 P pada garis kuasa (berkuasa sama pada lingkaran M dan N) K1 = K2 K1 – K2 = 0 x12

2

2

+ A1x1 + B1y1 + C1 – x2 + y2 + A2x2 + B2y2 + C2 = 0 (A1 – A2)x1 + (B1 – B2)y1 + (C1 – C2) = 0 atau (A2 - A1)x + (B2 – B1)y + (C2 – C1) = 0

Secara simbolik lingkaran M kita misalkan L1 = 0, lingkaran N misalkan L2 = 0, maka persamaan garis kuasa itu : L1 – L2 = 0 Sifat garis kuasa : Garis kuasa tegak lurus terhadap sentral dari dua lingkaran itu. Contoh 12 Tentukan garis kuasa kedua lingkaran x2 + y2 = 25 dan x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0 Penyelesaian: L1 – L2 = 0  L1 = L2 x2 + y2 – 25 = x2 + y2 – 6x – 8y – 11 6x + 8y – 14 = 0 3x + 4y – 7 = 0

TITIK KUASA Titik kuasa adalah titik yang berkuasa sama besar terhadap 3 buah lingkaran, jadi titik kuasa dari 3 buah lingkaran adalah titik potong dari garis-garis kuasa pada pasang-pasangan lingkaran itu. Cara melukis garis kuasa antara dua lingkaran yang terletak diluar sesamanya : 

k1

Ambil sembarang lingkaran P memotong lingkaran M dititik A dan B dan memotong lingkaran N dititik C dan D



Tarik garis K1 = lingkaran M dan lingkaran P

B

D



M

P

N

P A

k2

Tarik garis K3 = lingkaran N dan lingkaran

K2 dan K3 berpotongsn dititik K( yaitu titik C

kuasa ) yang berarti titik K terletak pada garis kuasa

k3

lingkaran M dan N. Garis K1 yang melalui K dan tegak lurus MN adalah garis kuasa lingkaran N.


44

3.9.BERKAS LINGKARAN Seperti halnya garis : g1 +

 g2 = 0

 berkas lingkaran berlaku demikian, Misal : L1  x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 …..........................................(i) L2  x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 .…......................................(ii) Misal kita ambil sembarang harga

 L1 +  L2 = 0 x2 + y2 + A1x + B1y + C1+

 ( x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0

L3 = (1 + )x2 + (A1 + A2) x + (B1 + B2)y + C1 + C2 = 0 x2 + y2 + L3

A1  A2 B  B2 C  C2 x 1 y 1  0 ………..(iii) 1  1  1 

 x2 + y2 + A3x + B3y + C3 = 0 …….....………....……….........…(iv)

Pada persamaan (iii) setiap harga diperoleh satu harga yang dapat dimisalkan A3, B3, C3 sehingga diperoleh persamaan (iv). Persamaan (iv) merupakan hasil perpotongan antara L1 (A) = 0, L2(A) = 0 atau L1(B) = 0, L2(B) = 0. Dengan kata lain, semua lingkaran yang diperoleh bersama-bersama dengan L1 = 0 dan L2 = 0 membentuk berkas lingkaran dengan rumus :

L1 + L2 = 0 Catatan : Kemungkinan-kemungkinan untuk titik-titik dasar : 1.

Jika titik dasar itu nyata maka semua anggota berkas berpotongan di titik itu. Anggota-berkas yang terkecil adalah lingkaran yang berdiameter garis hubung kedua titik dasar.

2.

Jika kedua titik dasar berimpit tentulah semua anggota dari berkas juga melalui dua titik yang berimpit itu dengan kata lain semua anggota berkas yang bersinggung di titik dasar berimpit itu

3.

Jika titik dasarnya khayal (lingkaran L1 dan L2 tidak bersinggungan) tentu semua anggota berkas itu tidak berpotongan.

Sifat berkas lingkaran : Semua anggota berkas selalu melalui titik dasar membentuk pusat dari anggotaanggota berkas terletak pada sentral. Contoh 13 : Tentukan persamaan sebuah berkas lingkaran dengan L1 L2

 x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan

 x2 + y2 – 16 = 0, yang melalui titik (3,1) !

Penyelesaian : x2 + y2 +

By : Turmudi

A1  A2 B  B2 C  C2 x 1 y 1 0 1  1  1  E-mail : [email protected]



x2 + y2 +

20 40 (4  16) x y 0 1  1  1 

x2 + y2 

2 4 (4  16) x y 0 1  1  1 

Karena melalui (3,1), maka : (3)2 + (2)2 

2 4 (4  16) 3 1 0 1  1  1  10  + 10 – 6 + 4 – (4 + 16) = 0 10  - 14 – 16 = 0 10  - 12 = 0

L3

6 12 44  x2 + y2  x + y  =0 5 5 5

L3

 5x2 + 5y2  6 x + 12 y  44 = 0



12 10



6 5


46

3.10. LATIHAN III 1.

Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi syarat berikut : a)

Berpusat di titik A(-2,3) dan jari-jari 2 !

b) Melalui titik-titik P(1,3) dan Q(3,1) dan berpusat pada garis 3x – y = 2 ! 2.

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 !

3.

Tentukan persamaan lingkaran melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, dengan a)

A(4,5), B(1,-4), dan C(3,-2) !

b) A(1,1), B(2,0), dan C(1,-1) ! 4.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di M(1,6) mempunyai persamaan garis singgung x - y = 1!

5.

Tentukan harga m agar garis y = mx dan lingkaran x2 + y2 – 10x + 16 = 0 a)

Berpotongan di dua titik

b) Bersinggungan c) 6.

Tidak berpotongan

Tentukan : Kuasa titik A(1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 – x = 0 !

a)

b) Letak titik A(1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 = x ! 7.

Tentukan sudut antara dua lingkaran x2 + y2 – 6x – 2y + 2 = 0 dan x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 !

8.

Tentukan persamaan sebuah garis yang melalui perpotongan lingkaran L1

 x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0, dan

L2

 x2 + y2 - 4x – 2y - 11 = 0 serta :

a)

Melalui titik (0,1)

b) Sejajar dengan garis x + 3y + 2 = 0 ! c)

Tegak lurus dengan garis y = m – 1 !

d) Berpusat pada garis x + y = 0 ! 9.

Diketahui A(2,3), B(0,-1), dan C(3,0). Tentukanlah : a)

Persamaan lingkaran luar  ABC itu !

b) Titik pusat lingkaran luar  ABC itu ! c)

By : Turmudi

Jari-jari lingkaran tersebut !



PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Recommend Documents