Solusi dan Penyelesaian
Persamaan Lingkaran # Ralat Soal --- tidak ada ---
Bagian A Solusi Solusi 1. (a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 13 (b) 𝑥 2 + 𝑦 2 =
1 5
Solusi 6. (a) 𝑚 = 8 (b) 𝑚 = ±2 (c*) 𝑚 = 1 (d*) 𝑚 > −10
Solusi 2. (a) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 (b*) tidak ada persamaan lingkaran yang memenuhi
Solusi 7. (a) pada keliling lingkaran (b) di luar lingkaran (c) di dalam lingkaran
Solusi 3. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25
Solusi 8. (a)
Solusi 4. (a) pusat : (−1,1); jari-jari = 1
Solusi 9*. (a) 1 (b) 2
1
1
3√2
2
2
2
(b*) pusat : ( , − ); jari-jari =
3√74 2
−
7√2 2
. (b*) 0
Solusi 10. (a) 𝑝 = 0 ⋁ 𝑝 = −4 (b*) 𝑝 <
18 5
Solusi 5*. (a) Tidak, karena jari-jarinya bukan bilangan real. ( 𝑟 2 = −1 → 𝑟 = √−1 ) (b) Tidak, karena jari-jarinya bukan bilangan positif. ( 𝑟2 = 0 → 𝑟 = 0 ) 3 7
(c) Iya, pusat : (− , ). 2 2
Bagian B Penyelesaian Penyelesaian 2b. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2,1) adalah (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 𝑟 2 . Selanjutnya, perhatikan bahwa jari-jari dari lingkaran ini adalah jarak dari (2,1) (titik pusatnya) dan garis 𝑦 = 1, yang mana bentuknya sama dengan 𝑦 − 1 = 0. 0×2+1×1−1 𝑟=| |=0 √02 + 12 Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran tidak mungkin 0, jadi tidak ada persamaan lingkaran yang memenuhi kondisi pada soal.
Mathematics is not just solving for x, it’s also figuring out (wh)y.
1
Penyelesaian 4b. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0 𝑥 2 + 𝑦2 − 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 𝑥 2 − 𝑥 + 𝑦2 + 𝑦 = 4 1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
2
1 2
1 2
1 2
2 1 2
2
2
2
2
1 2
1 2
9
2
2
2
𝑥 2 − 𝑥 + (− ) + 𝑦 2 + 𝑦 + ( ) = 4 + (− ) + ( ) (𝑥 − ) + (𝑦 + ) = 4 + (− ) + ( ) (𝑥 − ) + (𝑦 + ) =
𝟏
𝟏
9
3
𝟐
𝟐
2
√2
Dari bentuk di atas, diperoleh letak pusat lingkaran adalah ( , − ) dan jari-jarinya √ =
=
𝟑√𝟐 𝟐
.
Penyelesaian 5a. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 2 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 2 = 0 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 = −2 2 2
2 2
2
2
𝑥 2 + 2𝑥 + ( ) + 𝑦 2 = −2 + ( ) (𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 = −1
Dari bentuk di atas, diperoleh 𝑟 2 = −1 yang berarti 𝑟 = √−1. Perhatikan bahwa √−1 bukan bilangan real, padahal jari-jari lingkaran haruslah bilangan real. Karena jari-jarinya bukan bilangan real, bentuk 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 2 = 0 bukan persamaan lingkaran. Penyelesaian 5b. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑦 = −13 4 2
6 2
4 2
6 2
2
2
2
2
𝑥 2 + 4𝑥 + ( ) + 𝑦 2 − 6𝑦 + (− ) = −13 + ( ) + (− ) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 0
Dari bentuk di atas, diperoleh 𝑟 = 0. Perhatikan. Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran tidak mungkin 0. Karena jari-jarinya bukan bilangan positif, bentuk 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0 bukan persamaan lingkaran. (Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 5a.)
Mathematics is not just solving for x, it’s also figuring out (wh)y.
2
Penyelesaian 5c. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 − 7𝑦 + 3𝑥 = −10, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 7𝑦 + 3𝑥 = −10 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑦 2 − 7𝑦 = −10 3 2
7 2
3 2
7 2
2
2
𝑥 2 + 3𝑥 + ( ) + 𝑦 2 − 7𝑦 + (− ) = −10 + ( ) + (− ) 2
3 2
2 7 2
9
2
2
2
(𝑥 + ) + (𝑦 − ) =
Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa bentuk 𝑥 2 + 𝑦 2 − 7𝑦 + 3𝑥 = −10 adalah persamaan 3 7
lingkaran yang pusatnya terletak di titik (− , ). 2 2
(Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 5a dan Soal 5b.)
Penyelesaian 6c. Supaya bentuk 𝑥 2 + 𝑚𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 = 2 adalah persamaan lingkaran, maka koefisien 𝑥 2 dan 𝑦 2 haruslah sama. Diperoleh 𝑚 = 1. Selanjutnya akan dibuktikan apakah bentuk 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 = 2 adalah persamaan lingkaran atau bukan. Dengan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh bahwa jari-jari lingkaran dengan persamaan itu adalah 2. Sehingga nilai 𝒎 = 𝟏 benar. (Catatan : Pembuktikan apakah bentuk 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐 adalah persamaan lingkaran atau bukan diserahkan kepada pembaca.)
Penyelesaian 6d. Supaya bentuk 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 = 𝑚 adalah persamaan lingkaran, maka jari-jarinya haruslah bilangan positif. 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 = 𝑚 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 = 2 2
2
2
𝑚
2
2 𝑚
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = Dari bentuk di atas, diperoleh 𝑟 2 =
2
4 2
𝑥 − 2𝑥 + (− ) + 𝑦 − 4𝑦 + (− ) = 2
2 𝑚
𝑚 2
2
2 2
4 2
2
2
+ (− ) + (− ) +5
+ 5. Perhatikan bahwa nilai 𝑟 2 harus lebih besar dari nol, jadi
diperoleh 𝑚 2
+5 >0
𝑚 + 10 > 0 𝑚 > −10 Jadi, 𝒎 > −10.
Mathematics is not just solving for x, it’s also figuring out (wh)y.
3
Penyelesaian 8b. 1 1
Untuk menghitung jarak antara titik (− , ) dan lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑥 + 7𝑦 = 6, 2 2
pertama hitung jarak antara titik tersebut ke pusat lingkaran, lalu dikurangi jari-jari lingkarannya. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑥 + 7𝑦 = 6, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑥 + 7𝑦 = 6 𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑦 2 + 7𝑦 = 6 5 2
7 2
5 2
7 2
2
2
2
2
𝑥 2 + 3𝑥 + ( ) + 𝑦 2 − 7𝑦 + ( ) = 6 + ( ) + ( ) 5 2
7 2
98
2
2
4
(𝑥 + ) + (𝑦 + ) =
5
7
98
2
2
4
Dari bentuk di atas diperoleh titik pusat lingkaran terletak di (− , − ) dan jari-jarinya √ 1 1
5
7
5
1
2 2
2
2
2
2
2
7
1 2
2
2
=
7√2 2
.
Jarak antara titik (− , ) dan (− , − ) adalah √(− − (− )) + (− − ) = 2√5. Karena 2√5 <
7√2 2
,
1 1
yang berarti jarak titik (− , ) dengan pusat lingkaran lebih kecil daripada jari-jari lingkaran, dapat 2 2 1 1
1 1
2 2
2 2
disimpulkan bahwa titik (− , ) berada di dalam lingkaran. Jadi, jarak titik (− , ) dengan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑥 + 7𝑦 = 6 adalah 0. Banyaknya Titik Potong yang Terbentuk oleh 1 Garis dan 1 Lingkaran
Gambar : www.teknosains.com
Pada gambar (i), garis k tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 0. Pada gambar (ii), garis l menyinggung lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 1 (titik A). Pada gambar (iii), garis m memotong lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 2 (titik B dan C).
Penyelesaian 9a. Substitusikan 𝑦 = −𝑥 ke persamaan lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2. (𝑥 − 1)2 + (−𝑥 − 1)2 = 2 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 2 2𝑥 2 = 0 Dari persamaan di atas, diperoleh nilai 𝑎 = 2, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0. Selanjutnya, masukkan bilangan-bilangan ini ke rumus diskriminan. 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 02 − 4.2.0 =0 Karena 𝐷 = 0 maka garis 𝑦 = −𝑥 menyinggung lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 1.
Mathematics is not just solving for x, it’s also figuring out (wh)y.
4
Penyelesaian 9b. Substitusikan 𝑥 = 0 ke persamaan lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2. (0 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 1 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = 2 𝑦 2 − 2𝑦 = 0 Dari persamaan di atas, diperoleh nilai 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 0. Selanjutnya, masukkan bilangan-bilangan ini ke rumus diskriminan. 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−2)2 − 4.1.0 =4>0 Karena 𝐷 > 0 maka garis 𝑦 = −𝑥 memotong lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 2. (Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 9a.)
Penyelesaian 10b. Substitusikan garis 3𝑥 − 𝑦 = 6 yang sama dengan 𝑦 = 3𝑥 + 6 ke persamaan lingkaran𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑝. 𝑥 2 + (3𝑥 − 6)2 = 𝑝 2 2 𝑥 + 9𝑥 − 36𝑥 + 36 − 𝑝 = 0 10𝑥 2 − 36𝑥 + (36 − 𝑝) = 0 Dari persamaan di atas diperoleh nilai 𝑎 = 10, 𝑏 = −36, 𝑐 = 36 − 𝑝. Agar garis 3𝑥 − 𝑦 = 6 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑝, maka nilai 𝐷 haruslah kurang dari 0. 𝐷= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 2 (−36) − 4.10. (36 − 𝑝) < 0 1296 − 1440 + 40𝑝 < 0 40𝑝 < 144 𝑝< Jadi, 𝒑 <
𝟏𝟖 𝟓
18 5
.
Mathematics is not just solving for x, it’s also figuring out (wh)y.
5
