Laboratorní úloha Snímač teploty R2 je zapojený podle schema na Obr. 1. Snímač je termistor typ B57164K [2] se jmenovitým odporem pro teplotu 25 °C R25 = 2200 Ω ± 10 %. Závislost odporu termistoru na teplotě je nelineární a je dána charakteristikou No. 1013 v příloze. Zapojení je napájeno z 9 V stabilizovaného spínaného zdroje typ RQT666K [3]. Měřené výstupní napětí U1 je závislé na teplotě a je měřené multimetrem typ MT-1232 [4] na rozsahu 400 mV DC. Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kΩ je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%.
Obr. 1 - schema zapojení teplotního snímače
Úkoly a) Určete nejistotu typu A měření výstupního napětí U1. b) Určete nejistotu typu B měření teploty uT za uvažování následujících zdrojů nejistot (pro tento výpočet uvažujte teplotu v laboratoři jako přesně 25 °C): - nejistotu způsobenou změnou napětí napájecího zdroje U0 = uu0 - nejistotu způsobenou tolerancí rezistoru R1 = uR1 - nejistotu způsobenou vlastnostmi měřícího přístroje c) V závěru zhodnoťte jaké další zdroje nejistot by mohly být uvažovány pro zpřesnění výsledku
Řešení a) nejistota typu A Nejistota typu A je získána opakováním experimentu za stejných podmínek a následným statistickým vyhodnocením. Důležitá poznámka: Je opravdu nutné opakovat celý experiment. Vypněte a zapněte napájecí zdroj nebo použijte vypínač na přípravku. Pouhé odečtení několika po sobě následujících hodnot na multimetru bez zopakování celého experimentu je nedostatečné Tab. 3 – měřené a vypočtené údaje i U2 (mV)
1
2
3
4
5
6
7
8
Σ
Aritmetický průměr n
x=
∑x i =1
i
=
n
mV
(1)
Odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru = nejistota typu A
∑ (x − x ) n
u A = sx =
sx = n
2
i =1
i
n(n − 1)
=
=
mV
(2)
Protože experiment opakujeme pouze 8x, je třeba vypočtený interval rozšířit => vypočítat korigovanou nejistotu typu A. Jinak řečeno, při opakování experimentu pouze 3x je získaný interval správný s menší pravděpodobností, než když budeme měření opakovat 10x. Hodnoty korekčního koeficientu jsou dané tabulkou Studentova t-rozdělení pravděpodobnosti pro zvolenou úroveň spolehlivosti. Protože budeme výsledek zapisovat ve tvaru: nejlepší odhad(průměr) ± nejistota, budeme z tabulky rozdělení brát jenom polovinu intervalu. Tyto hodnoty jsou přímo uvedené v Tab. 4. Pokud bychom zapisovali výsledek ve tvaru: odhad , nejistoty, použili by jsme celou hodnotu z tabulky t-rozdělení. Tab. 4 – korekční koeficient pro normální rozdělení a p= 95,45 % (zaokrouhleno)
i (počet měření) k (korekční koeficient)
100
25
10
9
8
1,0
1,1
1,2
1,2
1,2 1,3 1,3 1,4 1,7 2,3 7,0
Korigovaná nejistota typu A je u AK = k ⋅ u A =
7
mV
6
5
4
3
2
(3)
b) nejistota typu B - nejistota uU0 způsobená změnou napětí napájecího zdroje Z údajů výrobce na Obr. 3 je možné vyčíst, že výstupní napětí napájecího zdroje U0 je v rozsahu 9,15 V ± 0,15 V pro nezatížený napájecí zdroj. Tento předpoklad můžeme považovat za splněný, protože odběr ze zdroje je kolem 120 µA (zjištěno měřením). Za předpokladu známé velikosti intervalu ∆ můžeme vypočítat standardní nejistotu podle vztahu ∆ (4) uU 0 = k Kde ∆ je polovina daného intervalu mezi horní a dolní mezí a k je dělitel závislý na rozložení pravděpodobnosti veličiny (rovnoměrné, normální, trojúhelníkové, …). Jeho hodnota je v Tab. 5 Tab. 5 – dělitelé pro vybrané rozložení pravděpodobnosti
Rozložení pravděpodobnosti dělitel k
Rovnoměrné Normální (pro (Gaussovo) pro 2σ pravděpodobnost (95,45 %) 57.74 %) 2 3
Urozložení
trojúhelníkové
2
6
Za předpokladu normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti výstupního napětí napájecího zdroje je nejistota jím způsobená: u B1 =
mV
(5)
- nejistota uR2 způsobená nejistotou uU0 napájecího napětí U0, nejistotou měření napětí U1 a tolerancí rezistoru R1 Pro výpočet této nejistoty je nejprve nutná jednoduchá analýza zapojení obvodu. Výstupní napětí zapojení U1 je závislé na hodnotách R1, R2 a U0. U 1 = f (U 0, R1, R 2)
Jedná se o odporový dělič, z analýzy obvodů je známo, že R2 U1 U1 = ⋅U 0 ⇒ R 2 = R1 R 2 + R1 U 0 − U1
(6)
(7)
Musíme proto určit jednotlivé složky nejistoty způsobené změnou U0, U1 a R1. - nejistota uU0 způsobená změnou napětí napájecího zdroje U0 Byla vypočtena v předchozím bodu uU 0 = mV - nejistota způsobená tolerancí rezistoru R1 = uR1 R1 = 270 kΩ ± 0,1 % => ∆ R1 = R1 ⋅ 0,1% / 100 = ± 0,27 kΩ . Za předpokladu normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti veličiny pro 2σ platí
u R1 =
∆ R1 = k
Ω
(8)
- Nejistota uU1 měření napětí U1 způsobená vlastnostmi přístroje Ve specifikaci výrobce voltmetru na Obr. 5 a Obr. 6 zjistíme, že pro použitý rozsah 400 mV platí pro přesnost ±(0,5 % změřené hodnoty + 4 digity), rozlišení 100 µV. Za předpokladu největšího napětí 400 mV dostaneme ±(0,5 % změřené hodnoty + 4 digity) = ± (0,5 % of reading + 4 digits) = ± ( 0,5 % x 400 mV + 4x100 µV) = ± 2,4 mV Za předpokladu normálního rozdělení je nejistota uU 1 =
accuracy = 2 3
(9)
- nejistota uB2 určení hodnoty odporu R2 Nejistota určení hodnoty odporu R2 je dána nejistotami všech proměnných v rovnici (7), tj. nejistotami U0, U1 a R1. V obecném případě lze vypočítat nejistotu proměnné dané funkčním vztahem f v závislosti na vstupních proměnných x1, x2, ..., xn pomocí zákona šíření pravděpodobnosti jako odmocninu součtu druhých mocnin parciálních derivací funkce f podle všech proměnných x1, x2, ..., xn vynásobených jmenovitou hodnotou příslušné nejistoty u x1 N , u x2 N ,..., u xnN 2
2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ u B = ⎜⎜ ⋅ u x1 N ⎟⎟ + ⎜⎜ ⋅ u x2 N ⎟⎟ + … + ⎜⎜ ⋅ u xnN ⎟⎟ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ ⎝ ∂xn ⎠
2
(10)
Poznámka 1.:Nejistoty měření se vždy sčítají. Pokud jedna nejistota je podstatně větší než ostatní, bude dominantní a žádné zlepšení ostatních nejistot nemůže celkovou nejistotu snížit. Bude nejslabším článkem celého řetězu. Jinak řečeno, celková nejistota je vždy větší než největší složka. Protože předpokládáme nekorelované veličiny, U 1 = f (U 0, R1, R 2) , nejistota je 2
2
⎛ ∂R 2 ⎞ ⎛ ∂R 2 ⎞ ⎛ ∂R 2 ⎞ uR 2 = ⎜ ⋅ uU 0 ⎟ + ⎜ ⋅ uU 1 ⎟ + ⎜ ⋅ u R1 ⎟ ⎝ ∂U 0 ⎠ ⎝ ∂U 1 ⎠ ⎝ ∂R1 ⎠
R2 =
U1 R1 U 0 − U1
2
(10)
(10)
− ( R1 ⋅ U 1) ∂R 2 ⋅ uU 0 = ⋅ uU 0 = 2 ∂U 0 (U 0 − U 1)
(10)
⎡ R1 ⋅ U 1 ∂R 2 R1 ⎤ ⋅ uU 1 = ⎢ + ⎥ ⋅ uU 1 = 2 ∂U 1 ⎢⎣ (U 0 − U 1) U 0 − U 1 ⎥⎦
(10)
∂R 2 U1 ⋅ u R1 = ⋅ u R1 = ∂R1 U 0 − U1
(10)
uR 2 =
(10)
Nejistota uR2 ukazuje nejistotu měření hodnoty odporu R2 způsobenou známými vlastnostmi obvodu. Pro přepočet na nejistotu měření teploty potřebujeme znát závislost odporu R2 na teplotě. Z údajů výrobce bylo odvozeno, že pro 10 °C až 50 °C je možné závislost aproximovat exponenciální funkcí
R 2 [ Ω] 6295 R 2 [ Ω ] = 6295 ⋅ e−0,0414⋅T [°C ] ⇒ T [°C ] = −0, 0414 ln
(10)
- Nejistota UR2TOL způsobená tolerance hodnoty R2 Rovnice (10) udává aproximovanou závislost jmenovité hodnoty R2 na teplotě. Výrobce udává její toleranci ± 10 %, kterou také musíme uvažovat při finálním výpočtu nejistoty měření teploty.
R2 = 2220 Ω ± 10 % => ∆ R 2 = R 2 ⋅10% /100 = ±220 Ω . Za předpokladu normálního rozdělení je nejistota ∆ uR 2TOL = R 2 = (10) k - Nejistota uT měření teploty Nejistota měření teploty T je dána nejistotou způsobenou vlastnostmi zapojení a tolerancí součástek 2
⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ uT = ⎜ ⋅ uR 2 ⎟ + ⎜ ⋅ u R 2TOL ⎟ ⎝ ∂R 2 ⎠ ⎝ ∂R 2 ⎠
∂T −5000 = ∂R 2 207 ⋅ R 2 ∂T −5000 ⋅ uR 2 = ⋅ uR 2 = ∂R 2 207 ⋅ R 2 ∂T −5000 ⋅ uR 2TOL = ⋅ u R 2TOL = ∂R 2 207 ⋅ R 2
uT =
2
(10)
(10) (10) (10)
(10)
Přílohy
Obr. 2 - Termistor, závislost odporu na teplotě
Obr. 3 - Specifikace napájecího zdroje
Obr. 4 - Specifikace přesnosti multimetru
Obr. 5 - Specifikace přesnosti multimetru
Literatura [1] Bell S.: A Beginner's Guide to Uncertainty of Measurement, online (19.12.2010) on http://www.wmo.int/pages/prog/gcos/documents/gruanmanuals/UK_NPL/mgpg11.pdf [2] NTC thermistors for temperature measurement, online (26.1.2011) on http://www.epcos.com/inf/50/db/ntc_09/LeadedDisks__B57164__K164.pdf [3] NTC thermistors for temperature measurement, online (26.1.2011) on http://www.gme.cz/_dokumentace/dokumenty/751/751-518/dsh.751-518.1.pdf [4]MT-1232 online (26.1.2011) on http://www.prokits.com.tw/pkjpg/pic7/MT-1232.pdf [5] Taylor B. N., Kuyatt Ch. E.: Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, online (26.1.2011) on http://www.nist.gov/pml/pubs/tn1297/index.cfm [6] Appendix V. Uncertainties and Error Propagation, online (26.1.2011) on http://physicslabs.phys.cwru.edu/MECH/Manual/Appendix_V_Error%20Prop.pdf
